Trazado Geometrico De Conicas
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TEMA 3
TRAZADO GEOMETRICO DE
CONICAS
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2º Ingeniería Química
TEMA 3
TRAZADO GEOMETRICO DE CONICAS
-. CIRCUNFERENCIAS
-. OVALOS Y OVOIDE-. ELIPSE
-. HIPERBOLA
-. PARABOLA
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2º Ingeniería Química
TEMA3
CIRCUNFERENCIASCIRCUNFERENCIAS
TANGENCIASTANGENCIAS
Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno llamado centro
0 TLa tangente a una circunferencia en un punto, es la perpendicular a la recta que une dicho punto con el centro de la circunferencia ( el radio)
T
Si dos circunferencias son tangentes el punto de tangencia estará sobre la línea que une los centros
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2º Ingeniería Química
TEMA3
TANGENCIASTANGENCIAS
ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORESARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES
R
O1
O2
rR+r
ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORESARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES
O1O2
rR
R-r
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2º Ingeniería Química
TEMA3
CIRCUNFERENCIAS
TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DE LA MISMATANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DE LA MISMA
T
A B
0
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2º Ingeniería Química
TEMA3
CIRCUNFERENCIAS
TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DEL MISMO NO CONOCIENDO EL CENTRO DEL ARCO
TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DEL MISMO NO CONOCIENDO EL CENTRO DEL ARCO
A
T
BC
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2º Ingeniería Química
TEMA3
CIRCUNFERENCIAS
TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR A ELLATANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR A ELLA
O1
T2
T1
t2
P
O
t1
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2º Ingeniería Química
TEMA3
CIRCUNFERENCIAS
TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIASTANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS
O2
O1
r
T12
T11
T21
T22
R
R-r
t2
t2
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2º Ingeniería Química
TEMA3
CIRCUNFERENCIAS
TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIASTANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS
r
O1
O2
R
R+r
A
B
T21
T22
T12
T11
t1
t2
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2º Ingeniería Química
TEMA3
CIRCUNFERENCIAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA DADA, QUE PASAN POR UN PUNTO P EXTERIOR A LA RECTA Y TIENEN UN RADIO R CONOCIDO
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA DADA, QUE PASAN POR UN PUNTO P EXTERIOR A LA RECTA Y TIENEN UN RADIO R CONOCIDO
P
A
R
r
RO1 O2
T1 T2
R
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2º Ingeniería Química
TEMA3
CIRCUNFERENCIAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s, QUE CRUZAN DADO EL PUNTO DE TANGENCIA EN UNA DE ELLASCIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s, QUE CRUZAN DADO EL PUNTO DE TANGENCIA EN UNA DE ELLAS
P
O1
O2
r
s
T1
T2
1
2 3
OT1
OT2
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2º Ingeniería Química
TEMA3
CIRCUNFERENCIAS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS CUANDO AL MENOS DOS SE CRUZAN FUERA DEL DIBUJOCIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS CUANDO AL MENOS DOS SE CRUZAN FUERA DEL DIBUJO
r
s
t
TrTs
Tt
O
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2º Ingeniería Química
TEMA3
CIRCUNFERENCIAS
ARCO DE CIRCUNFERENCIA TANGENTE EXTERIORMENTE A DOS CIRCUNFERENCIAS DADASARCO DE CIRCUNFERENCIA TANGENTE EXTERIORMENTE A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
O3
O4
N
M
r
R
O2N
O1 MR
r
1
2
3
4
O2
O1
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2º Ingeniería Química
TEMA3
CIRCUNFERENCIAS
POLIGONOSPOLIGONOS
POLIGONO IRREGULARPOLIGONO REGULAR
Lados y ángulos diferentesLados y ángulos iguales
POLIGONO INSCRITOPOLIGONO CIRCUNSCRITO
Tiene los vértices sobre la circunferencia
Tiene los lados tangentes a la circunferencia
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2º Ingeniería Química
TEMA3
CIRCUNFERENCIAS
DIVISON DE LA CIRCUNFERENCIADIVISON DE LA CIRCUNFERENCIA
OR=l
OL
A
l10
l5
En seis partes En tres partes
En cinco y diez partes
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2º Ingeniería Química
TEMA3
CIRCUNFERENCIAS
DIVISON DE LA CIRCUNFERENCIA EN UN NUMERO CUALQUIERA DE PARTES IGUALES( método general)DIVISON DE LA CIRCUNFERENCIA EN UN NUMERO CUALQUIERA DE PARTES IGUALES( método general)
EJEMPLO : 11 PARTES
AB
D
C
O E
F 12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
DC
CD
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2º Ingeniería Química
TEMA3
CIRCUNFERENCIAS
CONSTRUCCION DE UN POLIGONO REGULAR INSCRITO CON UN NUMERO CUALQUIERA DE LADOS CONOCIENDO EL LADO DEL MISMO.
CONSTRUCCION DE UN POLIGONO REGULAR INSCRITO CON UN NUMERO CUALQUIERA DE LADOS CONOCIENDO EL LADO DEL MISMO.
EJEMPLO : 11 PARTES
11
1234
5
678910
M
O P
A
L
Q
B
R
Lado
A B
ML
LM
OB
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2º Ingeniería Química
TEMA3
CIRCUNFERENCIAS
RECTIFICACION DE CURVASRECTIFICACION DE CURVASRectificar una curva es transformar el segmento curvilíneo en uno rectilíneo de igual longitud, con el fin de obtener dicha longitud de manera mas cómoda.
Para rectificar una curva cualquiera se divide ésta en cuerdas lo más pequeñas posible y se van llevando sucesivamente una a continuación de la otra.
A
B
A B
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2º Ingeniería Química
TEMA3
CIRCUNFERENCIAS
RECTIFICACION DE UN CUADRANTE DE CIRCUNFERENCIARECTIFICACION DE UN CUADRANTE DE CIRCUNFERENCIA
RECTIFICACION DE CURVAS
A
B
O
AOD
OB
C
BD
E
CE
F
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2º Ingeniería Química
TEMA3
CIRCUNFERENCIAS
RECTIFICACION DE UNA SEMICIRCUNFERENCIARECTIFICACION DE UNA SEMICIRCUNFERENCIA
RECTIFICACION DE CURVAS
O
A
B C
r r r
RECTIFICACION DE UNA CIRCUNFERENCIARECTIFICACION DE UNA CIRCUNFERENCIA
O
1
2
3
4
5
6
7D D D D/7
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2º Ingeniería Química
TEMA3
CIRCUNFERENCIAS
RECTIFICACION DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA < 90ºRECTIFICACION DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA < 90º
RECTIFICACION DE CURVAS
O A
B C
E
F
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2º Ingeniería Química
TEMA3
OVALOS Y OVOIDESOVALOS Y OVOIDES
OVALO : Curva cerrada, plana y convexa formada por cuatro arcos de circunferencia, iguales dos a dos, y que tiene dos ejes de simetría, llamados mayor y menor respectivamente
OVOIDE : Curva cerrada, plana y convexa formada por cuatro arcos de circunferencia, donde uno es una semicircunferencia y de los otros dos son simétricos, tiene un diámetro y un eje de simetría.
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2º Ingeniería Química
TEMA3
OVALOSOVALOS
OVALO Y OVOIDEOVALO Y OVOIDE
O1 O2A B
O1O2
O1O2
21
43 E
F
D
D
O11
O12
CONSTRUCCION CONOCIDO EL EJE MAYOR
CONSTRUCCION CONOCIDO EL EJE MENOR
C
D
ABO1 O2
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2º Ingeniería Química
TEMA3
OVALOSOVALOS
OVALO Y OVOIDEOVALO Y OVOIDE
CONSTRUCCION DE UN OVALO INSCRITO EN UN ROMBO DADO
BA
C
D
O3
O1
O2
O4
1 2
4 3
C4
C2
O23
O11
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F
G
1 2 3 4 5 6
2º Ingeniería Química
TEMA3
OVOIDEOVOIDE
OVALO Y OVOIDEOVALO Y OVOIDE
CONSTRUCCION DE UN OVOIDE CONOCIENDO SU EJE
O1
O2
O3
O4A B
C
D
AO1 O1B O4B
O3F
CONSTRUCCION DE UN OVOIDE CONOCIENDO SU DIAMETRO
D
C
E
F
O1O2
O3
O4
CD
DC
O2E
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2º Ingeniería Química
TEMA3
CURVAS CONICASCURVAS CONICASCurvas que resultan de la intersección de una superficie cónica con un plano y que depende del ángulo que forman el plano y el eje de revolución de la superficie cónica
β = 90º
α = β
α < β
α > β
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2º Ingeniería Química
TEMA3
ELIPSEELIPSE
- Curva cerrada y plana simétrica respecto a dos ejes, eje mayor o real (2a), y menor o virtual (2b).
CURVAS CONICASCURVAS CONICAS
- Lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la condición de que la suma de las distancia a dos puntos fijos llamados focos, que están sobre el eje real, es constante e igual a la longitud del eje mayor.- Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la elipse con los focos.(r y r’ ) se cumple que r + r’ = 2a
A
C
B
D
F F'
a
c
b
r'
N
M
ar
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2º Ingeniería Química
TEMA3
ELIPSEELIPSE
CURVAS CONICASCURVAS CONICAS
- Circunferencia principal es la que tiene por centro el centro de la elipse y por diámetro el eje mayor.
- Circunferencias focales tienen por centros los focos de la elipse y por radio el eje mayor.
- Distancia focal es la que hay entre los focos (2c)
- Se cumple que a2= b2+ c2
- Excentricidad e = c2/a se cumple que para la elipse e <1
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2º Ingeniería Química
TEMA3
CONSTRUCCION DE ELIPSE POR PUNTOS A PARTIR DE LOS EJES
CONSTRUCCION DE ELIPSE POR PUNTOS A PARTIR DE LOS EJES
ELIPSEELIPSE
CONSTRUCCION DE ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS A PARTIR DE LOS EJES
CONSTRUCCION DE ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS A PARTIR DE LOS EJES
A B
C
D
F F’G
a
GBGA
M
N
A B
C
D
4 3 2 1
1
2
3
4
O
![Page 30: Trazado Geometrico De Conicas](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062220/558689b0d8b42a88308b4652/html5/thumbnails/30.jpg)
2º Ingeniería Química
TEMA3
CONSTRUCCION DE ELIPSE POR AFINIDADCONSTRUCCION DE ELIPSE POR AFINIDAD
ELIPSEELIPSE
A B
C
D
E
G H
O
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2º Ingeniería Química
TEMA3
TANGENTE A UNA ELIPSE EN UN PUNTO DE LA MISMA
TANGENTE A UNA ELIPSE EN UN PUNTO DE LA MISMA
ELIPSEELIPSE
F’F
Pt
TANGENTES A UNA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR
TANGENTES A UNA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR
P
F F’
2a
PFI
G
H J
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2º Ingeniería Química
TEMA3
HIPERBOLAHIPERBOLA
- Curva plana, abierta, con dos ramas y simétrica respecto a dos ejes,
CURVAS CONICASCURVAS CONICAS
- Lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la condición de que la diferencia de las distancia a dos puntos fijos llamados focos, que están sobre el eje real, es constante e igual al valor del eje mayor V1V2 ( 2a )- Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la curva con los focos.(r y r’ ) se cumple que r - r’ = 2a
F F’V1V2
A B
rr’O
2a
2c
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2º Ingeniería Química
TEMA3
HIPERBOLAHIPERBOLA
CURVAS CONICASCURVAS CONICAS
- Circunferencia principal es la que tiene por centro el de la hipérbola y por diámetro 2a.
- Circunferencias focales tienen por centros los focos de la hipérbola y por radio 2a.
- Distancia focal es la que hay entre los focos (2c), los focos están sobre el eje principal o real
- Se cumple que c2= b2+ a2
- Excentricidad e = c2/a se cumple que para la elipse e >1
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2º Ingeniería Química
TEMA3
HIPERBOLAHIPERBOLA
CURVAS CONICASCURVAS CONICAS
- Las asíntotas de la hipérbola son las rectas tangentes a la curva en los puntos del infinito.
- Las asíntotas son simétricas respecto a los ejes y pasan por el centro O
- Se llama hipérbola equilátera a la hipérbola cuyas asíntotas forman 45º con los ejes.
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2º Ingeniería Química
TEMA3
CONSTRUCCION DE UNA HIPERBOLA CONOCIDOS LOS VERTICES Y LOS FOCOSCONSTRUCCION DE UNA HIPERBOLA CONOCIDOS LOS VERTICES Y LOS FOCOS
HIPERBOLAHIPERBOLA
F
F’V1
V2 ABO
r’=V2A
r =V1A
r’=V2A
r =V1A
r =V1B r =V1B
r =V2B r =V2B
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2º Ingeniería Química
TEMA3
TANGENTE A UNA HIPERBOLA EN UN PUNTO DE LA MISMA
TANGENTE A UNA HIPERBOLA EN UN PUNTO DE LA MISMA
ELIPSEELIPSE
TANGENTES A UNA HIPERBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR
TANGENTES A UNA HIPERBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR
FV1
F’V2
V1 V2
IP
tO
P
F V1
OF’V2
I
J
K
L
PF’V1 V1
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2º Ingeniería Química
TEMA3
PARABOLAPARABOLA
- Curva plana, abierta, con una rama y simétrica respecto a un eje.
CURVAS CONICASCURVAS CONICAS
- Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.
- Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la parábola con el foco y la directriz
V F
d
r
r
![Page 38: Trazado Geometrico De Conicas](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062220/558689b0d8b42a88308b4652/html5/thumbnails/38.jpg)
2º Ingeniería Química
TEMA3
CONSTRUCCION DE UNA PARABOLA CONOCIDOS EL FOCO Y LA DIRECTRIZCONSTRUCCION DE UNA PARABOLA CONOCIDOS EL FOCO Y LA DIRECTRIZ
HIPERBOLAHIPERBOLA
O V
F
A
d
AO
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2º Ingeniería Química
TEMA3
ENLAZAR DOS RECTAS CUALESQUIERA POR MEDIO DE UNA CUVA PARABOLICA CONOCIENDO LOS DOS PUNTOS DE TANGENCIAS
ENLAZAR DOS RECTAS CUALESQUIERA POR MEDIO DE UNA CUVA PARABOLICA CONOCIENDO LOS DOS PUNTOS DE TANGENCIAS
HIPERBOLAHIPERBOLA
1234567
Z
7
6
5
4
3
2
1
N
M