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7/31/2019 teroria conicas

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APUNTES DE MATEMTICAS

TEMA 6: GEOMETRA AFN

CNICAS

1 BACHILLERATO


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CNICAS

2

NDICE

1. INTRODUCCIN................................................................................................................ 4

1.1. SUPERFICIE CNICA............................................................................................................... 4

1.2. CURVASCNICAS ............................................................................................................. 4

2. Circunferencia .................................................................................................................. 5

2.1. ECUACIN COMPLETA DE UNA CIRCUNFERENCIA........................................................................ 5

2.1.1. Ecuacin reducida de la circunferencia................................................................... 6

2.1.2. Ejemplo.................................................................................................................... 6

2.1.3. Ejemplo 2................................................................................................................. 6

2.1.4. Ejemplo.................................................................................................................... 7

2.1.5. Condicin para que un polinomio de grado 2 en x,y sea circunferencia ................ 7

2.1.6. Ejemplo.................................................................................................................... 7

2.1.7. POSICIN relativa de una recta y una circunferencia ............................................. 8

2.1.8. POTENCIA de un punto respecto a una circunferencia.........................................10

2.1.9. EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS...............................................................10

3. ELIPSE .............................................................................................................................11

A. DEFINICIONES: ...................................................................................................................11

3.1.1. Observaciones: ...................................................................................................... 11

3.2. TEOREMA: ......................................................................................................................11

3.3. TEOREMA: ......................................................................................................................12

3.4. CASO 3.(CASO GENERAL)....................................................................................................12

3.5. EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE ................................................................................................13

3.5.1. Ejemplo..................................................................................................................14

4. HIPRBOLA .....................................................................................................................15

4.1. DEFINICIONES ....................................................................................................................15

4.1.1. Observaciones: ...................................................................................................... 15

4.2. CASO 1.HIPRBOLA CON FOCOS F(-C,0) Y F(C,0); C >0......................................................... 16


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CNICAS

3

4.2.1. TEOREMA:..............................................................................................................16

4.3. CASO 2.HIPRBOLA CON FOCOS EN F(0,-C) Y F(0, C); C >0.................................................... 16

4.3.1. TEOREMA:..............................................................................................................16

4.4. CASO 3.(CASO GENERAL)....................................................................................................17

4.4.1. Observaciones: ...................................................................................................... 17

5. LA PARABLA .................................................................................................................20

5.1. DEFINICIONES ....................................................................................................................20

5.1.1. Observaciones: ...................................................................................................... 20

5.2. ECUACIONES ANALTICAS DE LA PARBOLA ............................................................................. 20

5.3. TEOREMA1(ECUACIONES DE LA PARBOLA) ........................................................................ 21

5.4. TRASLACIN DE EJES ........................................................................................................... 22


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CNICAS

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1. INTRODUCCIN1.1. Superficie Cnica

Se llama superficie cnica de revolucin a la superficie engendrada por una lnea recta que giraalrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje

Apolonio de Perge o Apolonio de Perga(Perge, c.262 - Alejandra, c.190 a. C.) fueun gemetra griego famoso por su obraSobre las secciones cnicas. Fue Apolonioquien dio el nombre de elipse, parbola ehiprbola, a las figuras que conocemos.

Tambin se le atribuye la hiptesis de lasrbitas excntricas o teora de losepiciclos para intentar explicar el

movimiento aparente de los planetas y dela velocidad variable de la Luna.

Sus extensos trabajos sobre geometratratan de las secciones cnicas y de lascurvas planas y la cuadratura de sus reas.Recopil su obra en ocho libros y fueconocido con el sobrenombre de El Gran

Gemetra.

1.2. CURVAS CNICASLas curvas cnicas se obtienen al intersecar una superficie cnica con un plano. La posicin deese plano posibilita la obtencin de diferentes curvas cnicas

Elipse Parbola


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CNICAS

5

Hiprbola Circunferencia

2. CircunferenciaSe llama circunferencia al lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un puntofijo llamado centro C . El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera dedicha circunferencia al centro

. Condicin de lugar geomtrico d(P,C)=r

Ecuacin de la circunferencia

rbyax =+22 )()(

2.1. Ecuacin Completa de una CircunferenciaSi desarrollamos la ecuacin anterior

222 )()( rbyax =+ 22222 22 rbybyaxax =+++

Si realizamos los siguientes cambios

A=-2a

B=-2b


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CNICAS

6

222rbaC +=

Obtenemos otra forma de escribir la ecuacin de la cfa: 022

=++++ CByAxyx

Donde el centro es:

=

2,

2

BAC y el radio cumple la relacin: C

BAr

+

=

22

2

22

2.1.1.ECUACIN REDUCIDA DE LA CIRCUNFERENCIASi el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuacin

queda reducida a:

222 ryx =+

2.1.2.EJEMPLOEscribir la ecuacin de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

222 2)4()3( =+ yx 4)4()3(22=+ yx

481696 22 =+++ yyxx 0218622

=++ yxyx

2.1.3.EJEMPLO 2Dada la circunferencia de ecuacinx2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.

4164164

22

4

2

12

)2(

2

222==>=+=+=

=

=

=

=

=

=

rCbar

Bb

Aa


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CNICAS

7

2.1.4.EJEMPLOHallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3).

Si sustituimos x e y en la ecuacin 022

=++++ CByAxyx por las coordenadas delos puntos se obtiene el sistema:

0391

03294

00204

=++++

=++++

=++++

CBA

CBA

CA

A=-3 B=-3 C=2

SOL: 023322

=++ yxyx

2.1.5.CONDICIN PARA QUE UN POLINOMIO DE GRADO 2 EN X,Y SEA CIRCUNFERENCIAPara que una expresin del tipo: 0

22

=++++ CByAxyx sea una circunferencia debecumplir que:

1. Los coeficientes de x2 e y2 sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficientedistinto de 1, podramos dividir por l todos los trminos de la ecuacin.

2. No tenga trmino en xy.

3. 022

22

>

+

C

BA

2.1.6.EJEMPLOIndicar si la ecuacin: 0118444 22 =+ yxyx , corresponde a una circunferencia, y en

caso afirmativo, calcular el centro y el radio.

1. Como los coeficientes de x2 e y2 son distintos a la unidad, dividimos por 4:

04

11222 =+ yxyx

2. No tiene trmino en xy.

3. 04

11

2

2

2

122

>

+

Es una circunferencia, ya que se cumplen las tres condiciones.


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8

2141

211

)1,2

1(

122

2

121

2==>+=

=

==>=

==>=

rr

C

bb

aa

2.1.7.POSICIN RELATIVA DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIAPara hallar la posicin relativa de una recta y una circunferencia podemos comparar ladistancia del centro de la cfa a la recta.

Si d =d(C,recta) y r=radio de la cfa

- Si d>r La recta es exterior

b.- Si d=r La recta es tangente

c.- Si d 0

Dos soluciones: la recta y la cnica son secantes.

2 Si = 0

Una solucin: la recta y la cnica sontangentes.

3 Si < 0

Ninguna solucin: la recta y la cnica son exteriores.

Calcula la posicin relativa de la circunferencia 03222 =+ xyx y

la recta. 53 =+ yx


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9

122

13|50)1(3|),(

24)3(01

)0,1(

0

122

22

22

==

+

+=

==>=+=

=

=

==>=

rectaCd

rr

C

b

aa

Centro

Como la distancia es mas corta que el radio La recta es secante

=+

=+

053

03222

yx

xyx

xy 35 =

032)35( 22 =+ xxx 032309255 22 =++ xxxx

03230925 22 =++ xxxx 0223210 2 = xx 011165 2 = xx

=

==

=

=

15

11

10

616

10

22025616

x

xX

)5

8,

5

11( P )2,1(Q Secantes


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10

2.1.8.POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIALa potencia de un punto P respecto a una circunferencia de radio r es el valor

donde d es la distancia de P al centro del crculo.

2.1.9.EJERADICALDEDOSCIRCUNFERENCIAS

Otro lugar geomtrico que se puede considerar es aquelformado por los puntos cuya potencia respecto a dos crculosfijos (no concntricos) es la misma. Es decir, aquellos

puntos P tales que2

2

2

2

2

1

2

1 rdrd = donde d1,d2 son lasdistancias desde P a los centros del primer y segundo crculo,

mientras que r1,r2 son los radios de los mismos.

Este lugar geomtrico es una lnea recta, denominada ejeradical de los dos crculos, perpendicular a la lnea que une los

centros de ambos. Los detalles varan dependiendo de la posicin relativa de los crculos (si secortan, si son ajenos o si uno contiene a otro).

El caso ms sencillo, aqu ilustrado, es el que ambos crculos se cortan. Denominando por A,B alos puntos de corte, se observa que para cualquier punto de la lnea AB se cumple que lapotencia respecto a cualquiera de los dos crculos es la misma: PAPB.

Como consecuencia adicional se obtiene como consecuencia que dicha recta tambin es ellugar geomtrico de los puntos desde los cuales se puede trazar tangentes de la misma

longitud hacia cada uno de los crculos. Esto es porque la potencia del punto P tambin es iguala PF y PG, por lo que PF=PG.


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3. ELIPSEa. Definiciones:

i. Sean F y F dos puntos de un plano( 'FF . Se define la ELIPSE de focos

F y F como el lugar geomtrico de lospuntos del plano tales que la suma desus distancias a los focos es constantee igual a 2a (a > 0).y (a>c)

ii. Las rectas: La que pasa por los focos Fy F y la recta mediatriz del

segmento 'FF se llaman EJES DESIMETRA DE LA ELIPSE.

iii. El punto de interseccin O de los dos ejes de simetra, se llama CENTRO DE LA ELIPSE.Los puntos A, A, B y B se llaman VERTICES DE LA ELIPSE.

Si el segmento 'AA es mayor que el segmento 'BB , ambos segmentos se llamanrespectivamente EJE MAYOR y EJE MENOR de la elipse.

3.1.1.OBSERVACIONES:i. De hecho, cualquier par de puntos del planopueden servir como focos de una elipse. Porsimplicidad, solo se considerarn inicialmenteaquellos casos en los cuales los focos estn en el

mismo eje (eje x, eje y) y son simtricos uno delotro con respecto al origen

ii. Ntese tambin que como ,

se sigue que(teorema de Pitgoras).

Ecuaciones Analticas de la Elipse

Caso 1. Elipses con focos. F(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0

Eje mayor: Longitud 2a (2a > 0)

Eje menor: Longitud 2b (2b > 0)

3.2. TEOREMA:La ecuacin de la elipse con focos en los puntos F(-c, 0) y F(c, 0), eje mayor 2a, y eje menor 2b,

viene dada por:1

2

2

2

2

=+b

y

a

x

Nota (2a>2c)

Demostracin

c

b


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Si p(x, y) es un punto que pertenece a la elipse considerada, se tiene de acuerdo a la definicin

i que aPFFP 2' =+ , equivalentemente,aycxycx 2)()( 2222 =++++

(frmula de distancia entre dos puntos)

Transponiendo el primer radical al segundo lado y elevando ambos miembros al cuadrado, se

obtiene: 222222222 2)(442 ycxcxycxaaycxcx ++++=+++

Simplificando la ltima igualdad se llega a: cxaycxa =+ 222)(

Al elevar nuevamente ambos miembros al cuadrado en la ltima ecuacin, se obtiene:

22242222 2)2( xccxaaycxcxa +=++

La cual se reduce a: )()( 22222422222 caacaayaxca ==+

Recordando adems que222222( bcacba ===>+= y al dividir ambos miembros de la

ltima igualdad por22

ba , se obtiene finalmente1

2

2

2

2

=+b

y

a

x

;que corresponde a la ecuacinpedida.

Caso 2. Elipses con focos F(0, -c) y F(0, c) ; c > 0 Eje mayor: Longitud 2a (a > 0)

Eje menor: Longitud 2b (b > 0)

3.3. TEOREMA:La ecuacin de la elipse con focos en los puntos F(0, -c) y F(0, c), eje mayor 2a, y, eje menor 2b, (a>c) ,viene dada por:

12

2

2

2

=+a

y

b

x

Demostracin:

Es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio.

NOTA:Ntese que si en las ecuaciones (1) y (2) de la elipse, se hace a = b, las ecuaciones setransforman en la ecuacin de una circunferencia de centro en el origen y radio a.

3.4. Caso 3. (Caso General).Si en vez de considerar el centro de la elipse en el punto (0, 0), como se hizo en los dos casosanteriores, se considera el punto C (h, k), la ecuacin de la elipse correspondiente, setransforma utilizando las ecuaciones de traslacin (seccin 6.1.2.) en:

1)()(

2

2

2

2

=

+

b

ky

a

hx


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13

Si a > b, el eje focal es paralelo al eje x. (sobre la recta y = k)

Si b > a, el eje focal es paralelo al eje y. (sobre la recta x = h)

1)()(

2

2

2

2

=

+

b

ky

a

hx

1)()( 2

2

2

2

=

+

aky

bhx

3.5. Excentricidad de la elipse

SE llama excentricidad de la elipse al valor;

a

ce =

;

a

ce =

10 =

a

ce

Al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.

c=0

b=a

e=0


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14

e=3/5

e=4/5

e=1 c=a

3.5.1.EJEMPLOHallar los elementos caractersticos y la ecuacin reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3,0), y su eje mayor mide 10.

Semieje mayor2a=10a=5

Semidistancia focalFF=2c=6 c=3

Semieje menor 9252

=b b=4

Ecuacin reducida1

1625

22

=+yx

Excentricidade=3/5


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15

4. HIPRBOLA

4.1. Definicionesi. Sean F y F dos puntos de un plano (F F). Se define la hiprbola de focos F y F como ellugar geomtrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancia a los focos esconstante e igual a 2a. (a > 0).

ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F y la recta mediatriz del segmento FF se llaman:Ejes de simetra de la hiprbola.

iii. El punto de interseccin 0 de dos ejes de simetra, se llama CENTRO de la hiprbola. Lospuntos A y A se llaman: VERTICES de la hiprbola.

4.1.1.OBSERVACIONES:i. Como en el caso de la elipse, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos deuna hiprbola. Por simplicidad, solo se considerarn inicialmente, aquellos casos en los cualeslos focos estn en el mismo eje (eje x eje y) y son simtricos uno del otro con respecto alorigen

ii. Si aFPPF 2' = se obtiene la rama derecha de la hiprbola; mientras que

si aPFFP 2' = se obtiene la otra rama

iii. Note que 2a < 2c, ya que la diferencia de los lados de un tringulo siempre es menor que el

tercer lado. Adems, se toma .

Ecuaciones Analticas de la Hiprbola


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4.2. caso 1. Hiprbola con focos F(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0.4.2.1.TEOREMA:

La ecuacin de la hiprbola centrada en el origen y cuyos focos estn en los puntos F(-c, 0) yF(c, 0) viene dada por:

12

2

2

2

=b

y

a

x

.

Demostracin:

Si P(x, y) es un punto que pertenece a la hiprbola considerada , se tiene de acuerdo a ladefinicin que:

aFPPF 2' = aPFFP 2' =

De donde,

aFPPF 2' += FPaPF = 2'

Es decir, FPaPF = 2'

Equivalentemente, usando la frmula de distancia, se puede escribir:

2222 )(2)( ycxaycx +=++

Elevando ambos miembros al cuadrado en la ltima igualdad y simplificando se obtiene:

222 )( ycxaacx +=

Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado en la ltima igualdad y despus desimplificar y factorizar se puede escribir:

)()( 22222222 acayaxac =

Recordando adems que222

bac = (observacin iii.) y al dividir ambos miembros de la

ltima igualdad por22

ba , se obtiene finalmente,1

2

2

2

2

=b

y

a

x

que corresponde a la ecuacinpedida.

4.3. Caso 2. Hiprbola con focos en F(0, -c) y F(0, c) ; c > 0.4.3.1.TEOREMA:

La ecuacin de la hiprbola centrada en el origen y cuyos focos estn en los puntos F(0, -c) yF(0, c) viene dada por:


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12

2

2

2

=b

x

a

y

La demostracin es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio.

4.4. Caso 3. (Caso General)Si en vez de considerar el centro de la hiprbola en el punto (0, 0), como se hizo en los doscasos anteriores, se considera el punto C (h, k), las ecuaciones de la hiprbola correspondiente,

se transformarn utilizando las ecuaciones de traslacin (seccin 6.1.2.) en:

(3) (4)

Segn que el eje focal sea una recta paralela al eje x o al eje y respectivamente.

4.4.1.OBSERVACIONES:i. En la figura ., se ha trazado la hiprbola centrada en el origen y focos en los puntos F1(c,0) yF2(-c, 0). Los puntos V1 y V2 son los vrtices de la hiprbola y sus coordenadas son V1(a, 0) y

V2(-a, 0). Los puntos M, N, P y Q tienen coordenadas: M (a, b), N(-a, b), P(-a, -b) y Q(a, -b).

El rectngulo MNPQ recibe el nombre de rectngulo auxiliar de la hiprbola.


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ii. La grfica de la hiprbola es simtrica con respecto al eje x y con respecto al eje y.

iii. Las rectas que pasan, la primera por M y P y la segunda por N y Q, se llaman asntotasoblicuas de la hiprbola y sus ecuaciones vienen dadas respectivamente por:

xaby =

yx

aby =

Una forma "nemotcnica" de obtener las ecuaciones de las los asntotas de la hiprbola es lasiguiente: En la ecuacin de la hiprbola, sustituir el 1 (uno) del segundo miembro por un 0(cero).

As, en el caso particular de la hiprbola

,Hacemos: (factorizando)

Estas son las ecuaciones de las asntotas

iv. En el caso particular, cuando a = b, las ecuaciones de la hiprbola se transforman en

122 = yx 122= xy

En ambos, la hiprbola se llama: Hiprbola Equiltera y tienen como asntotas las rectas y = x e

y= -x


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Ejercicios

Representa grficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos, de los vrticesy la excentricidad de las siguientes hiprbolas:

08834 22 = xyx

0834)12(4 22 =+ yxx

123)1(4 22 = yx

143

)1( 22=

yx

743

24

33

2

2

=+=

==

==

c

bb

aa

C=(1,0) A=( 31+ ,0) A=( 31 ,0) F= ( 71+ ,0)

F(A=( 71 ,0) 3

7=e

Ejemplo 2


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5. LA PARABLA

5.1. Definicionesi. Sea DD una recta dada del plano y F un punto del plano que no est en la recta dada. Sedefine la parbola como el lugar geomtrico de los puntos P del plano cuya distancia al punto Fes igual a la distancia a la recta DD.

ii. La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO Frecuentemente se hacereferencia a la parbola de directriz DD y de foco F

Foco:Es el punto fijo F.

Directriz: Es la recta fija d.

Parmetro:Es la distancia del foco a la directriz, sedesigna por la letra p.

Eje:Es la recta perpendicular a la directriz que pasapor el foco.

Vrtice:Es el punto de interseccin de la parbola consu eje.

Radio vector:Es un segmento que une un punto

cualquiera de la parbola con el foco.

5.1.1.OBSERVACIONES:i. Sea A el punto medio del segmento QF . Como AF=AQ, entonces el punto A pertenece

a la parbola. V es llamado VERTICE de la parbola.

5.2. Ecuaciones Analticas de la ParbolaEn esta seccin slo se considerarn parbolas con el vrtice A en el origen de coordenadas ycuyos focos estarn localizados sobre los ejes x y


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Sea P(x, y) un punto de la parbola entonces, PFPD = .

Pero,

2

pxPD += y 2

2

2

yp

xPF +

+=

Luego, 22

22y

px

px +

+=+

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ltima igualdad, y desarrollando los binomios, se

obtiene: 22

22

2

44ypx

pxpx

px ++=++ , y simplificando queda finalmente,

pxy 22 =

5.3. TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parbola)i. La ecuacin de la parbola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por directriz la recta x = -p/2

viene dada por : y2=2px (3). Recprocamente si un punto P del plano, satisface laecuacin (3) entonces P est en la parbola

p>0 p


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ii. La ecuacin de la parbola que tiene su foco en F(0, p/2) y por directriz la recta y =-p/2 es: x2 = 2py (4)

iii. Recprocamente, si un punto P del plano, satisface (4) entonces P est en la parbola

p>0P0) yhacia abajo (p 0) e izquierda (p < 0) respectivamente, con focos en el punto F(p/2, 0) y cuyadirectriz es la recta de ecuacin x = -p/2. Adems todos sus puntos son simtricos con respectoal eje x, de aqu que las ecuaciones que representan sus lugares geomtricos, poseennicamente a la variable y elevada a su potencia par

5.4. Traslacin de EjesLa ecuacin de la circunferencia con centro en C(4,3) y radio 5 era:

25)3()4( 22 =+ yx 06822 =+ yxyx

Sin embargo, si se encuentra la ecuacin con centro en C(0, 0) y radio 5. Se obtiene

2522 =+ yx

De lo anterior se concluye que a veces puede cambiar la ecuacin sin cambiar la forma de lagrfica


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fig. 6.1.5.

Si en el plano cartesiano x - y se eligen nuevos ejes coordenados paralelos a los ejes x e y, sedice entonces que ha habido una "TRASLACIN DE EJES". Al fin de analizar los cambios que sepresenten en las coordenadas de los puntos del plano al introducir un nuevo sistema decoordenadas x e y paralelo a los ejes x e y, se toma un punto fijo o(h, k) que se llama:ORIGEN del nuevo sistema.

Sea ahora, un punto P(x, y) del plano, cuyas coordenadas estn referidas al sistema con origenO(O, O) Entonces las coordenadas de P(x, y) referidas al sistema x-y vienen dadas por lasrelaciones:

x = x + h

y = y + k

llamadas: ECUACIONES DETRASLACIN DE EJES, y quepueden deducirse fcilmentede la fig.

Observacin:

La traslacin de ejes modifica la ecuacin de una curva y algunas veces la simplifica, pero noaltera la forma de la curva.


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Una aplicacin til de la traslacin de ejes se consigue cuando se obtienen las ecuacionesgenerales de la parbola, con vrtice en el punto A (h, k) referido al sistema x-y y para lascuales la directriz es perpendicular a uno de los ejes.

Si se toma como referencia los ejes x e y, hallar las ecuaciones de la parbola con vrtice enV(h, k), equivale a encontrar las ecuaciones de la parbola con vrtice en (0, 0) referido al

nuevo sistema.

Las ecuaciones , '2)'( 2 pxy = , '2)'( 2 pyx = permiten escribir las ecuaciones en forma general

de la parbola, como lo afirma el siguiente teorema:

6.1.3. Teorema2 (Ecuaciones de la parbola. Forma general)

i. La ecuacin de la parbola con vrtice en el punto V (h, k), que tiene su foco

en ]2

,[p

khF + y por directriz la recta:2

pky = (fig.) viene dada por: )(2)( 2 kyphx =

fig.

ii. La ecuacin de la parbola con vrtice en el punto V (h, k), que tiene su foco

en y por directriz la recta:

(fig. 6..) viene dada por:

(2)


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fig. 6..

Demostracin:

Es similar a la del teorema 1, aplicado al sistema x-y y luego hacer

e

Observacin:

Las ecuaciones (1) y (2) del teorema 2, despus de simplificarlas, pueden expresarse en laforma:

(3)

(4)

En las ecuaciones (3) y (4) puede notarse que una de las variables aparece al cuadrado y laotra lineal. La parbola siempre se abre en la direccin del eje cuya variable aparece lineal.As por ejemplo, la ecuacin (3) representa una parbola que se abre hacia el semieje ypositivo (si p > 0) o hacia el semieje y negativo (si p < 0). Igualmente, la ecuacin (4)

representa una parbola abierta hacia la derecha (si p > 0) o hacia la izquierda (si p < 0).

EJERCICIO1

Dada la parbola , calcular su vrtice, su foco y la recta

directriz.


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EJERCICIO 2

Dada la parbola , calcular su

vrtice, su foco y la recta directriz.

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