Secções Cônicas

Um Pouco da Hist ória das Curvas Cônicas Um Pouco da Hist ória das Curvas Cônicas

Associado à história das curvas cônicas temos o nome de

Apolônio, que nasceu na cidade de Perga, região da

Panfília (atualmente Turquia) por volta de 262 a.C. e

viveu, aproximadamente, até 190 a.C.

Apolônio foi contemporâneo de Arquimedes que viveu,

aproximadamente, entre 287 a.C. e 212 a.C. e,

juntamente com Euclides (aprox. 325 a.C. a 265 a.C.)

forma a triade considerada como sendo a dos maiores

matemáticos gregos da antiguidade. Estudou com os

discípulos de Euclides em Alexandria e foi astrônomo

notável.

Um Pouco da Hist ória das Curvas Cônicas Um Pouco da Hist ória das Curvas Cônicas

Sua obra prima é Secções Cônicas composta por 8

volumes (aproximadamente 400 proposições!).

Embora Apolônio tenha sido o matemático que

mais estudou e desenvolveu as cônicas na

antiguidade, essas curvas já eram conhecidas

em sua época, sendo os precursores

Manaecmo, Aristeu e o próprio Euclides.

I nt rodução

Uma secção cônica é uma curva que resulta

da intersecção entre um plano e uma

superfície cônica assente numa base circular,

que se estende indefinidamente através do

seu vértice em ambas as direções.

Existem cinco tipos possíveis de secções

cônicas: a elipse; a hipérbole; a parábola; a

circunferência; e um par de retas

concorrentes. Estes dois últimos são casos

particulares da elipse e da hipérbole,

respectivamente.

Geratriz: G

Vértice: V

Eixo: e

Uma Superfície Cônica de RevoluçãoSuperfície Cônica de Revolução é gerada quando uma reta G intercepta outra reta e fixa, girando em

torno dela.

Curvas CônicasCurvas Cônicas

As Curvas CônicasCurvas Cônicas são produzidas por um

plano secante sobre uma Superfície Superfície

Cônica de RevoluçãoCônica de Revolução.

Dependendo do ângulo que forma o plano

secante com o eixo da superfície cônica,

surgem diferentes curvas cônicas.

Se o ângulo é maior, igual ou menor que o semiangulo do vértice da superfície cônica, obtem-se, respectivamente, uma elípse, uma parábola, ou uma hipérbole.

Secções Cônicas Secções Cônicas

Algumas Aplicações das Cônicas Algumas Aplicações das Cônicas

O interesse pelo estudo das cônicas remonta a

épocas muito recuadas. De fato, estas curvas

desempenham um papel importante em vários

domínios da física, incluindo a astronomia, a

economia, a engenharia e em muitas outras

situações.

Vejamos então algumas sit uações onde est as curvas Vejamos então algumas sit uações onde est as curvas

: aparecem: aparecem

Algumas Aplicações das Cônicas Algumas Aplicações das Cônicas

Suponhamos que temos uma

lanterna direcionada para

uma parede, então o feixe

de luz emitido desenhará

nessa parede uma curva

cônica, conforme a figura.

Dependendo da inclinação

da lanterna relativamente

à parede, assim se obtém

uma circunferência, uma

elipse, uma parábola ou

uma hipérbole.

Algumas Aplicações das Cônicas Algumas Aplicações das Cônicas

A superfície formada pela água

dentro de um copo é

elíptica, sendo circular

apenas no caso em que o

copo está direito, isto é, está

alinhado com o nível, na

horizontal.

Se animarmos o copo com um

movimento rotativo sobre si

próprio, a superfície do

líquido nele inserido será a

de um parabolóide. Esta

técnica é frequentemente

usada para se obter este

tipo de superfície.

Algumas Aplicações das Cônicas Algumas Aplicações das Cônicas

Na astronomia, Kepler mostrou que os

planetas do sistema solar descrevem

órbitas elípticas, as quais têm o sol

num dos focos. Também os satélites

artificiais enviados para o espaço

percorrem trajetórias elípticas.

Mas nem todos os objetos que circulam

no espaço têm órbitas elípticas.

Existem cometas que percorrem

trajetórias hiperbólicas, os quais ao

passarem perto de algum planeta com

grande densidade, alteram a sua

trajetória para outra hipérbole com

um foco situado nesse planeta.

Leis de Kepler

Algumas Aplicações das Cônicas Algumas Aplicações das Cônicas

Também as trajetórias dos projéteis, num ambiente sob a ação da

força de gravidade, são parabólicas.

Já no ambiente terrestre, onde existe a resistência do ar, essas

trajetórias são elípticas, mais propriamente, arcos de elipses.

 Ao rodar em torno do seu eixo de simetria, a parábola, gera

uma superfície parabólica ou parabolóide.

O interesse dos espelhos parabólicos resulta das seguintes

propriedades da parábola e do parabolóide: Todo o raio

luminoso que incide num espelho parabólico, paralelamente ao

eixo, reflete-se passando por um ponto fixo, designado por foco.

Reciprocamente, todo o raio luminoso que incide no espelho

parabólico passando pelo foco reflete-se paralelamente ao eixo.

.

Em óptica e Acústica

Os arcos de cônicas surgem em Engenharia e

Arquitetura, em pontes, pórticos, cúpulas. Torres e

arcos, devido às suas propriedades físicas e estéticas.

Por exemplo, o cabo de suspensão duma ponte,

quando o peso total é uniformemente distribuído

segundo o eixo horizontal da ponte, tem a forma de

uma parábola.

Em Engenharia e Arquitetura 

Um simples inst rumento ajudando a salvar vidas

 

Já imaginou ter um fogão em casa com energia solar? Pois, a

idéia já é possível. O estudo com esse fogão tem mais de 10

anos de desenvolvimento, tendo iniciado na Alemanha. São

coletores solares de alto desempenho que aquecem um fluido

térmico e transportam calor para panelas. O fogão pode ficar no

interior da casa e os coletores, do lado de fora, para captar

energia do sol. Este instrumento foi implantado na Etiópia para

ajudar a suprir a necessidade de alimento, e não só na África

como também no sertão nordestino, esta idéia boa e barato faz

sucesso.

Algumas Aplicações das Cônicas Algumas Aplicações das Cônicas

Fazendo uso da propriedade

refletora da parábola,

Arquimedes construiu

espelhos parabólicos, os

quais por refletirem a luz

solar para um só ponto,

foram usados para incendiar

os barcos romanos quando

das invasões de Siracusa.

Lembre-se que a

concentração de energia gera

calor.

Algumas Aplicações das Cônicas Algumas Aplicações das Cônicas

De fato, as propriedades refletoras das cônicas, e

não somente as da parábola, têm contribuindo

para a construção de telescópios, antenas,

radares, faróis, ópticas dos carros, lanternas,

etc...

Só para dar uma amostra de objetos mais

cotidianos que usam a propriedade refratora

das cônicas, mencionamos os seguintes: os

óculos graduados, as lupas e os microscópios.

Algumas Aplicações das Cônicas Algumas Aplicações das Cônicas

A partir da propriedade refletora das parábolas, os engenheiros civis construíram pontes de suspensão parabólica.

A arquitetura moderna se valem das formas cônicas…

Curvas Cônicas

elipse parábola hipérbole

A Elípse como Lugares Geomét ricos A Elípse como Lugares Geomét ricos

A ElipseElipse é o lugar geométrico dos pontos que satisfazem a condição de que a soma das distâncias a outros pontos fixos F1 e F2, chamados focos, é constante e igual a 2a, sendo 2a a longitude do eixo maior MN da elipse.

ElipseElipse

, : Const rução da Elipse dados dois e ixos por pontos , : Const rução da Elipse dados dois e ixos por pontos

Sean los ejes MN y ST:

•Se hallan los focos F1 y F2, como ya se ha explicado.

•Se toma un punto A cualquiera del eje mayor, situado entre uno de los focos y el centro, y con radio MA y centro en F1 se traza el arco 1 y con radio NA y centro F2 se traza el arco 2; estos dos arcos se cortan en el punto V de la elipse.

Repetindo a mesma operação com outros pontos B, C, etc., vão-se determinando pontos da elipse que posteriormente se unem.

Marcam-se os focos F1 e F2 sobre o eixo MN.

Toma-se um ponto A qualquer do eixo maior, situado entre um dos focos e o centro, e com o raio MA e centro em F1 se traça o arco r1 e com o raio NA e centro F2 se traça o arco r2; estes dois arcos se interceptam no ponto V da elipse.

Sejam os eixos MN e ST:

As Cônicas como Lugares Geomét ricos As Cônicas como Lugares Geomét ricos

Circunf erência é o lugar geométrico dos pontos P que estão a uma

mesma distância r de um ponto fixo A do plano, onde r é a

medida do raio da circunferência e o ponto A é o centro da

circunferência.Observe que a circunferência é um caso particular da elipse, que ocorre quando os focos F1 e F2 coincidem.

r

P

A

A Hipérbole como Lugares Geomét ricos A Hipérbole como Lugares Geomét ricos

A hipérbole é uma curva plana, aberta, com dois ramos e se define como o lugar geométrico dos pontos cuja diferença de distâncias a outros dois fixos F1 e F2, chamados focos, é constante e igual a 2a, sendo 2a o valor do eixo real V1 e V2.

HipérboleHipérbole

r1-r2= 2a Eixo real: V1V2= 2a

Distância focal: F1F2= 2c

Eixo virtual

, Const rução da Hipérbole dados os vért ices e os f ocos , Const rução da Hipérbole dados os vért ices e os f ocos

Los datos son: MN = 2 a y F1 F2 = 2c:

Se elige un punto A cualquiera en el eje real MN, situado a la derecha del foco de la derecha o a la izquierda del foco de la izquierda.

Con centros en F1 y F2 y radios MA y NA respectivamente se trazan los arcos 1 y 2 que se cortan en el punto V de la curva. Se verifica que: VF1 – VF2 = 2 a = MN.

r2

r1V

r2

Repitiendo la misma operación con otros puntos B, C, etc., se obtienen puntos que, unidos posteriormente con plantilla o a mano, nos definen la hipérbola.

Os dados são: MN= 2a e F1F2= 2c

Eixo real: MN= 2a= V1V2

Distância focal: F1F2= 2c

r1- r2= 2a

Se exige um ponto A qualquer no eixo real MN, situado a direita de ambos os focos.

Com centros em F1 e F2 e raios MA e NA respectivamente se traçam os arcos 1 e 2 que se cortam no ponto V da curva. Se verifica que:

VF1-VF2= 2a= MN

Repetindo a mesma operação com outros pontos B, C, etc, se obtém pontos que, unidos posteriormente, nos define um ramo da hipérbole. Então, usando simetria em relação a reta perpendicular a MN em seu ponto médio O obtém-se o outro ramo da hipérbole.

A Parábola como Lugares Geomét ricos A Parábola como Lugares Geomét ricos

A parábola é uma curva plana, aberta e de um ramo. Se define como o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de um ponto fixo F chamado foco, e de uma reta fixa d chamada diretriz.

ParábolaParábola

, Const rução da Parábola dados o f oco e a dire t riz , Const rução da Parábola dados o f oco e a dire t riz

•El vértice es el punto medio del segmento MF.

•Se toma un punto cualquiera A del eje y se traza la recta m perpendicular al eje

•Con centro en el foco F y radio AM se traza un arco que corta a la perpendicular m en los puntos P y P´, puntos de la parábola. Se cumple que PF = PE

Repitiendo la misma operación con otros puntos B; C; etc., se obtienen puntos que unidos posteriormente a mano o con plantilla, nos determinan la parábola.

Os dados são: a diretriz d o eixo e e o foco F.

O vértice V é o ponto médio do segmento MF.

Escolha um ponto qualquer A do eixo e e trace a reta m perpendicular a esse eixo.

Com centro no foco F e raio AM trace um arco que corta a perpendicular m nos pontos P e P’, pontos da parábola. Verifique que PF= PE.

Repetindo a mesma operação com outros pontos B, C, etc, se obtém pontos, que unidos posteriormente, nos determinam a parábola.

dir

etri

z

?Quantos pontos det erminam uma Cônica ?Quantos pontos det erminam uma Cônica

Um procedimento bastante comum quando

usamos softwares Geométricos no estudo de

Cônicas, é o de que cinco pontos determinar

uma cônica…

Vamos justificar este fato. . .

Determinação da equação de uma cônica dados cinco pontos Determinação da equação de uma cônica dados cinco pontos

quaisquer.quaisquer.

Determinação da equação de uma cônica dados cinco pontos Determinação da equação de uma cônica dados cinco pontos

quaisquer.quaisquer.

Exemplo de determinação da equação de uma cônica, conhecendo Exemplo de determinação da equação de uma cônica, conhecendo

cinco pontos quaisquer.cinco pontos quaisquer.

Represent ação da Cônica do Exemplo ant erior Represent ação da Cônica do Exemplo ant erior

Esta Figura foi gerada pelo Esta Figura foi gerada pelo Cabri-Geomètre. Cabri-Geomètre. Obtenha-a usando o Obtenha-a usando o GeoGebraGeoGebra..