Conicas Hoje

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    11-Jul-2015
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  • Seces Cnicas

  • Um Pouco da Histria das Curvas CnicasAssociado histria das curvas cnicas temos o nome de Apolnio, que nasceu na cidade de Perga, regio da Panflia (atualmente Turquia) por volta de 262 a.C. e viveu, aproximadamente, at 190 a.C.Apolnio foi contemporneo de Arquimedes que viveu, aproximadamente, entre 287 a.C. e 212 a.C. e, juntamente com Euclides (aprox. 325 a.C. a 265 a.C.) forma a triade considerada como sendo a dos maiores matemticos gregos da antiguidade. Estudou com os discpulos de Euclides em Alexandria e foi astrnomo notvel.

  • Um Pouco da Histria das Curvas CnicasSua obra prima Seces Cnicas composta por 8 volumes (aproximadamente 400 proposies!).

    Embora Apolnio tenha sido o matemtico que mais estudou e desenvolveu as cnicas na antiguidade, essas curvas j eram conhecidas em sua poca, sendo os precursores Manaecmo, Aristeu e o prprio Euclides.

  • IntroduoUma seco cnica uma curva que resulta da interseco entre um plano e uma superfcie cnica assente numa base circular, que se estende indefinidamente atravs do seu vrtice em ambas as direes.

    Existem cinco tipos possveis de seces cnicas: a elipse; a hiprbole; a parbola; a circunferncia; e um par de retas concorrentes. Estes dois ltimos so casos particulares da elipse e da hiprbole, respectivamente.

  • Uma Superfcie Cnica de Revoluo gerada quando uma reta G intercepta outra reta e fixa, girando em torno dela.

  • Curvas CnicasAs Curvas Cnicas so produzidas por um plano secante sobre uma Superfcie Cnica de Revoluo.

  • Dependendo do ngulo que forma o plano secante com o eixo da superfcie cnica, surgem diferentes curvas cnicas.Se o ngulo maior, igual ou menor que o semiangulo do vrtice da superfcie cnica, obtem-se, respectivamente, uma elpse, uma parbola, ou uma hiprbole.

  • Seces Cnicas

  • Algumas Aplicaes das CnicasO interesse pelo estudo das cnicas remonta a pocas muito recuadas. De fato, estas curvas desempenham um papel importante em vrios domnios da fsica, incluindo a astronomia, a economia, a engenharia e em muitas outras situaes.

    Vejamos ento algumas situaes onde estas curvas aparecem:

  • Algumas Aplicaes das CnicasSuponhamos que temos uma lanterna direcionada para uma parede, ento o feixe de luz emitido desenhar nessa parede uma curva cnica, conforme a figura. Dependendo da inclinao da lanterna relativamente parede, assim se obtm uma circunferncia, uma elipse, uma parbola ou uma hiprbole.

  • Algumas Aplicaes das CnicasA superfcie formada pela gua dentro de um copo elptica, sendo circular apenas no caso em que o copo est direito, isto , est alinhado com o nvel, na horizontal.

    Se animarmos o copo com um movimento rotativo sobre si prprio, a superfcie do lquido nele inserido ser a de um parabolide. Esta tcnica frequentemente usada para se obter este tipo de superfcie.

  • Algumas Aplicaes das CnicasNa astronomia, Kepler mostrou que os planetas do sistema solar descrevem rbitas elpticas, as quais tm o sol num dos focos. Tambm os satlites artificiais enviados para o espao percorrem trajetrias elpticas.

    Mas nem todos os objetos que circulam no espao tm rbitas elpticas. Existem cometas que percorrem trajetrias hiperblicas, os quais ao passarem perto de algum planeta com grande densidade, alteram a sua trajetria para outra hiprbole com um foco situado nesse planeta.

  • Leis de Kepler

  • Algumas Aplicaes das CnicasTambm as trajetrias dos projteis, num ambiente sob a ao da fora de gravidade, so parablicas.

    J no ambiente terrestre, onde existe a resistncia do ar, essas trajetrias so elpticas, mais propriamente, arcos de elipses.

  • Ao rodar em torno do seu eixo de simetria, a parbola, gera uma superfcie parablica ou parabolide.

    O interesse dos espelhos parablicos resulta das seguintes propriedades da parbola e do parabolide: Todo o raio luminoso que incide num espelho parablico, paralelamente ao eixo, reflete-se passando por um ponto fixo, designado por foco. Reciprocamente, todo o raio luminoso que incide no espelho parablico passando pelo foco reflete-se paralelamente ao eixo.

    .Em ptica e Acstica

  • Os arcos de cnicas surgem em Engenharia e Arquitetura, em pontes, prticos, cpulas. Torres e arcos, devido s suas propriedades fsicas e estticas.Por exemplo, o cabo de suspenso duma ponte, quando o peso total uniformemente distribudo segundo o eixo horizontal da ponte, tem a forma de uma parbola.

    Em Engenharia e Arquitetura

  • Um simples instrumento ajudando a salvar vidas

    J imaginou ter um fogo em casa com energia solar? Pois, a idia j possvel. O estudo com esse fogo tem mais de 10 anos de desenvolvimento, tendo iniciado na Alemanha. So coletores solares de alto desempenho que aquecem um fluido trmico e transportam calor para panelas. O fogo pode ficar no interior da casa e os coletores, do lado de fora, para captar energia do sol. Este instrumento foi implantado na Etipia para ajudar a suprir a necessidade de alimento, e no s na frica como tambm no serto nordestino, esta idia boa e barato faz sucesso.

  • Algumas Aplicaes das CnicasFazendo uso da propriedade refletora da parbola, Arquimedes construiu espelhos parablicos, os quais por refletirem a luz solar para um s ponto, foram usados para incendiar os barcos romanos quando das invases de Siracusa. Lembre-se que a concentrao de energia gera calor.

  • Algumas Aplicaes das CnicasDe fato, as propriedades refletoras das cnicas, e no somente as da parbola, tm contribuindo para a construo de telescpios, antenas, radares, faris, pticas dos carros, lanternas, etc...

    S para dar uma amostra de objetos mais cotidianos que usam a propriedade refratora das cnicas, mencionamos os seguintes: os culos graduados, as lupas e os microscpios.

  • Algumas Aplicaes das CnicasA partir da propriedade refletora das parbolas, os engenheiros civis construram pontes de suspenso parablica.

    A arquitetura moderna se valem das formas cnicas

  • A Elpse como Lugares GeomtricosA Elipse o lugar geomtrico dos pontos que satisfazem a condio de que a soma das distncias a outros pontos fixos F1 e F2, chamados focos, constante e igual a 2a, sendo 2a a longitude do eixo maior MN da elipse.Elipse

  • Construo da Elipse, dados dois eixos: por pontosSean los ejes MN y ST:

    Se hallan los focos F1 y F2, como ya se ha explicado.

    Se toma un punto A cualquiera del eje mayor, situado entre uno de los focos y el centro, y con radio MA y centro en F1 se traza el arco 1 y con radio NA y centro F2 se traza el arco 2; estos dos arcos se cortan en el punto V de la elipse. Repetindo a mesma operao com outros pontos B, C, etc., vo-se determinando pontos da elipse que posteriormente se unem.Marcam-se os focos F1 e F2 sobre o eixo MN.

    Toma-se um ponto A qualquer do eixo maior, situado entre um dos focos e o centro, e com o raio MA e centro em F1 se traa o arco r1 e com o raio NA e centro F2 se traa o arco r2; estes dois arcos se interceptam no ponto V da elipse. Sejam os eixos MN e ST:

  • As Cnicas como Lugares GeomtricosCircunferncia o lugar geomtrico dos pontos P que esto a uma mesma distncia r de um ponto fixo A do plano, onde r a medida do raio da circunferncia e o ponto A o centro da circunferncia.Observe que a circunferncia um caso particular da elipse, que ocorre quando os focos F1 e F2 coincidem.

  • A Hiprbole como Lugares GeomtricosA hiprbole uma curva plana, aberta, com dois ramos e se define como o lugar geomtrico dos pontos cuja diferena de distncias a outros dois fixos F1 e F2, chamados focos, constante e igual a 2a, sendo 2a o valor do eixo real V1 e V2.Hiprboler1-r2=2aEixo real: V1V2=2aDistncia focal: F1F2=2cEixo virtual

  • Construo da Hiprbole, dados os vrtices e os focosLos datos son: MN = 2 a y F1 F2 = 2c: Se elige un punto A cualquiera en el eje real MN, situado a la derecha del foco de la derecha o a la izquierda del foco de la izquierda. Con centros en F1 y F2 y radios MA y NA respectivamente se trazan los arcos 1 y 2 que se cortan en el punto V de la curva. Se verifica que: VF1 VF2 = 2 a = MN. Repitiendo la misma operacin con otros puntos B, C, etc., se obtienen puntos que, unidos posteriormente con plantilla o a mano, nos definen la hiprbola. Os dados so: MN=2a e F1F2=2cEixo real: MN=2a=V1V2Distncia focal: F1F2=2cr1- r2=2aSe exige um ponto A qualquer no eixo real MN, situado a direita de ambos os focos.

    Com centros em F1 e F2 e raios MA e NA respectivamente se traam os arcos 1 e 2 que se cortam no ponto V da curva. Se verifica que:VF1-VF2=2a=MN

    Repetindo a mesma operao com outros pontos B, C, etc, se obtm pontos que, unidos posteriormente, nos define um ramo da hiprbole. Ento, usando simetria em relao a reta perpendicular a MN em seu ponto mdio O obtm-se o outro ramo da hiprbole.

  • A Parbola como Lugares GeomtricosA parbola uma curva plana, aberta e de um ramo. Se define como o lugar geomtrico dos pontos do plano que equidistam de um ponto fixo F chamado foco, e de uma reta fixa d chamada diretriz.Parbola

  • Construo da Parbola, dados o foco e a diretrizEl vrtice es el punto medio del segmento MF. Se toma un punto cualquiera A del eje y se traza la recta m perpendicular al eje Con centro en el foco F y radio AM se traza un arco que corta a la perpendicular m en los puntos P y P, puntos de la parbola. Se cumple que PF = PERepitiendo la misma operacin con otros puntos B; C; etc., se obtienen puntos que unidos posteriormente a mano o con plantilla, nos determinan la parbola. Os dados so: a diretriz d o eixo e e o foco F.O vrtice V o ponto mdio do segmento MF.Escolha um ponto qualquer A do eixo e e trace a reta m perpendicular a esse eixo.Com centro no foco F e raio AM trace um arco que corta a