TEMA 3 TRAZADO GEOMETRICO DE CONICAS. Expresion Grafica 2º Ingeniería Química TEMA 3 TRAZADO...

TEMA 3

TRAZADO GEOMETRICO DE

CONICAS

2º Ingeniería Química

TEMA 3

TRAZADO GEOMETRICO DE CONICAS

-. CIRCUNFERENCIAS

-. OVALOS Y OVOIDE-. ELIPSE

-. HIPERBOLA

-. PARABOLA


TEMA2

CIRCUNFERENCIASCIRCUNFERENCIAS

TANGENCIASTANGENCIAS

Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno llamado centro

0 TLa tangente a una circunferencia en un punto, es la perpendicular a la recta que une dicho punto con el centro de la circunferencia ( el radio)

T

Si dos circunferencias son tangentes el punto de tangencia estará sobre la línea que une los centros


TEMA3

CIRCUNFERENCIAS

TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DE LA MISMATANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DE LA MISMA

T

A B

0


TEMA3

CIRCUNFERENCIAS

TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DEL MISMO NO CONOCIENDO EL CENTRO DEL ARCO

TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DEL MISMO NO CONOCIENDO EL CENTRO DEL ARCO

A

T

BC


TEMA3

CIRCUNFERENCIAS

TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR A ELLATANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR A ELLA

O1

T2

T1

t2

P

O

t1


TEMA3

CIRCUNFERENCIAS

TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIASTANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

O2

O1

r

T12

T11

T21

T22

R

R-r

t2

t2


TEMA3

CIRCUNFERENCIAS

TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIASTANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

r

O1

O2

R

R+r

A

B

T21

T22

T12

T11

t1

t2


TEMA3

CIRCUNFERENCIAS

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA DADA, QUE PASAN POR UN PUNTO P EXTERIOR A LA RECTA Y TIENEN UN RADIO R CONOCIDO

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA DADA, QUE PASAN POR UN PUNTO P EXTERIOR A LA RECTA Y TIENEN UN RADIO R CONOCIDO

P

A

R

r

RO1 O2

T1 T2

R


TEMA3

CIRCUNFERENCIAS

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s, QUE CRUZAN DADO EL PUNTO DE TANGENCIA EN UNA DE ELLASCIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s, QUE CRUZAN DADO EL PUNTO DE TANGENCIA EN UNA DE ELLAS

P

O1

O2

r

s

T1

T2

1

2 3

OT1

OT2


TEMA3

CIRCUNFERENCIAS

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS CUANDO AL MENOS DOS SE CRUZAN FUERA DEL DIBUJOCIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS CUANDO AL MENOS DOS SE CRUZAN FUERA DEL DIBUJO

r

s

t

TrTs

Tt

O


TEMA3

CIRCUNFERENCIAS

ARCO DE CIRCUNFERENCIA TANGENTE EXTERIORMENTE A DOS CIRCUNFERENCIAS DADASARCO DE CIRCUNFERENCIA TANGENTE EXTERIORMENTE A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS

O3

O4

N

M

r

R

O2N

O1 MR

r

1

2

3

4

O2

O1


TEMA3

CIRCUNFERENCIAS

POLIGONOSPOLIGONOS

POLIGONO IRREGULARPOLIGONO REGULAR

Lados y ángulos diferentesLados y ángulos iguales

POLIGONO INSCRITOPOLIGONO CIRCUNSCRITO

Tiene los vértices sobre la circunferencia

Tiene los lados tangentes a la circunferencia


TEMA3

CIRCUNFERENCIAS

DIVISON DE LA CIRCUNFERENCIADIVISON DE LA CIRCUNFERENCIA

OR=l

OL

A

l10

l5

En seis partes En tres partes

En cinco y diez partes


TEMA3

CIRCUNFERENCIAS

DIVISON DE LA CIRCUNFERENCIA EN UN NUMERO CUALQUIERA DE PARTES IGUALES( método general)DIVISON DE LA CIRCUNFERENCIA EN UN NUMERO CUALQUIERA DE PARTES IGUALES( método general)

EJEMPLO : 11 PARTES

AB

D

C

O E

F 12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

DC

CD


TEMA3

CIRCUNFERENCIAS

CONSTRUCCION DE UN POLIGONO REGULAR INSCRITO CON UN NUMERO CUALQUIERA DE LADOS CONOCIENDO EL LADO DEL MISMO.

CONSTRUCCION DE UN POLIGONO REGULAR INSCRITO CON UN NUMERO CUALQUIERA DE LADOS CONOCIENDO EL LADO DEL MISMO.

EJEMPLO : 11 PARTES

11

1234

5

678910

M

O P

A

L

Q

B

R

Lado

A B

ML

LM

OB


TEMA3

CIRCUNFERENCIAS

RECTIFICACION DE CURVASRECTIFICACION DE CURVASRectificar una curva es transformar el segmento curvilíneo en uno rectilíneo de igual longitud, con el fin de obtener dicha longitud de manera mas cómoda.

Para rectificar una curva cualquiera se divide ésta en cuerdas lo más pequeñas posible y se van llevando sucesivamente una a continuación de la otra.

A

B

A B


TEMA3

CIRCUNFERENCIAS

RECTIFICACION DE UN CUADRANTE DE CIRCUNFERENCIARECTIFICACION DE UN CUADRANTE DE CIRCUNFERENCIA

RECTIFICACION DE CURVAS

A

B

O

AOD

OB

C

BD

E

CE

F


TEMA3

CIRCUNFERENCIAS

RECTIFICACION DE UNA SEMICIRCUNFERENCIARECTIFICACION DE UNA SEMICIRCUNFERENCIA


O

A

B C

r r r

RECTIFICACION DE UNA CIRCUNFERENCIARECTIFICACION DE UNA CIRCUNFERENCIA

O

1

2

3

4

5

6

7D D D D/7


TEMA3

CIRCUNFERENCIAS

RECTIFICACION DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA < 90ºRECTIFICACION DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA < 90º


O A

B C

E

F


TEMA3

OVALOS Y OVOIDESOVALOS Y OVOIDES

OVALO : Curva cerrada, plana y convexa formada por cuatro arcos de circunferencia, iguales dos a dos, y que tiene dos ejes de simetría, llamados mayor y menor respectivamente

OVOIDE : Curva cerrada, plana y convexa formada por cuatro arcos de circunferencia, donde uno es una semicircunferencia y de los otros dos son simétricos, tiene un diámetro y un eje de simetría.


TEMA3

OVALOSOVALOS

OVALO Y OVOIDEOVALO Y OVOIDE

O1 O2A B

O1O2

O1O2

21

43 E

F

D

D

O11

O12

CONSTRUCCION CONOCIDO EL EJE MAYOR

CONSTRUCCION CONOCIDO EL EJE MENOR

C

D

ABO1 O2


TEMA3

OVALOSOVALOS


CONSTRUCCION DE UN OVALO INSCRITO EN UN ROMBO DADO

BA

C

D

O3

O1

O2

O4

1 2

4 3

C4

C2

O23

O11

F

G

1 2 3 4 5 6


TEMA3

OVOIDEOVOIDE


CONSTRUCCION DE UN OVOIDE CONOCIENDO SU EJE

O1

O2

O3

O4A B

C

D

AO1 O1B O4B

O3F

CONSTRUCCION DE UN OVOIDE CONOCIENDO SU DIAMETRO

D

C

E

F

O1O2

O3

O4

CD

DC

O2E


TEMA3

CURVAS CONICASCURVAS CONICASCurvas que resultan de la intersección de una superficie cónica con un plano y que depende del ángulo que forman el plano y el eje de revolución de la superficie cónica

β = 90º

α = β

α < β

α > β


TEMA3

ELIPSEELIPSE

- Curva cerrada y plana simétrica respecto a dos ejes, eje mayor o real (2a), y menor o virtual (2b).

CURVAS CONICASCURVAS CONICAS

- Lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la condición de que la suma de las distancia a dos puntos fijos llamados focos, que están sobre el eje real, es constante e igual a la longitud del eje mayor.- Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la elipse con los focos.(r y r’ ) se cumple que r + r’ = 2a

A

C

B

D

F F'

a

c

b

r'

N

M

ar


TEMA3

ELIPSEELIPSE


- Circunferencia principal es la que tiene por centro el centro de la elipse y por diámetro el eje mayor.

- Circunferencias focales tienen por centros los focos de la elipse y por radio el eje mayor.

- Distancia focal es la que hay entre los focos (2c)

- Se cumple que a2= b2+ c2

- Excentricidad e = c2/a se cumple que para la elipse e <1


TEMA3

CONSTRUCCION DE ELIPSE POR PUNTOS A PARTIR DE LOS EJES

CONSTRUCCION DE ELIPSE POR PUNTOS A PARTIR DE LOS EJES

ELIPSEELIPSE

CONSTRUCCION DE ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS A PARTIR DE LOS EJES

CONSTRUCCION DE ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS A PARTIR DE LOS EJES

A B

C

D

F F’G

a

GBGA

M

N

A B

C

D

4 3 2 1

1

2

3

4

O


TEMA3

CONSTRUCCION DE ELIPSE POR AFINIDADCONSTRUCCION DE ELIPSE POR AFINIDAD

ELIPSEELIPSE

A B

C

D

E

G H

O


TEMA3

TANGENTE A UNA ELIPSE EN UN PUNTO DE LA MISMA

TANGENTE A UNA ELIPSE EN UN PUNTO DE LA MISMA

ELIPSEELIPSE

F’F

Pt

TANGENTES A UNA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR

TANGENTES A UNA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR

P

F F’

2a

PFI

G

H J


TEMA3

HIPERBOLAHIPERBOLA

- Curva plana, abierta, con dos ramas y simétrica respecto a dos ejes,


- Lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la condición de que la diferencia de las distancia a dos puntos fijos llamados focos, que están sobre el eje real, es constante e igual al valor del eje mayor V1V2 ( 2a )- Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la curva con los focos.(r y r’ ) se cumple que r - r’ = 2a

F F’V1V2

A B

rr’O

2a

2c


TEMA3

HIPERBOLAHIPERBOLA


- Circunferencia principal es la que tiene por centro el de la hipérbola y por diámetro 2a.

- Circunferencias focales tienen por centros los focos de la hipérbola y por radio 2a.

- Distancia focal es la que hay entre los focos (2c), los focos están sobre el eje principal o real

- Se cumple que c2= b2+ a2

- Excentricidad e = c2/a se cumple que para la elipse e >1


TEMA3

HIPERBOLAHIPERBOLA


- Las asíntotas de la hipérbola son las rectas tangentes a la curva en los puntos del infinito.

- Las asíntotas son simétricas respecto a los ejes y pasan por el centro O

- Se llama hipérbola equilátera a la hipérbola cuyas asíntotas forman 45º con los ejes.


TEMA3

CONSTRUCCION DE UNA HIPERBOLA CONOCIDOS LOS VERTICES Y LOS FOCOSCONSTRUCCION DE UNA HIPERBOLA CONOCIDOS LOS VERTICES Y LOS FOCOS

HIPERBOLAHIPERBOLA

F

F’V1

V2 ABO

r’=V2A

r =V1A

r’=V2A

r =V1A

r =V1B r =V1B

r =V2B r =V2B


TEMA3

TANGENTE A UNA HIPERBOLA EN UN PUNTO DE LA MISMA

TANGENTE A UNA HIPERBOLA EN UN PUNTO DE LA MISMA

ELIPSEELIPSE

TANGENTES A UNA HIPERBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR

TANGENTES A UNA HIPERBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR

FV1

F’V2

V1 V2

IP

tO

P

F V1

OF’V2

I

J

K

L

PF’V1 V1


TEMA3

PARABOLAPARABOLA

- Curva plana, abierta, con una rama y simétrica respecto a un eje.


- Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

- Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la parábola con el foco y la directriz

V F

d

r

r


TEMA3

CONSTRUCCION DE UNA PARABOLA CONOCIDOS EL FOCO Y LA DIRECTRIZCONSTRUCCION DE UNA PARABOLA CONOCIDOS EL FOCO Y LA DIRECTRIZ

HIPERBOLAHIPERBOLA

O V

F

A

d

AO


TEMA3

ENLAZAR DOS RECTAS CUALESQUIERA POR MEDIO DE UNA CUVA PARABOLICA CONOCIENDO LOS DOS PUNTOS DE TANGENCIAS

ENLAZAR DOS RECTAS CUALESQUIERA POR MEDIO DE UNA CUVA PARABOLICA CONOCIENDO LOS DOS PUNTOS DE TANGENCIAS

HIPERBOLAHIPERBOLA

1234567

Z

7

6

5

4

3

2

1

N

M

TEMA 3 TRAZADO GEOMETRICO DE CONICAS. Expresion Grafica 2º Ingeniería Química TEMA 3 TRAZADO...

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