Trabajo (termodinamica)
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1 Capítulo 4: Trabajo La interacción mecánica, coordenadas. Trabajo Procesos cuasi-estáticos Trabajo en un sistema hidrostático Diagrama PV Trabajo en procesos cuasiestáticos Trabajo al variar la longitud de un alambre Sistemas compuestos Propiedades del trabajo. Efectos disipativos.
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1
Capítulo 4: Trabajo
La interacción mecánica, coordenadas.
Trabajo
Procesos cuasi-estáticos
Trabajo en un sistema hidrostático
Diagrama PV
Trabajo en procesos cuasiestáticos
Trabajo al variar la longitud de un alambre
Sistemas compuestos
Propiedades del trabajo.
Efectos disipativos.
2
La interacción mecánica
Se produce la modificación del estado de un sistema
termodinámico por la acción de un sistema mecánico
externo o a través de una pared adiabática.
eF
d
dFdW e
Cuando una fuerza externa actúa sobre un sistema y le
produce un desplazamiento o una deformación , se dice
que el sistema soporta un “trabajo elemental”:
¿Qué es el Trabajo?
Unidad del
Trabajo ?JNmW
3
Trabajo
Si un sistema experimenta desplazamiento
bajo la acción de una fuerza, se dice que se ha
realizado trabajo, siendo la cantidad de trabajo
igual al producto de la fuerza por la
componente de desplazamiento paralelo a la
fuerza.
PGas a
presión
uniforme
WSi un sistema en conjunto ejerce una fuerza
sobre su entorno y tiene lugar un
desplazamiento, el trabajo realizado por o
sobre el sistema se denomina trabajo
externo.
4
Trabajo
El trabajo interno realizado por una parte del sistema sobre otra, no es
objeto de estudio en Termodinámica.
En lo posterior del curso, salvo indicación en contra, la palabra trabajo, no
modificada por adjetivo alguno, significará trabajo externo.
En el caso de un sistema termodinámico, el trabajo no es necesariamente
de naturaleza puramente mecánica. la energía intercambiada en las
interacciones puede ser mecánica, eléctrica, magnética, química, etc.
Para que una pila eléctrica realice trabajo debe conectarse a un circuito
externo.
Para que un sistema magnético realice trabajo debe interactuar con un
conductor eléctrico (corrientes de Foucault en el conductor) o con otros
imanes.
5
El convenio de signos
Cuando la fuerza externa que actúa sobre un sistema termodinámico
tiene el mismo sentido que el desplazamiento, se realiza trabajo sobre el
sistema; el trabajo se considera positivo. Inversamente, cuando la fuerza
externa es opuesta al desplazamiento, el trabajo es realizado por el
sistema y se considera negativo.
sistema-W +W
6
Proceso cuasi-estático
1. Equilibrio mecánico. No existen fuerzas desequilibradas actuando sobre
parte del sistema o sobre el sistema en conjunto.
2. Equilibrio térmico. No hay diferencias de temperatura entre partes del
sistema o entre el sistema y su entorno.
3. Equilibrio químico. No tienen lugar reacciones químicas dentro del
sistema ni movimiento de componente químico alguno de una parte del
sistema a otra.
Una vez alcanzado el equilibrio termodinámico del sistema y mantenido
invariable el entorno, no tendrá lugar movimiento alguno ni se realizará
trabajo.
Un sistema en equilibrio termodinámico satisface las siguientes
condiciones:
7
Proceso cuasi-estático
Si se modifica el sistema de fuerzas exteriores de modo que exista una
fuerza finita no equilibrada actuando sobre el sistema, ya no se cumple la
condición de equilibrio mecánico y pueden darse las situaciones siguientes:
1. Pueden aparecer fuerzas no equilibradas dentro del sistema (ondas,
turbulencias, aceleración, etc.).
2. Como resultado de la turbulencia, aceleración, etc., puede originarse una
distribución no uniforme de temperaturas, así como una diferencia finita
de temperatura entre el sistema y su entorno.
3. El cambio repentino de las fuerzas y de la temperatura puede producir
una reacción química o el movimiento de un componente químico.
Durante un proceso cuasi-estático, el sistema se encuentra en todo
instante en un estado infinitesimalmente próximo al de equilibrio
termodinámico, y todos los estados por los cuales pasa pueden
describirse mediante coordenadas termodinámicas referidas al sistema en
conjunto. Para todos estos estados es válida una ecuación de estado.
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Trabajo en un sistema hidrostático
Considere un sistema hidrostático
cualquiera contenido en un cilindro
provisto de un pistón móvil sobre el cual
pueden actuar el sistema y el entorno.
PAdxdW dVAdx PdVdW
El signo negativo asegura un +dV (expansión) -W e inversamente, un –dV (compresión) +W
PA
Supongamos que A es la sección del cilindro, P la presión ejercida por el sistema
sobre el pistón y PA la fuerza. El entorno ejerce también una fuerza opuesta sobre
el pistón. El origen de esta fuerza opuesta es indiferente (rozamiento, empuje de
un resorte, etc.). La condición importante que ha de cumplirse es que la fuerza
oponente difiera ligeramente de la fuerza PA.
Expansión cuasi-estática
de un sistema hidrostático
dx
Si, en estas condiciones, el pistón se mueve una distancia dx en la dirección de la
fuerza PA, el sistema realiza una cantidad infinitesimal de trabajo dW.
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Trabajo en un sistema hidrostático
En un proceso cuasi-estático finito en el cual
el volumen varía de Vi a Vf el trabajo es:
fV
Vi
PdVW
Dado que el cambio en volumen se realiza cuasi-estáticamente, la presión P del
sistema es, en todo instante, no sólo igual a la presión exterior, sino que también
es una coordenada termodinámica y puede expresarse mediante una ecuación
de estado. Si P se expresa en función de V queda definida la trayectoria de la
integración.
En una trayectoria cuasi-estática, el trabajo realizado sobre
un sistema al pasar de un volumen Vi a otro menor:
fV
Vi
if PdVW
iV
Vf
fi PdVWAl expansionar de f a i (misma trayectoria, pero en sentido
opuesto), el trabajo realizado por el sistema es:
fiif WW
Si la trayectoria es cuasi-estática:
JNmmm
NmPaW 3
2
3)(Unidad del
Trabajo ?
10
Diagrama PV
Cuando el volumen de un sistema hidrostático cambia debido al movimiento de un
pistón dentro de un cilindro, la posición del pistón en cualquier momento es
proporcional al volumen.
Cambios de presión y volumen de un gas:
Expansión
P
Compresión
Trabajo
absorbido por
el sistema
P
Ciclo: Sucesión de procesos por
medio de los cuales el sistema es
llevado a su estado inicial.
Trabajo neto
realizado por
el sistema
P
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El trabajo depende de la trayectoria
El trabajo realizado por un sistema depende no sólo de los estados inicial
y final, sino también de los estados intermedios, es decir de la trayectoria
a) Trayectoria iaf (proceso isobárico + proceso
isocórico) y el trabajo realizado es igual al área
comprendida bajo la línea ia: -2PoVo.
b) Trayectoria ibf (proceso isocórico+ proceso
isobárico) y el trabajo realizado es igual al área
comprendida bajo la línea bf: -PoVo.
c) Trayectoria if. En tal caso el trabajo es: -3/2 PoVo.
Sistema hidrostático. Existen varios modos por los cuales el sistema puede pasar de i a f:
Para un proceso cuasi-estático:
fV
Vi
PdVW no puede integrarse hasta que se especifique P(V).
PdVdW
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Ejemplos de Trabajo en
procesos cuasi-estáticos
Expansión o compresión isotérmica cuasi-estática de un gas ideal
fV
Vi
PdVW
nRTPVUn gas ideal tiene la función de estado:
Sustituyendo P:fV
Vi
dVV
nRTW
Como T también es constante:fV
ViVi
VfnRT
V
dVnRTW ln
Vi
VfnRTW log3.2También:
kJW
KkmolK
kJkmolW
6283
)4
1)(log273)(31.8)(2(3.2
(+) Trabajo realizado sobre el gas
Ejemplo: 2 kmol de gas a la temperatura constante de 0°C se comprimen desde un volumen de 4 m3 hasta
1 m3. Calcular el trabajo.
n y R son Ctes.
14
Ejemplos de Trabajo en
procesos cuasi-estáticos
22
2if PP
VW
Las variaciones de V y a T constante son despreciables:
Cu 0°C = 8930 kg/m3
= 7.16x10-12 Pa-1
m = 100 kg
Pi = 0
Pf = 1000 atm = 1.013x108 PakJmPaxW
xxW
411.0.10411.0
)8930(2
)10013.1)(1016.7(100
33
2812
(+) Trabajo realizado sobre el Cu
PdVW
dTT
VdP
P
VdV
PT
fP
Pi
VPdPW
Sustituyendo:
22
2if PP
mW
Compresión isotérmica cuasi-estática de un sólido
Se aumenta cuasi-estáticamente desde 0 hasta 1000 atm la presión ejercida sobre 100 kg de Cu sólido,
manteniendo a la temperatura constante de 0°C. Calcular el trabajo.
mV
),( TPfV
TP
V
V
1 (Coeficiente de
compresibilidad
Isotérmica)
A T constante:
VdPdV
15
Ejercicios
1.- 100 g de benceno se comprimen de 10 a 100 atm a una temperatura constante de 20
°C. La compresibilidad del benceno es T =94x10-6 atm-1 y aproximadamente constante
en el intervalo entre 1 y 100 atm. Si la densidad del líquido a 20°C es de 0.88 g/cm3,
calcúlese el trabajo reversible realizado sobre C6H6 en esta compresión.
Resultado: 1.2804 cal.
2.- La presión sobre 0.1 kg de metal es incrementada cuasi-estáticamente e
isotérmicamente desde 0 a 108 Pa. Suponiendo que la densidad y el coeficiente de
compresibilidad permanecen constantes con los valores 104 kg/m3 y 6.75 x10-12 Pa-1,
respectivamente, calcular el trabajo en Joules.
Resultado: 0.3375 J
16
Ejemplos: Alambre estirado
Estos experimentos se realizan en condiciones de presión constante e igual a la
atmosférica y considerando despreciables los cambios en volumen. Por lo tanto la
descripción termodinámica es suficientemente completa en función de sólo tres
coordenadas:
1.- La fuerza del alambre F, medida en (N),
2.- La longitud del alambre L, medida en metros (m)
3.- La temperatura, T, en la escala del gas ideal.
Para un alambre a temperatura constante, sin superar el límite de elasticidad se
cumple la ley de Hooke:
16
dFF
LdT
T
LdL
TF
Donde Lo es la longitud en ausencia de fuerza exterior.
Si un alambre experimenta un cambio infinitesimal de un estado de equilibrio a otro,
el cambio infinitesimal de longitud es diferencial exacta y puede escribirse:
),( FTfL
).( oLLCteF
17
Ejemplos: Alambre estirado
Las derivadas parciales de L funciones de T y F se relacionan con magnitudes
físicas importantes, que corresponden al coeficiente de dilatación lineal, y al
módulo de Young isotérmico, Y:
17
Donde A es la sección transversal del alambre.
FT
L
L
1[°C-1]
TL
F
A
LY [kN/m2]
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+Ejemplos: Trabajo al variar la
longitud de un alambre
Si se varía de L a (L+dL) la longitud del alambre que está sometido a tensión F, la
cantidad infinitesimal de trabajo realizado es igual a :
Un valor positivo de dL significa un alargamiento del alambre, para lo cual debe realizarse
trabajo sobre el mismo, es decir, un trabajo positivo. Para una variación finita de longitud
Li a Lf,
18
FdLdW
dLFW
f
i
L
L
siendo F el valor instantáneo de la tensión en cualquier momento del proceso.
Si el alambre está sometido a un movimiento que implica grandes desequilibrios de
fuerzas, la integral no puede calcularse en términos de las coordenadas termodinámicas
referidas al alambre en conjunto. Sin embargo, si la fuerza exterior se mantiene en todo
instante ligeramente distinta a la tensión, el proceso se puede considerar cuasi-estático y
se justifica el uso de una ecuación de estado, en cuyo caso puede realizarse la
integración una vez que se conoce F en función de L.
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Ejercicio: Trabajo al variar la
longitud de un alambre
a) Se aumenta cuasi-estáticamente y en forma isotérmica la tensión de un hilo metálico de
Fi a Ff. Si permanecen prácticamente constantes la longitud, la sección y el módulo de
Young isotérmico, demuéstrese que el trabajo realizado es:
19
22
2if FF
AY
LW
b) La tensión en un hilo metálico de 1 m de longitud y 1x10-7 m2 de área, es incrementada
cuasi-estáticamente e isotérmicamente a 0°C de 10 a 100 N. ¿Cuántos Joules de trabajo
son realizados? El módulo de Young a 0°C es 2.5 x1011 Pa.
Resultado: 0.198 J.
Tarea
20
Tarea
Un mol de gas ideal en un estado A, ocupa un volumen de 10 litros a la presión de 4 atm.
Posteriormente se expande hasta un estado B que tiene la misma temperatura inicial
ocupando un volumen de 20 litros. Calcúlese el trabajo realizado por el sistema para los
procesos que se indican en la figura, describiendo detalladamente cada uno de ellos.
20
5 10 15 20 25
1
2
3
4
5
Pre
sió
n (
atm
ósfe
ras)
Volumen (litros)
A
B
1
2
T=const
3
4
3.1 Zemansky
3.6 Zemansky
3.8 Zemansky
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Sistemas compuestos
21
Los principios de la termodinámica deben poder aplicarse a cualquier sistema
independientemente del número de coordenadas, por lo que se requerirá más de una
ecuación de estado.
Considerar un sistema compuesto formado por dos sistemas hidrostáticos simples y distintos
separados por una pared diatérmana. En total se tienen 5 coordenadas termodinámicas
(P,V,P’,V’ y T) y dos ecuaciones de estado. En cualquier pequeño desplazamiento de cada
pistón el trabajo es:
´´dVPPdVdW
Diagrama tridimensional T, V, V’
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Trabajo utilizable continuo
En los ejemplos anteriores se obtuvo trabajo utilizable una sola
vez; finalizado el proceso, no puede obtenerse más. ¿Cómo
podría obtenerse trabajo utilizable de una forma continua?
La respuesta a esta pregunta implica disponer de un mecanismo
capaz de realizar el proceso de expansión repetidamente.
Definición de máquina
Todo mecanismo capaz de repetir el proceso de expansión se
conoce como máquina.
La característica central de una máquina es que tiene que
devolver al sistema empleado a su estado inicial cada vez que
termina el proceso de expansión.
Debido a ello, se dice que toda máquina es cíclica, pues el
sistema que emplea realiza un proceso cerrado o cíclico.
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Condiciones de toda máquina
Si el sistema que evoluciona en una
máquina realiza un ciclo, debe ir por un
camino que realice trabajo y volver por
otro que, aunque lo consuma, sea en
menos cantidad.
P
Trabajo neto
realizado por el
sistema
Como el sistema realiza un ciclo, su
variable interna inicial y final debe ser la
misma. Por tanto, para que los trabajos
de ida y vuelta sean diferentes, deben
serlo las fuerzas externas que se aplican
en ambos casos.
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Estructura de una máquina
De lo visto antes, toda máquina debe constar de los siguientes
elementos:
1. Un sistema que evoluciona
cíclicamente.
2. Un medio externo que
proporciona una fuerza
elevada para producir
trabajo.
3. Un medio externo que realiza
trabajo sobre el sistema,
pero en menos cantidad que
el proporcionado por el
medio anterior.
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Rendimiento de una máquina
Se define como el trabajo obtenido por ciclo dividido por el
consumo:
1)(
))((
1
21
211
2121
1 F
FF
LLF
LLFF
W
Wútil
La fuerza F2 representa la imperfección de la máquina.
Suponiéndola ideal, F2 = 0 y
11
1
1 F
F
W
Wútil
26
Disipación
En los procesos que se producen en la naturaleza no se
cumple el principio de conservación de la energía mecánica.
La causa es la presencia de fenómenos no mecánicos que
absorben trabajo no cuantificable mecánicamente.
Esos fenómenos se conocen generalmente como disipativos.
