teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

Teorema de Stokes

Jana Rodriguez HertzCálculo 3

IMERL

17 de mayo de 2011

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

enunciado

teorema de Stokes

teorema de StokesD ⊂ R2 simplemente conexo

Φ : D → R3 superficie regular~X campo vectorial∂S = Φ(∂D) orientada en forma compatible con N⇒ ∫∫

Srot ~X .N dS =

∫∂S

~X ds

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

enunciado

teorema de Stokes

teorema de StokesD ⊂ R2 simplemente conexoΦ : D → R3 superficie regular

~X campo vectorial∂S = Φ(∂D) orientada en forma compatible con N⇒ ∫∫

Srot ~X .N dS =

∫∂S

~X ds

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

enunciado

teorema de Stokes

teorema de StokesD ⊂ R2 simplemente conexoΦ : D → R3 superficie regular~X campo vectorial

∂S = Φ(∂D) orientada en forma compatible con N⇒ ∫∫

Srot ~X .N dS =

∫∂S

~X ds

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

enunciado

teorema de Stokes

teorema de StokesD ⊂ R2 simplemente conexoΦ : D → R3 superficie regular~X campo vectorial∂S = Φ(∂D) orientada en forma compatible con N

⇒ ∫∫S

rot ~X .N dS =

∫∂S

~X ds

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

enunciado

teorema de Stokes

teorema de StokesD ⊂ R2 simplemente conexoΦ : D → R3 superficie regular~X campo vectorial∂S = Φ(∂D) orientada en forma compatible con N⇒ ∫∫

Srot ~X .N dS =

∫∂S

~X ds

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

enunciado

orientación compatible

orientación compatible

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

enunciado

orientación compatible

observación

si uno camina por el borde de la curva, la superficie queda a laizquierda

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

enunciado

observación

observaciónEl teorema de Stokes vale también para superficies dondeD es unión finita de simplemente conexos.

en ese caso, el borde ∂S puede quedar disconexo (másde una curva)prestar atención a la orientación de las curvas borde !

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

enunciado

observación

observaciónEl teorema de Stokes vale también para superficies dondeD es unión finita de simplemente conexos.en ese caso, el borde ∂S puede quedar disconexo (másde una curva)

prestar atención a la orientación de las curvas borde !

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

enunciado

observación

observaciónEl teorema de Stokes vale también para superficies dondeD es unión finita de simplemente conexos.en ese caso, el borde ∂S puede quedar disconexo (másde una curva)prestar atención a la orientación de las curvas borde !

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

enunciado

observación

observaciónEl teorema de Stokes vale también para superficies dondeD es unión finita de simplemente conexos.en ese caso, el borde ∂S puede quedar disconexo (másde una curva)prestar atención a la orientación de las curvas borde !

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

ejemplocalcular el flujo del rotor del campo

~X = (y + x2, y2 + z + x , z + y)

a través de la superficie S dada porz = xy(1− x)(1− y), con x , y ∈ [0,1]

orientada con la normal que forma ángulo agudo con k

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

ejemplocalcular el flujo del rotor del campo

~X = (y + x2, y2 + z + x , z + y)

a través de la superficie S dada por

z = xy(1− x)(1− y), con x , y ∈ [0,1]

orientada con la normal que forma ángulo agudo con k

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

ejemplocalcular el flujo del rotor del campo

~X = (y + x2, y2 + z + x , z + y)

a través de la superficie S dada porz = xy(1− x)(1− y), con x , y ∈ [0,1]

orientada con la normal que forma ángulo agudo con k

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

ejemplocalcular el flujo del rotor del campo

~X = (y + x2, y2 + z + x , z + y)

a través de la superficie S dada porz = xy(1− x)(1− y), con x , y ∈ [0,1]

orientada con la normal que forma ángulo agudo con k

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

ejemploprimero parametrizamos

x = uy = vz = uv(1− u)(1− v)

con u, v ∈ [0,1]

orientación de la superficieΦu = (1,0, ∗)Φv = (0,1, ∗)Φu ∧ Φv = (∗, ∗,1)

coincide con la normal que se se pide

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

ejemploprimero parametrizamos

x = uy = vz = uv(1− u)(1− v)

con u, v ∈ [0,1]

orientación de la superficieΦu = (1,0, ∗)Φv = (0,1, ∗)Φu ∧ Φv = (∗, ∗,1)

coincide con la normal que se se pide

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

ejemploprimero parametrizamos

x = uy = vz = uv(1− u)(1− v)

con u, v ∈ [0,1]

orientación de la superficie

Φu = (1,0, ∗)Φv = (0,1, ∗)Φu ∧ Φv = (∗, ∗,1)

coincide con la normal que se se pide

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

ejemploprimero parametrizamos

x = uy = vz = uv(1− u)(1− v)

con u, v ∈ [0,1]

orientación de la superficieΦu = (1,0, ∗)

Φv = (0,1, ∗)Φu ∧ Φv = (∗, ∗,1)

coincide con la normal que se se pide

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

ejemploprimero parametrizamos

x = uy = vz = uv(1− u)(1− v)

con u, v ∈ [0,1]

orientación de la superficieΦu = (1,0, ∗)Φv = (0,1, ∗)

Φu ∧ Φv = (∗, ∗,1)

coincide con la normal que se se pide

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

ejemploprimero parametrizamos

x = uy = vz = uv(1− u)(1− v)

con u, v ∈ [0,1]

orientación de la superficieΦu = (1,0, ∗)Φv = (0,1, ∗)Φu ∧ Φv = (∗, ∗,1)

coincide con la normal que se se pide

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

ejemploprimero parametrizamos

x = uy = vz = uv(1− u)(1− v)

con u, v ∈ [0,1]

orientación de la superficieΦu = (1,0, ∗)Φv = (0,1, ∗)Φu ∧ Φv = (∗, ∗,1)

coincide con la normal que se se pide

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

ejemploorientación compatible de la curva borde:

Stokes:∫∫

S rot ~X .N dS =∫∂S

~Xds∂S = C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4

llamamos Ik =∫Ck

~Xds, con k = 1,2,3,4

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

ejemploorientación compatible de la curva borde:

Stokes:∫∫

S rot ~X .N dS =∫∂S

~Xds∂S = C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4

llamamos Ik =∫Ck

~Xds, con k = 1,2,3,4

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

ejemploorientación compatible de la curva borde:

Stokes:∫∫

S rot ~X .N dS =∫∂S

~Xds

∂S = C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4

llamamos Ik =∫Ck

~Xds, con k = 1,2,3,4

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

ejemploorientación compatible de la curva borde:

Stokes:∫∫

S rot ~X .N dS =∫∂S

~Xds∂S = C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4

llamamos Ik =∫Ck

~Xds, con k = 1,2,3,4

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

ejemploorientación compatible de la curva borde:

Stokes:∫∫

S rot ~X .N dS =∫∂S

~Xds∂S = C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4

llamamos Ik =∫Ck

~Xds, con k = 1,2,3,4

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

cálculo de I1

C1

x = uy = 0z = 0

~X = (y + x2, y2 + z + x , z + y)

I1 =∫ 1

0 u2du

= 13

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

cálculo de I1

C1

x = uy = 0z = 0

~X = (y + x2, y2 + z + x , z + y)

I1 =∫ 1

0 u2du

= 13

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

cálculo de I1

C1

x = uy = 0z = 0

~X = (y + x2, y2 + z + x , z + y)

I1 =∫ 1

0 u2du

= 13

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

cálculo de I1

C1

x = uy = 0z = 0

~X = (y + x2, y2 + z + x , z + y)

I1 =∫ 1

0 u2du = 13

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

cálculo I2

C2

x = 1y = vz = 0

~X = (y + x2, y2 + z + x , z + y)

I2 =∫ 1

0 (v2 + 1)dv

= 43

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

cálculo I2

C2

x = 1y = vz = 0

~X = (y + x2, y2 + z + x , z + y)

I2 =∫ 1

0 (v2 + 1)dv

= 43

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

cálculo I2

C2

x = 1y = vz = 0

~X = (y + x2, y2 + z + x , z + y)

I2 =∫ 1

0 (v2 + 1)dv

= 43

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

cálculo I2

C2

x = 1y = vz = 0

~X = (y + x2, y2 + z + x , z + y)

I2 =∫ 1

0 (v2 + 1)dv = 43

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

cálculo I3

C3

x = 1− uy = 1z = 0

~X = (y + x2, y2 + z + x , z + y)

I3 = −∫ 1

0 [1 + (1− u)2]du

= −43

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

cálculo I3

C3

x = 1− uy = 1z = 0

~X = (y + x2, y2 + z + x , z + y)

I3 = −∫ 1

0 [1 + (1− u)2]du

= −43

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

cálculo I3

C3

x = 1− uy = 1z = 0

~X = (y + x2, y2 + z + x , z + y)

I3 = −∫ 1

0 [1 + (1− u)2]du

= −43

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

cálculo I3

C3

x = 1− uy = 1z = 0

~X = (y + x2, y2 + z + x , z + y)

I3 = −∫ 1

0 [1 + (1− u)2]du = −43

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

cálculo I4

C4

x = 0y = 1− vz = 0

~X = (y + x2, y2 + z + x , z + y)

I2 = −∫ 1

0 (1− v)2dv

= −13

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

cálculo I4

C4

x = 0y = 1− vz = 0

~X = (y + x2, y2 + z + x , z + y)

I2 = −∫ 1

0 (1− v)2dv

= −13

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

cálculo I4

C4

x = 0y = 1− vz = 0

~X = (y + x2, y2 + z + x , z + y)

I2 = −∫ 1

0 (1− v)2dv

= −13

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

cálculo I4

C4

x = 0y = 1− vz = 0

~X = (y + x2, y2 + z + x , z + y)

I2 = −∫ 1

0 (1− v)2dv = −13

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

ejemplo∫∫S rot ~X .N dS = I1 + I2 + I3 + I4

= 0

Ejercicio: calcular∫∫

S rot ~X .N dS sin usar el teorema deStokes.

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

ejemplo

ejemplo∫∫S rot ~X .N dS = I1 + I2 + I3 + I4 = 0

Ejercicio: calcular∫∫

S rot ~X .N dS sin usar el teorema deStokes.

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

demostración Stokes

demostración para el caso z = z(x , y).

~X = (A,B,C)

rot ~X =

∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂zA B C

∣∣∣∣∣∣rot ~X = (Cy − Bz ,Az − Cx ,Bx − Ay )

Φx ∧ Φy =

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 zx0 1 zy

∣∣∣∣∣∣Φx ∧ Φy = (−zx ,−zy ,1)

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

demostración Stokes

demostración para el caso z = z(x , y).~X = (A,B,C)

rot ~X =

∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂zA B C

∣∣∣∣∣∣rot ~X = (Cy − Bz ,Az − Cx ,Bx − Ay )

Φx ∧ Φy =

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 zx0 1 zy

∣∣∣∣∣∣Φx ∧ Φy = (−zx ,−zy ,1)

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

demostración Stokes

demostración para el caso z = z(x , y).~X = (A,B,C)

rot ~X =

∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂zA B C

∣∣∣∣∣∣

rot ~X = (Cy − Bz ,Az − Cx ,Bx − Ay )

Φx ∧ Φy =

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 zx0 1 zy

∣∣∣∣∣∣Φx ∧ Φy = (−zx ,−zy ,1)

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

demostración Stokes

demostración para el caso z = z(x , y).~X = (A,B,C)

rot ~X =

∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂zA B C

∣∣∣∣∣∣rot ~X = (Cy − Bz ,Az − Cx ,Bx − Ay )

Φx ∧ Φy =

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 zx0 1 zy

∣∣∣∣∣∣Φx ∧ Φy = (−zx ,−zy ,1)

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

demostración Stokes

demostración para el caso z = z(x , y).~X = (A,B,C)

rot ~X =

∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂zA B C

∣∣∣∣∣∣rot ~X = (Cy − Bz ,Az − Cx ,Bx − Ay )

Φx ∧ Φy =

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 zx0 1 zy

∣∣∣∣∣∣

Φx ∧ Φy = (−zx ,−zy ,1)

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

demostración Stokes

demostración para el caso z = z(x , y).~X = (A,B,C)

rot ~X =

∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂zA B C

∣∣∣∣∣∣rot ~X = (Cy − Bz ,Az − Cx ,Bx − Ay )

Φx ∧ Φy =

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 zx0 1 zy

∣∣∣∣∣∣Φx ∧ Φy = (−zx ,−zy ,1)

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

demostración Stokes

∫∫S rot ~X .N dS =∫∫D zx (Bz − Cy ) + zy (Cx − Az) + (Bx − Ay )dx dy (*)

por otro lado∫∂D

~Xds =∫∂D Adx + Bdy + Cdz∫

∂D~Xds =

∫∂D(A + Czx )dx + (B + Czy )dy

x teorema de Green, o teorema de Stokes en el plano:∫∂D

~Xds =∫∫

D∂∂x (B + Czy )− ∂

∂y (A + Czx )dx dy

=∫∫

D Bx + Bzzx + Cxzy + Czzxzy + Czxy − Ay − Azzy −Cyzx − Czzyzx − Czyxdx dy= (*)

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

demostración Stokes

∫∫S rot ~X .N dS =∫∫D zx (Bz − Cy ) + zy (Cx − Az) + (Bx − Ay )dx dy (*)

por otro lado

∫∂D

~Xds =∫∂D Adx + Bdy + Cdz∫

∂D~Xds =

∫∂D(A + Czx )dx + (B + Czy )dy

x teorema de Green, o teorema de Stokes en el plano:∫∂D

~Xds =∫∫

D∂∂x (B + Czy )− ∂

∂y (A + Czx )dx dy

=∫∫

D Bx + Bzzx + Cxzy + Czzxzy + Czxy − Ay − Azzy −Cyzx − Czzyzx − Czyxdx dy= (*)

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

demostración Stokes

∫∫S rot ~X .N dS =∫∫D zx (Bz − Cy ) + zy (Cx − Az) + (Bx − Ay )dx dy (*)

por otro lado∫∂D

~Xds =∫∂D Adx + Bdy + Cdz

∫∂D

~Xds =∫∂D(A + Czx )dx + (B + Czy )dy

x teorema de Green, o teorema de Stokes en el plano:∫∂D

~Xds =∫∫

D∂∂x (B + Czy )− ∂

∂y (A + Czx )dx dy

=∫∫

D Bx + Bzzx + Cxzy + Czzxzy + Czxy − Ay − Azzy −Cyzx − Czzyzx − Czyxdx dy= (*)

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

demostración Stokes

∫∫S rot ~X .N dS =∫∫D zx (Bz − Cy ) + zy (Cx − Az) + (Bx − Ay )dx dy (*)

por otro lado∫∂D

~Xds =∫∂D Adx + Bdy + Cdz∫

∂D~Xds =

∫∂D(A + Czx )dx + (B + Czy )dy

x teorema de Green, o teorema de Stokes en el plano:∫∂D

~Xds =∫∫

D∂∂x (B + Czy )− ∂

∂y (A + Czx )dx dy

=∫∫

D Bx + Bzzx + Cxzy + Czzxzy + Czxy − Ay − Azzy −Cyzx − Czzyzx − Czyxdx dy= (*)

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

demostración Stokes

∫∫S rot ~X .N dS =∫∫D zx (Bz − Cy ) + zy (Cx − Az) + (Bx − Ay )dx dy (*)

por otro lado∫∂D

~Xds =∫∂D Adx + Bdy + Cdz∫

∂D~Xds =

∫∂D(A + Czx )dx + (B + Czy )dy

x teorema de Green, o teorema de Stokes en el plano:

∫∂D

~Xds =∫∫

D∂∂x (B + Czy )− ∂

∂y (A + Czx )dx dy

=∫∫

D Bx + Bzzx + Cxzy + Czzxzy + Czxy − Ay − Azzy −Cyzx − Czzyzx − Czyxdx dy= (*)

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

demostración Stokes

∫∫S rot ~X .N dS =∫∫D zx (Bz − Cy ) + zy (Cx − Az) + (Bx − Ay )dx dy (*)

por otro lado∫∂D

~Xds =∫∂D Adx + Bdy + Cdz∫

∂D~Xds =

∫∂D(A + Czx )dx + (B + Czy )dy

x teorema de Green, o teorema de Stokes en el plano:∫∂D

~Xds =∫∫

D∂∂x (B + Czy )− ∂

∂y (A + Czx )dx dy

=∫∫

D Bx + Bzzx + Cxzy + Czzxzy + Czxy − Ay − Azzy −Cyzx − Czzyzx − Czyxdx dy= (*)

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

demostración Stokes

∫∫S rot ~X .N dS =∫∫D zx (Bz − Cy ) + zy (Cx − Az) + (Bx − Ay )dx dy (*)

por otro lado∫∂D

~Xds =∫∂D Adx + Bdy + Cdz∫

∂D~Xds =

∫∂D(A + Czx )dx + (B + Czy )dy

x teorema de Green, o teorema de Stokes en el plano:∫∂D

~Xds =∫∫

D∂∂x (B + Czy )− ∂

∂y (A + Czx )dx dy

=∫∫

D Bx + Bzzx + Cxzy + Czzxzy + Czxy − Ay − Azzy −Cyzx − Czzyzx − Czyxdx dy

= (*)

teorema de Stokes ejemplo demostración Stokes

demostración Stokes

∫∫S rot ~X .N dS =∫∫D zx (Bz − Cy ) + zy (Cx − Az) + (Bx − Ay )dx dy (*)

por otro lado∫∂D

~Xds =∫∂D Adx + Bdy + Cdz∫

∂D~Xds =

∫∂D(A + Czx )dx + (B + Czy )dy

x teorema de Green, o teorema de Stokes en el plano:∫∂D

~Xds =∫∫

D∂∂x (B + Czy )− ∂

∂y (A + Czx )dx dy

=∫∫

D Bx + Bzzx + Cxzy + Czzxzy + Czxy − Ay − Azzy −Cyzx − Czzyzx − Czyxdx dy= (*)