Teorema de Stokes en Varied a Des Lafuente & Rodrigues

8/7/2019 Teorema de Stokes en Varied a Des Lafuente & Rodrigues

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Teorema de Stokes en variedades

Ramiro Lafuente y Joaqun Rodrigues

Departamento de MatematicaFacultad de Ciencias Exactas

Universidad Nacional de La Plata

Julio de 2009

Concurso de Monografas para estudiantesen homenaje al Dr. Ricardo Noriega

Reunion anual de la UMA - 2009

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Indice

1. Introduccion 31.1. El teorema en sus orgenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Hacia la generalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. El Teorema 62.1. Producto tensorial y alternado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Formas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Integracion sobre cadenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4. El Teorema de Stokes en cadenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5. Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6. Formas diferenciales y orientacion en variedades . . . . . . . . . . . . . . . 172.7. El Teorema de Stokes en variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Aplicaciones 223.1. Los teoremas clasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2. Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3. Cohomologa de de Rham y homologa singular . . . . . . . . . . . . . . . 28

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Teorema de Stokes en Variedades 3

1. Introduccion

El Teorema de Stokes en Variedades es una gran generalizacion de los Teoremas Inte-grales del Calculo, a saber, el Teorema Fundamental del Calculo, el Teorema de Green, elTeorema de Stokes (clasico) y el Teorema de Gauss (o Teorema de la Divergencia)1, los

cuales recordamos brevemente a continuacion:

Teorema 1.1. (Teorema Fundamental del Calculo)ba

f (x) dx = f(b) f(a)

Teorema 1.2. (Teorema de Green) Dada una region R2,

Q

x

P

y

dxdy =

P dx + Qdy.

Teorema 1.3. (Teorema de la Divergencia) Dada una region R3,

div F dV =

F ndA.

Teorema 1.4. (Teorema de Stokes Clasico) Dada una superficie S R3,S

R

y

Q

z

dy dz +

P

z

R

x

dz dx +

Q

x

P

y

dx dy

=

= Sn rot F dA=

S

P dx + Q dy + Rdz.

Notamos que dichos teoremas tienen un importante punto en comun: todos ellos rela-cionan la integral de cierta funcion sobre un espacio dado, con la integral de otra funcionrelacionada sobre el borde de dicho espacio (el cual posee una dimensi on menos). Sinmas preambulos, el teorema dice lo siguiente:

Teorema 1.5. (Teorema de Stokes en Variedades) SeaM una variedad diferenciablecon borde y orientable de dimension n, y es una (n 1)-forma con soporte compacto en

M, entonces M

d =

M

.

Probaremos el resultado en la Seccion 2, luego de una gran cantidad de definicionesy proposiciones preliminares. Vale la pena notar que s olo para comprender el enunciadodel teorema es necesario desarrollar una gran cantidad de teora. Fundamentalmente, de-beramos saber que es una variedad diferenciable (y que significa con borde, orientable),que son las formas diferenciales (tanto en el espacio eucldeo como en una variedad), que sig-nifica integrar una forma diferencial sobre una variedad, etc. Sin embargo, y como suelesuceder en muchos otros grandes teoremas, todo el trabajo que tomara llevar a cabo la

1Mas adelante discutiremos en profundidad los nombres de estos ultimos tres teoremas, as como tambiena quien podran atriburseles. A pesar de esto, seguiremos llamandolos por sus nombres usuales para noconfundir al lector.


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teora de variedades y el calculo en ellas tendra su recompensa en el hecho de que final-mente el teorema resultara una mera trivialidad. Es decir, lo importante es entonces definirlas cosas correctamente. Pero todos estos conceptos llegaran a su debido momento; porlo pronto podemos pensar que variedad es una generalizaci on de la palabra superficie(para dimensiones superiores), que las formas diferenciales son expresiones que se ponen

dentro del signo integral, y que la d que afecta a la forma (que es llamada derivadaexterior de formas diferenciales) podra ser pensada como una especie de generalizacion delos conceptos de rotor y divergencia.

A pesar de ignorar la mayora de los conceptos involucrados en el teorema, resultaevidente a partir de lo recientemente mencionado que es del estilo de los teoremas cl asicos(relaciona la integral de cierto objeto sobre el borde de un espacio, con la integral sobredicho espacio de algo asociado al objeto).

1.1. El teorema en sus orgenes

Para estudiar de donde proviene el Teorema de Stokes en Variedades hay que referirseinevitablemente a los orgenes de sus tres antepasados ya mencionados (Green, Gauss yStokes clasico). Lo curioso sobre estos tres teoremas es que ninguno de ellos correspondea su supuesto autor. Veremos, segun lo desarrollado en [2], cual es el verdadero origen decada uno de ellos.

Teorema de Gauss Este fue el primero de los tres teoremas en ser enunciado yprobado en la forma en que actualmente es conocido. A pesar de haber aparecido ciertoscasos particulares del mismo en una publicacion de Carl Friedrich Gauss de 1813, en realidadel primer registro que se tiene de una prueba del teorema en su forma m as general es un

manuscrito de un trabajo presentado por el matematico ruso Michael Ostrogradsky en elano 1826.2 Vale la pena destacar que la primera publicacion del resultado por su autorfue en 1831. Es por eso que no resulta sorprendente el hecho de que el resultado aparezcapublicado en formas identicas o similares por Simeon-Denis Poisson en 1828 (a pesar deque este cita una presentacion de Ostrogradsky de 1827), por Frederic Sarrus, y por GeorgeGreen, el cual probo en una publicacion privada del mismo ano la formula conocida comosegunda identidad de Green (que es de hecho equivalente al Teorema de la Divergencia,a pesar de que Green no lo noto en su trabajo).

Algo notable, y que explica tal vez por que fue este resultado el primero en aparecer alo largo de la historia (a pesar de ser usualmente el ultimo en mencionarse en los cursosde Calculo Vectorial), es que todos los matematicos que llegaron a enunciar y demostrar

distintas versiones de este teorema estaban interesados en realidad en problemas de laFsica, y lo utilizaron como una herramienta para obtener un resultado de esa ndole. Enefecto, Gauss estaba interesado en la teora de atraccion magnetica, Ostrogradsky en lateora del calor, Green en electricidad y magnetismo, Poisson en cuerpos elasticos, y Sarrusen cuerpos flotantes.

Teorema de Green Como ocurra con el teorema anterior, este resultado no fueoriginalmente enunciado (y mucho menos probado) por Green. Como era de esperarse,dada su ntima relacion con la teora de variable compleja, los protagonistas en la historiatemprana de este teorema son Augustin Cauchy y Bernhard Riemann.

Podemos encontrar en notas de 1846 de Cauchy el resultado enunciado en la forma en laque actual lo conocemos, utilizado fuertemente en la prueba de la f ormula de Cauchy en el

2Puede ser encontrado en [5].


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disco, y posteriormente de su teorema sobre la integral de una funcion analtica alrededorde una curva cerrada. Sin embargo, no se conocio ninguna demostracion de su autora.

Quien s demostro el resultado completamente, tambien para aplicarlo en la teora devariable compleja, fue Riemann en su disertacion inaugural 3 en 1851.

Teorema de Stokes La version clasica del llamado Teorema de Stokes aparecio porprimera vez publicamente como el problema numero 8 del examen para el Premio Smithen Febrero de 1854, prueba de la cual era responsable Sir George Gabriel Stokes en laUniversidad de Cambridge.4 Sin embargo, se sabe que este mismo resultado fue enviado enuna carta de William Thomson (Lord Kelvin) a Stokes en Julio de 1850.

No se sabe si alguno de los alumnos logro resolver el problema propuesto por Stokes,pero lo que s es cierto es que la primera prueba publicada del teorema se debe a HermannHankel, en una monografa de 1861.

A pesar de toda esta enorme confusion con los nombres, vale la pena mencionar que

en las primeras publicaciones (e incluso en algunas de la actualidad) los autores rusos sereferan al Teorema de Gauss como Teorema de Ostrogradsky, y los franceces se referan alTeorema de Green como Teorema de Riemann.

1.2. Hacia la generalizacion

El primero en dar una generalizacion n-dimensional de alguno de estos resultados fueOstrogradsky, quien en una publicacion de 1836 enuncio y probo un teorema muy simi-lar al Teorema de la Divergencia en su version general. Pero si hablamos de un resultadoque contenga a los tres teoremas como casos particulares no podemos dejar de mencionara Vito Volterra, un matematico italiano que en 1889 publico (con demostracion) lo queel llamo una extension del Teorema de Stokes. Sin embargo, esta no llegaba a tener lageneralidad del Teorema de Stokes en Variedades, y la notaci on utilizada era extremada-mente engorrosa para trabajar. Uno de los encargados de mejorarla fue Henri Poincare,quien en 1899 enuncio la misma generalizacion pero en una forma sumamente mas brevey compacta. Curiosamente hasta ese entonces ninguno de ellos hablaba explcitamente deformas diferenciales.

Quien puso en claro las cosas con respecto a las formas diferenciales fue Elie Cartan, enuna publicacion de 1899. All definio las expresiones diferenciales, que luego pasaran aser llamadas formas diferenciales, e incluso el concepto de derivada exterior (aunque noprecisamente con ese nombre, ni con la notacion usual del d). Cartan continuo trabajando

con las expresiones diferenciales, adoptando ya para esos objetos, en un trabajo de 1922,los nombres usuales mencionados anteriormente. En dicho trabajo Cartan expresa ademasa los Teoremas de Stokes (clasico) y de la Divergencia en la forma en que se expresa elTeorema de Stokes en Variedades (es decir, relacionando la integral de la derivada exteriorde una forma sobre un conjunto con la integral de la forma sobre el borde). Pero no fuehasta 1936, en un curso que dicto en Paris5, que enuncio en su forma final el Teorema deStokes en Variedades. Cartan dijo que para cualquier dominio (p+1)-dimensional A, conborde p-dimensional C, se podra demostrar que

C

=

A

d

3Trabajo analogo al del actual doctorado, dirigido nada mas y nada menos que por Gauss, en Gottingen.Se puede encontrar transcripta por D. R. Wilkins en 1998, y la cita original es [6].

4Para el enunciado original propuesto por Stokes ver [10].5El cual fue publicado en 1945, ver [1]


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Ademas, se observo all tambien que los tres teoremas eran casos particulares de esteresultado (Green tomando 1-forma en R2, Stokes tomando 1-forma en R3 y Gausstomando 2-forma en R3). Veremos, en la Seccion 3, como se prueban estas afirmaciones.

2. El Teorema2.1. Producto tensorial y alternado

Para poder definir el conepto de forma diferencial es necesario hacer antes una incursi onalgebraica en el mundo de los tensores. En el resto de esta seccion V denotara un espaciovectorial sobre R de dimension n. Se dice que es un tensor de orden k en V(o k-tensoren V) si : Vk R es una funcion multilineal, es decir que si se fijan cualesquierak 1 coordenadas y se piensa a como una funcion de V en R, entonces resulta es lineal.Claramente, el conjunto de todas las funciones multilineales es un espacio vectorial sobreR con la suma y el producto escalar definidos de manera obvia, el cual denotaremos por

k(V). Sera sumamente util considerar otra clase de producto entre tensores.

Definicion 2.1. Sean k(V) y l, el producto tensorial entre y , :Vl+k R es un k+l-tensor, definido como

(v1,...,vk+l) = (v1,...,vk) (vk+1,...,vk+l)

La definicion de este producto permite expresar de una manera sencilla una base dek(V), y calcular su dimension.

Proposicion 2.2. Sea V un R-espacio vectorial de dimension n, v1, . . . , vn una base y

1, . . . , n la base dual asociada6

. Entonces los k-tensores

i1 ... ik, 1 ih n h = 1,...,k

son una base de k(V), que por lo tanto es de dimension nk.

Demostracion. Sean k(V) y w1,...,wk V con wi =n

j=1 aijvj, entonces se tiene:

(w1,...,wk) =

1j1,...,jkn

a1,j1 ...ak,jk(vj1,...,vjk)

=

1j1,...,jkn(vj1,...,vjk)j1 ... jk(w1,...,wk)

y por lo tanto los tensores mencionados generan k(V). Resta ver que son linealmenteindependientes. Pero si

1i1,...,ikn

ci1 ...ik i1...ik = 0

se tiene 1i1,...,ikn

ci1 ...ik i1...ik(vj1,...,vjk) = cj1 ...jk = 0

y como los j1, ...jk eran arbitrarios, todos los coeficientes son nulos.

Observacion 2.3. De ahora en mas el ndice de la sumatoria sera obviado o notado porel ndice general I, y el rango sera explicitado solo en caso de posible confusion.

6Recordar que V es el espacio de los funcionales lineales de V en R. y que i(vj) = ij


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Observese que (V) = V. Otros dos ejemplos, quizas de los mas importantes, son elproducto interno , y la funcion determinante det : Vn R (V=Rn) 7, tensores de orden2 y n en Rn, respectivamente. Como el determinante cambia de signo si se permutan doscolumnas, surge la idea del siguiente subconjunto importante de k(V):

Definicion 2.4. Sea Sk. Si(v1,...,vk) es una k-upla, se nota(v1,...,vk) = (v(1),...,v(k)).Decimos que k(V) es un tensor alternado de orden k si

((v1,...,vk)) = Sgn() (v1,...,vn)

Naturalmente, los tensores alternados de orden k forman un subespacio vectorial dek(V), el cual notaremos por k(V). Veamos que en verdad hay bastantes tensores alter-nados.

Definicion 2.5. Sea k(V), entonces se define el tensor alternado Alt() mediante

Alt() =

1

k! Sk

Sgn() ( )

Se ve facilmente que Alt deja fijo a los tensores alternados, y manda tensores en alter-nados; es decir que Alt : k(v) k(V) y Alt|k(V) = Idk(V).

Para poder expresar una base de k(V) de manera elegante, se introduce un nuevoproducto, esta vez entre tensores alternados.

Definicion 2.6. Sean k(V), l(V), el producto exterior entre y , k+l(V) esta dado por

=(k + l)!

k! l!

Alt( )8

El producto exterior tiene ciertas propiedades basicas que no se demostraran aqu 9,como la asociatividad, bilinealidad, y su analogo a la conmutatividad: = (1)kl .

Proposicion 2.7. Los k-tensores alternados i1 . . . ik , con 1 i1 < .. . < ik n,10

son una base de k(V), cuya dimension es por lo tantonk

.

Demostracion. Sea k(V), entonces

= Alt() = Alt(I

cIi1 ... ik) =I

cIAlt(i1 ... ik)

Y como Alt(i1 . . . ik) = (1k!

)i1 . . . ik se tiene que el conjunto de tensoresgenera k(V).

La independencia lineal es trivial agrupando los productos exteriores con los mismos fac-tores y diferente orden, y usando la identidad i1 . . . ik(vj1, . . . vjk) = i1,j1 . . . ik,jk(aligualar la expresion de a 0 y aplicarla a vi1, . . . vik se anulan todos exceptuando el i1 . . . ik-esimo).

Observacion 2.8. Siguiendo la lnea de la observacion hecha con anterioridad, mientrasno de lugar a confusion notaremos I = i1 . . . ik para abreviar notaciones.

7pensando en que det(v1,...,vn) es el determinante de la matriz A cuyas columnas son v1, . . . , vn8el factor (k+l)!

k! l!esta para que en Rn valga la igualdad i1 ... ik(ei1 , . . . , eik) = 1 con 1, . . . , n

la base dual de e1, . . . , en9Ver [8] p. 80-81.

10de ahora en mas el ndice I usado en las sumatorias indica esta clase de k-uplas.


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Por la proposicion anterior, se tiene que cada tensor alternado de orden k se escribe deforma unica como

I

cIi1 ... ik =I

cII

Se concluye esta seccion escapando un poco de la abstraccion y notando la estrecha

relacion entre tensores alternados y el determinante. Si wi = nj=1 aij vj, entoncesi1 ... ik(w1, ... , wk) = k! Alt(i1 . . . ik)(w1, . . . , wk)

=Sn

Sgn() a(1)i1 ...a(k) ik

= det

w1

i1 . . . w1ik

.... . .

...wk

i1 . . . w1ik

Es decir, cada k(V) es combinacion lineal de funciones que aplicadas a (w1 ...wk) son

el determinante de un menor de k k de la matrizw1...

wk

, pensando sus coordenadas enla base v1,...,vn

11. Por lo tanto, si vi = ei es la base canonica, entonces 1 ... n = det.Como consecuencia inmediata, si notamos det(w1, ... , wn) = det([a]i,j), se lo siguiente.

Corolario 2.9. Si n(V) entonces = (v1, ... , vn) det

2.2. Formas diferenciales

Las formas diferenciales fueron introducidas por primera vez como actualmente las cono-

cemos por el matematico frances Elie Cartan(1869-1951) alrededor de 1899 12. Dan rigor,y a su vez generalizan de una manera notable, expresiones clasicas del calculo vectorialcomo por ejemplo P dx + Qdy, usadas en integrales de lnea, superficie y volumen. Otrade las propiedades fundamentales de las formas13 es que son invariantes bajo cambio decoordenadas.

Sea p Rn, denotaremos por TpRn = {(p,v) : v Rn} al espacio tangente a Rn en p,

el cual es naturalmente un espacio vectorial sobre R, con las operaciones

vp + wp = (p,v) + (p,w) = (p,v + w)

c (p,v) = (p,cv)

Ciertamente, TpRn es isomorfo a Rn, y cuestiones como producto interno, bases y orienta-ciones se trasladan automaticamente al nuevo espacio. Considerese ahora la base canonica(ep)1, . . . , (ep)n de TpR

n y su base dual (p)1, . . . , (p)n.

Definicion 2.10. Unak-formaenRn es una funcion tal que (p) k(TpRn) p Rn.

se expresa de forma unica como

(p) =I

I(p) (p)i1 . . . (p)ik =I

I(p) (p)I

donde el multindice I recorre todas las k-uplas ordenadas de numeros distintos entre 1 yn.

11Especficamente, del menor formado por las k columnas de los ndices de I12Otros matematicos, as como Grassmann y Poincare influenciaron en el desarrollo de la teora13y tambien asi como del producto externo y de la derivada exterior, lo que va a permitir mas tarde

redefinir todos estos conceptos sobre variedades


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La forma sera diferenciable si cada una de las I lo es. Una 0-forma no es mas que unafuncion de Rn R. Se define la suma, producto exterior y producto por una funcionf , que tambien puede ser visto como producto por una 0-forma, de la siguiente manera:

( + )(p) = (p) + (p)

(w )(p) = (p) (p)(f )(p) = (f )(p) = f(p) (p)

donde las operaciones del lado derecho de las igualdades son operaciones entre tensoresalternados. Una de las formas mas importantes, y la motivadora del concepto, provienedel diferencial de una funcion f : Rn R. Manejando adecuadamente las operaciones, sepuede construir la 1-forma df mediante:

df(p)(vp) = Df(p)(v)

donde Df(p) = f(p), la matrix diferencial de f evaluada en p, es una aplicacion lineal deRn en R. Observese que la 1-forma recien construida en p, aplicada a un vector vp no es

mas que la derivada direccional de f en la direccion v en p14. Y como f es diferenciable setiene que df(p)(vp + wp) = df(p)(vp) + df(p)(wp), como era de esperarse.

Las funciones mas simples son las funciones coordenadas xi : Rn R, xi(p1, . . . , pn) =pi, y es natural que podamos expresar a cualquier k-forma en funcion de ellas. En efecto,observando que

dxi(p)(vp) = Dxi(p)(v) = vi

se ve que dx1(p), . . . , dxn(p) es la base dual de (ep)1, . . . , (ep)n, y por lo tanto toda k-formaen Rn se escribe como:

=

IIdx

i1 . . . dxik =

IIdx

I

para ciertas (y unicas) funciones I : Rn R. Veamos algunos ejemplos:

Si es una 2-forma en R3, entonces (p) = 1(p) dxdy + 2(p) dxdz + 3(p) dy dz.

Si F = (F1, F2, F3) es un campo vectorial de R3 en R3, se define el rotacional de

f como rot F(p) = (F3y

F2z

)(ep)1 (F3x

F1z

)(ep)2 + (F2x

F1y

)(ep)3. Elrotacional de F es una 1-forma que tiene un papel fundamental en la historia delteorema de Stokes.

La siguiente proposicion continua remarcando las fuertes relaciones entre los viejos con-ceptos del calculo vectorial y las k-formas.

Proposicion 2.11. Seaf : Rn R diferenciable, entonces la 1-forma df viene dada por

df =ni=1

f

xidxi

Demostracion. Sea p Rn y vp TpRn, por definicion se tiene:

df(p)(vp) = Df(p)(v) =n

i=1

f

xi(p) vi =

ni=1

f

xi(p) dxi(p)(vp)

como se quera.

14estos juegos de palabras ayudan a comprender que los conceptos en cuestion son coherentes con lateora clasica


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Introduciremos ahora otro de los grandes aportes de Cartan. Del hecho de que f se puedeconsiderar una 0-forma y el operador d convierte 0-formas en 1-formas, se define:

Definicion 2.12. Sea =

IdxI una k-forma, la derivada exterior de es una

(k + 1)-forma dada por

dw =I

dIdxi1 . . . dxik =

I

nj=1

Ixj

dxjdxi1 . . .dxik =I

nj=1

Ixj

dxjdxI

Veamos algunas propiedades basicas de la derivada exterior15.

Proposicion 2.13. Para y k-formas se tiene que

1. d( + ) = d() + d()

2. d( ) = d + (1)k d

3. d2 = 0

Demostracion. Para 1.,

d( + ) = d(I

(I + I)dxI)

=I

nj=1

I + Ixj

dxj dxI

=I

nj=1

Ixj

dxj dxI +I

nj=1

Ixj

dxj dxI

= d() + d()

Por el inciso 1. basta probar 2. para k-formas de la forma = dxI, = dxJ16, y:

d(dxI dxJ) = d((dxI dxJ))

= d() (dxI dxJ)

= d dxI dxJ + d dxI dxJ

= (d dxI) ( dxJ) + (1)k(dxI) (d dxJ)

= d + (1)k d

Y 3. vale pues:

d(d) =I

ni=1

nj=1

2wIxi xj

dxj dxi dxI

=I

ni=1

ji

2wIxi xj

dxj dxi dxI

= 0

donde en la ante ultima igualdad de 2. y en la segunda de 3. se hizo uso de la propiedad anti-

conmutativa del producto exterior, mencionada despues de la definicion del mismo.15Se puede probar que estas propiedades caracterizan unvocamente a la derivada exterior.16pues ( + ) = + por propiedades del producto exterior, y toda k-forma se expresa

como suma de formas del tipo considerado.


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Vale la pena notar la analoga entre el inciso 2. del teorema y la formula clasica para laderivacion del producto de funciones.

El ultimo concepto que hay que definir para poder comenzar a hablar de integracionde formas es el de pullback. Una aplicacion lineal entre espacios vectoriales : V W induce el morfismo entre : k(W) k(V) a traves de ()(v1, . . . , vk) =

w((v1), . . . , (wk)). Por lo tanto si f : Rn Rm es una funcion diferenciable, quedandefinidas las funciones f : TpR

n TpRm, y f que enva k-formas en Rm a k-formas en

Rn, dadas por:

f(vp) = (Df(p)(v))f(p)

(f)(p)((vp)1, . . . , (vp)k) = (f(p))(f((vp)1), . . . , f ((vp)k))

Con algunos abusos de notacion17 llamaremos f tambien a la funcion que enva alternadosen Tf(p)R

m a alternados en TpRn; esto permite ahorrar escritura ya que las todas las opera-

ciones definidas sobre formas se hacen explicitandolas sobre los alternados de su imagen,entonces cualquier propiedad del pullback que valga para alternados, automaticamente vale

sobre formas. Por ejemplo, si y son k-tensores alternados en TpRm y vi TpRn, se tieneque

f( + )(v1, . . . , vk) = ( + )(f(v1), . . . , f (vk))

= (f)(v1, . . . , vk) + (f)(v1, . . . , vk)

por lo tanto se tiene que la misma formula vale si y son k-formas en lugar de alternados.Del mismo modo,

f( )(v1, . . . , v2k) = ( )(f(v1), . . . , f (v2k))

= (f(v1), . . . f (vk)) (f(vk+1), . . . , f (v2k))

= (f

f

)(v1, . . . , v2k)Y como el producto exterior es una combinacion lineal de productos tensoriales(compuestocon permutaciones), se tiene tambien que:

f( ) = f f

para y k-formas18. En palabras: el pullback del producto exterior es el producto exteriorde los pullback.

Veamos como actua f sobre las 1-formas elementales dxi:

Proposicion 2.14. Seaf : Rn Rm una funcion diferenciable, entonces

f(dxi) =n

j=1

fixj

dxj

Demostracion. Sea p Rn, y v TpRn, entonces:

(fdxi)(p)(v) = (dxi)(f(p))(f(v)))

= (dxi)(f(p))

nj=1

f1

dxj(p) vj, ,

nj=1

fn

dxj(p) vj

=n

j=1fi

dxj(p) dxj(p)(v)

17siguiendo la notacion de [8]18haciendo el calculo adecuado esta igualdad vale en realidad para k-forma y l-forma.


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Y vuelven a entrar en juego los determinantes.

Proposicion 2.15. Sean: f : Rn Rm, h : Rm R, p Rn y w1, . . . , wk Rn.

Entonces, el pullback de la k-forma en Rm h dxi1 . . . dxik por f viene dado por lak-forma enRn

f(h dxi1 . . . dxik)(p)(w1, . . . , wk) = (h f)J

(fi1, . . . , f ik)(dxj1, . . . , dxjk) dxJdonde el multindice J recorre ndices de 1 a n. En particular, si m k = n, se tiene que

f(h dxi1 . . . dxik) = (h f)

(fi1, . . . , f ik)(x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn.

Demostracion. Como se menciono antes, todos los resultados sobre tensores alternados setrasladan sin mayor dificultad a formas. Esta proposicion deja en claro el hecho pues no esmas que un parafraseo del ultimo parrafo de la seccion 2.1. En efecto:

f(h dxI)(p)(w1, . . . , wk) = h(f(p)) (dxI)(f(p))(f(w1), . . . , f (wk))

= h(f(p)) det

f(wi1)...

f(wik)

= h(f(p))J

(fi1, . . . , f ik)(dxj1, . . . , dxjk) dxJ,

pues

f(wi1)...

f(wik)

=

fi1

x1 f

i1

xn...

. . ....

fikx1

fikxn

w1i1 w1ik

.... . .

...

wni1 wnik

y se aplica la formula de

Cauchy-Binet para el determinante del producto de matrices no cuadradas.

Para concluir esta seccion se estudia el comportamiento del pullback con respecto aloperador d.

Proposicion 2.16. Seaf : Rn Rm y k(Rm), entonces:

f(d) = d(f)

Demostracion. Si es una 0-forma el resultado es claro. Entonces, por induccion, si laformula vale para toda forma de grado menor o igual a k, sea = dxi una (k+1)-forma,

entonces:

f(d) = f(d( dxi))

= f(d dxi + (1)k d(dxi)) derivada del producto

= f(d dxi) pues d2 = 0

= f(d) f(dxi)

= d(f) f(dxi) por hipotesis inductiva

= d(f) f(dxi) + (1)kf d(f(dxi)) nuevamente pues d2 = 0

= d(f f(dxi))derivada del producto

= d(f ( dxi

))= d(f)

Como toda (k+1)-forma es suma de formas de ese tipo, el resultado queda probado.


13/30


2.3. Integracion sobre cadenas

Se define un n-cubo singular en A como una funcion diferenciable c : [0, 1]k A. Porel momento se pensara a A como un subconjunto de Rn.19 Un 0-cubo singular se defineponiendo [0, 1]0 = {0}. Deberamos pensar a estos ob jetos como una generalizacion de la

teora de ciclos, utilizada por ejemplo en el analisis complejo. Este sera el caso k = 1.El cubo mas simple es la inclusion Ik : [0, 1]k Rk. Si es una k-forma elemental en[0, 1]k, = f dx1 . . . dxk, se define la integral de sobre [0, 1]k como

[0,1]k =

[0,1]k

f

Es decir; [0,1]k

f dx1 . . . dxk =

[0,1]k

f(x1, . . . , xk)dx1 . . . dxk.

Por linealidad se define entonces la integral sobre cualquier k-forma sobre [0, 1]k. Y se define

la integral de la k-forma sobre el k-cubo singular c como:c

=

[0,1]k

c

Observese que como (Ik)dxi = dxi se tiene, como era de esperarse, queIk

=

[0,1]k

(Ik) =

[0,1]k

Como caso particular, se define la integral de sobre un 0-cubo evaluando en c(0), es

decir: c

= w(c(0))

Es posible crear una aritmetica sobre los cubos singulares, que permite ampliar las zonasde integracion y facilitar su manipulacion(como por ejemplo en la definicion del borde deuna k-cadena). Una k-cadena es una suma formal de k-cubos singulares, multiplicadospor coeficientes enteros20. Entonces si c =

ai ci es una cadena, la integral sobre c se

define como: c

=

ai

ci

Cada k-cubo c determina una (k 1)-cadena c, llamada el borde de c. Intuitivamente,el borde de c es la suma de la composicion de el con los bordes de [0, 1]k con cierta ori-entacion, es decir, con un coeficiente 1. Como c : [0, 1]k A y el borde de c tiene quecumplir c : [0, 1]k1 A es logico componerlo con la funcion que parametriza Ik1 en Ik,es decir, si

Ik(i,)(x1, . . . , xk1) = (x1, . . . , xi1, , xi, . . . , xk1), = 0 o 1,

la (i, ) cara de c se define comoc(i,) = c I

k(i,)

19

Como solamente se pide que la funcion sea diferenciable, el concepto se va a poder trasladar natural-mente a una variedad suave.20Los dominios sobre los que se esta ingegrando son funciones, intuitivamente si c es un k-cubo en Rn,

puede pensarse a c como una superficie k-dimensional, y que, de hecho, se integra sobre esa superficie.Desde este enfoque, la suma de los cubos sera como la union de las superficies(contadas con repeticion).


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Se define ahora c como:

c =k

i=1

1=0

(1)i+c(i,)

y por ultimo, el borde de una cadena es la suma de los bordes de los k-cubos singulares que

la componen. Por ejemplo, si c es un 1-cubo, el borde de c es c(1) c(0) (la suma indicasuma de 0-cubos).Se puede ver, haciendo calculos con las definiciones 21, que (c) = 0. El curioso hecho

de que 2 = 0 y d2 = 0, ademas de la similitud en la terminologa utilizada clasicamente,se estudiara en la seccion 3.

2.4. El Teorema de Stokes en cadenas

Estamos en condiciones de enunciar y probar el teorema de Stokes en su primera formageneral: integrando sobre cadenas.

Teorema 2.17. (Teorema de Stokes) Sea una (k-1)-forma en A y c una k-cadena enA, entonces: c

d =

c

Demostracion. Supongamos primero que

= f dx1 . . . dxi . . . dxk = f dxIi 22es una (k 1)-forma en [0, 1]k (esto no pierde generalidad, pues toda (k 1)-forma escombinacion lineal entera de formas de este tipo, y ademas la derivada exterior d es lin-eal). Y tomemos en principio c = Ik. Enunciaremos el siguiente resultado como un Lemaindependiente dentro de la prueba del Teorema, puesto que representa el paso crucial de laintegral (k 1)-dimensional a la integral k-dimensional.

Lema 2.18.[0,1]k1

(Ik(j,)) (f dxIi) =

0, si j = i;[0,1]k

f(x1, . . . , , . . . , xk) dx1 . . . dxk, si j = i.

Demostracion. Por la proposicion 2.15, si g = Ik(j,) se tiene que[0,1]k1

g (f dxIi) =

[0,1]k1

(f g)

(g1, . . . , gi1, gi+1, . . . , gk)

(dx1, . . . , dxk1)

dx1 . . . dxk1 = ()

Si j = i, gj

es una de las funciones del jacobiano, y como es constante el mismo tiene unafila nula y su determinante es por lo tanto nulo. Si j = i el jacobiano es la identidad y, pordefinicion de la integral,

() =

[0,1]k1

(f g)(x1, . . . , xk1) dx1 . . . dxk1

=

[0,1]k1

f(x1, . . . , xi1, , xi, . . . , xk1) dx1 . . . dxk1

=

[0,1]k1

f(x1, . . . , xi1, , xi+1, . . . , xk) dx1 . . . dxi . . . d xk=

[0,1]kf(x1, . . . , xi1, , xi+1, . . . , xk) dx1 . . . dxk, por el TFC en la variable xi.

21Ver [9], p 251.22el sombrero indica que el termino i-esimo se omite


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Utilizando entonces este Lema, tenemos queIk

=k

j=11

=0(1)i+

[0,1]k1

(Ik(j,))(f dxIi)

=1

=0

(1)i+[0,1]k

f(x1, . . . , . . . , xk)dx1 . . . dxk

Por otro lado, se tieneIk

d =

[0,1]k

f

xidxi dxIi

= (1)i1[0,1]k

f

xidx1 . . . dxk

= (1)i1 Ik

f

xi

= (1)i110

10

f

xi(x1, . . . , xk)dxi

dx1 dxi dxk

=1

=0

(1)i[0,1]k

f(x1, . . . , , . . . , xk)dx1 dxk

=1

=0

(1)i+[0,1]k

f(x1, . . . , , . . . , xk)dx1 dxk

= Ik donde en la cuarta igualdad se hizo uso reiterado del teorema fundamental del c alculo parauna variable, y el teorema de Fubbini para ordenar adecuadamente los diferenciales. Y enla quinta igualdad simplemente se evaluo la integral que esta entre parentesis.

Para el caso en que c sea un k-cubo singular arbitrario, basandonos en lo recien probadose observa que

c

=k

i=1

1=0

(1)i+[0,1]k1

(c Ik(i,))

=k

i=1

1=0

(1)i+ [0,1]k1

(Ik(i,))(c)

=k

i=1

1=0

(1)i+Ik(i,)

c

=

Ik

c

Y por lo tanto c

d =

Ik

c(d) =

Ik

d(c ) =

Ik

c =

c

Finalmente, para c = i aici una cadena cualquiera tenemos quec

d =i

ai

ci

d =i

ai

ci

=

c


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2.5. Variedades

Comencemos ahora a desarollar el contexto en el cual el Teorema de Stokes en su versi on

mas general puede enunciarse. En primer lugar, veamos que son finalmente las variedades.

Definicion 2.19. 1. Un subconjunto M Rn es una variedad diferenciable de dimen-sion k si para todo x M existe un abierto U enRn que contiene a x, un abierto W Rk

y una funcion biyectiva y diferenciable (de ahora en mas, esto significara C) f : W Rn

tal que

(i) f(W) = M U,

(ii) Df(y) tiene rango k para cada y W,

(iii) f1 : f(W) W es continua.

Para cada punto x M tal funcion f es llamada un sistema de coordenadas cercanoa x. Localmente, se podra pensar a la variedad como pensamos al espacio eucldeo, de ladimension que corresponda. Pensar por ejemplo en las superficies suaves de R3: alguienque vive en una superficie (como los seres humanos, que vivimos en una casi-esfera),pensara que vive en realidad en R2.

Tambien se podra haber definido el concepto de variedad de la siguiente forma 23.

Definicion 2.20. 2. Un subconjunto M Rn es una variedad diferenciable de dimen-sion k si para todo x M existen un abierto U Rn que contiene a x, un abierto V Rn,

y un difeomorfismo h : U V (i.e. h es C

, con inversa C

) tales queh(U M) = V (Rk {0}) = {y V : yk+1 = . . . = yn = 0}.

Llamaremos a la condicion que cumple cada punto condicion local de variedadk-dimensional

Presentamos esta definicion tambien pues suele ser mas facil de extender hacia el con-cepto de variedades con borde.

Ambas definiciones pueden ser probadas equivalente sin mayor dificultad. Deberamosremarcar sin embargo varias cosas en este momento:

En primer lugar, el lector que ya conociera la definicion del concepto de variedad habra

esperado tal vez que se hable de topologa, cartas, atlas, etc. Al respceto podemos decir quese podra pensar a la condicion de la definicion 1. como la existencia de un cubrimiento deM por cartas con base en Rk. Los cambios de coordenadas (i.e., las funciones de transicionque se presentan en las intersecciones de dos cartas) son claramente suaves; para verlo sepuede utilizar tambien la definicion 2. (que vale pues son equivalentes), en la cual estoes mucho mas evidente. Y logicamente la topologa que adquiere nuestra variedad sera laheredada por ser subconjunto de Rn.

Por otro lado, y a pesar de que no hay incongruencias con la definicion mediante car-tas, las definiciones aqu presentadas suponen que M es un subconjunto de algun espacioeucldeo. Gracias al Teorema del embedding de Whitney, esto no es una perdida de gener-alidad, puesto que toda variedad abstractamente definida puede sumergirse en un Rm.

Llamemos semi-espacio Hk en Rk al subconjunto {x Rk : xk 0}.

23siguiendo [8]


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Definicion 2.21. Un subconjunto M Rn es una variedad diferenciable con bordede dimension k si para todo x M se satisface o bien la condicion local de variedad k-dimensional, o bien lo siguiente: Existe un abierto U que contiene a x, un abierto V Rn,y un difeomorfismo h : U V tales que

h(U M) = V (Hk

{0}) = {y V : yk 0 y yk+1 = . . . = yn = 0}

y ademas (h(x))k = 0. Llamaremos a esta condicion condicion de borde de variedad k-dimensional.

Logicamente, llamaremos borde de la variedad M (notado M) a la variedad de dimen-sion k 1 que consta de los puntos de M que satisfacen la condicion de borde de variedadk-dimensional. Es importante notar que un punto de una variedad con borde no puedesatisfacer las dos condiciones de la definicion simultaneamente. En efecto, si esto ocurrierapara algun x entonces existiran difeomorfismos h1, h2 que satisfacen las condiciones localy de borde de variedad diferenciable, respectivamente. Entonces, h2 h

11 sera un difeo-

morfismo que lleva un abierto de Rk

en un subconjunto de Hk

que no es abierto en Rk

, locual es absurdo pues toda aplicacion diferenciable con jacobiano de determinante no nuloes abierta.

2.6. Formas diferenciales y orientacion en variedades

En esta seccion generalizaremos los conceptos de espacio tangente, formas diferencialesy orientacion, al contexto de variedades.

Definicion 2.22. Sea M una variedad de dimension k enRn. Consideremos un sistemade coordenadas f : W Rn alrededor de cierto x M fijo, x = f(a). Se define el espacio

tangente a M en x comoTxM = f(TaR

k)

que es un subespacio vectorial de dimensionk de TxRn (ya que Dfa tiene rango k, entonces

f es biyectiva).

Observamos que esta definicion no depende del sistema de coordenadas elegido, pues sitomamos otro, g : V Rn, con g(b) = x, entonces

g(TbRk) = f(f

1 g)(TbRk) = f(TaR

k).

Usualmente trabajaremos en TxM con el producto interno heredado de TxRn, al cual de-

notaremos mediantev, w TxM v, wx

Definicion 2.23. Un campo vectorial en M es una aplicacion X tal que a cada puntox M le asocia un vector X(x) TxM.

Es claro que, dado un campo vectorial F y fijado x M y un sistema de coordenadasf : W Rn, existe un unico campo vectorial G en W tal que f(G(a)) = F(f(a)) para todoa W. Diremos que un campo vectorial X es diferenciable (o suave, o C) si, para cadax M, el campo correspondiente G es diferenciable (como funcion entre espacios eucldeos).Se puede probar facilmente que esta definicion no depende del sistema de coordenadas f

elegido.

Definicion 2.24. Una p-forma diferencial en M es una aplicacion tal que a cadapunto x M le asocia un tensor alternado (x) p(TxM).


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Es claro que si tomamos un sistema de coordenadas f : W Rn alrededor de x, elpullback f es una p-forma en W. Luego diremos que es diferenciable (y solo consid-eraremos de ahora en mas este tipo de formas diferenciales) si f lo es, en el sentidodefinido anteriormente. Nuevamente es facil ver que esta definicion no depende del sistemade coordenadas.

Podemos escribir en coordenadas locales a una p-forma en M como

=

i1


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Como ejemplo tpico de variedades no orientables se encuentran la cinta de Moebius(variedad de dimension 2 en R3), y la botella de Klein. Lo sorprendente de esta ultima esque es cerrada, sin embargo al no ser orientable no podemos decir cu al es su interior y suexterior.

Debemos definir ahora la orientacion para el borde de una variedad. Sea M una variedad

de dimension k con borde, y sea x M. Es claro que Tx(M) es un subespacio de TxM,de dimension k 1. Luego existe una unica direccion en TxM perpendicular a Tx(M).Si consideramos un sistema de coordenadas f : W Rn, con W Hk, entonces existeun vector v0 W con vk < 0 tal que f(v0) es ortogonal a Tx(M). Este vector f(v0)sera llamado vector normal exterior a M en x; lo notaremos n(x). Este nos permitedefinir la orientacion inducida en M, diciendo que una base v1, . . . , vk1 de Tx(M)tiene orientacion ()x si [n(x), v1, . . . , vk1] = x, como base de TxM.

Por ejemplo, para la variedad con borde Hk considerada con la orientacion usual deRk, tenemos que el borde Hk Rk1 = {x Hk : xk = 0} tendra la orientacioncorrespondiente a (1)k por la orientacion usual de Rk1.

2.7. El Teorema de Stokes en variedades

Tenemos que definir ahora que significa integrar una k-forma diferencial sobre una var-iedad de dimension k. Para eso, definimos como era de esperarse la integral sobre p-cadenas.Si es una p-forma en M, y c es un p-cubo singular en M se define

c

=

[0,1]p

c

y la integral sobre p-cadenas queda definida por linealidad. Si p = k, que es el caso que

nos interesa, consideraremos k-cubos en M con la condicion de que exista un sistema decoordenadas f : W Rn, con [0, 1]k W, tal que c = f en [0, 1]k. Si M es orientable,diremos que el k-cubo c preserva la orientacion si f lo hace. Antes de continuar con ladefinicion de integracion necesitaremos el siguiente resultado tecnico.

Proposicion 2.26. Si c1, c2 : [0, 1]k M son dos k-cubos singulares que preservan la

orientacion, en una variedad orientable M de dimensionk, y es unak-forma diferenciableen M tal que es nula afuera de c1([0, 1]

k) c2([0, 1]k), entonces

c1

=

c2

Demostracion. Por un lado,c1

=

[0,1]k

c1() =

[0,1]k

(c12 c1)c2()

y por otro, c2

=

[0,1]k

c2()

entonces bastara ver que esas dos ultimas expresiones son iguales. Llamemos g = c12 c1

y supongamos que c

2() = f dx

1

. . . dx

k

. Entonces, por la Proposicion 2.15,(c12 c1)

c2() = g(f dx1 . . . dxk)

= (f g) det(Dg) dx1 . . . dxk


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Luego como det(Dg) > 0 (pues c1 y c2 preservan la orientacion) podemos usar la formulade cambio de variables, que dice que integrar (f g)| det(Dg)| sobre A es lo mismo queintegrar f sobre g(A), se llega rapidamente a que

[0,1]k(c12 c1)

c2() = [0,1]k c2()

Ahora dada una k-forma en una variedad M de dimension k, supongamos que existe unk-cubo singular c en M que preserva la orientacion y tal que el soporte de esta contenidoen c([0, 1]k). Entonces, definimos

M

=

c

que por la proposicion anterior esta bien definido.Para dar la definicion mas general de integral de una k-forma sobre M es fundamental

utilizar el siguiente resultado sobre la topologa de las variedades25.

Teorema 2.27. (Particiones de la Unidad) Sea A Rn, sea O un cubrimiento porabiertos de A. Entonces, existe una familia de funciones C definidas enA, de modoque

(i) Para cada x A, 0 (x) 1.

(ii) Para cada x A existe un entorno V tal que al l todas las son nulas, salvo finitas.

(iii)

(x) = 1 para cada x A

(iv) Para cada existe un abierto U O tal que el soporte de esta contenido enU.

Ahora bien, dada una k-forma de soporte compacto en M, tomemos un cubrimientoO de M por abiertos tales que para cada U exista un k-cubo singular c que preservela orientacion tal que U c([0, 1]k). Sea una particion de la unidad asociada a estecubrimiento. Entonces, definimos la integral de sobre M como

M

=

M

Se puede ver que esta definicion no depende del cubrimiento O elegido.Y ahora, como todas las definiciones que hemos mencionado pueden hacerse tambien en

el contexto de variedades con borde y orientables, llegamos finalmente a poder enunciar yprobar el resultado central de este trabajo.

Teorema 2.28. (Teorema de Stokes en variedades) Si M es una variedad de di-mension k con borde y orientable, y w es una (k 1)-forma con soporte compacto en Mentonces

M

d =

M

donde en M se considera la orientacion inducida por la de M.25Para una demostracion ver, por ejemplo, [9]


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Demostracion. Caso 1: Existe un k-cubo singular c en MM que preserva la orientacion,y tal que = 0 fuera de c([0, 1]k).

En este caso, usando la definicion de integral y de d se obtiene

c d = [0,1]k c(d) = [0,1]k d(c

) = ()

pero por el Teorema de Stokes para cadenas 2.17

() =

Ik

c =

c

Luego, usando esto, y que d tambien tiene soporte contenido en c([0, 1]k) (ya qued0 = 0),

M

d =

c

d =

c

= 0

y la ultima igualdad se debe a que por hipotesis w = 0 en c. Pero por otro lado, como es cero en M (pues es cero fuera de c([0, 1]k) y esto ultimo esta contenido en M M),se tiene que

M

= 0, o sea que queda probado el Caso 1.

Caso 2. Existe un k-cubo singular c en M que preserva la orientacion, con c(k,0) la unicacara del borde de c que esta en M, y tal que = 0 afuera de c([0, 1]k).

Haciendo la misma cuenta que se hizo en el caso anterior,M

d =

c

d =

c

.

Esta ultima integral coincide con (1)kc(k,0) pues el resto de las caras del borde de c estanen M M, luego all = 0 (y (1)k es el coeficiente con el que aparece c(k,0) en c). Delo mencionado luego de la definicion de orientacion inducida se deduce que

c(k,0)

= (1)kM

luego M

d =

(1)kc(k,0)

= (1)kc(k,0)

= (1)2kM

y queda probado tambien el Caso 2.Caso general.Tomemos un cubrimiento por abiertos O de M tal que cada U O este contenido en

c([0, 1]k), donde c es un k-cubo de los considerados en el Caso 1 o de los considerados en elCaso 2. Asociada a O existe una particion de la unidad para M, y por esta construccion seve entonces que para cada la forma es de alguno de los dos tipos ya considerados.Por definicion de particion de la unidad y por la linealidad de d tenemos que

0 = d(1) = d

=

d

con lo cual

d = 0.


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Como es de soporte compacto, y usando la definicion de particion de la unidad, la sumade arriba tiene solo finitos terminos no nulos, luego podemos integrar e intercambiar estesigno con el de sumatoria:

M

d = 0.

Utilizando esto, junto la regla para la derivada exterior de un producto exterior de formas(recordar que es una 0-forma), y que el resultado vale para las formas , se obtiene

M

d =

M

d

=

M

d

=

M

d + d =

M

d( )

=

M

d() =

M

=M

.

como queramos demostrar26.

3. Aplicaciones

Discutiremos en esta seccion algunas de las tantas implicaciones que trae la forma generaldel Teorema de Stokes. Por un lado, veremos como en efecto este es una generalizacion de los

clasicos teoremas del Calculo Vectorial. En segundo lugar enunciaremos (sin demostracionrigurosa), junto con alguna introduccion a las variedades complejas, una generalizacion delTeorema de Cauchy (la formula de Cauchy para funciones analticas) para Cn. Por ultimo,mencionaremos brevemente como el Teorema de Stokes permite definir un morfismo entrela Cohomologa de de Rham y el dual de la Homologa de Cadenas (o singular).

Se podran haber incluido en esta seccion diversas aplicaciones de los teoremas clasicosdel calculo vectorial a problemas de la Fsica y de ecuaciones diferenciales. Estas son porejemplo: la Ley de Ampere para campos magneticos de circuitos 27; la ecuacion de conser-vacion (de masa o de carga, dependiendo del contexto); la ecuacion de Euler para un fluidoperfecto; la Ley de Gauss; las ecuaciones de Maxwell 28; los incontables usos de estos resul-tados (junto con el Teorema de la Divergencia en su version n-dimensional y las famosasidentidades de Green) en el desarrollo teorico de las ecuaciones diferenciales parciales, entreotros. Sin embargo, dado que no son aplicaciones directas del Teorema de Stokes en Var-iedades (sino de sus clasicos corolarios), optaremos por no extendernos en esta direccion yharemos unicamente esta mencion al respecto.

3.1. Los teoremas clasicos

En primer lugar, veamos como el famoso Teorema Fundamental del Calculo Integral (enRn) puede verse como un simple caso particular del Teorema de Stokes.

26

Vale la pena mencionar aqu que en [3] se prueba una version aun mas general de este teorema,considerando posibles singularidades.27Ver por ejemplo [7] p.98, en donde se desarrolla este caso de aplicaci on en una seccion especialmente

dedicada28Ver [4] para estas aplicaciones, 8,5.


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Teorema 3.1. (Teorema Fundamental del Calculo Integral) Si F es un campovectorial conservativo en Rn, i.e. F = g para cierta funcion g, y M es una variedadcompacta orientable de dimension 1 (una curva) enRn que une los puntos a y b, entonces

M F dx= g(b) g(a)donde dx= (dx1, . . . , d xn).

Demostracion. Por un lado, vemos que M consta simplemente de los puntos a y b. Comosuponemos que la orientacion dada es desde a hacia b, tenemos que

M

g = g(b) g(a)

Pero por otro lado,

F dx = F1 dx1 + . . . + Fn dxn

=g

x1dx1 + . . . +

g

xndxn

= dg

con lo cual M

F dx =

M

dg

y luego nuestro resultado se deduce del Teorema de Stokes para la 0-forma g.

Seguiremos ahora lo hecho en [8] para ver como se traduce el Teorema 2.28 en los bienconocidos Teoremas de Green, Gauss y Stokes (version clasica).

Teorema 3.2. (Green) Sea M R2 una variedad compacta de dimension 2, con borde.Supongamos que le damos a M la orientacion inducida por M (es decir, la orientacionde la mano izquierda hacia adentro). Si , : M R son diferenciables, entonces

M

dx + dy =

M

x

y

dxdy.

Demostracion. Utilizando las formulas para la derivada exterior se obtiene que

d( dx + dy) = x

dx dx + y

dy dx + x

dx dy + y

dy dy

=

x

y

dx dy

y luego el Teorema se deduce de 2.28 aplicado a la 1-forma = dx + dy.

Antes de seguir, definamos el elemento de volumen en una variedad orientable k-dimensional M Rn. Dado x M, tenemos (por definicion de orientable) una orientacionx en TxM. Ademas all podemos definir un producto interno (inducido por el productointerno canonico definido en Tx(R

n)). Esto determina entonces un unico k-tensor alternado(x) k(TxM) que vale 1 en las bases ortonormales de TxM orientadas. Queda definidaas una k-forma en M, la cual sera llamada elemento de volumen de M asociado a laorientacion , y notado generalmente por dV (aunque no es siempre el diferencial de una


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(k 1)-forma29. Un caso interesante es cuando n = 3, k = 2, es decir, superficies orientablesen R3. En este contexto es facil verificar que la 2-forma definida mediante

(x)(v, w) = det

vw

n(x)

,

es efectivamente el elemento de volumen correspondiente a la orientacion para la cual n(x)es el vector normal exterior unitario en cada x M. Por analoga con la notacion clasica,llamaremos dA a este elemento de volumen. Veamos una formula para dA que nos sera utila la hora de hacer cuentas.

Proposicion 3.3. Sea M una superficie orientable enR3, y n el campo vectorial normalexterior unitario correspondiente. Entonces,

dA = n1dy dz + n2dz dx + n3dx dy

Y ademas,

n1dA = dy dz

n2dA = dz dx

n3dA = dx dy

Demostracion. Veamos primero las tres ultimas identidades. Vemos que podemos escribiral elemento de volumen como dA(x)(v, w) = v w, n(x). Pero ademas v w es paraleloal normal, luego existe tal que v w = n(x). Entonces,

e1, n(x) dA(x)(v, w) = e1, n(x)v w, n(x) = e1, n(x)n(x), n(x) =

= e1, n(x) = e1, v w =

= dy dz (v, w)

Con lo cual n1dA = dy dz, y las otras dos identidades se ven de la misma manera. (usandoe2 y e3 en lugar de e1). Finalmente, para ver la primera formula utilizamos estas tres y elhecho de que n es unitario en cada x M.

Estamos en condiciones ahora de probar el Teorema de la Divergencia, tambien conocidocomo Teorema de Gauss.

Teorema 3.4. (Teorema de la Divergencia) SeaM R3 una variedad compacta conborde de dimension 3, yn el normal unitario exterior aM. SeaF = (F1, F2, F3) un campovectorial diferenciable en M. Entonces,

M

div F dV =

M

F, n dA.

Demostracion. Definamos la 2-forma en M mediante = F1 dy dz +F2 dz dx+F3dxdy. Entonces,

d =F1x

dx dy dz +F2y

dx dy dz +F3z

dx dy dz = divF dV.

29La suposicion M Rn no es fundamental, pero ha sido utilizada para definir el producto interno en losespacios tangentes a M. Podra hacerse la teora directamente en una variedad de Riemann (orientable),que es justamente una variedad en la cual se definen productos internos en cada TxM de manera suave.Ver por ejemplo [3]


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Gracias a la Proposicion anterior (utilizada en M) tenemos que

n1dA = dy dz

n2dA = dz dx

n3dA = dx dy

Luego en M se tiene

F, ndA = F1n1dA + F2n

2dA + F3n3dA

= F1dy dz + F2dz dx + F3dx dy

=

Luego aplicamos directamente el Teorema de Stokes 2.28 para la 2-forma yM

divF dV =

M

d =

M

=

M

F, ndA.

Haciendo exactamente el mismo trabajo presentado aqu se prueba la version mas generaldel Teorema de la Divergencia, la cual se enuncia de manera analoga, pero para variedadesn-dimensionales en Rn, n > 3.

Notemos por ds al elemento de volumen correspondiente a una variedad L de dimension1 contenida en R3, y sea X un campo vectorial en L de modo que ds(X) = 1 (es decir,ds(a)

X(a)

= 1 para todo a L). Entonces, dado a L,

X1ds

(a)

X(a)

= X1(a) = dx(a)

X(a)

es decir,X1ds(X) = dx(X)

Y como el espacio tangente TaL es de dimension 1, el vector X(a) resulta una base parael mismo, con lo cual la igualdad anterior se puede ver como una igualdad de 1-formasdiferenciales en L:

X1ds = dx

Analogamente, vale lo mismo para las otras 2 coordenadas:

X2ds = dy

X3ds = dz

En particular, si F = (F1, F2, F3) es un campo vectorial en L,

F, Xds = F1X1 ds + F2X2 ds + F3X3 ds = F1 dx + F2 dy + F3 dz

Partiendo de esta observacion, veamos la forma clasica del Teorema de Kelvin-Stokes.

Teorema 3.5. (Teorema de Kelvin-Stokes) Sea M R3 una variedad compacta ori-entable de dimension 2 con borde, y n el vector normal unitario exterior a M determinadopor la orientacion. Si damos a M la orientacion inducida por M, y consideramos elcampo vectorial X en M que satisface ds(X) = 1, entonces para todo campo vectorialdiferenciable F definido en un abierto que contenga a M se tiene que

M

( F) , n dA =

M

F, X ds.


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O equivalentemente, utilizando la observacion previa,M

( F) , ndA =

M

F1dx + F2dy + F3dz

que es la forma mas habitual para este resultado.

Demostracion. Sea la 1-forma = F1 dx + F2 dy + F3 dz definida en M. Por un lado, yahemos visto que

F, X ds = .

Por otro lado, al ser que

F =

F3y

F2z

,F1z

F3x

,F2x

F1y

,

entonces utilizando las tres identidades para dA que hemos usado en el Teorema anteriorse obtiene

( F), n dA = F3y

F2z dy dz

+

F1z

F3x

dz dx

+

F2x

F1y

dx dy

y esta ultima expresion es igual a d (esto se verifica haciendo simples cuentas con laderivada exterior y los productos alternados).

Por lo tanto, aplicando el Teorema 2.28 para la 1-forma se obtiene

M

( F), n dA = M

d = M

= M

F, X ds.

como queramos demostrar.

3.2. Teorema de Cauchy

Basandonos en lo hecho en [3], sabemos que es posible definir la nocion de VariedadCompleja Analtica, de manera analoga a la definicion estandard: consideramos abiertosen Cn, y mapas, de modo que los cambios de coordenadas sean analticos. Como todaaplicacion analtica es C, obtenemos as una variedad diferenciable como las de antes.

La diferencia es que este nuevo tipo de variedades, las variedades complejas, tienenestructura mas rica.

Si identificamos a Cn con R2n, y tomamos z1, . . . , zn coordenadas complejas de Cn,

entonces(z1, . . . , zn, z1, . . . , zn)

pueden ser usadas como coordenadas locales para la variedad pensada con cartas en R2n.Si zk = xk + iyk, se tiene que

dzk = dxk + idyk y dzk = dxk idyk

Luego dzk dzk = 2i dyx dxk con lo cual las formas diferenciales pueden expresarse en

terminos de los productos dzk dzk. En efecto, podemos escribir a toda forma diferencial como

(z) =(i,j)

(i,j)(z)dzi1 . . . dzir dzj1 . . . dzjs


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En ese caso, decimos que la forma es del tipo ( r, s) (se puede ver que el tipo no depende delas coordenadas locales elegidas). Diremos que una forma es analtica si s = 0 (tambiense ve que esto no depende del sistema de coordenadas).

Estudiando un poco la derivada exterior de formas diferenciales d, se ve que si esuna forma de tipo (r, s) entonces d se puede escribir como suma de dos formas, de tipos

(r + 1, s) y (r, s + 1) respectivamente. Se puede descomponer entonces d = + , donde es del tipo (r + 1, s) y del tipo (r, s + 1). Es trivial verificar que los operadores y p tienen propiedades analogas a las de d, y ademas una forma es analtica si y solo si = 0.

Veamos la siguiente aplicacion del Teorema de Stokes, obtenida por Martinelli.

Teorema 3.6. (Formula de Cauchy en Cn) Sea BR la bola de centro y radio RenCn, y llamemos SR a la esfera que representa su borde. Sea f analtica en BR (en unabierto que la contenga), y consideremos las formas

k(z) = dz1 . . . dzn dz1 . . . dzk . . . dzny

(z) =n

k=1

(1)k zkk(z).

Entonces,

f() = (n)(n 1)!

(2i)n

SR

f(z)

|z |2n(z )

donde (n) = (1)n(n+1)/2.

Demostracion. (idea) Supongamos sin perdida de generalidad que = 0. En primer lugar,se observa que

(z) = (1)n+1 n dz dz

donde dz = dz1 . . . dzn y lo mismo para dz. Luego, se define

(z) =f(z)

|z|2n(z),

y entonces d = 0. Luego, aplicando el Teorema de Stokes al espacio entre las dos esferasSR y Sr (0 < r < R) se obtiene

SR Sr = 0Luego

SR

=1

r2n

Sr

f(z)(z).

Con lo cual, como = 0, usamos nuevamente el Teorema de Stokes y obtenemos que estaultima expresion es igual a

1

r2n

Br

f.


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Cuando r 0, f(z) se parecera mucho a f(0), luego se puede probar que nuestra expresionse vera como

SR

= f(0)1

r2n

Br

(1)n+1 n dz dz

= f(0) 1r2n in 2n n(1)n(n+1)/2

Brdx1 . . . dxn dy1 . . . dyn

= f(0)1

r2nn(2i)n (1)n(n+1)/2V(Br)

= f(0)(1)n(n+1)/2(2i)n

(n 1)!.

con lo cual quedara probado el Teorema (arriba, V(Br) denota el volumen de la bola deradio R en R2n).

3.3. Cohomologa de de Rham y homologa singularSea M una variedad orientable fija, de dimension n. Recordemos que una forma se

denomina cerrada si d = 0 y exacta si = d para cierta forma . Si tuvieramos unan-forma exacta = d, con con soporte compacto en M entonces

M

w =

M

d =

M

= 0

Entonces, si la integral de una forma es distinta de cero, esta forma no puede ser exacta.Consideremos entonces la siguiente pregunta acerca de formas diferenciales en M: cuantasn-formas diferenciales no exactas pueden definirse en M? En primer lugar, observemos que

es exacta si y solo si + d lo es (pues d2 = 0). Luego deberamos considerar el espaciocociente de las formas diferenciales en M con las exactas. Como toda n-forma diferencial escerrada (pues al ser M de dimension n las n + 1-formas son nulas), sera entonces naturalconsiderar el espacio vectorial cociente

HndR(M) = Zn(M)/Bn(M)

donde Zn(M) es el conjunto de las n-formas diferenciales cerradas en M, y Bn(M) elconjunto de las exactas. A partir de esta motivacion definamos el k-esimo grupo decohomologa de de Rham mediante

H

k

dR(M) = Z

k

(M)/B

k

(M)Se puede ver tambien a los grupos de cohomologa de de Rham a partir del complejo

de de Rham:0 0(M)

d 1(M)

d 2(M)

d 3(M) . . .

donde d es la derivada exterior de formas diferenciales. Si uno se preguntara cuan lejos estael complejo de ser exacto en cada posicion, es natural considerar entonces el grupo de coho-mologa previamente definido. Esto es porque si llamamos (para facilitar la comprension)dk a la derivada exterior de k-formas, entonces

k1dk1

kdk k+1

dk+1

Como toda forma exacta es cerrada, im(dk1) ker(dk). El complejo sera exacto en k sien lugar de inclusion tenemos una igualdad. Surge entonces naturalmente la consideraciondel espacio cociente ker dk/im dk1, que no es otra cosa que H

kdR(M).


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Por otro lado, se define el grupo abeliano Ck(M) como el grupo libre generado porn-cubos singulares, y consideramos la aplicacion borde

k : Ck(M) Ck1(M)

definida en los n-cubos singulares como se ha hecho previamente. Como k+1k = 0 tenemosun complejo

Ck+1(M)k+1

Ck(M)k Ck1(M)

y se define entonces el k-esimo grupo de homologa singular mediante Hk(M) =ker k/im k+1.

Ahora bien, dadas Zk(M) y ker k se puede definir un pairing bilineal

(, )

.

Pero gracias al Teorema de Stokes, si tomamos la k-forma +d y el n-cubo +c entonces

( + d, + c)

+c

+ d

=

+

d +

c

+

c

d

=

+

k

+

c

d +

c

d2

=

+

0

+

c

0 +

c

0 =

Luego este pairing pasa a los cocientes, y queda bien definida la aplicacion bilineal en lasclases de HkdR(M) y Hk(M):

([], [])

Esto da inmediatamente (fijando []) un morfismo entre cada grupo de cohomologa de deRham y el correspondiente dual del grupo de homologa singular

HkdR Hom(Hk(M),R)

Georges de Rham (1903 - 1990) probo en 1931 (basandose en ideas previamente publicadas

por Henri Poincare y Elie Cartan) el actualmente llamado Teorema de de Rham, el cualdice que este morfismo es en realidad un isomorfismo (para una demostraci on ver [11], p.206). La importancia de este resultado recae principalmente en el hecho de que relacionala cohomologa de de Rham (que se define en terminos de las formas diferenciales) conla homologa singular (una cuestion puramente topologica de la variedad). Por ejemplo,hablando sin mucha precision, si Hk(M) fuese de dimension finita entonces esta coincidecon la de su espacio dual, con lo cual

dim (HkdR(M)) = dim (Hk(M))

y se puede interpretar esta ultima como la cantidad de agujeros k-dimensionales de lavariedad M.

Se puede probar sin mayores dificultades (ver [3], p. 214-220) que para una variedadcompacta, conexa y orientable, se tiene que HndR(M) es isomorfo a R.


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Referencias

[1] E. Cartan, Les Systemes Differentiels Exterieurs et leurs Applications Geometriques,Hermann, 1945.

[2] V. J. Katz, The History of Stokes Theorem, Mathematics Magazine, Vol.52 N

3:146-156, 1979.

[3] S. Lang, Introduction to Differentiable Manifolds, 2nd ed., Springer-Verlag, 2002.

[4] J. E. Marsden, A. J. Tromba, Vector Calculus, 3rd ed., W. H. Freeman, 1988.

[5] M. Ostrogradsky, Demonstration dun theorem du calcul integral, Istoriko-Matematicheskie Issledovania, v. XVI pp.46-49, 1965.

[6] B. Riemann, Grundlagen fur eine allgemeine Theorie der Functionen einer verander-lichen complexen Grosse, Gottingen, 1851; Werke, pp. 3-48.

[7] H. M. Schey, Div, Grad, Curl and All That, W. W. Norton, 1973.

[8] M. Spivak, Calculus on Manifolds, Addison-Wesley, 1965.

[9] M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry Vol. 1, 3rd ed.,Publish or Perish, 1999.

[10] G. G. Stokes, Mathematical and Physical Papers, Vol. 5, p.320, Cambridge UniversityPress, 1905.

[11] F. W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-

Verlag, 1983.

Teorema de Stokes en Varied a Des Lafuente & Rodrigues

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