ejercicios resueltos rotacional y teorema de stokes _electromagnetismo

7/31/2019 ejercicios resueltos rotacional y teorema de stokes _electromagnetismo

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APLICACIONES DEL TEOREMA DE STOKES.

PROBLEMAS RESUELTOS

E. Bendito, A. Carmona y A. M. Encinas

5 de diciembre de 2007


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Captulo 1

Problemas de Integracin

45.- Sean : [a, b] IR3 una curva regular y f : IR3 IR diferenciable. Demostrar que

df = f((b)) f((a)).

Concluir que df es nula sobre cualquier curva cerrada.

Solucin:

En primer lugar observemos que

df =

fx1

dx1 + fx2

dx2 + fx3

dx3.Por otro lado, de la relacin entre el elemento de longitud y los elementos de volumen

coordenados tenemos,

dxi = xidt =

xi|||| ||

||dt = Tidl,

donde dl es el elemento de longitud y Ti son las componentes del vector tangente a la curva.Por tanto, substituyendo en la integral, obtenemos

df =

fx1

T1dl +f

x2T2dl +

f

x3T3dl

=

f, Tdl =

=ba

f((t)), (t)||(t)|| ||(t)||dt = b

a

(f )(t)dt = f((t))ba

= f((b)) f((a)).

46.- Sea X el campo definido en IR3 {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 = 0} por

X =y

x2 + y2

x+

x

x2 + y2

y.

1


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2 Problemas Resueltos

Demostrar que

(i) rot(X) = 0.

(ii) C(X, ) = 0, donde es una circunferencia paralela al plano xy y con centro en el eje z.(iii) No puede existir una funcin f tal que X = f.

Solucin:

(i) Calculamos el rotacional,

rot(X) =

i j k

x

y

z

yx2 + y2

xx2 + y2

0

=

0, 0,

x2 + y2 2x2(x2 + y2)2

+x2 + y2 2y2

(x2 + y2)2

= (0, 0, 0).

(ii) Una parametrizacin de en coordenadas cilndricas es,

() = (R cos , R sen , z0), donde [0, 2].

Luego, () = (R sen , R cos , 0) y el producto escalar restringido a la curva esX, () = 1.Por tanto, C(X, ) =

0

X, () d =20

d = 2 = 0.

(iii) Supongamos que existe una funcin f tal que X = f. Entonces la circulacin a travsde cualquier curva cerrada ser nula. En particular, C(X, ) = 0, donde es la curvaque hemos considerado en el apartado anterior, lo que es una contradiccin ya que hemosdemostrado que la circulacin es no nula. Por tanto, el campo X no puede ser un campogradiente. Lo que ocurre en este caso es que el campo X es un campo diferenciable enIR3 {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 = 0} que no es un abierto con forma de estrella.

47.- Consideramos el campo de IR2

X = (x2 + 7y)

x+ (x + y sen y2)

y.

Calcular la circulacin de X sobre la frontera del tringulo de vrtices (0, 2), (0, 0) y (1, 0).

Solucin:

Primer mtodo. La circulacin a lo largo de la frontera del tringulo es la suma de las circula-ciones en cada uno de los lados,

C(X,T) =

1

X, T1dl +2

X, T2dl +3

X, T3dl.


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Teoremas integrales 3

Figura 1.1: Representacin de T

Parametrizamos cada uno de los lados del tringulo y calculamos el vector tangente.

y = 0; 1(t) = (t, 0), t [0, 1]; 1(t) = (1, 0),y = 2(1 x); 2(t) = (t, 2(1 + t)), t [1, 0]; 2(t) = (1, 2),x = 0; 3(t) = (0, t), t [2, 0]; 1(t) = (0, 1).

C(X,T) =

10

X, 1dt +01

X, 2dt +02

X, 3dt =10

t2dt +

01

t2 14(1 + t) + 2t + 4(1 + t) sen(2(1 + t))2dt +02

t sen t2dt =

t3

3 1

0 +t3

3 14t 7t2

+ t2

cos(2(1 + t))2

2 0

1 cos t2

2 0

2 = 8.Segundo mtodo.

Calculamos la circulacin aplicando el Teorema de Green.

C(X,T) =

T

(x2 + 7y) dx + (x + y sen y2) dy =T

8 dxdy = 8.


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48.- Sea X el campo de fuerzas definido en IR2 por

X = (2x + y cos(xy)) x

+ x cos(xy) y

.

Calcular el trabajo realizado por X sobre cualquier curva cerrada contenida en IR2.

Solucin:

Si el campo se puede expresar como un campo gradiente, el trabajo realizado por el camposobre cualquier curva cerrada ser nulo. Por tanto, supongamos que existe f : IR2 IRdiferenciable tal que X = f. Entonces, se debe satisfacer

f

x= 2x + y cos(xy)

fy = x cos(xy)

(1.1)

Integrando la primera ecuacin respecto de x obtenemos,

f(x, y) = x2 + sen(xy) + (y).

Si derivamos f respecto de y y comparamos con la segunda ecuacin de (1.1) obtenemos que(y) = 0 y por tanto (y) = A = cte.

Finalmente, la funcin f(x, y) = x2 + sen(xy) + A verifica que X = f.

49.- Calcular la circulacin del campo X = y2

x+x

ydefinido en IR2 a lo largo del cuadrado

de vrtices (0, 0), (2, 0), (2, 2) y (0, 2).

Solucin: Este ejercicio se puede resolver parametrizando las cuatro rectas que forman elcuadrado o aplicando el Teorema de Green, lo que en este caso resulta ms sencillo. El recintode integracin se muestra en la Figura 1.2

C(X,C) =

C

y2 dx + x dy =

C

(1 2y) dxdy = 4.

50.- (a) Si f : [a, b] IR es diferenciable no negativa y la grfica de f en el plano xy se hacegirar alrededor del eje x en IR3, engendra una superficie M. Probar que el rea de M es

ba 2f(t)1 + (f)2(t) dt.Solucin:

Una parametrizacin de la curva en el plano xy es,

(t) = (t, f(t), 0), t [a, b].


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Figura 1.2: Representacin de C

Por tanto, la parametrizacin de la superficie y la base del tangente son

xxxxxxxxxxxxxx(t, ) = (t, f(t)cos , f(t)sen ), t [a, b], [0, 2],xxxxxxxxxxxxxxt = (1, f

(t)cos , f(t)sen ), xxxxxxxxxxxxxx = (0, f(t)sen , f(t)cos ).Los coeficientes de la mtrica son E = 1 + f(t)2, G = f(t)2 y F = 0.

Por ltimo el rea es

A =

M

EG F2 dtd =

ba

20

f(t)

1 + (f)2(t) dtd =ba

2f(t)

1 + (f)2(t)dt.

51.- Sean, U IR2 abierto, f : U IR de clase C1 y S = {(x, y, z) IR3 : z = f(x, y)}.Hallar el elemento de volumen de S y demostrar la siguiente expresin para el rea de S

U

dxdy

cos =

U

1 + f2x + f2y dxdy,

siendo el ngulo que la normal exterior a S forma con el eje z.

Solucin:

En primer lugar, hallamos una parametrizacin de la superficie.

xxxxxxxxxxxxxx(x, y) = (x, y, f(x, y)), (x, y) U.


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La base del tangente es,

xxxxxxxxxxxxxxx = (1, 0, fx) y xxxxxxxxxxxxxxy = (0, 1, fy).

Por tanto los coeficientes de la mtrica son,

E = xxxxxxxxxxxxxxx, xxxxxxxxxxxxxxx = 1 + f2x , F = xxxxxxxxxxxxxxx, xxxxxxxxxxxxxxy = fxfy, G = xxxxxxxxxxxxxxy, xxxxxxxxxxxxxxy = 1 + f2y .Luego el elemento de volumen y el rea son

EG F2 =

(1 + f2x)(1 + f

2y ) (fxfy)2 =

1 + f2x + f

2y ,

A =

U

EG F2 dxdy =

U

1 + f2x + f

2y dxdy.

Por ltimo, falta comprobar que

1

cos =

1 + f2x + f2y .

Calculamos el vector normal

N =xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy

||xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy|| =1

1 + f2x + f2y

(fx, fy, 1).

Buscamos el ngulo que forma la normal con el eje z,

cos = N, e3 = 11 + f2x + f

2y

(0, 0, 1), (fx, fy, 1) = 11 + f2x + f

2y

.

Por tanto, U

dxdy

cos =

U

1 + f2x + f

2y dxdy.

52.- Consideremos el campo X definido en IR3 por

X = (x + yz)

x+ (y + z xz)

y+ (3 y)

z.

(i) Calcular el flujo de X sobre el hemisferio z > 0 de la superficie x2 + y2 + z2 = 1.

(ii) Calcular la circulacin de X sobre la curva x2 + y2 = 1, z = 0.

Solucin:

(i) Parametrizamos la superficie y calculamos los campos involucrados en la evaluacin delflujo,

xxxxxxxxxxxxxx(, ) = (sen cos , sen sen , cos ), [0, 2], [0, 2 ],


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xxxxxxxxxxxxxx = ( sen sen , sen cos , 0),

xxxxxxxxxxxxxx = (cos cos , cos sen , sen ),xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = ( sen2 cos , sen2 sen , sen cos ).Por tanto, la restriccin del producto escalar a la superficie es

X, xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = (1 + 3 cos cos2 )sen .Entonces el flujo es,

(X, S) =

2

0

20

(1 + 3cos cos2 )sen dd

= 2

cos 3cos

2

2+

cos3

3

20

=13

3.

(ii) La parametrizacin de la curva es,

() = (cos , sen , 0), [0, 2].Por tanto, el vector tangente y la restriccin del producto escalar a la curva son

() = ( sen , cos , 0),X, =(cos , sen , 3 sen ), ( sen , cos , 0)= 0.Luego la circulacin es,

C(X, ) =

X, Tdl = 0.

53.- Dado el campo X = x

x+ y

y+ 2z

zdefinido en IR3, calcular el flujo de X a travs

de la superficie esfrica x2 + y2 + z2 = a, a > 0.

Solucin:

Para hallar el flujo a travs de la superficie, que denotaremos por S, hallamos una parame-trizacin de sta y los campos involucrados en el clculo del flujo.

xxxxxxxxxxxxxx(, ) = (sen cos , sen sen , cos ), [0, 2], [0, 2 ],xxxxxxxxxxxxxx = ( sen sen , sen cos , 0),xxxxxxxxxxxxxx = (cos cos , cos sen , sen ),xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = ( sen2 cos , sen2 sen , sen cos ).

Por tanto, la restriccin del producto escalar a la superficie es

X, xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = ( sen2 2cos2 )sen .Luego el flujo es,

(X, S) =

20

( sen2 2cos2 )sen dd =


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2

1

3cos sen2 +

2

3cos +

2

3cos3

= 0.

54.- Dado el campo X =1

r

r, en coordenadas cilndricas, calcular el flujo de X a travs de

la superficie, S, dada por x2 + y2 = a2, 0 < z < a, a IR+.

Solucin:

Debido a que el campo est dado en coordendas cilndricas, expresamos el cilindro en estascoordenadas,

x = r cos y = r sen z = z

= r2 = a2 = r = a con (, z) [0, 2] (0, a).

La superficie est dada como la superficie de nivel f(r,,z) = r a = 0, por tanto la normalser N =

f||f|| , donde f deber ser calculado en coordenadas cilndricas.

f(p) =

g11 g12 g13g12 g22 g23g13 g23 g33

1

fr

f

fz

=

1 0 0

01

r20

0 0 1

10

0

= 10

0

= r

.

Por tanto, la normal es N =f

||f|| =

r.

El producto escalar restringido al cilindro es X, N = 1a

.

Por ltimo, el elemento de volumen de las coordenadas cilndricas es

g = r y su restriccinal cilindro es

g = a.

Por tanto, el flujo es,S

X, NdA =20

a0

1

aadzd = 2a.

55.- Calcular el flujo del campo X dado en coordenadas cilndricas por X = r

r+ z

z, a

travs de cada una de las siguientes superficies:

(i) x2 + y2 = z2, 0 < z < 4.(ii) x2 + y2 + (z 4)2 = 16, 4 < z < 4 + 23.

(iii) x2 + y2 < 4, z = 4 + 2

3.

Solucin:


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Representamos las tres superficies en la Figura 1.3.

(i) Sea S el cono x2 + y2 = z2, 0 < z < 4. En primer lugar buscaremos como se expresa lasuperficie en coordenada cilndricas, ya que el campo est dado en estas coordenadas.

x = r cos y = r sen z = z

= r2 = z2 = r = z con (, z) [0, 2] (0, 4).La superficie est dada como la superficie de nivel f(r,,z) = r z = 0, por tanto lanormal ser N =

f||f|| .

f(p) = g11 g12 g13

g12 g22 g23g13 g23 g33

1

fr

f

fz

= 1 0 0

0

1

r2 00 0 1

1

01 =

101

= r

z

,

de donde la normal es N =1

2

r

z

.

El producto escalar restringido al cilindro es X, N = 12

(r z) = 0.Luego, (X, S) = 0.

(ii) Sea S2 el trozo de esfera centrada en (0, 0, 4) y de radio r = 4 con 4 < z < 4 + 23, verFigura 1.3.

Para hallar el flujo seguimos los mismos pasos que en el apartado anterior. La superficieexpresada en cilndricas viene dada por,

r2 + (z 4)2 = 16 = h(r,,z) = r2 + z2 8z = 0.

En este caso tenemos que

h =

1 0 0

01

r0

0 0 1

2r

0

2z

8

=

2r

0

2z

8

= 2r

r+ (2z 8)

z.

Por tanto,

N =h

||h|| =1

2

r2 + (z 4)2

2r

r+ 2(z 4)

z

y su restriccin a S2 es

N =1

4

r

r+ (z 4)

z

.


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Figura 1.3: Representacin de S, S2 y D

Entonces, X, N = 14

(r2 + z2 4z) = z.Por ltimo, falta hallar el elemento de volumen. Por lo que debemos calcular una para-metrizacin de S2 y los coeficientes de la mtrica.

xxxxxxxxxxxxxx(z, ) = (8z z2 cos , 8z z2 sen , z)xxxxxxxxxxxxxxz = (

8 2z2

8z z2 cos ,8 2z

2

8z z2 sen , 1)

xxxxxxxxxxxxxx = (

8z z2 sen ,

8z z2 cos , 0)

E =(4 z)28z z2 + 1 =

16

8z z2 , F = 0, G = 8z z2,

g = 4.

Finalmente,

(X, S) =

4+234

20

4z d z d = 8z2

2

4+2

3

4

= 4(12 + 16

3).

(iii) En este caso la superficie es un disco, D, cuya expresin en coordenadas cilndricas es,

z = 4 + 2

3, r (0, 2), (0, 2).

La normal a la superficie es N =

zy la restriccin del producto escalar a D es

X, N = z = 4 + 2

3.


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Luego el flujo es,

(X, D) =D

4 + 2

3 dA = (4 + 2

3)4.

56.- Dado el campo en IR3, X = x3

x+ yz

z. Calcular el flujo de X a travs de la superficie

S dada porx2 + z2 = 4, 0 < y < 10, z > 0.

Solucin:

La superficie S est representada en la Figura 1.4.

Figura 1.4: Representaccin de S

En primer lugar parametrizamos la superficie y hallamos los campos involucrados en elclculo del flujo.

xxxxxxxxxxxxxx(, y) = (2 cos ,y, 2sen ),

(0, ), y

(0, 10),

xxxxxxxxxxxxxx = (2sen , 0, 2cos ),xxxxxxxxxxxxxxy = (0, 1, 0),

xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy = (2cos , 0, 2sen ).El producto escalar restringido al cilindro es,


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X, xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy = 16cos4 4y sen2 .

Luego el flujo es,

(X, S) =

0

100

16cos4 4y sen2

ddy =

400

1 + cos(2)

2+

5

2

1 cos(2)

d = 40

0

4 12

cos(2) +1

2cos(4) d =

40

4 14

sen(2) +1

8sen(4)

0

= 160.

57.- Sean r =

x2 + y2 + z2, E = IR3 {0} y f : E IR dada por

f(x, y, z) =1

r .

(i) Demostrar que f es armnica en E.

(ii) Calcular

SR

f

N, donde SR es la esfera de radio R centrada en el origen.

(iii) Demostrar que no puede existir un campo Y tal que f = rot(Y).(iv) Calcular la circulacin de f a lo largo de las curvas:

(a)

x2 + y2 + z2 = R2

z = a, 0 < a < R

(b)

x2 + y2 + z2 = R2

y =

3x

Solucin:

(i) Calculamos en primer lugar las derivadas parciales de f,

f

x= x

r3,

f

y= y

r3,

f

z= z

r3.

Por tanto,

f(x, y, z) =2f

2x+

2f

2y+

2f

2z=

3x2r r3r6

+3y2r r3

r6+

3z2r r3r6

= 0.

(ii) Observemos que SR

fN

= SR

f, NdA.

La normal a la esfera unidad es N =1

R(x, y, z) y el producto escalar restringido a la

esfera es,

f, N = x2 + y2 + z2

R4= 1

R2.


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Luego,

SRf, N dA = 1R2 SR dA = 4 = 0.(iii) Supongamos que existe Y tal que f = rot(Y). Entonces, aplicando el Teorema de de

Stokes-Ampre en el apartado anterior obtendramosSR

f, N dA =SR

rot(Y), N dA =SR

Y, Tdl = 0,

ya que SR = . Por tanto, no existe ningn campo Y tal que f = rot(Y).

(iv) (a) La curva

x2 + y2 + z2 = R2

z = a, 0 < a < Res una circunferencia centrada en (0, 0, a) de radio

R2 a2. Teniendo en cuenta que la circulacin de un campo gradiente a lo largo de una

curva cerrada es nula obtenemos que f, Tdl = 0.(b) La curva

x2 + y2 + z2 = R2

y =

3xes una curva cerrrada. Por tanto,

f, Tdl = 0.

58.- Sea =4

i=1i, donde

1 = {(x, y, z) IR3 : z =

2 + cos((y + 1))

cos x, /2 x /2, 1/2 y 1/2},2 = {(x, y, z) IR3 : y = 1/2, /2 x /2, 0 z 2cos x},3 = {(x, y, z) IR3 : y = 1/2, /2 x /2, 0 z 2cos x},4 = {(x, y, z) IR3 : z = 0, /2 x /2, 1/2 y 1/2}.

Sea X el campo vectorial definido por X = x

x+ z

x.

(i) Representar y calcular el volumen encerrado por .

(ii) Calcular el flujo de X a travs de 1.

(iii) Calcular la circulacin de X a lo largo de 1 2.(iv) Calcular la circulacin de X a lo largo de 2 4.(v) Calcular la circulacin de X a lo largo de 1 {(x, y, z) IR3 : y = 0, 0 x /2}.

Solucin:

Las curvas interseccin de las diferentes superficies son,

1 2 = {y = 1/2, z = 2 cos x, /2 x /2}1 3 = {y = 1/2, z = 2 cos x, /2 x /2}1 4 = {z = 0, x = /2, 1/2 y 1/2} {z = 0, x = /2, 1/2 y 1/2}2 4 = {z = 0, y = 1/2, /2 x /2}3 4 = {z = 0, y = 1/2, /2 x /2}


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Figura 1.5: Representacin de

La superficie est representada en la Figura 1.5.

Por otro lado, div(X) = 2, rot(X) = (0, 0, 0) y X = f, donde f(x, y, z) = x2

2+

z2

2.

(i) Sea el volumen encerrado por . Entonces,

vol() =

/2/2

1/21/2

cos x(2+cos((y+1)))0

dxdydz =/2/2

1/21/2

cos x(2 + cos((y + 1))) dxdy =

/2/2

cos xdx

1/21/2

2 + cos((y + 1))dy =

sen x

/2/2

2y +

1

sen((y + 1))

1/21/2

= 2

1 1

+ 1 1

=

4

( 1).

(ii) Primer mtodo.

La representacin de 1 se halla en la Figura 1.6 Para hallar el flujo aprovecharemos loscalculos hechos en el apartado (i), de forma que

(X, 1) = (X, ) (X, 2) (X, 3) (X, 4).Calculamos cada uno de estos flujos,

(X, ) =

div(X)dV = 2vol() =8

( 1).

(X, 2) = 0, ya que N2 = y

y el campo no tiene componente

y.


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Figura 1.6: Representacin de 1

(X, 3) = 0, ya que N3 = y

y el campo no tiene componente

y.

(X, 4) = 0, ya que N4 = z

y < X, N4 >= z|4 = 0.

Por tanto, (X, 1) =8

( 1).

Segundo mtodo.

Hallamos una parametrizacin de 1 y los campos involucrados en el clculo del flujo.

xxxxxxxxxxxxxx(x, y) =

x,y, cos x

2 + cos((y + 1))

, x [/2, /2], y [1/2, 1/2],

xxxxxxxxxxxxxxx =

1, 0, sen x(2 + cos((y + 1)))

,

xxxxxxxxxxxxxxy =

0, 1, cos x sen((y + 1))

,

xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy = sen x(2 + cos((y + 1))), cos x sen((y + 1)), 1

.

Entonces, la restriccin del producto escalar a la superficie es,

X, xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy =

2 + cos((y + 1))

x sen x + cos x

.

Finalmente,

(X, 1) =

/2/2

1/21/2

(2 + cos((y + 1)))(x sen x + cos x) dxdy =


17/86


1/2

1/2

2 + cos((y + 1))dy /2

/2

x sen x + cos xdx = u = x du = dxv =

cos x =

2 2

x cos x

/2/2

+ 2

/2/2

cos xdx

=

2 2

2sen x

/2/2

=8

( 1).

(iii) Como X = f, con f(x, y, z) = x2

2+

z2

2, cada una de las circulaciones se calcula como

C(X, ) = f((b)) f((a)),

donde (b) y (a) representan los extremos de definicin de la curva correspondiente.

Sea 12 = 1 2. Entonces, 12 = (x, 1/2, 2cos x), x [/2, /2] y

C(X, 12) = f(12(/2)) f(12(/2)) = (/2)28

(/2)28

= 0.

(iv) Sea 24 = 2 4. Entonces, 24 = (x, 1/2, 0), x [/2, /2] y

C(X, 24) = f(24(/2)) f(24(/2)) = (/2)2

8 (/2)

2

8= 0.

(v) Sea 1 = 1 {y = 0, 0 x /2}. Entonces, 1 = (x, 0, cos x), x [0, /2] y

C(X, 1) = f(1(/2)) f(1(0)) = (/2)2

8 1

2.

59.- Sean, c IR+,

Tc = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 c249 , 0 z 5c} {(x, y, z) IR3 : x2 + (y + c)2 3c2, (x

32 c)

2 + (y c2)2 3c2,(x +

32 c)

2 + (y c2)2 3c2, 5c z 9c} {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 c249 , 9c z 13c}

y consideremos el campo vectorial

X = az2

x b

z; a, b

IR+.

(i) Calcular el flujo de X a travs de Tc.(ii) Calcular el flujo de X a travs de

A = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 = c2

49, 9c z 13c}.


18/86


(iii) Calcular el flujo de X a travs de

B = {(x, y, z) IR3 : (x 32 c)2 + (y c2)2 = 3c2, 32 c x 0,c y c2 , 5c z 9c}.

(iv) Calcular la circulacin de X a lo largo de B .

(v) Calcular la circulacin de X a lo largo de

= {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 = c2

49, z = 9c}.

Solucin:

(i) La superficie {(x, y, z) IR3

: x

2

+ y

2

c2

49 , 0 z 5c} es un cilindro de eje z y radioc

7con 0 z 5c.La superficie {(x, y, z) IR3 : x2+(y + c)2 3c2, (x

32 c)

2+(y c2)2 3c2, (x+32 c)

2+(y c2)2 3c2, 5c z 9c} es la interseccin de tres cilindros de eje z. Representamosen la Figura 1.7 dicha interseccin en el plano xy.

Figura 1.7: Representacin de la interseccin

La superficie {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 c249 , 9c z 13c} es un cilindro de eje z y radioc

7con 9c z 13c.

La Representacin de Tc se encuentra en la Figura 1.8.


19/86


Figura 1.8: Representacin de Tc

Para calcular el flujo a travs de la frontera aplicamos el Teorema de la Divergencia.

(X, Tc) =Tc

X, N =Tc

div(X)dV = 0.

(ii) Para calcular el flujo a travs de A, ver Figura 1.9, podemos cerrarla empleando dos discoscon lo que podremos aplicar el Teorema de la Divergencia.

Sean D1 = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 c249 , z = 13c}, D2 = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 c2

49 , z = 9c} y A el volumen encerrado por A D1 D2.Entonces, N1 =

z, N2 =

zy

AX, NdA = A div(X)dV D1X, NdA D1X, NdA = b D1 dA b D2 dA = 0.(iii) La representacin de B se halla en la Figura 1.10.

En este caso para calcular el flujo parametrizamos la superficie,

xxxxxxxxxxxxxx(y, z) =

3

2c

3c2

y c2

2, y , z

, y

c, c

2

, z [5c, 9c].


20/86


Figura 1.9: Representacin de A

xxxxxxxxxxxxxxy = y c2

3c2 y c22 , 1, 0, xxxxxxxxxxxxxxz = (0, 0, 1).

Los campos involucrados en el clculo del flujo son,

xxxxxxxxxxxxxxy xxxxxxxxxxxxxxz =1, y c2

3c2 y c22 , 0 y X, xxxxxxxxxxxxxxy xxxxxxxxxxxxxxz = az2

Por ltimo, el flujo de X a travs de B es,

(X, B) = BX, NdA =

c2

c 9c

5caz2 dz dy =

3

2 cz3

3 9c

5c= 302c4a.

(iv) La circulacin a lo largo de la frontera de B la podemos hallar aplicando el teorema deStokes-Ampere.

C(X,B) =

B

X, Tdl =B

rot(X), NdA.


21/86


Figura 1.10: Representacin de B

En este caso el rotacional es rot(X) = (0, 2az, 0), y la restriccin del producto escalar ala superficie es,

rot(X), xxxxxxxxxxxxxxy xxxxxxxxxxxxxxz = 2az(y c2)

3c2 y c22 .Luego, la circulacin es,

C(X,B) =

c2

c

9c5c

2az(y c2)

3c2 y c22 dydz = az2

9c5c

3c2

y c

2

2c2

c= 28

3ac2.

(v) Para hallar la circulacin a lo largo de procedemos del mismo modo que en el apartadoanterior. En este caso la normal es, N =

z.

Por tanto, la circulacin es,

C(X, ) =

rot(X), NdA = 0.


22/86


60.- Sea 1 la superficie reglada en IR3 formada por rectas que se apoyan en la curva {x2+z2 =

R2, y = 0, z

0}

y en la recta{

y = 2R, z = 0}

, que son paralelas al plano yz, conR x R, 0 y 2R.

Sea 3 la superficie reglada en IR3 formada por rectas que se apoyan en la curva {x2 +

(z + R)2 = R2, y = 2R, z R} y en la recta {y = 0, z = R}, que son paralelas al planoyz, con R x R, 0 y 2R.

(i) Calcular la ecuacin paramtrica de 1 y de 3.

(ii) Sea =6

i=1i, donde

2 = {(x, y, z) IR3 : y = 0, R x R, R z

R2 x2},4 = {(x, y, z) IR3 : y = 2R, R x R, R

R2 x2 z 0},

5 = {(x, y, z) IR3 : x = R, 0 y 2R, R z 0},6 = {(x, y, z) IR

3

: x = R, 0 y 2R, R z 0}.Sea X el campo vectorial diferenciable de IR3

X =2z

y 3R

x x(y 2R)

2R2

z.

(a) Calcular el flujo de X a travs de .

(b) Calcular el flujo de X a travs de 1.

(c) Calcular la circulacin de X sobre 2.

Solucin:

(i) Una parametrizacin de la curva {x2 + z2 = R2, y = 0, z 0} es,(u) = (R cos u, 0, R sen u), u [0, ].Como las rectas deben ser paralelas al plano yz, debemos parametrizar la recta

{y = 2R, z = 0} como (u) = (R cos u, 2R, 0). En este caso,w(u) = (u) (u) = (0, 2R, R sen u).Por tanto, la parametrizacin de 1 es,

xxxxxxxxxxxxxx(u, v) = (u) + vw(u) = (R cos u, 2R v2R,vR sen u).

De forma anloga una parmetrizacin de 3 es,

yyyyyyyyyyyyyy(u, v) = (R cos u, v2R, vR sen u R).

(ii)

(a) La representacin de se halla en la Figura 1.11.

Para calcular el flujo a travs de podemos aplicar el Teorema de la Divergencia.

(X, ) =

X, NdA =

div(X)dV = 0.


23/86



(b) En este caso para poder aplicar el Teorema de la Divergencia en el clculo del flujo, uti-lizaremos dos superficies auxiliares, para obtener una superficie que encierre un volumen,ver Figura 1.12.

Sean

D1 = {(x, y, z) IR3 : y = 0, R x R, 0 z

R2 x2},T1 = {(x, y, z) IR3 : z = 0, R x R, 0 y 2R}.Entonces, N1 =

yy N2 =

z. Por tanto, el flujo es,

(X, 1) =

1

div(X)dV D1

X, NdA T1

X, NdA =

T1

x(y 2r)2R2

dy dx =

RR

2R0

x(y 2r)2R2

dxdy = 0.

(c) La circulacin sobre la frontera de 2 la podemos hallar aplicando el teorema de Stokes-Ampere, ver Figura 1.13.

C(X, 2

) = 2X, Tdl = 2rot(X), NdA,donde la normal y el rotacional son,

N = y

, rot(X) =

x

2R2, 2

y 3R +y 2R

2R2,

1

(y 3R)2

.

Por tanto, la restriccin del producto escalar a la superficie es rot(X), N = 13R

. Luego,


24/86



C(X, 2) =1

3R

2

dA =1

3R

2

R2 + 2R2

=R

6( + 4).

61.- Sea 1 la superficie reglada en IR3 formada por rectas que se apoyan en la hlice () =

(cos , sen ,a ) y en el eje z, que son paralelas al plano xy, con 0 2 y 0 x2

+ y2

1.(i) Calcular la ecuacin paramtrica de 1 y su expresin en coordenadas cilndricas.

(ii) Sea =5

i=1i, donde

2 = {0 1, 0 2, z = a( + 2)}3 = { = 1, 0 2, a z a( + 2)}4 = {0 1, = 0, 0 z 2a}5 = {0 1, = 0, 2a z 4a}

y , , z son las coordenadas cilndricas.

Sea X el campo vectorial diferenciable de IR3

X = y

x2 + y2

x xx2 + y2

y.



(c) Calcular el flujo de X a travs de 2.


25/86



(d) Calcular el flujo de X a travs de 4 5.(e) Calcular la circulacin de X sobre (), 0 2.(f) Calcular la circulacin de X sobre

4 5

.

Solucin:

(i) Las generatrices de 1 tendrn como vector director,

w() = () (0, 0, a) = (cos , sen , 0),ya que deben ser rectas paralelas al plano xy. Por tanto, una parametrizacin de 1 es,

xxxxxxxxxxxxxx(, ) = ( cos , sen ,a), [0, 2], [0, 1], ya que 0 x2 + y2 1.

Por otro lado su expresin en coordenadas cilndricas es z = a.

(ii)

(a) La representacin de se encuentra en la Figura 1.14. Para calcular el flujo a travs de podemos aplicar el Teorema de la Divergencia, ya que la superficie encierra un volumen.Como la divergencia del campo es nula, div(X) = 0, tenemos que

(X, ) =

V

div(X)dV = 0.


26/86



(b) Para calcular el flujo a travs de 1 parametrizamos la superficie,

xxxxxxxxxxxxxx1(, ) = ( cos , sen ,a), [0, 1], [0, 2].Los campos involucrados en el clculo del flujo son

xxxxxxxxxxxxxx = (cos , sen , 0), xxxxxxxxxxxxxx = ( sen , cos , a),xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = (a sen , a cos , )Por tanto, la restriccin del producto escalar a la superficie es,

X, xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = a2 sen2 + a2 cos2 = a2.Luego, el flujo es

(X, 1) =10

20

a2 dd = 2a 3

310

= 2a3

.

(c) Para calcular el flujo sobre 2 procedemos del mismo modo que en el caso anterior. Unaparametrizacin de 2 es,

xxxxxxxxxxxxxx2(, ) = ( cos , sen ,a + a2).


27/86


xxxxxxxxxxxxxx = (cos , sen , 0), xxxxxxxxxxxxxx = ( sen , cos , a),

xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = (a sen , a cos , )Luego, la restriccin del producto escalar a la superficie es,

X, xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = a2 sen2 + a2 cos2 = a2.Por tanto,

(X, 2) = (X, 1)

(d) La superficie 4 5 es un plano, podemos calcular la normal y el producto escalar delcampo restringido a la superficie.

N = (0, 1, 0).

X, N = x

x2 + y2 = x2.Por tanto, el flujo es,

(X, 4 5) =45

X, NdA =10

4a0

x2 dxdz = 4a x3

3

10

= 4a3

.

(e) Para calcular la circulacin parametrizamos la curva,

() = (cos , sin , a ),

() = ( sen , cos , a),X, T = sen2 cos2 = 1.Por tanto, la circulacin es,

C(X, ) = X, Tdl = 2

0

d =

2.

(f) La circulacin sobre la frontera de 4 5 la podemos hallar aplicando el Teorema deStokes-Ampre.

C(X, (4 5)) =(45)

X, Tdl =45

rot(x), NdA,

donde la normal y el rotacional son,

N =

y, rot(X) =

0, 0,

x2 + y2 x x

x2 + y2

x2 + y2 y yx2 + y2

.


C(X, (4 5)) = 0.

62.- Consideramos el campo vectorial diferenciable de IR2

X = x

x+ x2

y.


28/86


(i) Calcular la circulacin de X sobre la frontera, , de = 1 2, donde

1 = {(x, y) IR2 : x2 + y2 R2, R2 x, R2 y} y2 = {(x, y) IR2 : x2 + y2 (R2 )

2, R4 x, 0 y}.

Consideramos X = x

x+ x2

yen IR3 y se hace girar 2 alrededor del eje OY.

(ii) Calcular el flujo de X a travs de la superficie de revolucin obtenida.

Solucin:

(i) La representacin de se encuentra en la Figura 1.15.


La circulacin de X a lo largo de la frontera de es,

C(X, ) =

X, Tdl =

x dx + x2 dy.

Aplicando el Teorema de Green,

C(X, ) =

2xdxdy =

1

2xdxdy 2

2xdxdy =

32R

R2

R2x2R

2

2xdxdy

+

R32R

R2x2R2x2

2xdxdy R

2

R4

R24x2

0

2xdxdy =

32R

R2

2x

R2 x2 + R

2

dx+


29/86


R

32 R

2x(2R2 x2) R2

R4

2xR2

4 x2 dx =

2

3

(R2

x2)

32 + R

x2

2 32R

R2

43

(R2 x2) 32R

32R

+2

3

R2

4 x2

32R2

R4

= R3

1

3+

7

3

32

.

(ii) La frontera de 2 es la curva representada en la Figura 1.16. La superficie de revolucinobtenida que denotaremos por 2 est representada en la Figura 1.17.


Como 2 es la frontera de un volumen V y div(X) = 1, aplicando el Teorema de laDivergencia obtenemos,

(X, 2) =

2

X, NdA =V

div(X)dV =

V

dV.

Para hallar el volumen V aplicamos la frmula del volumen de revolucin,

f2(y)dy y

tendremos en cuenta que se debe restar el volumen del cilindro que se genera al hacer larevolucin.

V

dV =

34R

0

R2

4 y2

dy R

2

16

3

4R =

R2

4y y

3

3

34R

0

3R3

43=

32

3R3.

Por tanto,

(X, 2) =

32

3R3.


30/86



63.- Sean =8

i=1i y a, b (0, +), donde

1 = {(x,y,z) IR3 : x a2

,x a22 + y + 5a

22 a2

4, 0 z 2a},

2 = {(x,y,z) IR3 : a2

x a2

, 3a y 2a, 0 z 2a},

3 = {(x,y,z) IR3 : x a2

,

x +a

2

2+

y +

5a

2

2 a

2

4, 0 z 2a},

4 = {(x,y,z) IR3 : a2

x a2

, 2a y 0, y2 2a(2a z), 2az y 2a(2a + 1)},5 = {(x,y,z) IR3 : a

2 x a

2, 0 y 2a, y2 2a(2a z), 2az + y 2a(2a + 1)},

6 = {(x,y,z) IR3 : x a2

,

x a2

2+

y 5a

2

2 a

2

4, 0 z 2a},

7 = {(x,y,z) IR3 : a2

x a2

, 2a y 3a, 0 z 2a},

8 = {(x,y,z) IR3 : x a2

,x + a22 +y 5a

22 a2

4, 0 z 2a}.

Sean i = i , 1 i 8 y X el campo vectorial definido por

X =1

z + b

x+ (z 2a 1)

z.


31/86


(i) Calcular el flujo de X a travs de .


(iii) Calcular el flujo de X a travs de p, siendo

p = (4 5) {(x, y, z) IR3 : y2 = 2a(2a z)}.(iv) Calcular el flujo de X a travs de t, siendo

t = 5 {(x, y, z) IR3 : 2az + y = 2a(2a + 1)}.(v) Calcular la circulacin de X a lo largo de p.

(vi) Calcular la circulacin de X a lo largo de

7 {(x, y, z) IR3 : y = 3a}

.

Solucin:

(i) La representacin de se halla en la Figura 1.18.

Como div(X) = 1, (X, ) =

X, NdA =

div(X)dV =

dV.

Para calcular el volumen tendremos en cuenta que es unin de trozos de cilindros yprismas ms un cuerpo central que debemos integrar.

dV = 2

a2

2

2a + 4a3 +

a2

a2

2a0

2a + 1 y

2a 2a + y

2

2a

dxdy

= a3 + 4a3 + 2a2 +8

3a3.



32/86


(ii) Para calcular el flujo a travs de 6 empleamos un rectngulo T para obtener una superficie

que encierre un volumen, , y as poder aplicar el Teorema de la divergencia. Ver Figura1.19.


T = {(x, y, z) IR3 : x = a2

, 2a y 3a, 0 z 2a}.

Por tanto, la normal y el producto escalar con el campo son, N = x

y X, N = 1z + b

y el flujo es,

(X, 6) =

div(X)dV

T

X, NdA = 12

a

2

22a +

3a2a

2a0

1

z + bdxdy =

=a3

4+ a ln

2a + b

b

.

(iii) Buscamos el flujo a travs de la superficie p, ver Figura 1.20. Para hallar el flujo en estecaso resulta ms sencillo parametrizar la superficie. La parametrizacin de la superficie ylos campos involucrados en el clculo del flujo son,

xxxxxxxxxxxxxx(x, y) = x,y, 2a y22a , x a2 , a2 , y [2a, 2a];xxxxxxxxxxxxxxx = (1, 0, 0), xxxxxxxxxxxxxxy =

0, 1, y

a

, xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy =

0,

y

2a, 1

.

Por tanto, el producto escalar restringido a la superficie es X, xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy =

y2

2a+ 1

.

Luego,


33/86


Figura 1.20: Representacin de p y p

(X, p) =

p

X, NdA =a

2

a2

2a2a

y2

2a+ 1

dxdy =

a y36a + y2a2a

= 4a223 a + 1 .(iv) La representacin de t se halla en la Figura 1.21. En este caso la parametrizacin de la

superficie y los campos involucrados en el clculo del flujo son,

xxxxxxxxxxxxxx(x, y) =

x,y, 2a + 1 y2a

, x a2 , a2 , y [2a, 2a];xxxxxxxxxxxxxxx = (1, 0, 0), xxxxxxxxxxxxxxy =

0, 1, 12a

.

xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy =

0,1

2a, 1

Luego, el producto escalar restringido a la superficie es,

X, xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy = y2a

.

Finalmente, el flujo es,

(X, t) =

t

X, NdA =a

2

a2

2a0

y2a

dxdy = a2.

(v) La circulacin a lo largo de la frontera de p la podemos hallar aplicando el Teorema deStokes-Ampere.


34/86


Figura 1.21: Representacin de t

C(X, 2) =

p

X, Tdl =p

rot(X), NdA.

El rotacional es,

rot(x) =

0, 1

(z + b)2, 0

=

0, ya

2a y22a + b2 , 0

.La restriccin del producto escalar a la superficie es,

rot(X), xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy = y

a

2a y

2

2a+ b

2 .Luego, la circulacin es,

C(X, p) =

a2

a2

2a

2a

ya2a y22a + b

2 dxdy = 0,

ya que es la integral de una funcin impar integrada en un itervalo simtrico.

(vi) Este apartado se resuelve de forma anloga al anterior. La normal a la superficie 7 {(x, y, z) IR3 : y = 3a} y el rotacional del campo son,N =

yy rot(x) =

0, 1

(z + b)2, 0

.


35/86



CX, 7 {(x, y, z) IR3 : y = 3a} = Rrot(x), NdA =a

2

a2

2a0

1(z + b)2

dxdy = a

1

2a + b 1

b

.

64.- Sean1 = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 + z2 R2},2 = {(x, y, z) IR3 : x2 + z2 r2},3 = {(x, y, z) IR3 : y2 + z2 r2},

=3

i=1i, R > r

2, i = i , i = 1, 2, 3 y X el campo vectorial definido por

X = x

x+ y

y+ z

z.

(i) Calcular el flujo de X a travs de .(ii) Calcular el flujo de X a travs de 1.

(iii) Calcular el flujo de X a travs de 2.(iv) Calcular la circulacin de X a lo largo de 2 {(x, y, z) IR3 : 0 y 0, donde

1 = {(x, y, z) IR3 : 148a(x2 + y2 a2) z},2 = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 49a2},3 = {(x, y, z) IR3 :

x2 + y2 23a z},

4 = {(x, y, z) IR3 : x 0},5 = {(x, y, z) IR3 : z 0},6 = {(x, y, z) IR3 : y

3x 0}.

Sean i = i , 1 i 6 y X el campo vectorial definido por X = z x

.



(iii) Calcular el flujo de X a travs de 3.(iv) Calcular la circulacin de X a lo largo de 1 3.(v) Calcular la circulacin de X a lo largo de 4.

Solucin:

(i) Para representar calculamos las intersecciones de las diferentes superficies,

1 2. Sustituyendo la ecuacin de 2 en la de 1 obtenemos,1

48a

49a2 a2

= z = z = a,

por tanto 1 2 es un arco de la circunferencia x2 + y2 = 49a2 en el plano z = a. 1 3. Sustituyendo la ecuacin de 3 en la de 1 obtenemos,

148a

(23a z)2 a2 = z = 529a2 + z2 46az a2 = 48az

= z2 94az + 528a2 = 0 = z = 94a

8836a2 2112a22

=94 82

2a = 6a,

ya que z 23a. Por tanto 1 3 es un arco de la circunferencia x2 + y2 = (17a)2, enel plano z = 6a.

3 5. Si z = 0, entonces x2 + y2 = (23a)2 que es una arco de circunferencia en elplano z = 0. La representacin de se halla en la Figura 1.32.

Como div(X) = 0, (X, ) = X, NdA = div(X)dV = 0.(ii) 1 = {(x, y, z) IR3 : 148a (x2 + y2 a2) = z, x 0, a z 6a, 7a x2 + y2 17a}.Por

tanto, 1 es la superficie de revolucin formada al girar respecto del eje z la parbola1

48a (x2 a2) = z, 2 43 , ver Figura 1.33. Luego una parametrizacin de 1 es,

xxxxxxxxxxxxxx(, x) =

x cos , x sen ,1

48a(x2 a2),

2,

4

3

, x [7a, 17a],


47/86



ya que

3x y, x 0 lo que implica 2 43 .Hallamos los campos involucrados en el clculo del flujo,

xxxxxxxxxxxxxxx = cos , sen ,1

24a

x ,xxxxxxxxxxxxxx = (x sen , x cos , 0),

xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy =

x2

24acos , x

2

24asen , x

.

Entonces, la restriccin del producto escalar a la superficie es,

X, xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy = x2

24acos

1

48a(x2 a2) = x

2(x2 a2)3227a2

cos .

Finalmente,

(X, 1) =

17a7a

43

2

x2(x2 a2)

3227a2cos ddx = 1

3227a2x5

5 a2 x

3

3

17

7a

sen

4/3

/2

=

13227a2

175a55

173a53

75a55

+ 73a53sen 4

3 1 =

a3

3227

1753 1735 753 + 735

15

3

2 1

=

a3

53328

1753 1735 753 + 735 3 + 2.


48/86



(iii) La representacin de 3 se halla en la Figura 1.34.

3 = {(x, y, z) IR3 :

x2 + y2 = (23a z), 0 z 6a, 0 x y3}. Una parametriza-

cin de 3 en coordenadas cilndricas es:

xxxxxxxxxxxxxx(, z) =

(23a z)cos , (23a z)sen , z, (, z) 2

,43 [0, 6a].

Hallamos los campos involucrados en el clculo del flujo,

xxxxxxxxxxxxxx = ((23a z)sen , (23a z)cos , 0),xxxxxxxxxxxxxxz = ( cos , sen , 1).

xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxz =

(23a z)cos , (23a z)sen , (23a z).Entonces, el producto escalar restringido a la superficie es,

X, xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxz = (23a z)z cos .Finalmente,

(X, 3) =

6a0

43

2

(23a z)z cos d z d =

23az2

2 z

3

3

6a0

sen

4/3/2

=

171

32 + 2

a3.


49/86



(iv) Sea = 3 1. Segn hemos visto la curva es un arco de circunferencia de radio 17a enel plano z = 6a. Por tanto una parametrizacin de es,

() = (17a cos , 17a sen , 6a) , /2

4/3.

Por otro lado,

() = (17a sen , 17a cos , 0) ,y el productoescalar restringido a la curva es,

X, () = 102a2 sen .

Luego,

C(X, ) =

4/3/2

102a2 sen d = 102a2 cos

4/3

/2

= 51a2.

(v) El rotacional del campo es rot(X) = (0, 1, 0). Adems, la normal a 4 es N = (1, 0, 0).Por tanto, aplicando el Teorema del Rotacional tenemos,

C(X, 4) =

4

X, Tdl =4

rot(X), NdA = 0.

67.- Sea a > 0.


50/86


(i) Hallar una parametrizacin de la superficie reglada, 1, generada por rectas paralelasal plano yz que se apoyan en las curvas 1(u) = (a cos u, a sen u + a, 0) y 2(u) =(a cos u, a sen u, a) con u [0, ], v [0, 1].

(ii) Hallar una parametrizacin de la superficie reglada, 2, generada por rectas paralelasal plano yz que se apoyan en las curvas 2 y 3(u) = (a cos u, (a sen u + a), 0) conu [0, ], v [0, 1].

(iii) Sea =5

i=1i, donde

3 = {(x, y, z) IR3 : a x a, a

a2 x2 y a + a2 x2, z = 0},4 = {(x, y, z) IR3 : x = a, 0 z a, z a y a z},5 = {(x, y, z) IR3 : x = a, 0 z a, z a y a z}.

Sea X el campo vectorial de IR3

X = y x

+ x

z.



(c) Calcular el flujo de X a travs de 5.

(d) Calcular la circulacin de X a lo largo de 1 2.

Solucin:

(i) A partir de las curvas dadas debemos hallar el vector director de las rectas que generan

la superficie reglada, w1(u) = 2(u) 1(u) = (0, a, a).Observemos que como en w1 la componente x es nula, estos vectores son paralelos al planoyz. Por tanto, una parametrizacin de la superficie reglada ser:

xxxxxxxxxxxxxx(u, v) = 2(u) + vw1(u) =

a cos u, a(sen u v), a(1 + v).(ii) Procedemos como en el apartado anterior.

w2(u) = 2(u) 3(u) = (0, a(2sen u + 1), a).Por tanto,

yyyyyyyyyyyyyy(u, v) = 2(u) + vw2(u) = a cos u, a sen u + av(2sen u + 1), a(1 + v).(iii)

(a) Como div(X) = 0 y encierra un volumen , ver Figura 1.35, podemos aplicar el Teoremade la Divergencia,

(X, ) =

X, NdA =

div(X) = 0.


51/86



(b) 1 es la superficie reglada calculada en (i),ver Figura 1.36, por tanto una parametrizacinde esta superficie y los campos involucrados en el clculo del flujo son,

xxxxxxxxxxxxxx(u, v) = (a cos u, a(sen u

v), a(1 + v)), (u, v)

[0, ]

[0, 1].

xxxxxxxxxxxxxxu = (a sen u, a cos u, 0) y xxxxxxxxxxxxxxv = (0, a, a).xxxxxxxxxxxxxxu xxxxxxxxxxxxxxv = a2(cos u, sen u, sen u).Luego, la restriccin del producto escalar a la superficie es,

X, xxxxxxxxxxxxxxu xxxxxxxxxxxxxxv = a3v cos u.Finalmente,

(X, 1) =

1

X, NdA =0

10

a3v cos ududv = a3v2

2

10

sen u

0

= 0.

(c) La representacin de 5 se halla en la Figura 1.37.

Parametrizamos la superficie en coordenadas cartesianas:

xxxxxxxxxxxxxx(x, y) = (a,y,z), (y, z) [z a, a z] [0, a].En este caso la base del tangente y la normal son,

xxxxxxxxxxxxxxy = (0, 1, 0), xxxxxxxxxxxxxxz = (0, 0, 1) y N = (1, 0, 0)

Por tanto, la restriccin del producto escalar a la superficie es,

X, N = y.


52/86



De donde,

(X, 5) =

5

X, NdA = a0

azza

y d y d z = 0, ya que es la integral de una funcin

impar en un intervalo simtrico.

(d) Debemos observar que 1

2 es la curva 2(u) = (a cos u, a sen u, a). Por tanto,

2(u) =

(a sen u, a cos u, 0) y X, 2 = a2 sen2 u. De donde,

C(X, 2) =

2

X, Tdl = a20

sen2 u du = a2

u

2 sen2u

4

0

= a2

2.

68.- Sean las curvas planas x = f1(z) =

1 + z2, z [0, 1] y x = f2(z) =

3 z2, z [1, 3].(i) Obtener las parametrizaciones de las superficies de revolucin S1 y S2 que se obtienen al

girar respecto del eje OZ las curvas x = f1(z) y x = f2(z) respectivamente.

(ii) Considrese el campo vectorial de IR3

X = x x

y y

+ (2z 1) z

.

(a) Calcular el flujo de X a travs de S = S1 S2.(b) Calcular el flujo de X a travs de S2.

(c) Calcular la circulacin de X a lo largo de S {(x, y, z) IR3 : z = 1}.(d) Calcular la circulacin de X a lo largo de S {(x, y, z) IR3 : x = 0}.


53/86



Solucin:

(i) Como se trata de superficies de revolucin las podemos parametrizar de la siguiente ma-nera,

S1 : xxxxxxxxxxxxxx(, z) = (

1 + z2 cos ,

1 + z2 sen , z), (, z)

[0, 2]

[0, 1].

S2 : xxxxxxxxxxxxxx(, z) = (3 z2 cos , 3 z2 sen , z), (, z) [0, 2] [1, 3].(ii)

(a) La superficie S no es frontera de nign abierto de IR3 por lo que para aplicar el Teoremade la Divergencia, ser necesario utilizar un disco para formar una superficie que encierreun volumen. Ver Figura 1.38.

Entonces,

(X, S) =

V

div(X)dV D

X, NdA,

donde, D = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 1, z = 0} y la normal N = z

.

Luego,

X, N = 2z + 1 = 1.Por tanto y dado que divX = 0 el flujo es,

(X, S) = D

dA = .


54/86


Figura 1.38: Representacin de S

(b) En este caso tambin es necesario emplear una superficie auxiliar para calcular el flujo atravs de S2 . Ver figura 1.39.

(X, S2) = V

div(X)dV D2

X, NdA,

donde, D2 = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 2, z = 1} y la normal N = z

.

Luego,

X, N = 2z + 1 = 1.Finalmente,

(X, S2) = D2

dA = 2.

(c) Para calcular la circulacin sobre la circumferencia podemos aplicar el Teorema de Stokes-Ampere.

C(X,B) = B

X, Tdl = B

rot(x), NdA.

El rotacional es, rot(x) = (0, 0, 0).

Por tanto,

C(X,B) =

B

rot(x), NdA = 0.


55/86


Figura 1.39: Representacin de S2

(d) La representacin de se halla en la Figura 1.40.

Como rot(x) = (0, 0, 0) y IR3 es un abierto en forma de estrella, el campo es gradiente

X = f, donde f = x22 y2

2 + z2 z. Por tanto,

C(X, ) =

f, Tdl = f((b)) f((a)) = f(0, 1, 0) f(0, 1, 0) = 1

2+

1

2= 0.

69.- Sean, R IR+,

1 = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 + z2 = R2, z

2

2R}

2 = {(x, y, z) IR3 : R2

6 x2 + y2 R

2

2, z =

2

2R}

3 = {(x, y, z) IR3 : z2

3= x2 + y2,

2

4R z

2

2R},

= 3i=1i y X el campo vectorial de IR3

X = y x

+ x y

+ z

.



(iii) Calcular el flujo de X a travs de 3.

(iv) Calcular la circulacin de X a lo largo de (2).


56/86



Solucin:

(i) La superficie no encierra ningn volumen, pero como div(X) = 0, para hallar el flujoa travs de toda la superficie puede ser conveniente cerrar la superficie y luego aplicar elTeorema de la Divergencia. Ver Figura 1.41.

(X, ) =

X, NdA =

div(X)dV T1

X, NdA = T1

dA,

donde T1 = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 R2

24, z =

2

4R} y es tal que = T1.

Como estamos aplicando el Teorema de la Divergencia la normal a T1 debe ser la exterioral conjunto , por tanto N1 = (0, 0, 1), ya que en esta superficie z es constante.Luego X, N1 = 1, de donde

(X, ) =

T1X, NdA = T1 dA = R2

24

.

(ii) Primer mtodo

La superficie 1 es un trozo de esfera por lo que consideramos una parametrizacin de 1en coordenadas esfricas,

xxxxxxxxxxxxxx1(, ) = (R sen cos , R sen sen , R cos ), (, ) [0, 2] [0, /4].


57/86



El lmite superior de lo obtenemos al imponer z =

2

2R en la parametrizacin,

R cos =

2

2R = cos =

2

2= = /4

En este caso los campos involucrados en el clculo del flujo son,

xxxxxxxxxxxxxx = (R sen sen , R sen cos , 0),xxxxxxxxxxxxxx = (R cos cos , R cos sen , R sen ),xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = (R2 sen2 cos , R2 sen2 sen , R2 sen cos ).Por tanto, la restriccin del producto escalar a la superficie es,

X, xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = R2 sen cos .Finalmente,

(X, 1) =

1

X, NdA =20

/40

R2 sen cos dd = 2R2 cos2

2

/4

0

= R2

2.

Segundo mtodoPodemos proceder como en el primer apartado y aadir a la superficie 1 otra superficiepara encerrar un volumen, por ejemplo podemos considerar T2 = {(x, y, z) IR2 : x2 +y2 R

2

2, z =

2

2R} y 1 tal que 1 = 1 T2. Entonces,

(X, 1) =

1

div(X)dV T2

X, NdA = T2

X, NdA.


58/86


Como estamos aplicando el Teorema de la Divergencia la normal a T2 debe ser la exterioral conjunto , por tanto N1 = (0, 0,

1), ya que en esta superficie z es constante. Luego

X, N1 = 1, de donde

(X, 1) = T2

X, NdA =T2

dA = R2

2.

Observar que el cambio de signo en los resultados correspondientes al flujo es debido alcambio de orientacin en la normal.

(iii) Primer mtodo

La superficie 3 es un trozo de cono de ngulo arctan

1

3

= /6 por lo que consi-

deramos una parametrizacin de 3 en coordenadas esfricas tomando = /6,

xxxxxxxxxxxxxx3(, ) =

2cos ,

2sen ,

32

, (, )

66

,2

3

[0, 2].

Los lmites de los obtenemos al imponer los valores lmites de z para la superficie,

x2 + y2 =1

42 =

R2

24= =

6

6R,

x2 + y2 =1

42 =

R2

6= =

2

3R.

En este caso los campos involucrados en el clculo del flujo son,

xxxxxxxxxxxxxx = (

1

2 cos ,

1

2 sen ,

3

2 ),

xxxxxxxxxxxxxx = (2

sen ,

2cos , 0),

xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx =

3

4cos ,

3

4sen ,

4

.

Luego, la restriccin del producto escalar a la superficie es,

X, xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = 4

.

Finalmente,

(X, 3) = 3X, NdA =

23R

6

6 R 2

0

4dd =

42

23R

6

6 R

=R2

8.

Segundo mtodo

Podemos proceder como en los apartados anteriores y aadir a la superficie 3 otra su-perficie o superficies para encerrar un volumen, por ejemplo podemos considerar T3 =

{(x, y, z) IR2 : x2+y2 R2

24, z =

2R

4}, T4 = {(x,y,z) IR2 : x2+y2 R

2

6, z =

2R

2}

y 3 tal que 3 = 3 T3 T4. Entonces,


59/86


(X, 3) = 3

div(X)dVT3

X, NdAT4

X, NdA = T3

X, NdAT4

X, NdA.

Como estamos aplicando el Teorema de la Divergencia las normales a T3 y T4 deben serlas exteriores al conjunto 3, por tanto N3 = (0, 0, 1) y N4 = (0, 0, 1), ya que en estassuperficies z es constante. Luego X, N3 = 1 y X, N4 = 1, de donde

(X, 3) = T3

X, NdA T4

X, NdA =T3

dA T4

dA =

R2

24 R

2

6

= R

2

8

Observar que el cambio de signo en los resultados correspondientes al flujo es debido alcambio de orientacin en la normal.

(iv) La frontera de 2 es la unin de dos curvas, concretamente las circunferencias,

1() =

2

2R cos ,

2

2R sen ,

2R

2

, [0, 2]

y

2() =

6

6R cos ,

6

6R sen ,

2R

2

, [0, 2].

Podemos hallar las tangentes a las curvas y calcular las circulaciones directamente o bienpodemos intentar aplicar el Teorema de Stokes-Ampere.

C(X, 2) =

2

X, Tdl =2

rot(X), NdA,

donde N = (0, 0, 1) y rot(X) = (0, 0, 2). Por tanto, rot(X), N = 2 y

C(X, 2) =

2

2dA = 2

1

2R2 1

6R2

=2

3R2.

70.- Sean los subconjuntos de IR3 dados por

1 = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 + z2

4< 1, y > 0, z < 0},

2 = {(x, y, z) IR3 : x2 + z2

4< 1, y (8, 0), z < 0},

3 ={

(x, y, z)

IR3 : x2 +z2

4+

(y + 8)2

16< 1, z < 0, y

(

10,

8)}

,

p =3

i=1i, i = p i, i = 1, 2, 3 y Xc el campo vectorial de IR3

Xc = (3x + y) x

+ (x + 2y)

y+ (z + 2)

z.


60/86


(i) Calcular el flujo de Xc a travs de p =3

i=1i.

(ii) Calcular el flujo de Xc a travs de c = p {(x,y,z) IR3, z = 0}.(iii) Calcular el flujo de Xc a travs de a = 2 {(x, y, z) IR3, z < 0}.(iv) Calcular la circulacin de Xc a lo largo de p.

(v) Calcular la circulacin de Xc a lo largo de 2 {(x,y,z) IR3, y = 5, x > 0, z < 0}.

Solucin:

La representacin de p se encuentra en la Figura 1.42. En primer lugar calculamos ladivergencia y el rotacional,

div(Xc) = 0 y rot(Xc) = (0, 0, 2).

Figura 1.42: Representacin de p.

(i) Como el flujo que debemos calcular es a travs de una superficie que es frontera del abiertop IR3, podemos aplicar el Teorema de la Divergencia

(Xc, p) = p

< Xc, N > dA = p

div(Xc)dV = 0.

(ii) Hemos representado la superficie c en la Figura 1.43. La normal a esta superficie esNc = (0, 0, 1), por tanto

(Xc, c) =

c

< Xc, Nc > dA = 2

c

dA.


61/86


Figura 1.43: Representacin de cLuego debemos calcular el rea de la superficie. Para ello la dividimos es tres partes,

Sea A1 el rea de la superficie encerrada por la elipse x2 + (y + 8)2

16= 1, z = 0 con

y

[

10,

8]. Entonces,

A1 =

810

dy

1( y+84 )2

1( y+84 )2

dx =

810

2

1

y + 8

4

2dy =

y+84 = sen t t = arcsen

y+84

dy = 4 cos t dty = 10 t = 6y = 8 t = 0

=0/6

8cos2 t dt =

4

0/6

(1 + cos(2t)) dt = 4

t +

sen(2t)

2

0/6

=2

3+

3.

Sea A2 el rea de un rectngulo de lados 8 y 2. Entonces, A2 = 16.

Sea A3 el rea de la superficie encerrada por la elipse x2 + (y)24

= 1, z = 0 con y [0, 2].Entonces,

A3 =

11

dx

21x20

dy = 2

11

1 x2dx =

x = sen t t = arcsen xdx = cos t dtx = 1 t = 2x = 1 t = 2

=


62/86


/2

/22cos2 t dt =

/2

/2(1 + cos(2t)) dt = t +

sen(2t)

2 /2

/2= .

Finalmente,

(Xc, c) =10

3+ 32 + 2

3.

(iii) a es una porcin de cilindro elptico, concretamente, x2 +

z2

4= 1, z < 0, y [8, 0], ver

Figura 1.44. Por tanto una parametrizacin de a en coordenadas cilndricas es,

Figura 1.44: Representacin de a.xxxxxxxxxxxxxx(, y) = (cos ,y, 2sen ), y [8, 0], [, 0].

En este caso los productos involucrados en el clculo del flujo son,

xxxxxxxxxxxxxx = ( sen , 0, 2cos ),xxxxxxxxxxxxxxy = (0, 1, 0).

xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy = (2cos , 0, sen )Por tanto, la restriccin del producto escalar a la superficie es,

Xc, xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy = 6 cos2 2sen2 + 2y cos 2sen .Finalmente,

(X, a) =

a

X, NadS =0

08

(6cos2 2sen2 + 2y cos 2sen ) dyd =0

(6y cos2 2y sen2 + y2 cos 2y sen )08 d =


63/86


0

(48 cos2 16sen2 64cos 16sen ) d =24

+sen(2)

2

8

sen(2)2

64sen + 16cos

0

= 16 + 32.

(iv) p es la curva representada en la Figura 1.45.

Figura 1.45: Representacin de p

Podemos aplicar el Teorema de Stokes-Ampere para calcular la circulacin,

C(p, Xc) = p

Xc, Tdl = c

rot(Xc), NcdS+ Trot(Xc), NtdS,

donde T es la superficie x2 +z2

4 3

4, y = 10, z 0. Por tanto, Nt = (0, 1, 0). Como

rot(Xc) = (0, 0, 2) tenemos que,

rot(Xc), Nc = 2 y rot(Xc), Nt = 0.Luego,

C(p, Xc) = 2c

dA =10

3+ 32 + 2

3.

(v) Sea = 2 {

(x, y, z)

IR3, y =

5, x > 0, z < 0

}, ver Figura 1.46.

Una parametrizacin de es,

() = (cos , 5, 2sen ), (2

, 0).

El vector tangente a es,

() = ( sen , 0, 2cos ) y Xc, = 7cos sen + 4 cos 5sen .


64/86



Por tanto,

C(, Xc) =

Xc, Tdl =0/2

(7cos sen + 4 cos 5sen ) d =

72 sen2 + 4 sen + 5 cos )0

/2 =11

2 .

71.- Consideremos las curvas parametrizadas en IR3 dadas por

1(t) = (1, t 1, 0), w1(t) = (t, 2 t, 10),2(t) = (1 t, 1, 0), w2(t) = (t 2, t, 10),3(t) = (1, 1 t, 0), w3(t) = (t, t 2, 10),4(t) = (t 1, 1, 0), w4(t) = (2 t,t, 10),

donde t [0, 2]. Para cada i = 1, , 4, sea i la superficie reglada con directriz i generadapor rectas con vector director wi y parmetro v [0, 1]. Consideremos X el campo vectorial deIR3

X = y

x + x

y + z

z .

(i) Calcular el flujo de X a travs de 1.

(ii) Calcular el flujo de X a travs de4

i=1i.

(iii) Calcular la circulacin de X a lo largo de 1.


65/86


(iv) Calcular la circulacin de X a lo largo de 1 2.

(v) Calcular la circulacin de X a lo largo de 4i=1

i {z = 10}.Solucin:

(i) La superficie 1 es la superficie reglada formada por las rectas que se apoyan en la recta1 generada por rectas con vector director w1. Por tanto una parametrizacin ser,

xxxxxxxxxxxxxx1(t, v) = (1 vt,t 1 + v(2 t), 10v), t [0, 2], v [0, 1].La representacin de 1 se encuentra en la Figura 1.47.


Por tanto, los campos involucrados en el clculo del flujo son,

xxxxxxxxxxxxxx1t = (v, 1 v, 0),xxxxxxxxxxxxxx1v = (t, 2 t, 10),xxxxxxxxxxxxxx1t xxxxxxxxxxxxxx1v = (10(1 v), 10v, 2v + t).Entonces, la restriccin del producto escalar a la superficie es,


66/86


X, xxxxxxxxxxxxxx1t xxxxxxxxxxxxxx1v = 10(1 v)(t 1 + v(2 t)) + 10v(1 vt) + 10v(t 2v) =

10v(t 1 + 2v vt + 1 vt + t 2v) + 10(1 t 2v + vt) = 10(1 t 2v + 3vt 2v2

t).Finalmente,

(X, 1) = 10

10

20

(1 t 2v + 3vt 2v2t) dtdv =

10

10

t t

2

2 2vt + 3

2vt2 v2t2

20

dv = 10

10

2v 4v2 dv =

10

v2 4

3v31

0

= 103

.

(ii) Primer mtodo

Podemos calcular el flujo a travs de

4i=1

i como suma de los flujos de cada una de las

superficies, ya que en el apartado anterior hemos calculado el flujo a travs de 1. Paraello parametrizamos las tres restantes y efectuamos los calculos necesarios.

xxxxxxxxxxxxxx2(t, v) = (1 t + v(t 2), 1 vt, 10v), t [0, 2], v [0, 1].xxxxxxxxxxxxxx2t = (1 + v, v, 0),xxxxxxxxxxxxxx2v = (t 2, t, 10),xxxxxxxxxxxxxx2t xxxxxxxxxxxxxx2v = (10v, 10(v 1), 2v + t).X, xxxxxxxxxxxxxx2t xxxxxxxxxxxxxx2v = 10v(1 vt) 10(v 1)(1 t + vt 2v) + 10v(t 2v) =10v(1 vt 1 + t vt + 2v + t 2v) + 10(1 t 2v + vt) = 10(1 t 2v + 3vt 2v2t).

Luego, (X, 2) = (X, 1).xxxxxxxxxxxxxx3(t, v) = (1 + tv, 1 t + v(t 2), 10v), t [0, 2], v [0, 1].xxxxxxxxxxxxxx3t = (v, 1 + v, 0),xxxxxxxxxxxxxx3v = (t, t 2, 10),xxxxxxxxxxxxxx3t xxxxxxxxxxxxxx3v = (10(v 1), 10v, 2v + t). X, xxxxxxxxxxxxxx3t xxxxxxxxxxxxxx3v = 10(v 1)(1 t + vt 2v) 10v(vt 1) + 10v(t 2v) =10(1 t 2v + 3vt 2v2t).Luego, (X, 3) = (X, 1).

xxxxxxxxxxxxxx4(t, v) = (t 1 + v(2 t), 1 + vt, 10v), t [0, 2], v [0, 1].xxxxxxxxxxxxxx4t = (1

v,v, 0),

xxxxxxxxxxxxxx4v = (2 t,t, 10),xxxxxxxxxxxxxx4t xxxxxxxxxxxxxx4v = (10v, 10(1 v), 2v + t).X, xxxxxxxxxxxxxx4t xxxxxxxxxxxxxx4v = 10v(1 vt) 10(1 v)(1 + t vt + 2v) + 10v(t 2v) =10(1 t 2v + 3vt 2v2t).Luego, (X, 4) = (X, 1).


67/86


Finalmente,

(X,

4i=1

i) = 4(X, 1) = 403

.

Segundo mtodo

Dado que div(X) = 1, podemos aadir a la superficie4

i=1i otras dos superficies para

encerrar un volumen, por ejemplo podemos considerar T1 = {(x,y,z) IR3 : 1 x 1, 1 y 1, z = 0}, T2 = {(x, y, z) IR3 : 1 x 1, 1 y 1, z = 10} y talque, =

4i=1

i T1 T2. La representacin de4

i=1i se halla en la Figura 1.48.


Entonces,

(X,4

i=1i) =

div(X)dV T1

X, N1dA T2

X, N2dA.

Calculemos el volumen de . Podemos proceder al clculo mediante la frmula del volumen


68/86


por secciones,

vol() = 100

A(z)dz,

donde A(z) es el rea de la seccin z = cte en . Comprobemos que las secciones z = z0o equivalentemente v = v0 son cuadrados de lado,

(z) = 2

z2

100+ z

10 12

.

Las curvas interseccin de4

i=1i con v = v0 son segmentos de rectas parametrizadas por

i(t) = xxxxxxxxxxxxxxi(t, v0), t [0, 2]. Adems,

1(t) = (1 v0t, t 1 + v0(2 t), 10v0), 1(t) = (v0, 1 v0, 0).2(t) = (1

t + v0(t

2), 1

v0t, 10v0),

2(t) = (v0

1,

v0, 0).

3(t) = (1 + v0t, 1 t + v0(t 2), 10v0), 3(t) = (v0, 1 + v0, 0).4(t) = (t 1 + v0(2 t), v0t 1, 10v0), 4(t) = (1 v0, v0, 0).

Observemos que 1 es paralelo a 3,

2 es paralelo a

4 y que

1 es ortogonal a

2.

Para concluir, basta comprobar que las longitudes de los lados del paraleleppedo soniguales. Sus vrtices son p1 = 1(0) = 4(2), p2 = 2(0) = 1(2), p3 = 3(0) = 2(2) y

p4 = 4(0) = 3(2) y por tanto,

1 = d(1(0), 1(2)) =

4v20 + 4(v0 1)2 = 2 = d(2(0), 2(2)).

Luego, A(z) = 8

z2

100 z

10+

1

2

y por tanto,

div(X)dV = 8 100 z2

100 z

10+ 1

2 dz = 8 z3

300 z

2

20+ z

210

0= 80

3.

Finalmente, las normales a T1 y a T2 deben ser las exteriores al conjunto , por tantoN1 = (0, 0, 1) y N2 = (0, 0, 1), ya que en estas superficies z es constante. Luego X, N1 =z = 0 y X, N2 = z = 10. Teniendo en cuenta que T2 es un cuadrado de rea 4 resultaque,

(X,

4i=1

i) =80

3 40 = 40

3.

(iii) Para calcular la circulacin a lo largo de 1 aplicamos el Teorema de Stokes-Ampre oTeorema del rotacional, ya que tenemos casi todos los calculos hechos.

rot(X) = (0, 0, 2), rot(X), xxxxxxxxxxxxxx1t xxxxxxxxxxxxxx1v = 2(2v + t).Por tanto,

C(X, 1) = 210

20

2(2v + t)dvdu = 210

t2

2 2vt

20

dv = 4

10

(1 2v)dv =

4

v v210

= 0.


69/86


(iv) La curva = 1 2 no es frontera de ninguna superficie, por tanto para calcular lacirculacin parametrizamos la curva. Para ello debemos recordar las parametrizaciones delas dos superficies y tener en cuenta que el parmetro t es distinto en cada una de ellas:

xxxxxxxxxxxxxx1(t1, v) = (1 vt1, t1 1 + v(2 t1 1), 10v), t1 [0, 2], v [0, 1].xxxxxxxxxxxxxx2(t2, v) = (1 t2 + v(t2 2), 1 vt2, 10v), t2 [0, 2], v [0, 1].

Luego la curva interseccin que se obtiene es,

1 vt1 = 1 t2 + v(t2 2)t1 1 + v(2 t1) = 1 vt2

= v(t2 2 + t1) = t2

v(2 t1 + t2) = 2 t1

= v = t2t2 + t1 2 =

2 t12 t1 + t2 = t

22 + (t1 2)2 = 0 = t2 = 0, t1 = 2.

Por tanto,(v) = xxxxxxxxxxxxxx1(2, v) = xxxxxxxxxxxxxx2(0, v) = (1 2v, 1, 10v).

El vector tangente es,

(v) = (2, 0, 10) y X, (v) = 2 + 100v.Luego,

C(X, ) =

X, T dl = 210

(1 + 50v)dv = 2

v + 25v21

0

= 52.

(v) Sea 2 =

4

i=1i

{z = 10} = T2, donde T2 es la superficie definida en (ii). Entonces,

2 es la frontera de un cuadrado de lado 2 en el plano z = 10, por lo que podemos aplicar

el Teorema de Stokes-Ampre. En este caso la normal al cuadrado es N = (0, 0, 1) yrot(X), N = 2. Luego,

C(X, 2) =2

X, Tdl =T2

rot(X), NdS = 8.

72.- Sean a > r > 0,

1 = {(x, y, z) IR3 : x = (a + r cos u)cos v, y = (a + r cos u)sen v, z = r sen u,u [0, ], v [0, 2]}

2 = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 + z2 = (a + r)2, z 0}

3 = {(x, y, z) IR3 : x2 + y2 + z2 = (a r)2, z 0}

y =3

i=1i. Consideremos X el campo vectorial de IR

3

X = x

x+ z

y y

z.


70/86




(iii) Calcular la circulacin de X a lo largo de {(x, y, z) IR3 : x = 0}.

(iv) Calcular la circulacin de X a lo largo de {(x, y, z) IR3 : z = 0}.

Solucin:

En primer lugar hallamos las superficies involucradas y el conjunto . La superficie 1 esla mitad superior de un toro ya que u [0, ] y por tanto z = r sen u 0. Por otro lado lassuperficies 2 y 3 son dos medias esferas con z

0 de radios a + r y a

r. Ver Figura 1.49.


(i) Como la superficie encierra un volumen y div(X) = 1, podemos aplicar el Teorema dela divergencia para calcular el flujo pedido,

(X, ) =

div(X)dV = vol(),

donde es el abierto de IR3 tal que = . El volumen de es el volumen de mediotoro ms el volumen de media esfera de radio a + r menos el volumen de media esfera deradio a r. Por tanto, lo nico que debemos calcular es el volumen del toro. Para elloconsideramos las coordenadas dadas en el enunciado pero haciendo variar r para obtener


71/86


un volumen y calculamos el jacobiano del cambio.

xxxxxxxxxxxxxx(,u,v) = ((a + cos u) cos v, (a + cos u) sen v, sen u) , [0, r], u [0, ], v [0, 2],xxxxxxxxxxxxxx = (cos u cos v, cos u sen v, sen u) ,

xxxxxxxxxxxxxxu = ( sen u cos v, sen u sen v, cos u) ,xxxxxxxxxxxxxxv = ((a + cos u) sen v, (a + cos u) cos v, 0) ,g11 = 1, g22 =

2, g33 = (a + cos u)2, g12 = g13 = g23 = 0,

g = (a + cos u).

Por tanto,

vol(T /2) =

r0

0

20

(a + cos u) ddudv = 2

0

2

2a +

3

3cos u

r

0

du =

2 0r2

2a + r

3

3cos u du = 2r2

2au + r

3

3sen u

0= 2r2a.

Finalmente,

(X, ) = 2r2a +2

3

(a + r)3 (a r)3 .(ii) Primera forma

Podemos calcular el flujo a travs de 2 parametrizando la superficie. Como es una esferatrabajamos en esfricas. Sea R = a + r,

xxxxxxxxxxxxxx(, ) = (R sen cos , R sen sen , R cos ), [0, 2], [/2, ].

Por tanto, los campos involucrados en el clculo del flujo son,xxxxxxxxxxxxxx = (R sen sen , R sen cos , 0),xxxxxxxxxxxxxx = (R cos cos , R cos sen , R sen ),xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = (R2 sen2 cos , R2 sen2 sen , R2 sen cos ).Luego, la restriccin del producto escalar a la superficie es,

X, xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = R3 sen3 cos2 + R3 sen2 cos sen2 R3 sen2 cos sen =R3 sen3 cos2 .

Finalmente,

(X, 2) = R3

/2

20

sen3 cos2 dd = R3/2

sen (1 cos2 )d

20

1 cos(2)2

d =R3

2

cos + 13

cos3

/2

sen(2)

2

20

=2

3(a + r)3.

Segunda forma

Dado que div(X) = 1, podemos aadir a la superficie 2 otra superficie para encerrar unvolumen, por ejemplo podemos considerar T1 = {(x,y,z) IR3 : z = 0, x2+y2 (a+r)2}y 1 tal que 1 = 2. Ver Figura 1.50.


72/86


Figura 1.50: Representacin de 2 T1

Entonces,

(X, 2) =

1

div(X)dV T1

X, N1dS.

Por un lado vol(1) =2

3(a + r)3 y por otro, T1 es un disco que podemos parametrizar

en coordenadas polares. Adems, N1 = (0, 0, 1), X, N1 = y y g = . Por tanto,

(X, 2) = 1 div(X) T1X, N1 =2

3(a+r)3+

20

a+r0

2 sen dd = 23

(a+r)3+

a+r0

2 cos

d

20

=2

3(a+r)3.

(iii) La representacin de la curva = {(x, y, z) IR3 : x = 0} se halla en la Figura 1.51.Podemos ver a la curva como la frontera de una superficie, 4, formada por dos medioscrculos y medio anillo circular cuya normal es N4 = (1, 0, 0). Por tanto, para calcular lacirculacin a lo largo de podemos aplicar el Teorema de Stokes-Ampre o del rotacional.En este caso,

rot(X) = (2, 0, 0), rot(X), N4 = 2.Por tanto,

C(X, ) =

X, Tdl = 4

rot(X), N4dS = 2 area(4) =

2

r2 +(a + r)2 (a r)2

2

= 2r(r + 2a).

(iv) La curva = {(x, y, z) IR3 : z = 0} es la unin de dos circunferencias concntricasde radios a + r y a r, por tanto podemos verla como la frontera de un anillo circular,


73/86



5, y aplicar el Teorema de Stokes-Ampre. En este caso,

rot(X) = (2, 0, 0), N5 = (0, 0, 1), rot(X), N5 = 0.Por tanto,

C(X, ) =

X, Tdl =5

rot(X), N5dS = 0.

73.- Sean los subconjuntos de IR3 dados por

1 = {(x, y, z) IR3 : 3 x 3, 25 y 37, y 25 z 12}

2 = {(x, y, z) IR3 : 3 x 3, 25 y 25, 25 +

(25

2)2 y2 z 12}3 = {(x, y, z) IR3 : 3 x 3, 37 y 25, y 25 z 12},

=3

i=1i y X el campo vectorial de IR

3

X = y

y+ z

z.


(ii) Calcular el flujo de X a travs de c = {(x,y,z) IR3(z + 25)2 + y2 = (25

2)2}.(iii) Calcular el flujo de X a travs de p = {(x, y, z) IR3z = y 25}.(iv) Calcular la circulacin de X a lo largo de c {(x, y, z) IR3 : x = 3}.


74/86



(v) Calcular la circulacin de X a lo largo de c.

Solucin: La representacin de se halla en la Figura 1.52.

(i) Como div(X) = 2, (X, ) =

X, NdS =

div(X) = 2

dV.

El volumen de es dos veces el volumen de un prisma triangular de lados 12, 12 y 6 quedenotaremos por VP, ms el volumen de A, donde A est repersentado en la Figura 1.53. V P = 1

212 12 6 = 432.

V(A) =33

dx

250

dy

1225+

(25

2)2y2

dz = 6

250

37

(25

2)2 y2 dy =y = 25

2sen

dy = 25

2cos d

y = 25 = arcsin 12

= /4

y = 0 = 0

= 6 37 25 6/40

(25

2)2 cos2 d =

6 37 25 6 252

2/40

1 + cos 2

2 d = 6 37 25 6 252 + sen22

/4

0dx =

6 37 25 6 252

4+

1

2

= 75(49 25/2)

Por tanto,

V() = 2 432 + 2 75(49 25/2) = 8214 1875,


75/86



luego

(X, ) = 2V() = 16428 3750.(ii) c es la parte cilndrica de , ver Figura 1.54.

Primera forma

Parametrizamos c mediante coordenadas cilndricas descentradas ya que la circunferencia

que define el cilindro tiene centro en (0, 0, 25).xxxxxxxxxxxxxx(x, ) = (x, 25

2cos , 25 + 252sen ), (x, ) [3, 3] [/4, 3/4].

El intervalo de variacin de se halla mediante el intervalo de variacin de la variable y:

y = 25 = 252cos = 25 = = arcos(2/2) = 3/4.De forma anloga y = 25 = = /4.Los campos involucrados en el clculo del flujo son,

xxxxxxxxxxxxxxx = (1, 0, 0), xxxxxxxxxxxxxx = (0, 25

2sen , 25

2cos ),

xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = (0, 25

2cos , 252sen ).Por tanto, la restriccin del producto escalar a la superficie es,

X, xxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxx

=

(25

2)2 + 252

2sen .

Finalmnte,

(X, c) =

33

3/4/4

(25

2)2 + 252

2sen dxd =

6 252

2

2cos

3/4/4

= 6 252( 2) = 3750(2 ).


76/86


Figura 1.54: Representacin de c y c

Segunda forma

Parametrizamos c mediante coordenadas cartesianas.

zzzzzzzzzzzzzz(x, y) = (x,y,

25 +(25

2)2

y2), (x, y)

[

3, 3]

[

25, 25].

Los campos involucrados en el clculo del flujo son,

zzzzzzzzzzzzzzx = (1, 0, 0), zzzzzzzzzzzzzzy =

0, 1, y(25

2)2 y2

,zzzzzzzzzzzzzzx zzzzzzzzzzzzzzy =

0, y(25

2)2 y2

, 1

.Por tanto, la restriccin del producto escalar a la superficie es,

X, zzzzzzzzzzzzzzx zzzzzzzzzzzzzzy = (25

2)2

(25

2)2 y2 25.

Finalmente,

(X, c) =

33

2525

(25

2)2(25

2)2 y2

25dxdy =

6 252

2arcsiny

25

2

2525

2

= 6 252( 2) = 3750(2 ).


77/86


Observar que el cambio de signo viene dado por el cambio de orientacin en las normales.

Tercera formaCalculamos el flujo a travs de c mediante la consideracin de un volumen que contengaa c como parte de su frontera. Por ejemplo Vc puede ser el representado en la Figura1.55

Figura 1.55: Representacin de Vc

Entonces,

(X, c) =

Vc

div(X) 5

i=1

Si

X, Ni.

Para calcular los flujos sobre el resto de superficies que forman parte de la frontera de Vccalculamos:

X, N1 = 0, X, N2 = y|S2 = 25, X, N3 = 0,X, N4 = z|S4 = 12, X, N5 = y|S5 = 25.Por tanto,

(X, N1) = (X, N3) = 0,

(X, N2) = (X, N5) =

Si

< X, Ni >= 25

Si

dA = 25 12 6 = 1800,

(X, N4) =

S4

< X, N4 >= 12

S4

dA = 12 6 50 = 3600.


78/86


De donde,

(X, c) = 2(7350 1875) 2 1800 3600 = 3750(2 ).(iii) La representacin de p se halla en la Figura 1.56.

Figura 1.56: Representacin de p

Una parametrizacin de la superficie y los campos involucardos en el clculo del flujo son,

xxxxxxxxxxxxxx(x, y) = (x, y, y 25), (x, y) [3, 3] [25, 37].

xxxxxxxxxxxxxxx = (1, 0, 0), xxxxxxxxxxxxxxy = (0, 1, 1),xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy = (0, 1, 1).Por tanto, la restriccin del producto escalar a la superficie es,

X, xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxy = y + z = 25De donde,

(X, p) =

33

3725

25 dxdy = 6 25 12 = 1800.

(iv) Sea = c {(x, y, z) IR3 : x = 3}. Debemos observar que rotX = 0 y como el campoest definido en un abierto con forma de estrella X = f, basta observar X para deducirque f(x, y, z) = y2/2 + z2/2. Por tanto, para cualquier curva,

C(X, ) = f((b)) f((a)).En nuestro caso (3/4) = (3, 25, 0) y (/4) = (3, 25, 0), ver Figura 1.57.De donde,

C(X, ) = 0.

Podemos calcular la circulacin parametrizando la curva,


79/86



() = (3, 25

2cos , 25 + 252sen ), [/4, 3/4].Por tanto,

() = (0, 252sen , 252cos ) y , X = 2522cos .De donde,

C(X, ) =

3/4

/42522cos d = 2522cos .

(v) Como la curva = c es cerrada, ver Figura 1.54 y el campo es gradiente C(X, ) = 0.Otra forma alternativa de calcular esta circulacin es aplicando el Teorema de Stokes-Ampere.

C(X, ) =

c

X, Tdl =c

rotX, NdS = 0.

74.- Sean, a, b IR+, a < b < 4a,

= {(x, y, z) IR3 : x = cos , y = y, z = sen , con (a, b), y (z 4a, 4a z), (/6, + /6)}

y X el campo vectorial de IR

3

X = (2a z) z

.


(ii) Calcular el flujo de X a travs de p = {(, y, ) IR3 : y = sen + 4a}.(iii) Calcular el flujo de X a travs de a = {(, y, ) IR3 : = a}.


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(iv) Calcular la circulacin de X a lo largo de a p.

Solucin:

La representacin de se halla en la Figura 1.58


(i) Como div(X) = 1, (X, ) =

X, NdS =

div(X) =

dV.

El volumen de se puede calcular dividindolo en tres partes, la parte centralC

en la quey (3a, 3a), y dos veces el volumen de una de las partes externas: A, ver Figura 1.59

V(C) =ba

+/6/6

3a3a

dydd = 6a( +

3)

2

2

ba

= 4a(b2 a2)

V(A) =ba

+/6/6

4a sen 3a

dydd =

ba

+/6/6

(a sen ) dd =ba

(a + cos )

+/6/6

d =

ba

a

4

3

3

d =

a

4

3

2

2

3

3

3

b

a

=2

3a(b2 a2)

3

3(b3 a3)

Por tanto,

X, NdS = 2

3

3(b3 a3) 16

3a(b2 a2)

(ii) Una parametrizacin de p es,

xxxxxxxxxxxxxx(, ) = ( cos , sen + 4a, sen ), (a, b), (/6, + /6),


81/86



dado que p se obtiene al restringir la y en la superficie , concretamentey = sen + 4a.Los campos involucrados en el clculo del flujo son,

xxxxxxxxxxxxxx = (cos , sen , sen ),xxxxxxxxxxxxxx = ( sen , cos , cos ),xxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxx = (0,

, ).

Por tanto, la restriccin del producto escalar a la superficie es,

X, xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx = (2a sen ).Luego, el flujo es,

(X, p) =

ba

+/6/6

(2a sen ) dd =ba

(2a + cos )

+/6/6

d =

ba

8

3a

3

d =

4

3a2

3

33

ba

=4

3a(b2 a2)

3

3(b3 a3).

(iii) Una parametrizacin de a es,

yyyyyyyyyyyyyy(y, ) = (a cos , y, a sen ), (/6, + /6), y (a sen 4a, 4a a sen ).Los campos involucrados en el clculo del flujo son,

yyyyyyyyyyyyyyy = (0, 1, 0), yyyyyyyyyyyyyy = (a sen , 0, a cos ),yyyyyyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyyyyy = (a cos , 0, a sen ).Por tanto, la restriccin del producto escalar a la superficie es,


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X, yyyyyyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyyyyy = a2(2sen sen2 ).

Finalmente,

(X, a) =

+/6/6

4aa sen a sen 4a

a2(2sen sen2 ) dyd =+/6/6

2(4a a sen )a2(2sen sen2 )d =+/6/6

2a2(8a sen 6a sen2 + a sen3 )d =

2a2

8a cos 3a

sen22

a cos + a cos

3

3

+/6

/6=

2a2 8

3a

6a( 23

3

4) +

3

2a

3

4a = 2a3 27

3

4 4 .

(iv) Sea = a p. Debemos observar que rot X = 0 y como el campo est definido en unabierto con forma de estrella X = f, basta observar X para deducir que f(x, y, z) =2az z2/2. Por tanto, para cualquier curva desde t0 hasta t1,

C(X, ) = f((t1)) f((t0)).

En nuestro caso () = (a cos , a sen + 4a, a sen ), (/6, + /6). Luego,f((/6)) = f

a

3

2,

a

2+ 4a, a

2

= a2 a

2

8= a

2

9y

f(( + /6)) = fa

3

2

,a

2

+ 4a,

a

2 = a2

a2

8

=

a2

9

.

De donde,C(X, ) = 0.

75.- Sean 0 < a < b,

=

(x, y, z) IR3 : y2 + z2 a2, x2 + z2 a2, z 0, z 2b x, z 2b + x,z 2b y, z 2b + y, si x [b, a], y [b, b],si x [a, a], y [b, a] [a, b] y si x [a, b], y [b, b]

y X el campo vectorial de IR3

X = y x

+ x

y+ z

z.


(ii) Calcular el flujo de X a travs de 1 = {(x, y, z) IR3 : y2 + z2 = a2, x 0}.item[(iii)] Calcular el flujo de X a travs de 2 = {(x, y, z) IR3 : z = 2b x}.


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(iv) Calcular la circulacin de X a lo largo de 1.

(v) Calcular la circulacin de X a lo largo de 2.

(vi) Calcular la circulaci

ejercicios resueltos rotacional y teorema de stokes _electromagnetismo

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