08 Teorema Stokes

KALKULUS VEKTOR

8

8

Teorema Stokes

Pada bagian ini, kita akan mempelajari:

Teorema Stokes dan

penggunaannya dalam integral.

KALKULUS VEKTOR

TEOREMA STOKES VS. TEOREMA GREEN

Teorema Stokes dapat dianggap sebagai

Teorema Green versi dimensi yang lebih

tinggi.

Teorema Green menghubungkan integral lipat dua

terhadap daerah/bidang datar D dengan integral garis

sepanjang kurva batas bidang tersebut.

Teorema Stokes menghubungkan integral permukaan

terhadap permukaan S dengan integral garis sepanjang

kurva batas S (kurva ruang).

PENDAHULUAN

Gambar berikut menunjukkan permukaan

berarah dengan vektor normal satuan n.

Arah S menunjukkan arah positif dari kurva batas

C.

Ini berarti bahwa:

Jika Anda berjalan dalam arah positif sepanjang C

dengan kepala Anda searah dengan arah n,

permukaan akan selalu berada di sebelah kiri Anda.

PENDAHULUAN

TEOREMA STOKES

Misalkan:

S merupakan suatu permukaan mulus sepotong-

sepotong berarah yang dibatasi oleh suatu kurva batas

C mulus sepotong-sepotong, sederhana, tertutup

dengan arah positif.

F merupakan medan vektor yang komponen-

komponennya memiliki turunan parsial kontinyu pada

daerah terbuka dalam ruang yang mengandung S.

Maka, curlC

S

d d F r F S

Sehingga, Teorema Stokes mengatakan:

Integral garis sepanjang kurva batas S dari komponen

tangensial F sama dengan integral permukaan

komponen normal dari curl F.

dan

curl curl

C C

S S

d ds

d d

F r F T

F S F n S

TEOREMA STOKES

Kurva batas berarah positif dari permukaan

berarah S sering dituliaskan sebagai S.

Jadi, teorema ini dapat dituliskan sebagai:

curlS

S

d d

F S F r

Persamaan 1 TEOREMA STOKES

TEOREMA STOKES, TEOREMA GREEN, TDK

Ada analogi diantara Teorema Stokes,

Teorema Green, dan Teorema Dasar Kalkulus

(TDK).

Seperti dinyatakan sebelumnya, ada integral yang

melibatkan turunan pada ruas kiri Persamaan 1 (ingat

kembali bahsa curl F merupakan bentuk ringkas dari

turunan F).

Ruas kanan melibatkan nilai F hanya pada batas S.

Kenyataannya, perhatikan kasus khusus

dimana permukaan S:

Datar.

Terletak pada bidang-xy dengan arah ke atas.


Maka,

Normal satuan adalah k.

Integral permukaan menjadi integral lipat dua.

Teorema Stokes menjadi:

curl curlC

S S

d d dA F r F S F k


Ini hampir sama dengan bentuk vector

Teorema Green yang diberikan pada

Persamaan 12 pada bagian 5

Sehingga, kita dapat melihat bahwa Teorema

Green merupakan kasus khusus dari Teorema

Stokes.


TEOREMA STOKES

Teorema Stokes terlalu sulit bagi kita untuk

membuktikan dalam bentuk umum.

Namun, kita dapat membuktikan ketika:

S merupakan grafik.

F, S, dan C berperilaku baik.

TEOREMA STOKESKASUS KHUSUS

Kita anggap bahwa persamaan S

adalah:

z = g(x, y), (x, y) D

dengan:

g memiliki turunan parsial orde-kedua kontinyu.

D merupakan daerah bidang sederhana yang kurva

batas C1 bersesuaian dengan C.

Bukti

Jika arah S ke atas, arah positif C

bersesuaian dengan arah positif C1.

BuktiTEOREMA STOKESKASUS KHUSUS

Kita juga ingat bahwa:

F = P i + Q j + R k

dengan turunan parsial dari P, Q, dan R

kontinyu.


S merupakan grafik suatu fungsi.

Sehingga, kita dapat menggunakan

Formula 10 pada bagian 7 dengan F diganti

dengan curl F.


Hasilnya adalah:

dengan turunan parsial dari P, Q, dan R

dapat dihitung pada (x, y, g(x, y)).

curlS

D

d

R Q z P R z Q PdA

y z x z x y x y

F S

BuktiPers. 2TEOREMA STOKESKASUS KHUSUS

Misalkan

x = x(t) y = y(t) a t b

merupakan persamaan parametric dari C1.

Maka, persamaan parametric dari C

adalah:

x = x(t) y = y(t) z = g(x(t), y(t)) a t b


Ini memungkinkan kepada kita, dengan

bantuan Dalil Rantai, untuk menghitung

integral integral garis seperti berikut ini:

C

b

a

b

a

d

dx dy dzP Q R dt

dt dt dt

dx dy z dx z dyP Q R dt

dt dt x dt y dt

F r


Kita gunakan Teorema Green pada langkah

terakhir.

1

b

a

C

D

z dx z dyP R Q R dt

x dt y dt

z zP R dx Q R dy

x y

z zQ R P R dA

x y y x


Selanjutnya, kita gunakan Dalil Rantai

lagi, ingat bahwa:

P, Q, dan R adalah fungsi dari x, y, dan z.

z sendiri merupakan fungsi dari x dan y.


Sehingga, diperoleh:

2

2

C

D

d

Q Q z R z R z z zR

x z x x y z x y x y

P P z R z R z z zR dA

y z y y x z y x y x

F r


Empat suku dalam integral lipat dua saling

menghilangkan.

Enam yang tersisa dapat disusun ulang

serupa dengan ruas kanan Persamaan 2.

Oleh karena itu, curlC

S

d d F r F S


TEOREMA STOKES

Hitung

dengan:

F(x, y, z) = y2 i + x j + z2 k

C adalah kurva perpotongan antara bidang

y + z = 2 dand silinder x2 + y2 = 1.

(Arah C berlawanan arah jarum jam jika dilihat

dari atas.)

Cd F r

Contoh 1

Kurva C (elips) ditunjukkan pada

gambar.

dapat dihitung

secara langsung.

Namun demikian, lebih

mudah menggunakan

Teorema Stokes.

Cd F r

Contoh 1 TEOREMA STOKES

Pertama kita hitung:

2 2

curl 1 2yx y z

y x z

i j k

F k


Ada banyak permukaan yang dibatasi C.

Pilihan paling sesuai adalahdaerah elips S pada bidang y + z = 2 yang dibatasi C.

Jika arah S ke atas, C memiliki arah positif.


Proyeksi D dari S pada bidang-xy

adalah cakram x2 + y2 1.

Jadi, menggunakan

Persamaan 10 pada bagian

7 dg z = g(x, y) = 2 y,

diperoleh hasil berikut.


2 1

0 0

12 3

2

00

21 22 30

12

curl 1 2

1 2 sin

2 sin2 3

sin

2 0

CS D

d d y dA

r r dr d

r rd

d

F r F S


Gunakan Teorema Stokes untuk menghitung

dengan:

F(x, y, z) = xz i + yz j + xy k

S adalah bagian dari

bola x2 + y2 + z2 = 4

yang terletak di

dalam silinder

x2 + y2 =1

dan di atas

bidang-xy.

curlS

d F S


Untuk mencari kurva batas C,

kita selesaikan:

x2 + y2 + z2 = 4 dan x2 + y2 = 1

dikurangkan,

diperoleh z2 = 3.

Jadi,

(karena z > 0).

Contoh 2

3z

TEOREMA STOKES

Jadi, C adalah lingkaran dengan

persamaan: x2 + y2 = 1, 3z

Example 2 TEOREMA STOKES

Persamaan vektor C adalah:

r(t) = cos t i + sin t j + k 0 t 2

Karena itu, r(t) = sin t i + cos t j

Juga, diperoleh:

3

Example 2

3cos 3sin cos sint t t t t F r i j k

TEOREMA STOKES

Sehingga, dengan Teorema Stokes,

2

0

2

0

2

0

curl

( ( )) '( )

3 cos sin 3 sin cos

3 0 0

CS

d d

t t dt

t t t t dt

dt

F S F r

F r r

Example 2 TEOREMA STOKES

Perhatikan, dalam Contoh 2, kita menghitung

integral permukaan sederhana dengan

mengetahui nilai F pada kurva batas C.

Ini berarti bahwa:

Jika kita memiliki permukaan berarah lainnya

dengan kurva batas C yang sama, kita peroleh hasil

yang sama untuk integral permukaan!

TEOREMA STOKES

Secara umum, jika S1 dan S2 adalah

permukaan berarah dengan kurva batas

berarah C yang sama dan keduanya

memenuhi hipotesis Teorema Stokes, maka

Pernyataan ini sangat berguna ketika kita mengalami

kesulitan untuk mengintegralkan terhadap satu

permukaan tetapi mudah untuk mengintegralkan

terhadap yang lain.

1 2

curl curlC

S S

d d d F S F r F S

Persamaan 3 TEOREMA STOKES

VEKTOR CURL

Sekarang kita gunakan Teorema Stokes

untuk menyoroti pada makna vektor curl.

Anggap bahwa C kurva tertutup berarah dan v

menunjukkan medan kecepatan aliran fluida.

VEKTOR CURL

Perhatikan integral garis

dan ingat bahwa v T adalah komponen v

dalam arah vector tangent satuan T.

Ini berarti bahwa semakin dekat arah v terhadap

arah T, semakinbesar nilai v T.

C Cd ds v r v T

SIRKULASI

Sehingga, merupakan ukuran

kecenderungan fluida bergerak sekitar C.

Ini disebut sirkulasi v sekitar C.

Cd v r

VEKTOR CURL

Sekarang, misalkan:

P0(x0, y0, z0) merupakan titik dalam fluida.

Sa cakram kecil dengan radius a dan pusat P0.

Maka, (curl F)(P) (curl F)(P0) untuk semua titik-titik

P pada Sa karena curl F kontinyu.

VEKTOR CURL

Sehingga, dengan Teorena Stokes, diperoleh

aproksimasi dari sirkulasi sekitar lingkaran

batas Ca:

0 0

2

0 0

curl curl

curl

curl

a

a a

a

CS S

S

d d dS

P P dS

P P a

v r v S v n

v n

v n

VEKTOR CURL

Aproksimasi menjadi lebih baik jika a 0.

Sehingga, diperoleh:

0 0 201

curl limaCa

P P da

v n v r

Persamaan 4

CURL & SIRKULASI

Persamaan 4 memberikan hubungan

antara curl dand sirkulasi.

Ini menunjukkan bahwa curl v n adalah ukuran

dari pengaruh rotasi fluida pada sumbu axis n.

Pengaruh curl terbesar pada sumbu sejajar

terhadap curl v.

Bayangkan roda pedal kecil ditempatkan

pada fluida di titik P.

Roda pedal berputar

paling cepat ketika

sumbunya sejajar

terhadap curl v.

CURL & SIRKULASI

KURVA TERTUTUP

Terakhir, kita sebutkan bahwa Teorema

Stokes dapat digunakan untuk membuktikan

Teorema 4 pada bagian 5:

Jika curl F = 0 dalam semua ruang dimensi 3,

maka F adalah konservatif.

Dari Teorema 3 dan 4 pada bagian 3,

kita tahu bahwa F konservatif jika

untuk setiap lintasan tertutup C.

Diberikan C, anggap kita dapat mencari permukaan

berarah S yang batasnya adalah C.

Ini dapat dilakukan, namun membutuhkan

pembuktian dengan teknik lanjut.

0C

d F r

KURVA TERTUTUP

Maka, Teorema Stokes memberikan:

Kurva yang tidak sederhana dapat dibagi menjadi

sejumlah kurva sederhana.

Integral sekitar kurva ini semuanya adalah 0.

curl 0 0C

S S

d d d F r F S S

KURVA TERTUTUP

Menambahkan integral ini,

diperoleh:

untuk sembarang kurva tertutup C.

0C

d F r

KURVA TERTUTUP

08 Teorema Stokes

Documents

Transcript of 08 Teorema Stokes