12/7/2015

1

Sesi XIII

INTEGRAL

e-Mail : zacoeb@ub.ac.id

www.zacoeb.lecture.ub.ac.id

Hp. 081233978339

Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb

Integral Garis

Dari Gambar 6.1, sebuah obyek bergerak dengan lintasan

tidak lurus dari titik A ke titik B. Jika gaya yang diberikan

berubah nilai dan arahnya, maka usaha yang dilakukan

adalah seperti Pers. (6.1).

Gambar 6.1. Obyek dengan lintasan tidak lurus

12/7/2015

2

Integral Garis (lanjutan)

𝑾 = 𝑭𝒊. 𝚫𝒓𝒊𝒊 (6.1)

Jika perubahannya kontinu untuk perpindahan dari titik a ke

titik b sepanjang lintasan C, maka Pers. (6.1) berubah

menjadi bentuk integral seperti Pers. (6.2).

𝑾 = 𝑭. 𝒅𝒓𝒃

𝒂 (6.2)

Usaha yang dihasilkan merupakan integral garis dari fungsi

vektor F.

Integral Garis (lanjutan)

Integral garis dari suatu fungsi vektor A(t) sepanjang kurva

C yang terdefinisi pada a t b, dapat didefinisikan seperti

Pers. (6.3).

𝑨. 𝒅𝒓𝑪

= 𝑨. 𝒅𝒓𝒃

𝒂

= 𝐴1𝐢 + 𝐴2𝐣 + 𝐴3𝐤 . 𝐢𝑑𝑥 + 𝐣𝑑𝑦 + 𝐤𝑑𝑧𝑏

𝑎

= 𝐴1dx + 𝐴2𝑑𝑦 + 𝐴3𝑑𝑧𝑏

𝑎 (6.3)

12/7/2015

3

Integral Garis (lanjutan)

Untuk obyek yang bergerak dengan lintasan tertutup dimana

A = B seperti ditunjukkan Gambar 6.2, maka digunakan

Pers. (6.4).

Gambar 6.2. Obyek dengan lintasan tertutup

𝑨. 𝒅𝒓𝑪

= 𝐴1𝐢 + 𝐴2𝐣 + 𝐴3𝐤 . 𝐢𝑑𝑥 + 𝐣𝑑𝑦 + 𝐤𝑑𝑧𝑪

= 𝐴1dx + 𝐴2𝑑𝑦 + 𝐴3𝑑𝑧𝐶

(6.4)

Integral Garis (lanjutan)

Contoh : Hitung usaha yang dihasilkan sebuah obyek yang

bergerak dalam vektor F = yi + x2j, sepanjang kurva x = 2t,

y = t2 – 1 dari t = 0 hingga t = 2.

Penyelesaian :

𝑭. 𝒅𝒓𝑪

= 𝒚𝐢 + 𝒙𝟐𝐣 . 𝒅𝒙𝐢 + 𝒅𝒚𝐣𝑪

= 𝒚𝒅𝒙 + 𝒙𝟐𝒅𝒚𝟐

𝟎

= 𝒕𝟐 − 𝟏 𝟐𝒅𝒕 + 𝟐𝒕 𝟐𝟐𝒕𝒅𝒕𝟐

𝟎

= 𝟐𝒕𝟐 − 𝟐 + 𝟖𝒕𝟑 𝒅𝒕𝟐

𝟎

=𝟐

𝟑𝒕𝟑 − 𝟐𝒕 + 𝟖𝒕𝟒 𝟐

𝟎=

𝟏𝟎𝟎

𝟑 satuan panjang

12/7/2015

4

Integral Permukaan

Definisi : Jika S suatu permukaan 2 sisi yang demikian

mulus dan n adalah vektor normal satuan positif, maka fluks

(massa yang mengalir per satuan waktu) dari A(x,y,z)

melalui permukaan S adalah seperti Pers. (6.5) yang disebut

dengan integral permukaan.

Fluks 𝑭 yang melintasi 𝑺 = 𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺𝑺

(6.5)

Untuk menghitung integral permukaan akan lebih sederhana

dengan memproyeksikan S pada salah satu bidang

koordinat, kemudian menghitung integral lipat 2 dari

proyeksinya.

Integral Permukaan (lanjutan)

Jika permukaan S memiliki proyeksi pada bidang xy, maka

integral permukaan diberikan oleh Pers. (6.6).

𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺𝑺

= 𝑨. 𝒏.𝒅𝒙.𝒅𝒚

𝒏.𝐤𝑺 (6.6)

Sedangkan jika proyeksi pada bidang xz, maka integral

permukaan diberikan oleh Pers. (6.7).

𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺𝑺

= 𝑨. 𝒏.𝒅𝒙.𝒅𝒛

𝒏.𝐣𝑺 (6.7)

Dan proyeksi pada bidang yz, maka integral permukaan

diberikan oleh Pers. (6.8).

𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺𝑺

= 𝑨. 𝒏.𝒅𝒚.𝒅𝒛

𝒏.𝐢𝑺 (6.8)

12/7/2015

5

Integral Permukaan (lanjutan)

Contoh :

Hitunglah 𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺𝑺

dimana A = 18zi – 12j + 3yk, S

adalah bagian dari bidang 2x + 3y + 6z = 12 yang terletak

pada oktan pertama dan n adalah normal satuan pada S.

Penyelesaian :

Suatu normal untuk S adalah 𝛁 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟔𝒛 − 𝟏𝟐 =𝟐𝐢 + 𝟑𝐣 + 𝟔𝐤, sehingga :

𝒏 =𝟐𝐢+𝟑𝐣+𝟔𝐤

𝟐𝟑+𝟑𝟐+𝟔𝟐=

𝟐𝐢+𝟑𝐣+𝟔𝐤

𝟕

Integral Permukaan (lanjutan)

maka :

𝑨. 𝒏 = 𝟏𝟖𝒛𝐢 − 𝟏𝟐𝐣 + 𝟑𝒚𝐤 .𝟐𝐢+𝟑𝐣+𝟔𝐤

𝟕

=𝟑𝟔𝒛−𝟑𝟔+𝟏𝟖𝒚

𝟕

=𝟑𝟔

𝟏𝟐−𝟐𝒙−𝟑𝒚

𝟔−𝟑𝟔+𝟏𝟖𝒚

𝟕

=𝟑𝟔−𝟏𝟐𝒙

𝟕

12/7/2015

6

Integral Permukaan (lanjutan)

Permukaan S proyeksi R nya terhadap bidang xy. Sehingga

integral permukaan yang diinginkan adalah seperti gambar

berikut :

Integral Permukaan (lanjutan)

𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺 =𝑺

𝑨. 𝒏.𝒅𝒙.𝒅𝒚

𝒏.𝐤𝑹

= 𝟑𝟔−𝟏𝟐𝒙

𝟕.

𝒅𝒙.𝒅𝒚𝟐𝐢+𝟑𝐣+𝟔𝐤

𝟕.𝐤𝑹

= 𝟑𝟔−𝟏𝟐𝒙

𝟕.𝒅𝒙.𝒅𝒚

𝟔

𝟕𝑹

= 𝟔 − 𝟐𝒙𝟏𝟐−𝟐𝒙

𝟑𝒚=𝟎

𝟔

𝒙=𝟎𝒅𝒙. 𝒅𝒚

= 𝟔𝒚 − 𝟐𝒙𝒚 𝟏𝟐−𝟐𝒙

𝟑𝟎

𝟔

𝒙=𝟎𝒅𝒙

= 𝟔𝟏𝟐−𝟐𝒙

𝟑− 𝟐𝒙

𝟏𝟐−𝟐𝒙

𝟑

𝟔

𝒙=𝟎𝒅𝒙

= 𝟐𝟒 − 𝟏𝟐𝒙 +𝟒𝒙𝟐

𝟑

𝟔

𝒙=𝟎𝒅𝒙

= 𝟐𝟒𝒙 − 𝟔𝒙𝟐 +𝟒𝒙𝟐

𝟗 𝟔

𝟎= 𝟐𝟒 satuan luas

12/7/2015

7

Integral Volume (lanjutan)

Pandang sebuah permukaan tertutup dalam ruang yang

menutup volume V, maka :

𝑨 𝒅𝑽𝑽

= 𝑨 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛𝑽

(6.9)

dan

𝝓 𝒅𝑽𝑽

= 𝝓 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛𝑽

(6.10)

Pers. (6.10) dapat dinyatakan sebagai limit dari jumlah.

Untuk lebih jelasnya lihat Gambar 6.3 yang membagi

ruang V ke dalam M buah kubus-kubus dengan volume

𝚫𝑽𝒌 = 𝚫𝒙𝒌𝚫𝒚𝒌𝚫𝒛𝒌, 𝒌 = 𝟏, 𝟐, … , 𝑴.

Integral Volume (lanjutan)

Gambar 6.3. Integral volume

Jika 𝒙𝒌, 𝒚𝒌, 𝒛𝒌 sebuah titik

dalam kubus, dapat didefnisikan

𝝓 𝒙𝒌, 𝒚𝒌, 𝒛𝒌 = 𝝓𝒌 . Pandang

jumlah :

𝝓𝒌∆𝑽𝒌

𝒏

𝒌=𝟏

yang diambil untuk semua

kubus yang ada dalam ruang

yang ditinjau.

12/7/2015

8

Integral Volume (lanjutan)

Limit dari jumlah tersebut, jika 𝑴 → ∞, sehingga kuantitas-

kuantitas terbesar ∆𝑽𝒌 akan mendekati nol, dan jika limit ini

ada, yang dinyatakan oleh Pers. (6.10) adalah integral

volume.

Integral Volume (lanjutan)

Contoh :

Hitung 𝒇(𝒙)𝒅𝑽𝑽

dengan V

adalah ruang yang dibatasi oleh

permukaan-permukaan x + y +

z = 5, x = 0, y = 0, dan z = 0,

jika 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐.

Penyelesaian :

12/7/2015

9

Integral Volume (lanjutan)

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐𝑽

= 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐𝟓−𝒙−𝒚

𝒛=𝟎

𝟓−𝒙

𝒚=𝟎𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙

𝟓

𝒙=𝟎

= 𝒙𝟐𝒛 + 𝒚𝟐𝒛 +𝟏

𝟑𝒛𝟑 𝟓−𝒙−𝒚

𝟎

𝟓−𝒙

𝒚=𝟎

𝟓

𝒙=𝟎𝒅𝒚𝒅𝒙

= 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝟓 − 𝒙 − 𝒚 +𝟓−𝒙−𝒚 𝟑

𝟑

𝟓−𝒙

𝒚=𝟎

𝟓

𝒙=𝟎𝒅𝒚𝒅𝒙

= 𝒙𝟐 𝟓 − 𝒙 −𝒙𝟐𝒚𝟐

𝟐+

𝟓−𝒙

𝟑𝒚𝟑 −

𝒚𝟒

𝟒

𝟓

𝒙=𝟎

−𝟓−𝒙−𝒚 𝟒

𝟏𝟐 𝟓−𝒙

𝟎𝒅𝒙

= 𝒙𝟐 𝟓−𝒙 𝟐

𝟐+

𝟓−𝒙 𝟒

𝟔𝒅𝒙

𝟓

𝟎

=𝟐𝟓𝒙𝟑

𝟔−

𝟓𝒙𝟒

𝟒+

𝒙𝟓

𝟏𝟎−

(𝟓−𝒙)𝟓

𝟑𝟎 𝟓

𝟎=

𝟔𝟐𝟓

𝟒 satuan volume

Teorema Gauss

Definisi :

Jika V adalah volume yang dibatasi oleh suatu permukaan

tertutup S dan A sebuah fungsi vektor dengan turunan-turunan

yang kontinu, maka :

𝛁.𝐀𝐝𝐕𝐕

= 𝐀. 𝐧𝐝𝐒𝐒

= 𝐀. 𝐝𝐒𝐒

(7.1)

Dari Pers. (7.1), integral permukaan dari sebuah vektor A

yang mengelilingi sebuah permukaan tertutup sama dengan

integral dari divergensi A dalam volume yang diselubungi oleh

permukaan di atas. Jadi, dalam mencari integral permukaan

dapat juga digunakan Teorema Gauss.

12/7/2015

10

Teorema Gauss (lanjutan)

Agar lebih memahami teorema Gauss, lihat contoh soal berikut :

Contoh Soal :

Hitunglah 𝐀.𝐧. 𝐝𝐒𝐒

dengan 𝐀 = 2𝑥 − 𝑧 𝐢 + 𝑥2𝑦𝐣 − 𝑥𝑧2𝐤

dan S adalah permukaan kubus yang dibatasi oleh x = 0, x = 1,

y = 0, y = 1, z = 0, z = 1.

Penyelesaian :

Teorema Gauss (lanjutan)

Menurut teorema divergensi Gauss :

𝐀. 𝐧𝐝𝐒𝐒

= 𝛁. 𝐀𝐝𝐕𝐕

Maka,

𝛁. 𝐀𝐝𝐕𝐕

= 𝜕

𝜕𝑥𝐢 +

𝜕

𝜕𝑦𝐣 +

𝜕

𝜕𝑧𝐤

1

0

1

0. 2𝑥 − 𝑧 𝐢 + 𝑥2𝑦𝐣 − 𝑥𝑧2𝐤

1

0𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

= 2 + 𝑥2 − 2𝑥𝑧1

0

1

0𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

1

0

= 2𝑥 +𝑥3

3− 𝑥2𝑧 1

0

1

0𝑑𝑦𝑑𝑧

1

0=

7

3− 𝑧

1

0𝑑𝑦𝑑𝑧

1

0

= 7

3𝑦 − 𝑧𝑦 1

0𝑑𝑧

1

0=

7

3− 𝑧 𝑑𝑧

1

0

=7

3𝑧 −

1

2𝑧2 1

0=

𝟏𝟏

𝟔

Jadi,

𝐀. 𝐧𝐝𝐒𝐒

= 𝛁. 𝐀𝐝𝐕𝐕

=𝟏𝟏

𝟔 satuan

12/7/2015

11

Teorema Stokes

Definisi :

Jika S adalah permukaan berarah dalam ruang dengan batas-

batasnya adalah kurva C yang tertutup, dan misalkan F(x,y,z)

adalah fungsi vektor kontinu yang mempunyai turunan parsial

pertama yang kontinu dalam domain yang memuat S, maka :

𝐅. 𝐝𝐫𝐂

= 𝛁 × 𝐅𝐒

. 𝐧. 𝐝𝐒 (7.2)

Dari Pers. (7.2) dapat disimpulkan, integral garis dari sebuah

vektor yang mengelilingi sebuah kurva tertutup sederhana C

sama dengan integral permukaan dari curl melalui sembarang

permukaan S dengan C sebagai batasnya.

Teorema Stokes (lanjutan)

Agar lebih memahami teorema Stokes, lihat contoh soal berikut :

Contoh Soal :

Hitunglah 𝛁 × 𝐀 .𝐝𝐒𝐒

dengan 𝐀 = 2𝑥 − 𝑦 𝐢 + 𝑦𝑧2𝐣 −

𝑦2𝑧𝐤 dimana S adalah separuh dari permukaan bola 𝑥2 + 𝑦2 +

𝑧2 = 1 bagian atas dan C batasnya.

Penyelesaian :

12/7/2015

12

Teorema Stokes (lanjutan)

Batas C dari S adalah suatu lingkaran dengan persamaan 𝑥2 + 𝑦2 = 1, 𝑧 = 0

dan persamaan parameternya adalah 𝑥 = cos 𝑡 , 𝑦 = sin 𝑡 , 𝑧 = 0, dimana 0 t

2. Berdasarkan teorema Stokes 𝛁 × 𝐀𝐒

. 𝐧. 𝐝𝐒 = 𝐀. 𝐝𝐫𝐂

.

𝐀. 𝐝𝐫𝐂

= 2𝑥 − 𝑦 𝐢 − 𝑦𝑧2𝐣 − 𝑦2𝑧𝐤C

. 𝑑 𝑥𝐢 + 𝑦𝐣 + 𝑧𝒊

= 2𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑦𝑧2𝑑𝑦 − 𝑦2𝑧𝑑𝑧2𝜋

0

= 2 cos 𝑡 − sin 𝑡 − sin 𝑡 𝑑𝑡2𝜋

0

= −2 sin 𝑡 cos 𝑡 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 𝑑𝑡2𝜋

0

= − sin 2𝑡 +1

2−

cos 2𝑡

2𝑑𝑡

2𝜋

0

=1

2cos 2𝑡 +

1

2𝑡 +

1

4sin 2𝑡 2𝜋

0= 𝜋

Jadi, 𝛁 × 𝐀𝐒

. 𝐧. 𝐝𝐒 = 𝐀. 𝐝𝐫𝐂

= 𝝅 satuan

Teorema Green

Teorema Stokes berlaku untuk permukaan-permukaan S dalam

ruang yang memiliki kurva C sebagai batasnya, sedangkan

teorema Green berlaku pada daerah tertutup dalam bidang xy

yang dibatasi oleh kurva tertutup C. Istilahnya, teorema Green

dalam bidang adalah hal khusus dari teorema Stokes. Jadi ada

satu cara lagi untuk mencari besar usaha dalam bidang, yaitu

dengan menggunakan teorema Green.

12/7/2015

13

Teorema Green (lanjutan)

Definisi :

Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam bidang xy yang

dibatasi oleh sebuah kurva tertutup sederhana C. M dan N

adalah fungsi-fungsi kontinu dari x dan y yang memiliki

turunan-turunan kontinu dalam R, maka :

𝐌𝐝𝐱𝐂

+ 𝐍𝐝𝐲 = 𝛛𝐍

𝛛𝐱−

𝛛𝐌

𝛛𝐲𝐝𝐱𝐝𝐲

𝐑 (7.3)

Teorema Green (lanjutan)

Jika A menyatakan medan gaya yang bekerja pada sebuah

partikel dimana A = Mi + Nj, maka 𝐀.𝐝𝐫𝐂

adalah usaha yang

dilakukan dalam menggerakkan partikel tersebut mengelilingi

suatu lintasan tertutup C → integral garis, yaitu :

𝐀.𝐝𝐫𝐂

= M𝐢 + N𝐣𝐂

. 𝑑𝑥𝐢 + 𝑑𝑦𝐣 + 𝑑𝑧𝐤

= M𝑑𝑥 + N𝑑𝑦𝐂

Dengan menggunakan teorema Green, maka usaha yang

dilakukan adalah :

= 𝛛𝐍

𝛛𝒙−

𝛛𝐌

𝛛𝒚𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐑

12/7/2015

14

Teorema Green (lanjutan)

Agar lebih memahami teorema Green, lihat contoh soal berikut :

Contoh Soal :

Periksa teorema Green pada bidang untuk 2𝑥𝑦 − 𝑥2 𝑑𝑥 +𝐂

𝑥 + 𝑦2 𝑑𝑦, dimana C adalah kurva tertutup yang dibatasi oleh

𝑦 = 𝑥2 dan 𝑦2 = 𝑥.

Penyelesaian :

Kurva-kurva bidang tersebut

berpotongan di (0, 0) dan

(1,1), arah positif dalam

menjalani C ditunjukkan

pada gambar di samping.

Teorema Green (lanjutan)

Sepanjang 𝑦 = 𝑥2, integral garisnya adalah :

2𝑥 𝑥2 − 𝑥2 𝑑𝑥1

𝑥=0+ 𝑥 + 𝑥2 2 𝑑 𝑥2

= 2𝑥3 + 𝑥2 + 2𝑥5 𝑑𝑥1

𝑥=0=

7

6

Sepanjang 𝑦2 = 𝑥, integral garisnya adalah :

2𝑦2 𝑦 − 𝑦2 2 𝑑 𝑦20

𝑦=1+ 𝑦2 + 𝑦2 𝑑y

= 4𝑦4 − 2𝑦5 + 2𝑦2 𝑑𝑥0

𝑦=1= −

17

15

Maka integral garis yang diinginkan adalah :

=7

6−

17

15=

𝟏

𝟑𝟎 satuan

12/7/2015

15

Teorema Green (lanjutan)

Dengan teorema Green :

𝛛𝐍

𝛛𝒙−

𝛛𝐌

𝛛𝒚𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐑=

𝛛 𝒙+𝒚𝟐

𝛛𝒙−

𝛛 𝟐𝒙𝒚−𝒙𝟐

𝛛𝒚𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐑

= 𝟏 − 𝟐𝒙 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐑

= 𝟏 − 𝟐𝒙 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑥

𝑦=𝑥2

1

𝑥=0

= 𝑦 − 2𝑥𝑦 𝑥𝑥2 𝑑𝑥

1

𝑥=0

= 𝑥1

2 − 2𝑥3

2 − 𝑥2 + 2𝑥3 𝑑𝑥1

𝑥=0

=𝟏

𝟑𝟎 satuan

(Pemeriksaan selesai dan terbukti sama!)

Latihan

1. Teorema Gauss :

Hitunglah 𝐀. 𝐧. 𝐝𝐒𝐒

dengan𝐀 = 2𝑥𝑦 − 𝑧 𝐢 + 𝑦2𝐣 − 𝑥 + 3𝑦 𝐤 pada

daerah yang dibatasi oleh 2x + 2y + z = 6, x = 0, y = 0, z = 0.

2. Teorema Stokes :

Hitunglah 𝛁 × 𝐀 . 𝐧. 𝐝𝐒𝐒

dengan 𝐀 = 3𝑦𝐢 − 𝑥𝑧𝐣 + 𝑦𝑧2𝐤, dimana S

adalah permukaan paraboloida 2𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 yang dibatasi oleh z = 2 dan

C sebagai batasnya.

3. Teorema Green :

Hitunglah 𝑥2 − 𝑥𝑦3 𝑑𝑥 + 𝑦3 − 2𝑥𝑦 𝑑𝑦𝐂

dengan C adalah suatu

bujursangkar dengan titik sudut (0,0), (0,2), (2,2), (2,0).

12/7/2015

16

Thanks for your kind attention!