STEREOMETRIEmetrické vlastnosti

Mgr. Martina Fainová

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Poznámky ve formátu PDF

Odchylka přímek a, b je úhel přímek a´, b´, které procházejí libovolným bodem M a jsou

rovnoběžné s původními přímkami.

Poznámka: 1) Odchylka dvou rovnoběžných přímek je 0.2) Odchylku mimoběžek převedeme na

odchylku dvou různoběžek.

Odchylka dvou přímek

Př. 1: Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku přímek a) AB, EG b) AH, CF c) AH, BE d) AD, GF e) AC, AGPř. 2: Je dán pravid. čtyřboký jehlan ABCDV, jehož stěny

jsou rovnostr. ∆-ky. Určete odchylku přímek AB, CV.

90 60 0

?

3516´

Cvičení

Př. 3: Je dán kvádr ABCDEFGH: |AB|=6 cm, |BC|=3 cm, |AE|=8 cm. Určete odchylku přímek EG, BD.

45

60

538´

Odchylka přímky a roviny je rovna úhlu, který svírá přímka se svým pravoúhlým

průmětem do této roviny.

Odchylka dvou rovin

Odchylka dvou rovin je rovna odchylce jejich průsečnic s třetí rovinou, která je

k oběma rovinám kolmá.

Odchylka přímky a roviny

Př. 2: Je dán kvádr ABCDEFGH: |AB|=4,5 cm, |BC|=3 cm, |AE|=3,8 cm, bod S je střed horní podsta- vy. Určete odchylku přímky BS a rovin ABF.

Př. 1: Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku roviny ABC a přímky BH.

Př. 3: Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku rovin ACF a ACH.

?

1846´

Cvičení

Př. 4: Je dán pravid. čtyřboký jehlan ABCDV, |AB|=5 cm, |AV|=7 cm. Početně i graficky určete odchylku roviny

boční stěny a roviny podstavy.

?

?6731´

3516´

?

7031´

Dvě přímky jsou k sobě kolmé právě tehdy, když je jejich odchylka 90°.

Platí: p q a q r p r nebo jsou mimoběžné p q a q r p r nebo jsou mimoběžné

Přímka k je kolmá k rovině právě tehdy, je-li kolmá ke všem přímkám této roviny.

Průsečík kolmice s rovinou je pata kolmice.

Kolmost přímek a rovin

Vymodelujte

p q

Kritérium kolmosti: Je-li přímka kolmá ke dvěma různoběžkám roviny, pak je kolmá k rovině.

Platí:

Věta 1: Daným bodem lze vést k rovině jedinou kolmici.

Věta 2: Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmou rovinu.

Kolmost přímek a rovin

p a q p a q p p a p

p a p

q

Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jedna z nich obsahuje přímku kolmou

k druhé rovině.

Rovina je kolmá ke dvěma různoběžným rovinám právě tehdy, je-li kolmá

k jejich průsečnici.

Kolmost rovin

Př. 1: Body K, L, M, N jsou po řadě středy hran EH, CD, AE, CG krychle ABCDEFGH. Ověřte kolmost :

a) ↔ HM, ↔EFb) ↔AL, ↔BKc) ↔FH, ACG

Př. 2: Vrcholem E krychle ABCDEFGH veďte přímku kolmou k rovině AFH.

?

Cvičení

Př. 3: Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Najděte rovinu kolmou k rovinám ADV a BCV.

?

?rovina S1S2V; S1 - střed AD, S2 - střed BC

EC

Vzdálenost bodů A, B je délka úsečky AB.

Vzdálenost bodu A od přímky p je rovna vzdálenosti bodů AP, kde P je pata kolmice

vedené bodem A k přímce p.

Vzdálenost bodu

Vzdálenost bodu A od roviny je rovna vzdálenosti bodu A a jeho pravoúhlého

průmětu A´ do roviny .

Příklad 1: Je dán pravid. čtyřboký hranol ABCDA´B´C´D´, |AB|= 4 cm, |AA´|= 5,5 cm. Vypočtěte vzdá- lenost bodu B od přímky

a) ADb) ACc) C´D´

d) ADe) AC

4 cm

2,82 cm

6,8 cm

6,18 cm

3,45 cm

Cvičení

Příklad 2: Je dána krychle ABCDEFGH s a = 5 cm, S je střed podstavy. Určete vzdálenost

a) bodu S od roviny BCG b) bodu E od roviny AFH

2,5 cm

2,89 cm

Vzdálenost dvou přímek je vzdálenost libovolného bodu jedné přímky od druhé přímky.

Vzdálenost dvou mimoběžných přímek je velikost úsečky PQ; P, Q jsou průsečíky mimoběžek

s přímkou k oběma kolmou.

Vzdálenosti přímek a rovin

Vzdálenost dvou rovin je vzdálenost libovolného bodu jedné roviny od druhé roviny.

Vzdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné je vzdálenost libovolného bodu přímky od této roviny.

Př. 1: Je dána krychle ABCDEFGH o délce hrany a. Určete vzdálenost

a) AB a FG

b) AC a FMv = |BF| = 6 cm

v = |PQ| = 6 cm, Q je průsečík FM a EG

?

?

Cvičení

2a

Př. 2: Je dána krychle ABCDEFGH s délkou hrany 6 cm,

bod M je bodem hrany EH. Určete vzdálenost mimoběžek

a

a

a) přímek AB a GH

b) rovin ABC a FGH

c) přímky EG od roviny ABC