STEREOMETRIEmetrické vlastnosti
Mgr. Martina Fainová
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Odchylka přímek a, b je úhel přímek a´, b´, které procházejí libovolným bodem M a jsou
rovnoběžné s původními přímkami.
Poznámka: 1) Odchylka dvou rovnoběžných přímek je 0.2) Odchylku mimoběžek převedeme na
odchylku dvou různoběžek.
Odchylka dvou přímek
Př. 1: Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku přímek a) AB, EG b) AH, CF c) AH, BE d) AD, GF e) AC, AGPř. 2: Je dán pravid. čtyřboký jehlan ABCDV, jehož stěny
jsou rovnostr. ∆-ky. Určete odchylku přímek AB, CV.
90 60 0
?
3516´
Cvičení
Př. 3: Je dán kvádr ABCDEFGH: |AB|=6 cm, |BC|=3 cm, |AE|=8 cm. Určete odchylku přímek EG, BD.
45
60
538´
Odchylka přímky a roviny je rovna úhlu, který svírá přímka se svým pravoúhlým
průmětem do této roviny.
Odchylka dvou rovin
Odchylka dvou rovin je rovna odchylce jejich průsečnic s třetí rovinou, která je
k oběma rovinám kolmá.
Odchylka přímky a roviny
Př. 2: Je dán kvádr ABCDEFGH: |AB|=4,5 cm, |BC|=3 cm, |AE|=3,8 cm, bod S je střed horní podsta- vy. Určete odchylku přímky BS a rovin ABF.
Př. 1: Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku roviny ABC a přímky BH.
Př. 3: Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku rovin ACF a ACH.
?
1846´
Cvičení
Př. 4: Je dán pravid. čtyřboký jehlan ABCDV, |AB|=5 cm, |AV|=7 cm. Početně i graficky určete odchylku roviny
boční stěny a roviny podstavy.
?
?6731´
3516´
?
7031´
Dvě přímky jsou k sobě kolmé právě tehdy, když je jejich odchylka 90°.
Platí: p q a q r p r nebo jsou mimoběžné p q a q r p r nebo jsou mimoběžné
Přímka k je kolmá k rovině právě tehdy, je-li kolmá ke všem přímkám této roviny.
Průsečík kolmice s rovinou je pata kolmice.
Kolmost přímek a rovin
Vymodelujte
p q
Kritérium kolmosti: Je-li přímka kolmá ke dvěma různoběžkám roviny, pak je kolmá k rovině.
Platí:
Věta 1: Daným bodem lze vést k rovině jedinou kolmici.
Věta 2: Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmou rovinu.
Kolmost přímek a rovin
p a q p a q p p a p
p a p
q
Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jedna z nich obsahuje přímku kolmou
k druhé rovině.
Rovina je kolmá ke dvěma různoběžným rovinám právě tehdy, je-li kolmá
k jejich průsečnici.
Kolmost rovin
Př. 1: Body K, L, M, N jsou po řadě středy hran EH, CD, AE, CG krychle ABCDEFGH. Ověřte kolmost :
a) ↔ HM, ↔EFb) ↔AL, ↔BKc) ↔FH, ACG
Př. 2: Vrcholem E krychle ABCDEFGH veďte přímku kolmou k rovině AFH.
?
Cvičení
Př. 3: Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Najděte rovinu kolmou k rovinám ADV a BCV.
?
?rovina S1S2V; S1 - střed AD, S2 - střed BC
EC
Vzdálenost bodů A, B je délka úsečky AB.
Vzdálenost bodu A od přímky p je rovna vzdálenosti bodů AP, kde P je pata kolmice
vedené bodem A k přímce p.
Vzdálenost bodu
Vzdálenost bodu A od roviny je rovna vzdálenosti bodu A a jeho pravoúhlého
průmětu A´ do roviny .
Příklad 1: Je dán pravid. čtyřboký hranol ABCDA´B´C´D´, |AB|= 4 cm, |AA´|= 5,5 cm. Vypočtěte vzdá- lenost bodu B od přímky
a) ADb) ACc) C´D´
d) ADe) AC
4 cm
2,82 cm
6,8 cm
6,18 cm
3,45 cm
Cvičení
Příklad 2: Je dána krychle ABCDEFGH s a = 5 cm, S je střed podstavy. Určete vzdálenost
a) bodu S od roviny BCG b) bodu E od roviny AFH
2,5 cm
2,89 cm
Vzdálenost dvou přímek je vzdálenost libovolného bodu jedné přímky od druhé přímky.
Vzdálenost dvou mimoběžných přímek je velikost úsečky PQ; P, Q jsou průsečíky mimoběžek
s přímkou k oběma kolmou.
Vzdálenosti přímek a rovin
Vzdálenost dvou rovin je vzdálenost libovolného bodu jedné roviny od druhé roviny.
Vzdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné je vzdálenost libovolného bodu přímky od této roviny.
Př. 1: Je dána krychle ABCDEFGH o délce hrany a. Určete vzdálenost
a) AB a FG
b) AC a FMv = |BF| = 6 cm
v = |PQ| = 6 cm, Q je průsečík FM a EG
?
?
Cvičení
2a
Př. 2: Je dána krychle ABCDEFGH s délkou hrany 6 cm,
bod M je bodem hrany EH. Určete vzdálenost mimoběžek
a
a
a) přímek AB a GH
b) rovin ABC a FGH
c) přímky EG od roviny ABC
Top Related