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  • UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE

    E.D.O

    Nombre: Juan Carlos Palacios Gallegos

    Materia: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

    Curso: III Automotriz

    Fecha: 15-11-2013

    NRC: 3963

    RESONANCIA

    Desde el punto de vista de la ciencia, la resonancia es un fenmeno fsico que tiene lugar

    cuando se ejerce una fuerza sobre un oscilador, con una frecuencia que coincide con la

    natural del propio sistema oscilante.

    El fenmeno de resonancia se produce cuando la frecuencia angular de la fuerza externa

    coincide con la frecuencia natural de oscilacin del sistema, con un aumento de la

    amplitud.

    En estas circunstancias el cuerpo vibra, aumentando de forma progresiva la amplitud del movimiento tras cada una de las actuaciones sucesivas de la fuerza. En teora, si se consiguiera que una pequea fuerza sobre un sistema oscilara a la misma frecuencia que la frecuencia natural del sistema se producira una oscilacin resultante con una amplitud indeterminada.

    Un ejemplo muy sencillo, comn y prximo lo tenemos en el parque. En el columpio y la

    forma en la que columpiamos a nuestros hijos, cuando stos son pequeos.

  • ECUACIONES DE RESONANCIA:

    Partiremos de la ecuacin de Movimiento Vibratorio Forzado:

    En el caso especial en que , , donde y son constantes

    positivas. La ecuacin diferencial bsica es:

    Dnde:

    Supondremos que es suficientemente pequeo de modo que el amortiguamiento es

    menor que el crtico. En otras palabras, consideraremos que . Luego, la solucin

    complementaria tiene la forma:

    Donde y constantes arbitrarias, que dependen de las condiciones iniciales, o

    equivalentemente:

    Dnde:

    Ahora determinaremos una solucin particular, utilizando el mtodo de los coeficientes

    indeterminados. Sea:

  • Entonces:

    Sustituyendo:

    Se obtiene:

    Igualando los coeficientes en la ltima igualdad, resulta el sistema de ecuaciones:

    Cuya solucin es:

    Consecuentemente

    Podemos escribir xp(t) en la forma:

    Donde:

  • es decir, simplificando:

    El ngulo est determinado por las relaciones:

    As que

    Obsrvese que la solucin completa es la suma de dos trminos:

    El primero:

    Representa la oscilacin amortiguada, que sera todo el movimiento del sistema si la fuerza

    externa F(t) no actuara. El segundo trmino:

    que resulta de la presencia de la fuerza externa, representa un movimiento armnico simple de periodo 2/ y amplitud:

    Para F0, w y fijos, la amplitud es funcin de . Consideremos la funcin g( ) en el

  • intervalo (0, ). Se tiene que:

    Luego, g'(a) = 0 si y slo si Se puede verificar

    fcilmente que la amplitud de las oscilaciones alcanza un valor mximo cuando:

    El valor mximo de la amplitud es:

    Cuando la frecuencia de la fuerza exterior es:

    se dice que el sistema est en resonancia.

    En un sistema en resonancia la amplitud de la oscilacin vara inversamente

    con la constante de amortiguamiento. De hecho, se observa que:

  • Diremos que hay resonancia pura . En tal caso , o sea que la frecuencia de

    la fuerza externa es igual a la frecuencia natural del sistema. Finalmente obsrvese que la resonancia puede ocurrir solamente si:

    Esto es:

    Aplicaciones en La Vida Real: Todos los fenmenos oscilatorios (que son muchsimos) son susceptibles de presentar resonancia: pndulos, cuando saltamos en una cama elstica, copas de vino, lseres, reactores nucleares, metrnomos, cuando hacemos vibrar un coche para moverlo hacia un lado, etctera.

    COLUMPIOS:

    En todos ellos la fuerza que ejercemos no es muy grande, pero lo hacemos de forma resonante, por lo que el efecto es espectacular. Como hacemos cuando columpiamos a nuestro hijo. O como lo hacen ellos mismos, cuando ya son algo mayores. Que saben impulsarse y compensar las prdidas de energa que se producen por rozamiento, de forma intuitiva.

    O columpindose ellos solos Vean lo que hacen. Estiran las piernas y se ponen de puntillas (as elevan su centro de masa) y se dejan caer para encogerlas en el punto ms bajo (as bajan su centro de masa) y volverlas a estirar en el punto ms alto de la trayectoria, para ganar ms altura.

  • De esta forma entregan energa al columpio con la misma frecuencia con la que ste oscila. Si entregan la misma energa que se ha disipado en la oscilacin, mantienen el columpio en movimiento con la misma amplitud. Si aportan ms de la que se ha disipado entonces aumentar la amplitud del movimiento del columpio. En estos casos se pueden producir daos en el oscilador que perjudiquen su estructura interna o, incluso, que produzcan su rotura.

    PUEDE SER DESTRUCTIVO EN ALGUNOS MATERIALES RGIDOS:

    Como el vaso que se rompe cuando una soprano canta y alcanza y sostiene la frecuencia de resonancia del mismo. Por la misma razn, no se permite el paso por puentes de tropas marcando el paso, ya que pueden entrar en resonancia y derrumbarse.

    TAMBIEN ENCONTRAMOS LOS INDESEABLES PUENTES:

    Entre estos otros podemos citar el desagradable ruidito que, a veces, omos en nuestro coche, y que slo se produce cuando vamos a una determinada velocidad. Exactamente la que genera una vibracin en el motor, cuya frecuencia coincide con la natural de la pieza suelta. Un autntico quebradero de cabeza para el mecnico, el localizarlo. Por este motivo, las partes giratorias de las mquinas deben estar equilibradas y aisladas. Para que no vibren y puedan entrar en resonancia, generando ruidos molestos (como los generados en los coches o en las casas).

  • Aunque a veces los posibles daos pueden ser mayores, como cuando las formaciones militares cruzan un puente marcando el paso. Sabido es que el oficial al mando ordena romper el paso cuando lo cruzan. O lo que pas con el famoso puente de Tacoma. Que dejaremos para una prxima entrega. Claro que no siempre las vibraciones resonantes son perjudiciales. A veces son deseables EFECTOS RESONANTES SECUNDARIOS DESEABLES

    Uno de ellos es el caso del columpio ya analizado. Otro es el de la caja de la guitarra, que est diseada de forma que la frecuencia de las cuerdas se acople con la del aire que vibra dentro de la caja y as aumentar la intensidad del sonido. O el caso de los insectos. Algunos de ellos llegan a mover sus alas ciento veinte (120) veces por segundo, algo energticamente imposible para ellos. Cmo es entonces que lo consiguen? Pues por resonancia. En realidad slo envan tres (3) impulsos nerviosos cada segundo. Ahora, de forma resonante y continuada, hasta alcanzar la velocidad necesaria para mantenerse e impulsarse.

    BIBLIOGRAFIA:

    http://enroquedeciencia.blogspot.com/2010/02/que-es-la-resonancia.html http://fisote4064.blogspot.com/2012/01/resonancia-objetivo-dar-una-pequena.html http://journal.lapen.org.mx/sep09/19_LAJPE_293_Peralta.pdf Ecuaciones Diferenciales Becerril_Espinoza Primera Edicin (2004).