Resonancia EPITkk

58
RESONANCIA ELECTRONICA DE COMUNICACIONES

description

kkk

Transcript of Resonancia EPITkk

Page 1: Resonancia EPITkk

RESONANCIA

ELECTRONICA DE

COMUNICACIONES

Page 2: Resonancia EPITkk

Resonancia en paralelo

La resonancia es la condición que existe en todo sistema

físico cuando una excitación senoidal de amplitud constante

produce una respuesta máxima.

Para una red eléctrica la resonancia es la condición que existe

cuando la impedancia de entrada de la red es puramente

resistiva.

Una red está en resonancia cuando el voltaje y la corriente de

las terminales de entrada se encuentran en fase.

Page 3: Resonancia EPITkk

Circuito resonante en paralelo

R L C

IL IC

V

ILC

I

LCj

R

11Y

Hz2

1

rad/s1

0

0

LCf

LC

s

sssY

sssY

LCRCC

LC

R

/1/

11

2

22

02

1

d

dd

RC

jjC

s

sssY

La frecuencia resonante 0

La frecuencia resonante natural d

22

0 d

Page 4: Resonancia EPITkk

Patrón de polos y ceros

jwd

jw0

w0

jwd

Plano s

Y(s)

jwd

jwd

Plano s

Z(s)

Patrón de polos y ceros para la admitancia Patrón de polos y ceros para la impedancia

Page 5: Resonancia EPITkk

Respuesta en función de la

frecuencia

021

0.707|I|R

|I|R

IC,0 = IL,0 = j0CRI

El máximo ocurre en 0.

Page 6: Resonancia EPITkk

Factor de calidad Q

Q = factor de Calidad = 2Máxima energía almacenada

Energía total perdida por ciclo

TP

twtwQ

R

CL max2

2

sen22

1

2

1

cos22

1

22

0

2222

0

2

0

222

2

CRItw

tCRI

vdtLLitw

tCRI

Cvtw

m

mt

LL

mC

tRItRitv

tIti

m

m

0

0

cos

cos

RCRCffRI

CRIQ

RIf

TP

RIP

m

m

mR

mR

00

0

22

22

0

2

0

2

21

22/

2/2

2

1

0,0,

0

LC X

R

X

R

L

CRQ

Page 7: Resonancia EPITkk

Otras relaciones

2

0

0

0

0

00

2

11

2)/(2

1

2

1

Q

QCCQRC

d

Relaciones entre Q0, y d

Entonces

2

0

2

2

2

11

ss

ssLCRC

Donde z es el factor de amortiguamiento

00

2

00

2

2

1

2

Q

z

z ss

Page 8: Resonancia EPITkk

Variación de los ceros

jd

j0

0

jd

Y(s)

j0

0

Q= ½

C

LR

2

1

Los dos ceros de la admitancia se

mueven en un círculo cuando R

cambia de ½L/C a .

Q =

R =

Cuando R>= ½L/C la respuesta del

circuito es subamortiguada y

varia de 1/LC hasta 0 y Q0 varia de

½ a

Page 9: Resonancia EPITkk

Ancho de banda

Los valores los encontramos cuando el voltaje vale 0.707 de su

valor máximo.

Expresemos ahora el ancho de banda en términos de Q0 y de la

frecuencia resonante

12

El ancho de banda (de media potencia) de un circuito resonante se

define como la diferencia de dos frecuencias de media potencia. Si

1 es la frecuencia inferior de mitad de potencia y 2 es la

frecuencia superior de mitad de potencia, entonces

Page 10: Resonancia EPITkk

La admitancia de circuito RLC en paralelo

en términos de Q0

o

LCj

R

11Y

L

RCR

Rj

R 0

0

0

011Y

0

0

011

jQR

Y

Para que la magnitud de Y sea 2/R, debemos obtener las frecuencias en las que

la parte imaginaria tenga magnitud igual a 1.

111

0

0

10

2

0

0

20

QyQ

Al resolver tenemos

0

2

0

02

0

2

0

01

2

1

2

11

2

1

2

11

QQ

QQ

Page 11: Resonancia EPITkk

La diferencia entre estas expresiones proporciona una

formula muy simple para el ancho de banda

Los circuitos con Q0 mas alta presentan un ancho de banda

mas estrecho y tienen una selectividad de frecuencia o calidad

superior.

También se cumple

0

012

Q

210

21

2

0

Page 12: Resonancia EPITkk

Ejemplo 1

R = 0.500 L = 0.200 C = 0.200

= 5.00

0 = 25.00

d = 24.49

Q0 = 2.50

z = 0.20

1 = 20.50

2 = 30.50

ancho de banda = 10.00

Page 13: Resonancia EPITkk

Ejemplo 2

R = 1.000 L = 0.200 C = 0.200

= 5.00

0 = 25.00

d = 24.87

Q0 = 5.00

z = 0.10

1 = 22.62

2 = 27.62

ancho de banda = 5.00

Page 14: Resonancia EPITkk

Aproximaciones para circuitos de

alta Q

Dado que

Entonces:

Y las ubicaciones de los ceros se podrían aproximar por

Un circuito de alta Q es un circuito en el cual Q0 es igual o

mayor que 5

21

0

0

2Q

021

2,1 jj ds

Page 15: Resonancia EPITkk

En el circuito de alta Q,

Cada frecuencia de media

Potencia se ubica aprox.

A la mitad del ancho de

Banda a partir de la frecuencia

resonante

jwd

j2 j(0 + ½)

s2

Plano s

Y(s)

j1 j(0 – ½)

jd j0

½

–½

Page 16: Resonancia EPITkk

Las ubicaciones de las dos frecuencias de media potencia también se

pueden aproximar

o

La admitancia esta dada de manera

aproximada por

0

0

0

2

0

02,12

11

2

1

2

11

QQQ

21

02,1

2

0

20 22

ssss

sY

C

j

jC

s = j0

s – s2

s = j

s2 ½

Page 17: Resonancia EPITkk

Sustituyendo

La parte imaginaria de esta ecuación vendría siendo el numero de mitades de

ancho de banda de resonancia y se abreviaría por medio de N, quedando así:

donde

21

0

21

021

11

12

jR

jC

sY

sY

021

2 jss

jNR

11

sY

2

0

N

Page 18: Resonancia EPITkk

La magnitud de la admitancia es

Y el ángulo estará dado por la tangente inversa

jNR

11

sY

Nang 1tansY

Page 19: Resonancia EPITkk

RS

VS

ssCLs

10

Frecuencia 0 es la frecuencia a la que la parte imaginaria

de la frecuencia de entrada se hace cero.

S

sss

R

LQ 0

0

Resonancia en serie

CS

LS

El factor de calidad esta dado por

Page 20: Resonancia EPITkk

Las dos frecuencia 1s y 2s se definen como las frecuencias a las cuales la magnitud

de la impedancia es 2 la magnitud mínima de la impedancia.

Estas también son las frecuencias a las cuales la respuesta de corriente es igual al

70.7 % de la respuesta máxima.

ss

ss

sssQQ

2

1

2

1

2

11 0

0

2

0

02,1

Donde es la diferencia entre la frecuencia superior e inferior de la mitad de

potencia .

Este ancho de banda de la mitad de potencia esta dado por

s

ss

Q0

022

Resonancia en serie

s

Page 21: Resonancia EPITkk

La impedancia de entrada también puede expresarse en forma aproximada

para circuitos con valores altos de Qs.

ssssss NNRjNR 12 tan/_11 Z

Donde

s

sN

2

10

El circuito resonante en serie se caracteriza por una baja impedancia

resonante

Resonancia en serie

Page 22: Resonancia EPITkk

0000

0

0

00

11

2

1

jQjj

jQR

Y

RC

RCQ

CL

p

III

0

0

0

0000

00

1

2

jQR

jQjj

L

R

R

LQ

s

CL

Z

VVV

ResumenRS

VS

CS

LS

R L C

IL IC

V

ILC

I

Page 23: Resonancia EPITkk

Expresiones exactas

2

2

1

2

11

2

11

1

0

012

21

0

0

2

0

02,1

2

0

0

22

0

0

Q

N

QQ

Q

LC

d

Expresiones aproximadas

NNRZ

NR

NY

s

p

12

1

210

tan1

tan1

2

1

Tabla de expresiones

Q0 >=5 0.90<= || <=1.10

d = 0 2, 1 = 0 ½

Page 24: Resonancia EPITkk

Tarea

Un circuito resonante serie tiene un ancho de banda de 100 Hz

y contiene una inductancia de 20 mH y una capacitancia de 2

mF. Determine a) f0, b) Q0, c) Zent y d) f2.

796 Hz, 7.96, 12.57 + 0j Omhs, 846 Hz

Page 25: Resonancia EPITkk

Otras formas resonantes

R1

L

C

YR2 Le Ce

Re

Circuito RLC paralelo más realista y su equivalente para un rango limitado de

frecuencias.

Page 26: Resonancia EPITkk

LjRCj

Rj

12

11ImIm Y

La frecuencia angular resonante se encuentra haciendo cero:

2

10

222

1

1

L

R

LC

LR

LC

Resolviendo, obtenemos

Page 27: Resonancia EPITkk

Ejemplo

Sean R1 = 2 Ohms, L = 1H, C = 1/8 F y R2 = 3 Ohms.

0 = 8 – 22 = 2 rad/s

Y = 1/3 + j2(1/8) + 1/(2 + j(2)(1)) = 1/3 + 1/4 = 0.583 S

Z(2j) = 1/0.583 = 1.714 Ohms

Si R1 fuera cero

0 = 2.83 rad/s

Z(2.83j) = 1.947/_-13.26° Ohms

Frecuencia del máximo

m = 3.26 rad/s

Z(3.26j) = 1.980/_-21.4° Ohms

Page 28: Resonancia EPITkk

Grafico de la impedancia del ejemplo

3.26

máximo

2.83

sin R1

0= 2

1.714

1.947

1.980

Page 29: Resonancia EPITkk

Transformación serie paralelo

El factor de calidad Q se puede definir para cualquier frecuencia, no

necesariamente la de resonancia.

Puede mostrarse que para las redes serie y paralelo de las figuras el valor de

Q esta dado por la expresión correspondiente.

jXs jXpYs

Yp

Rs

Rp

Qs = |Xs|/Rs Qp = Rp/|Xp|

Page 30: Resonancia EPITkk

Para que las dos redes sean equivalentes se debe cumplir lo siguiente

pp

p

ss

ss

ss

sX

jRXR

jXR

jXR

11122

YY

Esto se cumple si

pss

s

pss

s

XXR

Xy

RXR

R 112222

Dividiendo ambas

p

p

s

s

R

X

X

R

Las Q’s de las dos redes deben ser iguales Qs = Qp = Q, por tanto

2

2

11

)1(

QXX

QRR

sp

sp

Page 31: Resonancia EPITkk

Ejemplo

En = 1000 rad/s, encuentre la red paralela equivalente a la red serie

8H

100 Ohms

2

2

11

)1(

QXX

QRR

sp

sp

Rp = 100 (1 + (8*1000)2/1002)

= 640 kOhms

Xp = 8*1000(1 + 1/ ((8*1000)2/1002))

= 8000 = 1000*Lp

Lp = 8 H

Page 32: Resonancia EPITkk

Ejemplo 2Suponga una red serie RLC con R = 20 W, L = 10 mH y C = 0.01 mF. La red es exitada

por una fuente de 0.5 V y se desea medir el voltaje en el capacitor con un voltímetro

con 100000 W de resistencia interna.

Antes de conectar 0 = 105 rad/s, Q0 = 50 y VC = 25 V.

El arreglo del capacitor en paralelo con la resistencia del voltímetro es equivalente a un

arreglo serie de un capacitor y una resistencia.

Para calcular los valores del circuito equivalente se debe suponer que la frecuencia de

resonancia es también de 105 rad/s, la Q de la red RC estará dada por

Q = Rp/|Xp| = RC = 100

Los elementos equivalentes son

Cs = Cp y Rs = Rp/Q = 10 W

La nueva Q del circuito RLC es 33.3.

El voltaje en el arreglo serie es

|VC| = (0.5/30)|10 – j1000| = 16.67 V

Page 33: Resonancia EPITkk

TareaDados una resistencia de 10 W en serie con un condensador de 10 mF,

determinar los dos elementos en el equivalente en paralelo si = : a) 200, b)

1000, c) 5000 rads/s.

Resp. : 50 W, 8 mF; 1 k W, 10 mF; 25 k W, 10 mF

Para = 105 rads/s, hallar el valor eficaz de Q para las redes RC de dos

terminales que se muestran en las figuras

+---+---+ +---R2---+---+ +---+---R2---+---+

| | | | | | |

R1 C R1 C R3 R1 C

| | | | | | |

+---+---+ +--------+---+ +---+--------+---+

R1 = 4 kW, R2 = 10 W, R3 = 500 W, C = 5mF

Resp. : 2, 10, 20

Page 34: Resonancia EPITkk

El Procedimiento de cambio de escala nos permite

analizar redes formadas por elementos con valores

prácticos haciendo un cambio de escala para permitir

cálculos numéricos mas convenientes, tanto en magnitud

como en frecuencia.

Cambio de Escala

Page 35: Resonancia EPITkk

2.5 W ½ H 2F

En el siguiente ejemplo los valores poco prácticos de

sus elementos nos llevan a la improbable curva de

respuesta.

Z

Page 36: Resonancia EPITkk

Cambio de Escala

El cambio de escala en magnitud: se define como el

proceso por medio del cual la impedancia de una red de

dos terminales aumenta por un factor de Km y la

frecuencia permanece constante.

Page 37: Resonancia EPITkk

Por consiguiente “la red sufrira un cambio de escala en

magnitud por un factor de 2”, esto significa que la impedancia de

la nueva red sera el doble de la red original:

Los siguientes cambios darán como resultado la red con otra

escala en magnitud por el factor Km :

R KmR

L KmL

C mK

C Cambio de escala en magnitud

Cambio de Escala en Magnitud

Page 38: Resonancia EPITkk

Haciendo el cambio del circuito anterior obtenemos:

2.5 W½ H

2FZ

5 kW

1000 H

10–3 FZ

Page 39: Resonancia EPITkk

La curva de respuesta indica que, aparte de un cambio de escala en

el eje vertical, no es necesario hacer ningún otro cambio en la curva

de respuesta anterior.

Page 40: Resonancia EPITkk

El cambio de escala en frecuencia se define como el proceso por

medio del cual la frecuencia a la que ocurre cualquier impedancia

aumenta por un factor Kf

Al igual que en el caso anterior “la red sufre un cambio de escala

en frecuencia por un factor de 2”.

El cambio de escala se logra cambiando la escala en frecuencia de

cada elemento pasivo.

Cambio de Escala en Frecuencia

Page 41: Resonancia EPITkk

Los cambios necesarios en cada elemento pasivo para hacer

un cambio de escala en frecuencia por un factor Kf son:

R R

L

C

fK

L

fK

C

Cambio de escala en frecuencia

Page 42: Resonancia EPITkk

5 kW

1000 H

10–3 FZ

5 kW

200 mH

200 pFZ

Haciendo el cambio del circuito anterior obtenemos:

Page 43: Resonancia EPITkk

La curva de respuesta indica que, aparte de un cambio de escala en

el eje horizontal, no es necesario hacer ningún otro cambio en la

curva de respuesta anterior.

Page 44: Resonancia EPITkk

Una impedancia dada como función de s también puede

cambiar su escala, sea en magnitud o en frecuencia.

Para un cambio de escala en magnitud de Z(s): solo

multiplicamos Z(s) por el factor Km .

Ejemplo:

La impedancia Z´(s) de la red con cambio de escala en

magnitud es:

Z´(s)=Km Z(s)

Page 45: Resonancia EPITkk

Para el cambio de escala en frecuencia:

Z´´(s)=Z´

Siempre y cuando Z´´(s) y Z´(s) deben dar valores idénticos

de impedancia

Estos dos tipos de cambios de escala también pueden ser

realizados a las fuentes dependientes

fK

s

Page 46: Resonancia EPITkk

Tarea

Un circuito resonante en paralelo tiene una frecuencia de

resonancia 2500 rad/s, un ancho de banda de 100 rad/s y una

inductancia de 200 mH. Halle el nuevo ancho de banda y

capacitancia si se emplea una escala en el circuito en a) la

magnitud por un factor de 5; b) la frecuencia por un factor de 5;

c) magnitud y la frecuencia por factores de 5.

Una tensión V(s) aplicada a una red dada produce una salida I2(s)

= (2s+5)/(3s2 + 4s+ 6)A. Hallar I2(s) si la red tiene una escala en

a) frecuencia por un factor de 2; b) magnitud por un factor de 2;

c) frecuencia y magnitud por factores de 2; b)

Page 47: Resonancia EPITkk

Diagramas de BodeDefinición: Una magnitud en decibeles se obtiene tomando el logaritmo en base 10 de

la magnitud y multiplicando por 20.

HdB = 20 log|H(j)|

La operación inversa es:

|H(j)| = 10(HdB/20)

Algunos valores comunes son:

|H(j)| = 1 HdB = 0 dB

|H(j)| = 2 HdB = 6 dB

|H(j)| = 10 HdB = 20 dB

|H(j)| = 10n HdB = 20n dB

20 log 5 = 20log(10/2) = 20log10 – 20log2 = 20 – 6 = 14 dB

2 20log21/2 = 10x0.3 = 3dB

1/2 3dB

Page 48: Resonancia EPITkk

Ejemplo

Diagrama de Bode

HdB = 0 si << a HdB = 20 log(/a) si >> a

w = logspace(-2,2,100);

a = 1;

H = 1 + j*w/a;

HdB = 20*log10(abs(H));

semilogx(w,HdB)

2

2

2

2

1log201log20

11

1

aa

jH

aa

jj

a

dB

H

ssH

Gráfico de Bode para la

magnitud de un cero

simple

Page 49: Resonancia EPITkk

Diagrama de Bode

H(s)| = 1 + s/a

ang H(j) = ang(1+j/a) = tan1/a

ang H(j) = 0° si < 0.1a ang H(j) = 90° si > 10a

w = logspace(-2,2,100);

a = 1;

H = 1 + j*w/a;

Hang = angle(H);

semilogx(w,Hang)

axis([0.01,100,0,2.5])

Gráfico de Bode para la

fase de un cero simple

Page 50: Resonancia EPITkk

|H(s)| = 2s/(1 + s/10)(1 + s/20000)

2 6 dB

s20 dB/década en 0

1 + s/10 20 dB/década en 10

1 + s/20000 20 dB/década en 20000

cruza por 0 en = 400,000

w = logspace(-1,6,100);

H = -2*j*w./((1 + j*w/10)...

.*(1 + j*w/20000));

HdB = 20*log10(abs(H));

semilogx(w,HdB)

axis([0.1,10e6,-20,40])

grid

101 102 103 104 105 1061

20

40

10 nF

20 mF1 k W

4 k W

5 k W

VxVent Vsal

Vx

200

+

-

+

-

s

1 +s/10 1 +s/20000

Page 51: Resonancia EPITkk

H(s)| = 2s/(1 + s/10)(1 + s/20000)

2 6 dB

s20 dB/década en 0

1 + s/10 20 dB/década en 10

1 + s/20000 20 dB/década en 20000

w = logspace(-1,6,100);

H = -2*j*w./((1 + j*w/10)...

.*(1 + j*w/20000));

Hang = atan(imag(H)./real(H))...

*180/pi-180;

semilogx(w,Hang)

grid

101 102 103 104 105 1061

-90

Page 52: Resonancia EPITkk

Algunas consideraciones

Un término sn representa una magnitud que pasa por = 1,

con una pendiente de 20n dB/década, la respuesta en fase es

un ángulo constante de 90n°.

Un cero múltiple (1+ s/a)n representa la suma de n curvas de

respuesta en magnitud o fase de un cero simple. Por tanto se

obtiene una respuesta de 0 dB para <a y que tiene una

pendiente de 20n dB/década cuando >a. el error es –3n dB en

a, y –n dB en 0.5a y 2a.

El diagrama de fase es 0° para <0.1a, 90n° para >10a, 45n°

para =a, y una línea recta con pendiente de 45n°/década para

0.1a<<10a. El error es 5.71n° en las dos frecuencias.

Page 53: Resonancia EPITkk

EjemploHaga el diagrama de la función

H(s) = (1 + s/10)/((1 + s/500)(1 + s/10,000)2)

101 102 103 104 1051

20

30

(1+s/10)

1 +s/500

(1 +s/10,000)2

10

Page 54: Resonancia EPITkk

|H(s)| = 1 + 2z(s/0) + (s/0)

HdB = 20 log|H(s)| = 20 log|1 + j2z(/0) (/0)2|

Si z = 1 se tiene un cero de segundo orden.

Se tiene una asíntota en 0dB y otra que corresponde al término cuadrático

de –40 dB/década.

Para = 0 hay que hacer un ajuste, HdB = 20log(2z)

Si z = 0.1, HdB = –14 dB.

w = logspace(-2,1,100);

w0 = 1;

zeta = 1;

H1 = 1 + 2*zeta*j*w/w0 -...

(w/w0).^2;

HdB1 = 20*log10(abs(H1));

z = 1

z = 0.5

z = 0.25

z = 0.1

Pares complejos conjugados

Page 55: Resonancia EPITkk

ang H(s) = tan1(2z(/0)/(1 (/0)2))

Debajo de = 0.10 ang H(s) = 0°

Arriba de = 100 ang H(s) = 180°

Para = 0 ang H(s) = 90°

w = logspace(-2,2,100);

w0 = 1;

zeta = 1;

H1 = 1 + 2*zeta*j*w/w0 -...

(w/w0).^2;

Hang1 = angle(H1)*180/pi;

z = 1 z = 0.5

z = 0.25

z = 0.1

Page 56: Resonancia EPITkk

H(s) = 10s/((1 + s)(1 + 2(0.1)(s/100)+ (s/100)2))

w = logspace(-1,3,100);

w0 = 100;

zeta = 0.1;

H = 10*j*w./((1+j*w).*(1 + ...

2*zeta*j*w/w0 - (w/w0).^2));

HdB = 20*log10(abs(H));

semilogx(w,HdB)

Ejemplo

Page 57: Resonancia EPITkk

ang H(s) =ang( 10s/((1 + s)(1 + 2(0.1)(s/100)+ (s/100)2)))

w = logspace(-1,3,100);

w0 = 100;

zeta = 0.1;

H = 10*j*w./((1+j*w).*(1 +...

2*zeta*j*w/w0 - (w/w0).^2));

Hang = angle(H)*180/pi;

semilogx(w,HdB)

Ejemplo

Page 58: Resonancia EPITkk

Tarea

Haga el diagrama de Bode de magnitud de

H(s) = 1000s2/(s2+5s+100)