Consideriamo una struttura con due conduttori paralleli, indenita, ad esempio un cavo coassiale. La dierenza di potenziale tra i due conduttori, v, e la corrente, i, che uisce nel conduttore centrale sono funzioni del tempo t ma possono essere, e anzi sono, funzioni anche della posizione z lungo il cavo. Supponiamo infatti di applicare allistante t = 0 una dierenza di potenziare costante, ad esempio mediante un generatore, ad una certa sezione del cavo, che scegliamo come origine dellasse z. Allistante t = 0 la dierenza di potenziale in ogni punto del cavo ` evidentemente e Fig 1: Geometria di un cavo coassiale nulla. Se andiamo successivamente a misurare la dierenza di potenziale in un altro punto del cavo, di ascissa z = D, troveremo invece un valore di dierenza di potenziale pari alla tensione del generatore. Poich` questa dierenza di potenziale ` causata dalla inserzione del generatore, essa e e non pu` per` comparire prima che la relazione causaeetto abbia viaggiato da z = 0 a z = D, o o e quindi, in base alla teoria della relativit`, prima che sia trascorso un tempo TD = D/c, essendo a c = 2.9979 108 m/s 1 la velocit` della luce nel vuoto, non che la velocit` massima a cui si pu` a a o spostare una relazione causaeetto. Ovviamente allistante tD non vi pu` essere tensione oltre o z = D, in quanto non ` trascorso abbastanza tempo anch` la relazione causaeetto vi are e rivi, e quindi se consideriamo la tensione allistante tD (prendiamo una fotograa della tensione allistante tD ) troveremo che questa ` diversa nei vari punti della linea, ovvero dipende da z. e Per determinare le equazioni a cui soddisfano v(z, t) e i(z, t) occorre specicare le propriet` della struttura. a Per ora facciamo alcune ipotesi semplicatrici che poi nel seguito rimuoveremo, almeno in parte. 1) la struttura ha una geometria uniforme rispetto a z 2) i due conduttori sono di un materiale conduttore elettrico perfetto (C.E.P.). In altri termini la loro conducibilit` tende allinnito. Conseguenza immediata ` che allinterno a e di tali conduttori il campo elettrico (e di conseguenza quello magnetico) deve essere nullo, altrimenti dissiperebbe una potenza innita. Poich` la componente tangente del e campo elettrico E si conserva attraverso una supercie, allora alla supercie di un C.E.P. il campo elettrico ` necessariamente normale e pertanto lintegrale di linea di E su tale e supercie ` sempre nullo. e 3) la struttura ` vuota o riempita in maniera uniforme di un materiale le cui propriet` e a dielettriche e magnetiche non dipendono dal campo applicato (linearit`), siano costanti a del tempo (omogeneit` temporale) oltre che nello spazio (omogeneit` spaziale), non a a cambino per una rotazione relativa del campo esterno e del materiale (isotropia). Queste propriet` sono vericate, oltre che dal vuoto, da una larga classe di materiali utilizzati a nelle applicazioni elettromagnetiche.1

Spesso si assume c = 3 108 m/s, con un errore di 0.2 %

1

4) i costituenti microscopici del materiale interno alla struttura siano privi di inerzia (non dispersivit` nel tempo). Tale propriet` `, invece, vericata solo dal vuoto e, con maga ae giore o minore approssimazione, da parte dei materiali di interesse. Pertanto questa ipotesi limita abbastanza il campo di applicabilit` di quanto diremo, a meno che non si a considerino segnali di tipo sinusoidale nel tempo. Vedremo infatti nel seguito che per tali segnali tutta la trattazione analitica, e buona parte dei risultati, prescindono da tale ipotesi. Le ipotesi 3) e 4) ci consentono di dire che tra le induzioni e i campi valgono relazione del tipo D = E B = H (1)

dove , sono costante dielettrica e permeabilit` magnetica del materiale, e si misurano rispeta tivamente in [F/m] e [H/m]. Nel caso del vuoto esse sindicano con 0 , 0 rispettivamente, e valgono 0 = 8.85 1012 F/m = 8.85 pF/m

0 = 4 107 H/m = 1.256 H/m 0 0

In materiali diversi dal vuoto ` utile introdurre le costanti relative e r = r = (2)

e nel seguito utilizzeremo indierentemente r 0 oppure . Va anche detto che alle frequenze di interesse r 1 per tutti i materiali usuali 2 . E quindi quasi sempre useremo direttamente 0 . In ogni caso, nelle ipotesi 3) e 4), basta sostituire = r 0 a 0 (e, analogamente, anche = r 0 ad 0 ) per passare dal caso di permeabilit` pari a quella del vuoto a quella di permeabilit` a a diversa. Cominciamo ad esaminare un tratto di linea di lunghezza z, piccola. I due conduttori di questo tratto costituiscono un condensatore con capacit` Cz, dove C (capacit` per unit` di lungheza a a za, che si misura in [F/m] ) dipende dalla geometria della linea e dal dielettrico interposto. Per un cavo coassiale, ad esempio, il condensatore ` un condene satore cilindrico per il quale

B

D

A

C

r

C = (r 0 )

2 b log a

(3)

essendo a, b i raggi interno ed esterno del cavo e r la costante dielettrica del materiale che riempie il cavo 3 .2

zFig 2

Fanno eccezione materiali speciali, detti ferriti, costruiti per avere particolari propriet` maga netiche, e che in genere soddisfano solo alcune delle propriet` 3). Di essi, comunque, non ci a occuperemo in queste note Qui e nel seguito log x indica il logaritmo naturale di x. I logaritmi decimali saranno invece indicati con log10 .

3

2

Poich` la capacit` C di un condensatore ` proporzionale a r , pu` essere utile esprimerla e a e o nella forma C = r Ca essendo Ca la capacit` del medesimo condensatore quando il dielettrico ` il vuoto (o laria). a e In tal modo ` possibile separare il contributo del dielettrico (r ) e quello della geometria dei e conduttori (Ca ) alla capacit` totale. Del concetto di capacit` in aria Ca faremo spesso uso nel a a seguito. Tornando al nostro tratto di linea, consideriamo la corrente i(z, t) che scorre sul conduttore interno. Essa produce un campo magnetico le cui linee di forza si avvolgono attorno al conduttore. Si ha pertanto un usso concatenato col conduttore stesso e quindi un coeciente di autoinduzione Lz dove L (autoinduttanza statica per unit` di lunghezza, che si misura in a [H/m]) dipende dalla geometria dei conduttori e dalla permeabilit` magnetica del materiale che a riempie il cavo. Il coeciente di autoinduzione L ` in genere pi` complesso da calcolare di C, tranne che e u per geometrie molto semplici. Una di queste ` proprio il cavo coassiale. Infatti se sul conduttore e centrale scorre una corrente (continua) I, si ha un campo magnetico I /(2r) che si avvolge attorno a tale conduttore e che varia in modo inversamente proporzionale alla distanza dallasse del conduttore. Il usso concatenato attraverso il percorso ABCD (Fig. 2) vale allorab

= LzI = 0S

HdS = z0a

Hdr

(4)

in quanto H ` costante in direzione ortogonale a r ed ` sempre ortogonale alla supercie ABCD. e e Inserendo lespressione di H segue: 1 L = 0 Ib a

1 Hdr = 0 I

b a

I 1 dr = 0 log |r| 2r 2

b

= 0a

b log a 2

(5)

Il tratto z ` quindi equivalente a un circuito LC come in Fig. 3. Tensione e corrente ai e due terminali del circuito saranno diversi, in quanto calcolati rispettivamente in z0 e in z0 + z. Notiamo inoltre che la corrente ` scelta equiversa con lasse z. e

i(z) v(z)

L z

i(z+ z) C z v(z+ z)

Fig. 3: Circuito equivalente ad un tratto z di linea di trasmissione Applicando i principi di Kirchho al circuito di Fig. 3, si ottiene i(z0 ) = i(z0 + z) + iC (t) v(z0 ) = vL (t) + v(z0 + z) (6)

essendo iC (t) e vL (t) rispettivamente la corrente attraverso il condensatore e la caduta di tensione ai capi dellinduttore (vedi Fig. 4).

3

L z vL iC Cz

Fig. 4: Denizione di vL e iC Ricordando che dvC diL vL (t) = Lz dt dt e che vC (t) = v(z0 + z, t) e iL (t) = i(z0 , t) (vedi Fig. 3,4) si ottiene da (6), riordinando i termini iC (t) = Cz dv(z0 + z, t) dt di(z0 , t) v(z0 + z, t) + v(z0 , t) = Lz dt Dividendo per z e passando al limite per z 0 si ottiene i(z0 + z, t) + i(z0 , t) = Cz di(z, t) dv(z, t) =C dz dt dv(z, t) di(z, t) =L dz dt

(7)

(8)

che prendono il nome di equazioni delle linee di trasmissione 4 . Notiamo esplicitamente che le (8) valgono per ogni linea di trasmissione. La struttura sica della linea (geometria e materiale) entra solo attraverso le costanti L e C che sono dette costanti primarie della linea. Poich` ogni e linea ` costituita da innite celle del tipo di Fig. 2, tali costanti primarie L e C sono distribuite e lungo tutta le linea. Si parla allora di circuiti a costanti distribuite per indicare circuiti che contengono anche linee di trasmissione, per dierenziarli dagli ordinari circuiti, in cui le costanti, ovvero induttanza e capacit`, sono localizzate in componenti puntiformi e che vengono pertanto a ` detti a costanti concentrate. E naturalmente possibile, e viene fatto normalmente, inserire nei circuiti con linee di trasmissione anche componenti concentrati passivi (induttori, condensatori, resistori e cos` via) e attivi (generatori reali 5 ma per trattarli come tali, applicando ad essi i principi di Kirchho, essi devono appunto essere concentrati) ovvero occupare una estensione sucientemente piccola che per essi valgano per lappunto i principi di Kirchho. Le equazioni (8) sono state introdotte inizialmente [?] per studiare la propagazione di un segnale telegraco e prendono anche il nome di equazioni dei telegrasti. Tali equazioni, e quindi la propagazione di un segnale lungo la linea, dipendono dalle costanti primarie L, C, che sono caratteristiche di ogni data linea e vanno quindi calcolate caso per caso, come abbiamo visto per il caso di un cavo coassiale. Daltra parte, per questultimo segue, moltiplicando (3) e (5)4 5

Ovviamente nella (8) si ` indicato il punto z0 , che ` un punto generico della linea, con z. e e Ci limitiamo per ora a considerare generatori reali di tensione o di corrente, rimandando a pi` u avanti una discussione sul signicato e lutilizzo di generatori ideali nelle linee di trasmissione

4

LC =

0 log 2

b a

(r 0 )

2 = (r 0 )0 = b log a

c r

2

(9)

In altri termini, il prodotto LC per un cavo coassiale ` pari allinverso del quadrato e della velocit` della luce nel mezzo che riempie il cavo. a Ora si pu` dimostrare che il risultato (9) vale per qualunque struttura guidante con o simmetria cilindrica, purch` delimitata da almeno due conduttori e con il dielettrico che la e riempie trasversalmente omogeneo. Pertanto il calcolo di L non ` necessario, bastando quello e della sola capacit` per ottenere anche la autoinduttanza, il che ` un vantaggio notevole essendo, a e come gi` detto, pi` semplice calcolare C che L (ed evidentemente molto pi` comodo calcolarne a u u uno solo, anzicch` entrambi). e

Prima di addentrarci nelle propriet` generali delle (8) e nel calcolo della loro soluzione a generale (che verr` per` fatto solo per il caso di soluzioni che varino sinusoidalmente nel tempo) a o vediamo di trovare qualche soluzione particolare delle (8) e di discuterne le propriet`. Le (8) a sono equazioni dierenziali a derivate parziali, in cui le variabili sono z, t. Cerchiamo soluzioni, se esistono, che dipendono da tali variabili solo tramite la grandezza z vp t, essendo vp una costante (dimensionalmente una velocit) da determinare. Poniamo cio` a e v(z, t) = V(z vp t) i(z, t) = I(z vp t) I = vp C V V = vp L I I = vp C 1 I= vp L V V (10)

dove V e I sono funzioni da determinare, e sostituiamo nelle (8).

ovvero

dove il punto indica la derivata della funzione rispetto al proprio argomento. Le (11) costituiscono un sistema lineare omogeneo che pu` avere soluzione solo se le due equazioni sono o equivalenti, ovvero se vp L = 1 vp C 2 vp =

che ssa il valore di vp . La costante vp L = (vp C)1 , che lega V e I e che ` dimensionalmente una impedenza, ` e e anchessa una caratterisica della linea e prende il nome di impedenza caratteristica della linea di trasmissione. Tale grandezza sindica in genere con Z0 . Dalla (12) segue quindi

(11) 1 LC (12) 5

Z0 = vp L =

1 = vp C

L C

(13)

2 Notiamo poi che le equazioni dei telegrasti determinano solo vp e quindi vi saranno + + + soluzioni funzione di = z vp t e soluzioni funzione di = z vp t, essendo vp la radice 1 + quadrata positiva di (LC) e vp = vp . Dalle (11) segue poi

dV dI = Z0 d d e, a parte una costante arbitraria che possiamo ssare pari a 0, V( + ) = Z0 I( + )

(14)

(15)

che ` lunica condizione imposta sulla V (ed I). Allo stesso modo si ottene V( ) = Z0 I( ). e In altri termini, dette f e g due funzione arbitrarie, sono separatamente soluzioni delle equazioni dei telegrasti sia v(z, t) = f (z vp t) 1 i(z, t) = f (z vp t) Z0 sia v(z, t) = g(z + vp t) (17) 1 i(z, t) = g(z + vp t) Z0 Prendiamo in particolare la (16). Se consideriamo la fotograa della tensione a due istanti diversi di tempo, t1 e t2 , otteniamo rispettivamente f (z vp t1 ) e f (z vp t2 ). In altri termini i due andamenti di tensione sono uguali come forma ma si trovano in punti diversi dellasse z. Se f () ` diversa da 0 solo tra 0 e Z, allora la tensione allistante t1 ` diversa da e e 0 tra z = vp t1 e z = vp t1 + Z, mentre la tensione allistante t2 ` diversa da 0 tra z = vp t2 e e z = vp t2 + Z (vedi Fig. 3). La funzione f (z vp t) rappresenta dunque una onda ovvero una congurazione di campo che si muove nello spazio con velocita nita misurabile, mantenendosi riconoscibile 1 . Il moto di unonda ` detto propagazione. Naturalmente questa onda deve avere una causa 2 (ovvero una e sorgente ) posizionata per valori di z negativi (ovvero minori di quelli in cui stiamo considerando londa) e attiva precedentemente agli istanti t1 , t2 in cui stiamo guardando tale onda. La velocit` di propagazione dellonda descritta da f (z vp t) si ottiene immediatamente a come rapporto tra lo spazio percorso nel moto e il tempo impiegato percorrerlo, e vale vp t2 vp t1 = vp t2 t11 2

(16)

(18)

Nel nostro caso, anzi, si mantiene esattamente inalterata la forma e persino la ampiezza. Si ricordi lesempio del generatore costante applicato alla linea del paragrafo 1. In quel caso la tensione occupa zone via via pi grandi dellasse z al crescere di t, ovvero si muove allontananu dosi dalla sorgente.

6

3

2.5

v(z,t) [unita arbitrarie]

2

t1

t2

1.5

1

0.5 v t1 0 1 v t2 2 z 3 4 [unita arbitrarie] 5 6

0

Fig. 1: Andamento della tensione nello spazio negli istanti t1 e t2 (con t2 > t1 ). Londa descritta da f (z vp t) ` pertanto unonda che si propaga nel verso positivo e dellasse z con velocita pari a vp . Allo stesso modo si pu` vericare che g(z + vp t) rappresenta o unonda che si propaga con la stessa velocita, ma nel verso negativo dellasse z. Si pu` cio` dire o e che i vettori velocit` delle due onde sono vp iz e vp iz . Le due onde prendono anche il nome di a onda progressiva e onda riessa. Notiamo esplicitamente che, separatamente per le due onde, la forma di tensione e di corrente ` la stessa (a parte un cambio di segno per londa riessa). e Daltra parte le equazioni dei telegrasti sono lineari, e quindi, qualunque siano le funzioni f e g, anche v(z, t) = f (z vp t) + g(z + vp t) ` una possibile onda di tensione. La corrispondente onda di corrente vale per` e o i(z, t) = 1 f (z vp t) g(z + vp t) Z0 (20) (19)

e quindi la forma di tensione e di corrente ` diversa ed il loro rapporto (che separatamente per e le due onde di (16) e (17) ` costante e pari a Z0 ) diviene funzione di (z, t). Si pu` dimostrare e o che le (19,20) costituiscono la soluzione generale di (8). Dalla (12) e dalla (9) segue che vp = 1 = LC c = r (r 0 )0 1 (21)

ovvero la velocit` di propagazione delle onde in una linea di trasmissione ` numericamente a e pari alla velocit` della luce nel mezzo che riempie la linea stessa, ma ` indipendente dalle a e caratteristiche geometriche della linea. Viceversa limpedenza caratteristica di una linea dipende in maniera essenziale sia dalle caratteristiche del mezzo, sia dalla geometria ( e dimensioni ) della struttura. Per un cavo coassiale, ad esempio, si ha (vedi (3,5) )

7

Z0 = essendo

L = C

0 log 2

b a

1 log 2(r 0 )

b a

=

0 log 2 r

b a

(22)

0 =

0 = 377 0

una grandezza detta impedenza intrinseca del vuoto (intrinseca perch` dipendente solo dalle e caratteristiche elettromagnetiche del mezzo). 0 / r viene in genere chiamata, analogamente, impedenza intrinseca del mezzo considerato.

Il caso pi` interessante di propagazione di onde elettromagnetiche ` quando queste u e variano sinusoidalmente nel tempo in ogni punto con la stessa pulsazione (ovvero con la stessa frequenza f = /2 ). Ci` ` possibile ad esempio se tutte le sorgenti dellonda sono sinusoidali oe con la stessa pulsazione 1 . Sappiamo che una grandezza sinusoidale v(t) = VM cos(t + ) pu` essere rappresentata da un numero complesso o v(t) VM ej (24) (23)

nel senso che (a) la corrispondenza ` biunivoca: noto il numero complesso A associato alla grandezza e a(t), questultima vale a(t) = Re Aejt (25)

dv j VM ej (26) dt Se ora consideriamo una v(z, t) sinusoidale, per ogni punto z possiamo considerare il corrispondente numero complesso. Ci` conduce alla corrispondenza (generalizzazione della (24)) o1

(b) tutte le operazioni lineari (somma, moltiplicazione per un numero reale, derivazione, integrazione) possono essere fatte indierentemente sulle due rappresentazioni. In particolareA rigori, questo ` vero in quanto L, C sono costanti (ovvero non dipendono n` dal tempo n` dalla e e e ampiezza dei campi). Le equazioni che regolano il fenomeno (nel nostro caso le equazioni dei telegrasti) devono cio` essere lineari e a coecienti costanti anch` a una sorgente sinusoidale e e corrisponda un eetto sinusoidale con la stessa frequenza.

8

essendo V (z) una funzione complessa, denita da

v(z, t) V (z)

(27)

v(z, t) = Re V (z)ejt

(28)

Per distinguere il caso in cui si utilizza la rappresentazione come funzione di (z, t) da quella in cui si utilizzano i numeri complessi corrispondenti, si parla di dominio del tempo (DT) nel primo caso e di dominio della frequenza (DF) nel secondo (si dir` quindi tensione nel DT o a nel DF , equazioni nel DT o nel DF e cos` via). Tutte le operazioni rispetto al tempo si eseguono considerando z come un parametro. Viceversa, per quelle rispetto a z, la corrispondenza (28) ` e trasparente, nel senso che v(z, t) V (z) dv(z, t) dV (z) dz dz (29)

e analoghe. Se le onde sono sinusoidali, le equazioni dei telegrasti (8) prendono la forma (equazioni dei telegrasti nel DF ) dV (z) = jLI(z) dz (30) dI(z) = jCV (z) dz dove V (z), I(z) sono i numeri complessi rappresentativi di v(z, t), i(z, t) rispettivamente (ovvero tensione e corrente nel DF ). Le (30) sono diventate equazioni dierenziali ordinarie, la cui soluzione si ottiene derivando la prima rispetto a z e sostituendo d2 V (z) dI(z) = jL 2 dz dz

ovvero

dI(z) dalla seconda per ottenere dz d2 V (z) = jL jC V (z) dz 2

d2 V (z) + 2 LC V (z) = 0 (31) dz 2 a cui associare la prima delle (30) per ottenere I(z). Introduciamo la costante reale (positiva) denita da 2 = 2 LC La soluzione generale della (31) pu` essere scritta nella forma o V (z) = V + ejz + V ejz essendo V , V+

(32)

(33)

due costanti (complesse) arbitrarie.

9

Per ottenere il signicato sico della soluzione (33) occorre passare nel DT utilizzando la (28): v(z, t) = |V + | cos(z t + + ) + |V | cos(z + t + ) = |V | exp(j ). Ora cos(z t + ) = cos (z t) +

(34)

avendo posto V

e quindi i due termini della (34) rappresentano due onde che viaggiano nella direzione positiva e in quella negativa dellasse z con velocit` / . Anche nel caso sinusoidale, ognuna di tali a onde ha una causa, localizzata per z rispettivamente minore e maggiore della zona in cui stiamo considerando le due onde. Poich` da (12) segue e 1 = = vp LC (35)

la (34) rappresenta un caso particolare della (19), in cui le funzioni arbitrarie sono funzioni cosinusoidali del loro argomento. Data la forma di tale argomento, z vp t, segue che la soluzione ` e ovviamente cosinusoidale nel tempo (ovvero ssato z), ma deve essere anche necessariamente cosinusoidale nello spazio (ovvero per ogni istante di tempo la distribuzione spaziale della tensione ` e /vp gioca allora il ruolo della pulsazione ed il corrispondente una cosinusoide). La costante = periodo spaziale = 2 (36)

prende nome di lunghezza donda. La costante , che determina come londa si propaga, viene detta costante di propagazione. Le costanti V + , V sono le ampiezze (complesse) dellonda progressiva e di quella riessa, misurate per z = 0. Pu` essere utile riscrivere la (33) mettendo in evidenza londa progressiva o V (z) = V + ejz 1 + V 2jz e = V + ejz 1 + (z) V+ (37)

Lultima uguaglianza della (37) denisce la funzione (z), che prende il nome di coeciente di riessione e misura il rapporto tra lampiezza dellonda riessa e quella dellonda incidente 1 . Una importante propriet` del coeciente di riessione ` che, essendo reale, |(z)| a e ` costante. e A partire dalla rappresentazione (33) si ottiene, dalla prima della (30), landamento della corrente, come I(z) = V + ejz V ejz L (38)

Ovviamente anche nella (38) vi sono i due termini di onda progressiva e riessa, col segno meno tra di essi. Inoltre dalla (32) segue che /L ` linverso della impedenza caratteristica, si e ha cio` anche e1

Si noti che, spesso, si indica la quantit` (0) = V /V + semplicemente col simbolo . a

10

L = C Possiamo scrivere anche la corrente in una forma analoga alla (37) come Z0 = I(z) = 1 + jz V e 1 (z) Z0

(39)

(40)

Dalle (33) e (38) si vede immediatamente che una linea di trasmissione, 0 pur potendo anche essere costituita da due conduttori paralleli, si comporta in maniera completamente diversa da due li percorsi da corrente continua (o di bassa frequenza). Per tale motivo si usano simboli speciali per indicare le linee di trasmisFig 4: Simbolo di una linea di trasmissione; sione. Noi utilizzeremo il simbolo in Fig. e Z0 sono le costanti secondarie della linea. 4, in cui in genere sono riportati costante di propagazione e impedenza caratteristica della linea, oppure le costanti primarie 0 L e C 2 . Per contrasto, indichemo con un tratto sottile i conduttori, e le connessioni, di lunghezza innitesima su cui, quindi, Fig 5: Simbolo alternativo di linea. valgono i principi di Kirchho e non le equazioni dei telegrasti (30). Poich` il e lo inferiore di una linea ` generalmente comune a tutte le linee (e costituisce la massa del e circuito), talvolta verr` sottinteso, per esigenze grache, rappresentando la linea col simbolo di a Fig. 5.

Z

Z

La soluzione (33,38) della equazione dei telegrasti prende il nome di soluzione viaggiante in quanto costituita da onde che viaggiano. Tuttavia richiede, per essere scritta, la conoscenza separatamente delle ampiezza di tali onde (nello stesso, ma anche eventualmente in punti diversi). In molti casi ` invece nota tensione e corrente in un certo punto z = della linea. Conviene e allora scrivere la soluzione della (31) in termini di funzioni trigonometriche. Si ha cos` V (z) = V ( ) cos (z ) + A sin (z ) (41)

in cui si ` direttamente tenuto conto che la costante davanti al cos (z ) vale V ( ). La corrente e corrispondente vale2

Il simbolo non vuole aatto indicare che solo le linee bilari sono linee di trasmissione (cos` come quello di resistenza non indica che queste devono essere costituite da un lo a zigzag). Viceversa esso si usa per tutte le linee trasmissione, ovvero ogni qualvolta valgono le (30)

11

I(z) = La corrente per z =

V ( ) sin (z ) A cos (z ) jL

(42)

vale I( ) = A jL

da cui segue il valore della costante A A = j e le (41,42) diventano V (z) = V ( ) cos (z ) jZ0 I( ) sin (z ) (44) j I(z) = I( ) cos (z ) V ( ) sin (z ) Z0 che sono le soluzioni cercate. Passando nel DT possiamo anche ottenere linterpretazione sica della soluzione (44). Prendendo uno dei termini a caso, ad esempio il primo, si trova, nel DT Re V ( ) cos (z )ejt = |V ( )| cos (z ) cos(t ) (45) L I( ) = jZ0 I( ) (43)

essendo la fase di V ( ). La (45) non ` pi` unonda ma una congurazione stazionaria di e u campo che oscilla nel tempo. in altri termini, fotograe successive della tensione mostrano sempre la stessa forma. Cambia solo la ampiezza (ovvero la tensione si contrae e si espande) ed eventualmente il segno, come in Fig. 1. A congurazioni stazionarie simili si perviene considerando gli altri termini di (44). La soluzione (44) ` detta quindi soluzione stazionaria. e3

2

v(z,t) [unita arbitrarie]

1

0

-1

-2

-3 0 2 4 6 8 z [unita arbitrarie] 10 12 14

Fig. 1: Andamento della tensione nello spazio per una onda stazionaria in istanti di tempo successivi. I vari termini di una soluzione stazionaria non sono onde, e quindi non hanno una sorgente, o causa, immediatamente riconoscibile. Poich` per` ogni termine della (44) pu` essere e o o ottenuto come la sovrapposizione (interferenze) tra unonda progressiva e unonda riessa di pari ampiezza, sovrapposizione che d` proprio luogo alla congurazione stazionaria (44), ogni termine a della soluzione stazionaria deve avere una causa localizzata per z inferiore e una localizzata per z superiore alla zona in cui vale la (44).

12

Notiamo inne che spesso le (44) sono scritte (e usate) per = 0, ovvero ponendo lorigine dellasse z nel punto in cui si conoscono tensione e corrente, ottenendo V (z) = V (0) cos z jZ0 I(0) sin z j I(z) = I(0) cos z V (0) sin z Z0 (46)

Le soluzioni trovate nei paragra precedenti valgono solo se la geometria ` uniforme e rispetto a z. Tuttavia capita molto spesso che tale ipotesi non sia soddisfatta. Ci` pu` avvenire o o per dierenti motivi: la linea di trasmissione forma delle curve; le propriet` geometriche o elettromagnetiche della linea variano con continuit` rispetto a a a z; la struttura in esame ` costituita da pi` tratti di linea omogenea, connessi insieme. e u Il primo caso capita abbastanza spesso ma leetto delle curve pu` normalmente essere o trascurato, in particolare se la frequenza non ` troppo elevata. Molto comune ` anche il terzo e e caso, che esamineremo in dettaglio in questo paragrafo, almeno per quanto riguarda gli eetti principali. In realt`, nelle discontinuit` tra linee omogenee occorre tener conto anche di ulteriori a a eetti, oltre a quelli che vedremo in questo paragrafo, ma la loro importanza ` paragonabile e alleetto delle curve, e di essi ci occuperemo alla ne di queste note. Per semplicit`, non a considereremo invece il caso di linee con propriet` variabili con continuit`. a a Il problema di pi` tratti di linea omogenea connessi insieme si pu risolvere, in linea di u o principio, scrivendo la soluzione generale delle equazioni delle linee (30) in ogni zona omogenea, e poi collegandole attraverso le superci di discontinuit` tra le linee. In tal modo si perviene a a un sistema lineare nelle ampiezze incognite delle soluzioni, che va risolto con una delle numerosissime tecniche disponibili. Tuttavia la complessit` computazionale di tale procedura cresce a rapidamente col numero di tratti omogenei diversi, e contemporaneamente si riduce altrettanto rapidamente la comprensione sica del fenomeno. Conviene allora esaminare pi` da vicino il u problema delle discontinuit` in una linea di trasmissione, iniziando dal caso pi` semplice, quello a u di una sola discontinuit` tra due linee illimitate. a Supponiamo allora che i parametri della linea siano L1 , C1 no ad una certa sezione, che assumiamo come origine dellasse z, e L2 , C2 dopo tale sezione. La struttura viene alimentata con sorgenti poste in z = che quindi, in una linea omogenea, produrrebbero una onda progressiva V (z) = Vi ej1 z (47)

in cui indichiamo col pedice 1 tutte le costanti (primarie e secondarie) della linea per z < 0 e col pedice 2 quelle della linea per z > 0. Ovviamente la ampiezza Vi dipende dalla ampiezza della sorgente utilizzata, mentre la forma (47) di V (z), ne ` indipendente e dipende solo dal fatto che e la linea ` omogenea e uniforme. e

13

Londa progressiva (47) sar` presente, ma non da sola, anche nella struttura attuale e a anzi deve essere considerata la causa prima dei campi che troveremo in essa. In tal modo si divide lo studio della discontinuit` da quello della interazione tra sorgenti e linea (che serve a a determinare lampiezza della onda che viaggia verso la discontinuit`). Il campo (47) prende il a nome di campo (onda) incidente ed ` denito come quel campo che esisterebbe nella struttura e se questa fosse priva di discontinuit` e con costanti uguali a quelle della linea 1. Quando londa a (47) incide sulla discontinuit`, produce una onda riessa nella linea 1 e una onda trasmessa nella a linea 2. In altri termini la tensione totale nella struttura sar` a V (z) = dove V1 (z) V2 (z) se z 0 se z 0 (48)

V1 (z) = Vi ej1 z + Vr ej1 z V2 (z) = V2 (0)ej2 z

(49)

Naturalmente le (49) sono anche la soluzione generale delle equazioni dei telegrasti (30), separatamente per le linee 1 e 2, equazioni che descrivono le propriet` locali della linea. a Vi ` solo una modica: ` stata posta a zero la ampiezza dellonda riessa nella linea dunque in e e quanto, essendo tale linea illimitata, non vi sono cause per z > 0 che possano produrre una tale onda. Anche la corrente ha la stessa forma di (48,49) I(z) = con I1 (z) = I1 (z) se z 0 I2 (z) se z 0 (50)

1 Vi ej1z Vr ej1 z Z1 1 V2 (0)ej2 z I2 (z) = Z2 Per poter determinare le costanti Vr , V2 (0) e cos` completare la soluzione del nostro problema, occorre ricordare che alla sezione z = 0 della linea devono essere continui i componenti del campo elettrico E t e del campo magnetico H t tangenti alla supercie di discontinuit`, e quindi trasversi rispetto a z Poich` la dierenza a e di potenziale tra i due conduttori V (z) ` lintegrale di e linea di E t su di un percorso che unisce i due conduttori, come AB in gura 1, e la corrente nel conduttore centrale I(z) ` la circuitazione di H t su di una curva e che circonda il conduttore centrale, come in gura 1, allora la continuit` di E t , H t implica quella di tensione a e corrente, ovvero V1 (0 ) = V2 (0+ ) I1 (0 ) = I2 (0+ )

(51)

1

A BFig 12

(52)

14

Imponendo le (52) alle soluzioni (49,51) segue Vi + Vr = V2 (0)

(53) Z1 V2 (0) Vi Vr = Z2 Le (53) sono un sistema lineare non omogeneo che consente di determinare le ampiezze incognite Vr , V2 (0) Poich` queste ultime devono essere proporzionali a Vi per la linearit` del e a problema, conviene introdurre il coeciente di riessione alla interfaccia Vr (54) Vi che coincide col coeciente di riessione denito nella (37) e valutato in z = 0. Dalla prima delle (53) segue allora = V2 (0) = 1+ Vi e sostituendo nella seconda delle (53) si ha 1 1+ = Z1 Z2 da cui segue, risolvendo, = e anche V2 (0) Z2 Z1 2Z2 =1+ = (57) Vi Z2 + Z1 Z2 + Z1 Le relazioni (56,57) possono anche essere espresse in termini dellinversa Yi della impedenza caratteristica, parametro che viene detto ammettenza caratteristica. In particolare la (57) diventa = Y1 Y2 Y2 Y1 = Y 1 + Y2 Y2 + Y1 (58) Z2 Z1 Z2 + Z1 (56) (55)

Le relazioni (56,57) sono applicabili anche in altri casi, oltre a quello di discontinuit` a dei parametri per il quale sono state ricavate. Ad esempio, se si ha una linea, di costanti L1 , C1 che termina ad z = 0 e tale che a questa sezione V (0+ ) = ZC I(0+ ) (59)

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la tensione e corrente sulla linea sono date ancora da V1 (z), I1 (z) di (49,51). Dalla (52) segue allora Vi + Vr = V (0+ )

(60) Z1 + Vi Vr = V (0 ) ZC che hanno per soluzione ancora le (56,57). Quindi sulla linea 1 vi sar` una onda riessa di a ampiezza Vr = Vi e in z = 0+ la tensione sar` a V (0+ ) = (1 + ) Vi (62) con = ZC Z1 ZC + Z1 (61)

tensione che coincide con quella al termine della linea 1 medesima. Ad esempio se in z = 0 vi ` un C.E.P., allora E t ` nullo e quindi V (0+ ) = 0. La (59) e e pu` essere usata con ZC = 0 e segue allora = 1. Se invece vi ` un C.M.P., allora sar` nullo o e a + e a H t nonch` I(0 ). Nella (59) il parametro ZC dovr` andare allinnito. Conviene in tal caso passare alle ammettenze, denendo YC = 1/ZC e usando la (58). I(0+ ) = 0 implica YC = 0 e segue allora da (58) che = 1. La relazione (59) vale ovviamente anche quando la linea e nita e chiusa su di una impedenza generica ZC concentrata. Infatti, oltre il termine della linea valgono i principi di Kirchho, per cui I(0+ ) ` uguale alla corrente che scorre in ZC e V (0+ ) alla tensione ai suoi e capi. Vale quindi la (59) e il coeciente di riessione sulla linea 1 ` dato dalla (61). e I casi di conduttore perfetto equivalgono quindi ad un corto circuito (C.E.P., con ZC = 0) o a un circuito aperto (C.M.P., con YC = 0) . Se ZC ` reale, allora sar` reale anche e in e a particolare positivo se ZC > Z1 e negativo nel caso contrario. Se ZC ` immaginario puro, ZC = jX con X reale, allora e jX Z1 || = 1 (63) jX + Z1 La discussione del paragrafo precedente mostra poi che una linea illimitata a destra ` indistinguibile, restando a sinistra del suo inizio, da una resistenza di valore pari alla sua e impedenza caratteristica, in quanto entrambe le situazioni danno esattamente coeciente di riessione nullo. Una ulteriore generalizzaZ1 zione si consegue notando che, per il teorema di Thevenin, una qualunque rete lineare passiva a una sola porta ` equivalente, allestere no della rete stessa, a una impedenza Zin detta impedenza di inZ in gresso della rete. Se una tale rete Fig 1: Linea chiusa su di una rete 1porta generica. ` connessa al termini di una linea, e come in gura 1, produrr` sulla a linea 1 una onda riessa con coeciente di riessione =

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= e la tensione allingresso della rete varr` a Vin =

Zin Z1 Zin + Z1 2Zin Vi Zin + Z1

(64)

(65)

Nei paragra precedenti abbiamo considerato una linea di trasmissione con una sola discontinuit`, ma ovviamente sono possibili, e molto comuni, anche casi con pi` discontinuit`. a u a Anche in tal caso e possibile risolvere il problema in passi, utilizzando opportunamente il concetto di impedenza di ingresso derivato dal teorema di Thevenin. In particolare occorre calcolare limpedenza di ingresso di un tratto di lunghezza L di linea di trasmissione (gura 1), chiusa su di un carico ZC Dal teorema di Thevenin segue che Z ZIN VIN = IINL Z in0

(convenzione dellutilizzatore), dove VIN e IIN sono evidentemente anche pari alla tensione e alla corrente allingresso della linea. Daltra parte tra tensione e corrente alluscita della linea vale la relazione VOU T = ZC IOU T (66)

Se prendiamo un asse z lungo la linea, con origine allingresso, possiamo esprimere VOU T IOU T in funzione di IIN e di VIN = ZIN IIN utilizzando le (46): VOU T = V (L) = IIN ZIN cos L jZ0 sin L IOU T = I(L) = IIN Sostituendo nella (66) si ha ZIN cos L jZ0 sin L = ZC cos L jZIN e risolvendo rispetto a ZIN si trova ZC cos L + jz0 sin L ZC + jZ0 tan Lo = Z0 (68) Z0 cos L + jzc i sin L Z0 + jZC tan L come impedenza di ingresso di un tratto di linea di lunghezza L chiuso su di un carico pari a ZC Le due espressioni precedenti sono ovviamente equivalenti, e verranno utilizzati entrambe a seconda delle necessit`. a Vediamo i principali casi particolari che possono vericarsi ZIN = Z0 ZC sin L Z0 ZIN cos L j sin L Z0

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ZC

Fig 1: Impedenza di ingresso di una linea.

(67)

a: ZC = Z0 Se la linea ` chiusa sulla sua impedenza caratteristica, la sua impedenza di ingresso ` e e anchessa pari a Z0 qualunque sia L Ne segue che per una linea chiusa sulla sua impedenza caratteristica non ` possibile, dallesterno, determinarne la lunghezza. Inoltre una e linea nita chiusa sulla sua impedenza caratteristica ` indistinguibile anche da una linea e denita. In tutti questi casi si parla quindi genericamente di linea adattata. Dallesterno tutti i casi di linea adattata sono indistinguibile in quanto su di una tale linea si ha (z) = 0 e pertanto non vi ` alcun segnale che trasporti allingresso informazioni su e quanto avviene al termine della linea. Il fatto che su una linea adattata risulta (z) = 0 implica anche che, se ` ssata la potenza e incidente, la condizione di linea adattata garantisce il massimo usso di potenza lungo la linea e quindi la massima potenza assorbita dal carico al termine della linea. b: ZC = 0 In questi casi, che corrispondono rispettivamente ad una linea chiusa in corto circuito, oppure oppure ad una linea aperta, limpedenza di ingresso ` puramente immaginaria. e YC = 0 Per ZC = 0 risulta ZIN = jZ0 tan L mentre per analizzare il caso di circuito aperto, conviene prima calcolare YIN prendendo linverso della (68) e poi moltiplicandolo per Y0 YC = (Z0 ZC )1 1 YIN = Se YC = 0 si ha YIN = jY0 tan L = ZIN = jZ0 ctgL 1 Z0 cos L + jzc i sin L YC + jY0 tan L = Y0 Z0 ZC cos L + jz0 sin L Y0 + jYC tan L (69)

c: Re(ZC ) = 0 sostituendo ZC = jXC (con XC reale) nella (68) si vede che anche in tal caso ZIN ` e immaginario puro ZIN = jZ0 d: e: L = 0 In tal caso banalmente ZIN = ZC XC + Z0 tan L Z0 XC tan L

f:

2 L = n , Anche in tal caso, essendo L = n = n e tan L = 0 segue ZIN = ZC . 2 2 n intero Pi` in generale, per la periodicit` di tan L risultano indistinguibile linee, chiuse sullo u a stesso carico, che hanno una dierenza tra le loro lunghezze che un multiplo intero di /2. L= In tal caso L = e usando la prima delle (68) si ha 4 2 ZIN =2 Z0 ZC

(70) + n , purch` n sia intero, per il e 4 2

Ovviamente allo stesso risultato si perviene se L = medesimo motivo indicato nel caso e). g:

L = In tal caso la (68) non ` pi` applicabile, ma dallanalisi dei paragra precedenti sappiamo e u gi` che ZIN = Z0 a1

Si noti la analogia strettissima tra la (68) e la equazione seguente

18

h:

L=

In questo caso, che verr` utilizzato pi` avanti, tan L = 1 e a u 8 ZC + jZ0 ZIN = Z0 Z0 + jZC Concludiamo questo paragrafo notando esplicitamente che, nonostante il teorema di Thevenin non dia informazioni su quanto avviene allinterno della rete, nel caso in cui questa sia passiva (come qui) il bilancio di potenza media totale della rete sostituita si pu` ottenere dalla o sola ZIN (vedi discussione al termine del paragrafa precedente)

Consideriamo una linea, di parametri , Z0 chiusa, allascissa z = e indichiamo con C il coeciente di riessione sul carico 1 C = Dalla (37,61) segue che (z) = C e2j(z)

che vale, pi` in generale, se al posto di C inseriamo ( ) purch` tra le ascissa z e la linea sia u e omogenea. Se tra le due sezioni considerate vi sono discontinuit` di qualunque tipo la (71) non a ` valida. Immediata conseguenza della (71) ` che su di una linea omogenea (ideale) e e |(z)| = cost

e in genere indicheremo tale costante, che ` un parametro globale associato alla linea, con || e Possiamo anche porre C = ||ejC (z) = ||ej[2(z)+C ]

avendo posto 0 = arg (0 ). |V | e |I| dipenderanno allora da z in quanto vi dipende il termine in parentesi quadra e possiamo determinare i massimi e minimi di tensione e corrente esaminando solo il modulo di tale ultimo fattore. In entrambi i casi abbiamo a che fare col modulo della somma di due numeri complessi, i quali numeri complessi hanno modulo costante e fase variabile. In tal caso il massimo si ha1

su di un carico ZC ZC Z0 ZC + Z0 (71) (72) Dalla (72) e dalla (37,40) possiamo scrivere V (z) = I(z) = V + ejz 1 + ||ej(2z+0 ) 1 + jz 1 + jz V e 1 ||ej(2z+0 ) = V e 1 + ||ej(2z+0 +) Z0 Z0 (73)ovvero C ` il coeciente riessione sulla linea, ma alla estremit` di essa in contatto col carico. e a

19

quando i numeri complessi hanno la stessa fase (a meno di multipli di 2) . Pertanto, poich` e arg(1) = 0 max |V (z)| = |V (zV )| =z

|V + | (1 + ||) 1 |V + | (1 + ||) Z0

con con

2zV + 0 = 0 + 2p1 2zI + 0 + = 0 + 2p2

max |I(z)| = |I(zI )| =z

con p1 , p2 interi. Invece il minimo si ha quando (sempre meno di multipli di 2) le fasi dei due numeri complessi dieriscono di . Il minimo di tensione si ha quando [2z +0 ][0] = +2p3 ovvero nel punto zI e analogamente il minimo di corrente si ha in zV min |V (z)| = |V (zI )| =z

|V + | (1 ||) 1 |V + | (1 ||) Z0

min |I(z)| = |I(zV )| =z

` In altre parole, |V (z)| ` massimo dove ` minimo |I(z)| e viceversa. E interessante notare e e esplicitamente che sia in zV , sia in zI , (z) risulta reale e quindi in tale punti V (z) e I(z) hanno la stessa fase. Il rapporto tra il valore massimo e quello minimo di tensione (o di corrente) prende il nome di rapporto donda stazionaria, ROS o, con acronimo inglese SW R (Standing wave ratio) S= maxz |V (z)| 1 + || = minz |V (z)| 1 || (74)

S aumenta al crescere di || passando da S = 1 per una linea adattata no a S = per una linea chiusa su di un carico reattivo, per il quale (vedi (60)) || = 1 ` E possibile anche associare ad ogni punto z0 una impedenza, denendola come limpedenza di ingresso del tratto di linea che inizia da z = z0 . Naturalmente Z(z) ` anche il rape porto tra V (z) e I(z) (questultima orientata concordemente allasse z), come ` facile vericare. e Limpedenza Z(z) cos` denita ` evidentemente una funzione periodica con periodo /2, legata e a (z) da (z) = ovvero Z(z) = Z0 1 + (z) 1 (z) Z(z) Z0 Z(z) + Z0

Se || = 1, poich` (z) assume tutte le possibili fasi in ogni tratto lungo /2, allora e Z(z) assumer` sia il valore 0 che il valore 1 . Se invece || < 1 allora |Z(z)|, e quindi sia la a parte reale R(z), sia quella immaginaria X(z), saranno limitate e avranno massimo in minimo. Particolare interesse hanno gli estremi di R(z). Per ottenerli partiamo dal calcolare la derivata di Z(z)1

Ovviamente purch` la linea sia lunga almeno /2 . e

20

dZ 1 = 2 dz I

dV dI I V dz dz

(75)

Usando le equazioni delle linee per le derivate di V ed I si trova dZ 1 = 2 dz I Da (76) segue dZ 2 = jZ0 + j Z 2 = j Z 2 Z0 dz Z0 Z0 (77) Z0

(jZ0 I) V

j

V

(76)

La (77) ` una equazione dierenziale nonlineare che tra laltro contente di calcolare e numericamente Z(z) anche per linee con costanti variabili con z [ ]. Nel nostro caso possiamo ottenere, prendendo la parte reale di (77), la derivata di R(z). Posto Z = R + jX si trova dR 2 = Re j R2 X 2 + 2jRX Z0 dz Z0 RX Z0

=2

(78)

Poich` R(z) ` sempre diverso da zero, allora i punti estremali R(z) sono quelli in quelli e e in cui X(z)=0 ovvero i punti zV ,zI gi` visti. a In tali punti il coeciente di riessione (z) ` reale, e quindi risulta reale anche Z(z). e Calcolando il rapporto tra tensione e corrente in zV e in zI si trova che su di una linea Z0 R(z) Z0 S S (79)

e analoga relazione vale per la resistenza di ingresso di una linea al variare della sua lunghezza. Calcolando la derivata della ammettenza si trova poi che anche la conduttanza G(z) soddisfa relazioni analoghe alle (79): Y0 G(z) Y0 S S (80)

essendo Y0 = 1/Z0 . Ovviamente analoga relazione vale anche per la conduttanza di ingresso di una linea al variare della lunghezza della linea stessa. Quindi il rapporto d onda stazionaria S fornisce anche l intervallo di variazione della parte reale di impedenza e ammettenza lungo una linea 1 . Occorre comunque notare che R(z) o G(z) possono non raggiungere i loro valori limite se la linea non ` abbastanza lunga. e1

Si pu` dimostrare in modo analogo che anche |Z(z)| e |Y (z)| lungo una linea sono limitati, e o anzi hanno esattamente gli stessi limiti (79) ed (80).

21

Alla propagazione di tensione e corrente in una linea di trasmissione ` associato un e trasporto di energia, e quindi un usso di potenza. Nonostante questultima grandezza non sia una funzione lineare di tensione e corrente, la rappresentazione nel DF pu` essere utilizzata o anche in questo caso, sia pure in maniera non immediata. Consideriamo di nuovo le linea rappresentata con una successione di celle a costanti concentrate (Fig. 3 del paragrafo 1 ). La potenza istantanea che uisce attraverso una sezione alla ascissa z ` e p(z, t) = v(z, t) i(z, t) (81)

Nel caso sinusoidale tale potenza vale (usando la (33)) e sottintendendo lascissa z per semplicit di scrittura a 1 1 |V ||I| cos(V I )+ |V ||I| cos(20 t+V +I ) (82) 2 2 dove |V | exp(jV ), |I| exp(jI ) sono i numeri complessi corrispondenti a v(t), i(t), e sono state usate le formule trigonometriche di Werner. Se calcoliamo il valore medio su di un periodo di p(t) p(t) = |V | cos(0 t+V )|I| cos(0 t+I ) =T 1 p(t) dt T 0 essendo T il periodo dellonda sinusoidale, si ottiene la potenza attiva (o media)

1 1 |V ||I| cos(V I ) = Re V I (84) 2 2 Pertanto nel DF non ` possibile determinare la potenza istantanea ma ` possibile cale e colare facilmente la potenza media, ovvero quella che ha eetti energetici. 1 Bench` la conoscenza della potenza attiva sia in genere quella di interesse, pu` essere e o utile anche valutare la parte oscillante della potenza istantanea. Infatti, quanto pi` il suo valore u massimo < p(t) >= PV M =1

< p(t) >= (83) 1 |V | |I| 2Notiamo che espressioni come la (84) non sono speciche della potenza media. Ogni qualvolta una grandezza ` il prodotto di due fattori sinusoidali (uguali o diversi) il suo valore medio e ` dato da una espressione come la (84). Ad esempio la potenza istantanea dissipata in una e resistenza R percorsa da una corrente i(t) ` e pR (t) = Ri2 (t) = R i(t) i(t) Se i(t) ` sinusoidale il suo valore medio vale e < pR (t) >= R Re 1 1 II = R|I|2 2 2 essendo I il numero complesso corrispondente a i(t).

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` grande, ssata la potenza attiva, tanto pi` grandi saranno le ampiezze di tensione e corrente e u necessarie a fornire quella data potenza attiva. Limitare tali valori massimi in molti casi ` utile, e ad esempio per ridurre la dissipazione di potenza lungo la linea di alimentazione, o necessario, ad esempio se le strutture utilizzate hanno valori limite di corrente o, pi` spesso, di tensione u sopportabili. Per valutare PV M possiamo notare che2 PV M = Re

1 VI 2

2

+ Im

1 VI 2

2

e quindi basta considerare insieme la potenza attiva e la cosiddetta potenza reattiva, denita da PR = Im 1 VI 2

Fissata la potenza attiva, al crescere della potenza reattiva aumenta anche la parte oscillante della potenza istantanea PV M Si denisce allora una potenza complessa P (z) = 1 V (z)I (z) 2 (85)

in modo che la potenza attiva che uisce una sezione allascissa z ` la parte reale di tale potenza e complessa, la potenza reattiva quella immaginaria e PV M = |P (z)|

La potenza complessa (85) pu` essere calcolata a partire dalle espressioni di tensione e o corrente sulla linea, utilizzando sia le espressioni progressive (37,40), sia quelle stazionarie (46). Per comodit`, riscriviamo le espressioni progressive come a V (z) = V + ejz 1 + e2jz (86) 1 + jz V e 1 e2jz I(z) = Z0 avendo indicato col simbolo il rapporto V /V + . Sostituendo le (86) nella (85) si ottiene P (z) = 1 |V + |2 1 ||2 + 2jIm e2jz 2Z0 (87)

da cui si ottiene immediatamente la potenza attiva PA (z) = 1 |V + |2 1 ||2 2Z0 (88)

e la potenza reattiva che, ponendo = ||ej , pu` essere scritta in una delle due forme seguenti o PR (z) = 1 |V + |2 2Im e2jz 2Z0 = 1 |V + |2 2|| sin(2z + ) 2Z0 (89)

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Dalla (88) si vede immediatamente che il usso di potenza attiva risulta costante lungo tutta la linea. Questo ovviamente cera da aspettarselo in quanto, essendo la linea priva di perdite, non vi pu` essere variazione del usso di potenza. Tale usso risulta pari alla dierenza o tra due termini, un primo termine indipendente dal valore del coeciente di riessione Pinc = e un secondo pari a Pr = Pinc ||2 1 |V + |2 2Z0 (90)

Il primo di questi due termini ` evidentemente anche la potenza che uisce nella linea e in assenza di riessione, e pu` quindi essere associato senza problemi alla sola onda progressiva. o Allo stesso modo il secondo di questi termini pu` essere associato alla sola onda riessa. Pertanto o il usso di potenza attiva in una linea di trasmissione ` pari alla dierenza fra il usso di potenza, e detto incidente, associato allonda progressiva e il usso di potenza associato allonda riessa. Immediata conseguenza della (88) ` che e || 1 (91)

` In particolare se || = 1 non vi ` usso di potenza attiva lungo la linea. E questo il caso e di una linea chiusa su di un corto circuito o circuito aperto, oppure di una linea chiusa su di un carico puramente reattivo (vedi eq. (63)). La grandezza Pinc Pr prende il nome di riettivit`, e sindica talvolta con R. La quantit` 1 R ` sostanzialmente a a e lecienza della trasmissione di potenza lungo una linea, ovvero misura quale frazione della potenza incidente viene eettivamente trasferita al termine della linea. Non a caso, il termine inglese per indicare R o anche || 1 , ` return loss, ovvero perdita per riessione. e La potenza reattiva (89) ` invece variabile lungo una linea, a meno che = 0 nel qual e caso essa ` non solo costante ma nulla. In tutti gli altri casi la potenza reattiva ` una grandezza e e periodica, con periodo pari a mezza lunghezza donda. Nellesprimere invece la potenza attiva e reattiva mediante le espressioni stazionarie (46) di corrente e tensione, occorre fare attenzione al fatto che V (0) e I(0) sono in generale numeri complessi. Sostituendo le (46) nelle (85) si ottiene cos` ||2 = 1 2 j |V (0)|2 jZ0 |I(0)|2 sin z cos z Z0 sin 2z 2 (92)1

P (z) =

V (0)I (0) cos2 z + V (0)I(0) sin2 z + 1 j V (0)I (0) + Im V (0)I (0) 2 2

= Re

2 cos 2z + |V (0)|2 Z0 |I(0)|2

Normalmente il return loss ` misurato in decibel (dB) e in tal caso non c` dierenza fra il e e modulo e il modulo quadro della stessa grandezza, che danno esattamente lo stesso valore in dB

24

La potenza attiva ` data dal primo termine della seconda riga della (92), ed ` costante e e con z Segue quindi immediatamente che se per z = 0 la tensione, oppure la corrente, sono nulli, ` nullo il usso di potenza attiva attraverso ogni sezione della linea. Lo stesso accade se per e z = 0 tensione e corrente sono sfasati di /2, ovvero sono in quadratura. Naturalmente nella (92), il punto z = 0 ` arbitrario, e quindi il vericarsi di tali propriet` in un qualunque punto e a della linea assicura lannullarsi della potenza attiva. Concludiamo questo paragrafo notando che dalla (88) segue che, ssata la potenza incidente, il massimo usso di potenza attiva lungo la linea si ha per = 0, e che tale usso si riduce al crescere di ||. Notiamo per` anche che tale condizione di massimo ` valida solo ed o e esclusivamente se ` ssata la potenza incidente. Qualora anche questultima possa cambiare, e si pu` avere massimo usso di potenza attiva anche in presenza di un coeciente di riessione o diverso da 0.

Abbiamo gi` rimarcato che il usso di potenza attraverso una qualunque sezione di una a linea ideale ` costante, come richiesto dal principio di conservazione dellenergia. Evidentemente e le espressioni per la potenza attiva trovate al paragrafo precedente godono di tali propriet`. E a ` tuttavia conveniente, analogamente quanto si fa nella dinamica del punto materiale, ricavare la conservazione dellenergia direttamente dalle equazioni delle linee di trasmissione. Dal punto di vista formale, quello che ricaveremo ` un integrale primo delle equazioni e delle linee di trasmissione, ovvero una relazione espressa in termini niti (non contenente quindi derivate) che ` soddisfatta da qualunque soluzione delle equazioni delle linee. A tale integrale e primo assoceremo poi una interpretazione di tipo energetico, che lo render` equivalente al prina cipio di conservazione dellenergia, e consentir` inoltre di ottenere ulteriori informazioni, sempre a di tipo energetico. Naturalmente ci limiteremo al caso di linea ideale visto nora, rimandando a pi` avanti la dimostrazione e la discussione del caso generale (Teorema di Poynting nel DF [?] u ). Cominciamo col calcolare la derivata della potenza complessa P (z) utilizzando le equazioni delle linee (30) per esprimere le derivate di tensione e corrente dP 1 dV 1 dI 1 1 = I + V = jL |I|2 + jC |V |2 (93) dz 2 dz 2 dz 2 2 Possiamo separare parte reale e immaginaria, ponendo P = PA + PR , e integrare su di un tratto di linea tra z1 e z2 ottenendoz2 z1 z2 z1

dPA dz = PA (z2 ) PA (z1 ) = 0 dz dPR dz = PR (z2 ) PR (z1 ) = 2 dz

z2 z1

1 1 C|V (z)|2 L|I(z)|2 dz 4 4

(94)

25

Pin

P out

z1

z2

z

Fig. 1: Denizione di potenza entrante ed uscente. Se consideriamo il tratto di linea tra z1 e z2 (gura 1), vediamo che P (z1 ) ` la potenza e entrante PIN e P (z2 ) ` invece quella uscente POU T . La prima delle (94) diventa allora e PA,IN = PA,OU T ovvero il principio di conservazione dellenergia di cui abbiamo gi` parlato. a Allo stesso modo la seconda delle (94) diventaz2

(95)

PR,IN PR,OU T = 2

z1

wM (z) wE (z) dz

(96)

dove wE (z) = 1/4 C|V (z)|2 e wM (z) = 1/4 L|I(z)|2 sono dimensionalmente delle densit` lineari a di energia (ovvero si misurano in [J/m]), di modo che lintegrale secondo membro delle (96) ` dimensionalmente una energia. Nel seguito indicheremo con WM e WE gli integrali di tale e densit` , di modo che la (96) pu` essere scritta come a o PR,IN PR,OU T = 2 WM WE 1 C 2 1 Re V V 2 (97)

Possiamo esprimere wE come

wE = e tenendo conto di (84) si ha che

1 Cv 2 (t) > (98) 2 Poich` C ` la capacit` per unit` di lunghezza della linea (v. paragrafo 1), wE ` fore e a a e malmente identica alla densit` energia elettrostatica media immagazzinata nel tratto unitario di a linea, e lo stesso vale per wM . Anche nel caso dinamico, comunque, possiamo assumere che wE , wM siano le densit` di energia elettrica e magnetica immagazzinate nella linea, e di conseguenza a che WE ,WM siano le energie immagazinate La (96) dice allora che il usso totale entrante di potenza reattiva (il primo membro della (96)) serve a bilanciare la dierenza (moltiplicata per 2) tra energie magnetica ed elettrica nel volume considerato. wE == dt TT 0

dW dt = W (T ) W (0) = 0 dt

in quanto W (t) ` una funzione periodica con periodo T . Le uniche informazioni che si possono e ottenere sulla energia in regime sinusoidale sono quelle date dalla (96). Il bilancio di potenza (94) ` stato ottenuto considerando una linea omogenea. Risultati e analoghi valgono anche per linee con costanti primarie variabili con continuit` ma, come gi` a a detto, non ci interesseremo qui di tali linee. Viceversa risulta utile capire se , e come, ` possibile e estendere questo bilancio al caso di circuiti complessi, contenenti linee di trasmissione dierenti (e quindi discontinuit` tra linee), carichi concentrati ed eventualmente reti (descritte da una a matrice, ad esempio quella di impedenza, Z, o di ammettenza, Y [1]) e i generatori.Z0 Z1 C Z0 R2 Z0

L1L

L2L

x

Fig. 2: Esempio di circuito a struttura lineare.Z0 Z2 Zt Z3 Z c y L 2*y Z0 Lt d

Fig. 3: Esempio di circuito a struttura ad albero. In queste note ci limiteremo a circuiti privi di anelli (circuiti ad albero), ovvero costituiti da successioni di linee con intercalati carichi concentrati o reti due porte. La struttura pu` essere o lineare (vedi Fig. 2) o presentare punti di derivazione (vedi Fig. 3). Z1 Z2 A parte i punti di derivazione, tali strutture possiamo sempre considerarle come successioni di reti due porte. Per una rete due porte costituita da un tratto di linea il bilancio di potenza ` dato da (95,97), considerando come ingresso e e L1 L2 uscita le due porte della rete. Se colleghiamo le due linee (o, Fig. 4: Linee in cascata. pi` in generale, due reti due porte) in cascata (vedi Fig. 4), u possimo ottenere il bilancio complessivo di potenza scrivendo i due bilanci parziali e la condizione di raccordo alla sezione di di conversione. Poich` a tale e sezione sono continui sia tensione, sia corrente, allora la condizione di raccordo ` la continuit` e a della potenza complessa allinterfaccia.

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Anche per il caso di connessioni multiple (derivazioni, giunzioni a Y o a T) i principi di Kircho consentono di dire che la potenza complessa entrante ` pari a quella uscente. Per e applicare tale risultato va notato che entrante e uscente vanno riferite alle convenzioni usate: ` entrante nella connessione la potenza che uisce attraverso la sezione su cui ` stata scelta e e la convenzione del generatore e uscente quella che uisce attraverso una sezione su cui ` stata e scelta la convenzione dellutilizzatore. Con tali avvertenze baster` determinare solo i bilanci di a potenza di reti semplici, come gi` fatto in questo paragrafo per un tratto di linea ideale, per a ottenere il bilancio totale di potenza dei circuiti di nostro interesse.

Consideriamo un carico concentrato, ad esempio una ammettenza Y in parallelo (Fig. 1).I1 IY V 1 V Y Y V 2 I2

Fig. 1 Il relativo bilancio di potenza complessa ` e 1 1 1 V2 I2 V1 I1 = VY (I2 I1 ) 2 2 2 essendo VY , tensione ai capi di Y, uguale a V1 e V2 . Daltra parte Pout Pin = I2 I1 = IY = Y VY (99)

(100)

e segue quindi, da (99)

1 Pout Pin = Y |VY |2 2 Separando parte reale e immaginaria

(101)

1 PA,IN = PA,OU T + Re(Y )|VY |2 2 (102) 1 PR,IN = PR,OU T + Im(Y )|VY |2 2 che esprimono il bilancio di potenza del carico concentrato. La prima delle (102) indica che la potenza entrante in parte esce e in parte viene dissipata sulla ammettenza. Quanto alla seconda delle (102), questa pu` essere scritta analogamente a [2] o 1 PR,IN PR,OU T = Im(Y )|VY |2 2 (103)

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I1 V 1

IZ Z V 2Fig.2

I2

in quanto Im(Y ) = Im(Y ), e quindi il secondo membro di (103) rappresenta la dierenza (moltiplicata per 2 ) tra energia magnetica ed elettrica immagazinata nella ammettenza, come si verica facilmente se tale ammettenza ` un induttore (Y = j/L ) o un condensatore (jC e ). Analogamente per un componente in serie (Fig. 2) la (101) viene sostituita da 1 (104) PR,OU T PR,IN = Z |IZ |2 2 e pu` essere analogamente sviluppata e discussa. o Le (101,104) valgono anche per il carico terminale della linea, a patto di porre Po ut = 0. Possiamo anche riscrivere tuttti i bilanci di potenza n qui visti nella forma PA,IN = PA,OU T + PD 2(WM WE ) (105)

dove PD ` la potenza dissipata tra le due sezioni di ingresso e uscita e WM , WE le energie e immagazinate. In tale forma questo bilancio di potenza vale per ogni rete o circuito dueporte. Inoltre vale per ogni rete a una porta (ponendo Po ut=0) e persino per reti a pi` porte (ad u esempio una connessione a Y), a patto di intendere PI N e PO U T come la somma di tutte le potenze entranti e di tutte le potenze uscenti.

PR,IN PR,OU T =

Un problema tipico di progetto a radiofrequenza ` quello relativo al collegamento tra e una sorgente e un carico in modo da trasferire al carico stesso la massima potenza attiva possibile (adattamento). Esistono svariate tecniche per realizzare un tale collegamento, che dipendono dalle prestazioni che si vogliono ottenere, dalla tecnologia utilizzata per realizzare il circuito, dalla frequenza di funzionamento, dagli ingombri massimi ammissibili e, ovviamente, da considerazioni relative al costo e alla variazione del comportamento in relazione alle inevitabili tolleranze realizzative. Va inoltre considerata anche la banda passante in cui si vuole avere ladattamento. In genere si distingue tra adattamento a banda stretta e adattamento a banda larga. Nel primo caso ladattamento viene progettato in modo che ad una certa frequenza (che viene detta frequenza centrale delladattamento) si abbia la massima potenza trasferita al carico. Il circuito di adattamento si progetta comunque cercando di ottenere un trasferimento di potenza prossimo a quello ottimale in una banda di frequenze, attorno alla frequenza centrale, pi` larga possibile. u Nel caso di adattamento a larga banda, invece, si richiede che in tutto un intervallo di frequenze (detto banda passante) la potenza trasferita al carico sia molto prossima a quella massima. Pi` precisamente, e poich` in tal caso la sorgente ` una linea semiinnita, si richiede che il u e e 29

coeciente di riessione sul tale linea sia, in tutta la banda passante, minore di un opportuno valore m . Valori tipici di m sono intorno ai 20 dB. In queste note ci occuperemo solo di adattamenti a banda stretta, utilizzando come sorgente sia linee semiinnite, sia generatori reali con impedenze di uscita reali o complesse. Molte tecniche di massimizzazione si basano su Zg un opportuno utilizzo del concetto di adattamento coniugato, di cui, in questo paragrafo, daremo la dimostrazione V g Z C e svilupperemo alcune considerazioni iniziali. Nei paragra successivi applicheremo ladattamento coniugato per descrivere le tecniche di adattamento pi` utilizzate alle freu Fig 1 quenze di nostro interesse. Consideriamo il circuito di gura 1, in cui ` presente un generatore reale di ampiezza e Vg costante almeno in modulo, e con impedenza Zg = Rg + jXg . Tale generatore ` utilizzato e per alimentare un carico Zc = Rc + jXc . Ci domandiamo sotto quali condizioni la potenza assorbita dal carico Zc , data da PC = 1 |Vg |2 1 Rc Rc = |Vg |2 2 |Zc + Zg |2 2 (Rc + Rg )2 + (Xc + Xg )2 (106)

sia la massima possibile. Naturalmente un tale problema di massimo ha senso solo se sono specicate le grandezze costanti da una parte e quelle variabili, rispetto a cui possiamo massimizzare, dallaltra. Supponiamo inizialmente che la parte reale dellimpedenza del generatore Rg sia costante mentre la parte immaginaria di tale impedenza Xg e sia la parte reale Rc sia la parte immaginaria Xc dellimpedenza di carico siano variabili, e anzi che queste tre grandezze possano variare indipendentemente luna dallaltra, assumendo tutti i valori possibili (Rc (0, ) e Xc , Xg (, )). Dalle ipotesi fatte, solo lultima frazione di (106) ` variabile ed ` quindi la grandezza da e e massimizzare. Esaminando tale espressione si vede che il termine (Xc + Xg )2 varia indipendentemente da Rc e pu` assumere qualunque valore positivo o nullo e inoltre la potenza assorbita o dal carico ` una funzione decrescente di tale grandezza. Per tutti questi motivi il valore ottimale e di questa grandezza ` 0, e resta pertanto da massimizzare e Rc (Rc + Rg )2 rispetto ad Rc Per semplicit`, conviene minimizzare linverso dellespressione precedente a Rg2 Rc Derivando tale ultima espressione si trova come punto estremale Rc = Rg e quindi nelle ipotesi ssate inizialmente la potenza attiva assorbita dal carico ` massima se e Rc + 2Rg + Rc = Rg Xc + Xg = 0 (107)

Nellipotesi che anche la parte reattiva di Zg sia costante, e che quindi possa variare solo limpedenza di carico, la condizione di massimo pu` essere anche scritta nella forma o Zc = Zg

(108)

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che viene detta, al pari della (107), condizione di adattamento coniugato. Se vale tale condizione la potenza attiva assorbita dal carico ` pari a e PC,max = 1 |V g|2 8 Rg (109)

Tale potenza massima dipende, in realt`, solo dai parametri del generatore |V |g e Rg ed a ` quindi una caratteristica del generatore. In altri termini ogni generatore ` in grado di erogare e e al massimo una potenza data dal secondo membro della (109), potenza che viene denita come potenza disponibile dal generatore. Naturalmente il generatore riesce ad erogare a un carico la potenza disponibile soltanto se il carico medesimo soddisfa la condizione di adattamento coniugato (107) oppure (108). Conviene ribadire ancora che la condizione di adattamento coniugato vale soltanto nelle ipotesi in cui ` stata dimostrata, ed in particolare che la potenza disponibile dal generatore e sia costante. Ad esempio se a poter variare ` Rg anziche Rc il massimo di potenza fornita e al carico si ha quando Rg ` nullo, nonostante che tale valore non soddis la condizione di e adattamento coniugato. Allo stesso modo, ` indispensabile che i parametri variabili abbiano un e intervallo di variazione sucientemente ampio da garantire il soddisfacimento della condizione di adattamento coniugato. Pu` infatti capitare di non poter vericare la (108) perch` lintervallo di o e variazione di Zc non comprende il valore Zg . Possiamo anzi dire che, nelle ipotesi in cui ` stata e dimostrata, la condizione di adattamento coniugato fornisce il massimo della potenza assorbita dal carico soltanto se tale condizione pu` essere vericata facendo variare i parametri liberi a o disposizione. In caso contrario, tale condizione pu` solo suggerire in che direzione muoversi o per determinare il massimo di potenza assorbita, che deve per` essere calcolato per altra via, o normalmente scrivendo lespressione della potenza assorbita in funzione dei parametri variabili e poi massimizzandola con le tecniche usuali (ad esempio derivandola). Per quanto detto nei paragra precedenti, al circuito di gura 1 ci pu` ricondurre anche o in casi pi` complessi. Se abbiamo un circuito in linea di trasmissione, possiamo massimizzare u la potenza che uisce attraverso una sezione di tale linea trasformando sia la parte a destra, sia la parte a sinistra di tale sezione col teorema di Thevenin, e riconducendosi cos` al circuito di gura 1. Evidentemente, questo consente di massimizzare anche la potenza sul carico nale solo se tra la sezione e il carico stesso non vi ` dissipazione di potenza. e Nel seguito discuteremo in dettaglio i principali circuiti utilizzabili a radiofrequenza per la massimizzazione della potenza. Ovviamente questi non sono i soli possibili, ovvero i soli che consentano di vericare la condizione di adattamento coniugato. Notiamo infatti che se ` ssata e la rete di adattamento, e non ` possibile realizzare ladattamento coniugato, occorre determinare e lespressione della potenza in funzione dei componenti della rete, e poi derivare rispetto a questi per trovare il massimo.

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Consideriamo ora il caso in cui la parte a sinistra della sezione a cui si impone la condizione di adattamento coniugato ` costituita da una linea semi indenita di impedenza Z0 e su cui ` presente unonda di tensione incidente Vi . Il teorema di Thevenin fornisce come circuito e equivalente del generatore un generatore di tensione 2Vi con impedenza Z0 come in un gura 1. Infatti al termine della linea indenita, se questa ` lasciata aperta come prescritto dal teorema e di Thevenin, ` presente un coeciente di riessione = 1 e la tensione sul circuito aperto risulta e pari a Vi (1 + ) = 2Vi

Z0 Z0 Vi 2Vi

Fig. 1: Applicazione del teorema di Thevenin ad una linea semiindenita Poich` il generatore, che questa volta ` un generatore equivalente, ` costante ` possie e e e bile applicare la condizione di adattamento coniugato nella forma (108) ottenendo ZC = Z0 Ovviamente, in tali condizioni, il coeciente di riessione che si misura sulle linee indenita del circuito reale ` pari a 0. Quindi la condizione di adattamento coniugato garantisce, in tali e condizioni, che il usso di potenza attiva attraverso la linea semiindenita di alimentazione sia il pi` grande possibile, e pari alla potenza incidente. Ne segue anche che tale potenza incidente u ` numericamente pari alla potenza disponibile dal generatore equivalente. e Per un adattamento alimentato da una linea semiindenita, la sua qualit` viene misa urata dal valore del ||2 sulla linea di alimentazione, ovvero dal return loss. Poich` per` lo scopo di un adattamento ` quello di trasferire potenza ad un carico pu` e o e o essere pi` utile misurare tale qualit` con parametri legati a tale trasferimento. In particolare si u a utilizza lecienza di trasferimento 1 = Potenza trasferita al carico Potenza disponibile dal generatore

o il suo corrispettivo in dB, che viene detto perdita di inserzione (o insertion loss) IL = 10 log 10 Nella tabella sono riportate le corrispondenze tra questi parametri in alcuni casi notevoli.

Return Loss [dB] -3 -5 -7 -10 -15 -20 -30

ecienza [%] 50 68 80 90 97 99 99.9

Insertion Loss [dB] -3 -1.6 -1 -0.5 -0.14 -0.044 -0.0044

Ovviamente, la relazione tra ecienza e Insertion loss (ma non il return loss) ha senso anche per alimentazioni con generatori reali qualunque.1

Tale parametro, nel contesto degli amplicatori, prende il nome di guadagno di trasduzione

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Lo schema tipico di un adattamento ` quello riportato in gura 1, e in cui la rete posta tra generatore e carico (rete di adattamento) ` una rete e priva di perdite e contenente elementi variabili. La condizione di massimo trasferimento di potenza si ottiene scegliendo la struttura della rete di adattamento e dimensionando opportunaFig 1 mente gli elementi variabili. Per quanStruttura di una rete di adattamento to dimostrato nel paragrafo precedente, ` possibile massimizzare la potenza e su ZC imponendo alla porta A la condizione di adattamento coniugato (108). Tuttavia ci sono molti casi in cui imporre alla porta A tale condizione pu` essere complicato, mentre risulta molto o pi` semplice imporla alla porta B. u Vogliamo dimostrare che, se la rete ` reciproca e priva di perdite, allora imporre e ladattamento coniugato in B ` una condizione suciente per massimizzare la potenza su ZC . e Fig 2 Fig. 3 Imporre la condizione di adattamento coniugato in B signica che i parametri della rete di adattamento sono scelti in modo che (vedi gura 2) ZOU T = ZC . A partire dalla rete cos` dimensionata, costruiamo la struttura di gura 3, inserendo un generatore di tensione in serie a ZC . La potenza allingresso della rete di gura 3 (porta B) ` evidentemente pari a e quella dissipata su Zg , in quanto la rete di adattamento ` priva di perdite. Inoltre, grazie alla e condizione di adattamento coniugato, tale potenza risulta anche pari alla potenza disponibile dal generatore. Ne segue 1 1 Rg |I1 |2 = |Vx |2 (110) 2 8RC Daltra parte, essendo la rete di adattamento reciproca, possiamo applicare il teorema di reciprocit` ai due casi di gura 1 e 3, ottenendo a PL = Vg I1 = Vx I2 Sostituendo questultima equazione nella (110), si trova 1 1 Vx I2 |Vx |2 = Rg 8RC 2 Vg2

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2 da cui, dividendo per |Vx | /|Vg |2 , e scambiando Rg con RC si trova

1 1 |Vg |2 = RC |I2 |2 8Rg 2

(111)

Il secondo membro di (111) ` la potenza che si dissipa su ZC . Si trova quindi che tale e potenza ` pari a quella disponibile dal generatore, e quindi la massima possibile. Pertanto, e per massimizzare la potenza su ZC , ` possibile anche imporre la condizione di adattamento e coniugato alla porta di uscita della rete di adattamento. Ovviamente, il risultato pu` facilmente o essere stesso anche a sezioni interne al circuito complessivo, purch` queste siano connesse da e reti reciproche e prive di perdite ad una sezione cui possiamo applicare la dimostrazione del paragrafo precedente. Una ulteriore conseguenza ` che, essendo costante il usso di potenza attiva attraverso e ogni sezione (teorema di Poynting), risulta costante anche la potenza disponibile da tutti i generatori equivalenti (di Thevenin o di Norton) alle varie sezioni. Pertanto, se ad una sezione c` un disadattamento, ovvero se il rapporto tra la potenza che uisce e quella disponibile dal e generatore ` minore di uno, tale rapporto risulta costante in tutte le sezioni. e Dalla relazione (111) si pu` anche dimostrare che imporre alla porta B la condizione di o adattamento coniugato fornisce la stessa condizione anche alla porta A (ovvero che la condizione di adattamento coniugato alla porta B ` condizione necessaria e suciente per la massimize zazione della potenza su ZC ). Infatti la potenza in ingresso alla porta A della rete vale 1 1 RIN |Vg |2 = |Vg |2 (112) 2 2 |ZIN + Zg | 8Rg dove lultima uguaglianza discende dal fatto che, essendo la rete di adattamento priva di perdite, la potenza in ingresso ` uguale alla potenza sul carico, e qui di alla potenza disponibile dal e generatore data dal primo membro della (111). Dalla (112) segue PIN = |ZIN + Zg |2 = (Rg + RIN )2 + (Xg + XIN )2 = 4Rg RIN (Rg RIN )2 + (Xg + XIN )2 = 0

ovvero, sviluppando,

che ` equivalente alla condizione di adattamento coniugato sullingresso Zg = ZIN . e

La pi` semplice rete di adattamento ` u e costituita da un unico tratto di linea di trasmissione posto tra il generatore ed il carico, come in gura 1 e che funge da trasformatore di impedenza. Indichiamo con ZT e con T rispettivamente la impedenza caratteristica e la costante di propagazione della linea, e sia LT la sua lunghezza. Poich` la linea ` priva di perdite, la potenza e e

Zg V g

ZT Z C

LT Fig 1 Adattamento a trasformatore

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attiva che entra nella sua sezione di ingresso ` sempre pari a quella che si dissipa sul carico e ZC e quindi per massimizzare questultima basta applicare alla sezione di ingresso della linea la condizione di adattamento coniugato (108): ZIN = Zg

in cui ZIN ` lmpedenza di ingresso che si vede a monte del trasformatore. e La condizione (108) ha per` soluzione solo in certi casi, e pertanto tale rete di adattao mento pu` essere utilizzata solo in questi casi. Il pi` importante di questi ` quando sia il carico, o u e sia limpedenza del generatore, siano puramente reali 1 . In tal caso, infatti, la condizione di adattamento coniugato (108) richiede che anche ZIN sia reale e ci` ` possibile, con ZC reale se oe la linea ` lunga un quarto di lunghezza donda. Dalla (70) segue allora e2 ZT ZC e imponendo la condizione di adattamento coniugato si determina il valore di ZT :

ZIN =

ZT =

Zg ZC

(113)

che completa il progetto della rete di adattamento. Una tale rete di adattamento prende il nome di trasformatore a quarto donda o di trasformatore a /4. Evidentemente, un trasformatore a quarto donda pu` essere utilizzato anche in altri o casi, e in particolare quando Zg ZC risulta reale. La soluzione di adattare con un trasformatore presenta il vantaggio di un ridotto ingombro laterale, rispetto alle soluzioni con stub, che esamineremo pi` avanti, e di avere generalmente u una banda passante pi` elevata. Per contro richiede di poter realizzare una linea di trasmisu sione con impedenza ZT il che ` generalmente possibile con strutture planari (purch` ZT non e e sia troppo grande o troppo piccola) ma pu` facilmente creare problemi in circuiti realizzati in o cavo coassiale. Infatti in tal caso la variazione di impedenza si pu` ottenere quasi esclusivamente o utilizzando nel trasformatore un dielettrico con opportuna costante dielettrica, che non ` sempre e reperibile. Questi vantaggi spingono a cercare di usare, in particolare per circuiti planari, soluzioni con trasformatore anche in altri casi. Se occorre adattare un carico Zg Z1 Z2 non reale, ` possibile ricorrere a una e soluzione con due trasformatori in casV g Z C cata. Il secondo trasformatore ` una e linea lunga /8, che ha la propriet`, a /4 /8 scegliendo opportunamente la sua impedenza, di presentare al suo ingresso Fig 2 una impedenza reale. Tale impedenza Trasformatore /8 /4 di ingresso reale pu` poi essere adato tata allmpedenza (reale) del generatore mediante un normale trasformatore a quarto donda. ` Ovviamente una tale soluzione presenta lo svantaggio di una notevole lunghezza. E comunque1

Ricordiamo che la condizione di impedenza del generatore puramente reale si ha anche quando lalimentazione e ottenuta mediante unonda incidente su di una linea semi indenita.

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possibile, per opportune combinazioni dellmpedenza di carico e di quella del generatore, utilizzare come trasformatore dadattamento una singola linea, di opportuna impedenza e lunghezza. Non ` facile dare criteri generali su quando una tale soluzione funzioni. in ogni caso, essa va e trovata calcolando lmpedenza di ingresso a monte del trasformatore (vedi Fig. 1) tramite la (68) e imponendo a questa sezione ladattamento coniugato. Per carichi reali, e generatori Zg ZC Zg reali, ` possibile anche una rete di adate tamento con due tratti di linea, che preV g Z C senta il vantaggio di essere complessivamente pi` corta di un trasformatore a u L1 L2 /4,e di aver bisogno solo di linee con Fig 3 impedenza pari a quella del carico e a quella del generatore, impedenze che, quando carico e generatore sono linee semi-indenite, sono ovviamente disponibili. La struttura ` quella di gura 3,e la determinazione della lunghezza elettrica dei due tratti di linea, che risulta e la stessa, pu` essere facilmente ottenuta imponendo la condizione di adattamento coniugato. La o sezione pi` adatta risulta essere la sezione centrale fra i due tratti di linea che costituiscono la u rete di adattamento.

Una soluzione alternativa alluso dei trasformatori di impedenza del paragrafo precedente ` quella di utilizzare, per adattare un dato carico ZC , uno o pi` stub, ovvero uno o pi` e u u tratti di linea chiusi in corto circuito, oppure aperti, collegati in parallelo oppure in serie rispetto alla linea principale di alimentazione del carico. Nellipotesi, che stiamo facendo, che la linea sia priva di perdite, limpedenza di ingresso dello stub ` puramente reattiva, e quindi lo stub pu` e o essere utilizzato senza problemi nelle reti di adattamento. La struttura pi` semplice di adattamento u Zg Zl con stub ` quella detta a singolo stub, di cui un e esempio ` riportato in gura 1. In tale gura lo e V g Z C stub ` costituito da una linea di impedenza Zs e L e lunghezza Ls , aperta allestremit`, connessa in a Zs parallelo tra il generatore (eventualmente equivalente) e il carico. Tra lo stub e il carico ` ine Ls terposta una linea di impedenza Zl e lunghezza L. Ovviamente, reti di adattamento analoFig 1 ghe possono essere ottenute chiudendo lo stub in Adattamento a singolo stub corto circuito allestremit`, oppure collegandolo a in serie. Si noti comunque che tali soluzioni, che sono tutte possibili in linea teorica, non sempre possono essere realizzate, in dipendenza dalla tecnologia realizzativa del circuito, e dalla precisione che si vuole ottenere. Poich` si hanno a disposizione ben quattro parametri liberi nella rete di adattamento, ` e e facile immaginare che, in generale, sar` possibile sceglierne due ad arbitrio (ovvero in modo da a 36

soddisfare altri requisiti, come ad esempio quelli realizzativi, o da garantire il soddisfacimento della condizione di adattamento) e determinare gli altri due. Normalmente vengono ssate le impedenze, e determinate le lunghezze. Come gi` detto precedentemente, la ammettenza di ingresso della linea interposta tra a stub e carico ha una parte reale che varia con la lunghezza L della linea, restando comunque un intervallo che dipende dal valore di Zl e dal rapporto donda stazionaria sulla linea stessa, secondo la (79). Al variare della parte reale, varer` ovviamente anche la parte immaginaria. La a condizione di adattamento (108), applicata al circuito di gura 1, fornisce Gg = Geq (L) Bg = Bs (Ls ) + Beq (L)

(114)

in cui Yg = Gg + jBg , Yeq = Geq + jBeq ` la ammettenza di ingresso della linea lunga L chiusa e sul carico ZC , e Bs ` la suscettanza dello stub. Nella (114) sono anche esplicitamente inserite le e lunghezze da cui dipendono le varie ammettenze. Poich` Bs varia tra e +, la seconda delle e (114) pu` essere sempre soddisfatta da uno opportuna scelta di Ls . Resta quindi da soddisfare o solo la prima delle (114), che pu` essere considerata come una equazione in T = tan l L . Questa o equazione ha certamente soluzione se la conduttanza del generatore Gg soddisfa la 1 1 1 Gg S Zl S Zl (115)

essendo S il rapporto donda stazionaria sul carico. Infatti, in tal caso, esister` almeno un valore a di L che render` Geq pari a Gg , in quanto questultima ` compresa fra il minimo e il massimo a e di Geq (L), al variare di L. Ne consegue che se la (115) ` soddisfatta, ladattamento a singolo stub ` sempre possibile. e e Naturalmente, in molti casi, una oculata scelta di Zl consentir` di soddisfare la (115). In a particolare, se lalimentazione arriva da una linea semi indenita di impedenza Z0 , baster` a scegliere Zl = Z0 . Notiamo inoltre che se ladattamento a singolo stub ` possibile, allora tutta e la potenza disponibile dal generatore viene trasferita al carico. Per quanto riguarda la scelta di L e di Ls , va detto che se la prima delle (114) ha una soluzione per T , allora ne ha necessariamente due (di cui, per`, una o entrambe possono o essere innite, perch` a T = corrisponde una lunghezza nita e precisamente pari a un e quarto di lunghezza donda). A queste due soluzioni corrisponderanno due valori opposti di Beq e quindi due valori opposti di Bs . Poich` la banda passante di un adattamento dipende e in maniera inversa dallenergia immagazzinata allinterno delladattamento medesimo, andr` in a genere scelta sempre la lunghezza positiva pi` piccola (a meno che considerazioni costruttive u non richiedano lunghezze diverse). Questo criterio pu` consentire di determinare il valore di T o che interessa, e, per quel valore di T , il pi` piccolo valore di L tra gli inniti valori, dovuti alla u periodicit` della tangente, possibili, e lo stesso per determinare Ls . a Gli adattamenti a singolo stub presenteranno comunque bande passanti molto ridotte rispetto agli adattamenti a trasformatore, e inoltre hanno ingombri laterali ben maggiori, in quanto lo stub va posto lateralmente. Daltra parte, per un adattamento a singolo stub, ` e possibile scegliere le impedenze delle linee, e quindi evitare i problemi realizzativi che possono insorgere utilizzando adattamenti a trasformatore. Un ulteriore problema degli adattamenti a singolo stub ` che ` necessario connettere lo stub in un punto ben preciso, e non determinabile e e a priori, della linea principale di alimentazione.

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Zg V g Z C

x

y

Fig. 2: Adattamento a doppio stubZg V g Z C

x1

x2

x3

Fig. 3: Adattamento a triplo stub Questultimo inconveniente, ma evidentemente non gli altri, pu` essere superato utilizo zando adattamenti a due o tre stub. Infatti in questo caso ` possibile predeterminare la posizione e degli stub medesimi. Gli schemi relativi sono riportate in gura 2 e 3. Lo stub pi` vicino al u carico pu` essere sia connesso a una certa distanza dal carico stesso, come nelle gure 2 e 3, o sia direttamente sul carico. In particolare per gli adattamenti a doppio stub, i parametri variabili sono le lunghezze dei due stub, che possono essere determinate imponendo la condizione di adattamento (108) alla sezione dello stub pi` vicino al generatore. Va per` detto che una u o tale congurazione non ` in grado di adattare qualunque carico, e linsieme dei carichi adattabili e dipende dalla distanza tra gli stub. La congurazione a triplo stub consente di superare questo problema in quanto il terzo stub pu` essere utilizzato per fare in modo che il carico equivalente, o visto a monte di questo stub, rientri tra quelli adattabili dalla rete costituita dagli altri due stub.

Lutilizzo delle linee di trasmissione negli adattamenti ` legato al fatto che, alle frequenze e di nostro interesse, tali linee hanno un comportamento molto ben prevedibile. Ovviamente potrebbero essere usati, in linea di principio, anche circuiti di adattamento basati su componenti concentrati, come induttanze e capacit`. Tuttavia tali componenti, a frequenze pari o superiori a alle centinaia di MHz, hanno un comportamento molto poco prevedibile. Se si consulta, ad esempio, un catalogo di condensatori per uso a radiofrequenza, si vede che limpedenza di un tale condensatore ` molto diversa da 1/jC ed ` anzi molto meglio rappresentabile con la impedenza e e di un circuito RLC. Quindi si preferisce non utilizzare tali componenti, a meno che problemi di spazio non ne consiglino luso. In tal caso, comunque, il dimensionamento di adattamenti (o pi` in generale di reti) comprendenti tali componenti va fatto tenendo conto del loro circuito u equivalente. Luso di componenti concentrati pu` essere utile in particolare in due casi: o 38

1 A frequenze basse, corrispondenti a lunghezze donda di metri. Infatti in tal caso occorrerebbe utilizzare linee di trasmissione troppo lunghe (e quindi costose e ingombranti). Fortunatamente queste sono anche le frequenze a cui i componenti concentrati hanno un comportamento molto vicino a quello ideale. 2 Nei circuiti integrati a microonde (M M IC), in cui anche le linee di trasmissione vengono realizzate su substrati si Si o di GaAs, che sono molto costosi. Luso di componenti concentrati produce un risparmio di area occupata e quindi riduce il costo nale del circuito integrato. In questo caso, per`, il circuito equivalente di un induttore o di un o condensatore ` molto complesso, e dipende dalla tecnologia costruttiva. Dopo un die mensionamento di massima, quindi, occorre una fase di ottimizzazione delle dimensioni. In queste note considereremo comunque solo componenti ideali. Il dimensionamento che si ottiene sar` pertanto solo il punto di partenza del progetto nale in una applicazione reale . a Un adattamento a carichi concentrati richiede due componenti concentrati 1 , uno in serie al carico e uno in parallelo al generatore, oppure uno in parallelo al carico e uno in serie al generatore. Poich` ogni componente concentrato pu` essere una induttanza o una capacit`, vi sono e o a 8 diversi circuiti possibili. Il numero di possibili combinazioni aumenta se si considera che un carico concentrato pu` eso sere realizzato mediante uno stub. Va detto subito che, dato un carico Zc , solo alcuni di questi circuiti potranno essere usati per adattarlo, mentre altri non ne sono in grado.

Zg V g

jX 1 jX 2 Z c

Fig 1 Adattamento a carichi concentrati

Il dimensionamento di un adattamento a carichi concentrati (usando componenti ideali) pu` essere eseguito utilizzando la condizione di adattamento coniugato, applicata alla sezione o immediatamente a valle del primo componente concentrato. Se tale componente ` in serie, si e utilizza la condizione sulle impedenze. Infatti in tal caso tale componente consente di annullare la parte immaginaria totale della impedenza presente nella maglia. Baster` allora scegliere il a secondo componente concentrato in modo da vericare la condizione sulle parti reali delle due impedenze. Consideriamo ladattamento di una resistenza di carico Rc ad un generatore di resistenza Rg , mediante una induttanza L in serie e poi un condensatore C in parallelo (Fig. 2). La condizione di adattamento coniugato va allora imposta sulle impedenze, ottenendo

Rg V gFig 2

L C R c

1

Possono essere usati anche pi` componenti concentrati, con un dimensionamento non univoco. u Ad esempio un terzo componente pu` servire per rendere adattabile un carico che non lo `, in o e maniera analoga agli adattamenti a tre stub

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Rg + jL ovvero

1 1 jC = Rc // = 1 jC Rc + jC Rc

Rc jRc C + 1 A questo punto, analogamente a quanto visto per gli adattamenti a a singolo stub, sono possibili due strade. La prima prevede di eliminare il denominatore, e poi separare parte reale e coeciente dellimmaginario. Si perviene cos` a Rg jL = Rg + 2 Rc LC = Rc Rg Rc C L = 0 (116)

Dalla seconda equazione si pu` ricavare L = Rg Rc C, da cui si vede che la prima o reattanza della rete di adattamento deve essere una induttanza, se la seconda ` un condensatore e (e viceversa). Sostituendo nella prima si ottiene2 Rg + 2 Rg Rc C 2 = Rc

da cui (C)2 = Rc Rg 2 Rg Rc

Da tale ultima equazione si vede subito che deve essere Rc > Rg per poter ottenere ladattamento. Tale ultima condizione si giustica immediatamente se si pensa che porre qualcosa in parallelo a Rc ne abbassa il valore. Se invece fosse Rc < Rg , si potrebbe ottenere ladattamento con laltra congurazione, cio` ponendo un condensatore in serie a Rc e una e induttanza in parallelo al generatore. La seconda strategia di soluzione prevede di razionalizzare il secondo membro della equazione di adattamento coniugato, ottenendo Rc jRc C + 1

(C)2 Rc + 1 e poi di separare parte reale e immaginaria della equazione Rg =

Rg jL =

Rc (C)2 Rc + 1 (117) 2 Rc C L = (C)2 Rc + 1 Dalla prima equazione si ricava direttamente C che, sostituito nella seconda, fornisce L. Lanalisi di realizzabilit` delladattamento ` ovviamente identica. a e Nel caso in cui carico, o generatore, siano complessi, gli sviluppi matematici sono simili. La semplice analisi delle condizioni di realizzabilit`, fatta nel caso di carico e generatore reale, a ovviamente non vale. Si pu` comunque dire che occorrono reattanze di entrambi i segni (tenendo o

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conto anche di generatore e carico) per adattare. Inoltre ` vero che limpedenza del carico e diminuisce ponendo un componente in parallelo, ma solo se non vi ` compensazione tra la parte e immaginaria del carico e la reattanza che viene posta in p