Propagazione degli Errori e regressione lineare

Note e consigli d’uso

-Termine covariante -- estrapolazione e/o interpolazione

Quando devo usare il termine di covarianza nella propagazione ?

Quando l’errore delle variabili x, y, .. non è indipendente tra loro, quando cioè una

sovrastima o sottostima di x implica una sovrastima o sottostima di y allora la

relazione di propagazione degli errori, nell’ipotesi di una funzione a due variabili x e

y, diventa:

))((1

Covarianza

2),(),(),(),(

,

2

2

,

2

2

,

xxyyN

dove

y

yxq

x

yxq

y

yxq

x

yxq

iixy

xy

yyxx

y

yyxx

x

yyxx

q

Quando devo usare il termine di covarianza nella propagazione ?

La covarianza xy stima in che proporzione “x” fluttua assieme a “y”.

- Se le osservabili fluttuano in modo indipendente il prodotto degli scarti si

annulla (posto che N sia sufficientemente grande)

- Se le osservabili non fluttuano in modo indipendente il prodotto degli scarti ha

segno definito così da rendere σ2xy non nulla e, a volte, non trascurabile

rispetto a σ2x e σ2

y

- nel caso in cui N (numero di misure) sia piccolo allora val la pena fare una prova

(fatelo nelle relazioni non nello scritto a meno che non sia richiesto)

- Calcolo ipotizzando la non correlazione

- Calcolo ipotizzando la massima correlazione

- e’ chiamato errore massimo

- Se la massima correlazione modifica il risultato della propagazione allora vale

la pena di considerare il termine covariante

xxyy

Niixy

1Covarianza

Nota:

Se ci fosse la massima correlazione tra le incertezze delle osservabili allora

Le incertezze quindi si sommano !

Si può dimostrare quindi che vale sempre questa disuguaglianza

y

yyxx

x

yyxx

q

yx

yyxx

y

yyxx

x

yyxx

q

yxxy

y

yxq

x

yxq

y

yxq

x

yxq

y

yxq

x

yxq

,,

,

2

2

,

2

2

,

),(),(

2),(),(),(),(

Covarianza

b

bb

a

aa

qb

baq

a

baq

00

),(),(

Quindi:

Calcolo ipotizzando la non correlazione

Calcolo ipotizzando la massima correlazione (errore massimo)

Nel caso ci fosse una differenza sostanziale tra i due valori allora il contesto fisico e/o la analisi dati

specifica mi dirà se posso ritenere i dati correlati o in generale cosa riportare come errore sperimentale

2

2

,

2

2

,

),(),(y

yyxx

x

yyxx

qy

yxq

x

yxq

y

yyxx

x

yyxx

qy

yxq

x

yxq

,,

),(),(

Cannelli pag. 111

Nota Importante

Nella propagazione degli errori posso usare sia la deviazione standard che la

deviazione dalla media.

Il risultato sarà ovviamente una deviazione standard o una deviazione dalla Media

Il contesto e/o l’obiettivo dell’operazione di propagazione errori vi dirà cosa usare.

Ovviamente il risultato ottenuto avrà un significato completamente differente

Posso stimare se gli errori su a e b sono indipendenti tra loro ?

1) Calcolate la covarianza

2) Riflettete sulla fisica del sistema che state studiando

- Esempio:

- Avete una serie di coppie dati sperimentali che devono seguire un andamento

lineare (i.e. la lunghezza del pendolo L e il suo periodo al quadrato T2)

- Avete estratto dai dati sperimentali i coefficienti di una retta (coefficiente

angolare a±a e termine noto b ±b (ad esempio con una regressione lineare)

y = ax + b ad esempio L = a T2 + b

- Volete estrapolare il valore della retta yo nel punto xo e volete anche avere

una stima dell’errore sulla vostra estrapolazione

- ad esempio la lunghezza che deve avere un pendolo per oscillare con un

periodo di 5 s

- Notate che ora le variabili con incertezza sono a e b non x e y

Allora il valore della variabile yo è dato da

y0 = a x0 + b ad esempio L = 25 a + b

L’errore si dovrà calcolare con la propagazione degli errori

In questo caso però le osservabili a e b (termine noto e coefficiente angolare) sono

correlate perche estratte da dati sperimentali, in altra parole se cambia una deve

cambiare anche l’altra opportunamente per riprodurre i dati sperimentali.

La relazione per la deviazione standard su yo

Attenzione quindi che la covarianza si calcola a partire dai dati sperimentali con i

quali avete estratto il parametro a (coefficiente angolare) e b (termine noto). Nel

caso del pendolo a partire dai periodi e dalle lunghezza misurate.

Quindi:

2

0

222 20 abbaoy xx

Estrapolazione - Interpolazione

La procedura di calcolo della variabile Y (non misurata) è detta interpolazione

quando il valore della x è compreso tra due valori di X misurati. E’ detta invece

estrapolazione quando il valore della X è all’esterno dei valori misurati Il valore della Y estrapolata/interpolata si ottiene applicando la relazione lineare

Più complessa risulta l’estrazione dell’incertezza della osservabile

interpolata/estrapolata Y infatti:

- Il punto di partenza sono le coppie di misure (xi,yi)

- da queste coppie di misure sono stati estratti i parametri a, a, b, b

- da questi parametri vogliamo ora estrarre una Y0 (interpolata o estrapolata) a

partire da una determinata xo

- da questi parametri vogliamo ora estrarre la corrispondente y

- posso usare la propagazione degli errori

- Attenzione che stavolta l’errore di a e quello di b sono correlati perche sono

estratti da un medesimo dataset.

abxy

Estrapolazione - Interpolazione

Devo usare il termine di covarianza nella relazione di propagazione degli errori

Eseguendo un certo ammontare di conti si arriva alla relazione più semplice:

Quindi, come già preannunciato, l’errore sulla Y interpolata/estrapolata NON è la y

estratta dai dati sperimentali o dalla regressione lineare ma qualcosa di più

complesso

);cov(22

2

2

2

00

0ba

b

y

a

y

b

y

a

y

abxy

bay

N

i

iybay xx

x

abxy

1

2022

0

2 20

Esempio

E’ tutto Chiaro ?

Dovreste aver chiari i seguenti argomenti: • Propagazione degli errori • Quando usare la covarianza nella propagazione degli errori