Propagazione degli Errori

Fino ad ora abbiamo sempre e solo discusso di misure dirette. I concetti di valor medio, di deviazione standard e di errore fino a qui discussi sono associati a misure dirette La maggior parte delle grandezze fisiche di solito non può essere misurata attraverso una singola misura diretta ma viene invece determinata in due passi distinti, come detto nella definizione di misure indirette: 1. Si misurano una o più grandezze che possono essere misurate direttamente e dalle quali

può essere calcolata la grandezza che ci interessa.

2. Utilizzando i valori misurati si calcola la grandezza in questione

Un tipico esempio è la velocità media di un corpo. Essa necessita la misura dello spazio percorso (i.e. 16 misure) e dell’intervallo di tempo (i.e. 9 misure) necessario per percorrerlo: Quanto vale l’errore sulla velocità in questo caso ?

smtxv

sst

mmx

txv

m

m

/6098.2/

)03.0(09.023.1

)01.0(04.021.3

/

Propagazione degli Errori In un caso come questo, quando la misura comporta queste due fasi, allora anche la stima delle incertezze necessita di due fasi distinte. 1. Occorre stimare le incertezze nelle grandezze che sono state misurate direttamente

2. Occorre trovare come gli errori si sono propagati

Questa ultima fase si chiama: Propagazione degli errori Nota: Il libro di testo presenta la propagazione degli errori in due momenti diversi. All’inizio (capitolo 3) il libro presenta solo una definizione operativa poi (capitolo 8) fa una trattazione formalmente completa. Anche noi faremo ora una prima introduzione al concetto di propagazione degli errori. Non daremo dimostrazioni ma solo le formule e le modalità di utilizzo.

Propagazione degli Errori formula quasi completa (caso 2 variabili)

Supponiamo che le osservabili fisiche x,y siano misurate ciascuna con deviazione standard x,y . Supponiamo che le osservabili x,y siano necessarie per estrarre il valore della osservabile q attraverso la formula q(x,y)

Allora, in prima approssimazione, la deviazione standard q è espressa dalla relazione:

),(0 yxqq

standard deviazione

covarianza))((1

misurati,xincalcolataxadrispettoparzialederivata),(

),(),(2

),(),(

,,1

2

,

,

2

2

,

2

2

,

x

yyxxni

iixy

yyxx

xy

yyxx

y

yyxx

x

yyxx

q

yyxxN

yx

yxq

dove

y

yxq

x

yxq

y

yxq

x

yxq

Propagazione degli Errori

Nota importante 1 la formula ‘quasi ‘completa nel caso di piu’ di due variabili ha tutte le derivare incrociate

Nota Importante 2 (pagina 111 Cannelli)

zyxzxyzyxqy

q

z

q

z

q

x

q

y

q

x

q

x

q

y

q

x

q

()()2

()()2

()()2

()()() 2

2

2

2

2

2

Morale: La formula vale anche se viene usata la deviazione dalla media e non

la deviazione standard della popolazione

Propagazione degli Errori - Formula quasi completa ma ‘semplificata’

Supponiamo che le osservabili fisiche x,y, ..., z siano misurate ciascuna con deviazione standard x,y,…,z . Supponiamo che le osservabili x,y,…,z siano necessarie per estrarre il valore della osservabile q attraverso la formula q(x,y,…,z)

Allora, se gli errori di x,y,…,z sono indipendenti e casuali tra loro, la deviazione standard q è espressa dalla relazione:

),...,,(0 zyxqq

standard deviazione

misurati,...,,xincalcolataxadrispettoparzialederivata),...,,(

),...,,(...

),...,,(),...,,(

,..,,

2

2

,..,,

2

2

,..,,

2

2

,..,,

x

zzyyxx

z

zzyyxxx

y

zzyyxx

x

zzyyxx

q

zyx

zyxq

dove

z

zyxq

y

zyxq

x

zyxq

Esempio Calcoliamo l’errore sul seno di un angolo Sia q = 1.484 radianti 85 gradi Sia q = 0.017 radianti 0.97 gradi Voglio conoscere come l’errore si propaga l’errore su

qq sin)( fx

0015.09962.0

0014737.09962356.0

0014737.0017.0484.1cos

cos

22

22

x

x

Quindi

x

x

x

q q

Esercizio: Un gruppo di studenti vuole misurare l’accelerazione di gravità utilizzando un pendolo. Effettua una serie di misure per estrarre il periodo di oscillazione e la lunghezza del pendolo. Supponendo che

)(

947285.9

s0.005 s 0.012 s 1.945

m0.0004 m0.0012 m 0.9532

42

2

calcolatoancorastatoènonperchedecimaliituttiusanosi

g

T

d

T

dg

m

m

Applicando la formula generale di propagazione degli errori alla relazione che da g Si ottiene Da cui

2

2

,..,,

2

2

,..,,

2

2

,..,, 000000000

),...,,(...

),...,,(),...,,(z

zzyyxx

y

zzyyxx

x

zzyyxx

qz

zyxq

y

zyxq

x

zyxq

2

2

,

2

2

, 0000

),(),(T

TTdd

d

TTdd

gT

Tdg

d

Tdg

2

2

,

3

22

2

,

2

2

0000

24

14 T

TTdd

d

TTdd

gT

d

T

12.095.9g TsuerroreDomina12.0015066.0000157.0

012.0256.30012.0321.3012.0945.1

9532.0240012.0

945.1

14

22222

2

3

22

2

2

2

g

g

Esempio (pg. 53 bevington):

N

N

N

N

Nxxx

xNN

xxx

xx

x

x

x

x

x

N

x

N

xxxx

x

N

x

N

i

N

ii

N

i

N

i

i

x

N

i

i

N

21

2

2121

1

2

1

2

2

121

1

1...

1...

...

Se le misure sono ripetibili,

indipendenti e senza errore

sistematico allora la deviazione

standard è sempre la medesima

indipendentemente dall’indice ‘i’

cioè

Quando devo usare il termine di covarianza nella propagazione ?

Quando l’errore delle variabili x, y, .. non è indipendente tra loro, quando cioè una

sovrastima o sottostima di x implica una sovrastima o sottostima di y allora la

relazione di propagazione degli errori, nell’ipotesi di una funzione a due variabili x e

y, diventa:

))((1

Covarianza

2),(),(),(),(

,

2

2

,

2

2

,

xxyyN

dove

y

yxq

x

yxq

y

yxq

x

yxq

iixy

xy

yyxx

y

yyxx

x

yyxx

q

Quando devo usare il termine di covarianza nella propagazione ?

La covarianza xy stima in che proporzione “x” fluttua assieme a “y”.

- Se le osservabili fluttuano in modo indipendente il prodotto degli scarti si

annulla (posto che N sia sufficientemente grande)

- Se le osservabili non fluttuano in modo indipendente il prodotto degli scarti ha

segno definito così da rendere σ2xy non nulla e, a volte, non trascurabile

rispetto a σ2x e σ2

y

- nel caso in cui N (numero di misure) sia piccolo allora val la pena fare una prova

(fatelo nelle relazioni non nello scritto a meno che non sia richiesto)

- Calcolo ipotizzando la non correlazione

- Calcolo ipotizzando la massima correlazione

- e’ chiamato errore massimo

- Se la massima correlazione modifica il risultato della propagazione allora vale

la pena di considerare il termine covariante

xxyy

Niixy

1Covarianza

Nota: Si può dimostrare che vale la disuguaglianza | xy | < xy

Nota:

Se ci fosse la massima correlazione tra le incertezze delle osservabili allora:

Le incertezze quindi si sommano !

Si può dimostrare quindi che vale sempre questa disuguaglianza

y

yyxx

x

yyxx

q

yx

yyxx

y

yyxx

x

yyxx

q

yxxy

y

yxq

x

yxq

y

yxq

x

yxq

y

yxq

x

yxq

,,

,

2

2

,

2

2

,

),(),(

2),(),(),(),(

Covarianza

b

bbaa

a

bbaa

qb

baq

a

baq

0

0

0

0

),(),(

Quindi:

Calcolo ipotizzando la non correlazione

Calcolo ipotizzando la massima correlazione (errore massimo)

Nel caso ci fosse una differenza sostanziale tra i due valori allora il contesto fisico e/o la analisi dati

specifica mi dirà se posso ritenere i dati correlati o in generale cosa riportare come errore sperimentale

2

2

,

2

2

,

),(),(y

yyxx

x

yyxx

qy

yxq

x

yxq

y

yyxx

x

yyxx

qy

yxq

x

yxq

,,

),(),(

Cannelli pag. 111

14

Media Pesata

Può capitare che una grandezza sia stata misurata più volte da persone o con tecniche differenti

Ciascuna di queste misure a sua volta è il risultato di molte misure e quindi è nella forma

Il calcolo del semplice valor medio potrebbe non essere conveniente se le incertezze non sono uguali o

molto simili. E’ in generale più corretto usare la media pesata definita come

Attenzione: controllare che le misure siano consistenti, tra loro (discuteremo a fine lezione come fare) in

pratica la tgauss tra le diverse misure non deve essere associata ad una probabilità eccessivamente bassa

Nota:

Questa relazione vale per la deviazione standard e per quella della media

33

22

11

xx

xx

xx

2/1

2

1

i

ibest

i

i

i

i

i

ii

best

w

ww

xw

x

Media Pesata

Nota: E’ inutile fare una media pesata quando le deviazioni standard o deviazioni standard della media sono

sostanzialmente uguali per tutte le misure. Fate la media delle misure e estraete la deviazione standard

e/o della media dalle misure stesse (confrontando il risultato con l’errore minimo). Sebbene sia corretto tenere conto dell’errore strumentale associato ad ogni misura, privilegiate sempre il

dato sperimentale. Solo alla fine confrontatelo con l’errore minimo estratto sulla base delle incertezza

strumentali: Poiché l’errore minimo sul periodo non può essere di molto inferiore all’errore strumentale devo

confrontare (alla fine dei conti) l’errore minimo (0.00002 s) con quello ricavato per il periodo medio

esempio:

Come vedete il valore

medio calcolato con i

due metodi è uguale.

Possono cambiare le

deviazioni standard Ottenuto dai

solo dati

sperimental

e, non

dall’errore

strumentale)

Ottenuto facendo la media pesata con la sigma strumentale

ATTENZIONE

Per poter applicare l’operazione di media pesata è necessario che

• Le misure siano indipendenti e ripetibili

• Non devono rappresentare analisi diverse di uno stesso dataset

• Devono essere compatibili tra loro

• Altrimenti non sarebbero ripetibili

• Notate che l’errore delle media pesata è sempre più piccolo dei singoli errori

• Notate che nell’errore della media pesata non entra il gioco il valore della misura

Esempio è un errore GRAVE fare:

- X1 = 10 ± 1.2

- X2 = 2 ± 0.8

- Eseguo media pesata <x> = 4.5 ± 0.7

E’ tutto Chiaro ?

Dovreste aver chiari i seguenti argomenti: • Propagazione degli errori • Quando usare la covarianza nella propagazione degli errori • Media pesata