Propagazione Onde

7/30/2019 Propagazione Onde

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Capitolo 2

PROPAGAZIONE ONDOSA

Leffetto di una perturbazione localizzata applicata in modo rapido in un mezzo continuo tende a

diffondersi nello spazio: questo fenomeno viene usualmente indicato come propagazione ondosa

(Graff, 1975). In modo analogo unonda pu essere definita come una perturbazione che viaggia

allinterno di un mezzo trasportando energia, ma senza spostamenti di massa (Doyle, 1995).

Le perturbazioni generatesi per effetto dei meccanismi sismogenetica descritti nei paragrafi

precedenti viaggiano allinterno della massa terrestre sotto forma di onde sismiche che si propagano

in un mezzo continuo. In particolare da un punto di vista fenomenologico, la propagazione avviene

in un mezzo anelastico con comportamento dissipativo. Ciononostante un utile riferimento

costituito dalla propagazione in un mezzo elastico lineare, che, pur non essendo in grado di cogliere

gli aspetti di attenuazione legati alle propriet dissipative dei materiali interessati dalla

propagazione, permette di indagare le propriet principali della propagazione con formulazioni

relativamente semplici. Pertanto allinterno del presente capitolo si affronter il problema della

propagazione in un mezzo elastico demandando allAppendice C, lestensione al caso di mezzo

visco-elastico che rappresenta in modo adeguato i fenomeni dissipativi che hanno luogo nei

geomateriali.

2.1 1D: onde in una barra infinitamente lungaDa un punto di vista didattico appare utile affrontare dapprima il problema semplificato della

propagazione monodimensionale in un mezzo elastico che consente la comprensione degli aspetti

fondamentali del fenomeno e contribuisce a formare un quadro conoscitivo che pu essere

facilmente generalizzato per affrontare largomento della propagazione ondosa in un continuo.

Considerando una barra prismatica omogenea tre diversi tipi di vibrazioni libere possono verificarsi:

vibrazioni longitudinali lungo la direzione dellasse della barra; vibrazioni torsionali, nelle quali la

barra ruota intorno al suo asse senza movimento laterale dellasse stesso; vibrazioni flessionali, in

cui lasse si deforma lateralmente. In virt delle analogie con la propagazione ondosa in un continuo

tridimensionale le prime due forma di vibrazione risultano particolarmente significative nellambito

dei problemi di dinamica dei terreni. Le vibrazioni flessionali rivestono interesse principalmente nei

problemi di dinamica strutturale e la relativa trattazione pu essere ritrovata in testi di

approfondimento (es.: Graff, 1975).

La teoria che viene presentata nel seguito non fa riferimento alle soluzioni esatte che possono essere

ottenute impostando in modo completo il problema, ma a soluzioni semplificate basate sulle usuali


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2

semplificazione della Scienza delle Costruzioni per lanalisi di elementi strutturali. Teorie analoghe

possono essere ricavate per travi, piastre e lastre sottili. Tali teorie utilizzano determinate assunzioni

cinematiche sulle deformazioni degli elementi strutturali quale ad esempio il mantenimento delle

sezioni piane (Graff, 1975).

2.1.1 Onde longitudinali

Nella trattazione seguente si far riferimento ad una barra prismatica di lunghezza infinita e di area

trasversaleA, in assenza di vincoli lungo le pareti laterali.

Si assume inoltre che durante la deformazione le sezioni piane rimangano tali e che lo stato

tensionale sia costante sulla superficie di ciascuna sezione. Infine nella trattazione si assume che

forze dinerzia laterali (legate alleffetto Poisson) siano trascurabili. Infatti in presenza di uno statotensionale uniassiale, lo stato deformativo non in realt uniassiale in virt delle espansioni e

contrazioni laterali indotte, come illustrato successivamente.

Figura 2.1 Onde longitudinali 1D a) sistema di riferimento b) equilibrio elemento infinitesimo

Descrivendo con il simbolo ( )tx, il campo tensionale variabile dinamicamente e con ),( txq leforze di volume (Figura 2.1), lequazione indefinita di equilibrio dinamico in direzione orizzontale

pu essere scritta come:

2

2

t

uAdxqAdxAdx

xA

=+

++

(2.1)

in cui il simbolo u rappresenta gli spostamenti in direzione x. Il termine a destra del segno di

uguaglianza rappresenta le forze di inerzia. In accordo con le convenzioni della Scienza delle

Costruzioni, le tensioni di trazione sono assunte positive.


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3

Apportando le semplificazioni del caso lequazione indefinita di equilibrio pu essere riscritta

come:

2

2

t

uq

x

=+

(2.2)

Lequazione del moto in direzione longitudinale pu essere ottenuta associando allequazione

indefinita di equilibrio il legame deformazione-spostamento e la legge costitutiva.

La deformazione assiale rappresentata dalla derivata degli spostamenti longitudinali rispetto adx:

x

u

= . (2.3)

Nellipotesi che la barra sia costituita da materiale elastico lineare il legame sforzi-deformazioni

espresso dalla legge di Hooke:

E= (2.4)

in cui E il modulo di Young del mezzo in oggetto.

Sostituendo nellequazione di equilibrio

2

2

t

uq

x

uE

x

=+

(2.5)

e nel caso di barra omogenea ( cost, =E ):

2

2

2

2

t

uq

x

uE

=+

(2.6)

In assenza di forze di volume, lEq. 2.6 diviene:

2

2

2

2

t

u

x

uE

=

(2.7)

Lequazione pu essere riscritta introducendo la velocit di propagazione:

2

2

22

2 1

t

u

Vx

u

B

=

(2.8)

dove

EVB = rappresenta la velocit di propagazione di unonda longitudinale in una barra non

confinata. E interessante rilevare che considerando una barra confinata lateralmente il modulo di

Young nella legge costitutiva e di conseguenza nellespressione della velocit di propagazione


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4

viene sostituito dal modulo di deformazione in condizioni di espansione laterale impedita

EM)21)(1(

1

+

= (quindi la velocit di propagazione risulta necessariamente pi elevata nella

barra confinata). A tale proposito si osservi infatti che le compressioni e dilatazioni indotte dalla

propagazione della perturbazione longitudinale nella barra non confinata sono associate, per via

delleffetto Poisson, a espansioni e contrazioni laterali.

Figura 2.2 Espansioni e contrazioni indotte dalla propagazione di un'onda longitudinale in una barra (effetto

Poisson) (Graff, 1975)

Si noti che la velocit di propagazione dipende esclusivamente dalle propriet meccaniche della

barra stessa e non dalle sue dimensioni fisiche. In particolare la velocit di propagazione cresce al

crescere della rigidezza ed al decrescere della densit del materiale. Inoltre in un mezzo elastico

lineare, la cui rigidezza non influenzata dal livello tenso-deformativo, la velocit di propagazione

non dipende dallentit della perturbazione imposta.

La velocit di propagazione rappresenta la velocit con la quale la perturbazione imposta si propaga

allinterno del mezzo che non coincide con la velocit puntuale della singola particella interessata

dal fenomeno ondoso. Questa pu essere messa in relazione allo stato tensionale utilizzando le

espressioni 2.3 e 2.4 ottenendo:

B

xB

B

xB

xx

VV

VV

Etx

tuu

===

=

=

2 (2.9)

il termine BV viene usualmente indicato come impedenza specifica e come si vedr nel seguito

particolarmente rilevante nella definizione del fenomeno di propagazione alle interfacce tra diversi

mezzi (Kramer, 1996).


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5

2.1.2 Onde torsionali

Come nel caso delle onde longitudinali, lequazione dell onda pu essere ricavata a partire dalle

equazioni di equilibrio, congruenza e costitutive. Nel seguito si far riferimento al caso di una barra

avente sezione circolare.

Figura 2.3 Equilibrio torsionale dell'elemento infinitesimo (Graff, 1975)

Considerando un elemento di una barra prismatica soggetto a uno stato torsionale variabile lungo il

suo sviluppo T(x,t), lequazione indefinita di equilibrio pu essere ricavata facendo riferimento ad

un elemento di dimensione infinitesima (Figura 2.3). In assenza di componenti torcenti di volume:

2

2

tJdxAdx

x

TTT

=

++

(2.10)

dove J rappresenta il momento polare dinerzia e la rotazione della sezione. Con le dovute

semplificazioni leq. 2.10 si semplifica in:

2

2

tJ

x

T

=

(2.11)

Introducendo il legame costitutivo e le caratteristiche statiche della sezione, il momento torcente

pu essere messo in relazione con la rotazione:

xJGT

= (2.12)

in cui il prodottoJG rappresenta la rigidezza torsionale della barra. Sostituendo si ottiene:

2

2

22

2 1

tVx S

=

(2.13)


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6

con

GVS = . Come si pu osservare la velocit di propagazione delle vibrazioni torsionali in

questo caso dipende direttamente dalla rigidezza a taglio e, come si vedr nei successivi paragrafi,

coincide con la velocit di propagazione delle onde di taglio caratteristica del materiale.Nel caso pi generale di sezione avente forma qualsiasi le vibrazioni torsionali risultano accoppiate

alle vibrazioni flessionali e la loro velocit di propagazione legata alle caratteristiche geometriche

della sezione (Graff, 1975).

Per quanto riguarda le soluzioni dellequazione 2.13, la trattazione formalmente analoga a quanto

visto in precedenza per il caso di onde longitudinali.

2.1.3 Soluzione di dAlembert

Le soluzioni relative alla propagazione possono essere ottenute in modo formalmente analogo per

qualsiasi equazione del modo ondoso. Nel seguito si far esplicito riferimento al caso di onde

longitudinali nella barra, tenendo comunque presente che le stesse considerazioni trovano

applicazioni per il caso di onde torsionali nella barra e per le onde di volume in un mezzo indefinito

che saranno esaminate nei paragrafi successivi.

Una soluzione generale dellequazione del moto ondoso (Eq. 2.8) pu essere ottenuta mediante un

cambiamento di variabili introducendo le due variabili (Graff, 1975):

tVx B= , tVx B= (2.14)

Lequazione 2.8 diviene:

0),(

2

=

u (2.15)

e pu essere integrata in modo diretto ottenendo:

( )

F

u=

),( (2.16)

( ) ( ) gfu +=),( . (2.17)

Ritornando alle variabili originarie si ottiene la classica soluzione di dAlembert

)()(),( tVxgtVxftxu BB ++= (2.18)

che soddisfa in generale lequazione di propagazione monodimensionale. Le funzioni arbitrarief e

g rappresentano perturbazioni che si propagano nella stessa direzione con verso opposto. Infatti,


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prendendo per esempio la funzione f, essa presenter valori uguali per le coppie di (x, t) tali da

garantire cost)( = tVx B , ossia allaumentare del tempo tdeve aumentare la distanzax secondo un

rapporto dato da VB; pertanto la perturbazione corrispondente viaggia nella direzione delle x

positive con velocit pari a VB. Discorso analogo pu essere fatto per la perturbazione g, cheviagger nella direzione opposta. La forma delle due funzioni determinata dalle condizioni iniziali

o dalla funzione forzante del problema in oggetto.

E importante rilevare che le perturbazioni corrispondenti alle due funzioni arbitrarie si propagano

senza alcuna distorsione, infatti la forma della perturbazione appare inalterata. Questa una

caratteristica specifica della propagazione monodimensionale in un mezzo elastico lineare.

2.1.4 Onde armoniche

La soluzione dellequazione di propagazione delle onde pu anche essere ricercata con il classico

approccio della separazione delle variabili (Graff, 1975). Infatti, riscrivendo gli spostamenti come

prodotto di una funzione dello spazio ed una del tempo:

)()( tTxUu = (2.19)

Le corrispondenti derivate spaziali e temporali saranno date da:

2

2

2

2

xUT

xu

=

(2.20)

2

2

2

2

t

TU

t

u

=

(2.21)

e sostituendo nellequazione dellonda si ottiene

TV

T

U

U

P2

= (2.22)

I due rapporti cos ottenuti necessariamente non sono funzioni del tempo o dello spazio e pertanto

rappresentano una costante. Esprimendo tale costante come

2

2k

TV

T

U

U

P

==

(2.23)

la soluzione delle due equazioni sovrastanti rappresentata da una generica funzione armonica, per

cui in generale lo spostamento associato alla propagazione ondosa pu essere espresso come:

)cossin)(cossin( 4321 tAtAkxAkxAu ++= (2.24)


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dove BkV= e A1...A4 sono costanti arbitrarie. I singoli termini derivanti dal prodotto

nellequazione soprastante rappresentano onde stazionarie (Graff, 1975). Utilizzando le relazioni

trigonometriche, la soluzione pu essere riscritta come:

( ) ( ) ( ) ( )tkxBtkxBtkxBtkxBu +++++= coscossinsin 4321 (2.25)

Osservando un singolo termine della sommatoria che compone la soluzione, ad esempio:

)(cos)cos( tVxkAtkxAu B== (2.26)

possibile osservare che la perturbazione viaggia nello spazio con velocit pari a VB, infatti per

mantenere inalterato il valore della fase della funzione armonica valori crescenti dix sono necessari

al crescere di t. Nella Eq. 2.26 il termine = tkx rappresenta la fase della funzione armonica.

Lequazione 2.26 rappresenta unonda di lunghezza infinita e come tale non presenta un definito

fronte donda, pertanto la velocit di propagazione pu essere definita solo facendo riferimento ad

una determinata fase e viene usualmente indicata come velocit di fase.

La soluzione riportata rappresenta unonda che si propaga in direzione delle x positive. In modo

analogo pu essere scritta lequazione dellonda che si propaga nella direzione dellex negative.

Utilizzando la relazione di Eulero, londa armonica pu anche essere espresse nella seguente forma:

)(),( tkxieAtxu = (2.27)

che verr spesso utilizzata nel prosieguo.

Aspetto particolarmente interessante della soluzione armonica costituito dal fatto che utilizzando

la Trasformata di Fourier (Appendice C) tale soluzione pu essere utilizzata per ottenere una

soluzione generale del problema della propagazione.

La rappresentazione del moto associato allonda armonica in funzione del tempo e dello spazio

(Figura 2.4) consente di definire alcune grandezze caratteristiche. La distanza spaziale tra due punti

successivi avente stessa fase viene definita lunghezza donda ed generalmente indicata con la

lettera (Figura 2.4b). Considerata la periodicit delle funzioni armoniche, la lunghezza donda pu

essere messa in relazione con il parametro k, indicato come numero donda, osservando che

2=k , pertanto k/2= . Prendendo invece in considerazione la figura Figura 2.4a, si definisce

come periodo T dellonda la distanza temporale tra due punti successivi avente stessa fase e

considerando la periodicit delle funzioni armoniche si ricava 2=T , con frequenza circolare

o radiale. Linverso del periodo viene invece indicato frequenza ciclica o semplicemente frequenza,

ottenendo quindi f 2= .


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Figura 2.4 Spostamenti indotti dalla propagazione di unonda armonica: (a) in funzione del tempo (b) in

funzione della posizione

Combinando le relazioni riportate sopra, si ottengono le seguenti relazioni che sono spesso

utilizzate per passare da un parametro dellonda ad un altro:

BkV= (2.28)

f

VB= (2.29)

k

fVB

2= (2.30)

Dal momento che le grandezze caratteristiche dellonda armonica verranno spesso utilizzate nel

prosieguo, appare utile riassumerle in una tabella, unite alle loro caratteristica dimensionale:

Tabella 2.1 Definizione delle grandezze caratteristiche dellonda armonica

Simbolo Grandezza Dimensioni Unit di misura SI

A Ampiezza varie varie

frequenza radiale [1/tempo] [rad/s]

f Frequenza (ciclica) [cicli/tempo] [Hz=1/s]

Lunghezza donda [lunghezza] [m]

k Numero donda [1/lunghezza] [1/m]

V Velocit di fase [lunghezza /tempo] [m/s]

T Periodo [tempo] [s]


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2.2 Onde in un mezzo continuo indefinitoLe equazioni che governano la propagazione ondosa in un mezzo continuo possono essere ottenute,

in modo del tutto analogo a quanto visto in precedenza per il caso della propagazione

monodimensionale, partendo dalle equazioni indefinite di equilibrio e adottando unopportuna legge

costitutiva.

Usando la notazione indiciale le equazioni indefinite di equilibrio per lelemento di volume possono

essere scritte in forma compatta:

iijij uf =+ , (2.31)

dove ij il tensore delle tensioni, iu il vettore di spostamento di un punto materiale, la

densit e if il vettore dello forze di volume per unit di massa.

Prendendo in considerazione un mezzo omogeneo con comportamento lineare elastico

isotropo caratterizzato utilizzando i parametri di Lam e ( )G (vedi Appendice A), la relazione

tra tensioni e deformazioni pu essere espressa come:

ijijkkij += 2 (2.32)

dove ij la funzione delta di Kronecker.

Ricordando che il tensore delle deformazioni per piccole deformazioni pu essere espresso come:

( )ijjiij uu ,,2

1+= (2.33)

e sostituendo in cascata nella 2.31, con alcune manipolazioni possibile ottenere le equazioni del

moto di Navier:

( ) iijjijij ufuu =+++ ,, (2.34)

che in notazione vettoriale possone essere riscritte come:

ufuu =+++ 2)( (2.35)

Le equazioni di Navier si presentano di non facile lettura e non appare semplice risalire alle

rispettive soluzioni ed alle loro propriet. Lutilizzo del teorema di Helmoltz permette di pervenire

ad un insieme di equazioni di interpretazione di pi semplice, separando le componenti

volumetriche e distorsionali del campo vettoriale di spostamento. Tale risultato pu essere ottenuto

decomponendo il campo vettoriale completo nel gradiente di uno scalare e nel rotore di un vettore adivergenza nulla. Infatti gli spostamenti u possono essere espressi introducendo due funzioni


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potenziale, una scalare ed una vettoriale H , tali che:

0, =+= HHu (2.36)

Si noti che la condizione 0= H fornisce la condizione necessaria per la determinazione univoca

delle tre componenti del vettore di spostamento u a partire dalle quattro componenti della coppia di

potenziali H, .

Il vettore delle forze di volume f pu essere scomposto in modo del tutto analogo:

0, =+= BBf f (2.37)

Sostituendo le 2.36 e 2.37 nella 2.35, con alcune manipolazioni possibile ottenere:

( ) ( ) 02 22 =++++ HBH f (2.38)

La 2.38 pu essere soddisfatta solo se entrambi i termini compresi tra parentesi si annullano,

pertanto, in assenza di forze di volume, possibile ottenere le seguenti 4 equazioni dellonda:

( )

HH

=

=+

2

22

(2.39)

Tali equazioni possono essere risolte separatamente, imponendo le opportune condizioni al

contorno ed iniziali, ottenendo quindi la soluzione in termini di spostamento utilizzando la 2.36 per

combinare le soluzioni ottenute per i potenziali.

La prima delle 2.39 (relative al potenziale scalare) corrisponde alla propagazione di unonda

longitudinale in cui la propagazione dellenergia avviene per successive dilatazioni e compressioni

senza distorsione angolare (per cui tale onda viene usualmente indicata anche detta onda di

compressione o di dilatazione o onda irrotazionale o onda Primaria, da momento che costituisce

sempre il primo arrivo nelle registrazioni sismiche). Le altre tre equazioni espresse dallequazione

vettoriale in 2.39 sono relative alla propagazione di onde di taglio, in cui la propagazione avviene

per successive distorsioni angolari in assenza di variazioni di volume (queste onde sono anche

indicate come: distorsionali o rotazionali o Onde Secondarie, dal momento che rappresentano il

secondo arrivo nelle registrazioni sismiche).

La derivazione delle stesse equazioni dellonda usando la notazione ingegneristica riportata

in Appendice B.

Le velocit di propagazione di onde Primarie e Secondarie pu essere ricavata in analogia a

quanto visto per il caso monodimensionale dalle equazioni dellonda 2.39:

2+=PV (2.40)


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=SV (2.41)

Si noti che in un mezzo elastico lineare le velocit di propagazione sono legate da semplici

espressioni alle costanti elastiche, pertanto una valutazione sperimentale delle velocit di

propagazione pu essere utilizzata per ottenere i valori dei moduli di deformazione volumetrica ed a

taglio. Il rapporto tra le due velocit di propagazione risulta essere funzione esclusivamente del

numero di Poisson del materiale:

)1(2

21

2

=

+=

P

S

V

V(2.42)

pertanto le onde longitudinali viaggiano sempre pi velocemente delle onde di taglio ( SP VV > ),

giustificando luso dei nomi Onde Primarie e Secondarie.

Le onde di taglio presentano spostamenti delle particelle in direzione perpendicolare rispetto alla

direzione di propagazione. Considerando un sistema di riferimento cartesiano per unonda di taglio

che si propaga in direzione orizzontale possibile distinguere tre onde polarizzate orizzontalmente

ed onde polarizzate verticalmente a seconda del piano in cui avviene lo spostamento puntuale

associato alla propagazione dellonda. Tali onde vengono indicate rispettivamente come SH ed SV.

Ovviamente la propagazione con moto delle particelle in qualsiasi altro piano pu essere visto come

la composizione di onde SH ed SV.

Le onde di compressione e di taglio rappresentano i due soli tipi di onde che possono esistere in un

mezzo continuo illimitato e pertanto vengono usualmente indicate con il nome di onde di volume.

E utile ribadire che una delle ipotesi fondamentali per lapplicazione della decomposizione di

Helmholtz lisotropia del mezzo. Infatti in mezzi anisotropi la decomposizione non pu essere

utilizzata ed possibile dimostrare lesistenza di 3 tipi di onde di volume denominate quasi-P,

quasi-SV e quasi-SH (White, J., 1983) perch la loro direzione di polarizzazione non , nel caso pi

generale, parallela o perpendicolare alla direzione di propagazione ma forma con questultima un

angolo arbitrario. E tuttavia possibile dimostrare che anche nel caso del pi generale mezzo

anisotropo le tre direzioni di polarizzazione sono tra loro ortogonali (Lai et al, 1999).

2.3 Onde Elastiche in un mezzo continuo limitatoLa presenza di interfacce o discontinuit porta alla generazione di altri tipi di onde che verranno

analizzati nel seguito. In particolare le onde che si propagano interessando una ristretta porzione del

mezzo continuo in prossimit di una superficie libera vengono indicate come onde superficiali.

Appartengono a tale categorie le Onde di Rayleigh e le Onde di Love. Tali onde rivestono un ruolo


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determinante nella propagazione dellenergia sismica a grande distanza dalla sorgente e sono

particolarmente utili per la caratterizzazione dei terreni con metodi non invasivi.

La presenza di interfacce tra diversi mezzi porta alla generazione di altre tipologie di onde di

interfaccia (Onde di Stoneley, onde di Scholte) che per rivestono importanza minore da un punto

di vista applicativo e non verranno analizzate nel seguito (Graff, 1975).

2.3.1 Onde di Rayleigh (Onde R)

Le onde di Rayleigh si generano in presenza di una superficie libera e rappresentano la tipologia di

gran lunga pi rilevante di onde superficiali, tanto da essere spesso identificate con esse. La loro

esistenza stata scoperta da Lord Rayleigh nel 1885, come soluzione del problema delle vibrazioni

libere di un semispazio elastico. Nella parte conclusiva del suo lavoro, Rayleigh sottolineavalimportanza che tali onde ricoprono nella trasmissione dellenergia sismica rilasciata dai terremoti

a grande distanza dalla sorgente. Infatti lintroduzione della teorica di tali onde era stata preceduta

da una serie di osservazioni sismiche che non potevano essere giustificate utilizzando le onde di

volume. Lesistenza di una superficie libera comporta lannullarsi dello stato tensionale in

corrispondenza della superficie stessa ( 0= per 0=z ). Imponendo queste condizioni nelle

equazioni di Navier ed utilizzando la decomposizione di Helmoltz possibile trovare una soluzione

che si attenua esponenzialmente con la profondit, in accordo con il fatto che trattandosi di ondesuperficiali, il moto ad esse connesso debba estinguersi rapidamente con la profondit

In particolare, nel caso di onde piane, scartando le soluzioni che danno ampiezza del moto crescente

con la profondit, lunica soluzione reale (onda di Rayleigh) corrisponde a una velocit di

propagazione dellonda superficiale che soddisfi la seguente equazione caratteristica:

0)1(16)1624(8 22246 =++ KKK (2.43)

in cui K e rappresentano i seguenti rapporti tra le velocit di propagazione delle onde

longitudinali (P), distorsionale (S) e Rayleigh (R):

S

R

V

VK= (2.44)

P

S

V

V= (2.45)

Lequazione 2.43 una cubica in 2K e le sue radici sono funzioni del Numero di Poisson in virt

della 2.42. E possibile dimostrare (Viktorov 1967) che per mezzi reali ( 5.00


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sismiche dal Numero di Poisson rappresentata in Figura 2.5.

Una soluzione approssimata dellequazione caratteristica di Rayleigh 2.43 data da (Viktorov,

1967):

++=

112.187.0K (2.46)

In Figura 2.5 possible notare che la differenza tra la velocit di propagazione delle onde di taglio e

delle onde di Rayliegh molto contenuta, con le seconde leggermente pi lente delle prime. In

particolare lintervallo di variazione del rapporto tra le due velocit dato da:

96.087.0


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Figura 2.6 Moto in superficie associato alla propagazione di onde di Rayleigh in un semispazio omogenoe lineare

elastico

Il campo di spostamenti associato alla propagazione delle onde superficiali pu essere valutato

introducendo la soluzione dellequazione caratteristica allinterno della formulazione relativa alle

equazioni del moto. Le componenti orizzontale e verticale del moto sono sfasate di 90, con la

componente verticale maggiore in ampiezza di quella orizzontale, pertanto il moto risultante

rappresentato da unellisse. Sulla superficie libera il moto delle particelle descrive nel tempo ellissi

retrograde (ossia antiorarie se la perturbazione viaggia da sinistra a destra come mostrato in Figura

2.6). Il moto ellittico cambia verso a per profondit maggiori di circa 1/2 volte la lunghezza

donda (Figura 2.7).

Un aspetto particolarmente rilevante costituito dalla variazione con la profondit delle componenti

del moto. Come detto in precedenza esse decrescono con la profondit con andamento esponenziale,

pertanto risultano trascurabili per profondit maggiori di circa 1.5 volte la lunghezza donda (Figura

2.7). In pratica la propagazione avviene in una zona confinata in prossimit della superficie libera e

pertanto non influenzata da eventuali variazioni delle caratteristiche meccaniche con la profondit

che non interessino la zone di interesse.


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Figura 2.7 Rapporti di ampiezza delle componenti del moto in funzione della profondit adimensionale per onde

di Rayleigh in un semispazio omogeneo lineare elastico (Richart et al., 1970)

Prendendo in considerazione la soluzione relativa alleffetto di una sorgente puntuale agente sulla

superficie libera (problema risolto per la prima volta da Lamb nel 1904) si mette in evidenza come

la propagazione avvenga secondo un fronte donda cilindrico. Pertanto rispetto alle onde di volume

la cui propagazione associata a fronti donda sferici, le onde di Rayleigh subiscono una minore

attenuazione geometrica con la distanza. Semplici considerazioni fisiche riguardanti proprio i fronti

donda consentono di ricavare le leggi di attenuazione geometrica associate alle diverse onde.

Prendendo in considerazione una sorgente in profondit, lenergia rilasciata si distribuisce su una

superficie sferica che si espande allaumentare della distanza dalla sorgente, pertanto lenergia si

attenua secondo un fattore inversamente proporzionale al quadrato della distanza. Considerando che

lenergia proporzionale al quadrato degli spostamenti, questi ultimi si attenueranno con un fattore

inversamente proporzionale alla distanza. Ripetendo le stesse considerazioni per le onde di

Rayleigh generate da una sorgente puntiforme agente sulla superficie libera, che presentano un

fronte donda cilindrico, si arriva alla conclusione che lenergia associata debba attenuarsi secondo

un fattore inversamente proporzionale alla distanza dalla sorgente e gli spostamenti secondo un

fattore inversamente proporzionale alla radice quadrata della distanza. Infine per il caso di onde

longitudinali o distorsionali che si propagano in corrispondenza della superficie libera, i

meccanismi di attenuazione sono pi complessi, ma possibile dimostrare che a causa della

dispersione di energia, lattenuazione degli spostamenti inversamente proporzionale al quadrato


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della distanza (Richart et al. 1970). Riassumendo, per un semispazio omogeneo lineare elastico, una

templi legge di potenza pu essere utilizzata per esprimere lattenuazione di ampiezza per le diverse

tipologie di onde causata dalla radiazione di energia:

=

Rayleighdiondeper2

1

mezzodelinternoall'volumediondeper1

superificesullaviaggiantialidistorsionealilongitudinondeper2

c1

nonr

n(2.48)

dove r la distanza dalla sorgente puntiforme.

Figura 2.8 sorgente armonica puntiforme agente sulla superficie di un semispazioni omogeneo lineare elastico

isotropo: (a) campo completo degli spostamenti; (b) suddivisione dellenergia tra differenti tipi di onde (Woods

1968).

Considerando una fondazione circolare vibrante a bassa frequenza poggiante sulla superficie di un

semispazio omogeneo elastico lineare, possibile mostrare che circa i 2/3 dellenergia viene

trasmessa dalle onde di Rayleigh e la restante parte viene suddivisa tra le onde di volume (Millerand Pursey, 1955) (Figura 2.8b). Aggiungendo questa informazione alle considerazioni precedenti


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riguardanti lattenuazione geometrica, possible concludere che ad una certa distanza dalla

sorgente, il campo di spostamenti associate alla propagazione sismica essenzialmente dominato

dalle onde di Rayleigh, come inizialmente suggerito da Lamb (1904) che divideva i contributi delle

diverse onde sismiche in due tremori minori (P e S) ed un tremore maggiore (R) (Figura 2.9).

Questa osservazione trova conferma nei dati sismici sperimentali relativi ai terremoti ed alle prove

geofisiche.

Figura 2.9 Componenti verticali ed orizzontali per una sorgente puntiforme agente su un semispazio elastico (a)

moto radiale orizzontale; (b) moto verticale; (c) traiettoria di spostamento (Lamb, 1904).

Le caratteristiche specifiche delle onde di Rayleigh le rendono particolarmente importanti sia da un

punto di vista sismico sia per la caratterizzazione dei materiali. Per questultimo aspetto, bisogna

aggiungere, alle caratteristiche viste in precedenza per un semispazio omogeneo, la dispersione

geometrica delle onde di Rayleigh in un mezzo verticalmente eterogeneo, che rende la velocit di

propagazione dipendente dalla frequenza (Appendice D).

2.3.2 Onde di Love

A differenza delle onde di Rayleigh, le onde di Love vengono generate in prossimit della

superficie solo in presenza di determinate condizioni, infatti per la loro generazione necessaria la

presenza di un substrato a rigidezza maggiore al di sotto dello strato superficiale. In tali condizioni

le onde di Love sono generate dallinterferenza costruttiva delle onde Sh intrappolate allinterno


19/32

19

dello strato superficiale, a causa delle successive riflessioni in superficie e allinterfaccia tra i due

strati (vedi Par. 2.4.2).

La soluzione corrispondente allonda di Love pu essere ottenuta imponendo nelle equazioni del

moto la condizione di superficie libera in sommit dello strato ( 0= per 0=z ) e la compatibilit

di tensioni e deformazioni allinterfaccia tra i due strati di terreno ( 21 = e 21 UU = per z=H

spessore dello strato superficiale). Il moto associato alle onde di Love varia ccon la profondit

seguendo una funzione sinusoidale nello strato superficiale e decadendo in maniera esponenziale

nel semispazio sottostante (Figura 2.10)

Figura 2.10 Variazione degli spostamenti indotti dallonda di Love in funzione della profondit

Le onde di Love sono per loro natura dispersive, ovvero la loro velocit di propagazione funzione

della frequenza ed in particolare tende alla VS del substrato (VS2) per basse frequenze ed alla VS

dello strato superficiale (VS1) per alte frequenze (Figura 2.11).

Figura 2.11 Variazione della velocit di propagazione dellonda di Love con la frequenza (curva di dispersione)

La Figura 2.12 riassume le caratteristiche del moto associato ad onde di volume (P ed S) e di

superficie (L e R).


20/32

20

Direction ofpropagation

Figura 2.12 Rappresentazione del moto associato ad onde di volume (P e S) e di superficie (L e R)

2.4 Onde in mezzi stratificati: propagazione alle interfacceLa presenza di discontinuit, quali interfacce tra mezzi aventi differenti caratteristiche meccaniche,

influenza la propagazione delle onde sismiche. Infatti per effetto delle diverse propriet meccaniche

le deformazioni indotte dalla perturbazione nei due mezzi devono essere differenti, rispettando per

le condizioni di compatibilit meccanica (congruenza delle deformazioni e continuit dello stato

tensionale). Come conseguenza, quando unonda incontra linterfaccia tra due materiali aventi


21/32

21

propriet meccaniche differenti, parte dellenergia viene riflessa allinterno del mezzo in cui

viaggiava londa incidente. Inoltre parte dellenergia viene trasmessa attraverso linterfaccia sotto

forma di onda rifratta o trasmessa. Per studiare questi aspetti, nel seguito si seguir lo stesso

approccio utilizzato per derivare le equazioni del moto ondoso in un mezzo continuo, partendo dal

caso monodimensionale ed estendo poi la trattazione al caso generale della propagazione attraverso

linterfaccia tra due mezzi continui semi-infiniti.

2.4.1 Caso 1D

Considerando la propagazione di unonda longitudinale in unasta a sezione continua che presenti

una discontinuit legata al passaggio da un materiale ad un secondo materiale. Le propriet

geometriche e meccaniche delle due sezioni di asta sono identificate nella Figura 2.13.

Figura 2.13 Variazione di caratteristiche della sezione nella propogazione 1D

Considerando unonda incidente che viaggia allinterno del mezzo 1 (rappresentata in Figura 2.13

dal corrispondente stato tensionale i), arrivando in corrispondenza dellinterfaccia essa subir un

processo di riflessione e trasmissione, in quanto una parte dellenergia associata alla perturbazione

si propagher nel mezzo 2 (onda trasmessa t), mentre la restante parte verr riflessa allinterno del

mezzo 1 (onda riflessa r). Da un punto di vista matematico, le caratteristiche delle due onde

possono essere agevolmente ricavate facendo riferimento alla propagazione di onde armoniche.

Considerando unonda armonica incidente longitudinale avente frequenza circolare ed ampiezza

Ai, il moto associato pu essere espresso come:

)( 1),(xkti

ii eAtxu= (2.49)

dove1

1

bVk

= rappresenta il numero donda dellonda incidente, legato alla velocit di

propagazione di unonda longitudinale nel mezzo 1.


22/32

22

Londa armonica riflessa viagga allinterno dello stesso mezzo, e quindi caratterizzata dalla stesso

numero donda, ma con verso di propagazione opposto e sar caratterizzata da unampiezzaAr

)( 1),(xkti

rr eAtxu+=

(2.50)

Infine londa armonica che viene trasmessa nel mezzo 2, avr lo stesso verso di propagazione

dellonda incidente ma numero donda associato alle caratteristiche meccaniche del mezzo 2 ed

ampiezzaAt:

)( 2),(xkti

tt eAtxu=

(2.51)

dove2

2

bVk

= .

In corrispondenza dellinterfaccia (x=0) necessario imporre la compatibilit degli spostamenti:

tri uuu =+ (2.52)

e la continuit dello stato tensionale (bilancio di forza):

tri =+ . (2.53)

Ricordando che

x

uEE

== , lo stato tensionale associato alle tre onde (incidente, riflessa e

trasmessa) pu essere espresso come:

),(),( 11 txuEiktx ii = (2.54)

),(),( 11 txuEiktx rr += (2.55)

),(),( 22 txuEiktx tt = (2.56)

Pertanto sostituendo le corrsiposndenti relazioni allinterno delle equazioni 2.52 ed 2.53 si ottiene:

tri AAA =+ (2.57)

tri AEikAEikAEik 221111 =+ (2.58)

Osservando che

bb

b

VVV

kE

== 2

(2.59)

e sostituendo la 2.58 nella 2.57 si ottiene:

)(221111 ribrbib AAVAVAV +=+ (2.60)


23/32

23

da cui possibile ricavare lampiezza dellonda riflessa:

i

b

b

b

b

i

bb

bbr A

V

V

V

V

AVV

VVA

11

22

11

22

2211

2211

1

1

+

=+

= (2.61)

e, ricorrendo allequazione 2.57, lampiezza dellonda trasmessa:

i

b

bi

bb

bt A

V

VA

VV

VA

11

222211

11

1

22

+

=+

= (2.62)

Le espressioni soprastanti possono essere semplificate introducendo il rapporto di impedenza tra i

due mezzi:

11

22

b

bz

V

V

= (2.63)

che permette di esprimere le ampiezze delle due onde come:

i

z

zr AA

+

=

1

1 (2.64)

i

z

t AA+

=1

2 (2.65)

Sulla base delle equazioni soprastanti possibile fare alcune considerazioni sullampiezza relativa

di onde riflesse e trasmesse nelle diverse situazioni. Passando da un mezzo meno rigido ad uno pi

rigido ( 1122 bb VV > ) il rapporto di impedenza maggiore dellunit ( 1>z ) e londa riflessa ha

ampiezza minore dellonda incidente ( ir AA < ), ma con un inversione di segno negli spostamenti;

mentre londa trasmessa associata a spostamenti minori rispetto allonda incidente ( it AA < ) ma

aventi stesso verso. Nel caso di passaggio da un mezzo pi rigido ad uno meno rigido ( 1 ).

Per quanto riguarda le tensioni associate possibile ricavare le seguenti relazioni:

iz

z

r

+

= 1

1

(2.66)


24/32

24

i

z

zt

+=

1

2 (2.67)

Le equazioni trovate possono essere utilizzate anche per studiare i problemi della riflessione in

corrispondenza di un estremo libero o di un estremo perfettamente incastrato. Tali casi possonoinfatti essere visti come casi particolari delle interfacce viste in precedenza; infatti lestremo libero

corrisponde ad un rapporto di impedenza nullo ( 0=z ) che comporta:

ir AA = it AA 2= ir = 0=t

ossia lampiezza dellonda riflessa pari a quella dellonda incidente, mentre londa trasmessa ha

ampiezza pari a 2 volte quella dellonda incidente (quindi gli spostamenti in corrispondenza

dellestremo libero si raddoppiano). Per quanto riguarda le tensioni, il cambiamento di segno

nellonda riflessa rispetto allincidente particolarmente rilevante in quanto comporta il passaggio

da stati di compressione a stati di trazione e viceversa1

(Figura 2.14). Ovviamente non viene

trasmessa alcuna tensione. Gli stessi risultati potevano essere ottenuti introducendo nella soluzione

dellequazione dellonda monodimensionale la condizione al contorno di estremo libero )0( =t .

Figura 2.14 Riflessione in corrispondenza di un estremo libero

Per quanto riguarda il caso di estremo perfettamente incastrato, il rapporto di impedenza tende ad

infinito ( =z ), per cui possibile ottenere le seguenti relazioni:

1

Questo aspetto particolarmente rilevante per la battitura dei pali prefabbricati. Infatti si generano stati di trazionequando londa di compressione generata dalla battitura e riflessa al piede del palo viene nuovamente riflessa alla testa in

condizioni di estremo libero


25/32

25

ir AA = 0=tA ir = it 2=

Pertanto gli spostamenti associati allonda riflessa hanno segno opposto rispetto allonda incidente,

mentre ovviamente non si trasmettono spostamenti, ma la tensione in corrispondenza dellincastro

( t ) risulta raddoppiata rispetto al valore di quella incidente (Figura 2.15). Gli stessi risultati

potevano essere ottenuti introducendo della soluzione dellequazione dellonda monodimensionale

la condizione di incastro perfetto )0( =tu .

Nel caso particolare 1=z (barra omogenea), non si genera onda riflessa ( 0=rA ; 0=r ) e londa

trasmessa coincide con linda incidente ( it AA = ; it = ).

Figura 2.15 Riflessione in corrispondenza di un estremo incastrato

2.4.2 Onde inclinate

Come si visto, il caso relativo alla propagazione monodimensionale trattato in precedenza pu

essere utile per analizzare le situazioni in cui la direzione di propagazione esattamente

perpendicolare allinterfaccia tra i mezzi aventi differenti caratteristiche meccaniche. Pi in

generale lincidenza dellonda avverr con un determinato angolo rispetto a tale superficie, pertanto

necessario prendere in considerazione il caso di unonda di volume che arriva sulla superficie di

separazione tra i due mezzi formando un determinato angolo.

Lo studio dei fenomeni di riflessione-trasmissione allinterfaccia tra mezzi continui pu essere

condotto prendendo in considerazione il caso di onde armoniche piane incidenti sullinterfaccia,

esprimendo gli spostamenti associati alla propagazione delle onde nei due mezzi ed imponendo le

condizioni al contorno di continuit di tensioni e deformazioni (Graff, pag.377). In tale modo

possibile mostrare che nel caso in cui londa incidente sia unonda di tipo P o unonda di tipo SV, in

generale si generano 2 onde riflesse (una P ed una SV) e 2 onde rifratte (una P ed una SV). Nel caso

in cui invece londa incidente sia di tipo SH, si genereranno solo unonda riflessa ed unonda


26/32

26

rifratta, entrambe di tipo SH. Da un punto di vista fisico questo quanto meno intuitivo se si

considerano gli spostamenti associati ai diversi tipi di onda: infatti prendendo in considerazione

unonda piana si osserva che gli spostamenti associati alla propagazione di onde P ed onde SV

avvengono nello stesso piano, mentre gli spostamenti associati alle onde SH avvengono su un piano

differente perpendicolare al precedente. Le onde P ed SV causano in generale sia spostamenti

perpendicolari al piano dellinterfaccia sia spostamenti paralleli al piano dellinterfaccia. Per questo

motivo le onde P ed SV sono tra loro accoppiate mentre londa SH risulta disaccoppiata rispetto alla

precedente. Impostando pi in generale il problema per un mezzo stratificato in presenza di una

superficie libera, la parte di soluzione associata alle onde P ed SV porter come soluzione le onde di

Rayleigh, mentre la parte relativa alle onde SH dar come soluzione le onde di Love. Inoltre

allinterfaccia possono formarsi onde analoghe alle onde di Rayleigh che viaggiano lungo

linterfaccia stessa, dette onde di Stoneley. E possibile dimostrare che tali onde si formano solo in

determinate condizioni, ed in particolare quando la velocit di propagazione delle onde di taglio eni

due mezzi circa uguale (Graff, 1975).

La direzione di propagazione di onde riflesse e rifratte generatesi allinterfaccia in conseguenza

dellarrivo di unonda incidente pu essere agevolmente valutata facendo ricorso alla legge di Snell

che definisce il cambio di direzione dei raggi sismici alle interfacce tra materiali con differenti

velocit di propagazione:

costsin

=v

(2.68)

in cui rappresenta langolo che la direttrice dellonda forma con la perpendicolare allinterfaccia

mentre v rappresenta la velocit di propagazione dellonda allinterno del mezzo. La legge di Snell

pu essere dimostrata partendo dal principio di Fermat, che afferma che il tempo di propagazione di

unonda sismica tra due punti A e B uguale al minimo tempo di viaggio lungo un qualunque

percorso che unisce A e B. Il percorso lungo cui questo avviene detto raggio sismico (ray path). Il

fronte donda definito come una superficie di egual tempo di percorrenza. Di conseguenza il

raggio sismico perpendicolare al fronte donda (Figura 2.16). Il fronte donda semplice da

visualizzare per unonda impulsiva, mentre a rigore non possibile definirlo nel caso di onde

armoniche stazionarie. Nel definire le caratteristiche della propagazione per tale tipo di onde si fa

pertanto riferimento ad una determinata fase dellonda (es.: un picco).


27/32

27

Figura 2.16 Fronte d'onda e raggio sismico (a) onde piane (b) fronte d'onda curvo

Applicando la legge di Snell nel caso ad esempio di unonda P si ottengono le seguenti relazioni:

SPSP VVVV

=

== 2121

sinsinsinsin (2.69)

in cui PV e SV sono le velocit di propagazione allinterno nel mezzo in cui viaggia londa

incidente e PV e SV sono le velocit di propagazione nel secondo mezzo. 2121 ,,,

rappresentano rispettivamente gli angoli formati dalle onde P incidente (e riflessa), SV riflessa, P

rifratta, SV rifratta (Figura 2.17a). Discorso analogo pu essere fatto nel caso di onda SV incidente

(Figura 2.17b)

Figura 2.17 Riflessione e rifrazione di onde P ed SV

Nel caso di onde incidenti di tipo SH, la situazione risulta pi semplice in quanto verranno generate

solo unonda riflessa con angolo di riflessione pari allangolo di incidenza e langolo di rifrazione

individuato dalla legge di Snell, analogamente a quanto visto nella 2.69.

Si noti come i fenomeni di rifrazione da materiale pi rigido a meno rigido portano il raggio sismico

ad avvicinarsi alla perpendicolare alle interfacce. Questo, nel caso dei terremoti porta ad avere raggi

sismici prossimi alla verticale rispetto alla superficie terrestre per via della rigidezza crescente con

la profondit (Figura 2.18). Questo aspetto, spesso citato come verticalizzazione dei raggi sismici,


28/32

28

particolarmente importante per lo studio dei fenomeni di amplificazione locale come si vedr nel

capitolo 4.

Figura 2.18 Raggio sismico di un'onda SH rifratta che viaggia attraverso strati di rigidezza descrescente

2.4.3 RIFRAZIONE CRITICA

La struttura dellequazione 2.68, presuppone lesistenza di un particolare angolo di incidenza tale da

produrre unonda rifratta che viaggia lungo linterfaccia. Tale condizione viene definita rifrazione

critica ed possibile ricavare langolo di incidenza corrispondente. Facendo per esempio

riferimento alla propagazione di onde di compressione:

PP

c

VV

=

90sinsin

P

Pc

V

V

= arcsin (2.70)

Lequazione mostra come possa verificarsi un fenomeno di rifrazione critica solo nel caso in cui si

passi da un mezzo meno rigido ad uno pi rigido.

Le condizioni di rifrazione critica risultano particolarmente interessanti perch, in virt del

principio di Fermat richiamato in precedenza, londa che viaggia lungo linterfaccia si propaga con

velocit pari alla velocit di propagazione nel mezzo pi rigido. Come si vedr nel capitolo dedicato

alle prove sperimentali tale propriet viene utilmente impiegata per la caratterizzazione geometrica

e meccanica nelle prove di sismica a rifrazione.


29/32

29

Appendice A

Costanti elastiche

Costante Simbolo Definizione Note

Modulo di Young Eassialenedeformazio

normalesforzo

Deformazioni

laterali libere

Modulo di taglio Gtaglioanedeformazio

tagliodisforzo

Numero di Poisson lateralenedeformazio

assialenedeformazio

Deformazioni

laterali libere

Modulo volumetrico K cavolumetrinedeformazio

isotropapressione

Relazioni tra le costanti

, G, E, K, G

21

2

G

)21)(1(

+

E GK

3

2

G G)1(2 +

E G

K3

)23( + )21(3)1(2

+G

)21(3 E K

E

+

+ )23( G)1(2 + E

GK

KG

+3

9

)(2

+

)3(2

23

GK

GK

+


30/32

30

Appendice B

Onde di volume in notazione ingegneristica

Le equazioni di Navier e le soluzioni corrispondenti alla propagazione di onde di compressione e di

taglio, derivate nel Paragrafo 2.2 facendo uso della notazione tensoriale, sono nel seguito ricavate

utilizzando la notazione ingegneristica classica della Scienza delle Costruzioni. Considerando

lequilibrio di un elementino infinitesimo in un riferimento cartesiano possibile ricavare le

equazioni indefinite di equilibrio:

2

2

t

uf

zyxx

zxyxx

=+

+

+

1a

2

2

t

vf

zyxy

zyyxy

=+

+

+

1b

2

2

t

wf

zyxz

zyzxz

=+

+

+

1c

in cui f rappresentano le tre componenti delle forze di volume, rho la densit del materiale e u,v,w

sono rispettivamente le componenti del moto in direzione x,y,z.

Le relazioni deformazioni spostamenti sono date dalle seguenti espressioni:

dx

duxx =

dy

dvyy =

dz

dwzz =

dy

du

dx

dvxy +=

dz

dv

dy

dwyz +=

dx

dw

dz

duzx +=

Infine prendendo in considerazione un legame costitutivo elastico lineare (legge di Hooke) il

legame sforzi-deformazioni pu essere espresso utilizzando le seguenti espressioni in cui i

parametri costitutivi sono rappresentati dalle due costanti di Lam e :

xxvxx 2+= yyvyy 2+= zzvzz 2+=

xyxy = yzyz = zxzx =

in cui il simbolo v stato utilizzato per indicare le deformazioni volumetriche zzyyxxv ++= .

Per comodit del lettore le relazioni tra le diversi costanti elastiche usualmente utilizzate nei vari

ambiti della meccanica dei materiali sono riportate in Appendice A.

Sostituendo le equazioni constitutive allinterno delle equazioni indefinite di equilibrio (ad esempio

nella 1a) in assenza di forze di volume:

2

2

)()()2(t

u

zyxxzxyxxv

=

+

++

e sostituendo il legame deformazioni spostamenti


31/32

31

2

2

]2[t

u

x

w

z

u

zy

u

x

v

ydx

du

z

w

y

v

x

u

x

=

+

+

+

++

+

+

raggruppando i termini si ottiene:

2

2

2

2

2

2

2

2

tu

zu

yu

xu

zw

yv

xu

zw

yv

xu

x =

+

+

+

+

+

+

+

+

Lequazione del moto cos ottenuta pu essere riscritta evidenziando le variazioni volumetriche e le

variazioni di spostamento:

( )2

22

t

uu

x

v

=+

+

2a

dove

+

+

=

2

2

2

2

2

22

zyx

Laplaciano

e analogamente dalla 1b e dalla 1c:

( )2

22

t

vv

y

v

=+

+

2b

( )2

22

t

ww

z

v

=+

+

2c

Le equazioni 2a-2c rappresentano le equazioni del moto di Navier. Esse possono essere manipolate

per dimostrare lesistenza di due differenti tipi di onde, rispettivamente di compressione-dilatazione

e di distorsione.

Differenziando le tre equazioni del moto e sommando si ottiene:

( )

+

+

=

+

+

+

+

+

+

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

tttzyxzyx

zyxzyxvvv

( ) vvv

t

22

2

2

++=

vv

t

2

2

22

+

=

equazione dellonda

poich la deformazionev

solo volumetrica (quindi in assenza di rotazioni o deformazioni a

taglio) questa unonda irrotazionale o di dilatazione/compressione ed avr velocit di

propagazione:

2+=pV

Si noti che gli spostamenti delle particelle risultano paralleli alla direzione di propagazione comeper londa di compressione nella barra.


32/32

Lesistenza di un secondo tipo di onde pu essere provata combinando le equazioni del moto in

modo da evidenziare il comportamento distorsionale. A tal scopo si osservi che a titolo

esemplificativo le rotazioni yz sono date dalla differenza tra le derivate reciproche degli

spostamenti nelle due direzioni, per cui derivando rispetto a z lequazione del moto relativa agli

spostamenti in direzione y (Eq. 2b) e sottraendo la derivata rispetto a y dellequazione del moto

relativa agli spostamenti in direzione y (Eq. 2c) si ottiene:

( )zt

v

z

v

zy

v

=

+

+

2

22

2

-

( )yt

w

y

w

yz

v

=

+

+

2

22

2

____________________________

=

y

w

z

v

ty

w

z

v2

22

ed osservando che la quantit xy

w

z

v=

rappresenta una rotazione rigida attorno allassex si

ottiene una equazione dellonda:

xx

t

=

2

22

la cui soluzione rappresenta unonda distorsionaleattorno asse x, infatti il moto associato a tale

onda non comporta variazioni di volume.

La velocit di propagazione di tale onda data da:

GVs ==

Analogo risultato pu essere ottenuto prendendo in condiderazione le altre possibili coppie delle

equazioni del moto, ottenendo onde di distorsione rispetto agli altri due assi del riferimento

cartesiano.

Propagazione Onde

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