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Matemática de 1er Año con Tu Profesor Virtual

Kharla Mérida

Números Racionales

La suma algebraica de números racionales es el resultado de todas las operaciones y propiedades que hemos conocido hasta ahora. Necesitamos de adición y sustracción de números naturales para realizar la suma de enteros, y necesitamos las reglas de suma de números enteros para efectuar la suma de números racionales con igual y distintos signos. También es valioso todo lo aprendido acerca de múltiplos y divisores, así como la obtención de m.c.m. y M.C.D. para sumar algebraicamente fracciones con igual y distinto denominador. Aunque se ven muchos títulos, si hemos aprendido en su momento cada tema, estudiar racionales resultará sencillo, te invitamos a poner al día los conocimientos previos si es necesario antes de abordar este estudio.

6.2 Suma de Fracciones con Igual y

Distintos Denominadores. Números

Mixtos

1

Para integrar ideas es necesario encontrar los aspectos comunes y partir de allí para nutrir con los aspectos en que se diferencian. Es así

como podemos lograr un bien común.

Descripción

6 6ta Unidad

Números Racionales


Kharla Mérida

Números Racionales

Operaciones con Fracciones, Suma de Fracciones con Igual Denominador, Suma de Fracciones con Distintos Denominadores, Suma de Fracciones con Números Mixtos, Ejercicios.

NÚMEROS RACIONALES. Operaciones con Fracciones. Suma

NÚMEROS RACIONALES. Suma de Fracciones con Igual Denominador. Ejercicio 1

NÚMEROS RACIONALES. Suma de Fracciones con Igual Denominador. Ejercicio 2

NÚMEROS RACIONALES. Suma de Fracciones con Distintos Denominadores. Ejercicio 1




NÚMEROS RACIONALES. Suma de Fracciones. Números Mixtos. Ejercicio 1


2

Se sugiere la visualización de los videos por parte de los estudiantes previo al encuentro, de tal manera que sean el punto de partida para desarrollar una dinámica participativa, en la que se use eficientemente el tiempo para fortalecer el Lenguaje Matemático y desarrollar destreza en las operaciones.

Conocimientos Previos Requeridos

Contenido

Videos disponibles

Descomposición de Números en Factores Primos, m.c.m, m.c.d, Suma y Resta de Fracción con Igual denominador, Suma y Resta de Fracciones con Distintos Denominador.

https://guao.org/primer_ano/matematica/suma_de_fracciones_con_igual_y_distintos_denominadores_numeros_mixtos-suma_de_numeros_racionales













https://guao.org/primer_ano/matematica/suma_de_fracciones_con_igual_y_distintos_denominadores_numeros_mixtos-suma_de_fracciones_con_igual_denominador_ejercicio_1





















https://guao.org/primer_ano/matematica/suma_de_fracciones_con_igual_y_distintos_denominadores_numeros_mixtos-suma_de_fracciones_con_iguales_denominadores_ejercicio_2





















https://guao.org/primer_ano/matematica/suma_de_fracciones_con_igual_y_distintos_denominadores_numeros_mixtos-suma_de_fracciones_con_distintos_denominadores_ejercicio_1




















































































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Números Racionales

En los Números Racionales la suma implica los mismos dos casos que presentan los números enteros, es decir, sumar números racionales con iguales signos y sumar números racionales con distintos signo y aplica las mismas reglas.

Suma de Números Racionales de Igual Signo. se conserva dicho signo y se adicionan los valores absolutos.

Ahora conoceremos dos casos correspondientes a la suma de fracciones de acuerdo al denominador que tengan ellos.

Suma de Fracciones con Igual Denominador.

Cuando sumamos fracciones con igual denominador, se coloca el mismo denominador y se opera la suma de los numeradores.

Veamos el procedimiento paso por paso con un ejemplo

NÚMEROS RACIONALES. Operaciones con Fracciones. Suma.

Guiones Didácticos

Suma de Números Racionales de Distinto Signo. Si sumamos números racionales de distintos signos, se coloca el signo del mayor y se restan los valores absolutos.

Ejemplo

a c a+ c

b b b

por ejemplo, 3 7mos + 5 7mos colocamos el mismo denominador y sumamos los numeradores obtenemos 8 7mos el 8 y el 7 tienen como único divisor común el 1, entonces no puede simplificarse más la fracción

3 5 3 + 5 8

7 7 7 7

Suma de Fracciones con Igual Denominador. Cuando sumamos fracciones con distinto denominador, debemos buscar un nuevo y único denominador para la fracción suma, este nuevo denominador es el m.c.m. de los denominadores de

los sumandos

a c +

b d m

m = m.c.m{b,d}

Ejemplo

Hallar la suma 5 4

6 9

1ro. Buscamos el m.c.m de los denominadores, y lo colocamos como denominador de la nueva fracción

Recordemos. Para hallar el m.c.m., tenemos dos opciones: descomposición en

factores primos de cada número y aplicación de la regla, y descomposición simultánea de todos los números.

Puedes revisar esto en las lecciones correspondientes a m.c.m del tema Múltiplos y Divisores.

3



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Números Racionales

Descomposición Simultánea

2do. Dividimos el nuevo denominador entre el denominador de cada sumando, y el

cociente se multiplica por el numerador correspondiente, colocando el resultado como sumando en la nueva fracción.

Recordemos. La fracción que representa a una número racional es la fracción canónica o irreducible.

6 9 2

3 9 3

1 3 3

1 1

5 4

6 9 18

m.c.m.= 232

m.c.m.= 18

El m.c.m. es el denominador de la fracción suma

Luego efectuamos las operaciones del numerador y obtenemos la fracción suma

5 4

6 9 18

Dividimos entre cada denominador

Multiplicamos por numerador correspondiente

18 6 = 3

18 9 = 2

3 5 = 15

2 4 = 8

15 + 8 Los productos obtenidos son los sumandos del numerador de la fracción suma

5 4 15 8 23

6 9 18 18

Es importante verificar si la fracción es reducible, para ello se busca el M.C.D de numerador y denominador. Entonces,

• Si es distinto de 1 se divide numerador y denominador entre el M.C.D. para reducir la fracción.

• Si es 1, la fracción es irreducible y se queda así.

El M.C.D. de 23 y 18 es: M.C.D{23,18} = 1. Corresponde al 2do caso, la fracción es irreducible, se queda como está.

5 4 23

6 9 18

4


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Números Racionales

Calcular la Suma Indicada, simplificando la fracción a su mínima expresión.

Los símbolos de agrupación nos indican el orden en que se efectúan las operaciones.

Dentro del paréntesis tenemos resta de fracciones con igual denominador. Escribimos una sola fracción con el mismo denominador, y restamos los numeradores.

Dentro del corchete resta de fracciones con igual denominador. Escribimos una sola fracción con el mismo denominador, y restamos los numeradores.

NÚMEROS RACIONALES. Suma de Fracciones con Igual Denominador. Ejercicio 1.

5 2 6 5 13

7 7 7 7 7

5 2 6 5 13

7 7 7 7 7

Primero se ejecuta lo que está dentro de paréntesis

Luego se ejecuta lo que está dentro de corchetes

5 2 6 5 13

7 7 7 7

Para eliminar el paréntesis multiplicamos el + que están antes del paréntesis por el – de la fracción.

5 2 6 8

7 7 7 7

5 2 6 8

7 7 7 7

5 2 6 8

7 7

5 12

7 7 Para eliminar el corchete multiplicamos el – que están antes del paréntesis por el – de la fracción.

5 12

7 7 Nos queda una suma de fracciones con igual denominador. Escribimos una sola fracción con el mismo denominador, y sumamos los numeradores.

5 12 17

7 7

El M.C.D. de 17 y 7 es: M.C.D{17,7} = 1. La fracción es irreducible, se queda como está.

5 2 6 5 13 17

7 7 7 7 7 7

5



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Números Racionales

Calcular la Suma Indicada, simplificando la fracción a su mínima expresión

Escribimos una fracción con igual denominador y en el numerador la suma de numeradores.

NÚMEROS RACIONALES. Suma de Fracciones con Igual Denominador. Ejercicio 2.

61 7 7 15 15 31

40 40 40 40 40 40


61 7 7 15 15 31

40 40 40 40 40 40


61 7 7 15 15 31

40 40 40 40

54 22 15 31

40 40 40 40

Para sumar fracciones con igual denominador escribimos una sola fracción con el mismo denominador y sumamos los numeradores.

Ahora tenemos suma de 4 fracciones con igual denominador.

54 22 15 31

40

100 22 78

40 40 El M.C.D. de 78 y 40 es:

M.C.D{78,40} = 2 Para reducir la fracción dividimos numerador y denominador entre 2.

78 2 39

40 2 20

61 7 7 15 15 31 39

40 40 40 40 40 40 20

78 2

39 3

13 13

1

40 2

20 2

10 2

5 5

1

78 = 2313 40 = 235

6



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Números Racionales


63 es el denominador de la fracción suma.

Efectuamos los cálculos de las operaciones indicada.


2 5 2 4

3 7 21 63

Como los denominadores son distintos, lo primero que haremos es hallar el m.c.m

Utilizaremos la descomposición simultánea para hallarlo.

3 7 21 63 3

1 7 7 21 3

1 7 7 7 7

1 1 1 1 m.c.m.= 327

m.c.m.= 63

2 5 2 4

3 7 21 63 63

Ahora dividimos este valor entre cada denominador inicial y el resultado lo multiplicamos por los numeradores respectivos conservando la relación de suma

existente.

2 5 2 4

3 7 21 63 63

Dividimos entre cada denominador

63 3 = 21

63 7 = 9

63 21 = 3

63 63 = 1

Multiplicamos por los numeradores

correspondientes

21 2 = 42

9 5 = 45

3 2 = 6

1 4 = 4

42 + 45 + 6 + 4

Los productos obtenidos son los sumandos del numerador

de la fracción suma

2 5 2 4 42 45 6 4

3 7 21 63 63

97 es un número primo, de modo que el único divisor común que tiene con el 63 es el 1. 97 y 63 son primos relativos, la fracción no se puede simplificar mas.

97

63

2 5 2 4 97

3 7 21 63 63

Nota: en caso de que debas hacerlo aplicando la regla, revisa la Lección de m.c.m. en Múltiplos y Divisores para recordar el procedimiento.

7



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Números Racionales


En el primer paréntesis tenemos suma de fracciones con distintos denominadores. hallaremos el m.c.m. para colocarlo como denominador de la fracción suma.

NÚMEROS RACIONALES. Suma de Fracciones con Distintos Denominadores. Ejercicio

2

1 1 1 1 1 1

2 3 4 8 16 32

La presencia de paréntesis indica que debemos operar primero lo que está encerrado por ellos.

12 es el denominador de la fracción suma

1 1 1

2 3 4

2 3 4 2

1 3 2 2

1 3 1 3

1 1 1

m.c.m.= 223 12 m.c.m.= 12

Dividimos 12 entre cada denominador

12 2 = 6

12 3 = 4

12 4 = 3

Multiplicamos cada cociente por el numerador

correspondiente

6 1 = 6

4 1 = 4

3 1 = 3

1 1 1

2 3 4 12

1 1 1

2 3 4 12

6 4 3

Los productos obtenidos son los sumandos del numerador

de la fracción suma 6 + 4 + 3

1 1 1 13

2 3 4 12 12

6 + 4 + 3

En el segundo paréntesis tenemos también suma de fracciones con distintos denominadores. hallaremos el m.c.m. para colocarlo como denominador de la fracción suma.

8 16 32 2

4 8 16 2

2 4 8 2

1 2 4 2

1 1 2 2

1 1 1

m.c.m.= 25

m.c.m.= 32

1 1 1

8 16 32

1 1 1 7

8 16 32 32 32

32 8 = 4 32 16 = 2 32 32 = 1

4 1 = 4 2 1 = 2 1 1 = 1

4 + 2 + 1

Llegamos a la suma de fracciones con distintos denominadores. El m.c.m. es 96, que colocamos como denominador de la fracción suma.

13 7

12 32 96

8



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Números Racionales

13 7 125

12 32 96 96

96 12 = 8 96 32 = 3

8 13 = 104 3 7 = 21

104 + 21 El M.C.D. de 125 y 96 es: M.C.D{125,96} = 1. La fracción es irreducible, se queda como está.

1 1 1 1 1 1 125

2 3 4 8 16 32 96



3

1 1 3 6 5

5 10 2 5 4

1 1 3 6 5

5 10 2 5 4

Los símbolos de agrupación

nos indican el orden en que se efectúan las operaciones.


Luego se ejecuta lo que está dentro de corchetes

Suma del Paréntesis. 2 y 5 son números primos, de modo que no se pueden descomponer más. El m.c.m. es el producto de ellos, 10.

Dividimos 10 entre cada denominador, multiplicamos cada cociente por el numerador correspondiente, y colocamos los productos obtenidos como sumandos del numerador de la fracción suma.

3 6

2 5 10

m.c.m.= 25

m.c.m.= 10

3 6 3

2 5 10 10

10 2 = 5 10 5 = 2

5 3 = 15 2 6 = 12

15 – 12

1 1 3 5

5 10 10 4

Suma del Corchete. Las primeras dos fracciones tienen igual denominador, podemos efectuar la suma colocando el

mismo denominador y operando los numeradores.

1 3 5 1 3 5

10 10 4 10 4

Esta fracción suma sustituye al paréntesis

2 5

10 4

9



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Números Racionales

Por descomposición simultánea obtenemos los factores que componen al m.c.m. de 10 y 4 que es 20.

Esta fracción suma sustituye al corchete.

2 5

10 4 m.c.m.= 225

Colocamos 20 como denominador de la fracción resta y procedemos a dividir 20 entre cada denominador y el cociente resultante multiplicarlo por el numerador correspondiente.

10 4 2

5 2 2

5 1 5

1 1

2 5 21

10 4 20 20

m.c.m.= 20

20 10 = 2 20 4 = 5

2 2 = 4 5 5 = 25

–4 + 25

1 1 3 5 1 21

5 10 10 4 5 20

Para la suma que queda, el m.c.m. entre 5 y 20 es 20,

Nota: 5 está contenido en 20, es decir es uno de los factores primos que componen al 20. Puedes verificar esto calculando el m.c.m. por descomposición simultánea o por la regla.

1 21

5 20 20

20 5 = 4 20 20 = 1

4 1 = 4 1 21 = 21

1 21 25

5 20 20 20

4 + 21

1 1 3 6 5 5

5 10 2 5 4 4


El M.C.D. de 25 y 20 es: M.C.D{25,20} = 5

Para reducir la fracción dividimos numerador y

denominador entre 5.

25 5 5

20 5 4

10


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Números Racionales


4


2 5 3 5 3 116

5 8 20 2 4 10

2 5 3 5 3 116

5 8 20 2 4 10


1ro. se ejecuta lo que está dentro de paréntesis

2do. se ejecuta lo que está dentro de corchetes

3ro. se ejecuta lo que está dentro de llaves

Suma del Paréntesis. 20 contiene al 2 y se contiene a sí mismo. El m.c.m. es 20.

3 5

20 2 20m.c.m.= 20


3 5 53

20 2 20 20

20 20 = 1 20 2 = 10

1 3 = 3 10 5 = 50

3 + 50


2 5 53 3 1=16

5 8 20 4 10

Suma del Corchete. Dentro del corchete tenemos resta de fracciones con distinto denominador. El m.c.m. entre 8, 20 y 4 es 40.

5 53 3

=8 20 4 40

5 53 3 111

=8 20 4 40 40

5 5 = 25 2 53 = 106

40 8 = 5 40 20 = 2 40 4 = 10

10 3 = 30

25 – 106 – 30


11



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Números Racionales

2 5 3 5 3 1 73116

5 8 20 2 4 10 40

Esta fracción suma sustituye al corchete

2 111 1=16

5 40 10

Suma de la llave. Dentro de la llave tenemos suma algebraica de fracciones con distinto denominador. El m.c.m. entre 5, 40 y 10 es 40.

2 111 1

=5 40 10 40

2 111 1 91

=5 40 10 40 40

8 2 = 16 1 111 = 111

40 5 = 8 40 40 = 1 40 10 = 4

4 1 = 4

16 – 111 + 4

Dividimos 40 entre cada denominador,

multiplicamos cada cociente por el numerador correspondiente, y colocamos los productos obtenidos como sumandos del numerador de la fracción suma.

Esta fracción suma sustituye a la llave

Multiplicamos los signos para eliminar las llaves. El m.c.m. entre 1 y 40 es 40.

9116

40

91

1640 40

Efectuamos la suma 640 + 91 731

40 40

12


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Números Racionales



En esta suma los sumandos son números mixtos, lo que significa que primero debemos transformar los números mixtos en fracciones para luego operar la suma de fracciones con distinto denominador.

1 29 156 1

De números mixtos a fracción. 19

16 6

9 2

15

21 1

15

54 1 55

9 9

15 2 17

15 15

19

556

92

15

171

15

Sustituimos los números mixtos por sus fracciones impropias

1 29 15

55 176 1

9 15

La suma resultante es de fracciones con distintos denominadores. hallaremos el m.c.m. para colocarlo como denominador de la fracción suma.

12 es el denominador de la fracción suma

55 17

9 15

45

m.c.m.= 45

9 15 3

3 5 3

1 5 5

1 1 1

55 17 326

9 15 45 45

45 9 = 5 45 15 = 3

5 55 = 275 3 17 = 51

275 + 51

Dividimos 45 entre cada denominador, multiplicamos cada cociente por el

numerador correspondiente, y colocamos los productos obtenidos como sumandos del numerador de la fracción suma.

1 29 15

3266 1

45

13



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Números Racionales



32 13 9 20

2+ 10 4 5

5

En la expresión tenemos 3 números mixtos, debemos transformarlos en fracciones impropias para poder operar las sumas de fracciones.

De números mixtos a fracción. 23

210 10

3 1

9

14 4

9

30 2 32

3 3

36 1 37

9 9

23

3210

31

9

374

9

320

35 5

20

100 3 103

20 20

320

1035

20

Sustituimos los números mixtos por sus fracciones impropias

32 13 9 20

2 2 32 37 103+ 10 4 5 + +

5 5 3 9 20

Suma del Paréntesis. El m.c.m. entre 9 y 20 es 180.

37 103

9 20 180m.c.m.= 180


37 103 187

9 20 180 180

180 9 = 20 180 20 = 9

20 37 = 740 9 103 = 927

740 – 927

Nota: 187 = 1117, 180 = 22325 , entonces 187 y 180 no tienen divisores primos comunes, por lo que la fracción no se puede simplificar mas.


2 32 37 103 2 32 187+ + + +

5 3 9 20 5 3 180

Multiplicamos los signos para eliminar

paréntesis. El m.c.m. entre 3 y 180 es 180.

2 32 187+

5 3 180

2 1920 187+

5 180

2 1733

+5 180


14



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Números Racionales

El m.c.m. entre 5 y 180 es 180. Dividimos 180 entre cada denominador, multiplicamos cada cociente por el numerador correspondiente, y colocamos los

productos obtenidos como sumandos del numerador de la fracción suma.

2 1733 72 +1733

+5 180 180

1805

180

Nota: 1805 = 5192, 180 = 22325 , el M.C.D. entre 1805 y 180 es 5.

1805 5 361

180 5 36

Dividimos numerador y denominador entre 5 para simplificar la fracción.

32 1

3 9 20

2 361+ 10 4 5

5 36

15


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Números Racionales

Ejercicios

Efectúe las suma de fracciones y lleve a su mínima expresión:

6.

7.

2 8 1 7

15 15 15 15 8.

9.

5 1 9 4

6 6 6 6 10.

11.

1 14 21 17

9 9 9 9

29 55 13 43

12 12 12 12

33 57 25 15

70 70 70 70

32 26 47 20

45 45 45 45

Calcule llevando a la mínima expresión:

11.

12.

11 23 4 35

18 18 18 18 13.

14. 3 39 27 30

14 14 14 14

15.

16.

7 25 13 53

24 24 24 24

Calcular llevando a la mínima expresión:

5 13 9 31

42 6 10 2119.

20.

46 22 69 37

48 56 21 24

21.

22.

11 7 4 34

6 30 15 45

23 15 47 13

34 34 34 34

23 34 58 20

63 63 63 63

61 83 33 25

54 54 54 54

15 11 17 9

28 35 6 20

51 12 10 25

63 21 9 14

47 64 87 97

36 72 108 216

17.

18.

7 5411 9 6

195 13 2 15

2224. 25. 1 1

5 212 17 2 3 1

8 621 5 3 123.

16


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Números Racionales

¿Lo Hicimos Bien?

Efectúe las suma de fracciones y lleve a su mínima expresión:

6

58.

9.

19

610.

11.

53

9

35

3

13

7

25

9

Calcule llevando a la mínima expresión:

11.

12.

19

1813.

14. 33

14

15.

16.

3

Calcular llevando a la mínima expresión:

17.

18.

979

21019.

20. 151

28

21.

22.

26

45

21

17

89

63

76

27

547

210

395

126

9

8

6.

7.

83992024. 25. 3

102 19241923.

17

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