Desigualdades racionales

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UNIDAD II: ALGEBRA

TEMA: DESIGUALDADES RACIONALES

13/04/2023 MSC. ROBERTO AGUILERA L. 1

MATEMATICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

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DESIGUALDADES

Orden en los números reales (R)

El conjunto de los números reales es ordenado: Dados dos números reales a, b R, una y solo una de las siguientes relaciones se cumple:

i) a = b , ii) a b , iii) a b .

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DESIGUALDADES

Una desigualdad es una relación entre dos expresiones matemáticas entrelazadas por los signos , , ó .

Resolver una desigualdad significa encontrar el conjunto de valores que la convierten en una proposición verdadera, es decir, hallar el conjunto solución, dicho conjunto solución es un intervalo de números reales.

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DESIGUALDADES

Intervalos abiertos, cerrados, mixtos o infinitos.

Los subconjuntos de la recta numérica que gráficamente corresponden a segmentos, semirrectas y rayos se conocen como intervalos y tienen una notación especial.

• Intervalo abierto : (a, b) = {x / a x b} • Intervalo cerrado : [a, b] = { x / a x b}• Intervalos mixtos : (a, b] = {x / a x b} [a, b) = {x / a x b}• Intervalos infinitos : (-∞, a] = {x / x a} (-∞, a) = {x / x < a} [a, ∞) = {x / x ≥ a} (a, ∞) = {x / x > a} (-∞,∞) = {x / x R}

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DESIGUALDADES

Propiedades de las desigualdades

Sean a, b y c R, entonces:

i) Si a > b, entonces, a + c > b + c y

a - c > b - c

ii) Si a > b y b > c, entonces, a > c

iii) Si a > b y c > 0, entonces, a.c > b.c y

a/c > b/c

iv) Si a > b y c < 0, entonces, a.c < b.c y

a/c < b/c

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DESIGUALDADES

Desigualdades lineales con una variable Son proposiciones de la forma ax + b 0 o equivalentes a ella, donde el se puede sustituir por los símbolos , ó .

Resolver una desigualdad significa encontrar el conjunto de valores de x que convierten a la desigualdad en una proposición verdadera.

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DESIGUALDADES

Desigualdades cuadráticasSon proposiciones de la forma ax² +bx +c 0, o equivalentes a ella, donde el se puede sustituir por los símbolos , ó . y a, b, y c son números reales con a 0.

Resolver una desigualdad cuadrática significa encontrar el conjunto de valores de x que convierten a la desigualdad en una proposición verdadera.

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DESIGUALDADES CUADRATICAS

Método de las raíces:

Este método se fundamenta en la aplicación del siguiente teorema:

TEOREMA: Sea P(x)= an xn +... + a2 x2 + a1x + a0 un polinomio en x. Si los números c y d son soluciones sucesivas (*) de la ecuación P(x) = 0, entonces cuando x está en el intervalo abierto (c, d), todos los valores del polinomio son positivos o bien son negativos.

(*)Por soluciones sucesivas, entendemos que no existe otra solución entre c y d.

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DESIGUALDADES CUADRATICA

Ejemplo:

1. Resolver x2 - 6x + 5 < 0

Hallamos las raíces es decir resolvemos la ecuación x2 - 6x + 5 = 0 por medio de factorización

(x – 5) (x – 1) = 0 de donde x1 = 5 x2 = 1

Formemos los intervalos (-∞, 1), (1, 5) y (5,∞)

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DESIGUALDADES CUADRATICAS

Resolver x2 - 6x + 5 < 0

Escogemos un valor de prueba k en cada intervalo y determinamos el signo de x2 - 6x + 5 < 0

Dado que P(x) < 0, formamos el conjunto solución con la unión de los intervalos (- )Sol: (1,5)

Intervalo (-∞, 1) (1, 5) ( 5, ∞)Valor de K 0 2 7Signo de cada factor (-)(-) (-)(+) (+)(+)signo de P(x) (+) (-) (+)

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DESIGUALDADES RACIONALES

Método de las raíces:

El teorema anterior puede extenderse al caso de desigualdades con funciones racionales (cociente de dos polinomios) P(x)/Q(x) , considerando tanto las raíces del numerador y las raíces del denominador, teniendo el cuidado de que las raíces del denominador no forman parte del conjunto solución.

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2.

Dado que el P(x) ≤ 0, formamos el conjunto solución con la unión de los intervalos (-), tomando en cuenta la raíz obtenida del numerador ya que el signo de la desigualdad es ≤. Sol: (-∞, 4) U [7,∞)


Intervalo (-∞, 4) (4, 7) (7, ∞)Valor de K 0 5 8Signo de cada factoren el polinomio

(-)/(+) (-)/(-) (+)/(-)

signo de P(x) (-) (+) (-)

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3.

En este caso sacamos las raíces del numerador y las raíces del denominador, para eso factorizamos cada uno de ellos y los igualamos a cero:

x2– 4x + 3 = 0, por tanto (x – 3)(x - 1) = 0 de donde x = 3 y x = 1,

x2+ 7x + 10 = 0, por tanto (x + 5)(x + 2) = 0 de donde x = -5 y x = -2,

por tanto los formamos los intervalos (-∞, -5), (-5, -2), (-2,1), (1,3) y (3,∞)


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Dado que el P(x) ≥ 0, formamos el conjunto solución con la unión de los intervalos (+), tomando en cuenta la raíces obtenido del numerador ya que el signo de la desigualdad es ≥. Sol: (-∞, 5) U (-2, 1] U [3,∞)


Intervalo (-∞, -5) (-5,-2) (-2,1) (1, 3) (3, ∞)

Valor de K -6 -3 0 2 5

Signo de cada factor en el polinomio

(-)(-)/(-)(-) (-)(-)/(+)(-) (-)(-)/(+)(+) (-)(+)/(+)(+) (+)(+)/(+)(+)

Signo de P(x) (+) (-) (+) (-) (+)

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4.

En este caso pasamos el ½ al lado izquierda de la desigualdad y resolvemos

Sacamos el mínimo y resolvemos


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En este caso sacamos las raíces del numerador y las raíces del denominador, para eso igualamos a cero el numerador y el denominador :

9 - 11x = 0 de donde x = 9/11 y 3 + x = 0 de donde x = -3, por tanto los formamos los intervalos (-∞, -3), (-3,9/11) y (9/11,∞)

Escogemos un valor de prueba k en cada intervalo y determinamos el signo de


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Dado que el P(x) ≤ 0, formamos el conjunto solución con la unión de los intervalos (-), tomando en cuenta la raíz obtenida del numerador, ya que el signo de la desigualdad es ≤. Sol: (-∞, -3) U [9/11,∞)


Intervalo (-∞, -3) (-3, 9/11) (9/11, ∞)Valor de K -4 0 2Signo de cada factoren el polinomio

(+)/(-) (+)/(+) (-)/(+)

signo de P(x) (-) (+) (-)

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3. En este caso pasamos el al lado izquierdo de la desigualdad y resolvemos

Sacamos el mínimo y resolvemos


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Dado que el P(x) ≤ 0, formamos el conjunto solución con la unión de los intervalos (-), tomando en cuenta que las raíces solo provienen del denominador tendríamos. Sol: (-2,3/2)


Intervalo (-∞, -2) (-2, 3/2) (3/2, ∞)Valor de K -4 0 2Signo de cada factoren el polinomio

(+)/(-)(-) (+)/(+)(-) (+)/(+)(+)

signo de P(x) (+) (-) (+)

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EJERCICIOS PROPUESTOS

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Algebra. Aurelio Baldor

Algebra y trigonometría con Geometría

Analítica. Earl W. Swokowky y Jeffery A. Cole.

Algebra y trigonometría. Dennis Zill

Algebra y funciones elementales. Carlos J.

Walsh M.

BIBLIOGRAFIA

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MUCHAS GRACIAS

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

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