Primitivas - Universidad de Chile · Primitivas Semana 5 [21/28] Integración de funciones...

Semana 5 [1/28]

Primitivas

August 24, 2007

Primitivas

Primitivas Semana 5 [2/28]

Integración por partes

Fórmula de integración por partesSean u y v dos funciones de x , entonces:

∫

u(x)v ′(x)dx = u(x)v(x) −

∫

u′(x)v(x)dx

o, equivalentemente∫

u · v ′ = u · v −

∫

u′· v .

NotaciónUsualmente la fórmula se escribe:

∫

udv = uv −

∫

vdu,

donde dv = v ′(x)dx y du = u′(x)dx .

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∫


∫

u′(x)v(x)dx


u · v ′ = u · v −

∫

u′· v .


∫

udv = uv −

∫

vdu,


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Ejemplos

∫

xexdx = xex− ex + c.

(

u = x → du = dxdv = exdx → v = ex

)

∫

ln xdx = x ln x − x + c.(

u = ln x → du = (1x )dx

dv = dx → u = x

)

In =

∫

xn ln xdx =xn+1 lnn + 1

−xn+1

(n + 1)2 + c.(

u = ln → du = 1x dx

dv = xndx → v = xn+1

n+1

)

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Ejemplos

∫


(


)

∫


u = ln x → du = (1x )dx

dv = dx → u = x

)

In =

∫


−xn+1

(n + 1)2 + c.(



n+1

)

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Ejemplos

In =

∫

xmexdx ; n ∈ N.

u = xn→ du = nxn−1dx

dv = exdx → v = ex .

Luego In = xnex− nIn − 1, para n ∈ N.

I0 = ex + c

I1 = xex− I0

I2 = x2ex− 2I1

...In = xnex

− nInn − 1.

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Ejemplos

In =

∫

xmexdx ; n ∈ N.




I0 = ex + c

I1 = xex− I0

I2 = x2ex− 2I1

...In = xnex

− nInn − 1.

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Sustituciones trigonométricas tradicionales

Cambios de variable convenientesPara a2 + x2, usar x = a tan υ o bien x = a senh t .

Para a2− x2, usar x = a sen υ ’o x = a cos υ.

Para x2− a2, usar x = a sen cυ ’o x = a cosh t .

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Integración de funciones racionales

Se desea integrar funciones R(x) de la forma:

R(x) =P(x)

Q(x)=

anxn + · · · + a1x + a0

bmxm + · · · + b1x + b0,

con n < m.

Suponemos:

Q(x) = bm(x − r1)α1(x − rs)

αs· (x2 + b1x + c1)

β1 · · · (x2 + btx + ct)βt

r1, . . . rs son las raíces de Q, de multiplicidades α1, . . . , αs.

β1, . . . , βt son numeros enteros positivos.

x2 + bix + ci polinomios irreductibles.

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R(x) =P(x)

Q(x)=

anxn + · · · + a1x + a0

bmxm + · · · + b1x + b0,

con n < m.

Suponemos:

Q(x) = bm(x − r1)α1(x − rs)

αs· (x2 + b1x + c1)

β1 · · · (x2 + btx + ct)βt




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Entonces R(x) es igual a la suma de funciones racionales del siguiente tipo:

1 Por cada término (x − ri)αi aparece la suma de αi funciones:

A1i

(x − ri)+

A2i

(x − ri)2 + · · · +Aαi i

(x − ri)αi.

2 Por cada término (x2 + bix + ci)βi aparece la suma de βi funciones de la

forma:

B1ix + C1i

x2 + bix + Ci+

B2ix + C2i

(x2 + bix + ci)2 + · · · +Bβi ix + Cβi i

(x2 + bix + ci)βi

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A1i

(x − ri)+

A2i

(x − ri)2 + · · · +Aαi i

(x − ri)αi.


forma:

B1ix + C1i

x2 + bix + Ci+

B2ix + C2i


(x2 + bix + ci)βi

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Ejemplo

R(x) =P(x)

(x − 1)2(x − 7)(x2 + 1)3(x2 + 2x + 9)2 .

Entonces,

R(x) =A

x − 1+

B(x − 1)2 +

Cx − 7

+Dx + Ex2 + 1

+Fx + G

(x2 + 1)2 +Hx + I

(x2 + 1)3

+Jx + K

x2 + 2x + 9+

Lx + M(x2 + 2x + 9)2 .

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Integrales trigonométricas reducibles a integrales racionales

Consideramos integrales del tipo∫

R(sen x , cos x)dx ,

en donde R es una función racional en la cual aparecen sólo sen x y cos x .

Ejemplos∫

dxsen x + cos x

,

∫

sen x + cos xsen x − cos x

dx .

En estos casos se aconseja el cambio de variable:

t = tan(x/2).

Con ello

t = tan(x

2

)

, sen x =

(

2t1 + t2

)

, cos x =

(

1 − t2

1 + t2

)

, dx =2dt

1 + t2 .

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Ejemplos∫

dxsen x + cos x

,

∫


dx .


t = tan(x/2).

Con ello

t = tan(x

2

)

, sen x =

(

2t1 + t2

)

, cos x =

(

1 − t2

1 + t2

)

, dx =2dt

1 + t2 .

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