› 2013 › 01 › tema_6_calculo_integral.pdf LAA EIINNTT EGGRRAALL...

Matemáticas 2º Bachillerato Profesora: María José Sánchez Quevedo

1

LLAA IINNTTEEGGRRAALL IINNDDEEFFIINNIIDDAA

11.. LA INTEGRAL INDEFINIDA

22.. INTEGRALES INMEDIATAS

33.. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES

44.. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

55.. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES CON EL DENOMINADOR DE RAÍCES COMPLEJAS SIMPLES

66.. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE

1. LA INTEGRAL INDEFINIDA Llamamos primitiva de una función )(xf a otra función )(xF cuya derivada sea )(xf ,

esto es: )(xF es primitiva de )(xf si )()( xfxF

Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Al conjunto de todas las primitivas de una función )(xf se le denomina integral in-

definida y se denota por:

RCCxFdxxf )()(

Ejemplos: obtener las primitivas de las siguientes funciones

Cx

dxx 3

55

32

Cxx

dxxx 2

32

32

CxLndxx

22

CxLndxx

xsendx

x

xsendxx

cos

coscostan

2. INTEGRALES INMEDIATAS

TIPO POTENCIAL

Simple Cn

xdxx

nn

1

1

General Cn

xfdxxfxf

nn

1

)()()(

1

22 2 2 21 1 1

1 2 1 1 2 12 2 4

x x dx x x dx x x dx x C

2

3 3

3

2 11 1 12 1 2 1 2

2 2 22 1

xdx x dx x dx C

x


2

Cx

dxxxdxxxdxxx

2

3

1

2

121

2

111

2

32

2

12

2

122

TIPO EXPONENCIAL

Simples Cedxe xx Compuestas: Cedxxfe xfxf )()( )(

C

a

adxa

xx ln

Ca

adxxfa

xfxf ln

)()(

)(

Cedxexdxex xxx 222

2

12

2

1

Cedxedxe xxx 333

3

13

3

1

TIPO COSENO

Simple Cxsendxxcos Compuesta Cxfsendxxfxf )()(cos)(

Cxsendxxdxx 22

12cos2

2

12cos

3. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES

Se utiliza a veces para resolver integrales en las que el integrando es el producto de dos funciones y la integral del 2º miembro es inmediata o más sencilla que la inicial. Siendo

duvvudvu

duvvuddvu

duvvuddvu

dvuduvvudvuy

,

,

,

Se obtiene así la fórmula para la integración por partes:

duvvudvu

Ejemplos: 1. Efectuar por partes la integral:

xxx

xxxxx

edxevdxedv

dxduxu

Ceexdxeexdxex

2. Efectuar por partes la integral:

xdxxsenvdxxsendv

dxduxu

Cxsenxxdxxxxdxxxxdxxsenx

cos

coscoscoscoscos


3


3

1ln

9ln

3

33

1ln

33

1ln

333ln

1

3ln

3ln

322

33

332

323332

xdxxvdxxdv

dxx

duxu

Cx

xx

xx

xdxxx

xdx

xxxdx

x

xx

xdxxx


2 2 2 2

2 2

2

2 2 2

2 2 2

2

x x x x x x x x

x x x x x x

x x xx x x

x e dx x e xe dx x e xe dx x e x e e dx

x e x e e x e x e e C

u x du dxu x du xdx

dv e dx v e dx edv e dx v e dx e


Cxsenexe

I

xsenexeIIxsenexeIentoncesrepiteSe

xsendxxvdxxdv

dxedueu

Ixsenexedxxsenexsenexe

dxxsenexsenexedxxexe

xdxxsenvdxxsendv

dxedueu

dxxexedxexxedxxseneI

xx

xxxx

xx

xxxxx

xxxxx

xx

xxxxx

2

cos

cos2cos,

coscos

coscos

coscoscos

cos

coscoscoscos


4

4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

Son integrales de la forma

spolinómicafuncionesxQxPcondxxQ

xP,

Método:

Si xQgradoxPgrado se realiza la división de los dos polinomios y se descom-

pone el integrando así:

xQ

xRxC

xQ

xRxCxQ

xQ

xP

xQgradoxRgradodondexRxCxQxP

:que cumplirá sedivisión laEn

Si xQgradoxPgrado , se calculan las raíces del denominador xQ , se facto-

riza y se realiza la descomposición en fracciones simples teniendo en cuenta la natura-leza de las raíces y la multiplicidad, de modo que Caso de raíces reales: a cada raíz le corresponderá tantas fracciones como grado indi-que la multiplicidad de la forma siguiente:

..............................

.............

............

.........

2

2

2

1

22

1

2

1

1

11

321

33

22

11

2221

111

31211

xx

H

xx

G

xx

F

xx

E

xx

D

xx

C

xx

B

xx

A

xxxxxx

xP

xQ

xP

rdadmultiplicidex

rdadmultiplicidex

rdadmultiplicidex

xQdeRaíces

rrr

rrr

rrr

Ejemplos:

1. dxxxx

xx

2

2323

4

Como el grado del numerador el mayor que el grado del denominador, efectuamos la división de los dos polinomios:

234 xx xxx 223

1x 234 2xxx

232 23 xxx

xxx 223

23 2 xx


5

Entonces, teniendo en cuenta: xp xq xrxcxqxp

xr xc

xq

xrxc

xq

xr

xq

xcxq

xq

xrxcxq

xq

xp

xxx

xxx

xxx

xxxxxx

xxx

xx

2

231

2

2312

2

2323

2

23

223

23

4

De donde la integral se descompone:

I

dxxxx

xxx

x

dxxxx

xxdxxdx

xxx

xxxdx

xxx

xx

2

23

2

2

231

2

231

2

23

23

22

23

2

23

2

23

4

Efectuemos a parte dxxxx

xxI

2

2323

2

donde ya el grado del numerador es inferior

al del denominador. Descomponemos el integrando en fracciones simples:

12

23

2

23

2

23 2

2

2

23

2

xxx

xx

xxx

xx

xxx

xx

las raíces del denominador son x = 0, x = -2 y x = 1 todas simples, entonces la descom-posición sería:

3

2321

3

4

6

8682

1220

211223

12

2112

1212

23

2

2

CCx

BBx

AAx

xxCxxBxxAxx

xxx

xxCxxBxxA

x

C

x

B

x

A

xxx

xx

Volvemos con ésta descomposición a la integral:

1

3

22

3

4

1

1

3

2

2

1

3

41

1

3

2

2

3

4

1

1

3

2

2

3

4

1

2

2323

2

xLnxLnxLndxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxxxx

dxxxx

xxI


6

Luego la integral original vale:

CxLnxLnxLnxx

dxxxx

xxx

xdx

xxx

xx

I

1

3

22

3

4

22

23

22

23 2

23

22

23

4

2.

dxxx

xx

22

2

13

963 como el grado del numerador es inferior al del denomi-

nador, efectuamos la descomposición en fracciones simples, las raíces del de-nominador son x = 3 y x = .1, ambas de multiplicidad 2.

DBDBDB

DBDBDB

DBDBDCBAx

DBDBDCBAx

AAx

CCx

xxDxCxxBxAxx

xx

xxDxCxxBxA

x

D

x

C

x

B

x

A

xx

xx

8836464246464120144

124372241872245472

64126410814488

348

8

274188484181

722724277298

393

8

27999390

8

27

16

5416543

8

31661

133311963

13

133311

113313

963

22222

22

2222

2222

2

Resolvemos el sistema:

16

3316

92424

6248

388

3124

16

3316

388

6248

388

3124

BBDB

DB

DB

DB

DDDB

DB

DB

DB

Con los valores de A, B, C y D volvemos a la integral:

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxxx

xx

1

1

16

3

1

1

8

3

3

1

16

3

3

1

8

27

1

16

3

1

8

3

3

16

3

3

8

27

13

963

22

2222

2


7

116

3

1

1

8

33

16

3

1

3

8

27

1

1

16

31

8

3

3

1

16

33

8

27

1212

22

xLnx

xLnx

dxx

dxxdxx

dxx

CxLn

xxLn

x

xLnxxLnx

116

3

1

1

8

33

16

3

3

1

8

27

116

31

8

33

16

33

8

27 11

3. Análogamente, efectuar las siguientes integrales:

dxxx

xx

2

4 1 dx

xxx

x

23 2

12 dx

xx

x 122

4

dxx

x 14

82

2

Ejercicios:

1. Calcular xf de manera que 0014ln 2 fyxxf

Será Cdxxfxf

Calculamos dxx 14ln 2 por partes:

xdxvdxdv

dxxx

duxu

814

114ln

2

2

2

121

2

1

2

121

2

1

12121

1212

1212

12121212

1

14

1

:simples fraccionesen ción descomposi la hacemos 14

1

14

1214ln

14

11214ln

14

11214ln

14

114214ln

14

4214ln

14

814ln

14

814ln14ln

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

22

2

22

2

22

AAx

BBx

xBxA

xx

xBxA

x

B

x

A

xxx

dxx

Efectuemos

dxx

xxx

dxx

dxxxdxx

xx

dxx

xxxdx

x

xxx

dxx

xxxdx

x

xxxxdxx

I


8

12n

4

1 12n

4

1

12

2

4

1

12

2

4

1

12

1

2

1

12

1

2

1

12

2

1

12

2

1

14

12

xLxLdxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx

Volvemos a la integral original:

CxLxLxxx

xLxLxxx

dxx

xxxdxx

I

12n2

1 12n

2

1214ln

12n4

1 12n

4

1214ln

14

1214ln14ln

2

2

2

22

Calculamos el valor de la constante de integración C para que

12n2

1 12n

2

1214ln

0 1n2

1 1n

2

10

12n2

1 12n

2

1214ln

2

2

xLxLxxxxfLuego

CCCLLf

CxLxLxxxxf

00 f


9

55.. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES CON EL DENOMINADOR DE RAÍ-

CES COMPLEJAS SIMPLES dxcbxax

A 2

Ejemplo: dxxx 1

32

calculamos las raíces del denominador:

2

3

2

1

2

31

2

31

2

411012 ii

xxx

La descomposición se realiza teniendo en cuenta:

32

13

2

111

.

22

2

2

222

xxxx

pimagrealpxacbxax

Cx

x

dxx

dxx

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dxxx

32

1

3arctan3

132

1

3

3

1

3

132

1

33

3

132

1

3

1

12

1

3

1

1

12

1

3

13

13

32

1

13

32

1

3

1

3

2

222

2222

66.. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES CON EL DENOMINADOR DE RAÍ-

CES COMPLEJAS SIMPLES dxcbxax

BAx

2

Ejemplo: dxxx

x

22

252

calculamos las raíces del denominador:

ii

xxx

12

22

2

42

2

8420222

La descomposición se realiza teniendo en cuenta:

1111122

.

2222

222

xxxx

pimagrealpxacbxax


10

CxarxLndxx

xLn

dxx

dxx

xLn

dxx

dxx

dxx

x

dxx

dxx

dxx

x

dxx

dxx

xdx

xdx

x

x

dxx

dxx

xdx

x

xdx

xx

x

11tan3112

5

11

1311

2

5

11

12

11

1511

2

5

11

12

11

2

2

5

11

22

2

5

11

12

11

2

11

22

2

5

11

12

11

222

2

5

11

12

115

11

2

11

5

11

25

22

25

22

2

2

22

2

222

222

2222

2222

7. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE

Tipo producto de potencias de seno por coseno:

tx

t

txt

txotxs

txs

tx

dxxxsenI nm

mn

2an casocualquier En

an haremospar esn y par es m Si

cosen haremosimpar esn y impar es m Si

en haremosimpar esn y par es m Si

cos haremospar esn y impar es m Si

cos,

Ejercicios: Calcular las siguientes integrales

dxx

xsen cos

3

Hacemos el cambio

222222 11cos1cos

cos

txsentxtx

dtdxxsentx

Cx

xLn

ttLndtt

tdt

t

tdx

x

xsenxsendx

x

xsen

2

coscos

2

11

coscos

2

2223

dxxxsen 23 cos

1 Hacemos el cambio


11

2

2222222

1

111cos1cos

cos

t

dt

xsen

dtdxdtdxxsen

txsentxsentxtx

dtdxxsentx

dt

tttdt

tttdt

tt

t

dt

tttdx

xxsenxsendx

xxsen

22222222

22222223

11

1

11

1

1

1

111

1

cos

1

cos

1

Integral racional, hacemos la descomposición infracciones simples:

222

22

2222222222

222222

11

11

11111111

111111

1

ttt

tttF

ttEtttDttCtttBttA

t

F

t

E

t

D

t

C

t

B

t

A

ttt

tttF

ttEtttDttCtttBttA

22

2222222222

11

111111111

Dando valores a t calculamos los coeficientes:

014

3

4

1

4

3

4

1 FEDCBA

De donde se obtiene;

C

xxLn

xxLn

x

ttLn

ttLn

t

ttLn

ttLn

t

dttdtt

dttdtt

dtt

dtt

dtt

dtt

dtt

dtt

dtttttt

dtttt

cos

1cos1

4

3

cos1

1

4

1cos1

4

3

cos1

1

4

1

11

4

3

1

1

4

11

4

3

1

1

4

1

121

4

3

12

1

4

11

4

3

12

1

4

1

1

1

4

31

4

1

1

1

4

31

4

1

1

14

3

14

1

14

3

14

1

1

14

3

14

1

14

3

14

1

11

1

121212

222

222

222222


12

dxxsen 53

1 Hacemos el cambio:

222

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

22

2222

2

2

2

2

222222

22

2

1

2

12

11

12

22cos2

1

1

11

1

22coscos

11

11

1

11

2cos1

2

12

cos2

1cosel comoy 1

1

2cos

1

2cos

11

2sec1

2tan1

2tan

1

2

2tan1

2

2

1

2tan1

2tan

t

t

t

t

t

t

t

xsen

xxsen

t

t

t

t

t

xsen

xx

t

t

t

t

t

xxsen

xxsensen

t

x

tx

tx

tx

tx

t

dt

x

dtdxdtdx

xt

x

3

131

33

1

3

13

3

3

13

3

1

1

33

1

1

3

2

33

13

2

3103

2

33

133103

36

810

3

1

6

810

6

810

6

6410

6

361001003103

3103

2

21013

1

1

2

1

1013

1

1

2

1

253

1

53

1

2

2

2

2

22

2

22

2

tBtA

tt

tBtA

t

B

t

A

tt

dt

tt

dt

tt

dttt

tttt

ttt

dttt

dtttt

dt

t

ttt

dt

t

tdx

xsen

Dando valores a t obtenemos A y B 8

3

24

9 BA


13

Tipo irracional:

,......,..,.......,, qnmcmsiendotxdxxxxRI q

p

n

m

(De los denomi-

nadores de los exponentes) Ejercicios:

dxx

x

1 Efectuamos el cambio

xt

dttdxtx

22

2 2 3 3

2

3 22

3 2

22 2 2

1 1 11 1

12 1 2 1

1 3 2

2 13 2

2 13 2

x t t t tdx t dt t dt dt dt

t t tx t

t tt t dt dt t Ln t

t

x xx Ln x

x x xx Ln x C

dxxx

3


6

5

66

63,2xt

dttdxmcmsiendotx

CxLntxx

xLntxx

tLnttt

dtt

dttt

dtt

tdt

tt

tdtt

ttdtt

ttdx

xx

123

6

123

6123

61

116

16

166

16

11

63

6

26

3623

2

3

32

55

23

5

3 663

Tipo irracional:

,......,..,.......,, qnmcmsiendot

dcx

baxdx

dcx

bax

dcx

baxxRI

q

p

n

m

(De los denominadores de los exponentes)


14

Ejercicios:

dxx

x

3

2


2

1

21

2

332

21

3

3

22

3

tx

xt

dtt

dxdttdx

tx

C

xxx

tttdttttdtttt

dtttdtt

t

tdt

t

t

t

dxx

x

5

212

2

21

8

21

8

3

5

2

288

32

8

321

8

3

18

3

2

3

4

1

2

32

1

21

53

23

83

5284736

232232

23

3

2

Tipo producto de seno por coseno,…..

dxbxaxIdxbxsenaxsenIdxbxaxsenI coscoscos

Se transforman los productos en sumas teniendo en cuenta:

BAsenBAsenBAsen cos2)()(

BsenAsenBABA 2)cos()cos(

Ejercicios:

xsenxdxxxsen

dxxxsendxxxxxsendxxxsen

5cos5

1

2

1cos5

2

1

cos52

123cos23

2

12cos3

Tipo irracional:

dttadxtsenax

tsenta

dtta

dtt

adttadttatsena

dttatsenaadttatsenaadxxaI

cos

22

1

2

2cos122

2cos1coscos1

coscos

2

222222

2222222

BABABA coscos2)cos()cos(


15

Ejercicios:

1. Calcular una función f(x) que se anule en x = 0 y tal que su derivada sea

xxf 3

Será Cdxxfxf

xxx dxdxdxxf 33ln

133ln

3ln

13

Entonces: CCdxxfxf x

33ln

1

Calculamos el valor de C para que 00 f

3ln

13

3ln

1

3ln

10

3ln

100

3ln

11

3ln

13

3ln

103

3ln

1 0

x

x

xfLuego

CCf

CCCfCxf

2. Obtener una primitiva de xsenxf cuya gráfica pase por el origen.

Será Cdxxfxf

xdxxsendxxf cos

Entonces: CxCdxxfxf cos

Calculamos el valor de C para que 00 f

1cos

10100

10cos0cos

xxfLuego

CCf

CCfCxxf

3. Calcular la primitiva de xx

xxf tan1

1tan2 que pase por el punto

0,A

Será Cdxxfxf

CxLnxLnx

dxx

xsendx

xdxxdxxdx

xdxx

dxxx

xdxxx

xdxxf

costan

cos

1sectan

11tan

tan1

1tantan1

1tan

22

22


16

Entonces: CxLnxLnxCdxxfxf costan

Calculamos el valor de C para que 0f

LnxLnxLnxxfLuego

LnLnCCLnf

CLnCLn

CLnLnfCxLnxLnxxf

costan

00

00

costancostan

4. Encontrar una función tal que la derivada segunda sea

xsenxf 22 y que verifique 02

10

ff

Será Cdxxfxf

DCxxsenCxdxxdxCxdxxf

Cxdxxsendxxf

22

12cos2

2

12cos

2cos22

Entonces: DCxxsenxf 22

1

Calculamos el valor de C y D para que se verifique 02

10

ff

DCxxsenxf 22

1

12

22

1

201

2

1

02

1

2222

2

1

2

0022

10

22

1

xxsenxfLuego

CC

D

DC

D

DC

DCsenf

DDCsenf

DCxxsenxf

› 2013 › 01 › tema_6_calculo_integral.pdf LAA EIINNTT EGGRRAALL...

Documents

Transcript of › 2013 › 01 › tema_6_calculo_integral.pdf LAA EIINNTT EGGRRAALL...