Platten - aktualisiert WS1516 [Kompatibilitätsmodus] · PDF file3.9.1.2.2 Drillsteife...

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Flächentragwerke – WS 2015/2016

3. Platten

3.1 Schnittgrößen in Platten3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Platentheorie3.3 Grundgleichungen der Kirchhoffschen Platentheorie

3.3.1 Gleichgewichtsgleichungen3.3.2 Kinematik3.3.3 Werkstoffgesetz

3.3.3.1 Spannungs-Verschiebungsbeziehungen3.3.3.2 Momenten-Verschiebungsbeziehungen3.3.3.3 Querkraft-Verschiebungsbeziehungen

3.4 Kirchhoffesche Plattengleichung3.5 Platengleichung im Polarkoordinatensystem3.6 Ersatzquerkräfte und Eckkräfte3.7 Randbedingungen


3.8 Lösung der Plattengleichung 3.8.1 Lösungen im kartesischen Koordinatensystem

3.8.1.1 Plattenstreifen3.8.1.2 Plattenhalbstreifen3.8.1.3 Rechteckplatte mit 2 gelenkig gelagerten Parallelrändern (LEVYsche

Lösung)3.8.1.4 Vierseitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte (NAVIERsche Lösung)3.8.1.5 Rechteckplatten mit beliebiger Lagerung

3.8.2 Kreisplatten und Kreisringplatten3.9 Praktische Methoden zur Bestimmung der Schnittgrößen in Platten

3.9.1 Einfeldplatten3.9.1.1 Einachsig gespannte Platten3.9.1.2 Zweiachsig gespannte Platten

3.9.1.2.1 Drillfreie Platten (MARCUS-Verfahren, Tabellen nach STIGLAT/WIPPEL)

3.9.1.2.2 Drillsteife Platten (CZERNY-Tafeln, Tabellen nach HAHN)3.9.1.2.3 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte

(Einzugsflächen-Verfahren)3.9.2 Durchlaufende Platten (Verfahren nach Pieper/Martens)

Flächentragwerke – WS 2015/2016


Platten: Voraussetzungen

Voraussetzungen: Dicke viel kleiner als die Seitenlängen Lasten wirken quer zur Plattenebene

Verkrümmung der Plattenebene!


3.1 Schnittgrößen in Platten

xy

xyyx

x

y

zh

yz xz

SpannungenPlattenmittelebene

• Normalspannungen: ,x y

• Schubspannungen: , ,xy yx xz yz



Schnittgrößen Plattenmittelebene

x

y

zh

xymyxm

xqyqxm

ym

• Biegemomente: ,x ym m

• Querkräfte: ,x yq q

• Drillmoment: xy yxm m



Beziehungen zwischen Schnittgrößen und Spannungen:

h

2hz

2hz

z

2

2

wobei: h

hx x x xxm z dz m m

2

2

wobei: h

hy y y yym z dz m m

• Biegemomente:



• Drillmoment2

2

h

hxy xym z dz

xy yxm m

• Querkräfte

2

2

h

hx xzq dz

(qx = resultierende Kraft von xz )

2

2

h

hy yzq dz

(qy = resultierende Kraft von yz)



Hauptmomente:

1 2, , , Hauptmomentex y xym m m m m

22

1,2 2 2x y x y

xy

m m m mm m

2

tan 2 xy

x y

mm m

2m

1m

yxm

ym

xym

xm

x

y


Bemerkungen:

Die Hauptmomente und die Hauptrichtungen können auch mit dem Mohrschen Kreis bestimmt werden.

Vorgehensweise zur Konstruktion des Mohrschen Kreises: Siehe Mohrscher Spannungskreis oder Mohrscher Dehnungskreis!



Beispiel: Gelenkig gelagerte quadratische Platte unter konstanter Flächenlast

1xm m

2ym m

2m1m

2

27,2pl2

21,6xyplm 2m

1 2 xym m m

x

y

auf der -Achsexm xmax. xm


Beispiel: Gelenkig gelagerte quadratische Platte unter konstanter Flächenlast

1infolge bzw. xym m

Bemerkungen:• mx und my in der Plattenmitte am größten, |mxy| in den Ecken am größten.• Rissbilder auf der Plattenunterseite

Rissbilder auf der Plattenoberseite2infolge bzw. - xym m


3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie

Die Durchbiegung w der Platte (Verschiebung in z-Richtung) ist unabhängig von z: w = w(x,y), d.h.: alle Punkte P auf der Normalen besitzen die gleiche Durchbiegung w(x,y).

Es gilt die Normalenhypothese:Die Normalen bleiben nach der Deformation weiterhin senkrecht (orthogonal) zur Plattenmittelebene!

Normale

zw

P

P


3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie

,, 0Z

w x yw w x y

z

0 Schubverzerrungxz yz

Daher werden die Kirchhoffschen Platten auch als „schubstarre“ Platten bezeichnet.

Die Normalspannung senkrecht zur Plattenmittelebene ist vernachlässigbar, d.h.

0z (Ebener Spannungszustand)


3.3.1 Gleichgewichtsgleichungen

,x u

,y v

,z w

0yxx x y y

qqq dx dy q dy q dy dx q dx pdxdyx y

yx qq px y

dx

dy

yq dxxq dy

xx

qq dx dyx

yy

qq dy dx

y

pdxdy


,x u

,y v

,z w

02 2

xy y yxy y xy y y y

m m qdy dym dy m dx m dx dy m dy dx q dx q dy dxx y y

2xy y y

y

m m q dyqx y y

0 xy y

y

m mq

x y

Term höherer Ordnung!

dxdy

yq dx

xq dy

xx

qq dx dyx

yy

qq dy dx

y

pdxdy

yy

mm dy dx

y

yx

yx

mm dy dx

y

xyxy

mm dx dy

x

xx

mm dx dyx

xym dy

xm dy

ym dx yxm dx


,x u

,y v

,z w

02 2

yx x xyx x x yx x x

m m qdx dxm dx dy m dx dy m dy m dx q dy q dx dyx x x

2yxx x

x

mm q dxqx y x

0 yxx

x

mm qx y

dxdy

yq dx

xq dy

xx

qq dx dyx

yy

qq dy dx

y

pdxdy

yy

mm dy dx

y

yx

yx

mm dy dx

y

xyxy

mm dx dy

x

xx

mm dx dyx

xym dy

xm dy

ym dx yxm dx

Term höherer Ordnung!


3.3 Grundgleichungen der Kirchhoffschen Plattentheorie

2 22

2 22 ,

xy yx m mm p x yx x y y

Gleichgewichtsgleichungen

yx qq px y

yxxx

mm qx y

y xyy

m mq

y x

(1´)

(2´)

(3´)

(1)



3.3.2 Kinematik

wx

z

P

P

( , )w x yz

x

wu zx

wu zx

wv zy

• Verschiebungen:,x u

,y v

,z w (2)

(3)



2

2xu w zx x

2

2yv w zy y

2

2 xy

u v w zy x x y

• Dehnungen und Verzerrung:

(4)

(5)

(6)



3.3.3 Werkstoffgesetz (Hookesches Gesetz)

2 2

2 2 2 21 1x x yE E z w w

x y

2 2

2 2 2 21 1y y xE E z w w

y x

2

2xy xywG G z

x y

Elastizitätsmodul Querkontraktionszahl/Querdehnzahl

Schubmodul : 2(1 )

E

EG G

3.3.3.1 Spannungs-Verschiebungsbeziehungen

(7)

(8)

(9)



3.3.3.2 Momenten-Verschiebungsbeziehungen

3

2Plattensteifigkeit:

12 1E hK

2 2

2 2

2 22

2 2 2

2 2 /232 2 2 /2

3 2 2

2 2 2

2 2

2 2

1

1 = z1 3

=12(1 )

=

h h

h hx x

h

h

E w wm z dz z dzx y

E w wx y

Eh w wx y

w wKx y

Analog für und !y xym m



3.3.3.2 Momenten-Verschiebungsbeziehungen

2 2

2 2xw wm K

x y

2 2

2 2yw wm K

y x

2

1xywm K

x y

3

2Plattensteifigkeit:

12 1E hK

(10)

(11)

(12)



3.3.3.3 Querkraft-Verschiebungsbeziehungen

3 3

3 2 xw wq K

x x y

3 3

3 2yw wq K

y x y

(13)

(14)

Man kann die Gleichungen (13) und (14) durch Einsetzen von Gleichungen

(10) - (12) in die Gleichungen (2´) und (3´) erhalten!


, ,x y xy

, ,u v w3 Verschiebungsgrößen:

3 Dehnungs- und Verzerrungsgrößen: , ,x y xy

3 Spannungen:

Man hat also insgesamt 14 Gleichungen (1)-(14) (oder (1´)-(3´) plus (2)-(12)!) für 14 unbekannte Größen. Das Plattenproblem ist daher eindeutig lösbar.

, , , ,x y xy x ym m m q q5 Schnittgrößen:

Zusammenfassung: Plattenproblem


3.4 Kirchhoffsche Plattengleichung

Einsetzen der Gleichungen (19)-(12) für mx, my und mxy in die Gleichgewichts-

gleichung (1) für die Momente liefert die Kirchhoffsche Plattengleichung:

4 4 4

4 2 2 4

,2

p x yw w w

Kx x y y

oder

pwK

Partielle DGL 4. Ordnung,Inhomogene Bipotentialgleichung

Bemerkung:Die Kirchhoffsche Plattengleichung kann als eine Verallgemeinerung derEuler-Bernoullischen Balkengleichung EIwIV = p betrachtet werden!


K w p

IVEIw p

pwK

0F

Vergleich mit Balken und Scheiben

Platten:

Balken:

Platten:

Scheiben:

Vergleich mit Scheiben

Vergleich mit Balken

(Inhomogene Bipotentialgleichung)

(Homogene Bipotentialgleichung)


3.5 Plattengleichung im Polarkoordinatensystem

Für Kreisplatten, Kreisringplatten, Kreissektorplatten oder Platten mit einem

Kreisloch ist es sinnvoll, das Polarkoordinatensystem zu verwenden.

z

dr

rh

r

z

r

rz

r

d

zm

rm q

dr

r

d

rmrm

rq

h

Spannungen

Schnittgrößen



( , )( , ) p rw rK

Rotationssymmetrische Probleme:

2 2

2 2 2

4 3 2 4 3 2 4

4 3 2 2 3 2 2 2 3 2 4 2 4 4

1 1

,2 1 1 2 2 4 1

wr rr r

p rw w w w w w w wwr r Kr r r r r r r r r r r

4 3 2

4 3 2 2 3

( ), ( ), 0

2 1 1

w w r p p r

p rd w d w d w dwr dr Kdr dr r dr r

Inhomogene EulerscheDGL 4. Ordnung!



Momenten-Verschiebungsbeziehungen:2 2

2 2 2

1 1r

w w wm Kr rr r

2 2

2 2 2

1 1w w wm Kr rr r

11r rwm m K

r r

rq K wr

1q K wr

Querkraft-Verschiebungsbeziehungen:



Rotationssymmetrische Probleme:2

2

1r

d w dwm Kdr r dr

2

2

1d w dwm Kr drdr

0r rm m

2

2

1r

d d w dwq Kdr r drdr

0q


3.6 Ersatzquerkräfte und Eckkräfte

An jedem Rand der Platten treten 3 Schnittgrößen auf: Biegemoment, Drillmoment und Querkraft. Im Rahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie können aber nur 2 Randkräfte vorgeschrieben werden. Um diese Schwierigkeit zu beseitigen, werden an jedem Rand die Querkräfte und die Drillmomente zu den so genannten Kirchhoffschen Ersatzquerkräften zusammengefasst:

3 3

3 2, 2

xyx xy x x

m w wq m q q Ky x x y

3 3

3 2, 2yxy yx y y

m w wq m q q Kx y x y

Dabei wird das Drillmoment myx=mxy durch äquivalente Kräftepaare ersetzt. Für ein infinitesimales Randelement dx verbleibt dann nur ein Zuwachs als effektive Kraft in z-Richtung.



xym dx

xyxy

mm dx dx

x

/xyxy

mm dx dx dx

x

/xym dx dx

dx dx

x

y

//xyxyxy

xy

mm dx dx dx

x

m

m dx dx

dxx

Resultierende

dx/xy xym m

dx dxx x

verteil t aufxymdx dx

x



xymx

yq

yq

An Plattenecken verbleibt an beiden Rändern in der Ecke eine resultierende Einzelkraft, die sich nicht abhebt. Diese Kraft wird als Eckkraft bezeichnet.

2

2 2 (1 )xy yx xywF m m m K

x y



xym dyyxm dx

/yx yxm dx dx m

dydx

x

y /xy xym dy dy m

xy yxmF m Resultierende Eckkraft

Fx

y



Diese Eckkraft ist abhebend!

Maßnahmen gegen Abheben:1) durch Auflast in der Ecke,2) durch Verankerung,3) durch biegesteife Verbindung der Ecke mit der Unterstützung oder

benachbarter Platte.

Quelle: Prof. J. Hegger: Vorlesung Massivbau II, RWTH Aachen.

1m

2m


3.7 Randbedingungen

1.) Gelenkig gelagerter Rand 0

0x

wm

xx

y(0, ) 0

(0, ) 0

w y

w y

2

2

2 2 2

2 2 2

(0, ) 0 0

(0, ) 0 0 0x

w ww yy y

w w wm yx y x

Naviersche RB

0 2 ,xy xy xxm F m q q Beachte:


3.7 Randbedingungen

2.) Eingespannter Rand

2

2

2

(0, ) 0 0

(0, ) 0 0 (0, ) 0xy

w ww yy y

w wy m yx x y

(kein Drillmoment)

2 0 , (0, ) (0, )xy xxF m q y q y Beachte:

00xy

wm

x

x

y


3.7 Randbedingungen

3.) Freier Rand

2 2

2 2

3 3

3 2

(0, ) 0 (0, ) (0, ) 0

(0, ) 0 (0, ) 2 (0, ) 0

x

x

w wm y y yx y

w wq y y yx x y

0

0x

x

m

q

xx

y


3.7 Randbedingungen

4.) Eingespannte Ecke

x

y2

0 0 2 0xy xyw m F m

x y

Abhebende Eckenkraft!

5.) Gelenkig gelagerte Ecke

x

y

0,0 0

0,0 0

0,0 0

0,0 0

2 0

x

y

xy

xy

w

m

m

m

F m

Keine abhebende Eckenkraft!


3.7 Randbedingungen

6.) Freie Ecke

Keine abhebende Eckenkraft!

Bemerkung:

Mehr zu Randbedingungen siehe Arbeitsblätter „Platten (Randbedingungen)“!

x

y

2

0,0 0 0 0xywm F

x y


3.8 Lösungen der Plattengleichung

pwK

Die Plattengleichung ist eine inhomogene Bipotentialgleichung:

Gesamtlösung:

Dabei:

wh: homogene Lösung der Plattengleichung

wp: Partikularlösung der Plattengleichung

h pw w w


3.8 Lösungen der Plattengleichung

0hw Die homogene Lösung wh erfüllt die homogene Bipotentialgleichung:

Diese homogene DGL ist identisch mit der DGL der Scheibenprobleme. Daher kann man den Lösungskatalog für die Airysche Spannungsfunktion Fverwenden. Dabei wird F einfach durch wh ersetzt (vgl. Kapitel 2 „Scheiben“)!

Die Partikularlösung wp erfüllt die inhomogene Bipotentialgleichung:

ppwK

wp kann z.B. mittels „Ansatz vom Typ der rechten Seite“ gewonnen werden!


K w p

w

, , , ,x y xy x ym m m q q , ,x y xy

,u v , ,x y xy

Schnittgrößen Spannungen

Dehnungen & Verzerrung

VerschiebungenGl (2),(3) Gl (4)-(6)

Gl (10)-(14) Gl (7)-(9)

Plattenprobleme: Zusammenfassung


3.8.1 Lösungen im kartesischen Koordinatensystem

Möglichkeiten für die homogene Lösung:• Polynome in x and y: 2 2 2 2, ,...; , ,...; , , ,...x x y y xy x y y x

• Exponentialfunktionen: , ,...; , ,...x x y ye xe e ye

• Trigonometrische Funktionen:sin( ),cos( );sin( ),cos( );...x x y y

• Fourier-Reihen:

1 1( , ) sin( )sin( )h mn m n

m nw x y W x y

• Fourier-Integrale:

0

( , ) ( )sin( ) ( ) cos( ) yhw x y A x B x e d

• Kombinationen der obigen Möglichkeiten


3.8.1.1 Plattenstreifen

Unendlich lange Plattenstreifen:

xy

a

1m1m Streifen

Annahme: ( , ) ( )p x y p x

2 3 4

2 3 4( , ) ( ), 0w w w ww x y w xy y y y


K w p IVKw p


IVEIw pvgl. mit Balken:

Balken (1m Streifen):31

12hI

1mb

h

3

12IVBalken

Eh w p

3

212(1 )IVPlatte

Eh w p

32(1 )

12IVPlatte

Eh w p

Platte:

IVBalkenEIw p


2(1 )Platte Balkenw w


Daraus folgt:

Bemerkungen:

• Durchbiegung der Platte ist kleiner als Durchbiegung des Balkens:

da 0!Platte Balkenw w

• Grund: Platte ist etwas steifer als Balken wegen Quer-behinderung der Verformung.



Plattenstreifen Balken

DGL

Steifigkeit

Nicht vorhanden

Nicht vorhanden

Nicht vorhanden

IVKw p IVEIw p3

212(1 )EhK

3112

E hEI

( )w x 2(1 )Platte Balkenw w Balkenw

( )xm x xm Kw xM EIw

( )ym x y xm m

( )xym x 0

( )xq x xq Kw xQ EIw

( )yq x 0


1m1m Streifen

p

a

Beispiel 1:


Lösungsweg 1Aus TM II oder Schneider-Bautabellen:

4 32

2 34Balkenpa x x xwEI a a a

4 342 2

4 342

3

4 34

3 2

(1 ) (1 ) 2 348

=(1 ) 2 348 ( /12)

= 2 348 /12(1 )

Platte Balkenpa x x xw w

EI a a a

pa x x xE h a a a

pa x x xa a aEh

4 34

= 2 348pa x x x

K a a a


Lösungsweg 2 4-malige direkte Integrationen der DGL ohne Zerlegung der Gesamtlösung in

homogene und partikuläre Lösungen. Anpassung an die RB liefert dann die 4 Integrationskonstanten.

Lösungsweg 3 Zerlegung der Gesamtlösung in homogene und partikuläre Lösungen. Homogene Lösung: durch 4-malige direkte Integrationen der DGL. Partikuläre Lösung: durch „Ansatz vom Typ der rechten Seite“. Anpassung an die RB liefert dann die 4 Integrationskonstanten.




1m1m Streifen

p

a

Beispiel 2: Beliebige p(x)

Fourier-Reihen:

1

1

( ) sin

( ) sin

mm

mm

mp x p xa

mw x w xa

K w p 4

1( / )

mm

pwK m a

41

1( ) sin( / )

m

m

p mw x xK m a a



Bemerkungen:

Die RB bei und sind durch den Ansatz für w(x)automatisch erfüllt.

Fourier-Koeffizienten: ,m mp w

0

2 ( )sina

mmp p x x dx

a a

0x x a


3.8.1.2 Plattenhalbstreifen

xy

a

frei gelenkig eingespannt

1 21

( , ) sinm yh m m m m

m

w x y c c y e x

41

1( , ) sinmp m

m m

pw x y xK

Homogene Lösung:

Partikuläre Lösung:

mma


Fourier-Koeffizient:

0

2 ( )sina

mmp p x x dx

a a

Bemerkungen:

RB bei sind durch die Sinus-Funktion automatisch erfüllt.

Die homogene Lösung klingt vom Rand ab.

Die noch unbekannten Konstanten c1m und c2m können aus den

RB bei bestimmt werden.


0x

0y

0y


xy

a


Beispiel: Gelenkige Lagerung am Rand

1 21

( , ) sinm yh m m m m

m

w x y c c y e x

41

1( , ) sinmp m

m m

pw x y xK

1 241

1 sinm ymh p m m m m

m m

pw w w c c y e xK

Gesamtlösung:

Randbedingungen:

( , 0) 0w x y ( , 0) 0ym x y

0y


( , 0) 0w x y 1 4

1 mm

m

pcK

( , 0) 0ym x y 2 2

2 20

y

y

w wm Ky x

2 1 4

1 12 2

mm m

m

pc cK

41

1 1( , ) 1 1 sin2

m ymm m

m m

pw x y y e xK




Sonderfall: Konstante Flächenlast

0 0

0

1

2 2( )sin sin

2 1 cos

2 1 1 cos

2 1 1

2 1 1

a a

m m m

a

mm

m

m

m

m

m

p p x x dx p x dxa a

p xa

p ma

pa

pa


3.8.1.3 Rechteckplatte mit 2 gelenkig gelagerten Parallelrändern

xy

a

b

1 2 3 41

( , ) sinm my yh m m m m m m m

mw x y c c y e c c y e x

41

1( , ) sinmp m

m m

pw x y xK

• Homogene Lösung:

• Partikuläre Lösung:

mma

LEVYsche Lösung:


3.8.1.3 Rechteckplatte mit 2 gelenkig gelagerten Parallelrändern

1 2 3 441

1( , ) sinm my ymm m m m m m m

m m

pw x y c c y e c c y e xK

• Gesamtlösung:

Bemerkungen: RB bei sind durch die Sinus-Funktion automatisch erfüllt.

Der 1. Anteil der homogenen Lösung klingt vom Rand ab,

während der 2. Anteil vom Rand abklingt.

Die unbekannten Konstanten c1m, c2m, c3m und c4m können aus

den RB bei und bestimmt werden.

0x

0y

y b

0y y b


xy

a

b

3.8.1.4 Vierseitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte

1 1

( , ) sin sinmn m nm n

p x y p x y

, m nm na b

NAVIERsche Lösung:

1 1

( , ) sin sinmn m nm n

w x y w x y

K w p 22 2

1 mnmn

m n

pwK

22 21 1

1( , ) sin sinmnm n

m n m n

pw x y x yK


Bemerkungen: Das Problem kann auch mit der LEVYschen Lösung gelöst

werden, falls die Flächenlast p unabhängig von y ist.

Die RB an allen 4 Rändern sind durch die Sinus-Funktionen

automatisch erfüllt.

Fourier-Koeffizienten: ,mn mnp w

0 0

2 2 ( , )sin sina b

mnm np p x y x y dxdy

a b a b

3.8.1.4 Vierseitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte


3.8.1.5 Rechteckplatten mit beliebiger Lagerung

Mit Hilfe des Superpositionsprinzips können auch analytischeLösungen für Platten mit komplizierter Lagerung hergeleitet werden.

Beispiel: Vielseitig eingespannte Rechteckplatte unter konstanter Flächenlast

Hans Eschenauer, Walter Schnell: Elastizitätstheorie, 3., vollständig überarbeitetet und erweiterte Auflage,Wissenschaftsverlag, 1993.

x

y

b

a


3.8.1.5 Rechteckplatten mit beliebiger Lagerung

Zerlegung in Teilprobleme:•Problem „0“: w0

Vielseitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte (Naviersche Lösung)•Problem „1“: w1

Rechteckplatte mit 2 gelenkig gelagerten Parallelrändern (LevyscheLösung) und noch unbekanntem Randmoment mxx1

•Problem „2“: w2Rechteckplatte mit 2 gelenkig gelagerten Parallelrändern (LevyscheLösung) und noch unbekanntem Randmoment myy2

31 2

31 2

0, 0,

0, 0,

ww w x ax x x

ww w y by y y

Verträglichkeitsbedingungen: keine Verdrehungen an den 4 Rändern!

1 2,xx yym m1 2,w w 0 1 2w w w w


3.8.2 Kreisplatten und Kreisringplatten

Für Kreisplatten und Kreisringplatten ist es sinnvoll, das Polar-

koordinatensystem zu verwenden.

Bei allgemeinen Belastungen sind die Lösungen im Polarkoor-

dinatensystem im Allgemeinen recht kompliziert.

Große Vereinfachungen erhält man bei rotationssymmetri-

schen Belastungen:

( , ) ( )p r p r 2 3 4

2 3 4

( , ) ( )

0

w r w rw w w w



2

2

1 1( )

1 1( )

d w dw d dww r rdr r dr r dr dr

d d d dw pw r r rr dr dr r dr dr K

Gesamtlösung:

h pw w w Homogene Lösung:Die homogene Lösung kann durch die 4-maligen Integrationen der obigen DGL bestimmt werden!

2 21 2 3 4( ) ln lnhw r c c r c r c r r


Partikuläre Lösung:Die partikuläre Lösung ist abhängig von der Belastung p(r) und kann durch „Ansatz vom Typ der rechten Seite“ gewonnen werden!


Bemerkungen: Die unbekannten Integrationskonstanten c1, c2, c3 und c4 können aus den RB

bestimmt werden. Mit der oben angegebenen homogenen Lösung können viele Vollplatten und

Ringplatten unter rotationssymmetrischer Belastung behandelt werden.



Vollplatten

Flächenlast

Teilflächenlast

Ringlast(Linienlast)

Einzellast

a

p

a

p



Ringplatten

Flächenlast

Ringlast(Linienlast)

p

a

b

a

b

p



Ringplatten

p p pp


a

0p


Beispiel: Kreisplatte unter konstanter Flächenlast

2 21 2 3 4( ) ln lnhw r c c r c r c r r

Homogene Lösung:

Partikuläre Lösung:

40( )64p

pw r rK

2 2 401 2 3 4( ) ln ln

64pw r c c r c r c r r r

K

Gesamtlösung:



2

2

202 3 42

1

1 (1 ) 2 (1 ) 2(1 ) ln 3 316

rd w dwm Kdr r dr

pK c c c r rr K

0r rm m 2

042

1 42rp rd d w dwq K K c

dr dr r dr r K

0q

2

2

202 3 42

1

1 (1 ) 2 (1 ) 2(1 ) ln 3 1 3 116

d w dwm Kdr r dr

pK c c c r rr K



Regularitätsbedingungen:

( 0)w r

( 0)rq r 2 0c

4 0c

Randbedingungen:

( ) 0w r a 4 201 3 0

64p a c c a

K

( ) 0rm r a 2032 (1 ) 3 0

16pK c aK

4 2

0 01 3

5 3, 1 64 1 32

p a p ac cK K

2 440 5 3( ) 2

64 1 1p a r rw r

K a a


3.9 Praktische Methoden zur Bestimmung der Schnittgrößen in Platten

Bei komplizierten Plattengeometrien und Belastungen sind analytischeLösungen der Plattengleichung meistens aussichtslos. Vielmehr müssenComputerprogramme (z.B. Finite Elemente Methode bzw. FEM) verwendetwerden. Auch Näherungslösungen oder vereinfachte Methoden in Form vonTabellen und Diagrammen können dafür eingesetzt werden.

3.9.1 Einfeldplatten

xy

a

b


3.9.1 Einfeldplatten

Einachsig gespannte Platte 2-achsig gespannte Platte

Einachsig gespannte Platten:Lastabtragung nur in einer Richtung

2-achsig gespannte Platten:Lastabtragung in 2 Richtungen

Einfeldplatten


3.9.1.1 Einachsig gespannte Platten

1m1m Streifen

p

a

Einachsig gespannte Platten:•Bedingung:•Bei einer einachsig gespannter Platte kann ein 1m-Streifen als Balken betrachtet werden.•Beispiel: konstante Flächenlast

2

max. 8x

pam

max. 2xpaq

2 !y xl l

max. y xm m


3.9.1.2 Zweiachsig gespannte Platten

Drillfreie bzw. drillweiche Platten:

Drillsteife Platten:

2-achsig gespannte

Platten

0xym

0xym


Drillfreie bzw. drillweiche Platten:• Marcus-Verfahren (Streifenkreuz-Verfahren, Streifenmethode,

Lastaufteilungsverfahren).• Tabellen nach Stiglat-Wippel

Drillsteife Platten:• Czerny-Tafeln:

4- und 3-seitige Lagerung, konstante und dreiecksförmige Belastung.• Hahn:

3-seitige Lagerung, Linienlast am freien Rand.• Bruckner:

4- und 3-seitige Lagerung, Punkt- und Linienlasten.• Stiglat und Wippel, Pucher, Bittner:

Sonderfälle.

2-achsig gespannte Platten: Überblick


Literatur:Bittner, E.: Platten und Behälter. Springer-Verlag, Wien/New York, 1965.

Bruckner, H.: Elastische Platten. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1977.

Hahn, J.: Durchlaufträger, Rahmen, Platten und Balken auf elastische Bettung.

Werner-Verlag, Düsseldorf, 1981.

Pucher, A.: Einflußfelder elastischer Platten. 5. Auflage, Springer-Verlag, 1977.

Stiglat, K., Wippel, H.: Massive Platten. In: Beton-Kalender, Teil 2, Ernst & Sohn

Verlag, 2000, Seiten 211-290.

Stiglat, K, Wippel, H.: Platten. Ernst & Sohn Verlag, 3. Auflage, 1993.

Czerny, F.: Tafeln für Rechteckplatten. In: Beton-Kalender, Teil 1, Ernst & Sohn

Verlag, 1999, Seiten 277-330.

2-achsig gespannte Platten: Überblick


3.9.1.2.1 Drillfreie Platten: Streifenkreuz-Verfahren

xl

yl

1m

1m

p

xp

xl

yl

yp

Lastaufteilung:

x y

x x

y y

p p p

p k pp k p

1x yk k

und sind von RB abhängig und sie sind tabelliert!x yk k

Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerter Platte unter konstanter Flächenlast

22

max. , max. , 0 8 8

y yx xx y xy

p lp lm m m


1 4 4

4 4 4 4 4

11 , 1 y xx y x

x y x y

l lk k kl l l l

y

x

ll


Aus der nachfolgenden Tabelle abgelesen:

Bemerkung:Die beiden Lastaufteilungsfaktoren können aus der Bedingung der gleichenDurchbiegung der beiden Streifen in der Plattenmitte (Kompatibilitätsbedingung)bestimmt werden.

Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerter Platte unter konstanter Flächenlast


xl

yl

1m

1m

p

xp

xf

yf

yp

44 55 , 384 384

y yx xx y

p lp lf fEI EI

x yf f

4 4x x y yp l p l

x yp p p

4

4 4

y

x

x y

k

yl

lp p

l

4

4 4 ,

x

y

y

k

xx

ll l

p p



Bautabelle Schneider

Drillfreie Platten:

Streifenkreuz-

Verfahren


3.9.1.2.1 Drillfreie Platten: Tabellen nach Stiglat/Wippel

Alle 4 Ränder gelenkig gelagert

Stiglat, K., Wippel, H.: Beton-Kalender, 2000.


Alle 4 Ränder eingespannt

3.9.1.2.1 Drillfreie Platten: Tabellen nach Stiglat/Wippel

Stiglat, K., Wippel, H.: Beton-Kalender, 2000.


Annahme: 0

3.9.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln

gelenkig

eingespannt



Alle 4 Ränder eingespannt


3.9.1.2.2 Drillsteife Platten: Tabellen nach Hahn

3-seitig gelenkig gelagert


Quelle: Bautabelle Schneider


3-seitig eingespannt


Bemerkungen:•Bei einigen Tabellen wird vereinfachend =0 angenommen (z. B. Czerny-Tafeln, Bittner). Dies ist zulässig im Stahlbetonbau, mit der Ausnahme von Fahrbahnplatten.•Falls die Querkontraktionszahl zu berücksichtigen ist, dann erfolgt die folgende Umrechnung:

( ) ( 0) ( 0)

( ) ( 0) ( 0)

( ) (1 ) ( 0)

( ) ( 0)( ) ( 0)

( 0)( ) ( 0) (1 )

( 0)( ) ( 0) (1 )

x x y

y y x

xy xy

x x

y y

xyx x

xyy y

m m m

m m m

m m

q qq q

mq q

ym

q qx

Drillsteife Platten



3.9.1.2.3 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte

Die Auflager- und Eckkräfte können mit der Methode der Einzugsflächenäherungsweise bestimmt werden.



Bestimmung der

Auflager- und

Eckkräfte:

Methode der

Einzugsfläche



3.9.1.2.3 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte


xl

yl

p

x

yBeispiel: 4-seitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte

unter konstanter Flächenlast

/ 1,5y xl l

22

2max

22

22

max

22

0,07313,7

0,073

0,02835,7

0,02934,7

0,06116,3

xxm x

x xm x

xym x

xy x

xxye x

plm pl

m m pl

plm pl

plm pl

plm pl

22

2max

22

22

max

0,1287,8

0,128

0,0520

0,0519,9

0

xxm x

x xm x

xym x

xy x

xye

plm pl

m m pl

plm pl

plm pl

m

22

2max

22

2max

0,1048

0,104

0,0468

0,046

0

x xxm x

x xm x

y yym x

y ym x

xye

p lm pl

m m pl

p lm pl

m m pl

m

Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte

Czerny-Tafel:Stiglat/Wippel:

Marcus:


Momente Czerny(drillsteif)

Stiglat/Wippel(drillweich)

Marcus(drillweich)

xmm

maxxm

maxymymm

xyem

20,073 xpl

20,073 xpl

20,028 xpl

20,029 xpl20,061 xpl

20,128 xpl

20,128 xpl

20,05 xpl20,05 xpl

0

20,104 xpl

20,104 xpl

20,046 xpl20,046 xpl

0

Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte

Bemerkungen: Die maximalen Feldmomente bei der drillsteifen Platte sind kleiner als bei der

drillweichen Platte! Grund: Die 4 Ecken der drillsteifen Platte tragen die Last mit!


Überblick:

Belastungsumordnungsverfahren (BU-Verfahren)• Dieses Verfahren wird auch als „Schachbrettverfahren“ bezeichnet.• Dabei werden die Verkehrslast (veränderliche Last) „schachbrettartig“ so

umgeordnet, dass es jeweils zu max. Feldmomenten und max. Stützmomenten (in Betrag) führt.

• Voraussetzung: min. l / max. l ≥0,75.

Verfahren nach Pieper/Martens• Voraussetzungen: q ≤ 2g, q ≤ 2(g+q)/3 (g: Eigenlast, q: Verkehrslast).• Verfahren beruht auf BU-Verfahren.• Verfahren liefert im Allgemeinen größere Feldmomente als BU-Verfahren

(auf der sicheren Seite).• Rechenaufwand wesentlich geringer als BU-Verfahren.

3.9.2 Durchlaufende Platten


Wände

3.9.2 Durchlaufende Platten: BU-Verfahren

Schachbrettartige Anordnung der Verkehrslast q

Für max. Feldmoment Für max. Stützmoment (Betrag)

x

y


Eigenlast : g

Verkehrslast : q

Eigenlast : g

Verkehrslast : / 2q

Verkehrslast : / 2q

Anordnung der Verkehrslast q


+


/2g q

Ersatzsystem für max. Feldmoment

Innenfeld


/ 2q

Innenfeld


1.) Belastung aller Felder durch g+q/2 2.) Schachbrettartige Belastung durch g+q/2

Bestimmung von max. Feldmoment

In y-Richtung genauso!

gelenkigeingespannt/2g q / 2q

x


/2g q

Ersatzsystem für max. Stützmoment

Innenfeld


Innenfeld


1.) Belastung aller Felder durch g+q/2 2.) Schachbrettartige Belastung durch g+q/2

Bestimmung von max. Stützmoment (in Betrag)

In x-Richtung wie beim max. Feldmoment!

/ 2q

eingespannt

gelenkig

y

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK Quelle: Bautabelle Schneider

3.9.2 Durchlaufende Platten: Verfahren nach Pieper/Martens



Durchlaufende Platten:

Verfahren nach

Pieper/Martens

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK Quelle: Bautabelle Schneider




Durchlaufende

Platten:

Verfahren nach

Pieper/Martens




Wände 4

6

Beispiel

Platten - aktualisiert WS1516 [Kompatibilitätsmodus] · PDF file3.9.1.2.2 Drillsteife...

Documents

Transcript of Platten - aktualisiert WS1516 [Kompatibilitätsmodus] · PDF file3.9.1.2.2 Drillsteife...