Platten the Orie

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3 Die Plattentheorie 3.1 Die Tragwirkung von Platten 3.1.1 Allgemeines Wie bereits in Abschnitt 1.3 erklärt wurde, stellen Platten ebene Flächentragwerke dar, die durch Lasten senkrecht zu ihrer Ebene oder durch andere Einflüsse bean- sprucht werden, die eine Verkrümmung der Plattenmittelfläche bewirken (z. B. Randmomente, exzentrische Vorspannung, ungleichmäßige Temperatur und Stüt- zensenkungen). Bild 1.3-1 zeigt ein Beispiel für eine belastete Platte, die an ihren Ecken gestützt ist. Die elastizitätstheoretische Behandlung des Plattenproblems führt auf eine partiel- le Differentialgleichung vierter Ordnung für die Biegefläche w(x,y), die sogenann- te Plattengleichung, die erstmals von KIRCHHOFF im Jahre 1850 veröffentlicht wurde. Platten können punktweise, linienförmig oder flächig (auf sogenannter elastischer Bettung) gelagert sein. Für die Grundrißdarstellung linienförmiger Lagerungen werden die in Bild 3.1-1 dargestellten Vereinbarungen getroffen. S t a r r e i n s p a n n u n g S c h n e i d e n l a g e r u n g u n g e s t ü t z t e r R a n d Bild 3.1-1: Darstellung linienförmiger Lagerungen von Platten
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3 Die Plattentheorie

3.1 Die Tragwirkung von Platten3.1.1 Allgemeines Wie bereits in Abschnitt 1.3 erklrt wurde, stellen Platten ebene Flchentragwerke dar, die durch Lasten senkrecht zu ihrer Ebene oder durch andere Einflsse beansprucht werden, die eine Verkrmmung der Plattenmittelflche bewirken (z. B. Randmomente, exzentrische Vorspannung, ungleichmige Temperatur und Sttzensenkungen). Bild 1.3-1 zeigt ein Beispiel fr eine belastete Platte, die an ihren Ecken gesttzt ist. Die elastizittstheoretische Behandlung des Plattenproblems fhrt auf eine partielle Differentialgleichung vierter Ordnung fr die Biegeflche w(x,y), die sogenannte Plattengleichung, die erstmals von KIRCHHOFF im Jahre 1850 verffentlicht wurde. Platten knnen punktweise, linienfrmig oder flchig (auf sogenannter elastischer Bettung) gelagert sein. Fr die Grundridarstellung linienfrmiger Lagerungen werden die in Bild 3.1-1 dargestellten Vereinbarungen getroffen.

S ta r r e in s p a n n u n g S c h n e id e n la g e r u n g u n g e s t tz te r R a n dBild 3.1-1: Darstellung linienfrmiger Lagerungen von Platten

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3 Die Plattentheorie

Im folgenden werden die Platten horizontal liegend angenommen, wobei die kartesischen Koordinaten x, y bzw. die Polarkoordinaten r, die Plattenmittelflche beschreiben. Die Koordinate z weist nach unten. 3.1.2 Die Schnittgren von Platten Die einzelnen Plattenstreifen werden, wie aus Bild 3.1-2 ersichtlich, bei der Beanspruchung nicht nur balkenartig verbogen, sondern auch verdrillt.

Bild 3.1-2:

Verformung einzelner Plattenstreifen

Dementsprechend treten in der Platte nicht nur Biegemomente mx, my mit achsenparallelen Vektoren und Querkrfte qx, qy, sondern auch Drillmomente mxy auf. Da die Belastung keine zur Plattenebene parallelen Komponenten aufweist, werden keine Normalkrfte hervorgerufen. Die an den Lagern infolge der Plattenverdrehung entstehenden Normalkrfte werden wegen Geringfgigkeit vernachlssigt. Voraussetzung hierfr ist die Beschrnkung der Verformung. Die Plattenschnittgren und die durch sie verursachten Spannungen sind in Bild 3.1-3 dargestellt.

y x z my

y h z t mx y y z x

x

my

m

t sy

x z

y x

q

qx

t

p o s itiv e S c h n ittfl c h e nBild 3.1-3: Schnittgren und Spannungen in Platten

y x

t

sx x y

3.1 Die Tragwirkung von Platten

69

Die positiven Schnittkrfte sind so definiert, da die zugeordneten Spannungen in den positiven Schnittflchen im Bereich positiver z in die Koordinatenrichtungen weisen. Der Index bei den Biegemomenten gibt die Richtung der zugeordneten Spannungen an. Die Querkrfte erhalten den gleichen Index wie die im selben Schnitt wirkenden Biegemomente. Aus der Gleichheit der Schubspannungen xy und yx folgt mxy = myx. Smtliche Schnittkrfte sind lngenbezogen, z. B. Querkraft qx [kN/m] und Biegemoment mx [kNm/m]. 3.1.3 Hauptmomente Es gibt einen ausgezeichneten Winkel , bei dem die Drillmomente verschwinden und die Biegemomente Extremwerte annehmen. Diese Extrema heien Hauptmomente und werden mit m1, m2 bezeichnet. Ein entsprechendes infinitesimales Plattenelement ist in Bild 3.1-4 dargestellt.m x y mx y

x y

my

mx

m2

= 0

d xBild 3.1-4: Infinitesimales Plattenelement mit Hauptmoment m1

Das Momentengleichgewicht um eine Achse senkrecht zur schrgen Elementseite lautetM 2 = m x dy sin m xy dy cos m y dx cos + m xy dx sin = 0

d s

d y

m1

d x = d s s in d y = d s c o s

70

3 Die Plattentheorie

oder(m x m y ) sin cos m xy (cos 2 sin 2 ) = 0.

Mit Hilfe der Additionstheoreme fr Winkelfunktionen ergibt sich daraustan 2 = 2m xy mx my

.

(3.1.1)

Durch Umformung dieser Gleichung erhlt mantan = mx my 2m xy 1 m xy mx my + m2 . xy 2 2

(3.1.2)

Die GleichgewichtsbedingungM x = m x dy + m xy dx m1 ds cos = 0

fhrt zunchst aufm1 = m x + m xy tan

und mit (3.1.2) zum Ausdruck fr die Hauptmomente

m1,2 =

mx + my 2

1 2

(mx m y )2 + 4m2 xy

(3.1.3)

Diese Gleichung lt sich im MOHRschen Momentenkreis graphisch deuten. Siehe hierzu Bild 3.1-5.m

x y

2 j m2

m mx

x y

my

m1

m

mx

+ m 2y

mx

2

- my

Bild 3.1-5:

MOHRscher Kreis fr die Plattenmomente

3.1 Die Tragwirkung von Platten

71

Aus der Darstellung erkennt man, da fr mxy = 0 verschwindet, so da m1 = mx und m2 = my wird. Fr die Bemessung von Platten sind die Hauptmomente magebend. In einer quadratischen, gelenkig gelagerten Platte (siehe Bild 3.1-6) treten unter Gleichlast auf den beiden Koordinatenachsen aus Symmetriegrnden keine Drillmomente auf. Die Momente mx und my sind demnach Hauptmomente. Dementsprechend verlaufen die Hauptmomente auf den beiden Diagonalen parallel und senkrecht zu diesen. In der Plattenmitte liefert (3.1.1) wegen mx = my einen unbestimmten Ausdruck fr . Das Maximalmoment ist in allen Richtungen gleich.my

m m1

mx 2

x y l

l

|m m a x m + m2

x y

| = =

p l 2 2 1 ,6 p l 2 2 7 ,2 (f r m = 0 )

mx

m a x m (a u f d e r x -A c h s e )

+

( a u f d e r D ia g o n a le n )

Bild 3.1-6:

Hauptmomente einer quadratischen, gelenkig gelagerten Platte unter Gleichlast

An den Plattenecken wird m1 = -m2 = mxy, da der Mittelpunkt des zugehrigen MOHRschen Kreises bei m = 0 liegt. Die Hauptmomente haben also denselben Absolutwert, jedoch umgekehrtes Vorzeichen. Dementsprechend mu im Stahlbetonbau die Drillbewehrung an Plattenecken oben in Richtung der Winkelhalbierenden verlaufen, unten senkrecht dazu (vgl. beispielsweise DIN 1045 [4.1], Abschnitt 20.1.6.4). Die in Bild 3.1-6 angegebenen Zahlenwerte wurden Tafel 2 entnommen.

72

3 Die Plattentheorie

3.1.4 Lastaufteilungsverfahren fr Rechteckplatten

Wird die in Bild 3.1-2 veranschaulichte Wirkung der Drillmomente vernachlssigt, so liegt man auf der sicheren Seite, sowohl im Hinblick auf die Biegemomente, als auch auf die Durchbiegungen. Deshalb drfen z.B. laut Abschnitt 20.1.5 der DIN 1045 [4.1] die Biegemomente zweiachsig gespannter, allseits gelagerter Rechteckplatten nherungsweise an sich kreuzenden Plattenstreifen gleicher grter Durchbiegung f ermittelt werden. Die auf die Platte wirkende konstante Belastung p wird bei dieser Methode mit Hilfe der Bedingungfx = fy

(3.1.4)

gemp = px + py

(3.1.5)

in die Anteile px und py aufgeteilt, so da man die Platte getrennt in beiden Richtungen als Balken berechnen kann. Die Methode wird anhand des Bildes 3.1-7 erlutert.

p

y

-

m in my

= -

py

8

ly

2

l

y

px

fy wlx

fx m

wx x

m a x mBild 3.1-7:

=

px

8

lx

2

Veranschaulichung der Streifenmethode

m

y

+

3.1 Die Tragwirkung von Platten

73

Mit der Lastanteilszahl giltp x = p , p y = (1 ) p .

(3.1.6) (3.1.7)

In Bild 3.1-8 sind die Mittendurchbiegungen von Balken in Abhngigkeit von den Lagerungsbedingungen angegeben (siehe z. B. HIRSCHFELD [1.16]).p p p

l f = 3 8 4 5 p l 4 E I f = 3 8 4 2

l p l 4 E I f = 3 8 4 1

l p l 4 E I

Bild 3.1-8:

Mittendurchbiegungen von Balken

Damit und mit = l y / l x erhlt man fr die 6 verschiedenen Sttzungsarten vier-

seitig gelagerter Rechteckplatten die in Bild 3.1-9 angegebenen Lastanteilszahlen .

Sttzungsartl

1x

y

2

3

4

5

6

Bild 3.1-9:

4 1 + 4

l

2 4 5 + 2 4

4 5 + 4

4 1 + 4

2 4 1 + 2 4

4 1 + 4

Plattenlagerungsarten und zugehrige Lastanteilszahlen

Bei gedrungenen Platten, d.h. bei einem Seitenverhltnis 2 / 3 3 / 2 ergeben sich nach der Plattentheorie wesentlich geringere Feldmomente als nach der Streifenmethode, da die Lasten im Eckbereich diagonal abgetragen werden. Um die groen Unterschiede der Ergebnisse beider Verfahren an einem Beispiel aufzuzeigen, werden drei Platten vom Typ 2 mit unterschiedlichen Seitenverhlt-

74

3 Die Plattentheorie

nissen untersucht. Nach der Streifenmethode lauten die beiden Feldmomente und das Sttzmoment der betrachteten Platte allgemeinmax m x = max m y = min m y = pxl x 2 p l xl y , = 8 xf p l xl y 9 p yl y 2 = , 128 yf p yl y 2 8 = p l xl y ys .

Den ermittelten Momentenbeiwerten xf, yf, ys werden in Bild 3.1-10 die entsprechenden Zahlenwerte nach der Plattentheorie (siehe Tafel 2) gegenbergestellt.ly lx

=2 lx

Streifenmethode xf 0,0876 0,2857 0,6694 63,9 28,0 17,9 yf 22,3 19,9 28,7 ys -12,5 -11,2 -16,1 xf

Plattentheorie yf 29,2 29,4 48,5 ys -13,1 -11,9 -13,3

l

y

0,70 1,00 1,50

78,3 41,2 24,9

Bild 3.1-10:

Lastanteilszahlen und Momentenbeiwerte fr drei Platten des Typs 2

Der Einflu der Drillmomente zeigt sich deutlich bei einem Vergleich der Feldmomente. In vorstehendem Beispiel ergeben sich diese nach der Streifenmethode um ca. 50 % grer als nach der Plattentheorie. Die gnstige Wirkung der Drillmomente darf nur in vollem Umfang bercksichtigt werden, wenn diese berall von der Platte aufgenommen werden knnen. Das setzt voraus, da - die Plattenecken gegen Abheben gesichert sind, - an den Ecken, wo zwei frei drehbar gelagerte Rnder zusammenstoen, eine ausreichende Eckbewehrung eingelegt wird und - an den Ecken keine Aussparungen vorhanden sind, die die Drillsteifigkeit wesentlich beeintrchtigen. Sind diese Bedingungen nicht erfllt, dann drfen die Biegemomente nicht nach der Plattentheorie ermittelt werden, wohl aber nach der Streifenmethode.

3.2 Die Plattengleichung in kartesischen Koordinaten

75

3.2 Die Plattengleichung in kartesischen Koordinaten3.2.1 Idealisierungen und Annahmenx y z h ly

lx

Bild 3.2-1:

Beispiel fr eine belastete Platte

Der Herleitung der KIRCHHOFFschen Plattengleichung liegen Idealisierungen und Annahmen im Hinblick auf Geometrie, Beanspruchung, Verformung und Material zugrunde, die im folgenden zusammengestellt werden. Geometrie: Die Mittelflche der unbelasteten Platte ist eben. Die Dicke h der Platte ist klein im Verhltnis zu deren Spannweiten. Die Plattendicke wird im folgenden als konstant vorausgesetzt. Es werden keine Imperfektionen bercksichtigt.

Belastung: - Alle ueren Lasten, Lagerkrfte und Lagerverschiebungen wirken senkrecht zur unverformten Mittelflche, die Vektoren von Randmomenten oder Randverdrehungen liegen in ihr. - Temperaturnderungen verlaufen linear ber die Plattendicke mit Nullpunkt in der Mittelflche. - Die Spannungen z in der Platte infolge der Vertikallasten sind im Vergleich zu den Spannungen x und y vernachlssigbar gering, so da ein ebener Spannungszustand vorausgesetzt werden darf. - Alle Beanspruchungen sind zeitunabhngig.

76

3 Die Plattentheorie

Verformungen: - Fr die Neigungen der Biegeflche wird w / x 1

X1

w 1' ( a ) w 2' ( a )Bild 3.5-11:

X1

Kreisringplatte mit Zwischenlagerung

Das Grundsystem besteht aus zwei Kreisringplatten (siehe Bild 3.5-11), von denen eine am ueren, die andere am inneren Rand gelagert ist. Die beiden Formnderungswerte setzen sich gem 1i = w1 (a ) + w 2 (a )

116

3 Die Plattentheorie

aus je zwei Anteilen zusammen. Bei 11 sind beide Anteile stets positiv. Die Anteile von 10 wren hier beispielsweise fr den Lastfall Platteneigengewicht auch positiv, da sich die Plattenrnder am Grundsystem im Sinne von X1 = 1 verdrehen.3.5.6.5 Beispiel 4: Kreisplatte mit Teilflchenlast

p b r a mr

r = a

r

, b = a

b

W P mj

W PBild 3.5-12: Kreisplatte mit Teilflchenlast

Wegen der Unstetigkeit der Belastung mssen die beiden Bereiche r < b und r > b unterschieden werden. Im Lastbereich verlaufen die Biegemomente quadratisch, im lastfreien Bereich logarithmisch (siehe Tafel 5). Bei r = b liegt ein Wendepunkt. Die Momentenlinien sind in Bild 3.5-12 qualitativ dargestellt. Die Ordinaten an den Viertelspunkten sind in Abhngigkeit von Tafel 9 zu entnehmen. Fr den lastfreien Bereich, d.h. fr , gilt nach Tafel 5mr = 1 pa 2 (1 ) 2 1 4(1 + ) ln 2 , 2 16 1 4(1 ) (1 ) 2 + 1 4(1 + ) ln 2 . 2

pa 2 m = 16

(3.5.23)

Bei gleicher Gesamtlast P = b2 p

3.5 Kreis- und Kreisringplatten unter rotationssymmetrischer Belastung

117

wachsen die Momente in Plattenmitte an, wenn der Radius b des Lastbereichs kleiner wird. Fr den Grenzfall b 0 erhlt man aus (3.5.23) mit p b2 = P/ die Biegemomente infolge einer Einzellast P in Plattenmitte zuP (1 + ) ln , 4 P [(1 ) (1 + ) ln ] . m = 4 mr =

(3.5.24)

In der Plattenmitte werden die beiden Momente unendlich. Das gilt brigens generell fr die Plattenmomente unter einer Einzellast. Fr die Bemessung kommt es deshalb sehr auf die Gre der Lastverteilungsflche von Punktlasten an.3.5.6.6 Beispiel 5: Kreisplatte mit Auskragung unter Gleichlast

p p

b a

A X1

G ru n d s y s te m p E rs a tz s y s te m

p ABild 3.5-13:

B = 0Kreisplatte mit Auskragung unter Gleichlast

Um die in Bild 3.5-13 dargestellte Aufgabe ohne Ansatz einer statisch Unbestimmten allein mit Hilfe der Tafeln 5 und 6 lsen zu knnen, wird ersatzweise ein gleichwertiges Problem behandelt, bei dem die statisch bestimmte AuflagerkraftA= pb 2 2a

als Last angesehen und die Platte als am Rand gelagert angenommen wird. Die Auflagerkraft B ist natrlich gleich Null. Die Schnittgren ergeben sich aus der Superposition der beiden Lastflle Gleichlast p und Ringlast P = - A an der Kreis-

118

3 Die Plattentheorie

platte mit dem Radius b. Fr das Radialmoment mr wird das Vorgehen in Bild 3.514 gezeigt.p p a b A a0 ,2 0 0

= 0 ,7 , m = 0 ,2

b

m0 ,1 0 20 ,1 5 8

rp

m m

rA

F a k to r p b

q u a d r. P a ra b e l0 ,0 4 2 0 ,0 5 6

r

Bild 3.5-14:

Radialmomente einer Kreisplatte mit Auskragung unter Gleichlast

Nach Tafel 9 ergeben sich fr a/b = 0,7 und = 0,2 im Lastfall p die Momentem r (0) = 0,200pb 2 und m r (0,7) = (1 0,7 2 )m r (0) = 0,102pb 2 .

Die Auflagerkraft A betrgt A= pb = 0,7143pb . 2 0,7

Sie erzeugt im Bereich innerhalb der Lagerlinie das Radialmomentm r (0) = 0,221 Ab = 0,158pb 2 .

3.5.6.7 Beispiel 6: Kreisplatte mit unterschiedlicher Dicke

Fr die in Bild 3.5-15 dargestellte Platte sind die Biegemomente infolge Eigengewicht gesucht (Ordinaten an den Stellen 0 bis 4). An der Unstetigkeitsstelle braucht entsprechend Bild 3.5-16 nur eine statisch Unbestimmte angesetzt zu werden, da die Mittelflchen der beiden Plattenbereiche in gleicher Hhe liegen. Die Flchenlasten betragen

3.5 Kreis- und Kreisringplatten unter rotationssymmetrischer Belastung

119

g1 = h1 = 25 0,28 = 7,0 kN / m 2 ,

g 2 = 25 0,20 = 5,0 kN / m 2 .

0 1

2 3

4

a = 4,00 m, b = 2,40 m h1 = 0,28 m, h 2 = 0,20 m = 0,2, = 25 kN / m 3

2

h

h

1

bBild 3.5-15:

a

Kreisplatte mit unterschiedlicher Dicke

g1

X1

g2

P P X1

P P X1

X1

g2

Bild 3.5-16:

Grundsystem mit Belastung

Die Kraft P ergibt sich nach Tafel 5 zuP= 1 1 g1b = 7,0 2,40 = 8,4 kN / m . 2 2

Zur Berechnung der Formnderungswerte werden die beiden VerhltnisseK1 h1 0,28 b 2,40 = = h 0,20 = 2,744 und = a = 4,00 = 0,60 K2 2 3 3

bentigt. Mit Hilfe der Tafeln 6, 12 und 13 erhlt manK111 = K 2,40 b + 1,45313 a 1 = + 1,45313 4,00 2,744 = 17,95 , K2 1,2 1+

K110 = =

g1b 3 K K 0,50917 Pa 2 1 0,11975g 2 a 3 1 8(1 + ) K2 K2

7,00 2,40 3 (0,50917 8,40 + 0,11975 5,00 4,00) 4,00 2 2,744 8 1,2 = 282,85 .

120

3 Die Plattentheorie

Damit wirdX1 = 282,85 = +15,76 kNm / m . 17,95

Es folgt die Ermittlung der Momente anhand der Tafeln 5, 6, 12 und 13:m r 0 = 0,200 g1b 2 + X1 = 0,200 7,0 2,40 2 + 15,76 = 23,82 kNm / m m r1 = 0,150 7,0 2,40 2 + 15,76 = 21,81 kNm / m m r 2 = X1 = 15,76 kNm / m m r 3 = 0,022Pa + 0,025 g 2 a 2 + 0,316X1 (Pa = 8,4 4,00 = 33,6 kN ; g 2 a 2 = 5,0 4,00 2 = 80,0 kN) m r 3 = 0,022 33,6 + 0,025 80,0 + 0,316 15,76 = 7,72 kNm / m m r4 = 0 m 0 = m r 0 = 23,82 kNm / m m 1 = 0,175 7,0 2,40 2 + 15,76 = 22,82 kNm / m m 2l = 0,100 7,0 2,40 2 + 15,76 = 19,79 kNm / m m 2r = 0,815 Pa + 0,192 g 2 a 2 2,125X1 = 0,815 33,6 + 0,192 80,0 2,125 15,76 = 9,25 kNm / m m 3 = 0,585 33,6 + 0,145 80,0 1,441 15,76 = 8,55 kNm / m m 4 = 0,447 33,6 + 0,110 80,0 1,125 15,76 = 6,09 kNm / m

Der Verlauf der Momente ist in Bild 3.5-17 dargestellt.0 12 1 ,8 1 2 3 ,8 2

21 5 ,7 6

3 47 ,7 2

0 12 3 ,8 2

2

3 4

2 2 ,8 2

9 ,2 5

rBild 3.5-17:

r

[k N m /m ]

Momentenverlauf in einer Kreisplatte mit unterschiedlicher Dicke

8 ,5 5

r

6 ,0 9

m

+

1 9 ,7 9

+

+ m

j

3.5 Kreis- und Kreisringplatten unter rotationssymmetrischer Belastung

121

3.5.6.8 Beispiel 7: Kreis- und Kreisringplatte mit unterschiedlicher Dicke

p1

=

b = 1,3 a = 0,2

h

bBild 3.5-18:

aKreisplatte mit dnnerer Auskragung

Die Mittelflchen der Kreisplatte und der Auskragung liegen nicht auf gleicher Hhe (siehe Bild 3.5-18). Deshalb tritt eine Scheibenwirkung auf, die an der Unstetigkeitsstelle auer dem Radialmoment eine zweite statisch Unbestimmte in Form einer Radialkraft erfordert. Das Grundsystem und der Ansatz der statisch Unbestimmten ist aus Bild 3.5-19 zu ersehen. Hier sollen nur die Formnderungswerte berechnet werden. Bei den 2i ist zu beachten, da sich der Angriffspunkt von X2 bei einer Verformung der inneren Platte um e w (a ) verschiebt. Es werden die Tafeln 1, 6, 10 und 11 benutzt.11 = a a + 4,26932 K1 (1 + ) K2 a e = 21 K1 (1 + )

12 = 22 = 10 =

a a 1 a3 b2 e + (1 ) + (1 ) + 2 (1 + ) Eh1 K1 (1 + ) Eh 2 b 2 a 2 a pa 3 pa 3 + 0,22250 8K1 (1 + ) K2 pa 3 e 8K1 (1 + )

20 =

h

2

122

3 Die Plattentheorie

X1

p X2

X2

X1

e =

h1

2

- h2

Bild 3.5-19:

Grundsystem mit Ansatz der statisch Unbestimmten

3.5.7 Der Satz von BETTI an der Kreisplatte

p b a X1

b = a

b

X2

Bild 3.5-20:

Eingespannte Kreisplatte mit Zwischenlagerung

Die in Bild 3.5-20 dargestellte Platte wird statisch bestimmt gemacht, indem das Einspannmoment und die Kraft am Zwischenlager als Unbestimmte X1 bzw. X2 angesetzt werden. Wenn diese nacheinander aufgebracht werden, sind die beiden Fremdarbeiten W12 und W21 wie bei der Kreisringscheibe in Abschnitt 2.5.8 gleich. Das bedeutet1 2a 12 = 1 2b 21

und 21 a = . 12 b

(3.5.25)

Diese Gleichung entspricht (2.5.31) und wird durch einen Vergleich der beiden Ausdrcke fr 12 und 21 aus Tafel 6 besttigt: 21 = w (b) = a2 (1 2 ) , 2K (1 + )

3.6 Einfluflchen fr Platten

123

12 = w (a ) =

ab (1 2 ) . 2K (1 + )

Der Satz von MAXWELL ist demnach auf das gewhlte Beispiel nicht anwendbar, weil die statisch Unbestimmten auf verschiedenen Radien wirken. Das System der Elastizittsgleichungen ist unsymmetrisch.

3.6 Einfluflchen fr Platten3.6.1 Allgemeines

Die Ordinaten (x,y) einer Einfluflche geben den Wert der betreffenden Formnderung oder Schnittgre am Ort n infolge der Last P = 1 an der Stelle m an. Der feste Ort n mit den Koordinaten xn,yn wird als Aufpunkt bezeichnet. Der Ort m ist variabel und hat die Koordinaten x,y (siehe Bild 3.6-1). m = Laststellung y = variabler Ort, am dem die P la tte n r a n d Einzellast P = 1 steht

x

n

x y

n mn

y x

n = Aufpunkt = feste Stelle, fr die in Abhngigkeit von der Laststellung eine bestimmte Formnderungs- oder Schnittgre gesucht wird

Bild 3.6-1:

Beliebige Platte mit Aufpunkt n und Laststellung m

Mit Hilfe der Einfluflchen ist es mglich, die ungnstigste Stellung vernderlicher Verkehrslasten zu finden und durch Auswertung die Extremwerte der betreffenden Schnittgren zu berechnen. Einfluflchen werden hauptschlich zur Berechnung von Fahrbahnplatten unter nicht gleichmig verteilten Verkehrslasten benutzt. Diese Lasten sind fr Brcken in DIN 1072 [4.3], fr den Hochbau in DIN 1055 Blatt 3 [4.2] festgelegt. Brcken im Zuge von Bundesfernstraen sind auerdem fr militrische Verkehrslasten (Rder- und Kettenfahrzeuge) nach STANAG 2021 [4.6] zu bemessen. In Bild 3.6-2 werden als Beispiele die Lastbilder eines Schwerlastwagens SLW 60 mit der Gesamtlast 600 kN und eines Gabelstaplers GSt 13 mit der Regellast 120 kN gezeigt.

124

3 Die Plattentheorie

0 ,2 0

0 ,2 0

0 ,2 0

1 0 0 k N 0 ,2 0 6 0 k N

0 ,6 0

2 ,0 0

3 ,0 0

1 ,2 0

0 ,6 0

1 ,5 0 S L WBild 3.6-2:

1 ,5 0 6 ,0 0

1 ,5 0

1 ,5 0 [m ]

1 ,8 0 3 ,6 0 G S t 1 3 n a c h D IN 1 0 5 5 B la tt 3

6 0 n a c h D IN 1 0 7 2

Lastbilder eines Schwerlastwagens und eines Gabelstaplers

RSCH [3.8] hat die Einfluflchen von Rechteckplatten fr die Verkehrslasten nach DIN 1072 ausgewertet und in Heft 106 des Deutschen Ausschusses fr Stahlbeton verffentlicht. Es werden Einfluflchen fr Biegemomente, Drillmomente und Querkrfte bentigt, und zwar fr verschiedene Aufpunkte. Da alle Schnittgren der Platte nach (3.2.13) bis (3.2.17) durch Ableitungen der Funktion w dargestellt werden knnen, geht man von der Einfluflche fr die Durchbiegung w aus und differenziert diese entsprechend. Bei der Ermittlung der Einfluflchen fr Momente setzt man die Querdehnzahl gleich Null. Soll bercksichtigt werden, so kann dies bei vierseitig gelagerten Rechteckplatten nach (3.2.31) und (3.2.32) , bei eingespannten Kreisplatten nach (3.4.6) und (3.4.7) erfolgen. Die Einfluflchen fr Rechteckplatten mit ungesttzten Rndern und fr gelenkig gelagerte Kreisplatten mssen das zu bercksichtigende als Parameter enthalten. Es liegen Einfluflchen fr Rechteckplatten mit verschiedenen Seitenverhltnissen und Lagerungsbedingungen sowie fr gelenkig gelagerte und eingespannte Kreisplatten vor. Hier seien zwei Tafelwerke genannt: die Zahlentafeln von BITTNER [2.5], ermittelt mit trigonometrischen Reihen, und die Hhenlinienplne von PUCHER [3.4], ermittelt nach der sogenannten Singularittenmethode (siehe den folgenden Abschnitt).

1 ,5 0

3.6 Einfluflchen fr Platten

125

3.6.2 Die Singularittenmethode 3.6.2.1 Allgemeines

Wie bereits erwhnt, werden die Einfluflchen der Schnittgren durch mehrmalige Ableitung der Einflufunktion fr die Durchbiegung w ermittelt. Eine Schwierigkeit entsteht dadurch, da bestimmte Ableitungen von w im Aufpunkt unendlich werden. Dieser wird deshalb als singulre Stelle bezeichnet, im Gegensatz zum regulren Bereich, wo smtliche Ableitungen endlich sind. Wegen der Singularitten konvergieren Reihenentwicklungen schlecht und werden im folgenden nicht behandelt. Vorteilhafter ist die von PUCHER entwickelte Singularittenmethode, bei der die Einflufunktion in einen singulren und einen regulren Anteil aufgespalten wird. Gesucht ist zunchst die Einfluflche wn = wnm, d.h. die Duchbiegung w im festen Aufpunkt n, wenn P = 1 an der variablen Stelle m steht. Nach dem Satz von MAXWELL drfen die Indizes von wnm vertauscht werden. wmn bezeichnet die Durchbiegung w an der variablen Stelle m, wenn P = 1 am festen Ort n steht, beschreibt also eine Biegeflche. Statt der Einfluflche fr w kann demnach die Biegeflche infolge der Last P = 1 im Aufpunkt ermittelt werden. Im folgenden wird die Einflufunktion fr wn mit (x,y) = 0(x,y) + 1(x,y) (3.6.1) bezeichnet. Darin ist 0(x,y) der singulre und 1(x,y) der regulre Anteil. Der singulre Anteil enthlt die Singularitt im Aufpunkt und wird unabhngig von der Form des Plattenrandes und von den Sttzbedingungen der Platte gewhlt. Deshalb erfllt 0(x,y) lediglich die Plattengleichung 0 = 0, nicht jedoch die Randbedingungen. Der regulre Anteil mu der Differentialgleichung 1 = 0 gengen und zusammen mit 0(x,y) die Randbedingungen befriedigen.3.6.2.2 Die Singularitt des Feldmoments mx

Fr Feldmomente wird die Singularitt aus der Biegeflche einer durch eine mittige Einzellast P beanspruchten, gelenkig gelagerten Kreisplatte hergeleitet. Die entsprechende Gleichung ist Tafel 6 zu entnehmen:w (r ) = Pa 2 3 + 2 2 1 + 1 + 2 ln . 16K

(

)

(3.6.2)

126

3 Die Plattentheorie

Die beiden ersten Ableitungen nach r lauten mit = r/a dw Pa 1 = + ln , dr 4K 1 + d2w dr2

(3.6.3)

=

P + ln . 4K 1 +

(3.6.4)

(3.6.2) und (3.6.3) sind berall regulr, weil das Produkt ln im Nullpunkt verschwindet. Die zweite Ableitung wird jedoch im Aufpunkt singulr. Urschlich hierfr ist der Anteilw0 = Pa 2 2 ln 8K

(3.6.5)

in (3.6.2). Dementsprechend lautet der die Singularitt enthaltende Anteil der Einflufunktion fr w0 =

r 1 2 r 1 r ln = r 2 ln . r 8K r0 16K 0

2

(3.6.6)

Dabei wurde P = 1 gesetzt und statt des Plattenradius a die beliebige Bezugsgre r0 eingefhrt, die wegen ln (r/r0) = ln r ln r0 lediglich den regulren Anteil in (3.6.6) beeinflut. Da die Querdehnung, wie erlutert, nicht bercksichtigt wird, gilt entsprechend (3.2.13) fr den singulren Anteil" m x 0 " = K 2 0 x 2 n

.

(3.6.7)

y n (x n,y n) x -xn

m (x ,y ) r jn

r 2 = (x x n )2 + (y y n )2 cos =

x

x xn r

Bild 3.6-3:

Beziehungen zwischen kartesischen und Polarkoordinaten

y -y

3.6 Einfluflchen fr Platten

127

Um die Differentiationen nach xn durchfhren zu knnen, mssen zuvor die Polarkoordinaten in (3.6.6) auf das x-y-System umgerechnet werden. Mit den Beziehungen nach Bild 3.6-3 erhlt man zunchst(r 2 ) = 2(x x n ) und x n x n

r2 ln = 2 (x x n ) r 2 r2 0

und weiter2 0 1 2(x x n ) ln r + 2(x x n ) = r x n 16K 0

(3.6.8)

und 2 0 x 2 n = =

1 r ln 8K r0

2 2(x x n ) + (x x n ) + 1 r2

(3.6.9)

1 r 2 ln + 2 cos 2 + 1 . 8K r0

Damit ergibt sich schlielich nach (3.6.7)" mx0" =

1 r 2 ln + 2 cos 2 + 1 . 8 r0

(3.6.10)

Man erkennt, da die Einfluflche nicht rotationssymmetrisch ist. Die Funktion der Hhenlinien ergibt sich, indem mx0 = = const. gesetzt wird:=

1 r 2 ln + 2 cos 2 + 1 . 8 r0

Daraus folgt durch Umformung die Gleichung der Hhenlinien in Polarkoordinaten r ( , ) = r0 e8+1 2

e cos

2

.

(3.6.11)

Aus (3.6.11) erkennt man, da alle Hhenlinien unabhngig von affin zueinander sind. Sie weisen die Form einer eingeschnrten Ellipse auf mit dem Achsenverhltnis r ( , / 2) e 0 = 1 = e 2,72 . r ( ,0) e

128

3 Die Plattentheorie

In Bild 3.6-4 sind einige Hhenlinien von mx0 dargestellt. Die lngere Achse liegt in der y-Richtung, in die auch der Vektor des zugehrigen Moments mx0 weist. Die Linien gelten fr verschiedene Werte . Im Aufpunkt ist = .y

m

x 0

j x k + 2 k + 1 k

Bild 3.6-4:

Hhenlinien der Einfluflche mx0 und zugehriger Momentenvektor

Die Einfluflche bildet rumlich einen unendlich langen Schlauch, der sich nach oben verjngt und der einen endlichen Inhalt besitzt. Diesen mu man fr die Auswertung der Einfluflche kennen (siehe Abschnitt 3.6.4.2). Die von der Hhenlinie umschlossene Flche ergibt sich aus A ( ) = 1 2 1 2 (8+1) 2 2 cos2 d . r d = r0 e e 2 2 0 (3.6.12)

Das Integral ist nicht geschlossen lsbar. Es hat den Zahlenwert 2,93, wie sich z.B. mit der SIMPSONschen Regel berechnen lt. Fr das Volumen der Einfluflche oberhalb der Hhenlinie gilt damitV( ) = A( )d =

2,93 2 8 r0 e d = 0,0214 r0 2 e 8 . 2e 8 1 = . 8

(3.6.13)

Fr die letzte von PUCHER in seinem Tafelwerk noch dargestellte Hhenlinie giltmax =

Fr den Wert r0 hat er eine Lnge in der Grenordnung der Sttzweite gewhlt. Damit ergibt sich fr das Volumen oberhalb von max V(max ) 0,0214 l 2 e 8 0,7 10 5 l 2 .

(3.6.14)

3.6 Einfluflchen fr Platten

129

Dieses Volumen ist vernachlssigbar klein, wie an einem Beispiel in Abschnitt 3.6.4.3 gezeigt werden soll. Es gengt also, in der Praxis nur die von PUCHER [3.4] dargestellten Hhenlinien zu benutzen und den Inhalt des oberhalb von max liegenden Teils der Einfluflche unbercksichtigt zu lassen.3.6.2.3 Der regulre Anteil des Feldmoments mx

Der regulre Lsungsanteil 1(x,y) der Einfluflche entspricht einer Randbelastung der Platte, die bewirkt, da die Gesamtlsung die vorgegebenen Randbedingungen erfllt. Er mu der homogenen Plattengleichung 1 = 0 gengen und kann beispielsweise mit einem Reihenansatz bestimmt werden. PUCHER hat 1(x,y) numerisch mit dem Differenzenverfahren berechnet (siehe Abschnitt 3.8.3.1). Darauf wird hier nicht weiter eingegangen. Die Ordinaten des regulren Anteils der Einfluflche fr ein Feldmoment sind im Bereich des Aufpunkts klein im Vergleich zu denen des singulren Anteils. Deshalb weisen die Hhenlinien der endgltigen Einfluflche, unabhngig von der Form des Plattenrandes und der Lagerungsbedingungen der Platte, auch die in Bild 3.6-4 dargestellte, charakteristische Form auf, wie z.B. in Bild 3.6-5 zu erkennen ist.3.6.3 Ausgewhlte Einfluflchen

In Abschnitt 3.6.2 wurde lediglich die Einfluflche fr ein Feldmoment behandelt. Auer dieser werden im folgenden Beispiele fr die Einfluflche eines Einspannmoments, eines Drillmoments und einer Querkraft ohne weitere Angaben zu ihrer Ermittlung gezeigt.3.6.3.1 Einfluflche fr ein Feldmoment

In Bild 3.6-5 ist die Einfluflche fr mx isometrisch und als Hhenlinienplan dargestellt. Dort sind die Ordinaten 8-fach angegeben. Die hchste noch eingezeichnete Hhenlinie ist mit + 8 bezeichnet. Die maximale Einfluordinate betrgt demnach max = + 8/8 = 1/. Der Teil der Einfluflche oberhalb der Ebene max wird vernachlssigt. Die Einfluordinaten sind dimensionslos, so da die Auswertung mit einer Einzellast P [kN] fr mx die Dimension [kNm/m] liefert.

130

3 Die Plattentheorie

In den Hhenlinienplnen von PUCHER werden die Ordinaten der Momente grundstzlich 8-fach angegeben. Sie sind unabhngig von der Sttzweite. Von Einflu dagegen sind Berandungsform, Seitenverhltnis und die Lagerungsbedingungen.

x y

+ 8 + 7 + 6 + 5

+ 3 + 2 + 4

+ 1

+ 0 ,5

x

yBild 3.6-5: Einfluflche (8-fach) fr das Biegemoment mx im Mittelpunkt einer allseitig gelenkig gelagerten, quadratische Platte (nach GIRKMANN [1.1])

3.6.3.2 Einfluflche fr ein Einspannmoment

Wie Bild 3.6-6 zeigt, ist die Ordinate der Einfluflche fr ein Einspannmoment im Aufpunkt, anders als beim Feldmoment, endlich. Sie betrgt = - 8/8 = - 1/.

3.6 Einfluflchen fr Platten

131

Wie bereits zur Einfluflche fr ein Feldmoment bemerkt, sind die Ordinaten dimensionslos und von der Sttzweite unabhngig.

x

-1 -2 -4 -5 -3

-8

0

-7

-6

x

yBild 3.6-6: Einfluflche (8-fach) fr das Einspannmoment mx in Randmitte einer allseitig eingespannten, quadratischen Platte (nach GIRKMANN [1.1])

3.6.3.3 Einfluflche fr ein Drillmoment

Die in Bild 3.6-7 dargestellte Einfluflche fr das Dirllmoment in Feldmitte ist antimetrisch bezglich beider Plattenachsen, da eine achsensymmetrische Belastung der Platte dort keine Drillmomente hervorruft. Im Aufpunkt ist eine Unstetigkeitsstelle, an der die Einfluordinate max = 1/8 das Vorzeichen wechselt.

132

3 Die Plattentheorie

-0 ,2 -0 ,4 -0 ,6 -0 ,8 + 1

+ 0 ,2 + 0 ,4 + 0 ,6 + 0 ,8

x-0 ,8 -0 ,6 -0 ,4 -0 ,2

+ 0 ,8 + 0 ,6 + 0 ,4 + 0 ,2

yBild 3.6-7: Einfluflche (8-fach) fr das Drillmoment im Mittelpunkt einer allseitig eingespannten, quadratische Platte (nach GIRKMANN [1.1])

3.6.3.4 Einfluflche fr eine Querkraft

+ 0 ,2

+ 2 + 3

x+ 1

yBild 3.6-8: Einfluflche (-fach) fr die Querkraft qx in Randmitte einer allseitig eingespannten, quadratischen Platte (nach PUCHER [3.4])

l

3.6 Einfluflchen fr Platten

133

Die Einfluordinaten fr Querkrfte sind lngenbezogen. Im Beispiel nach Bild 3.6-8 sind die an den Hhenlinien angegebenen Zahlen durch die Spannweite zu dividieren. Die Querkraft in Randmitte infolge einer Einzellast verhlt sich demnach reziprok zur Spannweite. Unter Gleichlast, z.B. infolge Eigengewicht, ist sie proportional zu . Die Aufpunktordinate ist unendlich, das Volumen unter der Einfluflche hat jedoch wie beim Feldmoment einen endlichen Wert.3.6.3.5 Einfluflchen fr die Schnittgren von Kreisplatten

Das Tafelwerk von PUCHER [3.4] enthlt auch Einfluflchen fr die Schnittgren von Kreisplatten. Sie verlaufen, abgesehen von der Berandungsform, hnlich wie bei quadratischen Platten. Insbesondere ist auch die Einfluflche fr das Biegemoment in Plattenmitte nicht rotationssymmetrisch.3.6.4 Auswertung von Einfluflchen 3.6.4.1 Lastverteilung in Platten

In Abschnitt 3.5.6.5 wurde darauf hingewiesen, da die Feldmomente von Platten unter Einzellasten stark von der Gre der Lastverteilungsflche abhngen. Diese darf nach DIN 1045 [4.1], Abschnitt 20.1.4, ermittelt werden (siehe Bild 3.6-9), wo zwischen Lastaufstandsbreite b0 und Lasteintragungsbreite t unterschieden wird.b0

4 5 tBild 3.6-9: Ermittlung der Lasteintragungsbreite nach DIN 1045

Bei einer Lastausbreitung unter 45 bis zur Plattenmittelflche und unter Bercksichtigung einer lastverteilenden Deckschicht der Dicke s ergeben sich die fr die Berechnung magebenden Lasteintragungsbreiten zu

h

s

134

3 Die Plattentheorie

t x = b 0 x + 2s + h und t y = b 0 y + 2s + h .

(3.6.15)

Nach DIN 1075 [4.4], Abschnitt 9.1.2, drfen bei Massivbrcken anstelle der Aufstandsflchen der Radlasten nach DIN 1072 (siehe Abschnitt 3.6.1) vereinfachend flchengleiche Ersatzflchen in Quadrat- oder Kreisform verwendet werden.3.6.4.2 Auswertungsformeln

Die Einfluordinate (x,y) stellt die Zustandsgre Z(xn,yn) infolge einer Einzellast P = 1 dar, die am Ort (x,y) wirkt. Den Wert von Z infolge einer vorgegebenen Belastung erhlt man deshalb, indem man die einzelnen Lasten mit den zugehrigen Einfluordinaten multipliziert und die Produkte aufsummiert. Bei Flchenlasten erfolgt die Auswertung der Einfluflche dementsprechend durch Integration des Produkts aus Belastung p(x,y) und Einfluordinate (x,y) ber die Lastflche A. Somit gilt bei Vorhandensein von Einzel- und Flchenlasten die AuswertungsformelZ( x n , y n ) = Pi ( x i , y i ) + p( x, y) ( x, y)dA .A

(3.6.16)

Falls nur eine konstante Flchenlast p wirkt, ergibt sich hieraus z.B. fr das Biegemoment mxm x ( x n , y n ) = p ( x , y)dA .A

Das Integral gibt das Volumen unter der Einfluflche im Lastbereich A an. Mit m als mittlerer Einfluordinate im Lastbereich und mit der Resultierenden R=pA gilt dannm x ( x n , y n ) = p A m = R m .

(3.6.17)

Die Integration wird zweckmig numerisch durchgefhrt, wobei sich die doppelte Anwendung der SIMPSONschen Regel empfiehlt. Dies soll anhand des Bildes 3.6-10 gezeigt werden. Es sind die rechteckige Lastflche A = 2 x 2 y und der Schnitt durch die Einfluflche in Achse 1 dargestellt. Nach SIMPSON giltF1 = x (1a + 41b + 1c ) = 2x 1m 3

mit 1m als mittlerer Einfluordinate in Achse 1. Fr diese ergibt sich danach1m = 1 (1a + 41b + 1c ) . 6

(3.6.18)

3.6 Einfluflchen fr Platten

135

F 1a

1

1b

1c

1 2 A 3

a

b

cy

xBild 3.6-10:

xBeispiel fr eine numerische Integration nach SIMPSON

Dementsprechend lautet die Gleichung der mittleren Einfluordinate im Bereich Am = 1 (1m + 42m + 3m ) . 6

y

(3.6.19)

Fr die Integration ber eine grere, gerade Anzahl n von Intervallen wird die Formel mehrfach angewandt. Sie nimmt dann die Formm = 1 3n

1

n +1

r

rm

mit r = 1,4,2,4 L 2,4,1

(3.6.20)

an. Die praktische Durchfhrung wird im folgenden an einem Beispiel gezeigt.3.6.4.3 Beispiel 1: Maximale Feldmomente infolge einer Einzellast

Es sollen die maximalen Feldmomente einer allseitig gelenkig gelagerten, quadratischen Platte infolge einer zentrischen Radlast P ermittelt werden. Die entsprechende Einfluflche ist in Bild 3.6-11 als Hhenlinienplan gegeben. Die Lasteintragungsbreiten tx und ty betragen ein Fnftel der Sttzweite. Aus Symmetriegrnden kann die mittlere Einfluordinate an einem Viertel der Lastflche ermittelt werden. Nach Augenma liest man die in der folgenden Tabelle zusammengestellten Ordinaten ab. Werte oberhalb der Hhenlinie 8 werden nicht bercksichtigt. a 1 2 3 2,6 2,55 2,5 b 3,7 3,9 3,8 c 4,3 5,8 8

136

3 Die Plattentheorie

A

1 2 3

a

b

c 8

3 2 1 0 ,6 0 ,2

4 5

6

7

B

x

yBild 3.6-11: Einfluflche fr das Feldmoment mx nach PUCHER [3.4] (8-fach)

Man erhlt zunchst1m = 2 m 3m 1 (2,6 + 4 3,7 + 4,3) = 3,62 6 1 = (2,55 + 4 3,9 + 5,8) = 3,99 6 1 = (2,5 + 4 3,8 + 8) = 4,28 6

und schlielichm = 1 (3,62 + 4 3,99 + 4,28) = 3,98 . 6

Damit ergibt sich nach (3.6.17) ohne Bercksichtigung der Querdehnzahl fr beide Feldmomentemax m x = max m y = 3,98 P = 0,1584 P . 8

BITTNER [2.5] gibt hierfr den Beiwert 0,1634 an, der um ca. 3 % von dem hier ermittelten Ergebnis abweicht. Mit Hilfe der beigefgten CD-ROM errechnet man den Wert 0,1636. Die Bercksichtigung des Teils der Einfluflche oberhalb der Hhenlinie 8 htte nach Gleichung (3.6.14) ein Differenzmoment von

3.6 Einfluflchen fr Platten

137

m x = m y = p V(max )

P 0,7 10 5 l 2 = 0,000175 P (0,2l) 2

gebracht, was etwa 0,1 % von mx ausmacht. Die Bedeutung von mx wchst mit der Lastkonzentration. Fr tx = ty = 0,1 l und 0,05 l betrgt der relative Fehler mx/mx ca. 0,3 bzw. 1,0 %, ist also in der Regel auch bei kleinen Lastflchen vernachlssigbar. Wre eine zweite Radlast gleicher Gre an der Stelle A im Abstand 0,3 l zu bercksichtigen, so knnte deren Einfluordinate A im Lastschwerpunkt direkt abgelesen werden, denn dort kann die Einfluflche fr die Auswertung mit ausreichender Genauigkeit durch eine Tangentialebene ersetzt werden. Wegen der Doppelsymmetrie gilt bei dieser Laststellung fr my die Einfluordinate B. Mit den Werten 1,78 bzw. 0,64 fr diese beiden Ordinaten wird1,78 max m x = 0,1584 + P = 0,2292 P , 8 0,64 zug m y = 0,1584 + P = 0,1839 P . 8

Da im Massivbrckenbau mit der Querdehnzahl = 0,2 zu rechnen ist, sollen auch die entsprechenden Plattenmomente angegeben werden, die man unter Verwendung von (3.2.31) erhlt:max m x = (0,2292 + 0,2 0,1839) P = 0,2660 P , zug m y = (0,1839 + 0,2 0,2292) P = 0,2297 P .

Die Sttzweite l der Platte geht in die Berechnung nur insoweit ein, wie sie bentigt wird, um die Lasteintragungsflche und den Radabstand im richtigen Mastab zu zeichnen. Anders ist das bei Flchenlasten, deren Wirkungsflche nicht begrenzt ist. Wre z.B. bei der oben betrachteten Platte der Bereich der Einzellast P mit einer konstanten flchenbezogenen Verkehrslast p umgeben, so wrde man die Platte fr die Vollast p und die berlast P = P p tx ty berechnen. Ohne Bercksichtigung der Querdehnung erhielte man fr die resultierenden Mittenmomente nach Tafel 2 max m x = max m y = pl 2 + 0,1584 P . 27,2

Das Ergebnis ist von der Sttzweite abhngig, weil das auch fr die Gesamtlast gilt.

138

3 Die Plattentheorie

3.6.4.4 Beispiel 2: Minimales Sttzmoment infolge einer wandernden Teilflchenlast

Es soll das minimale Sttzmoment mxs in der Seitenmitte einer allseitig eingespannten, quadratischen Platte ermittelt werden (siehe Bild 3.6-12). Die entsprechende 8-fache Einfluflche ist in Bild 3.6-6 dargestellt.

txty

L a s tfl c h e

l

A u fp u n k t y

x

lBild 3.6-12: Quadratische, eingespannte Platte mit wandernder Teilflchenlast

Die Sttzweite der Platte wird mit bezeichnet, die Last mit p. Die Lastflche ist rechteckig und hat die Abmessungen tx = 0,2 und ty = 0,4 . Man erkennt sofort, da die Resultierende R = p t x t y = 0,08pl 2 auf der x-Achse wirken mu, damit mxs minimal wird. Deshalb und aus Symmetriegrnden werden nur die Einfluordinaten im Bereich 0 y/ 0,2 bentigt. Die x-Koordinate des Schwerpunkts der Lastflche ist unbekannt.x l (;0) = (;0,1) (;0,2) m ( )

-0,4 -7,5 -3,5 -1,2 -3,78

-0,3 -6,7 -5,1 -2,7 -4,97

-0,2 -5,7 -4,8 -3,1 -4,67

-0,1 -4,4 -3,9 -2,7 -3,78

0 -3,2 -2,9 -2,2 -2,83

+0,1 -2,2 -2,0 -1,5 -1,95

Zunchst werden nach Gleichung (3.6.18) die mittleren Einfluordinaten des Bereichs ermittelt, in dem die Lastflche wandert. Die aus Bild 3.6-6 abgelesenen

3.7 Orthogonale Mehrfeldplatten

139

Ordinaten und die zugehrigen Mittelwerte sind in der vorstehenden Tabelle zusammengestellt. In Bild 3.6-13 sind die berechneten Mittelwerte ber der x-Achse aufgetragen.a = - 4 , 4 a b 4 ,9 7 3 ,7 8 3 ,7 8 4 ,6 7 2 ,8 3 1 ,9 5

m

p c

b = - 4 , 9 c = - 4 , 4

-0 ,4Bild 3.6-13:

-0 ,3 0 ,1

-0 ,2 0 ,1

-0 ,1

0 ,0

0 ,1

x /l

Verlauf der mittleren Einfluordinaten im Bereich 0,2 y/ +0,2

Das minimale Einspannmoment ergibt sich, wenn die Ordinaten an den beiden Rndern der Lastflche gleich sind. Aus Bild 3.6-13 liest man im Abstand 0,2 die Ordinaten a = c = -4,4 ab. In der Mitte dazwischen wird b = -4,9. Damit lautet die minimale mittlere Einfluordinate im Lastbereichm = 1 (4,4 4 4,9 4,4) = 4,73 . 6 1 4,73 0,08pl 2 = 0,0151pl 2 . 8

Schlielich erhlt man nach (3.6.17) das minimale Einspannmomentmin m xs =

3.7 Orthogonale Mehrfeldplatten3.7.1 Allgemeines

In der Baupraxis kommen selten Einfeldplatten vor. Meist verwendet man Mehrfeldplatten, die an den inneren Sttzungen durchlaufen, so da sich die einzelnen

140

3 Die Plattentheorie

Felder gegenseitig beeinflussen. Dabei treten hufig Unregelmigkeiten auf (siehe Bild 3.7-1) wie z.B. schiefe Rnder (a), unterbrochene Sttzungen (b), dreiseitige Knoten (c) und Aussparungen (d). Hier sollen nur feldweise gleichmig belastete, orthogonale Mehrfeldplatten mit regelmigem Raster ohne die vorgenannten Anomalien behandelt werden. Fr diese ist Spezialliteratur heranzuziehen, z.B. STIGLAT/WIPPEL [2.12]. Im folgenden werden an den Zwischensttzungen Schneidenlagerungen ohne Verdrehungswiderstand angenommen. Zur Berechnung der Mehrfeldplatten werden die mit Hilfe der Plattentheorie gewonnenen Ergebnisse fr die einzelnen Rechteckplatten verwendet.a c d bMehrfeldplatten mit und ohne Unregelmigkeiten Bild 3.7-1:

Hier werden nur das Belastungsumordnungsverfahren und das Verfahren von PIEPER/MARTENS [2.11] zur Ermittlung der Plattenmomente behandelt. Beide stellen Nherungsverfahren dar und setzen = 0 voraus. Der Einflu der Querdehnzahl kann bei Bedarf nach (3.2.31) und (3.2.32) erfat werden.3.7.2 Das Belastungsumordnungsverfahren

Das Verfahren beruht auf Symmetriebetrachtungen fr orthogonale Plattensysteme mit konstanter Plattendicke und mit nherungsweise gleichen Sttzweiten je Richtung. Es erlaubt, sich auf die Betrachtung der Einzelfelder zu beschrnken, und ist auch bei unterschiedlichen Sttzweiten je Richtung noch ausreichend genau und nach DIN 1045, Abschnitt 20.1.5 (4), anwendbar, wenn die Bedingungen min x/max x 0,75 und min y/max y 0,75 (3.7.1) eingehalten werden. Bei der Anwendung des Verfahrens ist zwischen Feld- und Sttzmomenten zu unterscheiden.

3.7 Orthogonale Mehrfeldplatten

141

3.7.2.1 Ermittlung der Feldmomente

Die maximalen und minimalen Feldmomente treten bei schachbrettartiger Anordnung der Verkehrslast p auf. Die Gesamtbelastung der Platte q = g + p wird in den symmetrischen Anteil q und den antimetrischen Anteil q aufgeteilt. Hierfr gilt q = g + p/2 und q = p/2. (3.7.2)

Fr den symmetrischen Lastfall q darf an den Zwischensttzungen volle Einspannung angenommen werden, da sich die Platte dort nicht oder kaum verdreht. Fr den antimetrischen Lastfall q herrscht an den Zwischensttzungen eine freie Verdrehbarkeit. Dem entspricht eine gelenkige Lagerung der angrenzenden Platten. Als Beispiel soll hier die in Bild 3.7-2 im Grundri dargestellte Platte behandelt werden. Gesucht seien die maximalen Feldmomente in Feld 1 und die minimalen in Feld 2. Als Belastung wird g = 5,0 kN/m2 und p = 2,0 kN/m2 angenommen.

4 ,0 0

g + p1 3

g

g + 2 p 2 =

p

g + 2 p 2 g +

p + +

p 2 2 p + -

p 2 p 2

2

4

5 ,0 0Bild 3.7-2:

5 ,0 0Beispiel zur Ermittlung von Feldmomenten mit Lastaufteilung

Die Bedingungen (3.7.1) sind erfllt. Die Verkehrsbelastung ist schachbrettartig angeordnet und in die Anteile q und q zerlegt. Mit den Festwerten q = 5,0 + 1,0 = 6,0 kN/m2, q = 1,0 kN/m2 erhlt man fr Feld 1 qx y = 6,0 5,00 4,00 = 120 kN, qx y = 1,0 5,00 4,00 = 20 kN, fr Feld 2 qx y = 6,0 5,00 5,00 = 150 kN, qx y = 1,0 5,00 5,00 = 25 kN. Nach den obigen Ausfhrungen bezglich der Lagerung der Einzelplatten erhlt man die maximalen Feldmomente in Feld 1 nach Bild 3.7-3.

5 ,0 0

g

g + p

g +

142

3 Die Plattentheorie

q '1

+1

q ''

( P la tte n ty p 5 b z w . 2 )

Bild 3.7-3:

Ersatzsysteme zur Ermittlung der maximalen Feldmomente in Feld 1

Der Querstrich bei der Bezeichnung des Plattentyps bedeutet, da die Platte vor einer Anwendung der Tafel 2 in Gedanken gedreht werden mu. Das Seitenverhltnis betrgt y/x = 4,00/5,00 = 0,80 bzw. x/y = 1,25. Die Momentenbeiwerte nach Tafel 2 lauten fr Plattentyp 5 : xf = fr Plattentyp 2: Damit erhlt man fr Feld 1120 20 + = 1,75 kNm / m , 83,9 63,1 120 20 + = 3,67 kNm / m . max m y = 40,45 28,4 max m x = 1 1 (78,2 + 89,6) = 83,9 , yf = (40,6 + 40,3) = 40,45 ; 2 2 xf = 63,1 , yf = 28,4 .

Zur Ermittlung der minimalen Feldmomente in Feld 2 wird nach Bild 3.7-4 vorgegangen. Das Seitenverhltnis betrgt 1,0.

q ' 2

q ''2

( P la tte n ty p 4 b z w . 1 )

Bild 3.7-4:

Ersatzsysteme zur Ermittlung der minimalen Feldmomente in Feld 2

Die Momentenbeiwerte nach Tafel 2 lauten fr Plattentyp 4: fr Plattentyp 1: Damit erhlt man fr Feld 2 min m x = min m y = 150 25 = 2,81 kNm / m . 40,2 27,2 xf = yf = 40,2 , xf = yf = 27,2 .

3.7 Orthogonale Mehrfeldplatten

143

3.7.2.2 Ermittlung der Sttzmomente

Beim Belastungsumordnungsverfahren werden die Sttzmomente nherungsweise als Mittel der Festeinspannmomente benachbarter Platten berechnet. Hierfr wird die Belastung wie bei den Feldmomenten in die Anteile q und q zerlegt. Das Vorgehen soll an der in Bild 3.7-5 dargestellten Platte gezeigt werden, fr die das minimale Sttzmoment zwischen den Feldern 1 und 2 gesucht sei. Belastung, Abmessungen und die Art der Lagerung stimmen mit denen des oben behandelten Beispiels berein.

4 ,0 0

g + p1 3

g

g + 2 p 2 =

p

g + 2 p 2 g +

p + + +

p 2 p 2 -

p 2 p 2

2

4

5 ,0 0Bild 3.7-5:

5 ,0 0Beispiel zur Ermittlung eines Sttzmoments mit Lastaufteilung

Verkehrslast befindet sich nur in den Feldern 1 und 2, da Lasten in den Feldern 3 und 4 ein positives Sttzmoment m1,2 erzeugen wrden. Die Lagerung der Einzelplatten ersieht man aus Bild 3.7-6.

q '1

+1

q ''

5 ,0 0

g + p

g

g +

( P la tte n ty p 5 b z w . 3 )

q ' +2

q ''2

( P la tte n ty p 4 b z w . 2 )

Bild 3.7-6:

Ersatzsysteme zur Ermittlung des minimalen Sttzmoments m1,2

144

3 Die Plattentheorie

Fr den Lastfall q herrscht an allen Zwischensttzungen volle Einspannung. An den Sttzungen, wo q das Vorzeichen wechselt, sind die Einzelplatten als gelenkig gelagert anzusehen. Die Seitenverhltnisse betragen wie zuvor 0,80 bzw. 1,25 bei Feld 1 und 1,0 bei Feld 2. Hierfr erhlt man aus Tafel 2 folgende Momentenbeiwerte: Plattentyp 5 : Plattentyp 3 : Plattentyp 4 : Plattentyp 2 :1 ys = (16,7 + 17,2) = 16,95 2 ys = 16,0 ys = 14,3 ys = 11,9

Die Festeinspannmomente der beiden Platten ergeben sich damit zu min m s1 = 120 20 = 8,33 kNm / m , 16,95 16,0150 25 = 12,59 kNm / m , 14,3 11,9

min m s 2 =

und das minimale Sttzmoment lautetmin m1,2 = (min m s1 + min m s 2 ) / 2 = 8,33 + 12,59 = 10,46 kNm / m . 2

3.7.3 Das Verfahren von PIEPER/MARTENS

Dieses Verfahren beruht auf den Gedanken des Belastungsumordnungsverfahrens und erweitert dieses sowohl auf beliebig unterschiedliche Sttzweiten als auch auf Plattensysteme mit dreiseitigen Knoten (siehe Bild 3.7-1). Fr Verkehrslasten p 2g liefert das Verfahren auf der sicheren Seite liegende Ergebnisse, d.h. im Gltigkeitsbereich des Belastungsumordnungsverfahrens entsprechend (3.7.1) deutlich grere Feldmomente als dieses. Der Rechenaufwand ist jedoch betrchtlich geringer.

3.7 Orthogonale Mehrfeldplatten

145

3.7.3.1 Ermittlung der Feldmomente

Als Bemessungsmomente werden mit Ausnahme des unten erwhnten Sonderfalles die Momente bei halber Einspannung verwendet, also das Mittel aus den Feldmomenten bei gelenkiger Lagerung und bei Festeinspannung an den Innensttzungen. Diese Mittelwerte sind mit Hilfe von Tafel 3 ausm xf = ql 2 x fx und m yf = ql 2 x fy

(3.7.3)

zu berechnen. Eine Sonderregelung ist erforderlich fr den Fall, da auf zwei kleine Felder ein groes Feld folgt. Darauf wird hier nicht eingegangen. Die Anwendung des Verfahrens wird an dem in Bild 3.7-7 dargestellten Beispiel fr die Felder 1 und 2 gezeigt.x

6 ,0 0 5 ,0 0

y1

2

3

q = g + p p 2 g

4

5

5 ,0 0Bild 3.7-7:

3 ,0 0

5 ,0 0

Mehrfeldplatte als Beispiel zum Verfahren von PIEPER/MARTENS

Die Ergebnisse lauten: Feld 1:ly lx ly lx

= 1,2, m xf =

q 5,00 2 q 5,00 2 , m yf = , 23,3 35,5 q 3,00 2 q 3,00 2 , m yf = . 14,6 56,9

Feld 2:

= 2,0, m xf =

Fr Feld 1 der Platte nach Bild 3.7-2 wrde man nach PIEPER/MARTENS

146

3 Die Plattentheorie

m xf = m yf =

7,00 4,00 2 = 2,70 kNm / m > 1,75 (40,4 + 42,7) / 2 7,00 4,00 2 = 4,85 kNm / m > 3,67 (24,4 + 21,8) / 2

erhalten. Der geringere Rechenaufwand wurde mit einer starken berschtzung der Feldmomente erkauft.3.7.3.2 Ermittlung der Sttzmomente

Bei der Ermittlung der Sttzmomente sind drei Flle zu unterscheiden: 1. Fr den Normalfall, da das Verhltnis der Spannweiten benachbarter Felder kleiner als 5 ist, ergeben sich die Sttzmomente als Mittel der Festeinspannmomente beider Felder, drfen jedoch betragsmig nicht kleiner als 75 % des kleineren Wertes sein. Bei einem Verhltnis der Spannweiten grer als 5 ist das Einspannmoment des greren Feldes als Sttzmoment anzunehmen. Auch an dreiseitigen Knoten gilt das Festeinspannmoment.

2. 3.

Die Festeinspannmomente sind mit Hilfe von Tafel 3 ausm xs = ql 2 x sx und m ys = ql 2 x sy

(3.7.4)

zu berechnen, knnen jedoch auch aus Tafel 2 gewonnen werden. Hierfr gilt dann Gleichung (3.3.14). Als Beispiele werden fr die Platte nach Bild 3.7-7 die minimalen Sttzmomente m1,4, m1,2 und m2,5 = m3,5 berechnet. Hierfr werden die Festeinspannmomente mxs1, mys1, mxs2, mys4 und mys5 bentigt. Diese lautenly lx

= 1,2

m xs1 = m ys1 =

Feld 1:

q 5,00 2 = 2,174 q 11,5 q 5,00 2 = 1,908 q 13,1 q 3,00 2 = 0,750 q 12,0

Feld 2:

ly lx

= 2,0

m xs 2 =

3.8 Nherungslsungen der Scheiben- und der Plattengleichung (bersicht)

147

Feld 4:

ly lx

= 1,0 m ys4 =

q 5,00 2 = 1,748 q 14,3 q 5,00 2 = 2,717 q 9,2

Feld 5:

ly lx

= 1,6 m ys5 =

Damit erhlt man die Sttzmomente1 min m1, 4 = (1,908 + 1,748)q = 1,828 q 2 min m1, 2 = 0,75 2,174 q = 1,630 q ,

(Fall 1) (Fall 1, modifiziert)

da

1 (m xs1 + m xs2 ) = 1 (2,174 + 0,750)q = 1,462 q 2 2 min m 2,5 = min m 3,5 = m ys5 = 2,717 q .

(Fall 3)

Fr das minimale Sttzmoment zwischen den Feldern 1 und 2 der in Bild 3.7-5 dargestellten Platte htte das Verfahren von PIEPER/MARTENS Feld 1:lx = 1,25 lyly lx

m ys1 =

7,0 4,00 2 = 8,27 kNm / m (13,9 + 13,2) / 27,0 5,00 2 = 12,24 kNm / m 14,3

Feld 2:

= 1,0

m ys2 =

1 min m1, 2 = (8,27 + 12,24) = 10,25 kNm / m 10,46 2

geliefert. Das stimmt gut mit dem Ergebnis nach dem Belastungsumordnungsverfahren berein.

3.8 Nherungslsungen der Scheiben- und der Plattengleichung (bersicht)3.8.1 Allgemeines

Zum Ende der beiden Kapitel ber Scheiben und Platten soll ein systematischer berblick ber Nherungslsungen fr die beiden entsprechenden, biharmonischen Differentialgleichungen gegeben werden.

148

3 Die Plattentheorie

Die geschlossene Lsung der Scheibengleichung F = 0 und der Plattengleichung w = p/K unter exakter Erfllung der Randbedingungen ist nur in einfachen Fllen mglich, z.B. bei Rotationssymmetrie. In der Praxis ist man meist auf Nherungslsungen angewiesen. Hierbei sind analytische und numerische Lsungsverfahren zu unterscheiden. Noch vor einigen Jahrzehnten standen die analytischen Verfahren im Vordergrund, bei denen die zu lsenden Aufgaben weitgehend idealisiert werden muten. Heute geht man in aller Regel numerisch vor, da entsprechende Verfahren und Rechner leicht zugnglich und anwendbar sind. Die Rechenprogramme basieren oft auch, wie z.B. bei der Methode der finiten Elemente, auf einer Kombination von analytischen und numerischen Lsungen. Analytische Verfahren weisen den Vorteil auf, da man bei Verwendung geeigneter Funktionen, meist trigonometrischer Reihen, eine geschlossene Lsung erhlt, aus der sich die gesuchten Schnitt- und Verformungsgren durch Einsetzen der entsprechenden Ortskoordinaten an beliebigen Stellen ergeben. Der Nachteil besteht darin, da sich Unstetigkeiten in Geometrie und Belastung sowie Singularitten nur schlecht erfassen lassen. Bei den numerischen Verfahren wird die Erfllung der Differentialgleichung und der Randbedingungen nur an ausgewhlten Punkten verlangt. Die Genauigkeit der Lsung reicht aus, wenn diese sogenannten Sttzpunkte nahe genug beieinander liegen. Man erhlt auch die Lsung nur fr diese Punkte. Dazwischen ist zu interpolieren. Die oben genannten Unstetigkeiten lassen sich problemlos erfassen. Nachteilig ist dagegen, da man keine allgemeine Lsung erhlt, aus der sich z.B. der Einflu einer bestimmten Gre, z.B. des Verhltnisses von Hhe zu Sttzweite einer Einfeldscheibe, erkennen liee.3.8.2 Analytische Nherungen

Die Nherung kann zum einen darin bestehen, da der Ansatz die Differentialgleichung exakt erfllt, die Randbedingungen jedoch nur nherungsweise. Es besteht jedoch auch die umgekehrte Mglichkeit. Beide Varianten werden im folgenden nher behandelt.3.8.2.1 Der Ansatz erfllt die Differentialgleichung

Der Ansatz setzt sich gemf ( x , y) = a n f n ( x , y)n

(3.8.1)

3.8 Nherungslsungen der Scheiben- und der Plattengleichung (bersicht)

149

aus einer Summe biharmonischer Funktionen zusammen. Jede der Funktionen erfllt die Differentialgleichung, die Randbedingungen werden jedoch durch f(x,y) nicht exakt befriedigt. Die Freiwerte an sind so zu bestimmen, da die Summe S der Fehlerquadrate am Rand ein Minimum annimmt.

sBild 3.8-1:

t

Scheibe mit Randkoordinaten

Als Beispiel wird die in Bild 3.8-1 dargestellte Scheibe mit den Randkoordinaten s und t gewhlt. Die Differentialgleichung lautet F = 0, der Ansatz entsprechend (3.8.1)f ( x, y) = a n Fn ( x , y) .n

(3.8.2)

Als Randbedingungen seien am gesamten Rand die Spannungen s und st vorgegeben. Die Nherungswerte der Randspannungen ergeben sich nach (2.2.7) aus s = 2F t 2Rand

,

st =

2F st

.Rand

(3.8.3)

Damit erhlt man als Summe der FehlerquadrateS=

Rand

[(

s

s )2 + ( st st )2

]

dt .

(3.8.4)

Beim Minimum von S verschwinden die partiellen Ableitungen von S nach smtlichen Konstanten an. Diese ergeben sich demnach aus dem linearen GleichungssystemS =0. a n

(3.8.5)

Das beschriebene Verfahren entspricht dem Vorgehen in Abschnitt 2.6.2, wo bei einer Rechteckscheibe statt der wirklichen Randbelastung deren Nherung in Form einer FOURIER-Reihe bercksichtigt wurde.

150

3 Die Plattentheorie

Als weiteres Beispiel wird eine fest eingespannte Platte betrachtet. Der Grundri mit seinen Randkoordinaten entspreche Bild 3.8-1. Der Ansatz fr die Differentialgleichung w = p/K lautet entsprechend (3.8.1)w ( x , y) = a n w n ( x , y ) + w p ( x , y ) .n

(3.8.6)

Dabei mute die partikulre Lsung wp(x,y) hinzugefgt werden. Die Nherungswerte der Randverformungen lautenw = w Rand , = w s

.Rand

(3.8.7)

Daraus ergibt sich fr die Summe der FehlerquadrateS=

Rand

[(w / w

0

)2 + ( / 0 )2 ]

dt .

(3.8.8)

Da w und unterschiedliche Dimensionen aufweisen, mu hier mit bezogenen Werten gerechnet werden. Als Bezugsgren w0 und 0 sind sinnvoll gewhlte Vergleichsgren zu whlen, z.B. die Mittendurchbiegung und die Randverdrehung einer flchengleichen, gelenkig gelagerten Kreisplatte. Fr die Konstanten an gilt auch hier das Gleichungssystem (3.8.5).3.8.2.2 Der Ansatz befriedigt die Randbedingungen

Der Ansatz setzt sich gemf ( x , y ) = f 0 ( x , y ) + a n f n ( x , y)n

(3.8.9)

aus zwei Termen zusammen. Die Funktion f0(x,y) befriedigt diejenigen Randbedingungen, die ungleich Null sind, whrend die Funktionen fn(x,y) einer Nullrandbelastung entsprechen. Weder f0(x,y) noch die fn(x,y) erfllen die Differentialgleichung. Die Freiwerte an ergeben sich aus der Bedingung, da die Summe der Fehlerquadrate in der gesamten Scheibe oder Platte minimal wird. Fr eine Platte wre beispielsweise entsprechend (3.8.9) der Ansatzw ( x , y) = w 0 ( x , y) + a n w n ( x , y)n

(3.8.10)

zu whlen. Wenn die Platte voll mit p = const. belastet ist, wirdp S = w dA K Platte 2

(3.8.11)

Die Konstanten an ergeben sich aus (3.8.5).

3.8 Nherungslsungen der Scheiben- und der Plattengleichung (bersicht)

151

In Abschnitt 3.3.2 wurde eine Rechteckplatte mit dem Ansatz (3.8.10) behandelt, wobei jedoch die Werte an wegen der gelenkigen Lagerung gleich Null wurden.3.8.3 Numerische Lsungen

Zur Anwendung numerischer Rechenverfahren wird das Kontinuum der Scheibe oder Platte durch eine Schar diskreter Punkte ersetzt, die in einem Raster angeordnet sind. Dieses ist so fein zu whlen, da bei der Lsung eine ausreichende Genauigkeit erzielt wird.3.8.3.1 Differenzenverfahren

Beim gewhnlichen Differenzenverfahren werden die Differentialquotienten in der Differentialgleichung nherungsweise durch Differenzenquotienten ersetzt, z.B.w ( x ) = 1 [w (x + x ) w (x x )] 2x

(3.8.12)

Darin ist x die quidistante Rasterweite in x-Richtung. Das erste Fehlerglied von (3.8.12) lautet 1 (x ) 2 w ( x ) . 6

Der Nherungsausdruck ist demnach fr quadratische Funktionen genau. (3.8.12) mit seinem ersten Fehlerglied lt sich auch in der anschaulicheren Formw = 1 1 2h 0 1 w 1 2 h w 6

(3.8.13)

schreiben, wobei x = h gesetzt wurde und die Stellung der Koeffizienten der Lage der entsprechenden Sttzstellen entspricht. Der eingerahmte Koeffizient gilt fr dieselbe Stelle wie der Differenzenquotient. Die hheren eindimensionalen Differenzenquotienten lauten z.B. nach COLLATZ [1.18] und SZILARD [1.10] w = 1 h2

1

2

1 w

1 2 h w , 121 2 V h w , 4

(3.8.14)

w =

1 1 2 2h 3

0

2 1 w

(3.8.15)

152

3 Die Plattentheorie

w =

1 1 4 h4

6

4 1 w

1 2 VI h w . 6

(3.8.16)

Zur Berechnung zweidimensionaler Kontinua wie Scheiben und Platten werden auch die gemischten Ableitungen1 w = 4ab

1 0 1

0 0 0

1 1 1 0 w und w = 2 2 2 a b 1 1

2 4 2

1 2 w (3.8.17) 1

bentigt. Darin ist a = x und b = y. Fr a = b erhlt man mit (3.8.16) und (3.8.17)0 0 0 2 1 = 4 1 8 a 0 2 0 0 1 8 20 8 1 0 2 8 2 0 0 0 1 w. 0 0

w = w + 2 w + w

(3.8.18)

Indem man fr jeden Rasterpunkt unter Verwendung dieser Differenzenausdrcke und der Differentialgleichung eine Differenzengleichung aufstellt, erhlt man ein lineares Gleichungssystem fr die gesuchten Funktionswerte F bzw. w. Die aus den Funktionen F und w durch Differentiation herzuleitenden Gren, wie z.B. x und mx, ergeben sich auch mittels der angegebenen Differenzenquotienten. Als Beispiel wird hier eine quadratische, allseitig gelenkige Platte unter Gleichlast behandelt. Die Rasterweite soll a = b = /4 betragen. Die Querdehnzahl wird gleich Null gesetzt. Die Anordnung der Sttzstellen ist aus Bild 3.8-2 zu ersehen. Die Doppelsymmetrie wurde durch entsprechende Numerierung der Rasterpunkte bercksichtigt. Die Randbedingungen werden bereits bei der Aufstellung der Differenzengleichungen eingearbeitet. Nach (3.2.13) gilt beispielsweise am linken Rand mit (3.8.14) mx(0)= - Kw(0) = - K [w(-a) 2 w(0) + w(a)] = 0. Da w auf dem Rand verschwindet, folgt aus vorstehender Gleichung, da die Funktionswerte w in den Auenpunkten denen der entsprechenden Innenpunkte negativ gleich sind.

3.8 Nherungslsungen der Scheiben- und der Plattengleichung (bersicht)

153

3 x -3 -2 y

-3

-2

-3

3 2 3

2 1 2

3

-3

3

l = 4 aBild 3.8-2: Quadratische Platte mit Sttzstellenraster

Fr die Punkte 1 bis 3 erhlt man mit (3.8.18) die Differenzengleichungen20 w1 8 4w 2 + 2 4 w 3 = pa 4 / K 20 w 2 8(2 w 3 + w1 ) + 2 2w 2 + 1( w 2 + w 2 ) = pa 4 / K 20 w 3 8 2 w 2 + 2 w1 + 1(2w 3 2w 3 ) = pa 4 / K

mit der Lsungw1 = 1,031 pa 4 / K, w 2 = 0,750 pa 4 / K, w 3 = 0,547 pa 4 / K.

Die Mittendurchbiegung betrgt demnachmax w = w1 = 1,031 4 pl / K = 0,00403 pl 4 / K 44

und weicht kaum vom genauen Wert 0,00406 p4/K ab (vgl. Abschnitt 3.3.2.4). Des weiteren ergeben sich nach (3.2.13) und (3.2.15) unter Verwendung der entsprechenden Differenzenausdrcke (3.8.14) und (3.8.17) die maximalen Feld- und Drillmomente fr = 0 zumax m x = K 1 pl 2 (2w 2 2 w1 ) = 28,4 a2 1 pl 2 4w 3 = 29,3 4a 2 statt statt pl 2 , 27,2 pl 2 . 21,6

max m xy = + K

Wie man aus den Abweichungen von den genauen Werten (siehe Tafel 2) erkennt, wre eine feinere Rasterteilung erforderlich gewesen, um verwertbare Ergebnisse zu erhalten.

l = 4 a

2

154

3 Die Plattentheorie

Eine Verbesserung des gewhnlichen Differenzenverfahrens stellt das Mehrstellenverfahren dar, bei dem statt der Differenzenquotienten sogenannte Mehrstellenausdrcke verwendet werden. Diese fassen die Ableitungen an mehreren Rasterpunkten zusammen und drcken sie durch die Funktionswerte benachbarter Punkte aus. Die genannten Ableitungen werden mit Hilfe der Differentialgleichung eliminiert. Deshalb erfllt jede Mehrstellengleichung die Differentialgleichung an mehreren Stellen. Die Genauigkeit ist grer als beim gewhnlichen Differenzenverfahren. Hier wird nicht weiter auf diese Methode eingegangen. Sie ist im einzelnen z.B. in [1.10] beschrieben. Nach dem Mehrstellenverfahren htte man fr das oben behandelte Beispiel mit ebenfalls drei Gleichungen die Lsungw1 = 1,038 pa 4 / K, w 2 = 0,750 pa 4 / K, w 3 = 0,544 pa 4 / K

gefunden. Daraus folgen max w = 0,00405 pa 4 / K, max m x = pl 2 pl 2 , max m xy = . 27,8 29,4

Man erkennt den Gewinn an Genauigkeit in Feldmitte gegenber den Ergebnissen nach dem gewhnlichen Differenzenverfahren.3.8.3.2 Die Methode der finiten Elemente

Die Methode der finiten Elemente stellt das wichtigste Nherungsverfahren zur Lsung von Kontinuumsproblemen dar. Sie geht von dem Grundgedanken aus, das Gesamttragwerk in einzelne, endliche Teile einfacher Geometrie, die sogenannten finiten Elemente, zu unterteilen, die in Knotenpunkten miteinander verbunden sind. Diese Elemente, die z.B. Dreieck- oder Viereckform haben, sind auch in ihrer Kombination einfacher zu behandeln als das Tragwerk als Ganzes. Das Verfahren geht nicht von der Differentialgleichung des zu behandelnden Problems aus, sondern vom Minimum der Formnderungsarbeit. Auf dieser Grundlage werden die Steifigkeitsmatrizen der einzelnen Elementtypen entwickelt. Die Nherung besteht darin, da an den Elementrndern zwischen den Knoten die Verletzung des Gleichgewichts oder der geometrischen Vertrglichkeit zugelassen wird. Innerhalb der Elemente wird mit Funktionen gearbeitet. Zur Berechnung der Formnderungen an den Knoten dient ein Gleichungssystem. Insofern stellt das Verfahren eine Kombination von analytischer und numerischer Berechnung dar.

3.8 Nherungslsungen der Scheiben- und der Plattengleichung (bersicht)

155

Die Grundgleichung des Verfahrens lautetF = K d .

(3.8.19)

Darin ist F der Lastvektor, K die Steifigkeitsmatrix und d der Verformungsvektor. Da bei Scheiben zwei und bei Platten mindestens drei unbekannte Formnderungen je Knoten zu berechnen sind, entstehen groe Gleichungssysteme. Die Methode der finiten Elemente wird in einer groen Anzahl von Lehrbchern und praxisorientierten Werken ausfhrlich dargestellt. Empfohlen seien HAHN [1.13] und ZIENKIEWICZ [1.11].3.8.3.3 Die Methode der Randelemente

Die Methode der Randelemente geht von einer analytischen Lsung fr ein unendlich groes Kontinuum aus und formuliert ein Gleichungssystem zur Erfllung der Randbedingungen in ausgewhlten Knoten. Es braucht also nicht das gesamte Kontinuum diskretisiert zu werden, sondern lediglich der Rand. Deshalb wird das zu lsende Gleichungssystem wesentlich kleiner als bei der Methode der finiten Elemente. Ebenso wie diese ist die Methode der Randelemente auf Stbe, Scheiben, Platten und Krper anwendbar. Zur Einarbeitung in das Verfahren eignet sich besonders HARTMANN [1.15].