MÓDULO DE ENSEÑANZA: “CONGRUENCIA DE … a descubrir el conocimiento, se fundamenta en la...

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CIENCIA DE LA COMPUTACIÓN

MÓDULO DE ENSEÑANZA:

“CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS”

Autores: Marco Cornejo Torres

Fabiola Fernández Márquez

SANTIAGO – CHILE

2013

MÓDULO DE ENSEÑANZA: “Congruencia de Triángulos” AUTORES: Marco Cornejo y Fabiola Fernández Página 2

Contenido PRESENTACIÓN DEL MÓDULO: “Congruencia de triángulos” ............................................................... 3

ESQUEMA .......................................................................................................................................... 5

PRESENTACIÓN DE LAS ACTIVIDADES ............................................................................................... 6

ACTIVIDAD 1 .......................................................................................................................................... 9

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS: “Gonzalo y su Rampa” .......................................................... 10

Actividad 1: Gonzalo y su Rampa .................................................................................................... 13

ACTIVIDAD 2 ........................................................................................................................................ 20

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS: “De un plano a otro” ............................................................ 21

Actividad 2: De un plano a otro ....................................................................................................... 23

ACTIVIDAD 3 ........................................................................................................................................ 29

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS: “Congruencias y algo más” ................................................... 30

ACTIVIDAD 3: Congruencia y algo más ............................................................................................ 32

ACTIVIDAD 4 ........................................................................................................................................ 38

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS: “Aplicando lo Aprendido” ..................................................... 39

ACTIVIDAD 4: “Aplicando lo aprendido” ......................................................................................... 41


PRESENTACIÓN DEL MÓDULO: “Congruencia de triángulos”

La geometría ha sido considerada fundamental en la formación académica y cultural de las

personas, ya que contribuye en el desarrollo de habilidades que permiten visualizar, pensar

críticamente, intuir, resolver problemas, conjeturar, razonar deductivamente y argumentar

de manera lógica. Es la rama de la Matemática más próxima a la realidad y su enseñanza es

imprescindible.

Sin embargo, en la enseñanza de la Geometría, en la educación media, es frecuente

subestimar la dificultad de adquisición de conocimientos espaciales propiamente dichos y

dejar al alumno la tarea de establecer las relaciones adecuadas entre el espacio y los

conceptos geométricos que se le enseñan, y que suponen le otorgan un dominio sobre este

ámbito de la realidad.

Por lo tanto, esta enseñanza debe centrarse en desarrollar, en los alumnos, habilidades

para la exploración, visualización, argumentación y justificación, donde más que memorizar

pueda descubrir, aplicar y obtener conclusiones. El docente debe asumir que en este

proceso no es el principal actor, es el alumno quien debe ser promotor de su propio

aprendizaje, a partir de un material elaborado (Modulo).

El siguiente módulo está diseñado para apoyar el proceso de enseñanza y aprendizaje, de

los alumnos de primer año medio, en el eje de geometría y en el contenido “congruencia

de triángulos”, poniendo el énfasis en criterios de congruencia y su aplicación, la relación

que existe entre la congruencia y las transformaciones isométricas.

La metodología para desarrollar el módulo, que considera al docente un guía que ayuda al

estudiante a descubrir el conocimiento, se fundamenta en la teoría “aprendizaje por

descubrimiento” propuesta por el psicólogo norteamericano Jerome Bruner en el libro

“Desarrollo Cognitivo y Educación”. En esta teoría Bruner afirma “El aprendizaje no debe

limitarse a una memorización mecánica de información o de procedimientos, sino que

debe conducir al educando al desarrollo de su capacidad para resolver problemas y pensar

sobre la situación a la que se le enfrenta. La escuela debe conducir al educando a descubrir

caminos nuevos para resolver los problemas viejos y a la resolución de problemáticas

nuevas acordes con las características actuales de la sociedad” (Bruner. j, 2001).


El módulo está formado por cuatro actividades. Cada una de ellas cuenta con Orientaciones

Metodológicas para el docente, las cuales pretenden guiar al profesor en las posibles

situaciones que puedan surgir durante la aplicación del módulo en el aula.

Las Orientaciones Metodológicas tienen la siguiente estructura:

Fundamento de la Actividad

o Propósito

o Relación con el Marco Curricular

o Conductas de Entradas

Inicio

Desarrollo

Síntesis

Para desarrollar este módulo son necesarias las siguientes conductas de entrada.

Transformaciones Isométricas en el plano euclideo y cartesiano

Plano cartesiano

Ángulos y lados de polígonos

Correspondencia de lados y ángulos

Concepto de congruencia.

Cumpliendo con el programa de estudio, este módulo cubre los siguientes aprendizajes

esperados:

“Establecer el concepto de congruencia a partir de las transformaciones

isométricas”.

“Formular y verificar conjeturas acerca de criterios de congruencia en triángulos”.

“Resolver problemas relativos a cálculos de vértices y lados de figuras geométricas

del plano cartesiano y a la congruencia de triángulos”.


ESQUEMA

Módulo: Congruencia de Triángulos

Concepto de

congruencia,

correspondenci

a de lados y

ángulos.

Transformacion

es Isométricas,

Plano

Cartesiano y

criterios de

congruencia.

Criterios de

congruencia,

lados y

ángulos de

triángulos.

Congruencia,

criterios de

congruencia,

transformaciones

isométricas y

plano cartesiano.

Actividad 1:

"Gonzalo y su

rampa"

Actividad 2: "De

un plano a otro

Actividad 3:

"Congruencia

y algo más"

Actividad 4:

"Aplicando lo

aprendido”

Conocen los

criterios de

congruencia.

Identifican la

congruencia

tanto en el

plano euclideo,

como en el

cartesiano.

Establecen el

concepto de

congruencia a

partir de las

transformacion

es isométricas.

Aplican los

criterios de

congruencia a

problemas en

contexto.

Reconocen que dos figuras son congruentes cuando existen

transformaciones isométricas que aplicadas en una de ellas

permiten obtener la otra figura.

Conjeturan acerca de criterios de congruencia.

Resuelven problemas relativos a la congruencia en triángulos

utilizando los criterios establecidos.

Las conductas de entrada son:

Al finalizar el módulo los estudiantes estarán en condiciones de:


PRESENTACIÓN DE LAS ACTIVIDADES

El módulo está dividido en cuatro actividades:

Actividad I: “Gonzalo y su rampa”

Objetivo: Identificar y conjeturar acerca de los criterios de congruencia.

Tiempo: 3 horas pedagógicas

Estructura de la actividad:

Inicio (Conociendo Rampas): En esta sección se presenta una situación cuya

problemática es replicar rampas. El objetivo, es que los estudiantes noten que el

lado lateral de la rampa corresponde a un triángulo, identifiquen sus

características tales como lados, ángulos y vértices; y además señalen la

correspondencia entre el lado lateral de la rampa y su representación

geométrica.

Desarrollo (Construyendo, Competencia de Skate, Piensa Gonzalo Piensa): Se

espera que el alumno analice conjuntos de datos para determinar cuáles son

útiles para replicar la rampa.

Cierre (Sintetiza junto a tu Profesor): En este punto el estudiante establece la

cantidad y orden que deben tener los datos para determinar cuándo dos figuras

son congruentes. También se formaliza el concepto de criterio de congruencia.

Actividad II: “De un plano a otro”

Objetivo: Naturalizar el paso de la congruencia de triángulos del plano Euclideo al

Plano Cartesiano, además de recordar las Transformaciones Isométricas, conceptos

necesarios para el desarrollo de la actividad “Congruencia y algo más”.




Inicio (Buscando los datos): En esta sección se recuerda el problema de la

actividad “Gonzalo y su rampa” y se evidencia la necesidad de utilizar el plano

cartesiano.

Desarrollo (En busca de la solución, Recordando): En este punto los estudiantes

deben recordar el plano cartesiano y determinar la información que este les

otorga al utilizarlo. También recuerdan las transformaciones isométricas y las

aplican.

Cierre (Sintetiza): Se espera que los estudiantes recuerden algunas

características de los tipos de transformaciones estudiadas.

Actividad III: “Congruencia y algo más”

Objetivo: Establecer el concepto de congruencia a partir de las transformaciones

isométricas.



Inicio (Analizando triángulos): Se muestran dos figuras con las cuales el alumno

debe completar dos cuadros, estos son necesarios para el desarrollo de la

actividad.

Desarrollo (Relacionando): El estudiante debe identificar transformaciones

isométricas entre dos triángulos y además, determinar la congruencia de ellos, a

través de criterios de congruencia.

Cierre (¿Son iguales?): El estudiante completa un cuadro comparativo con el fin

de evidenciar que las características de las transformaciones isométricas son

iguales a las características de la congruencia, en cuanto a la forma, ángulos y

lados.


Actividad IV: “Aplicando lo aprendido”

Objetivo: Poner en práctica todo el trabajo desarrollado anteriormente sobre

criterios de congruencia y su relación con las transformaciones isométricas.



Inicio (Practica en el Plano Cartesiano): Se presentan ejercicios en el plano

cartesiano. En esta sección los estudiantes deben justificar la congruencia de

triángulos con las transformaciones isométricas.

Desarrollo (Congruencia en la vida cotidiana): En esta sección se proponen

problemas en contexto donde el estudiante debe aplicar los criterios de

congruencia para encontrar la solución.

Cierre (Acepta el Reto): En este punto los estudiantes analizan situaciones y

deben justificar con los criterios de congruencia.

Se espera que al finalizar este módulo, los estudiantes:

Reconocen que dos figuras son congruentes cuando existen transformaciones

isométricas que aplicadas en una de ellas permiten obtener la otra figura.

Conjeturan acerca de criterios de congruencia

Resuelven problemas relativos a la congruencia en triángulos utilizando los criterios

establecidos.

Tiempo Total: 12 horas pedagógicas.


ACTIVIDAD 1


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS: “Gonzalo y su Rampa”

Tiempo Estimado: 3 horas pedagógicas.

FUNDAMENTO DE LA ACTIVIDAD

El propósito de esta actividad es que los estudiantes conozcan los criterios de

congruencia. Para ello, se presenta un problema, el cual consiste en copiar rampas

(triángulos), los estudiantes deben ir analizando si es posible la réplica de esta a medida

que se van dando a conocer más datos.

Cumpliendo con el programa de estudio, luego de realizar esta actividad los alumnos

estarán en condiciones de conocer los criterios de congruencia.

Esta actividad supone que los estudiantes ya han estudiado la correspondencia, el

concepto de congruencia (Dos figuras son congruentes, si tienen sus lados y ángulos

correspondientes congruentes), segmento, longitud y ángulos.

CONSTRUYENDO RAMPAS

Se sugiere al docente que los alumnos vayan respondiendo de forma individual y

luego comparen con sus compañeros.

Es importante, antes de comenzar la actividad, que el profesor dé un tiempo

razonable para que los estudiantes identifiquen la rampa y luego entiendan el

problema sobre la copia de esta.

La pregunta 1 es de suma importancia, ya que es aquí cuando los estudiantes deben

visualizar la figura geométrica representativa de la rampa, el triángulo. Si esto no

ocurre, se sugiere al docente enfatizar, que la pregunta apunta al lado que da la

altura a la rampa.

En la pregunta 2 se espera que el estudiante responda a partir de la figura

geométrica encontrada detrás de la rampa, por lo tanto se refiere a que dé las

características de los triángulos, como ángulos, lados y vértices.


CONSTRUYENDO…

Se sugiere al docente en la pregunta 4, en el caso de que el estudiante pensara que

es posible la copia de la rampa sólo con dos datos, que muestre con palos de

maqueta (con las medidas que se encuentran en la actividad) la situación. Podría

preguntar ¿Qué figura encontramos detrás de la rampa? ¿Cuántos lados tiene esa

figura? ¿Con la información de los lados puedo replicar la rampa?

Si presenta dificultad la pregunta 5, nuevamente es muy útil representar la situación

con los palos de maqueta. Se propone al docente analizar la situación con las

medidas de los lados y variar el tamaño del ángulo entre ellos (45° y 100°), para

luego preguntar, ¿Qué relación hay entre el ángulo de 45° y el lado que falta?, ¿Qué

sucede con el ángulo de 100° y el tercer lado?. Se espera que el estudiante note que

si hay una variación en el ángulo, el lado opuesto a este también tiene un cambio

similar. Esto será útil para el énfasis que el profesor debe dar cuando en la situación

se presenta el ángulo entre los dos lados, el cual es “fijo”, no cambia, al igual que los

lados (conocemos las medidas 40 y 50 cm) y su relación con el lado faltante, el cual

también tendrá una medida que no varía.

En la pregunta 10, Si existe dificultad se sugiere al profesor dibujar la situación en

pizarra. En primer lugar, debe dibujar el lado (80 cm.), luego dibuja los ángulos en

cada extremo (50° y 88°). El profesor pregunta: ¿Qué le falta a la figura para crear la

rampa? Entonces se propone trazar rectas, según la abertura de cada ángulo. Luego

el docente pregunta: ¿Al trazar estas rectas qué sucedió con ellas?, ¿Estas rectas

podrían intersectarse en otro punto? Y en ese instante el profesor puede recordar la

situación de la pregunta 5, sobre el ángulo y su lado opuesto. Dar énfasis que dos

ángulos y el lado comprendido entre ellos son conocidos, por esa razón al conocer

los ángulos, los lados que faltan no varían.

El profesor debe tener claro que la actividad propuesta es un trabajo guiado por lo

que los estudiantes pueden compartir sus interrogantes con el profesor para que

este los oriente y les recomiende caminos a seguir.

También como consideración es necesario dejar registros en pizarra de todas las

respuestas realizadas por los estudiantes (correctas e incorrectas). Esto es de suma

importancia para realizar las conclusiones finales de la actividad.


SINTETIZA JUNTO A TU PROFESOR

Se sugiere tratar con especial cuidado la pregunta 17, ya que los estudiantes pueden

pensar que es importante conocer el orden de los lados, por el contexto presentado,

puesto que las rampas necesitan de un orden para que sea congruente a otra, la

altura de los saltos depende de esto. En nuestro caso, no es necesario dar este

énfasis, el fin de esta pregunta es solo para que respondan según los criterios de

congruencia.

Se proponen al docente las siguientes definiciones:

Primer Criterio de Congruencia (LAL): Un triángulo ABC es congruente con un

triángulo A’B’C’ en el caso de que sean válidas las congruencias:

Segundo Criterio de Congruencia (ALA): Un triángulo ABC es congruente con un

triángulo A’B’C’ en el caso de que sean válidas las congruencias:

Tercer Criterio de Congruencia (LLL): Si en dos triángulos ABC y A’B’C’ los lados

correspondientes son congruentes, los triángulos son congruentes.

Hilbert, D. (1996). Fundamentos de la Geometría. CSIC (De la traducción, a la edición Alemana.


Actividad 1: Gonzalo y su Rampa

Nombre: _________________________________ Curso: 1° __ Fecha: __/__/__

PRESENTACION

Esta guía tiene como propósito establecer las condiciones necesarias y suficientes para

encontrar una figura congruente a otra, para ello deberás utilizar lo aprendido en clases

anteriores sobre la correspondencia de lados y ángulos congruentes en figuras planas de

tres lados.

Palabras Claves: Congruencia, Correspondencia de Lados y Ángulos, Longitud y Segmento

CONSTRUYENDO RAMPAS

Benjamín y Gonzalo son primos que viven en distintas ciudades pero siempre hablan por

teléfono. Benjamín le cuenta que construyó una rampa para practicar skate, ya que muy

pronto se realizará un campeonato nacional en el cual participará. Gonzalo se entusiasma

y decide construir una rampa idéntica a la de Benjamín, pues también competirá.

¿Encontrará Gonzalo la forma de copiar la rampa de su primo?

CONOCIENDO RAMPAS

Gonzalo solo quiere realizar una rampa idéntica a la de Benjamín pero tiene un pequeño

problema, no conoce cómo es una rampa ni como construirla. Buscando información en la

web, encontró la siguiente imagen.

1. ¿A qué figura geométrica se asemeja el lado lateral de la rampa?


2. Según la respuesta anterior, ¿qué elementos característicos podríamos obtener de

la rampa?

Al representar la rampa como la figura geométrica tenemos:

3. Registra los vértices, lados y ángulos correspondientes entre la rampa y su

triángulo congruente representativo.

Vértices Lados Ángulos

CONSTRUYENDO…

Gonzalo ya resolvió su duda, ahora conoce rampas, sabe que estas se representan

geométricamente por un triángulo y que poseen elementos característicos tales como

lados, ángulos y vértices, ahora llegó el momento de copiar la rampa de su primo.

Para ello Gonzalo le pide información a Benjamín acerca de la rampa. Benjamín piensa en

su rampa y le comenta que uno de los lados mide 40 cm y el otro 50 cm. Gonzalo pensó en

lo siguiente.


4. ¿Es posible reproducir la rampa de Benjamín con los dos datos entregados? ¿Por

qué? Comenta con un compañero.

Una semana después vuelven a comunicarse, Benjamín le comenta que sigue practicando

en su rampa, que ha logrado saltos de hasta 3 metros de altura. Gonzalo le explica que su

rampa pareciera estar mal construida, pues sus saltos no sobrepasan los 2 metros.

Gonzalo le solicita a su primo que le envíe una foto de su rampa, y además que agregue

información adicional a la ya enviada.

Benjamín envía la foto de su rampa, pero no con toda la información, pues considera que

su primo no está capacitado para realizar saltos tan altos.

5. ¿Es posible reproducir la rampa de Benjamín con los tres datos entregados? ¿Por



Benjamín manda un mensaje de texto a Gonzalo, en el cual especifica otro dato que le

podría ser de mucha ayuda para la construcción de la rampa: “Debes considerar también

que el último lado de mi rampa es igual a 35 cms. Saludos tu primo.”

6. ¿Es posible reproducir la rampa de Benjamín con los cuatro datos entregados? ¿Por


Gonzalo recibe un nuevo mensaje de texto: “¿Te resulta?, olvida la información anterior y

sólo utiliza los ángulos interiores de mi rampa, ojala te sea de ayuda ”.

7. Construye una rampa sólo con los ángulos entregados. Utiliza regla y transportador.

Compara con un compañero.

8. ¿Es posible reproducir la rampa de Benjamín solo con los ángulos dados? ¿Por qué?

Comenta con un compañero.


Competencia de Skate

Cada vez más entusiastas, Gonzalo junto con su primo Benjamín decidieron participar del

próximo concurso de skate. En el concurso, según la información que obtuvieron, existen

rampas fabricadas para realizar saltos profesionales. Estas poseen un ángulo de 50° a un

lado y de 88° al otro, ángulos que dan la gran altura a esta rampa (ver figura)

9. ¿Podrán replicar la rampa con la información entregada? ¿Por qué? Comenta con

un compañero.

10. Considera como información adicional el lado comprendido entre los dos ángulos

igual a 80 cms. ¿Podrán replicarla?


Piensa Gonzalo Piensa

Al desarrollar las preguntas anteriores, Gonzalo notó que con cierta información es posible

replicar rampas. A continuación analizaremos estas condiciones.

11. ¿Es siempre posible construir una rampa congruente a otra si se conocen las

medidas de dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos?


medidas de tres de sus ángulos?


medidas de tres de sus lados?


medidas de dos de sus ángulos y el lado comprendido entre ellos?

Gonzalo pudo copiar la rampa de su primo y además construyó junto con él otra para la

competencia. En este proceso observó que no todas las combinaciones de datos

entregadas eran útiles para replicar una rampa, pues al analizar la correspondencia de

lados y ángulos estos no eran completamente congruentes.


SINTETIZA JUNTO A TU PROFESOR

15. ¿Cuántos datos son necesarios como mínimo para construir rampas congruentes?

16. ¿Qué conjunto de datos o criterios fueron útiles para que Gonzalo construyera las

rampas?

17. ¿Es siempre posible construir una rampa congruente? ¿Por qué?

18. ¿Qué se entiende por criterio de congruencia?


ACTIVIDAD 2


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS: “De un plano a otro”

Recursos: Regla y transportador.



El propósito de esta actividad es naturalizar el paso del estudio en el plano euclideo, al plano cartesiano. Para ello, se continúa con la problemática de las rampas similar de la actividad anterior, en donde se crea la necesidad de utilizar el plano cartesiano. Esta actividad supone que los estudiantes conocen concepto de congruencia, los criterios de congruencia, el plano cartesiano y transformaciones isométricas (simetrías, traslaciones y rotaciones). Al finalizar la actividad, los estudiantes serán capaces de reconocer la importancia que tiene el plano cartesiano en la resolución de problemas sobre transformaciones isométricas.

BUSCANDO LOS DATOS

Se sugiere dar unos minutos para que los estudiantes puedan responder la primera pregunta, ya que es de suma importancia para que surja la necesidad de utilizar un sistema de referencia.

EN BUSCA DE LA SOLUCIÓN

Se sugiere nombrar con letras mayúsculas cada vértice de la representación de la rampa, esto ayudará a tener un orden para el desarrollo de las preguntas.

Si los estudiantes tienen dificultad en la pregunta 2, se le sugiere al docente relacionar la distancia del salto (2 metros) presente en la figura 1, con el segmento que se presenta en la figura 2, por lo que el profesor a través de preguntas tales como: ¿Qué relación hay entre la distancia del salto y los cuadrados de la malla? ¿Es posible saber cuánto miden los lados de la rampa? Los alumnos deberán identificar la relación que existe entre el lado del cuadrado con un metro de distancia.

En el caso que los estudiantes no recuerden los criterios de congruencia, se sugiere al profesor nombrarlos.

En la pregunta 4, lo más factible es que los estudiantes evidencien el criterio de


congruencia LLL, es por esto que el profesor puede proponer que encuentren otro criterio. Para encontrar el criterio LAL, los alumnos deben notar que por trabajar en el plano cartesiano el triángulo presenta un ángulo recto, el profesor puede explicar que esto ocurre porque los lados del triángulo son paralelos a los ejes y estos por definición son perpendiculares.

En el caso extremo que los estudiantes no recuerden los tipos de transformaciones isométricas, el profesor puede recordar junto a ellos sus principales características.

En la pregunta 11, El profesor debe dar unos minutos para que los estudiantes encuentren los pares de figuras, en donde una es la transformación isométrica de la otra. Un triángulo puede tener más de una transformación isométrica asociada, si los estudiantes no notan esta situación, el docente debe dar el énfasis preguntando: ¿Este triángulo podría tener otra transformación asociada?

SÍNTESIS

En la pregunta 12, 13 y 14 si los estudiantes presentan dificultades para responder, se sugiere al docente retomar el ejercicio de la pregunta 11, analizar la respuesta y sacar conclusiones a partir de las siguientes preguntas: Al tener el vector de traslación y considerando las coordenadas de la figura de inicio, ¿Qué procedimiento utilizarías para obtener la figura de llegada?, considerando el y ¿A qué distancia del eje de la ordenada se encuentran el vértice A con el vértice G’?, el lo rotamos en el origen, en sentido anti horario en 90° y analizamos cada uno de los puntos de inicio y con los de llegada, así los estudiantes notarán la regularidad. Realizar el mismo procedimiento para 180°, 270° y 360°. Es preciso utilizar regla y transportador para este trabajo.

Si el estudiante presenta problemas al responder la pregunta 15, el profesor puede proponer: Al inicio de la actividad ¿Qué información obtuvo al trabajar la rampa en el plano cartesiano?


Actividad 2: De un plano a otro

Nombre: ____________________________________ Curso: 1° ___ Fecha: _________

Presentación

El propósito de esta actividad es recordar las transformaciones de figuras en el plano, y

naturalizar el paso de la congruencia de triángulos desde el plano euclideo al plano

cartesiano, esto es necesario para retomar posteriormente el trabajo de la congruencia.

Ya conociste a Benjamín y Gonzalo, quienes participarían en un campeonato de skate, ellos

notaron que las rampas tenían forma de triángulos, por lo tanto podían utilizar los criterios

de congruencia para replicarlas.

Palabras claves: Congruencia, transformaciones isométricas, plano cartesiano, vector,

criterios de congruencia.

Buscando los datos

Gonzalo sigue motivado por aprender acerca de deportes extremos y rampas. Ahora decide

practicar saltos en un parque, saltos tan largos que necesitará de una rampa de aterrizaje,

la cual debe ser congruente.

Para realizar esta práctica, solo cuenta con una rampa por esto necesitará construir la

segunda. La información que tenemos es que Gonzalo decide dar un salto de 2 metros de

distancia. Observa la figura.

Figura 1

1.- Con la información entregada, ¿podrá Gonzalo construir una rampa congruente a la

primera? Justifique.


En busca de la solución

Gonzalo no encuentra la solución y decide retornar a su casa, guarda la rampa y la cubre

con una malla cuadriculada, para que no se dañe. La observa y en ese momento piensa en

una idea, la cual plasma en el siguiente diseño.

Figura 2

2.- ¿Con la utilización de esta malla obtuviste mayor información? ¿Cuál?

3.- ¿Con la nueva información es posible replicar la rampa? Comenta con tu compañero el

procedimiento que utilizarías.

Encuentra la rampa de llegada que necesita Gonzalo para realizar su salto. Nota: el largo de

cada cuadro corresponde a un metro.

Figura 3


4.-¿Podrías relacionar el procedimiento utilizado con algunos de los criterios estudiados?

¿Cuál?

5.- ¿Esta malla te recuerda algún plano estudiado? ¿Cuál?

Recordando

Ya recordaste el plano estudiado en clases anteriores y su utilidad para la obtención de

datos acerca de los lados en figuras.

Ahora te invitamos a observar nuevamente la figura 3.

6.- ¿Qué cambia?

7.- ¿Qué se mantiene?


Ahora te invitamos a analizar otra figura, observa y responde.

Figura 4

8.- ¿Qué cambia?

9.- ¿Qué se mantiene?

10.- ¿Qué concepto estudia transformaciones de figuras en el plano, donde no varía la

forma ni el tamaño sino solo su posición?

Ahora que recordaste este concepto, te invitamos a caracterizar estas transformaciones.

Para ello, te presentamos lo siguiente.


Observa y encuentra las diferentes transformaciones isométricas generadas por los

siguientes triángulos.

Figura 5

11.- Si encontraste traslaciones indica el vector, si encontraste rotaciones indica el ángulo y

centro; y si encontraste reflexiones indica el eje de simetría. En todos los casos especifica la

figura inicial y la final.


SINTESIS 12.- Si un punto se traslada según el vector ¿Cuáles son las coordenadas

después de la traslación?

13.- ¿Cuáles son las características que determinan una Reflexión?

14.-Si a un punto se rota en el origen, en sentido anti horario en 90°, 180°, 270° y

360°, ¿cuáles son las coordenadas resultantes en cada caso?

15. ¿Cuál es el beneficio que se tiene al replicar una figura en el plano cartesiano?


ACTIVIDAD 3


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS: “Congruencias y algo más”



El propósito de esta actividad es que los estudiantes establezcan el concepto de congruencia a partir de las transformaciones isométricas. Cumpliendo con los requisitos del programa de estudio, los estudiantes luego de realizar esta actividad estarán en condiciones de reconocer que dos figuras son congruentes cuando existen transformaciones isométricas que aplicadas en una de ellas permiten obtener la otra figura e Identifican las transformaciones isométricas que transforman una figura en otra que es congruente a ella. La actividad supone que los estudiantes conocen lados y ángulos en polígonos, el concepto de congruencia, los criterios de congruencia, las transformaciones isométricas y plano cartesiano.

ANALIZANDO TRIÁNGULOS

Es importante destacar que en este caso, nuestra actividad no está presentada en contexto de la vida cotidiana, por ello se hace necesario que los estudiantes estén atentos, ya que de esta forma no perderán la continuidad del trabajo.

Uno de los errores más frecuentes en los estudiantes es el orden de las coordenadas cartesianas, se sugiere al docente recordar los ejes y el cómo registrar un par ordenado. Esto es necesario para encontrar la regularidad en la pregunta 2.

RELACIONANDO

Si el alumno presenta dificultad al responder la pregunta 3, se sugiere al docente destacar que la coordenada corresponde a un vértice de la figura inicial, entonces puede preguntar: ¿Cómo quedaría el vértice de la figura transformada al aplicar la regularidad?

En el caso que el estudiante no identifique el vector de traslación, se recomienda al profesor la siguiente actividad anexa para los alumnos: a los vértices del de la figura 2, sume el par ordenado encontrado en la pregunta 9 (vector ). ¿Qué obtuvo?

En la pregunta 13, el profesor debe recordar, si fuera necesario, que: dos figuras presentan una simetría axial, si cada uno de los vértices de la figura y su imagen, están a la misma distancia del eje de simetría.


¿SON IGUALES?

Si el paralelo entre las características de transformaciones isométricas y congruencia triángulos no puede ser desarrollado por los alumnos el profesor debería retomar las figuras 1,2 y 3 y analizarlas en cuanto a ¿Qué cambia? ¿Qué se mantiene?

En la pregunta 16, el docente puede recomendar la utilización de la tabla de características entre trasformaciones isométricas y congruencia de triángulos.

Se sugiere al profesor sintetizar: Dos figuras son congruentes si una de ellas se puede obtener por medio de transformaciones isométricas aplicadas a la otra. Por tanto, dos figuras congruentes mantienen su forma y tamaño. Baeza P, Angela et al. Libro Santillana Bicentenario (2010). Editorial Santillana.


ACTIVIDAD 3: Congruencia y algo más

Nombre: ____________________________________ Curso: 1° ____ Fecha: _________

Presentación

El propósito de esta actividad es que establezcas el concepto de congruencia a partir de las

transformaciones Isométricas. Para ello, debes aplicar todo lo aprendido en clases

anteriores sobre criterios de congruencia y transformaciones isométricas.

Palabras claves: Lados y ángulos en triángulos, Congruencia, Criterios de Congruencia,

Plano Cartesiano y Transformaciones Isométricas

ANALIZANDO TRIÁNGULOS

Observa la siguiente figura y responde.

Figura 1

1.- ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de cada triángulo? Complete la siguiente

tabla según los datos de la figura 1.

Triángulo ABC Triángulo DEF

Vértice A Vértice D

Vértice B Vértice E

Vértice C Vértice F


2.- Ahora que ya has encontrado las coordenadas de los vértices, completa la tabla con la

medida de los lados.

Triángulo ABC Triángulo DEF

Lado AB Lado DE

Lado BC Lado EF

Lado AC Lado DF

RELACIONANDO

3.- ¿Qué regularidad observas entre los vértices A y D, C y F, B y D?

4.- En base a la respuesta anterior, ¿Podrías determinar una regularidad para un punto

? Comenta con un compañero.

5.- ¿Qué transformación relaciona esta regularidad?

6.- ¿Cuál es el ángulo de giro? Comenta con un compañero.


7.- ¿Podría afirmar que ? Justifique.

Observa la figura 2. Cabe destacar que estos triángulos son isósceles.

Figura 2

8.- Con los datos de la figura anterior completa el siguiente cuadro.

Triángulo ABC Triángulo XYZ

Vértice Vértice

A X

B Y

C Z

9.- Resta las coordenadas del vértice X y A, haz lo mismo con Y y B, Z y C? ¿Qué observas?


10.- Según la respuesta anterior, ¿qué nombre recibe este nuevo par ordenado obtenido

de la diferencia de los vértices?

11.- ¿Qué transformación utiliza este nuevo par ordenado?

12.- ¿Podría afirmar que ? Justifique.

A continuación te presentamos la figura 3. Observa:

Figura 3


13.- “La figura 3 muestra una reflexión, respecto al eje de la ordenada”. ¿Es verdadera la

afirmación? Justifica. Comenta con un compañero.

14.- ¿Puedes afirmar que los triángulos son congruentes? Justifica. Considera

y . Comenta con un compañero.

¿SON IGUALES?

Ya hemos estudiado las transformaciones isométricas y la congruencia. Como te habrás

dado cuenta estas cumplen ciertas características.

A continuación te presentamos dos tablas para que completes, tanto con las

características de las transformaciones isométricas, como la congruencia.

Características Transformaciones Isométricas

Características Congruencia de Triángulos

Al aplicar una transformación ¿Qué sucede con la figura y su imagen? Respecto a:

Al replicar una figura ¿Qué sucede con esta y su imagen congruente? Respecto a:

Forma Forma

Ángulos Ángulos

Lados Lados

Posición en el Plano Posición en el Plano

15.- ¿Qué puedes concluir con respecto a las características de las transformaciones

isométricas y las características de la congruencia de triángulos? Explica.


16.- Entonces, si a una figura le he aplicado una transformación isométrica y he obtenido su

imagen ¿Qué puedo afirmar inmediatamente de estas dos figuras?

Sintetiza junto a tu profesor


ACTIVIDAD 4


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS: “Aplicando lo Aprendido”

Recurso: Regla y transportador.



El propósito de esta actividad es poner a prueba todo lo aprendido durante las clases anteriores. El énfasis está puesto en recordar los criterios de congruencia y aplicarlos en situaciones de la vida cotidiana, además de reconocer pares de figuras congruentes, donde a una de ellas se le aplicó un movimiento en el plano para conseguir su imagen. Cumpliendo con los requisitos del programa de estudio, los estudiantes luego de realizar la actividad, estarán en condiciones de utilizar los criterios de congruencia para la resolución de problemas de la vida cotidiana. La actividad supone que los estudiantes conocen la congruencia, los criterios de congruencia, las transformaciones isométricas, ángulos y lados de polígonos, el plano cartesiano y el euclideo, rectas perpendiculares.

PRACTICA EN EL PLANO CARTESIANO

Una vez presentada la actividad se sugiere pasar rápidamente por las palabras claves. Si es necesario, se recomienda recordar concepto claves como perpendicularidad y ángulos opuestos por el vértice, conceptos necesarios para el desarrollo del problema número 3.

En la pregunta 3, se sugiere la representación gráfica del problema, esto será útil para su análisis.

LA CONGRUENCIA EN LA VIDA COTIDIANA

El profesor puede sugerir a los estudiantes realizar un esquema de los datos que entrega el problema para facilitar la interpretación y comprensión.

Si fuera necesario, se sugiere al profesor recordar que un segmento es congruente a sí mismo.

Un error frecuente al representar la información del problema 4, es que los estudiantes asuman el ángulo que se forma como recto. Se recomienda al profesor destacar que no se puede asumir información si esta no está especificada en el problema.


Se sugiere al docente, en el caso que los estudiantes no sean capaces de responder la pregunta 5, proponer una actividad complementaria: Dibuja un triángulo con los ángulos 30°, 70° y 80° (utilizar regla y transportador). Luego compara con un compañero ¿Los triángulos son congruentes?

ACEPTA EL RETO

Si los alumnos presentan dificultades al responder la pregunta 1, se sugiere para el análisis las siguientes preguntas: ¿Qué sucede con la banca del lado derecho si más personas se sientan sin que esta se rompa? ¿Sucede lo mismo con la banca que posee una tabla diagonal? ¿Cómo lo justificarías según lo visto en clases anteriores?

El docente puede recordar que el suplemento de ángulos congruentes también es congruente.


ACTIVIDAD 4: “Aplicando lo aprendido”

Nombre: ______________________________________ Curso: 1° ___ Fecha: __/__/__

PRESENTACION

A continuación se presenta una actividad en la cual debes poner a prueba todo lo

aprendido en la unidad de Congruencia de Triángulos, como los criterios de congruencia,

y su relación con las transformaciones isométricas. Tu puedes!

Palabras Claves: Transformaciones Isométricas, Congruencia, Criterios de Congruencia.

Practica en el Plano Cartesiano

En esta sección trabajarás la congruencia en el plano cartesiano.

Observa atentamente la figura.

1.- Describe y corrige el error de la figura anterior.


Observa la figura 2

2.- ¿Puedes afirmar que el , sin utilizar los criterios de congruencia?

Justifica.

3.- Es posible afirmar que el triángulo formado por las coordenadas

y es congruente con el triángulo No

utilizar criterios.


LA CONGRUENCIA EN LA VIDA COTIDIANA

i. Lee atentamente cada problema y responde.

1. El servicio forestal utiliza fuego vigías ubicados en torres para vigilar los incendios

forestales. Cuando los vigías detectan un incendio, miden el ángulo de su visión hasta

la torre más cercana. El despachador recibe esta información, y además conoce la

distancia entre estas dos torres. ¿Cuántos miradores son necesarios para localizar un

incendio? Explica.

2. El colegio “Kichasca” es el organizador de la 14

edición del inter-escolar de la comuna. Una de las pruebas, es la carrera de relevos, la cual es realizada en el gimnasio del establecimiento. El recorrido está marcado en el piso. El equipo Uno parte desde el punto A avanza hacia B, luego C y regresa a A. El otro equipo empieza en C, va hacia D, luego A y regresa a C. Considerando que y . Es posible afirmar que los dos equipos recorrerán la misma distancia. Justifica.


3. La distancia entre un barco B y el punto más cercano P, situado en tierra, se puede

determinar así: Coloque una marca en un punto conveniente Q, situado en la recta a lo

largo de la orilla, y otro punto R más distante de la misma recta, de tal manera que

.En la perpendicular a la recta PR, en el punto R, localiza un punto A tal que

el punto A, B y Q sean colineales. ¿Por qué ? Justifica.

4. Don Pedro acaba de comprar un terreno triangular en el sur de Chile, Cabrero, Octava

región. Antes de todo decide enrejar su terreno. Los datos que le dieron acerca de las

dimensiones fueron: “desde el naranjo al rio en línea recta le corresponden 1000

metros (en dirección Sur), para luego desde el rio en dirección Este avanzar 600 metros

hasta llegar a los rosales”.

a. ¿La información entregada le servirá a Don Pedro para enrejar su terreno?

b. Si necesitara información adicional ¿Qué otro dato le sería útil?


5. La constructora Manquehue realizará la segunda etapa de sus casas. Matías está a

cargo de construir los techos, para ello necesita replicarlos tomando como referencia

los datos de la primera etapa. Matías considera que sólo es necesario conocer los 3

ángulos interiores para la construcción. ¿Podrá Matías replicar el techo con esta

información? Explica.

ACEPTA EL RETO

1. Observa la imagen y luego responde.

¿Por qué la banca con el apoyo diagonal es más estable que la otra? Explica.


2. Observa la figura.

Explica cómo se puede utilizar la información dada para demostrar que las partes del

parapente son congruentes. Sabemos que y , prueba que

.

MÓDULO DE ENSEÑANZA: “CONGRUENCIA DE … a descubrir el conocimiento, se fundamenta en la...

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