Nivelacion en matematicas

NIVELACIÓN EN MATEMÁTICAS

Lic. Walter Ramos Melo

Walter Ramos Melo Nivelación en matemática

3

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Es un conjunto letras y números (variables y constante) relacionadas entre si por las operaciones aritméticas

(suma, diferencia, multiplicación, división, potenciación y radicación) o alguna combinación de éstas en un

número limitado de veces.

La representación simbólica que permite reconocer las variables de una expresión algebraica es llamada

notación matemática

, es la expresión de variable

, es la expresión de variable e

Observación

En una expresión algebraica ninguna variable podrá formar parte de algún exponente y/o índice de un signo

radical, así las expresiones

no son expresiones algebraicas, al igual que estas otras

a éstas expresiones se les da el nombre de expresiones trascendentes

Término algebraico

Es la mínima parte de una expresión algebraica, donde no existen operaciones de adición y/o sustracción.

Todo término algebraico presenta tres partes: coeficiente con signo, variables y exponente (grado)

Clasificación de expresiones algebraicas

Racionales : Se le llama así cuando todos los exponentes de sus variables son números enteros

a su vez pueden ser:


4

a) Enteras : Cuando las variables están en el numerador y están afectadas con exponente enteros positivos

b) Fraccionarias : Cuando al menos una variable está afectada con exponente entero negativo o se

encuentra en el denominador

Irracionales : Se le llama así cuando al menos una variable está afectada con exponente fraccionario o figura

con un signo de radicación

VALOR NUMÉRICO

El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al

sustituir en ésta el valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas.

Ejercicios

01. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones (justifique su respuesta)

a) La expresión es un término algebraico.

b) El valor numérico de , cuando , , es 0,25

c) La expresión es algebraica

d) El valor numérico de , cuando , , es

Resolución

a) presenta operación de sustracción, por lo que no es un término algebraico

Falso


5

b)

÷

÷

÷

ˆ

Falso

c) , las variables son x; y

y los exponentes no presentan dichas variables

ˆ si es expresión algebraica

Verdadero

d)

÷

÷

÷

ˆ

Verdadero

02. Dada la expresión

calcule el valor de , cuando

Resolución


6

÷

÷

÷

÷

ˆ

03. Dada la expresión

calcule el valor de , cuando y

Resolución

÷

÷

÷

÷

÷

ˆ


7

DESPEJES DE VARIABLES

Dada una expresión algebraica igualada a otra, así como cualquier tipo de fórmula matemática, con frecuencia

se requiere aislar o “despejar” de dicha expresión alguna de sus variables; esto es, se pretende que dicha

variable quede sola en uno de los dos lados de la igualdad. No siempre es posible; pero para los casos en que

es factible hacerlo se deberá tener en mente las siguientes recomendaciones:

Los términos o monomios pasarán de un lado de la igualdad al otro cambiando de signo y es lo primero que se

hará, si es necesario.

Ejercicios

01. Despeje el valor de :

Resolución

Aislamos en la izquierda de la igualdad

÷

ˆ


Resolución

Aislamos en la derecha de la igualdad

ˆ


Resolución


ˆ


8


Resolución


ˆ


Resolución


efectuando la parte izquierda de la ecuación

invirtiendo ambos miembros

ˆ


Resolución

Como se encuentra en el numerador y denominador del primer miembro de la ecuación, pasamos su

denominador a multiplicar al otro miembro de la ecuación

÷

aislamos en la izquierda de la igualdad

÷


9

factorizando en el primer miembro

ˆ

07. La fórmula

permite calcular la Velocidad de un cuerpo en movimiento armónico simple. Despeje modelando la

expresión que permita calcular el valor de .

Resolución

Como se encuentra en la parte interna de una raíz, despejamos el radical

elevamos al cuadrado para eliminar el radical

aislamos en la derecha de la igualdad

ˆ

08. En la fórmula

de dilatación lineal de los cuerpos debido al cambio de temperatura, despeje .

Resolución

Como se encuentra en la parte interna de la expresión, entonces despejamos las expresiones a su

entorno

÷


10

÷

÷

÷

pasando y dejando solo a en la parte izquierda

ˆ

09. En la ecuación de los lentes:

despeje .

Resolución

Como se encuentra en la parte interna de la expresión, entonces despejamos las expresiones a su

entorno

÷

pasando y dejando solo a en la parte izquierda

÷

efectuando la parte derecha

÷

invirtiendo los dos miembros

ˆ

10. La expresión


11

determina el área de la región de un triángulo equilátero de lado cm, calcule el área de la región del

triángulo equilátero cuyo lado mide 4 cm.

Resolución

nos piden

÷

ˆ

11. La expresión

permite calcular el volumen de un cilindro recto, con radio en base de cm y altura cm. Calcule el

volumen del cilindro con radio 2 cm y altura 10 cm.

Resolución

nos piden

ˆ

12. Calcule el valor de la expresión

para ,

Resolución

nos piden

÷

÷

ˆ


12

Polinomio

Es aquella expresión racional entera, es decir la variable está afectada de exponentes enteros y positivos.

Ejemplos:

Representación general de un polinomio de una varia ble

Si , se dice que es un polinomio de grado

se llama término independiente

se le llama coeficiente principal

Ejemplo

Grado(P) = 3

Coeficiente principal = 7

Coeficiente del término cuadrático = 2

Coeficiente del término lineal = 5

Término independiente = 13

DEFINICIÓN: En todo polinomio cuyo coeficiente principal es la unidad se denomina “polinomio mónico”

Ejemplos

Grado(P) = 7

coeficiente principal = 1 ÷ P(x) es mónico

Grado(Q) = 9

coeficiente principal = -1 ÷ Q(x) no es mónico


13

VALORES NUMÉRICOS NOTABLES

Si P(x) es un polinomio, se cumple:

P(0) = Término independiente

P(1) = Suma de coeficientes

Grado

Es una característica de las expresiones algebraicas, relacionadas con los exponentes de sus variables.

Hay 2 tipos de grados y son:

Grado Absoluto (G.A.)

Grado Relativo (G.R.)

Grado de monomios

El grado o grado absoluto de un monomio se halla sumando todos los exponentes de todas sus variables y el

grado relativo de una variable está dado por el exponente de dicha variable.

Ejemplo

Sólo en monomios se cumple que el grado absoluto siempre es igual a la suma de todos sus grados relativos.

Grado de polinomios

El grado o grado absoluto de un polinomio está dado por el mayor grado de todos sus términos o monomios y

el grado relativo de una variable está dado por el mayor exponente de dicha variable en todo el polinomio.

Ejemplo

entonces

Polinomio homogéneo

Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto.


14

Ejemplo

es un polinomio homogéneo de grado de homogeneidad “9".

Polinomios idénticos

Dos o más polinomios son idénticos, si tienen el mismo valor numérico para cualquier sistema de valores

atribuidos a sus variables

Ejemplo:

Asignemos el valor de: , tenemos

÷

÷ cumple

Asignemos el valor de: , tenemos

÷

÷ cumple

En dos polinomios idénticos reducidos se cumple que los coeficientes de sus términos semejantes son iguales.

Así, si:

÷ W W

Ejemplo

Determine los valores de a, b y c en

Solución

Efectuando

igualando los coeficientes de los términos semejantes

÷ ÷ ÷ ÷

ˆ


15

POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO

Un polinomio reducido es idénticamente nulo, si todos sus coeficientes son iguales a cero.

Ejemplo:

Si: ax2 + bx + c / 0

entonces: a = 0 W b = 0 W c = 0

Observación

Un polinomio idénticamente nulo al ser evaluado para cualquier valor de su variable se ANULA (se hace cero).

Ejercicios


a. La expresión es un polinomio.

b. El grado absoluto del polinomio , es 8

c. La suma de los coeficientes de , es

d. En el monomio para que el grado relativo de la variable sea 20, el valor de ,

debe de ser 2.

02. El polinomio , se sabe que el término independiente es el triple de la suma de sus

coeficientes. Modele una ecuación que permita determinar el valor de .

03. Calcule , si el polinomio

es homogéneo.

Términos semejantes

Son aquellos términos que tienen la misma parte literal.

Ejemplos:

1. ; son términos semejantes.

2. ; son términos semejantes

Reducción de términos semejantes

Se suman los coeficientes y se escribe a continuación la misma parte literal.

Ejemplo:


16

Ejercicios

01. Dados los sólidos:

a. Modele el polinomio que representa el área total de A, B y C

b. Calcule el G.A. del polinomio que representa el volumen de A + B + C

02. El lunes gané billetes de soles, el martes gané billetes de soles, y el miércoles

gané veces lo que gane en los dos días anteriores. Si inicialmente tenía , ¿cuánto tengo ahora,

asumiendo que no gasté nada?

03. Los lados de un rectángulo son: , . Calcule el perímetro y el área del rectángulo

Rpta. ;

04. Vendí mi bicicleta en soles, ganando , ¿cuánto costó la bicicleta?

Rpta.

05. En la figura muestra la vista panorámica del proyecto de un parque de forma rectangular. En su interior se

encuentran jardines cuyas dimensiones se muestran en la figura y una vereda alrededor de los jardines del

mismo ancho en todo el parque.


17

a. Modele la expresión que represente el perímetro del proyecto del parque en función del ancho de la

vereda.

b. Modele la expresión que represente el área del proyecto del parque en función del ancho de la vereda.

Rpta.

a. , x ancho de la vereda

b. , x ancho de la vereda


18

PRODUCTOS NOTABLES

Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se pueden obtener en forma directa, sin necesidad

de efectuar la operación de multiplicación.

Entre las más importantes tenemos:

Binomio al cuadrado

Nota:

• Al producto se le llama trinomio cuadrado perfecto

•

Identidades de Legendre

Binomio al cubo

Identidades de Cauchy


19

Multiplicación de la suma por la diferencia

Al producto se le llama diferencia de cuadrados

Multiplicación de un binomio por un trinomio

Al producto se le llama suma de cubos

Al producto se le llama diferencia de cubos

Producto de dos factores con un término común

Trinomio al cuadrado

Identidad Trinómica (Argan ''''D)

Ejercicios

01. Si , , simplifique

Resolución

desarrollando

reduciendo


20

÷

ˆ

02. Efectuar

03. Indicar el equivalente reducido

04. Efectuar

05. Efectuar

06. Determine el resultado de efectuar

07. Efectuar

08. Halle el resultado de simplificar

09. Sabiendo que

calcule

10. Sabiendo que


21

Calcule


a) Al efectuar se obtiene .

b) No es posible que ocurra .

c) Si entonces .

d) Si entonces necesariamente se tiene .

e) Si entonces necesariamente se tiene .

Resolución

a)

Falso

b)

efectuando la parte izquierda

reduciendo

÷

÷

ˆ Será posible cuando

Falso

c)

÷

÷

÷

ˆ

Verdadero

d)

÷

÷

÷


22

÷

eliminando el factor común e igualando a para no perder soluciones

÷ w

÷ w

Falso

12. Modele una ecuación que permita determinar el polinomio , sabiendo que al multiplicarlo por

y sumar al resultado, se obtenga la cuarta potencia del exceso de sobre

Resolución

determinar el polinomio , sabiendo que al multiplicarlo por

y sumar

se obtenga la cuarta potencia

del exceso de sobre


23

DIVISIÓN ALGEBRAICA

Dados dos polinomios dividendo divisor , la división es una operación que consiste encontrar otros dos

polinomios: y denominados cociente y residuo respectivamente que verifican la siguiente relación:

Una división es exacta si y solo si:

entonces , también se dice que D(x) es divisible por d(x)

PROPIEDADES

1.

2/

Ejemplo:

Luego:

El residuo como máximo es de grado 2, pero también podría ser de primer grado o de grado cero (una constante

real).

Métodos de división

1//// Clásico

Ejemplo:


24

Observación

*

*

*

Luego:

2//// William Horner

Este método se basa en la división por coeficientes separados. Los polinomios dividendo y divisor se presentan

en el esquema como polinomios completos y ordenados por lo general en forma decreciente. Si faltase algún

término para que sean completos se colocará un cero.

Si la división es exacta, los polinomios dividendo y divisor pueden ser ordenados en forma creciente.

Esquema:

NOTA: El número de columnas que presenta el residuo es numéricamente igual al grado del divisor contado de

derecha a izquierda.

Ejemplo: Dividir:

Como no existe término cúbico, en el dividendo, se completa con cero

Nótese que los coeficientes del divisor cambia de signo, excepto el primero

Se divide el primer coeficiente del dividendo entre el primer coeficiente del divisor, para calcular el primer

coeficiente del cociente


25

El coeficiente calculado se multiplica por cada uno de los coeficientes del divisor, con signos cambiados, para

formar la siguiente fila

Luego: ;

3//// Paolo Ruffini

Se utiliza cuando el divisor es de primer grado:

, a … 0

Esquema:

x' &ba

x' &ba

&ba

&ba

Ejemplo

Dividir:

Como no existe el término de cuarto grado, se completa con cero

Se baja el primer coeficiente del dividendo, la cual se multiplica con el valor calculado de “x”, cuyo resultado se

coloca en la siguiente columna

Nótese que los coeficientes encontrados se debe de dividir entre el coeficiente de “x”, para calcular los

coeficientes del cociente

x ' &32

&32


26

Luego:

Teorema del resto

Tiene por finalidad hallar el resto de una división sin efectuar dicha operación.

Se aplica cuando el divisor es de la forma ax + b, o transformable a ella

Demostración

Sea la división: , donde se pide calcular el residuo

÷ Por la propiedad fundamental de la división

... (1)

Se desea calcular y no dividir, entonces debemos de eliminar el cociente , que se consigue igualando

a cero el divisor

÷ ÷

reemplazamos el valor encontrado en (1)

÷

ˆ

Pasos a seguir:

I. Se iguala el divisor a cero.

II. Se despeja una variable.

III. Se reemplaza el valor o equivalente de esta variable en el dividendo cuantas veces sea necesario.


27

Ejercicios


a) Al efectuar se obtiene .

b) Al efectuar , se obtiene como cociente un polinomio y un resto igual a cero.

c) Al efectuar la división , se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes

es 2017.

d) No es posible efectuar en el campo de los polinomios.

Resolución

a)

Falso

b)

el residuo es

Falso

c)

por Ruffini

el cociente es

Suma de coeficientes del cociente es:

entonces

Falso

d) En el campo de los polinomios no es posible efectuar, dado que el grado del dividendo es mayor que el

divisor

Verdadero


28

02. En una división de polinomios el cociente fue , mientras que el residuo fue tres unidades menor que el

doble del cociente. Modele una ecuación que permita determinar el divisor, sabiendo además que el

dividendo excede en unidades al cubo del cociente.

Resolución

cociente fue , entonces

el residuo fue tres unidades menor que el doble del cociente, entonces

el dividendo excede en unidades al cubo del cociente, entonces

÷

como nos piden determinar el divisor, sea el divisor

Del algoritmo de la división

por lo tanto la ecuación será

03. Calcule , sabiendo que el polinomio

es divisible por

Resolución

Como es divisible, entonces el residuo es cero. Por Horner

entonces v ÷ v

ˆ

04. Calcule si la división

deja resto nulo


29

Resolución

Por Horner

entonces v

v

ˆ

05. Al dividir un polinomio entre y , separadamente se obtuvieron como restos 12 y 20

respectivamente. Calcule el resto de dividir entre .

Resolución

Según dato:

• el resto es 12, entonces por teorema del resto ... (1)

• el resto es 20, entonces por teorema del resto ... (2)

Nos piden el residuo de dividir

como el divisor es de segundo grado, entonces el máximo grado del residuo es 1, osea es de la forma

Aplicando el algoritmo de la división

entonces tenemos

como son polinomios idénticos, podemos darle valores convenientemente para que se elimine el cociente,

que no se conoce

para , ÷ ... (3)

para , ÷ ... (4)

resolviendo el sistema (3) y (4) se obtiene v

ˆ


30

06. Al dividir un polinomio entre se obtiene como resto y un cociente cuya suma de

coeficientes es . Calcule el resto de dividir entre

Resolución

entre se obtiene como resto

entonces por el algoritmo de la división

... (1)

un cociente cuya suma de coeficientes es

entonces ... (2)

Nos piden el residuo de dividir , por teorema del resto, nos piden

en (1)

de (2)

ˆ

07. Al dividir entre se obtiene como resto , calcule el resto de dividir

entre .

Resolución

dividir entre se obtiene como resto

aplicamos el algoritmo de la división

... (1)

Nos piden el resto de dividir entre

por el teorema del resto, nos piden

en (1)

÷

÷

ˆ


31

08. Determine un polinomio de grado tres, que sea divisible separadamente por y por ;

sabiendo además que la suma de sus coeficientes es 24 y su término independiente es 2.

Resolución

es divisible separadamente por y por

como y son primos, entonces es divisible entre el producto

por el algoritmo de la división

... (1)

Como de grado tres

entonces es de primer grado de la forma

en (1)

... (2)

su término independiente es 2

entonces

en (2)

, entonces , entonces

la suma de sus coeficientes es 24

entonces

en (2)

, entonces , entonces

remplazando en (2)

ˆ


a) El resto de dividir es 3.

b) El residuo de dividir cualquier polinomio entre siempre será un número (término

independiente de ).

c) Si es divisible por entonces siempre es posible hallar un polinomio , tales que

.

d) Si un polinomio es divisible por y también es divisible por , entonces necesariamente es

divisible por el producto de ellos, es decir, por .


32

Resolución

a) Por teorema del resto ÷ , reemplazando en el dividendo

entonces ÷

ˆ

Verdadero

b) Como el divisor , es de primer grado, entonces máximo grado del residuo es 1 - 1 = 0, osea un

término independiente de

Verdadero

c) Como es divisible por , por el algoritmo de la división

Verdadero

d) es divisible por y también es divisible por

entonces es divisible por el mínimo común múltiplo de y

Falso

10. Se sabe que es divisible por . Modele una ecuación que permita

determinar el valor de .

Resolución

Por teorema del resto ÷ , reemplazando en el dividendo

y considerando el residuo cero, por ser divisible

entonces

11. Si al efectuar la división: , deja como residuo , calcule los valores de y .

Resolución

Por teorema del resto ÷

dando forma el dividendo con

÷

reemplazando , para calcular el residuo

÷


33

÷

÷

Por dato

entonces ÷

ˆ


34

FACTORIZACIÓN

Factorizar un polinomio es escribirlo como un producto de factores polinómicos primos entre si.

Divisores o factores de un polinomio

Dado un polinomio, se dice que un factor o divisor de este es cualquier polinomio que lo divide sin dejar resto.

Ejemplo:

Si

los factores son:

cada uno de ellos divide sin dejar residuo a

Factores primos de un polinomio

Un polinomio se considera primo sobre un campo numérico, si ya no se le puede factorizar sobre el mismo

campo numérico.

Si

los factores primos son:

Factorización de polinomios

Es un proceso inverso a la multiplicación, consiste en transformar el polinomio en un producto de dos o más

factores primos en el campo racional Q.

MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

Factorización por factor común monomio

Aquí buscamos un término repetido en toda la expresión, dicho término también denominado factor común se

deberá extraer considerando a sus variables con su menores exponentes.

Ejemplo:

Factorice el polinomio

Resolución

El término repetido es , luego el polinomio factorizado es:


Factorización por factor común polinomio

En este método debemos tener en cuenta la cantidad de términos del polinomio a factorizar. Se requiere agrupar

los términos del polinomio de 2 en 2, de 3 en 3, ... buscando un factor común polinomio.


35

Ejemplo:

Factorizar

Resolución

El polinomio no presenta factor común monomio, presenta 4 términos, dos términos positivos y dos términos

negativos, dos de ellos son múltiplos de 5, factorizamos esos términos por factor común monomio.

Dichos términos tiene en factor común monomio

agrupamos el segundo y tercer término

factorizando el factor común polinomio


Factorización por identidades

En este método se aplica las fórmulas de productos notables

Trinómio cuadrado perfecto

Ejemplo:

Factorice

Resolución

Diferencia de cuadrados

Ejemplo 1:

Factorice


36

Resolución

Dando forma

por diferencia de cuadrados

Ejemplo 2:

Factorice

Resolución

La expresión parece provenir de , como no tiene el término , entonces podemos como:


Ejemplo 3:

se repite en los dos términos ; , entonces factorizamos éstas variables elevados a su menor exponente que

son:


Suma y diferencia de cubos

Ejemplo 1:

Factorice

Resolución

Dando forma


37

por diferencia de cubos

Argan ''''s

Ejemplo

Factorice

Resolución

Factorización por aspas

Este método se aplica cuando existen variables al cuadrado ( ), productos de variables de dos en

dos ( ), variables lineales ( ) y un término independiente.

Para factorizar se descompone los términos que tienen las variables al cuadrado y el término independiente,

para comprobar los demás términos, mediante la suma del producto en aspa.

Ejemplo:

Factorice

Resolución

Se descompone los términos que tienen las variables al cuadrado, entonces se descomponen

se deben de comprobar los demás términos, mediante la suma del producto en aspa

, no existe término con , cumple

, no existe término con , cumple


38

, cumple

÷ cumple

ˆ

Factorización por divisores binomios

Se emplea para factorizar polinomios de cualquier grado que admita por lo menos un factor binomio de la forma

o transformable a ella.

Ceros del polinomio

Es el valor o conjunto de valores que anulan al polinomio (valor numérico)

Ejemplo:

Sea el polinomio:

Si evaluamos para

÷

Como se anula para

÷

Teorema del factor

Si un polinomio se anula para entonces diremos que es un factor de

Sea un polinomio

Si entonces es un factor de




39

Ejemplo:

Sea un polinomio




Procedimiento para factorizar

1. Se calculan valores que anulen al polinomio (ceros del polinomio)

“Posibles ceros” del polinomio (PC):

2. Se evalúa cada posible cero (PC) en el polinomio: Si , entonces es un factor de

3. Luego de encontrar el factor o factores binomios, para calcular el otro factor se tendrá que dividir el polinomio

inicial entre el factor o factores binomios obtenidos utilizando el método de Ruffini y el cociente resultante

será el otro factor.

Ejemplo 1:

Factorice:

Resolución

i)

en el ejemplo tenemos ocho posibles ceros y se tiene que probar hasta que con uno de ellos

el polinomio se anule.

ii) Para

÷

÷

÷ es un factor de

iii) Por Ruffini:


40

como el polinomio por factorizar es de tercer grado y encontramos un factor , entonces el otro factor,

de segundo grado es el cociente

ˆ

Ejemplo 2:

Factorice

Resolución

se anula para , entonces un factor es .

se anula para , entonces un factor es , notese que el divisor se dividió entre 3, que es

el denominador de la fracción.

se anula para , entonces un factor es

El polinomio a factorizar es de cuarto grado, se encontró 3 valores que anulan al polinomio, entonces el

cociente es de grado uno, entonces el otro factor es .

ˆ

Ejercicios

01. Factorice

Resolución



41

02. Factorice

Resolución


03. Factorice

Resolución

El polinomio presenta dos términos con un factor común polinomio

Factorizando se obtiene

04. Factorice

Resolución

El polinomio presenta tres términos, factorizando el signo negativo del término central, buscando factor

común polinomio

Factorizando el factor común polinomio se obtiene

05. Factorice

Resolución

El polinomio presenta seis términos, tres de ellos tienen factor común monomio , los otros tres tienen factor

común monomio , factorizando de tres en tres.



42


06. Factorice

Resolución

El polinomio presenta cuatro términos, dos de ellos tienen factor común monomio , los otros tres tienen

factor común monomio , factorizando de dos en dos.



07. Factorice

Resolución

Los dos términos que tiene el polinomio tiene la forma de diferencia de cuadrados

por diferencia de cuadrados se obtiene

reduciendo se obtiene

08. Factorice

Resolución

Por aspa


43

, cumple

la factorización será:

se observa diferencia de cuadrados

por diferencia de cuadrados se obtiene

09. Factorice

Resolución

Se observa suma de cubos

por suma de cubos

efectuando se obtiene

10. Factorice

Resolución

Por aspa

, cumple

la factorización será:


44

se observa diferencia y suma de cubos

por diferencia y suma de cubos

efectuando se obtiene

11. Factorice

Resolución

Se observa que se repite , hacemos el cambio de variable , entonces

entonces tenemos que factorizar

por aspa se obtiene

reemplazando

efectuando y reduciendo se obtiene

12. Factorice

Resolución

multiplicando convenientemente, buscando que la suma de los términos independientes de dos factores

sean iguales, ellos son: ; y

entonces:

hacemos cambio de variable, sea

reemplazando tenemos


por aspas se obtiene


45

reemplazando se obtiene

13. Factorice

Resolución

multiplicando convenientemente, buscando que la suma de los términos independientes de dos factores

sean iguales, ellos son: ; y

entonces:

hacemos cambio de variable, sea

reemplazando tenemos


por identidades

reemplazando se obtiene

14. Factorice

Resolución

Por divisores binomios




46

El polinomio a factorizar es de tercer grado, se encontró 2 valores que anulan al polinomio, entonces el


ˆ

15. Factorice

Resolución

Por divisores binomios



El polinomio a factorizar es de tercer grado, se encontró 2 valores que anulan al polinomio, entonces el


ˆ


47

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Es el cociente indicado de 2 expresiones algebraicas racionales enteras llamadas numerador (el dividendo) y

denominador (el divisor) donde este último es a lo menos de 1/ grado.

Representación de una fracción

donde:

A es el polinomio dividendo (Numerador)

B es el polinomio divisor (Denominador)

Ejemplos:

son fracciones algebraicas

no es fracción algebraica

Signos de una fracción

En toda fracción podemos distinguir 3 signos:

+ : signo del numerador

- : signo del denominador

- : signo de la fracción

Nota: En toda fracción no se altera al cambiar cualquier par de sus signos.

Ejemplos

•

•

•

Reducir


48

Resolución

Buscando fracciones homogéneas

sumando las fracciones homogéneas

cambiando de signos convenientemente

simplificando

ˆ

Clases de fracciones

Fracciones Propias

Cuando el numerador es de menor grado que el denominador. Así:

Fracciones Impropias

Cuando el numerador es de mayor o igual grado que el denominador. Así:

Fracciones Homogéneas

Son aquellas que tienen iguales denominadores.

son fracciones homogéneas

Fracciones Heterogéneas

Son aquellas que tienen denominadores diferentes.

son fracciones heterogéneas


49

OPERACIONES CON FRACCIONES

Suma o diferencia

* (fracciones homogéneas)

*

(fracciones heterogéneas: bdf = MCM de los denominadores)

Multiplicación

División

o también:

TEOREMA

Si: tiene un mismo valor constante “k” para cualquier valor de x e y de su dominio,

entonces:

Fracciones parciales

Es posible expresar una fracción propia como una suma de fracciones más sencillas, siempre que el grado

de sea menor que el grado de . Estas fracciones sencillas son conocidas como fracciones parciales

de .

Cuando es impropia, se divide la fracción para expresarlo de la siguiente manera


50

donde:

Ejemplo

, es fracción impropia

dividiendo

ˆ

Casos

Para descomponer una fracción propia, en suma de fracciones parciales, debemos de factorizar el denominador

y tener en cuenta que cada fracción parcial debe de ser también fracción propia, osea el grado del polinomio

numerador es de menor grado del polinomio denominador.

Caso 1

Cuando el denominador no presenta factores repetidos

Notese que cada fracción parcial se considera propia

Ejemplo 1:

Determine las fracciones parciales de

Resolución

Factorizando el denominador


51

tiene factor común monomio

por aspa simple

÷

efectuando

÷

como son idénticos podemos darle valores convenientemente

para ÷ ÷ ÷

para ÷

÷ ÷ ÷ ÷

para ÷

÷ ÷ ÷

ˆ

Ejemplo 2:


Resolución

efectuando

÷


52

dando valores convenientemente

para ÷

÷ ÷ ÷

para ÷

÷ ÷ ÷ ÷

para ÷

÷ ÷ ÷ ÷

ˆ

Caso 2

Cuando el denominador presenta un factor repetidos

Notese que las potencias tienen la misma forma que su factor simple

Ejemplo


Resolución

efectuando

÷

dando valores convenientemente

para ÷

÷ ÷


53

para ÷

÷ ÷

para ÷

÷ ÷ ÷

÷ ÷

ˆ

Ejercicios

01. Simplificar

Resolución

factorizando el factor común monomio del numerador

factorizando por aspas

simplificando

ˆ

02. Efectuar

Resolución


54

efectuando el primer factor

por Legendre y por suma por diferencia

simplificando

03. Reducir

Resolución

buscando fracciones homogéneas, cambiando de signos de dos en dos, convenientemente

sumando las fracciones homogéneas

ˆ


55

04. Simplificar

Resolución

efectuando

ˆ

05. Simplificar

Resolución

Los dos primeros términos del numerador tienen factor común polinomio , lo factorizamos

efectuando por productos notables

reduciendo

los dos términos del numerador tienen el factor común polinomio , lo factorizamos


56

ˆ

06. Calcule , sabiendo que

Resolución

Efectuando el primer miembro

Cambiando un par de signos el segundo miembro

para ÷ ÷ ÷

para ÷ ÷ ÷

ˆ

07. Simplifique y efectúe la siguiente expresión

Resolución


57

ˆ


a) Si la fracción es equivalente a la fracción entonces se cumple .

b) Al sumar se obtiene cero.

c) La expresión es equivalente a .

d) Si la fracción , es igual a su recíproco, entonces .

e) Al sumar se obtiene .

Resolución

a) ÷

Verdadero

b)

cambiando un par de signo en la segunda fracción


58

Verdadero

c)

Verdadero

d) ÷ ÷ ÷ ÷

Verdadero

e)

Falso

09. Al sumar se obtiene . Modele una ecuación (o unas ecuaciones) que permitan determinar

los valores de y .

Resolución

÷

÷

÷

ˆ


a) La expresión puede ser una fracción parcial.

b) La expresión puede ser una fracción parcial.

c) La expresión se descompone en exactamente dos fracciones parciales.


59

d) La expresión no puede ser una fracción parcial.

Resolución

a) La fracción parcial debe de ser propia

Falso

b) La fracción parcial es propia y el denominador no se puede factorizar más.

Verdadero

c)

Falso

d) La expresión , el denominador es factorizable , entonces no puede

ser una fracción parcial.

Verdadero


60

ECUACIONES

Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas donde a las variables que aparecen en la igualdad se les

denominan incógnitas y a los valores que verifican la igualdad se les llama soluciones de la ecuación las cuales

forman el conjunto solución (CS)

Notación general

Ejemplo:

Sea la ecuación:

Si: ÷ ÷

Si: ÷ ÷

como 3 y -1 verifican la igualdad, son las soluciones de la ecuación

ˆ

Observaciones

• Si la ecuación tiene una sola variable, la solución también se nombra raíz.

• La ecuación: es cuadrática de ahí sus dos soluciones

Clasificación de las ecuaciones

De acuerdo al tipo de solución se clasifica en:

1. Ecuaciones compatibles

Cuando admiten solución, éstas se dividen en:

1.1 Ecuación compatible determinada

Cuando tiene un número limitado de soluciones

Ejemplo:

Resolver la ecuación:

Resolución

Efectuando tenemos

÷

ˆ

1.2 Ecuación compatible indeterminada

Cuando tiene un número ilimitado de soluciones


61

Ejemplo:


Resolución

Efectuando tenemos

÷

se verifica para cualquier valor de “ ”

2. Ecuaciones incompatibles

Cuando no admiten solución. El conjunto solución es vacío.

Ejemplo:


Resolución

Efectuando tenemos

÷

absurdo

ˆ

Definición

Se dice que dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

Ejemplo:

Si: ÷

Si: ÷

ˆ Las ecuaciones son equivalentes

Observación

Si las ecuaciones son equivalentes no necesariamente deben ser del mismo grado.

Recomendaciones para resolver ecuaciones

1. Si a ambos miembros de una ecuación se elimina un factor en el numerador , se le debe de considerar igual

a cero para no perder soluciones


62

Ejemplo:


Resolución

Eliminando los factores comunes de ambos miembros e igualando a cero

w w

w w

ˆ

2. Si a ambos miembros de una ecuación se elimina un factor en el denominador, se le debe de considerar

diferente a cero

Ejemplo:

Resolver la ecuación

Resolución

Eliminando los factores comunes de ambos miembros

v

v

ˆ

3. Para elevar al cuadrado ambos miembros de una ecuación, nos debemos de asegurar que los dos miembros

sean positivos y todos los radicandos sean positivos

Ejemplo:


Resolución

Analizando la existencia de la ecuación

÷ ... (1)

Como los dos términos son positivos, podemos elevar al cuadrado la ecuación

÷


63

÷

÷

÷ w

considerando (1)

ˆ

4. Podemos aplicar las propiedades de razones y proporciones

Ejemplo:


Resolución

÷

÷

÷

÷

÷

÷

ˆ


64

Ejemplo:


Resolución

Sea

v

entonces tenemos

por proporciones

÷

÷

elevando al cubo

÷

por proporciones

÷

÷

ˆ


65

ECUACIÓN LINEAL

Es aquella ecuación polinomial que se reduce a la siguiente forma general:

, œ a … 0

cuya solución es:

Observaciones

1. Si: v ÷ La ecuación es compatible indeterminada

2. Si ÷ La ecuación es compatible determinada

3. Si v ÷ La ecuación es incompatible

Ejemplo:

Analizar la ecuación en

Resolución

Agrupando los que tienen la incógnita

÷

analizamos

a) Para que se compatible indeterminada

v

v

ˆ

b) Para que se compatible determinada

ˆ

c) Para que se compatible incompatible

v

v

(a - 3)(a - 2) … 0 v (a - 1)(a - 2) = 0

(a … 3 v a … 2) v (a = 1 w a = 2)

ˆ ˆ


66

Modelación de problemas

La parte más difícil al resolver un problema de aplicación, suele ser su traducción en una ecuación. Por tal

motivo antes de resolver algunos problemas, practicaremos la traducción del problema verbal a su

representación algebraica.

Representar los siguientes enunciados verbales en expresiones algebraicas:

01. El doble de un número, más uno.

Resolución

Sea el número: x

el doble:

multiplica toda la expresión hasta que exista una c oma o punto.

el doble del número, es: 2x

luego el doble más uno: “2x + 1"

02. El doble de un número más uno.

Resolución

Sea el número: x

el doble:

multiplica toda la expresión hasta que exista una c oma o punto.

el doble del número más uno, es: 2(x + 1)

03. Dos números cuya suma es 70

Resolución

Sea uno de ellos: x

el otro será: 70 - x

04. Tres enteros consecutivos

Resolución

Si “x” es el menor de los enteros

entonces (x + 1) y (x + 2) serán las otras dos.

05. Dos números cuya diferencia sea 11

Resolución

Si “x” es el número menor

entonces (x + 11) es el número mayor.

06. El exceso de 20 sobre el triple de un número

Resolución

Sea “x” el número dado

el exceso de 20 sobre 3x es: (20 - 3x)


67

07. La edad de Juan es el doble que la de Luis y la de éste es el triple que la de Ricardo.

Expresar cada una de estas edades en función de una de ellas.

Resolución

Sea x la edad de Ricardo

la de Luis será: 3x

y la de Juan será: 2(3x) = 6x

ENUNCIADO VERBAL REPRESENTACIÓN ALGEBRAICA

Siete sumado al doble de un número

La suma del doble de un número más siete

El doble de un número, aumentado en siete

Siete más que el doble de un número

2x + 7

Tres menos que el doble de un número

El doble de un número, disminuido en tres

La diferencia del doble de un números y tres

Tres restado del doble de un número

2x - 3

ENUNCIADO VERBAL UN NÚMERO SEGUNDO NÚMERO

Dos números que difieren en tres

La edad de Ricardo y su edad dentro de 4 años

Un número es el quíntuplo de otro

La suma de dos números es 18

Un alambre de 30 metros cortado en dos

x

x

x

x

x

x + 3

x + 4

5x

18 - x

30 - x

ENUNCIADO REPRESENTACIÓN

Dos números proporcionales a 4 y 5.

Dos números en relación de 4 a 5.

Dos números son como 4 es a 5.

La relación de dos números es 4/5.

La razón de dos números es 4/5.

A = 4x; B = 5x

5A = 4B


A excede a B en 7.

B es excedido por A en 7.

El exceso de A sobre B es 7.

A es mayor que B en 7.

B es menor que A en 7.

La diferencia entre A y B es 7.

A - B = 7

A = x + 7; B = x

68


A es el triple de B.

A es tres veces B.

A es tres veces mayor que B.

A es dos veces más que B.

B es un tercio de A.

A = 3B

A = 3x; B = x

Nota : “m” veces más <> “m + 1" veces

El cuadrado de la suma de dos números A y B.

La suma de los cuadrados de los números A y B

El cubo de la suma de los números A y B

La suma de los cubos de los números A y B

La inversa de un número x

El reciproco de x

La suma de las reciprocas de x e y

La suma de los inversos de las reciprocas de x e y

Algo que recordar

PALABRA SIGNIFICADO

Veces

De , del , de los

Como...es a ...

en relación

Es , en ,sea, tiene, tendrá, equivale tanto como

Producto

Producto

Proporción

Proporción

Igualdad

Planteo y resolución de problemas de aplicación

A continuación indicaremos algunas recomendaciones para resolver un problema verbal:

01. Lea la pregunta con cuidado

02. De ser posible, haga un dibujo que le ayude a visualizar el problema

03. Determine la cantidad que se debe encontrar, elija una letra para representar a esta cantidad desconocida.

Escriba con exactitud lo que representa (significa). Si hay más de una cantidad desconocida, represente

todas las otras en términos de la primera.

04. Escriba el problema verbal como una ecuación

05. Despeje la incógnita de la ecuación

06. Responda a la o las preguntas planteadas


69

Ejercicios

01. Resolver la ecuación

Resolución

Juntando las fracciones homogéneas

efectuando las fracciones homogéneas

como eliminamos , debemos de considerar , entonces

ˆ


Resolución

Factorizando los denominadores

efectuando

eliminamos los factores y de los denominadores, debemos de considerar v

, entonces v


70

ˆ


Resolución

Efectuando

÷

÷

÷

÷

ˆ


Resolución

Despejando el radical

÷

para que exista el radical y el problema

v

v

elevando al cuadrado

÷

÷

÷

÷

÷ w


71

÷ w , pero

ˆ


Resolución

Despejando un radical

÷


v

v

÷


÷

÷

÷

Absurdo, dado que un negativo no puede ser igual a un positivo

ˆ


Resolución

Sea

v

entonces tenemos

por proporciones

÷


72

÷

elevando al cuadrado, dado que los dos términos son positivos

÷

÷

ˆ


Resolución

Despejando el radical


v

v

entonces


÷

÷

÷

÷ , pero

ˆ


Resolución

Efectuando

÷

÷

÷


73

÷

÷

ˆ

09. Resolver

Resolución

juntando los términos que tienen

÷

el primer miembro se factoriza el factor común monomio , en el segundo miembro se factoriza el factor

común polinomio

÷

por diferencia de cuadrados en el primer miembro y reduciendo el segundo miembro

÷

eliminando y factorizando 3 en el segundo miembro

÷

÷

ˆ


Resolución

Por proporciones

÷

÷

÷

÷

÷

÷


74


a) El conjunto solución de la ecuación es .

b) Una solución de la ecuación es 72.

c) La ecuación no es una ecuación de primer grado.

d) La ecuación , es equivalente a la ecuación

Resolución

a) , efectuando

÷

÷

eliminando e igualando a cero ara no perder soluciones

÷ w

ˆ

Falso

b) , efectuando

÷

÷

es una verdad absoluta

ˆ

Verdadero

c) , efectuando

÷

÷

es una ecuación de primer grado

Falso

d)

÷

eliminando e igualando a cero para no perder soluciones

÷ w

ˆ


75

÷

÷

ˆ

Las ecuaciones no tienen el mismo conjunto solución, por lo que no son equivalentes

Falso

12. Una varilla de longitud se parte en dos pedazos, de tal modo que uno de ellos excede en unidades a

la mitad del otro. Modele una ecuación que permita determinar las medidas de ambas partes.

Resolución

Longitud de la varilla :

Sea la longitud del pedazo menor :

entonces la longitud del pedazo mayor es :

como : “uno de ellos excede en unidades a la mitad del otr o”

entonces , es la ecuación para calcular la longitud del pedazo menor.

Longitud de la varilla :

Sea la longitud del pedazo mayor :

entonces la longitud del pedazo menor es :

como : “uno de ellos excede en unidades a la mitad del ot ro”

entonces , es la ecuación para calcular la longitud del pedazo mayor.

13. Dos veces la diferencia de un número con 3 es igual a 18. El número es:

Resolución

“Dos veces ”

multiplica por 2 a toda la expresión hasta que exista una coma o punto


76

“Dos veces la diferencia ”

resta dos cantidades

“Dos veces la diferencia de un número con 3 ”

los números a restar es un número desconocido, llamémoslo , con 3

“Dos veces la diferencia de un número con 3 es igual a 18 ".

se completa la ecuación

dividiendo entre 2

ˆ

13. Dividir 5 000 en dos parte tales que la primera parte sea 200 más que el triple de la segunda parte.

Resolución

Comencemos desde el final de la oración

“el triple de la segunda parte ”

multiplica por 3 la segunda parte, sea la segunda parte

“200 más que el triple de la segunda parte”

suma 200 al triple de la segunda parte

“la primera parte sea 200 más que el triple de la segunda parte”

nos da el valor de la primera parte

pero,

entonces la suma de las dos parte nos da el total 5 000


÷

÷

ˆ


77

14. El producto de 3 números enteros consecutivos es igual a 15 veces el segundo. La suma de ellos es:

Resolución

Como son tres números consecutivos, entonces llamamos al número central , entonces el anterior será

y el posterior

como el producto de ellos es igual a 15 veces el segundo, la ecuación será:

eliminando e igualando a 0, para no perder soluciones

÷ w


÷ w

÷ w

÷ w

÷ w w

si

entonces los tres números serán: -1; 0 ; 1

ˆ

si

entonces los tres números serán: -5; -4 ; -3

si

entonces los tres números serán: 3; 4 ; 5

15. La altura de un rectángulo es 6 unidades menor que 2 veces su base. Si el perímetro es 96 unidades.

Calcular las longitudes de los lados del rectángulo.

Resolución

Comencemos desde el final de la oración

“2 veces su base ”

multiplica por 2 a la base, llamemos la longitud de la base

“6 unidades menor que 2 veces su base”

6 unidades menor que, resta 6 unidades a la frase que le sigue


78

“La altura de un rectángulo es 6 unidades menor que 2 veces su base”

nos da la altura del rectángulo

pero,

como el perímetro es 96 unidades

la ecuación será:

dividiendo entre 2

÷

÷

÷

ˆ

16. La base de un rectángulo es el doble más 2 cm que su altura, siendo esta altura igual a la de un cuadrado.

Calcular las dimensiones del rectángulo si su perímetro es el doble del perímetro del cuadrado.

Resolución

“La base de un rectángulo es ”

“La base de un rectángulo es el doble más 2 cm ”

“La base de un rectángulo es el doble más 2 cm que su altura ”

sea la altura del rectángulo , que es igual a la altura del cuadrado


79

como el perímetro del rectángulo ( ) es el doble del perímetro del cuadrado ( )


efectuando

÷

÷

ˆ

17. Calcular la edad de Ricardo, si dentro de 30 años tendrá el cuadrado de la que tiene ahora.

Resolución

Sea la edad actual de Ricardo.

en 30 años su edad será:

por dato

÷

÷

÷ w

ˆ

18. Un padre tiene triple de la edad de su hijo, si el padre tuviera 20 años menos y su hijo 16 años más, ambos

tendrían la misma edad. Calcular sus edades actuales.

Resolución

“Un padre tiene triple de la edad de su hijo ”

Sea:

La edad del hijo :

entonces, la edad del padre es :


80

Supuesto

“si el padre tuviera 20 años menos ”

la edad del padre sería :

“y su hijo 16 años más ”

la edad del hijo sería :

“ambos tendrían la misma edad ”


reduciendo

÷

÷

ˆ

19. Dentro de 20 años, Luis Enrique tendrá el doble de la edad que tenía hace 10 años. ¿Cuántos años tiene

actualmente?

Resolución

Sea la edad actual de Luis Enrique : años

dentro de 20 años tendrá : años

hace 10 años tenía : años

“Dentro de 20 años, tendrá el doble de la edad que t enía hace 10 años ”


efectuando

÷

÷

ˆ

20. Carla tarda en coser un vestido el doble de tiempo que a Rosa le toma hacerlo. Si trabajando juntas pueden

terminarlo en 9 horas. ¿Cuánto tiempo le tomará a cada uno?

Resolución


81

“Carla tarda en coser un vestido el doble de tiempo que a Rosa le toma hacerlo ”

Si Rosa se tarda horas, entonces Carla se tarda horas

Si Rosa se tarda horas en terminar el trabajo, entonces en una hora hará del trabajo

Si Carla se tarda horas en terminar el trabajo, entonces en una hora hará del trabajo

entonces, trabajando juntas en una hora harán del trabajo ... (1)

“Si trabajando juntas pueden terminarlo en 9 horas ”

entonces, trabajando juntas en una hora harán del trabajo ... (2)

(1) = (2)

efectuando

÷

÷

ˆ

21. Dos motociclistas parte del mismo lugar en dirección opuesta. El primero viaja a 4 km/h más rápido que el

segundo. Después de 6 horas se encuentran a 3 000 km el uno del otro. ¿Cuál es la velocidad del primero?

Resolución

“El primero viaja a 4 km/h más rápido que el segundo ”

Sea la velocidad del segundo :

entonces la velocidad del primero es :

Entonces en 6 horas :

el segundo recorre :


82

el primero recorre :

“Después de 6 horas se encuentran a 3 000 km el uno del otro”

entonces

÷

dividiendo entre 6

÷

÷

÷

ˆ

22. Un camión de 30 m de largo se desplaza con velocidad de 15 m/s. si necesita 6 segundos para cruzar un

puente. ¿Cuál es la longitud de dicho puente?

Resolución

Sea m la longitud del puente, para que el camión termine de cruzar el puente, debe de recorrer longitud

del puente y su longitud

Entonces, espacio recorrido es :

tiempo :

velocidad :

como

entonces se completa la ecuación

÷

ˆ


83

23. El mercado de muebles de Occidente recibió 55 mesas, algunos burós y algunas mesas para café. La

factura fue por $ 645. Si cada buró cuesta $ 9 y cada mesa para café tiene un precio de $ 15. ¿Cuántas

mesas de cada tipo recibieron?

Resolución

Se recibieron 55 mesas, distribuidos de la siguiente manera

Cantidad Costo unitario Costo

Burós x $ 9 9x

Mesas para café 55 - x $ 15 15(55 - x)

Total 55 9x + 15(55 - x)

La factura fue por $ 645

entonces se completa la ecuación

efectuando

÷

÷

÷

ˆ

24. Un comerciante regala lapiceros a sus clientes. Si regala 8 a cada uno le sobra 15, si regala 11 a cada uno

le faltan 3

a) Modele la ecuación que permita calcular la cantidad inicial de lapiceros que tenía el comerciante.

b) Resuelva la ecuación y determine la cantidad inicial de lapiceros que tenía el comerciante.

Resolución

a) Sea la cantidad de lapiceros

“Si regala 8 a cada uno le sobra 15 "

Si le sobra 15, entonces reparte lapiceros

como a cada uno regala 8 lapiceros, entonces el número de clientes es:

“si regala 11 a cada uno le faltan 3 "

Como le falta 3 lapiceros, entonces necesita lapiceos para repartir 11 a cada uno, entonces el

número de clientes es

Igualando el número de clientes


84

ˆ

b)

por proporciones

÷

÷

÷

ˆ


85

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Es aquel conjunto formado por dos o más ecuaciones en el cual su conjunto solución verifica cada una de las

ecuaciones dadas.

Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Forma general:

donde: x e y son variables

, , , , , son coeficientes

Métodos de solución

También resolveremos problemas con (3) variables empleando los mismos métodos de solución.

I. Método de reducción

Cuando nos referimos a este método, la idea es eliminar una de las variables (la que sea más simple para

eliminar).

En algunos casos la reducción no es sencilla; se multiplicará por una cantidad a una u otra ecuación y luego

se procederá a reducirla.

Ejemplo

Resolver

Resolución

debemos de buscar que una incógnita tenga coeficientes iguales en valor absoluto, pero diferentes en signo,

en éste caso busquemos que ocurra con la incógnita , para ello buscamos el mínimo común múltiplo de

sus coeficientes , entonces multiplicamos a la primera ecuación por 4, para que resulte igual

al MCM y a la segunda por -3, así tendremos

Sumando las dos ecuaciones

÷

reemplazando en


86

÷

÷

÷

ˆ

Representación gráfica de la solución

La gráfica de la ecuación es una recta, necesitamos dos puntos para trazar la recta

Si ÷ ÷ , entonces un punto será


La gráfica de la ecuación será

en la ecuación



La gráfica de la ecuación lo representamos junto a la anterior y será


87

II. Método de sustitución

Cuando nos referimos a este método, la idea es despejar una de las incógnitas de una ecuación y

reemplazarla en la otra:

Ejemplo

Resolver

Resolución

Despejando de la primera ecuación ÷

reemplazando en la segunda ecuación:

÷

÷

÷

reemplazando en la primera ecuación

÷

÷

ˆ


88

III. Método de igualación

Cuando nos referimos a este método, la idea es despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones y luego

igualarlas.

Ejemplo

Resolver

Resolución

Despejando de la primera ecuación ÷

Despejando de la segunda ecuación ÷

Igualando

÷

÷


÷

÷

ˆ

IV. Método de Cramer

En éste método se usa determinantes

Forma general:

Para calcular una incógnita, se forma una división de determinantes, en el numerador se escribe el

determinante de la incógnita, que se forma en eliminar la columna de la incógnita y colocar en su lugar la

columna de los términos independientes y en el denominador el determinante del sistema, así

;


89

para efectuar el determinante de segundo orden, se multiplica los coeficientes de la diagonal principal y se

resta el producto de la diagonal secundaria

Ejemplo

Resolver

Resolución

÷

÷

ˆ

Si el sistema presenta 3 incógnitas

Forma general:


90

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema por la regla de Cramer

Resolución

÷

÷


91

÷

ˆ

Estudio de las soluciones en el sistema de ecuacion es lineales

Sea el siguiente sistema:

1. Sistema Compatible Determinado (única solución)

En este caso el corte entre ambas rectas nos indica la única solución que existe.

2. Sistema Compatible Indeterminado (Infinitas soluc iones)


92

En este caso las dos rectas están superpuestas, debido a esto hay infinitos cortes, entonces infinitas

soluciones.

3. Sistema Incompatible (No existe solución)

÷

En este caso observamos que las rectas son paralelas, entonces no hay solución.

Ejercicios

01. Resolver el siguiente sistema

Resolución

Sumando las tres ecuaciones

÷ ... (1)

reemplazando la primera ecuación en (1)

÷ ÷ ÷

reemplazando la segunda ecuación en (1)

÷ ÷ ÷


93

reemplazando la tercera ecuación en (1)

÷ ÷ ÷

ˆ

02. En el siguiente sistema, hallar el valor de para que el sistema tenga infinitas soluciones e indicar su

conjunto solución.

Resolución

Para que tenga infinitas soluciones, las rectas deben de ser coincides o una es múltiplo de la otra

÷

÷

ˆ

La única ecuación será

Si

÷ ÷

ˆ

03. Las dos terceras partes de la edad de Juan exceden en 4 años a la de Susana, y hace 8 años era el doble

que la de Susana.

Modele el sistema de ecuaciones lineales que al resolverla permita conocer las edades de Juan y Susana.

Calcule las edades de Juan y Susana.

Resolución

Sea:

x : la edad de Juan

y : la edad de Susana

como “Las dos terceras partes de la edad de Juan exceden en 4 años a la de Susana ”


94

÷ ÷

además “hace 8 años era el doble que la de Susana ”

÷ ÷

Entonces el sistema que resuelve las edades de Juan y Susana es:

multiplicando la segunda ecuación por -2

÷

sumando las dos ecuaciones

÷


÷

ˆ

04. En un triángulo isósceles de 14 cm de perímetro, el lado desigual es tres veces menor que cada uno de los

otros lados. Determine la medida de los lados.

Resolución

Sea el triángulo isósceles

perímetro 14 cm, entonces ÷

como “el lado desigual es tres veces menor que cada uno d e los otros lados ”

entonces ÷

Entonces el sistema que resuelve los lados del triángulo isósceles es:

reemplazando la segunda ecuación en la primera


95

÷

reemplazando en la segunda ecuación

÷

÷

ˆ

05. Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. En total hay 50 habitaciones y 87 camas. Calcule el número

de habitaciones de cada tipo.

Resolución

Sea:

x : número de habitaciones dobles

y : número de habitaciones simples

como “en total hay 50 habitaciones ”

entonces

como “hay 87 camas”

entonces

Entonces el sistema que resuelve el número de habitaciones de cada tipo es:

multiplicando por -1 a la primera ecuación

sumando las ecuaciones

÷

como

÷

÷

ˆ


96

06. Un oficinista compra 250 objetos entre lápices y bolígrafos con un costo de S/. 200. Si los lápices cuestan

S/. 0,50 y los bolígrafos S/.2. Calcule el número de bolígrafos y lapiceros que se compró.

Resolución

Sea:

x : número de lápices comprados

y : número de bolígrafos comprados

como “compra 250 objetos ”

entonces

como cada lápiz cuesta S/. 0,50 y se compró x lápices, entonces se invirtió S/. 0,5x en lápices

como cada bolígrafo cuesta S/. 2,00 y se compró y bolígrafos, entonces se invirtió S/. 2y en bolígrafos

entonces se invirtió en total

multiplicando por 2, entonces

Entonces el sistema que resuelve el número de lápices y bolígrafos es:

multiplicando por -1 a la primera ecuación

sumando las dos ecuaciones

÷

como

÷

÷

ˆ


97

ECUACIONES EXPONENCIALES

Son aquellas ecuaciones cuya incógnita aparece en el exponente.

Si:

÷ œ a > 0 v a…1

Ejemplo:

Resolver:

Resolución

escribiendo las bases en función a la potencia 3:

como las bases son iguales:

÷

ˆ

Caso Particular:

Si:

÷ œ x … 0

Ejemplo:

Resolver:

Resolución

como los exponentes son iguales:

÷

÷

ˆ

Observación:

Si: v a … b

÷


98

Ejercicios

01. Calcular el valor de " " si:

Resolución

Factorizando , que es el menor de los tres términos

÷

÷

÷

ˆ

02. Resolver:

Resolución

Expresando la base 27 como potencia de 3

÷

a bases iguales, exponentes iguales

expresando la base 9, como potencia de 3

÷

÷

ˆ


99

03. Resolver:

Resolución

Elevando a la octava, miembro a miembro

pasando a multiplicar, tenemos

trasladando términos

factorizando y

÷

ˆ

04. Resolver:

Resolución

Expresando las bases en función de la potencia 5

÷

÷

÷

ˆ


100

05. Resolver:

Resolución

Expresando en potencia de 5

÷

÷

÷

÷

÷

ˆ

06. Hallar “x” en:

Resolución

Factorizando , que es el menor de los dos términos

÷

÷

÷

÷

÷ 2x - 2 = 1

ˆ

07. Determine los valores de e en:


101

Resolución

multiplicando por dos a la segunda ecuación

sumando las ecuaciones

÷

ˆ

reemplazando en la primera solución

÷

÷

÷

ˆ


102

LOGARITMOS

El logaritmo de un número positivo en una base positiva y diferente de uno será igual al exponente al cual hay

que elevar la base para obtener dicho número.

Notación:

œ b > 0 v b … 1, N > 0

Donde:

N = número del logaritmo

b = base del logaritmo

x = logaritmo de N en base b

Ejemplos:

Identidades fundamentales

1. œ b > 0 v b … 1; N > 0

2. œ b > 0 v b … 1; v x 0 ú

Ejemplo:


103

Teoremas

Sean los números A > 0 v B > 0; además b > 0 v b … 1

1.

2.

Observación

œ b > 0 v b … 1;

I.

II.

Ejemplos:

3. , n 0 ú

4. , m … 0

Observación

Ejemplos:


104

6. Regla de la cadena:

Se deduce:

v

Ejemplos:

7. Cambio de base:

Ejemplos:

a base 2

8. œ a, c 0 ú+

Ejemplo:

Logaritmo decimal, vulgar o de Briggs

; N > 0

Ejemplos:


105

Logaritmo natural, neperiano o hiperbólico

; N > 0

e = 2,718281828459...

Ejemplos:

Ejercicios

01. Resolver

Resolución

Por definición de logaritmos

ˆ

02. Resolver

Resolución

Juntando los logaritmos

÷

por definición de logaritmos

÷

÷

Sea ÷

reemplazando


106

factorizando por aspa simple

÷

reemplazando

÷

÷

÷

ˆ

03. Si el conjunto solución de

tiene la forma . Calcule el valor de

Resolución

Juntando los logaritmos

÷

÷


÷

÷

÷

ˆ

04. Resolver

Resolución


107


elevando a la quinta

÷

÷

÷

÷

ˆ

05. Resolver

Resolución

÷

÷

pero para que exista el logaritmo

ˆ

06. Calcule el valor o valores de

Resolución


108

÷

÷

÷

÷

pero para que exista el logaritmo

ˆ

07. Resolver

Resolución

tomando logaritmo neperiano

÷

÷

ˆ

08. Resolver

Resolución

Sea ÷

reemplazando

factorizando por aspa simple

÷

reemplazando

÷


109

÷

tomando logaritmo neperiano

÷

÷

÷

ˆ

09. Determine el conjunto solución de

Resolución

÷

tomando logaritmo decimal

÷

÷

ˆ

110

DESIGUALDADES

Es la relación de orden que se establece entre dos cantidades que poseen diferente valor.

Definiciones

Siendo a 0 ú, se establece:

a es positivo ø a > 0

a es negativo ø a < 0

a es no positivo ø a # 0

a es no negativo ø a $ 0

Axiomas de orden

Si a; b v c 0 ú, entonces se define:

1. Ley de la Tricotomía: Siendo a y b reales, una y sólo una de las siguientes sentencias es válida.

a b

2. Ley Aditiva

Si a 0 ÷ ac < bc

4. Ley Transitiva

Si a b ...... (i)

c > d ...... (ii)

(i) + (ii):

÷ a + c > b + d

111

2. Si:

a > b ...... (i)

c < d ...... (ii)

(i) - (ii):

÷ a - c > b - d

Intervalos

Es aquel subconjunto de los números reales, definiendo un conjunto de valores entre dos límites, inferior y

superior.

Clases de intervalos

1. Intervalo Cerrado :

Por definición [a; b] = {x/ a # x # b}

2. Intervalo Abierto:

Por definición ]a; b[ = {x/ a < x < b}

3. Intervalos Mixtos:

i) [a; b[ = {x/ a # x < b}

ii) ]a; b] = {x/ a < x # b}

También:

1) [a; +4[ = {x/ x $ a}

112

2) ]-4; a] = {x/ x # a}

3) ]a; +4[ = {x/x > a}

4) ]-4; a[ = {x/ x < a}

Operaciones entre intervalos

Si los conjuntos A y B representan un intervalo de números reales, se realizan entre ellas las siguientes

operaciones:

1. Unión: A c B = {x/x 0 A w x 0 B}

2. Intersección: A 1 B = {x/x 0 A v x 0 B}

3. Diferencia: A - B = {x/x 0 A v x ó B}

4. Complemento: A' = {x/x 0 ú v x ó A}

Ejemplo:

Sean los conjuntos: A = [-4; 5[; B = ]0; 8]; C = [-1; +4[

realizar las siguientes operaciones:

1) A c B 2) B 1 C

3) A - C 4) B'

Resoluciones

1) A c B = ?

Como: A = [-4; 5[ y B = ]0; 8]

Graficando:

÷ A c B = [-4;8]


113

2) B 1 C = ?

Como: B = ]0; 8] y C = [-1; +4[

Graficando:

÷ B 1 C = ]0; 8]

3) A - C = ?

Como: A = [-4; 5[ y C = [-1; +4[

Graficando:

÷ A - C = [-4;-1[

4) B' = ?

Como: B = ]0;8]

Graficando:

÷ B'= ]-4; 0] c ]8; +4[

Teoremas

1. œ x 0 ú: x2 $ 0

2. x2 = 0 ø x = 0

3. œ a; b; c 0 ú

si: a > b v c > 0 ÷

114

si: a > b v c < 0 ÷

4. œ a; b; c; d 0 ú

a d

÷ a - c 0

x +

œ x < 0

x +

PROBLEMAS PROPUESTOS

01. Indicar cuántas de las siguientes proposiciones

son verdaderas:

( ) 10 # 10 ( ) -9 < 0

( ) 7 $ 9 ( ) 0 $

( ) -6 > -8 ( ) 3 > B > 4

A. 2 C. 3

B. 4 D. 5

02. Sean:

A = {x 0 ú / x 0 ]-5; -1[ }

B = {x 0 ú / x 0 ]-2; 2] }

hallar: (A c B)

A. ]-5; 2[ C. ]-5; 2]

B. [-5; 2] D. [-5; -4]

03. Sean los intervalos:

A = [-6; 5]

B = ]-2; 9[

Halla la suma de los valores enteros de: A 1 B

A. 10 C. 11

B. 12 D. 14

04. Si: ; dar el menor valor de “m” si se

verifica (m 0 Z); x > -5.

A. -14 C. -13

B. -12 D. -6

115

05. Se define la operación # para los reales como:

a#b = ,

hallar el C.S. de la siguiente inecuación en ú.

x # 2 #

A. ]-4; 7/4] C. ]-4; -23/8]

B. [7/4; +4[ D. ]-7/4; +4[

06. Resolver el sistema: 5x - 4 < 2x + 5 < 4x+1

A. x 0 [2; 3[ C. x 0 ]-5; 5[

B. x 0 ]-1; 1[ D. x 0 ]2; 3[

07. Dados los intervalos:

A = { x , ú / x $ -1 }

B = { x , ú / x < 6 }

luego verdadero (V) o falso (F) según

corresponda:

( ) A - B = [ 6; +4[

( ) A 1 B = [ -1; 6 [

( ) = ] - 4; -1[

A. VVV C. VFV

B. FVF D. VVF

08. Si: , halle el intervalo de: (-x + 2)

A. [ -8; 1/3[ C. [ -4; 3/2[

B. [ -8; 8/3[ D. [ -6; 2/3]

09. Indique el mayor valor entero de “n” que verifica la

inecuación:

A. -3 C. -5

B. -4 D. -6

10. Si: A = { x , ú / }

Determine la suma de los elementos de A 1 ù

A. 5 C. 7

B. 6 D. 8

11. Se define el conjunto “T” como:

T = { x , ú / x < 2 ; x > 1}

halle “T”

A. [1; 2] C. ] 1; 2 [

B. ]1; +4[ D. ] - 4; 2[

12. Halle el conjunto solución de:

A. [ -2; 4] C. [ -1; 3]

B. [ -3; 4] D. [ 0; 2]

13. La suma de los enteros que verifican

simultáneamente las inecuaciones:

es:

A. 25 C. 18

B. -21 D. -18

14. Sabiendo que se cumple:

Calcule el menor valor de (m - n)

A. 5 C. 10

B. -5 D. -10

15. Calcular la suma de los valores enteros de “x” que

satisfacen: x - 5 < 3 < 2x - 7

A. 10 C. 12

B. 11 D. 13

16. Resolver el sistema:

x + 3 > 0

x - 8 > 0

x < 10

x - 14 < 0

el valor entero de “x” que satisface el sistema

A. 11 C. 9

B. 8 D. 10

116

17. Resolver:

> - x - 3

> x - 1

e indicar el mayor entero positivo para “x”

A. 12 C. 10

B. 9 D. 11

18. Resolver el sistema:

2(x - 3) < 3x -

6x - 5 <

y dar como respuesta la suma de todos los valores

enteros de x

A. -15 C. -13

B. -12 D. -14

19. Resolver:

< 2x + 4

> 2x - 5

A. x 0 ] -13/3; 18/5[

B. x 0 ]-13/3; 28/5[

C. x 0 ]-26/3; 18/5[

D. x 0 ]-26/3; 28/5[

20. Si: 11 < 2x - 1 < 29, “x” pertenece al intervalo

A. ]6; 15[ C. ]-1; 8[

B. ]-1; 4[ D. ]4; 15[

21. La relación entre las escalas de temperatura

Fahrenheit (/F) y Centígrada (/C) es:

C/ = 5/9(/F - 32)

Si 50 # ºF # 104, ¿A qué intervalo pertenece /C?

A. [5; 20] C. ]20; 5]

B. [-5; 20] D. [10; 40]

22. El intervalo para el cual se verifica:

es:

A. x > 2 C. -1 < x <-2

B. -2 < x < -1 D. x > -1

23. La suma de los valores enteros de “x” que

satisfacen el sistema de inecuaciones :

es:

A. 27 C. 14

B. 9 D. 20

24. Se desea saber el mayor número de postulantes

que hay en una aula. Si al doble del número de

estos se le disminuye en 7, el resultado es mayor

que 29 y si al triple se le disminuye en 5, el

resultado es menor que el doble del número

aumentado en 16

A. 22 C. 20

B. 19 D. 21

25. Si al doble de la edad de cierta persona se le

disminuye 17 años, resulta menor que 35; pero si

a la mitad de la edad se le suma 3 el resultado es

mayor que 15. ¿Cuál es dicha edad?

A. 22 C. 24

B. 23 D. 25

26. El cuadrado de la edad de Kevin menos 3 es

mayor que 141. En cambio el doble de su edad

más 3 da un número menor que 30. ¿Cuántos

años tiene Kevin?

A. 12 C. 14

B. 13 D. 15

117

27. Hallar un número entero y positivo. Sabiendo que

la tercera parte del que le precede disminuida en

una decena, es mayor que 14, y que la cuarta

parte del que le sigue, aumentada en una decena

es menor que 29

A. 76 C. 74

B. 73 D. 75

28. Un padre dispone de 320 soles para ir a un evento

deportivo con sus hijos, si toma entradas de 50

soles le falta dinero y si toma de 40 soles le sobra

dinero. El número de hijos es:

A. 7 C. 5

B. 4 D. 6

29. Si la intersección de los intervalos:

A = ]-5; -1[ c ]2; 11[

B = [-3; 4]

es: [a; b[ c ]c; d], calcular “a + b + c + d”

A. 1 C. 2

B. 3 D. 4

30. Dado: x > 0; y > 0; x > y v z … 0; la desigualdad

que no siempre es verdadera, es:

A. x + z > y + z C. x - z > y - z

B. xz > yz D.

31. Siendo: x, y 0 ú/x > 0 > y, ¿cuál de las siguientes

relaciones no es verdadera?

A. (y - x)(x - y) < 0

B. > 0

C. x2 - xy < 0

D. x2 + y2 > 0

32. Si x 0 [2; 4] entonces el menor valor que toma la

fracción es:

A. 7/6 C. 5/4

B. 7/4 D. 6/5

33. Resolver la inecuación:

e indicar un valor entero admisible para “x”

A. 2 C. -10

B. -13 D. -19

34. Resolver: (x + 5)(x + 3) $ (x + 2)(x + 1) + 3

A. x 0 [-2; +4[ C. x 0 ]-4; -3]

B. x 0 [2; +4[ D. x 0 ]-4; -2]

35. Luego de resolver la inecuación:

- x < 3(x - 91)

indicar el menor valor entero de x

A. 77 C. 76

B. 80 D. 78

36. Indicar verdadero (V) o falso (F), según

corresponda:

( ) Si: -5 < x < 8 ÷ 25 < x2 < 64

( ) Si: -7 < x < -4 ÷ 0 < x2 < 49

( ) Si: -6 # x < 5 ÷ 0 # x2 < 38

A. FFF C. FVV

B. VVV D. FFV

37. Determinar el máximo valor que toma la

expresión:

si {a; b} d ú+

A. 2/3 C. 3/4

B. 3/2 D. 1/6

38. Resolver:

siendo 0 < a < b

A. ]-4, -1] C. ]-4, -2[

B. [-1, +4[ D. [1, +4[

118

39. Resolver:

A. [-60; 4[ C. ]-60; 4[

B. ]-4; -60[ D. ]-60; 0[

40. Indique la suma de todos los valores enteros que

satisface el sistema:

13 $ 2x - 3 $ 5

-6 $ 9 - 5x $ -26

A. 25 C. 30

B. 33 D. 22

TAREA

01. Indicar si las proposiciones son verdaderas (V) o

falsas (F):

( ) œ a; b 0 ú ÷ a b

( ) Si a > b v n 0 ú ÷ a + n > b + n

( ) Si a > b v n 0 ú ÷ a.n > b.n

A. VVV C. VFV

B. VFF D. VVF

02. Señale el valor de verdad de las siguientes

preposiciones:

( ) œ a 0 ú ÷ a2 $ 0

( ) Si a > b v n < 0 ÷ a.n < b.n

( ) œ a; b 0 ÷

A. VVV C. VFV

B. VFF D. VVF

03. Si: m > 0 v n > 0, además m > n, diga donde está

el error del siguiente proceso:

I. mn >

ll. - + mn > -

lll. m(n - m) > (n + m)(n - m)

IV. m > n + m

V. 0 > n

A. II C. IV

B. III D. V

04. Determinar el valor de verdad de cada una de las

siguientes preposiciones:

( ) Si -1 < n < 1 ÷ 0 ] -1; 1[

( ) Si -1 # n # 1 ÷ n2 0 [ 0; 1]

( ) œ n 0 ú ÷ 0 ú

A. VVV C. VFV

B. VFF D. FVF

05. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son)

verdadera(s)?

I. Si: x 0 ] -1; 5[ , entonces: -9 < 3x - 4 < 12

II. Si: A = ] -5; 10] v B = [ -4; 12], entonces

B - A = ] 10; 12]

lll. Si: a > 0 ÷ < 0

A. Todas C. Sólo l

B. l y ll D. ll y lll

06. Si x 0 ]3; 5], calcular la suma de los valores

enteros de:

A. 24 C. 17

B. 27 D. 34

07. Si: m > n, resolver:

e indicar cuántas soluciones negativas tiene la

inecuación

A. 1 C. 3

B. 2 D. 0

08. Si x 0 [2; 5], indicar la suma del mayor y menor

valor que toma la expresión:

119

A. 5 C. 7

B. 6 D. 8

09. Calcular el mayor valor de k que cumple:

A. C.

B. D.

10. ¿Cuántos números enteros satisfacen el sistema?

5x - 6 > 3x -14

A. 4 C. 5

B. 6 D. 7

11. Sean los intervalos:

M = [-6; 13[

N = ]-3; 5[

si M 1 N está representado por ]m + 1; n - 2[,

calcular: m+n

A. -3 C. -1

B. 0 D. 3

12. Resolver:

A. x > 5/6 C. x < 5/6

B. x > 5 D. x > 6

13. Resolver:

7(3 - 2x) + 2(2x - 15) < 2(5x - 7) - 3(2x - 11)

A. x 0 ]2; +4[ C. x 0 ]-4; -2[

B. x 0 ]0; +4[ D. x 0 ]-2; +4[

14. Indicar verdadero (V) o falso (F) según

corresponda:

( ) Si: -2 < x < 3 ÷ 0 # x2 < 9

( ) Si: -3 < x # 4 ÷ 9 < x2 # 16

( ) Si: x 0 ú ÷ x2 > 0

A. VVV C. VFF

B. VFV D. FVF

15. ¿Cuál de las expresiones es correcta?

A. a $ b y b $ a ÷ a = b

B. a > b ÷ a - b $ 0

C. a …b ÷ a > b w a -3 - 3x $ -7

A. ]-5/3; 1] C. ]-5/3; 1[

B. ]-2; 1[ D. ]-2; -5/3[

17. Calcule Ud. el C.S de la siguiente inecuación:

sabiendo que a < b

A. ]-4; 3[ C. ]3; +4[

B. [3; +4[ D. ]-4; 3]

18. Luego de resolver la inecuación:

indicar el máximo valor entero de “x”

A. 8 C. 7

D. - 7 D. -8

19. Sólo una de las desigualdades es verdadera:

A.

B.

C.

D.

20. Hallar la suma de todos los valores enteros que

satisfacen el sistema:


120

A. 50 C. 60

B. 75 D. 84

CLAVES

01. D 02. A 03. C 04. D 05. B 06. B 07. D 08. C 09. D 10. D

11. D 12. A 13. D 14. C 15. D 16. A 17. C 18. D 19. A 20. C

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