Módulo 2

Introdução a probabilidade

Para aprendermos ciências matemáticas, certamente temos que criar algumas habilidades necessárias para isso. Conforme disse um dos maiores gênios da humanidade, Galileu Galilei, o professor não ensina, o que ele pode fazer é auxiliar o aluno a aprender. Portanto, cabe a você adquirir as habilidades necessárias que deverão auxiliá-lo na aprendizagem desses conhecimentos como, por exemplo, desenvolver a compreensão e precisão no uso da linguagem técnica, habilidade esta imprescindível no entendimento e organização das idéias, propiciando aumento na sua capacidade de raciocínio lógico. Quando receber informações técnicas, estas deverão ser devidamente interpretadas, pois é importante que você aprenda a desenvolver esse senso crítico, analisando o conteúdo e essência da informação, não aceitando de imediato, idéias ou conceitos ali existentes sem a devida compreensão dos mesmos.

Probabilidade é a parte da matemática aplicada que estuda fenômenos de caráter essencialmente aleatórios e não determinístico, Alea, significa sorte em latim e, aleatório por acaso. Fenômeno é qualquer fato ou acontecimento que se pode observar. Fenômenos aleatórios significam acontecimentos de qualquer natureza que geram resultados completamente imprevisíveis e fora de controle de qualquer espécie. O cálculo de probabilidades estabelece as regras que nos permitem mensurar, a priori, o valor da chance de ocorrer um dado acontecimento num fenômeno aleatório.

A estatística possibilita o desenvolvimento de formas particulares de pensamento e raciocínio, em experimentos que envolvem fenômenos aleatórios, interpretando amostras, fazendo inferências e, possibilitando a comunicação de resultados obtidos nas pesquisas por meio de linguagem matemática apropriada. Muitos são os conhecimentos exigidos para esse aprendizado, considerando que tais assuntos possibilitam o desenvolvimento de formas particulares de pensamento e raciocínio, que envolvem fenômenos aleatórios, ajudando a interpretar resultados obtidos em amostras, possibilitando a aprendizagem de procedimentos adequados para coletar, organizar e comunicar dados, através de tabelas, gráficos e representações matemáticas.

É essencial o aprendizado da probabilidade antes de estudar estatística, pois este conhecimento melhora a compreensão dos acontecimentos em fenômenos de natureza aleatória, possibilitando a identificação dos possíveis resultados desses acontecimentos observando o acaso e a incerteza com que

ocorrem no contexto aonde se manifestam. É fundamental que o aluno desenvolva o raciocínio estatístico e probabilístico através da exploração de situações de aprendizagem que o levem a organizar e analisar informações coletadas, bem como formular previsões através de inferências convincentes, tendo como base a análise dos dados que foram organizados em representações matemáticas diversas.

O aluno deve se empenhar na investigação de solução de problemas, criando estratégias apoiadas em argumentos e justificativas convincentes, lembrando-se que nos cálculos estatísticos o mais importante é interpretar o que cada grandeza significa e não simplesmente saber efetuar seus cálculos. Por outro lado, é bom lembrar que você, como futuro profissional, deve adquirir conhecimentos básicos no uso de computadores bem como uma visão sistêmica dos problemas que lhe são apresentados, alem de ter uma boa formação cientifica para saber procurar em livros e jornais aonde existam textos que possam atender às suas necessidades de informação. Também é importante desenvolver habilidades para fazer relatórios e elaborar resumos com as informações cientificas pertinente sobre qualquer assunto que lhe for exigido.

Operações com conjuntosIntercessão

O resultado dessa operação é o conjunto que pertence simultaneamente a todos os conjuntos que estão na operação. Para o caso de dois conjuntos, a parte comum é a mostrada pela região hachurada na figura. Este conceito pode ser estendido para tantos conjuntos quanto quisermos. Esta operação é representada por:

UniãoO resultado dessa operação é o conjunto que reúne todos os conjuntos

participantes da operação. A figura abaixo mostra o resultado da união de dois conjuntos. Para mais do que dois conjuntos o resultado é a soma de todos. Esta operação é representada por:

ComplementarO resultado dessa operação é o conjunto de elementos que faltam no

conjunto dado para completar o universo. Esta operação é representada por:

Cálculo de probabilidades

Vamos definir Espaço Amostral como sendo o conjunto de todos os possíveis resultados de um fenômeno aleatório qualquer. Evento é qualquer elemento pertinente àquele espaço amostral. O evento pode ser simples, quando for constituído por apenas um conjunto, ou composto, quando for constituído por mais de um. Pode-se dizer que probabilidade é um número que mensura a possibilidade. Por definição, o cálculo da probabilidade para um dado evento (A) em um espaço amostral (E) é definido na forma:

Eventos simples

Os eventos são representados por conjuntos num diagrama de Venn, que é o modelo matemático ideal para isto. No cálculo de probabilidades as formas como os conjuntos se relacionam no diagrama de Venn é muito importante, pois, para cada tipo de disposição existe uma interpretação e solução diferente.

Vamos representar por P(A) a probabilidade de um evento A, por P(B) a de um evento B e assim por diante. Por definição, eventos simples são aqueles que possuem apenas um conjunto no espaço amostral, portanto, em termos numéricos o cálculo da probabilidade de um evento simples A qualquer fica definido na forma:

Por essa definição, para um evento A qualquer definido num espaço amostral temos os seguintes axiomas:

1º) Num espaço amostral, é sempre válida a relação numérica . Se a dividirmos por n(E), teremos:

Esta expressão mostra que para um evento qualquer A, a probabilidade não pode ter valor maior que um (1), nem menor que zero (O). O resultado "1" é a certeza, e o "0", é a impossibilidade do acontecimento do evento.

2º) Num espaço amostral, é válida a relação numérica . Se a dividirmos por n(E), teremos:

Essa propriedade é fundamental, pois mostra que a probabilidade de um evento em qualquer espaço amostral, somada com a probabilidade do seu não acontecimento, é sempre igual a um. Vale dizer, num mesmo espaço amostral sempre podemos calcular a probabilidade de um evento pelo seu contrário cuja relação é indispensável na solução de muitos problemas:

Eventos compostos

Eventos compostos são aqueles que ocorrem simultaneamente com mais de um evento no mesmo espaço amostral. Para o cálculo das probabilidades desses eventos, aplicaremos as propriedades definidas na teoria dos conjuntos, em função das situações que podem ocorrer. Mostraremos as mais comuns, com as respectivas expressões matemáticas que definem o resultado das probabilidades com aqueles conjuntos. Alguns modelos de eventos compostos são mostrados nos diagramas de Venn abaixo:

Estas situações podem ser estendidas para 4 ou mais eventos. As expressões matemáticas respectivas podem ser obtidas bastando que continuemos aplicando os mesmos raciocínios da teoria dos conjuntos.

Probabilidade condicional

Esta probabilidade, como o próprio nome diz, está condicionada a um acontecimento já ocorrido anteriormente. Simbolicamente esta probabilidade é escrita na forma P(A/B) que é lida assim; "probabilidade de ocorrer o evento A depois que eu já sei que ocorreu o evento B”. Para melhor entender como pode ser calculada a probabilidade de um evento nestas condições usaremos o diagrama de Venn para mostrar as relações existentes entre os eventos considerados.

Para calcular a probabilidade do evento condicional observasmos que o número de casos favoráveis são os da intersecção dos dois conjuntos. O número de casos possíveis, são os que eu já sei que aconteceu, e portanto estão no conjunto B. Então, pela definição de probabilidades a expressão para o cálculo dessa probabilidade é:

Dividindo a fração pelo número de elementos do universo n(), teremos:

Eventos mutuamente exclusivos

Eventos independentes

Probabilidade de eventos simultâneos

A expressão obtida anteriormente, nos sugere que também podemos escrever a dependência daqueles dois eventos A e B ao contrario, ou seja, na forma:

Portanto analisando as expressões dadas elas nos levam à conclusão de que podemos escrever a ocorrência simultânea de dois eventos A e B na forma:

Observe que não importa a ordem como os eventos ocorrem que o resultado obtido é sempre o mesmo, por esta razão podemos calcular a probabilidade de qualquer grupo, em qualquer ordem que o resultado obtido é sempre o mesmo. Estas expressões podem ser generalizadas para 3 ou mais eventos, ou seja,

Probabilidades de eventos independentes

Suponha que num espaço amostral tenhamos dois eventos independentes. Então partindo desse pressuposto, matematicamente teremos a expressões:

P(A/B) = P(A) ou P(B/A) = P(B)

pois o evento B não tem influência nenhuma sobre o evento A e vice-versa. Portanto o cálculo dessa probabilidade fica expressa na forma:

É importante observar que quando dois eventos são independentes, eles não podem ser mutuamente exclusivos. Portanto, se sabemos que dois ou mais

eventos são independentes, necessariamente os conjuntos que os representam tem interseção, caso contrário os eventos não podem ser considerados independentes.

Como resolver exercícios de probabilidades

Resolver um problema de probabilidade é pensar em TODAS as possibilidades que podem acontecer em função do que o problema está perguntando.

1º) Comece lendo atentamente o enunciado, prestando muita atenção na pergunta do problema, pois é ela que nos irá impor a condição de como raciocinar na construção do modelo que melhor se ajusta para descrever uma das possibilidades que o problema está pedindo.

2º) Os modelos normalmente usados são: a) montagem de grupos que representem a pergunta do problema. b) árvore das probabilidades, que é uma representação que nos mostra todas as possibilidades de relacionamento existentes entre os eventos no problema com suas respectivas probabilidades nos indicando os caminhos corretos para a sua solução. É ideal para usar em problemas que possuem perguntas condicionais.

3º) Verificar se os elementos pertencentes ao grupo montado para representar a pergunta do problema estão ligados pelo conectivo "e" ou "ou". Se na formação do grupo tivermos obrigatoriamente que usar o conectivo “E” para justificar a formação do grupo, as probabilidades de cada um deles deverá ser multiplicada e, se podem existir outros grupos diferentes para representar a mesma situação, então eles são ligados pelo conectivo “OU” e ai as probabilidades de todos os grupos serão somadas.

4º) Calcular a probabilidade da primeira possibilidade montada, depois calculamos o número total de todas as outras possibilidades diferentes que possam existir. Este valor será multiplicando pelo resultado da probabilidade obtida na primeira possibilidade para obtermos resultado final da probabilidade .

5º) Nunca desistir de tentar resolver um problema na primeira dificuldade pois é com treino que se adquire o raciocínio lógico exigido para resolver problemas de probabilidades.

Exercícios de aplicação

1) Um casal tem dois filhos, um dos quais é menino. a) Qual a probabilidade do outro ser menino? b) Sem se conhecer o sexo das duas crianças, qual a probabilidade de uma delas ser menino?

2) Numa prateleira existem 6 pares diferentes de sapatos, retirando-se dois sapatos ao acaso, qual a probabilidade de se formar um par?

3) Uma letra é escolhida da palavra BOCA e, outra é escolhida da palavra TOCA. Qual a probabilidade de que elas sejam iguais?

4) Um tratamento, quando aplicado a doentes com certa enfermidade, cura 60% dos casos. Tendo dois doentes sob esse tratamento, qual a probabilidade: a) de que os dois morram; b) de que os dois sejam curados; c) de que um seja curado e o outro não?

5) Uma urna contém 3 bolas azuis e 5 amarelas, tirando-se todas as bolas, qual a probabilidade de que apareçam no final, as amarelas?

6) Uma urna contém 7 bolas brancas e 3 pretas. Se retirarmos simultaneamente 4 bolas, qual a probabilidade de obtermos 3 bolas brancas?

7) Um comprador aceita um lote de rádios, se numa amostra de dois tirados ao acaso desse lote, nenhum apresentar defeito. Qual a probabilidade de que ele aceite um lote de 10 rádios que contêm 4 defeituosos?

8) Duas lâmpadas queimadas são misturadas com dez lâmpadas boas. Se

vamos testando uma por uma até encontrar as duas defeituosas, qual a

probabilidade de que a última defeituosa seja encontrada no sétimo teste?

9) Lançado um dado 3 vezes, calcule a probabilidade de cair o mesmo número, pelo menos 2 vezes.

10) Temos 4 números positivos e 6 negativos. Escolhemos 4 números ao acaso e efetuamos o produto deles. Qual a probabilidade do produto ser positivo?

11) Retiradas duas cartas de um baralho de 52 cartas, calcule a probabilidade de que: a) ambas sejam de copas; b) ambas sejam do mesmo naipe; c) formem um par; d) ao menos uma seja figura; e) não sejam cartas consecutivas; f) a segunda carta retirada seja de maior valor que a primeira (sendo ás a carta de maior valor e a carta dois a de menor)

12) Um artilheiro naval dispara 5 torpedos para tentar acertar um navio. Sendo 1/3 a probabilidade de cada torpedo acertar o navio: a) qual a probabilidade de ele ser atingido? b) Se os 2 primeiros torpedos foram perdidos, qual a probabilidade de que o navio ainda seja atingido?

13) Um colégio tem 500 estudantes e sabe-se que 300 estudam francês, 200 estudam alemão e 50 estudam inglês. Sabe-se ainda que 20 estudam francês e inglês; 30 alemão e inglês; 20, alemão e francês e 10, as três línguas. Se um estudante é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que seja: a) estudante de 2 e somente duas línguas? b) estudante de, no mínimo, uma língua? c) estudante de alemão, sabendo-se que ele estuda francês?

Tarefa mínima

1) Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Extraindo-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de que o número seja: a) par b) ímpar c) par e maior que 10 d) primo e maior que 3 e) múltiplo de 3 e 5. R: 12/25 13/25 7/25 6/25 1/25

2) Uma caixa tem 3 bolas brancas e 2 pretas. Extraindo-se duas bolas simultaneamente, calcule a probabilidade de serem: a) uma de cada cor b) ambas da mesma cor. R: 3/5 2/5

3) Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual a probabilidade de que: a) apareçam 2 caras; b) apareçam menos de 2 caras; c) apareçam 2 caras ou 2 coroas; d) apareçam 3 caras. R: 3/8 1/2 6/8 1/8

4) Se as cinco bolas da caixa citada no exercício 2 forem extraídas uma a uma sem reposição, calcule a probabilidade de que: a) as três brancas saiam sucessivamente b) as duas pretas saiam sucessivamente c) ao menos um dos eventos mencionados em a) e b) ocorram R: 3/10 4/10 12/25

5) De um total de 100 alunos que se destinam os cursos de matemática, física e química, sabe-se que: 30 destinam-se a matemática e destes, vinte são do sexo masculino. O total de alunos do sexo masculino e 50, dos quais 10 destinam-se a química. Existem dez moças que se destinam ao curso de química. Nessas condições, sorteando se um aluno não acaso, do grupo total e sabendo-se que é do sexo feminino, qual a probabilidade de que ele se destine ao curso de matemática? R: 1/5

6) A probabilidade de que uma tachinha seja lançada ao ar caia com a ponta para cima é de 0.4. Qual a probabilidade de que em 4 lançamentos a tachinha caia 3 vezes com a ponta para cima? R: 0.1536

7) Uma urna contém 3 bolas brancas, 5 verdes e 6 vermelhas. Extraindo-se simultaneamente 3 bolas, calcule a probabilidade de que: a) nenhuma seja branca b) exatamente uma seja verde c) todas sejam da mesma cor d) saia uma de cada cor. R: 60/143 70/143 31/286 75/286

8) Uma urna contém 4 bolas brancas, 2 pretas e 5 amarelas. Outra urna contém 3 brancas, 5 pretas e 2 amarelas. a) extrai-se uma bola de cada urna. Qual a probabilidade das 2 bolas serem da mesma cor?R:16/55

9) Considere uma urna com 5 bolas brancas, 4 verdes e 3 pretas, e um experimento que consiste em extrair 3 bolas simultaneamente. a) Qual a probabilidade de termos uma bola de cada cor? b) Qual a probabilidade de termos alguma bola branca? c) Se sabemos que alguma das bolas é branca, qual a

probabilidade de que pelo menos duas bolas sejam brancas? R: 3/11 37/44 34/55

10) Joga-se um dado duas vezes. Calcule a probabilidade de se obter dois na primeira jogada, sendo que a soma dos resultados é 7?

R: 1/6

11) Permutando-se as letras da palavra PERNAMBUCO e escolhendo-se um dos anagramas ao acaso, qual a probabilidade de este começar por consoante e terminar por vogal? R: 4/15

12) Um dado é lançado 3 vezes. Qual probabilidade que apresente um número par no primeiro lançamento, um número ímpar no segundo e o número 6 no terceiro? R: 1/24

13) Uma urna contém 6 bolas numeradas, sendo que as bolas de números 1;2;3 e 4 são brancas e as bolas 5 e 6 são pretas. Uma bola é retirada ao acaso da urna. Qual a probabilidade de que: a) ela tenha um número menor que 3; b) apareça uma bola par c) apareça uma bola impar ou branca; d) apareça uma bola impar se sabemos que ela é branca; e) apareça uma bola preta se sabemos que ela é impar.

R: 2/6 1/2 5/6 1/2 2/3

14) Uma urna tem 3 bolas pretas, 2 bolas vermelhas, 4 azuis e 1 amarela. Qual a probabilidade de que se retirando cinco bolas dela saiam; duas pretas, duas azuis e uma amarela. R: 3/42

15) Lançando-se dois dados, qual a probabilidade de que a soma dos resultados seja: a) maior que 3? b) maior que 4? c) maior que 11?

R: 33/36 30/36 1/36

16) Numa gaveta há dez pares distintos de meias, mas ambos os pés de um dos pares estão rasgados. Tirando-se da gaveta um pé de meia por vez, ao acaso, qual a probabilidade de tirar os 2 pés de meias do mesmo par, não rasgado, fazendo 2 retiradas? R: 18/380

17) Lançando uma moeda 4 vezes, qual a probabilidade de que ocorra cara

exatamente 2 vezes? R: 0,375

18) Oito pessoas são dispostas ao acaso numa fila. Qual a probabilidade de que: a) duas determinadas pessoas fiquem juntas; b) duas determinadas pessoas fiquem separadas? R: 1/4; 3/4

19) Uma urna contém 3 bolas brancas e 7 vermelhas. Uma bola é retirada da urna e uma da outra cor é colocada na urna. Uma segunda bola é retirada da

urna, qual a probabilidade de que ela seja vermelha? R: 66/100

20) Uma gaveta contém 4 meias pretas, 6 castanhas e 2 azuis. a) escolhendo 2 meias ao acaso, qual a probabilidade que elas formem um par; b) escolhendo-se 3 meias, qual a probabilidade que sejam todas de cores diferentes? R: 1/3

21) A tabela abaixo dá a distribuição de probabilidades dos 4 tipos de sangue dos indivíduos numa comunidade

Tipo Sanguíneo A B AB O Probabilidade de ter o sangue 0.2 Probabilidade de não ter 0.9 0.95

a) Qual a probabilidade de que um indivíduo, sorteado ao acaso, tenha o tipo sanguíneo O? b) Qual a probabilidade de que dois indivíduos, sorteados ao acaso, tenham, um o tipo A e o outro o tipo B? c) Qual a probabilidade de que um indivíduo, sorteado ao acaso, não tenha o tipo B ou não tenha o tipo AB.

R: 0,65 0,04 0,995

22) Dispõe-se de 15 ampolas idênticas, das quais se sabe que 7 contém um medicamento A e 8 contém um medicamento B. Se selecionarmos 4 ampolas ao acaso, qual a probabilidade de que tenhamos: a) pelo menos 2 ampolas de medicamento A; b) pelo menos 1 ampola de cada medicamento?

R: 22/65 e 12/13

Trabalho

1) A uma caixa contém três bolas brancas e cinco pretas. Retiram-se dela três bolas simultaneamente.

a) Qual a probabilidade delas serem brancas? b) Duas pretas e uma branca? c) pelo menos uma preta?

2) Uma caixa contém quatro bolas brancas, três verdes e duas pretas. Três bolas são retiradas com reposição, qual a probabilidade delas: a) serem da mesma cor? b) serem uma de cada cor?

3) Numa gaveta estão duas meias pretas e três brancas. Quatro delas são retiradas. Calcule a probabilidade de que: a) elas saiam alternando as cores. b) saiam duas da mesma cor sucessivamente. c) se a primeira é branca, qual a probabilidade depois de sair uma preta e duas brancas?

4) Uma caixa contém três bolas pretas, cinco vermelhas e quatro verdes. A retirando-se ao acaso três bolas qual a probabilidade de que: a) todas sejam pretas. b) exatamente duas sejam brancas. c) pelo menos uma seja verde. d) saia uma de cada cor. e) no máximo uma seja vermelha.

5) Uma urna A contém três bolas brancas, duas verdes e quatro azuis. A urna B tem duas brancas, uma verde e duas azuis. Uma urna C contém três brancas, cinco verdes e duas azuis. Retirando-se o acaso uma bola de cada uma qual a probabilidade de que: a) exatamente duas sejam azuis? b) sejam todas verdes? c) sejam todas de cores diferentes? c) sejam todas da mesma cor?

6) Uma caixa contém quatro bolas brancas, três bolas verdes e três bolas pretas. São retiradas três bolas ao acaso. Qual a probabilidade de que: a) sejam todas da mesma cor? b) nenhuma seja branca? c) se soubermos que uma bola é branca, pelo menos duas sejam brancas? d) uma de cada cor?

7) Numa urna existem cinco bolas pretas e quatro brancas. São retiradas quatro bolas ao acaso. Qual a probabilidade de se obter: a) três bolas de uma mesma cor. b) duas bolas de cada cor, sabendo-se que a primeira bola retirada foi verde. c) duas bolas de cada cor, sabendo-se que pelo menos duas das quatro bolas retiradas são verdes.

8) Uma caixa contém uma bola branca e duas verdes. Outra caixa contém três bolas brancas e duas verdes. Uma bola é retirada da primeira caixa e colocada na segunda. Em seguida retira-se também ao acaso, uma bola da segunda caixa. Qual a probabilidade de que: a) ambas as bolas retirada seja da mesma cor? b) A primeira bola seja verde sabendo-se que a segunda é branca?

9) Uma cidade tem 30.000 habitantes e três jornais A, B e C. Uma pesquisa de opinião revela que 12.000 lêem A, 8.000 B, 6.000 C, 7.000 A e B, 4.500 A e C, 1.000 B e C e 500 A, B e C. Qual a probabilidade de que um habitante leia: a) pelo menos um jornal; b) só um jornal?

10) Numa avenida existem 3 sinaleiros de trânsito, suficientemente espaçados para poderem ser considerados independentes. O primeiro dá luz verde durante 30 segundos em cada minuto; o segundo 40 segundos por minuto e o terceiro fica aceso na cor verde durante 50 segundos em cada minuto. Um motorista percorre toda a avenida em sua total extensão. Pede-se: a) a probabilidade de que se encontrem todos os sinais abertos? b) que encontre apenas um deles fechado; c) de encontrar os 3 sinais fechados.

Não faça da sua vida um rascunho, pois pode não dar tempo de passar a limpo.