DEPARTMAN ZA MATEMATIKU

KONTROLNE KARTE KUMULATIVNIH

SUMA I EKSPONENCIJALNO

PONDERISANIH POKRETNIH SREDINA

MASTER RAD

Student: Mentor:

Milica Jovanović dr Miodrag Đorđević

br. indeksa 203

Niš, 2019.

2

Sadržaj

Uvod .......................................................................................................................................... 3

1 Kontrolne karte kumulativnih suma (CUSUM kontrolne karte) ................................................. 5

1.1 Glavne karakteristike kontrolnih karata kumulativnih suma ............................................... 5

1.1.1 Osnovni principi kontrolnih karata kumulativnih suma za praćenje srednje vrednosti

procesa ............................................................................................................................... 5 1.1.2 Osnova za karte kumulativnih suma koje prate srednju vrednost normalne raspodele 8 1.1.3 Statističke osobine kumulativnih suma ......................................................................10 1.1.4 Raspodela kumulativnih suma procesa koji je van kontrole .......................................11 1.1.5 Praćenje srednje vrednosti procesa uz pomoć tabelarnog prikaza kumulativnih suma

..........................................................................................................................................13 1.1.5.1 Tabelarni prikaz kumulativnih suma u slučaju standardizovanih vrednosti .............18 1.1.6 Praćenje srednje vrednosti procesa V-maskom ........................................................18 1.1.6.1 Ocena nakon signala .............................................................................................20 1.1.7 Prednosti i nedostatak tabelarnog prikaza kumulativnih suma u odnosu na formu V-

maske ................................................................................................................................21 1.2 Dizajniranje kumulativnih suma .......................................................................................22

1.2.1 Odabir vrednosti za 𝒌 i 𝒉 ...........................................................................................22 1.2.2 Referentna vrednost 𝒌 – „podešavanje“ za određeni pomeraj ...................................22 1.2.3 Prosečna dužina niza (ARL) ......................................................................................23 1.2.4 Odabir vrednosti za interval odlučivanja 𝒉 .................................................................24 1.2.5 ARL vrednosti u stanju izvan kontrole .......................................................................26

1.3 Performanse kumulativnih suma ......................................................................................28

1.3.1 Korišćenje individualnih opservacija i smislenih podgrupa ........................................28 1.3.2 Kontrolna karta kumulativnih suma za praćenje varijabilnosti procesa ......................30 1.3.3 Kombinovanje karata kumulativnih suma i Shewhartovih kontrolnih karata ...............31 1.3.4 Odstupanje od normalnosti .......................................................................................31

2 Kontrolna karta eksponencijalno ponderisanih pokretnih sredina ...........................................33

2.1 Kontrolna karta eksponencijalno ponderisanih pokretnih sredina za praćenje srednje

vrednosti procesa ..................................................................................................................33

2.2 Dizajniranje EWMA kontrolne karte .................................................................................37

2.3 Robusnost eksponencijalno ponderisanih pokretnih sredina prilikom odstupanja od

normalne raspodele ...............................................................................................................40

2.4 EWMA kontrolna karta za podatke sa Poissonovom raspodelom ....................................41

2.5 EWMA kontrolna karta kao prediktor nivoa procesa.........................................................42

3 Kontrolna karta pokretnih sredina ...........................................................................................44

Lista slika ..................................................................................................................................47

Lista tabela ...............................................................................................................................48

Literatura ...................................................................................................................................49

Biografija ...................................................................................................................................50

3

Uvod

Osnovni cilj kontrole procesa je povećanje kvaliteta proizvoda. Na kvalitet proizvoda mogu

uticati mnogi faktori. Neprestana kontrola procesa nam omogućava da otkrijemo te faktore i da

utičemo na njih u najkraćem vremenskom periodu. Kontrolisanjem procesa dolazimo do

zaključka da, svaki proces, koliko god da je dobro isplaniran, može imati određene nedostatke.

Nedostaci se obično javljaju za vreme trajanja procesa usled određenih promena u procesu.

Ukoliko uspemo da uklonimo te nedostatke, ili bar smanjimo njihovo dejstvo, postižemo veći

kvalitet procesa. Upravo je ta potreba za povećanjem kvaliteta procesa, početkom dvadesetog

veka, dovela do razvitka osnovne metode statističke kontrole procesa i metode analize

sposobnosti procesa. Najprimenjenija osnovna metoda statističke kontrole procesa bila je

Shewhartova kontrolna karta koju je razvio Walter Shewhart 1931. godine i ona predstavlja opšti

model kontrolne karte.

Kontrolne karte su najefikasnije kada se primenjuju za kontrolu i upravljanje procesima. One

omogućavaju dobijanje nekih veoma korisnih informacije koje se mogu dalje upotrebiti za

poboljšanje procesa, ali je njihov osnovni cilj eliminacija varijacije u procesu. Mogu se

klasifikovati u dve grupe, a to su numeričke i atributivne kontrolne karte. Numeričke kontrolne

karte su one kod kojih se karakteristika kvaliteta može izraziti numerički, kao vrednost na nekoj

neprekidnoj skali. Nasuprot njima, atributivne kontrolne karte se koriste u slučaju kada je

karakteristika kvaliteta predstavljena opisno (da li je proizvod dobar ili loš ili da li na proizvodu

postoje greške ili ne).

Primena kontrolnih karata omogućava da se proces statistički kontroliše tj. da se otkrije kada se

proces nađe u stanju izvan kontrole. Elementi kontrolne karte su centralna linija (CL), gornja

kontrolna linija (UCL) i donja kontrolna linija (LCL). Centralna linija predstavlja srednju vrednost

obeležja kvaliteta, dok gornja i donja kontrolna linija predstavljaju granice u okviru kojih bi, ako

je proces pod kontrolom, trebalo da se nađu skoro sve vrednosti obeležja kvaliteta. Ukoliko su

sve tačke unutar kontrolnih granica, proces bi trebalo da je u stanju kontrole i tada ne bi trebalo

preduzimati nikakve korektivne mere. Međutim, tačka izvan kontrolnih granica se interpretira

kao stanje procesa izvan kontrole i zahteva preduzimanje odgovarajuće korektivne mere.

Takođe, ukoliko se desi da su sve tačke unutar kontrolnih granica, ali da su raspoređene na

neki sistematični, neslučajni način, to može biti znak da je proces van kontrole. Glavni razlog za

to je pretpostavka da bi tačke trebalo da budu raspoređene na karti na slučajan način oko

centralne linije ukoliko je proces u stanju pod kontrolom.

Sada ćemo prikazati model kontrolne karte koji je predstavio Shewhart. Polazimo od

karakateristike kvaliteta koju želimo da pratimo tokom procesa. Ovu karakteristiku kvaliteta

ćemo predstaviti statistikom čija je očekivana vrednost 𝜇, a disperzija 𝜎2. Centralnu liniju i

kontrolne granice određujemo na sledeći način:

𝑈𝐶𝐿 = 𝜇 + 𝐿𝜎

𝑈𝐶𝐿 = 𝜇

4

𝐿𝐶𝐿 = 𝜇 − 𝐿𝜎

gde 𝐿 predstavlja rastojanje kontrolne granice od centralne linije, izraženo u standardnim

devijacijama. Određivanje ovog rastojanja je jedna od najkritičnijiih odluka prilikom generisanja

kontrolne karte. U praksi se najčešće koriste 3𝜎 kontrolne granice jer je tada verovatnoća

nastanka greške prilikom praćenja procesa jako mala.

Shewhartove kontrolne karte su najkorisnije u prvoj fazi primene statističke kontrole procesa, tj.

prilikom planiranja procesa. Planiranje procesa podrazumeva sistematsko variranje

kontrolisanih ulaznih faktora i omogućava nam da uočimo uticaj tih faktora na posmatranu

karakteristiku. Svrha planiranja je da se smanji varijabilnost karakteristike kvaliteta i da se

utvrde nivoi ulaznih kontrolisanih faktora koji će dati optimalne performanse procesa. U ovoj fazi

je proces verovatno van kontrole i pomeraji parametara, koje pratimo, su veliki. Takođe, u ovoj

fazi, Shewhartove kontrolne karte omogućavaju da se uoče šabloni koji daju smernice za

dovođenje procesa u stanje kontrole. Međutim, u drugoj fazi praćenja procesa, Shewhartove