WYKORZYSTANIE PARAMETRYCZNYCH TESTÓW ISTOTNOSCI DO MONITOROWANIA PROCESÓW

PRODUKCYJNYCH

PROCEDURY KONTROLNE (KARTY KONTROLNE)

SHEWHARTA(18 III 1891 – 11 III 1967) doktor fizyki, obywatel Stanów Zjednoczonych

Walter Shewhart urodził się 18 marca 1891 roku w New Canton w stanie Illinois. Studiował fizykę na uniwersytecie stanowym, a następnie na Uniwersytecie California w 1917 roku uzyskał stopień doktora nauk. Od 1918 związany z przedsiębiorstwem Western Electric Company wytwarzającej sprzęt telefoniczny dla Bell Telephone. Od 1925 roku rozpoczął pracę w Bell Telephone Laboratories i był z nim związany aż do 1956 roku. Swoje pomysły i przemyślenia na temat możliwości stosowania narzędzi statystycznych w zarządzaniu przedsiębiorstwem publikował w serii gazetek „Bell System Technical Journal”. Dla potrzeb monitorowania zmienności procesów W. Shewhart w 1924 roku stworzył specjalne procedury kontrolne nazywane kartami kontrolnymi, kartami sterowania jakości lub po prostu kartami Shewharta. Podstawowym założeniem kart kontrolnych jest, że uregulowany proces powinien utrzymywać się w granicach tolerancji. Granice te nazywane są tutaj liniami kontrolnymi. W ujęciu graficznym karta jest wykresem (zbiorem wykresów), na którym zaznacza się punkty będące wartościami charakterystyk procesów obliczanych na podstawie okresowo pobieranych próbek. W okresie II wojny światowej koncepcje Shewharta wykorzystywano w przemyśle zbrojeniowym. Karty kontrolne stały się część składową norm Z1.1, Z1.2 (1941) oraz Z1.3 (1942). Shewhart był również wykładowcą uniwersytetów Illinois, Kalifornia, Harvard, Princeton, gdzie wykładał min. sterowanie jakością i statystykę. Był również redaktorem naczelnym publikacji „Mathematical Statistics Series”. Do najważniejszych jego dzieł należy zaliczyć: książkę „Economic Control of Quality Of Manufactured Produkt” (1931) oraz „Statistical Metod of Quality Control”(1939). Za swoje osiągnięcia został uhonorowany wieloma oznaczeniami i tytułami min. otrzymał honorowe członkostwo Amerykańskiego Towarzystwa Jakości, które również od 1948 roku ustanowiło medal Shewharta nadany takim znakomitościom jak: W. Deming, K. Ishikawa, czy G. Taguchi. W. Shewart zmarł 11 marca 1967 roku w Troy Hills w stanie New Jersey.

AGREGATPRODUKCYJNY

BLOKPOMIAROWY

BLOKANALIZUJĄCY

Sygnał o rozregulowaniuprocesu

OPERATORAGREGATUPRODUKCYJNEGO

Strumień produktuodbiorca

regulacja

SurowceEnergiainformacje

Schemat systemu bieżącej kontroli jakości

Sygnałwejściowy

Sygnałwyjściowy

Cykl Shewharta

3

Dokonaj

korekty

procesu

2

Dokonaj

identyfikacji

przyczyn

wykrytego

zakłócenia

4

Sprawdź

skuteczność

dokonanej korekty i

wykorzystaj ją

1

Wykryj

systematyczne

(nielosowe) zakłócenie

procesu

Z: D ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej E(D) = Q0

Zależność pomiędzy postacią hipotezy zerowej i alternatywnej a postacią graficzną diagramu przeglądowego Shewharta

f(D)

dD gD

E(D)

2

α2

αα−1

Ho: Q = QoH1: Q ≠ Qo

D

Linia centralna

Dolna linia kontrolna

Górna linia kontrolna

t

D

1 2 3 4 5 6

obszar

tolerancji

obszar krytyczny

obszar krytyczny

Zależność pomiędzy postacią hipotezy zerowej i alternatywnej a postacią graficzną diagramu przeglądowego Shewharta

Z: D ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej E(D) = Q0

Ho: Q ≤ QoH1: Q > Qo

D

Linia centralna

Górna linia kontrolna

t

D

1 2 3 4 5 6

obszar

tolerancji

obszar krytyczny

f(D)

1 – α

α

gD

E(D)

Zależność pomiędzy postacią hipotezy zerowej i alternatywnej a postacią graficzną diagramu przeglądowego Shewharta

Z: D ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej E(D) = Q0

Ho: Q ≥ QoH1: Q < Qo

D

Linia centralna

Dolna linia kontrolna

t

D

1 2 3 4 5 6

obszar

tolerancji

obszar krytyczny

α α−1

D

f(D)

dD

E(D)

Typ zmiennej typ ograniczenia przedziału tolerancji

linie służące do rejestracji rozregulowania

linie służące do rejestracji postępu technologicznego

nominata jakości obustronne Ho: Q = Qo

H1: Q ≠ Qo

GLK; DLK LC

destymulanta jakości

prawostronne Ho: Q ≤ Qo

H1: Q > Qo

GLK DLK

symulanta jakości

lewostronne Ho: Q ≥ Qo

H1: Q < Qo

DLK GLK

DLK – dolna linia kontrolna GLK – górna linia kontrolna LC – linia centralna

Wybrane karty kontrolne Shewharta

Karta kontrolna xZałożenia:X ma rozkład normalny lub zbliżony do normalnego, o stałym i znanym odchyleniu standardowym.Hipotezy:

Charakterystyka z próby:

Linie kontrolne:

Ho: µ = µoH1: µ ≠ µo

Ho: µ ≤ µo

H1: µ > µo

Ho: µ ≥ µo

H1: µ < µo

t

n

iti

tn

x

x

t

∑== 1

o

od

og

LCn

ux

nux

µ

σµ

σµ

ε

α

=

⋅−=

⋅+=

o

od

og

LCn

ux

nux

µ

σµ

σµ

α

α

=

⋅−=

⋅+=

2

2

o

od

og

LCn

ux

nux

µ

σµ

σµ

α

ε

=

⋅−=

⋅+=

NORMATYWNA METODA INSTALOWANIA KARTY KONTROLNEJ

Stabilizacyjna metoda instalowania karty kontrolnej (metoda

bez znanych wartości normatywnych)

Szacowanie średniego poziomu procesu oraz odchylenia

standardowego

k

x

x

k

t

t∑== 1

,( )

k

xx

s

k

t

t

x

∑=

−= 1

2

, gdzie k – liczba pobranych próbek o stałej

liczności n

Linie kontrolne (dla dwustronnego ograniczenia przedziału

tolerancji):

xd

xg

suxx

suxx

2/

2/

α

α

−=

+=

Jeżeli nie da się zagwarantować stałej liczności próby podczas

badań wstępnych to wówczas:

∑

∑

=

==k

t

t

k

t

tt

n

xn

x

1

1

, oraz ( )

1

1

2

−

−=∑=

�

xx

s

�

i

i

, linie kontrolnen

suxx

n

suxx

d

g

2/

2/

α

α

−=

+=

Karty kontrolne średnich ruchomych

11

1111

)(...

...

+−−

+−+−−−

+++

+++=

rttt

rtrttttt

trddd

ddd ηηηη

r

rttttr

11)(

... +−− +++=

ηηηη

r

xxxx rttt

tr

11

)(

... +−− +++=

rnuxx

rnuxx

gr

dr

/

,/

2/0)(

2/0)(

σ

σ

α

α

+=

−=

Wykładniczo ważona średnia ruchoma (λ∈[0,2; 0,5]) *

1

* )1( −−+= ttt xxx λλ

nuxx

nuxx

g

d

)2/(

,)2/(

2/0

*

2/0

*

λλ

λλ

α

α

−+=

−−=

Załóżmy, ze przedział tolerancji zmiennej diagnostycznej X ma

postać

X = [13.0; 14.0]

a wartość nominalna xo = 13.5. Załóżmy również, że zmienna

diagnostyczna X jest zmienną losową o normalnym rozkładzie

prawdopodobieństwa o stałym i znanym odchyleniu

standardowym σ = 0.20. Przyjmijmy, że istnieje możliwość

oddziaływania na wartość oczekiwaną zmiennej X i ustalenia jej

na dowolnym poziomie µ ∈ Xo. W celu zminimalizowania

wadliwości (p) należy przyjąć µ = xo = 13.5. Mamy więc

X~N(13.5; 0.20).W odniesieniu do największej dopuszczalnej

wadliwości przyjmijmy, że p' = 0.03 (3%).

Na podstawie przyjętych założeń można ocenić wydolność

procesu.

p = P(X < 13.0) + P(X > 14.0) =

= Φ[(13.0 - 13.5)/0.20] + Φ[(14.0 - 13.5)/0.20] =

= Φ(-2.50) + 1 - Φ(2.50) =

= 2 * 0.00621 = 0.01242 (1.242%)

Ponieważ p = 0.01242 < p'o = 0.03, przeto proces jest

wystarczająco wydolny, by sprostać wymaganiom odbiorcy

produktu. Dla potrzeb sterowania procesem należy przyjąć, że

po = 0.01242 (1.242%), albowiem pozwoli to wykorzystać

wszystkie możliwości jakimi dysponuje proces. Otwiera to też

pewne możliwości negocjacji cenowych w przyszłości, albowiem

pozwala oczekiwać wyższej jakości niż ta na, którą zgodził się

odbiorca. Wadliwość 1.242% uzyskuje się wówczas gdy

µt = xo = 13.5.

Hipotezy:

Ho: µt = 13.5

H1: µt ≠ 13.5

Prawdopodobieństwo zbędnej regulacji (α) ustalimy na poziomie 0.01.

Ponieważ rozregulowanie procesu może się nastąpić, albo przez

przesunięcie µt ku wartościom niższym od 13.5 albo ku wartościom

wyższym od 13.5, przeto mamy do czynienia z dwustronnym schematem

kontrolnym. Przy wyznaczaniu równań linii kontrolnych należy więc wziąć

pod uwagę wartość uα/2 = u0.005 . Wartość tego kwantyla zmiennej losowej

U odczytujemy z następującego zestawienia:

α 0.005 0.010 0.025 0.050 0.100

uα 2.576 2.326 1.960 1.645 1.282

W każdym kroku postępowania kontrolnego pobierana jest do badania

pięcioelementowa próbka (n = 5). Równania linii kontrolnych

przedstawiają się następująco:

73.135

20.0576.25.13xg =+=

27.135

20.0576.25.13xg =−=

Wyniki badania kolejnych próbek przedstawiono w poniższej tablicy

i

1 2 3 4 5

t

xt.i

tx

1 2 3 4 5 6 7

1 13.5 13.4 13.5 13.0 13.4 13.36

2 13.0 13.4 13.0 13.5 13.5 13.28

3 13.5 13.9 13.5 13.5 13.6 13.60

4 13.6 13.8 13.8 13.5 13.7 13.68

5 13.7 13.8 13.9 14.0 13.9 13.86

6 13.9 13.8 14.0 13.9 14.0 13.92

7 13.8 13.6 13.5 13.5 13.8 13.70

8 13.5 13.6 13.5 13.4 13.3 13.46

9 13.6 13.5 13.5 13.4 13.4 13.48

10 13.4 13.0 13.4 13.2 13.4 13.28

: : : : : : :

13,2

13,3

13,4

13,5

13,6

13,7

13,8

13,9

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

t

xśrednie

GLK

LC

DLK

KARTA X - średnie

t tx średnia z 3

połączonych próbek 1 13,36 * 2 13,28 * 3 13,6 13,41 4 13,68 13,52 5 13,86 13,71 6 13,92 13,82 7 13,7 13,81 8 13,46 13,68 9 13,48 13,53 10 13,28 13,41

KARTA X – średnie

i karta średnich ruchomych

12,9

13

13,1

13,2

13,3

13,4

13,5

13,6

13,7

13,8

13,9

14

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Serie1

Serie2

GLK

DLK

GLK **

DLK**

LC

Jak łatwo zauważyć w rezultacie badania próbki o numerze t = 5 uzyskano średnią

arytmetyczną przekraczającą górną granicę regulacji. Mamy mianowicie

73.1387.135 =>= gxx . Podjęte czynności regulacyjne nie przyniosły spodziewanego

rezultatu i w kolejnej próbce (t = 6) uzyskano 73.1386.136 =>= gxx . Podjęte działania

usunęły przyczynę rozregulowania. Na uwagę zasługuje to, że w próbkach, które

doprowadziły do emisji sygnałów o rozregulowaniu procesu wszystkie wartości xt,i

mieściły się w przedziale tolerancji. Zdolność do reagowania na małe zmiany w

obserwowanym procesie jest bardzo cenną właściwością karty kontrolnej x i innych

kart stosowanych w przypadku liczbowej oceny właściwości. Liczbowa ocena

właściwości pozwala na znacznie lepsze wykorzystanie informacji o produkcie i

procesie, zawartych w rezultatach badania próbki, niż alternatywna ocena

właściwości.

Wnioski:

Karty kontrolne (karty dwutorowe)rxSx −− i Założenia:X ma rozkład normalny lub zbliżony do normalnego, o zmiennym i nieznanym odchyleniu standardowym.Hipotezy: Obok hipotez dotyczących wartości oczekiwanej µ konstruuje sięhipotezy dotyczące odchylenia standardowego σ, które najczęściej przedstawiająsię następująco: Ho: σ ≤ σ o

H1: σ > σo

Do weryfikacji powyższych hipotez, wykorzystuje się albo odchylenie standardowe z próbki (przy karcie sx − )

1

1

2

)(

−=∑ −=

n

tti

n

i

t

xxs

albo rozstęp z próbki (przy karcie rx − ) rt = xt.max – xt.min

Linie kontrolne dla toru kontrolnego S:Jeżeli (n ≥ 30)

+=+=

n

uus ng 2

1020

0 αα σσ σ

−=−=

n

uus nd 2

1020

0 εε σσ σ

Jeżeli (n < 30)

( )12

;10−=

−n

ngs χσ α

( )12

1;10−=

−−n

nds χσ ε gdzie

χ α2

;1−n i χ ε2

1;1 −−n są takimi wartościami zmiennej losowej chi-kwadrat o (n-1) stopniach swobody, że:

( ) αχ αχ =−>−2

;12

1 nnP

( ) εχ εχ −=−−>− 121;1

21 nn

P

Linie kontrolne dla toru kontrolnego R:

Linia centralna nn dr 00. σ=

)(000. nnnngn fudfudr αα σσσ +=+=

)(000. nnnndn fudfudr εε σσσ −=−= Wartości współczynników dn i fn są stablicowane.

Przykład

Przedział tolerancji zmiennej diagnostycznej X ma postać:

X+=[13,0; 15,0], a wartość nominalna (docelowa) została

ustalona na poziomie x0 = 14,0. Zmienna X ma rozkład

zbliżony do normalnego. Posiadane urządzenia

technologiczne pozwalają na takie zorganizowanie procesu

produkcji, by wartość oczekiwana (µ) zmiennej X pokrywała

się z wartością nominalną (x0 = µ = 14). Odchylenie

standardowe σ zmiennej losowej X pozostaje nieznane. Na

jakim najwyższym poziomie σ0 może kształtować się to

odchylenie standardowe, jeżeli żądamy, by poprodukcyjna

wadliwość produktu (p) nie przekroczyła p0 = 0,03?

Ustalanie wartości maksymalnego dopuszczalnego odchylenia standardowego σ0

Przedział tolerancji zmiennej diagnostycznej X ma postać:

X+=[13,0; 15,0], a wartość nominalna (docelowa) została

ustalona na poziomie x0 = 13,7. Wartość ta nie pokrywa się

ze środkiem przedziału x’ = 14. Odchylenie standardowe σ

zmiennej losowej X pozostaje nieznane. Na jakim

najwyższym poziomie σ0 może kształtować się to

odchylenie standardowe, jeżeli żądamy, by poprodukcyjna

wadliwość produktu (p) nie przekroczyła p0 = 0,03?

W procesie bieżącej kontroli jakości monitorowano czas przejazdu pociągów pomiędzy dwoma

miejscowościami. Załóżmy, że uważa się, że podróż odbywa się bez zakłóceń, jeżeli przeciętny czas

potrzebny na pokonanie badanego odcinka wynosi µ = 35 min., przy odchyleniu standardowym σ = 3,5 min. Przystąpiono do monitorowania czasu przejazdu. Wyniki uzyskana w początkowych 10

okresach badania przedstawia poniższa tablica.

w kolumnie 7 zestawiono średnie arytmetyczne obliczone z czasów przejazdów 5 losowo

wybranych pociągów, w kolumnie 8 odchylenia standardowe, a w kolumnie 9 rozstęp z próby.

Podczas wyznaczania linii kontrolnych założono prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu na

poziomie α = 0,05. Na takim samym poziomie ustalono prawdopodobieństwo fałszywej emisji

sygnału o korzystnych zmianach w badanym procesie.

i

1 2 3 4 5

t xt.i tx st rt

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 30 33 31 45 38 35,4 6,19 15

2 32 30 39 31 31 32,6 3,65 9

3 34 38 31 38 37 35,6 3,05 7

4 42 30 44 37 33 37,2 5,89 14

5 33 32 41 36 44 37,2 5,17 12

6 33 39 37 41 33 36,6 3,58 8

7 30 33 37 35 43 35,6 4,88 13

8 36 32 35 38 30 34,2 3,19 8

9 36 33 40 43 31 36,6 4,93 12

10 31 34 33 43 41 36,4 5,27 12

Granice tolerancji na torze kontrolnym x , wyznaczono korzystając z równań:

35

31,932115

5,396,135

38,067895

5,396,135

2

2

==

=−=⋅−=

=+=⋅+=

o

od

og

LCn

ux

nux

µ

σµ

σµ

α

α

Wszystkie uzyskane średnie czasy mieszczą się w obszarze tolerancji. Nie ma więc podstaw do

odrzucenia hipotezy zerowej H0: µ = µ0 = 35, na korzyść hipotezy alternatywnej H1: µ ≠ µ0 = 35. Nie

ma podstaw do emisji sygnału o rozregulowaniu procesu ze względu na jego przeciętny poziom.

Przeprowadźmy zatem analizę procesu po względem jego zmienności. Poddajmy weryfikacji

następującą hipotezę zerową:

H0: σ ≤ σ0 = 3,5 min wobec hipotezy alternatywnej H1: σ > σ0 = 3,5. Górna linia kontrolna na torze

kontrolnym S będzie leżeć na poziomie

( ) 5,3904554/488,95,312

;10==−=

−n

ngs χσ α, natomist dolana w oparciu o którą śledzić

będziemy sygnały o korzystnych zmianach w porcesie znajdzie się na poziomie ( ) 1,4756140,711/4351

2

1;10==−=

−−n

nds χσ ε.

Porównując kolejne wartości odchyleń standardowych z wyznaczonymi granicami kontrolnymi,

można dojść do wniosku, że w punktach dla t = 1 oraz t = 4 wartości obserwowanych odchyleń

standardowych przekroczyły górną linię kontrolną i należy wygenerować sygnał o rozregulowaniu

badanego procesu i przyjąć jako prawdziwą hipotezę H1 z prawdopodobieństwem błędu niewiększym

niż α = 0,05. Brak jest natomiast powodów do emisji sygnału o korzystnych zmianach w procesie,

gdyż żadna z wartości st nie leży poniżej dolnej linii kontrolnej sd.

Hipotezy dotyczące wariancji można również zweryfikować wykorzystując tor kontrolny R. Linie kontrolne :

13,0231150,848)1,6452,32593(5,3)(000. =⋅+=+=+= nnnngn fudfudr αα σσσ

,

3,2583950,848)1,645-2,32593(5,3)(000. =⋅=−=−= nnnndn fudfudr εε σσσ

. Podobnie jak w przypadku toru kontrolnego S należy się spodziewaćwygenerowania sygnału o rozregulowaniu procesu w punktach dla r1 i r6, gdyż te wartości znajdą się powyżej górnej linii kontrolnej rg.Wykresy analizowanych torów kontrolnych przedstawiają poniższe rysunki

Tor x - średnie

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

t

x-średnie

GLK

DLK

LC

Tor kontrolny S

-

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

0 2 4 6 8 10 12

t

och

ylenie standardowe

GLK

DLK

LC

Tor kontrolny R

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0 2 4 6 8 10 12

t

rozstęp

GLK

DLK

LC

Karta kontrolna „z”Założenia:X jest zero-jedynkową zmienną losową postaci: X=

dla każdego t nt = n

Hipotezy:

Charakterystyka z próby:

Linie kontrolne:

Ho: p ≤ po

H1: p > po

∑=

=n

i

it xz1

o

oood

ooog

npLCpnpunpz

pnpunpz

=−⋅−=−⋅+=

)1(

)1(

ε

α

0, gdy jednostka produktu spełnia wymagania jakościowe,

1, gdy jednostka produktunie spełnia wymagań jakościowych{

Charakterystyka z próby:

n

x

n

zw

n

i

it

tt

∑=== 1

.

Położenie linii centralnej określa wzór

000

0 pn

np

n

zw ===

Równanie górnej linii kontrolnej ma postać

n/)p1(pu pw 000g −+= α

Położenie dolnej linii kontrolnej (nie będącej granica regulacji)

wyznacza równanie

n/)p1(pu pw 000d −−= ε

KARTA KONTRLNA „w”

Załóżmy, że w procesie bieżącej kontroli jakości monitorowana jest zmienna diagnostyczna X opisująca jakość śrub

wykorzystywanych do montażu elementów trakcji kolejowej. Zmienna ta przyjmuje dwie wartości „0” i „1”, „0” jeżeli

śruba ma poprawnie wykonany gwint, na który z łatwością daje się nakręcić nakrętkę, oraz przyjmuje „1”, gdy gwint

jest źle wykonany i nakręcenie na śrubę nakrętki jest niemożliwe. Załóżmy, że proces produkcji śrub jest uregulowany,

jeżeli frakcja śrub wadliwych p ≤ 0, 1 (10%), natomiast proces produkcji zostanie uznany za rozregulowany, jeżeli p >

0,1 (10%). Należy ocenić przebieg procesu produkcji śrub, jeżeli w rezultacie przeprowadzonych badań uzyskano

następujące wyniki:

t i

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0

3 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

4 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0

9 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1

10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

11 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

12 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

14 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0

15 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

16 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

17 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0

18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

19 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

20

xi

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

suma zt 5 2 3 6 2 0 5 2 4 2

Podczas weryfikacji założyć, że α = β =0,05

Rozwiązanie:

n = 20, α = ε = 0,05, H0: p ≤ p0 = 0,1

H1: p > p0 = 0,1

20,2806189,02645,12)1(

3,7193829,02645,12)1(

===⋅−=−⋅−==⋅+=−⋅+=

o

oood

ooog

npLCpnpunpz

pnpunpz

ε

α

Porównując otrzymane wartości zt z liniami kontrolnymi, należy

stwierdzić, że sygnał o rozregulowaniu zostanie wygenerowany (będą

podstawy do przyjęcia H1) w momentach t =1, 4,7 i 9, gdyż wówczas

wartości obserwowanej statystyki zt będą większe od wartości zg. Sygnały o

postępie technologicznym pojawią się natomiast dla t = 6, gdyż (z6 < zd).

Karta z (np)

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

t

zt

zg

zd

LC

Zadanie 1

Pewien proces produkcyjny kontrolowano za pomocą karty x-średnie,

przy czym σσσσ = 1, µµµµοοοο = 10, n = 4 i αααα =ε= 0,05, a przedział tolerancji ograniczony jest prawostronnie. Uzyskano następujące wyniki:

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9

tx 9.8 10.2 10.3 9.9. 10.9 10.1 9.7 11.1 8.9

Skonstruować diagram przeglądowy. Wskazać punkty rozregulowania

procesu, oraz punkty świadczące o postępie technologicznym.

Zadanie 2

W kolejnych chwilach t obserwowano liczbę sztuk wadliwych zt w

próbkach o stałej liczności n = 40. Otrzymano następujące wyniki:

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

zt 3 0 0 6 3 4 3 3 4 0 0 1 2 0 1

Skonstruować odpowiednią kartę kontrolną przyjmując

prawdopodobieństwo zbędnej regulacji αααα = 0.05 oraz najwyższą dopuszczalną wadliwość po = 0.1 (10%). Czy w powyższym ciągu

obserwacji występują sygnały o rozregulowaniu procesu, albo objawy

postępu technologicznego?

Liczba niezgodności (wad) w jednostce produktu jest zmienną losową (Y)

o przeliczalnym zbiorze wartości

Yo = {0, 1, 2,...}

Przyjmuje się zwykle, że na zbiorze tym rozpięty jest rozkład Poissona,

którego szczegółowa postać określana jest przez parametr λ. Przy rozwiązywaniu praktycznych problemów wartość tego parametru, czyli

przeciętnej liczby wad (niezgodności), musi być odniesiona do ustalonej

jednostki produktu. Może to być jednostka elementarna lub agregatowa,

przy czym każda z nich może być jednostką rzeczywistą lub umowną.

Obserwowana charakterystyka z próby ma postać

∑=

=n

i

titn yc

1

).(

Hipotezy: Ho: λ(n).t ≤ λ(n).0

H1: λ(n).t > λ(n).0 Linie kontrolne:

0).(0).().( nngn uc λλ α+=

0).(0).().( nndn uc λλ ε−=

LC = λ(n).0

KARTA KONTROLNA „C”

Monitorowano proces świadczenia usług bankowych. W tym celu zliczanoliczbę błędów popełnianych przy obsłudze klientów, zakładając, że błędemjest każde odstępstwo od ustalonej procedury. W rezultacie obserwacji poczynionych w dziesięciu dniach badania otrzymano następujące wyniki:

...0311075032ct

...10987654321t

Kierownictwo banku ustaliło, że proces obsługi klientów przebiega poprawnie,jeśli przeciętna liczba błędów w ciągu dnia nie przekracza λo = 5. Skonstruowaćodpowiednią kartę kontrolną do analizy tych danych i wykryć punkty rozregulowania procesu obsługi, a także objawy mogące przemawiać za skutecznością przeporwa--dzanych szkoleń. Prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu, a także prawdo--podobieństwo fałszywego sygnału o poprawie istniejącej sytuacji, ustalono napoziomie α = ε = 0,05.

Karta kontrolna c

Rozwiązanie:

Ho: λ(n).t ≤ λ(n).0 = 5

H1: λ(n).t > λ(n).0 = 5

Linie kontrolne:

8,6783325645,150).(0).().( =+=+= nngn uc λλ α

1,3216685645,150).(0).().( =−=−= nndn uc λλ ε

LC = λ(n).0 = 5

Nie ma powodów do odrzucenia H0 i wygenerowania sygnału o

rozregulowaniu procesu obsługi klienta. W momentach t = 3, 6, 7, 8, 10

mamy powody sądzić, że przeprowadzone szkolenia przyniosły zamierzony

efekt.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 2 4 6 8 10 12

t

ct

cg

cd

LC

KARTA „C”

KARTA KONTROLNA „u” Karta u jest szczególnie użytecznym narzędziem sterowania procesem wówczas,

gdy nie można zapewnić stałej liczności próbek produktu, które podlegają badaniu

polegającemu na zliczaniu niezgodności lub wad. W takiej sytuacji charakterystyka z

próby przybiera postać

ttnt ncu ).(= gdzie

∑=

=t

n

i

titn yc

1

).(

Hipotezy: H0: λ(1).t ≤ λ(1).0

H1: λ(1).t > λ(1).0

przy czym λ(1).0 = λ(n).0/n, λ(1).t = λ(n).t/ n

Charakterystyka z próby: ut = c(n).t/n

Linie kontrolne:nuncu gng // 0).1(0).1().( λλ α+==

n/un/cu 0).1(0).1(d).n(d λ−λ== ε

Jakość produktu oceniano na podstawie przeciętnej liczby niezgodności. Największą przeciętną liczbę niezgodności w elementarnej jednostce produktu ustalono na poziomie λ(1).0 = 1,00. Zastosowana technika pobierania próby nie pozwala na utrzymanie jej liczności na stałym poziomie. W dziesięciu początkowych okresach badania t pobierano próby o różnej liczności i zliczano liczbę niezgodności. Rezultaty badania prezentuje poniższa tablica: t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 liczebność próby nt

11 10 8 13 9 14 12 10 11 9

liczba niezgodności ct

15 13 12 20 7 31 9 8 18 8

Skonstruować odpowiednią kartę do analizy tych danych, oraz wskazać momenty czasu t w których zostaną wygenerowane sygnały świadczące o rozregulowaniu oraz sygnały świadczące o postępie technologicznym. Podczas analizy założyć, że prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu α = 0,01, natomiast prawdopodobieństwo fałszywego sygnału o postępie technologicznym ε = 0,05.

H0: λ(1).t ≤ λ(1).0 = 1

H1: λ(1).t > λ(1).0 = 1

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nt 11 10 8 13 9 14 12 10 11 9 ct 15 13 12 20 7 31 9 8 18 8 ut 1,36 1,30 1,50 1,54 0,78 2,21 0,75 0,80 1,64 0,89 ugt 1,70 1,74 1,82 1,65 1,78 1,62 1,67 1,74 1,70 1,78 udt 0,50 0,48 0,42 0,54 0,45 0,56 0,53 0,48 0,50 0,45

t

td

t

tg

nu

nu

1645,100,1

1326,200,1

.

.

⋅−=

⋅+=

Parametry rozkładu rozstępu

0,8525

0,8884

0,8798

0,8641

0,8480

0,8332

0,8198

0,8078

0,7971

0,7873

0,7785

1,12838

1,69257

2,05875

2,32593

2,53441

2,70436

2,84720

2,97003

3,07751

3,17287

3,25846

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

fndnn

Wartości ϕ(u) dystrybuanty rozkładu normalnego �(0,l)

Kwantyle u(p) rzędu p rozkładu normalnego �(0,l) p

0,90

0,95

0,975

0,99

0,995 u(p) 1,28 1,64 1,96 2,33 2,58

u

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0

0,5000

0,5040

0,5080

0,5120

0,5160

0,5199

0,5239

0,5279

0,5319

0,5359 0,1

,5398

,5438

,5478

,5517

,5557

,5596

,5636

,5675

,5714

,5753 0,2

,5793

,5832

,5871

.5910

,5948

,5987

,6026

,6064

,6103

,6141 0,3

,6179

,6217

,6255

,6293

,6331

,6368

,6406

,6443

,6480

,6517 0,4

,6554

,6591

,6628

,6664

,6700

,6736

,6772

,6808

,6844

,6879 0,5

,6915

,6950

,6985

,7019

,7054

,7088

,7123

,7157

,7190

,7224 0,6

,7257

,7290

,7324

,7357

,7389

,7422

,7454

,7486

,7517

,7549 0,7

,7580

,7611

,7642

,7673

,7704

,7734

,7764

,7794

,7823

,7852 0,8

,7881

,7910

,7939

,7967

,7995

,8023

,8051

,8078

,8106

,8133 0.9

,8159

,8186

,8212

,8238

,8264

,8289

,8340

,8340

,8365

.8389 1,0

0,8413

0,8438

0,8461

0,8485

0,8508

0,8531

0,8554

0,8577

0,8599

0,8621 1,1

,8643

,8665

,8686

,8708

,8729

,8749

,8770

,8790

,8810

,8830 1,2

,8849

,8869

,8888

,8907

,8925

,8944

,8962

,8980

,8997

,9015 1,3

,9032

,9049

,9066

,9082

,9099

,9115

,9131

,9147

,9162

,9177 1,4

,9192

,9207

,9222

,9236

,9251

,9265

,9279

,9292

,9306

,9319 1,5

,9332

,9345

,9357

,9370

,9382

,9394

,9406

,9418

,9429

,9441 1,6

,9452

,9463

,9474

,9484

,9495

,9505

,9515

,9525

,9535

,9545 1,7

,9554

,9564

,9573

,9582

,9591

,9599

,9608

,9616

,9625

,9633 1,8

,9641

,9649

,9656

,9664

,9671

,9678

,9686

,9693

,9699

,9706 1,9

,9713

,9719

,9726

,9732

,9738

,9744

,9750

,9756

,9761

,9767 2,0

0,9772

0,9779

0,9783

0,9788

0,9793

0,9798

0,9803

0,9808

0,9812

0,9817 2,1

,9821

,9826

,9830

,9834

,9838

,9842

,9846

,9850

.9854

,9857 2,2

,9861

,9864

,9868

,9871

,9875

,9878

,9881

,9884

,9887

,9890 2,3

,9893

,9896

,9898

,9901

,9904

,9906

,9909

,9911

,9913

,9916 2,4

,9918

,9920

,9922

,9925

,9927

,9929

,9931

,9932

,9934

,9936 2,5

,9938

,9940

,9941

,9943

,9945

,9946

,9948

,9949

,9951

,9952 2,6

,9953

,9955

,9956

,9957

,9959

,9960

,9961

,9962

,9963

,9964 2,7

,9965

,9966

,9967

,9968

,9969

,9970

,9971

,9972

,9973

,9974 2,8

,9974

,9975

,9976

,9977

,9977

,9978

,9979

,9779

,9980

,9981 2,9

,9981

,9982

,9982

,9983

,9984

,9984

,9985

,9985

,9986

,9986

p

v

0,005

0,01

0,025

0,05

0,95

0,975

0,99

0.995

1

-

-

0,001

0,004

3,841

5,024

6,635

7,879

2

0,010

0,020

0,051

0,103

5,991

7,378

9,210

10,597

3

0,072

0,115

0,216

0,352

7,815

9,348

11,345

12,838

4

0,207

0,297

0,484

0,711

9,488

11,143

13,277

14,860

5

0,412

0,554

0,831

1,145

11,071

12,833

15,086

16,750

6

0,676

0,872

1,237

1,635

12,592

14,449

16,812

18,548

7

0,989

1,239

1,690

2,167

14,067

16,013

18,475

20,278

8

1,344

1,646

2,180

2,733

15.507

17,535

20,090

21,955

9

1,735

2,088

2,700

3,325

16,919

19,023

21,666

23,589

10

2,156

2,558

3,247

3,940

18,307

20,483

23,209

25,188

11

2,603

3,053

3,816

4,575

19,675

21,920

24,725

26,757

12

3,074

3,571

4.404

5,226

21,026

23,337

26,217

28,299

13

3,565

4,107

5,009

5,892

22,362

24,736

27,688

29,819

14

4,075

4,660

5,629

6,571

23,685

26,119

29,141

31,319

15

4,601

5,229

6,262

7,261

24,996

27,488

30,578

32,801

16

5,142

5,812

6,908

7,962

26,296

28,845

32,000

34,267

17

5,697

6,408

7,564

8,672

27,587

30,191

33,409

35,718

18

6,265

7,015

8,231

9,390

28,869

31,526

34,805

37,156

19

6,844

7,633

8,907

10,117

30,144

32,852

36,191

38,582

20

7,434

8,260

9,591

10,851

31,410

34,170

37,566

39,997

21

8,034

8,897

10,283

11,591

32,671

35,479

38,932

41,401

22

8,643

9,542

10,982

12,336

33,924

36,781

40,289

42,796

23

9,260

10,196

11,689

13,091

35,172

38,076

41,638

44,181

24

9,886

10,856

12,401

13,848

36,415

39,364

42,980

45,559

25

10,520

11,524

13,120

14,611

37,652

40,646

44,314

46,928

26

11,160

12,198

13,844

15,379

38,885

41,923

45,642

48,290

27

11,808

12,879

14,573

16,151

40,113

43,194

46,963

49,645

28

12,461

13,565

15,308

16,928

41,337

44,461

48,278

50,993

29

13,121

14,257

16,047

17,708

42,557

45,722

49,588

52,336

30

13,787

14,954

16,791

18,493

43,773

46,979

50,898

53,672

Kwantyle χ2(p,v) rzędu p rozkładu χ2 o v stopniach swobody

Proces produkcyjny monitorowano przy użyciu karty kontrolnej x . W rezultacie badań siedmiu kolejnych próbek uzyskano następujące rezultaty:

t i

1 2 3 4 5 6 7

1 10,4 11,0 10,3 10,2 10,5 9,4 10,9 2 11,4 11,3 10,2 10,6 9,3 11,3 10,1 3 9,3 11,6 10,6 10,8 9,5 10,3 12,5 4 12,0 11,4 10,7 10,7 9,4 10,6 10,3

Wartość docelowa wynosiła 10,5 wariancja była stała i wynosiła 0,36, zaś przedział tolerancji ograniczony był dwustronnie. Zbudować odpowiednią kartę kontrolną Shewharta i wykryć sygnały świadczące o rozregulowaniu procesu. Prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu ustalono na poziomie 0,05.

ĆWICZENIA – KARTY KONTROLNE SHEWHARTA

Ćwiczenia (Karty kontrolne Shewharta)

Zadanie 18

Wstępne badania pewnej operacji technologicznej wykazały, że czas jej trwania jest

zmienną losową o rozkładzie zbliżonym do normalnego, o wartości oczekiwanej

µt = 2,8 i odchyleniu standardowym σt = 0,6 min. W celu bieżącej kontroli

procesu pobierano losowo próbki o liczności n = 9 i mierzono czas trwania

operacji z których wyznaczano wartości średnie tr. W rezultacie badania

kolejnych 10 próbek uzyskano następujące rezultaty:

próbka

(r)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …

średni

czas

trwania

operacji

2,52 3,18 2,54 2,56 4,12 4,34 2,52 2,61 2,65 2,38 …

Skonstruować odpowiednią kartę Shewharta do analizy danych wykryć punkty rozregulowania

procesu, a także objawy mogące przemawiać za skutecznością przeprowadzonych szkoleń

mających na celu skrócenie czasu trwania badanej operacji technologicznej.

Prawdopodobieństwo fałszywego sygnału o rozregulowaniu procesu a także

prawdopodobieństwo fałszywego sygnału o skróceniu tej operacji ustalono na poziomie α = ε = 0,05

Badano stężenie pewnej substancji zabezpieczającej przed zamarzaniem,

która znajduje się w płynie do odmrażania. Badanie polegało na pobieraniu ze

strumienia produktu, co dwie godziny czterech pojemników i oznaczaniu ich

zawartości. W czasie jednej zmiany uzyskano następujące wyniki

zaprezentowane w tabeli. Zaprojektować odpowiednią kartę kontrolną

umożliwiającą śledzenie zarówno sygnałów świadczących o rozregulowaniu

procesu produkcyjnego jak również mogących świadczyć o korzystnych

zmianach w jego przebiegu. Wiadomo, że precyzja procesu wynosi 1,1

natomiast µo = 70. Należy przyjąć: α = 0,01 ε = 0,1

t 1 2 3 4 5 6

tx 70,22 70,92 70,39 70,32 68,63 68,4

Proces wytwarzania wyłączników elektrycznych monitorowano pobierając ze

strumienia produktu próbki o stałej liczności 100 sztuk, a następnie

klasyfikowano wyrób jako wykonany poprawnie lub wykonany wadliwie.

Otrzymano następujące liczby wadliwych wyłączników w kolejnych dziesięciu

próbach:

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

zt 8 1 3 0 2 4 0 1 10 6

Skonstruuj odpowiednią kartę kontrolną zakładając maksymalną

dopuszczalną wadliwość po = 0.03, prawdopodobieństwo zbędnej regulacji

procesu α = 0.01, prawdopodobieństwo błędnego wykrycia sygnału o

korzystnych zmianach w procesie produkcyjnym ε = 0.1. Opisz wszystkie

występujące sygnały.

Produkcję żarówek monitorowano za pomocą karty kontrolnej z.

Liczność próby wynosiła 200 [szt], prawdopodobieństwo fałszywego

sygnału o rozregulowaniu α = 0.05. Badano również korzystne

zmiany w przebiegu procesu produkcyjnego przyjmując

prawdopodobieństwo błędnego stwierdzenia korzystnych zmian w

procesie produkcyjnym ε = 0,1. Maksymalną dopuszczalną

wadliwość ustalono na poziomie po = 2%. Dla dziesięciu kolejnych

próbek otrzymano następujące ilości sztuk niezgodnych w próbie:

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

zt 2 3 5 0 0 4 2 1 6 1

Znajdź sygnały świadczące o rozregulowaniu procesu i korzystnych

zmianach w jego przebiegu.

Monitorowano proces księgowania. W tym celu zliczano błędy

księgowe popełniane w ciągu dnia roboczego. W rezultacie

obserwacji poczynionych w kolejnych ośmiu dniach badania

uzyskano następujące dane:

t 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

ct 2 3 1 7 0 4 2 8 ...

Kierownictwo banku ustaliło, że proces księgowania przebiega

poprawnie, jeżeli przeciętna liczba popełnianych błędów nie

przekracza λo = 2,5. Skonstruować odpowiednią kartę kontrolną do

analizy powyższych danych, wskazać punkty świadczące o

rozregulowaniu procesu księgowania a także objawy mogące

przemawiać za skutecznością przeprowadzonych szkoleń.

Prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu ustalono na

poziomie α = 0.05, a prawdopodobieństwo zbędnego sygnału o

poprawie istniejącej sytuacji ε = 0.1.

Monitorowanie jakości usług magazynowych polegało na

codziennym sprawdzaniu prawidłowości realizacji zamówień. Jeżeli

przeciętna liczba nieprawidłowo wykonanych zamówień nie

przekraczała 3,5 to proces obsługi uznawano za przebiegający

poprawnie.

W trakcie badania jedenastu kolejnych dni uzyskano następujące

rezultaty:

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ct 1,0 2,0 1,0 4,0 3,0 6,0 8,0 7,0 3,0 2,0 1,0

Przyjmując α = 0,02; ε = 0,1 zbuduj odpowiednią kartę kontrolną

umożliwiającą śledzenie procesu usług magazynowych.

W procesie rozlewania wody mineralnej do butelek plastikowych prowadzona jest kontrola szczelności zamknięcia opakowania. Kontrola prowadzona jest okresowo (co godzinę) w sposób wyrywkowy, na losowo pobranych próbkach o zmieniającej się liczebności. W wyniku pomiarów otrzymanych w 6 kolejnych okresach otrzymano następujące wyniki: t 1 2 3 4 5 6 liczebność próby nt

50 60 70 60 50 50

liczba wadliwie zamkniętych butelek (zt)

2 6 14 0 4 1

Czy analizowany proces można uznać za uregulowany? Czy można w badanym przypadku dostrzec zjawisko nazywane postępem technologicznym? Podczas analizy założyć ryzyko zbędnej regulacji procesu oraz ryzyko fałszywego sygnału o postępie technologicznym na poziomie α=ε=0,01. Maksymalna dopuszczalna poprodukcyjna wadliwość wynosi p0=0,1.

Jakość pracy składaczy tekstów w drukarni oceniano na podstawie przeciętnej liczby błędów. Największą przeciętną liczbę błędów w elementarnej jednostce produktu będącej 1 stroną maszynopisu ustalono na poziomie λ(1).0 = 1,00. Charakter badanego procesu nie pozwalał na to aby podczas monitorowania procesu poddawać kontroli jednakową liczbę losowo wybranych stron. W dziesięciu początkowych okresach badania t pobierano próby o różnej liczbie losowo wybranych stron i zliczano liczbę popełnionych błędów. Rezultaty badania prezentuje poniższa tablica: t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 liczba stron nt

10 10 9 10 10 10 12 10 10 10

liczba błędów ct

15 13 12 20 7 31 9 8 18 8

Skonstruować odpowiednią kartę do analizy tych danych, oraz wskazać momenty czasu t w których zostaną wygenerowane sygnały świadczące o rozregulowaniu oraz sygnały świadczące o wzroście jakości pracy badanego personelu. Podczas analizy założyć, że prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu oraz prawdopodobieństwo fałszywego sygnału o wzroście jakości pracy badanego personelu wynosi 0,05.

W cementowni prowadzi się w sposób wyrywkowy kontrolę ciężaru

napełnianych worków.

Nominalny ciężar każdego opakowania po napełnieniu powinien wynosić

x0 = 25 kg. ± 1 kg. Załóżmy, że ciężar badanego produktu jest zmienną

losową o nieznanych parametrach µ i σ. Posiadane urządzenia dozująco-paczkujące pozwalają na ustalenie hipotetycznej wartości oczekiwanej µ na poziomie wartości nominalnej (docelowej) x0.

1. Ustalić na jakim najwyższym dopuszczalnym poziomie σ0 może

kształtować się odchylenie standardowe, jeżeli chcemy, aby

poprodukcyjna wadliwość produktu p nie przekroczyła p0 = 3%.

2. Przyjmując wyznaczoną w punkcie 1 wartość σ0, skonstruować

odpowiednią kartę kontrolną pozwalającą na ocenę opisanego

powyżej procesu paczkowania. Podczas konstrukcji karty założyć,

że α=ε=0,05. 3. W oparciu o skonstruowaną w punkcie 2 kartę kontrolną ocenić

rezultaty otrzymane w kolejnych 8 krokach badania tego procesu.

Na podstawie tych danych obliczono wartości średnich

arytmetycznych, odchyleń standardowych, oraz rozstępów.

Wartości tych charakterystyk zestawione są w 3 ostatnich wierszach

poniższej tabeli: t

i 1 2 3 4 5 6 7 8

1 25,4 25,1 25 25,4 24,2 24 25 26

2 24,5 26,1 25,6 24,9 24,8 25,9 25,4 26

3 25,2 24,4 26,2 24,8 25,7 24,1 25,8 25

4 24,3 25,2 27,8 25,1 24,6 25,6 24,5 25

5 25,1 25,5 24,1 26 26 25 26 23

tx 24,9 25,26 25,74 25,24 25,06 24,92 25,34 25

St 0,4743416 0,61887 1,388524 0,482701 0,760263 0,858487 0,60663 1,224745

Rt 1,1 1,7 3,7 1,2 1,8 1,9 1,5 3

Monitorowano czas realizacji wystawionych faktur. W tym celu na koniec

każdego miesiąca wybierano losowo 4 faktury i badano czas, jaki upłynął od

momentu wystawienia faktury do momentu wpływu należności. Warunkiem

utrzymania płynności finansowej jest to, aby średni czas realizacji wystawionej

faktury nie przekroczył 7 dni. Co można powiedzieć o przebiegu procesu

płatności, jeżeli w 6 początkowych miesiącach obserwowano następujące

wartości:

t

i

1 2 3 4 5 6

1 6 10 2 1 12 1

2 8 11 3 2 11 2

3 9 6 4 6 2 2

4 4 7 1 8 3 4

Podczas analizy powyższego procesu założyć że:

α=ε=0,01, czas realizacji faktury ma rozkład normalny ze stałą wariancją wynoszącą 4.

Monitorowano jakość pracy przydrożnych elektronicznych pogodowych tablic

informacyjnych. Przedmiotem badania była liczba koniecznych interwencji

naprawczych w okresie jednego tygodnia pracy. Oceń proces funkcjonowania

tych urządzeń, jeśli w kolejnych dziesięciu tygodniach otrzymano następujące

wyniki:

tydzień 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

liczba

koniecznych

napraw

2 4 1 0 10 11 12 0 2 3

Podczas analizy powyższego procesu założyć że:

- przeciętna liczba koniecznych tygodniowych napraw nie powinna

przekroczyć 5,

- α=ε=0,01,

Jakość wytwarzanych produktów oceniana była alternatywnie. Zmienną

diagnostyczną była liczba wadliwie wytworzonych produktów w losowej

próbie o stałej liczności n = 49. Próbę pobierano w odstępach

jednogodzinnych. Oceń przebieg procesu produkcyjnego, jeżeli w 10

początkowych okresach czasu otrzymano następujące wyniki:

godzina 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

liczba

produktów

wadliwych

6 0 2 5 4 0 12 4 1 2

Podczas analizy założyć, że:

α=ε = 0,01, maksymalna poprodukcyjna wadliwość wynosi 4%.

Parametry rozkładu rozstępu

0,8525

0,8884

0,8798

0,8641

0,8480

0,8332

0,8198

0,8078

0,7971

0,7873

0,7785

1,12838

1,69257

2,05875

2,32593

2,53441

2,70436

2,84720

2,97003

3,07751

3,17287

3,25846

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

fndnn