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IDENTIFICAÇÃO DE PARÂMETROS MODAIS DE UMA VIGA ENGASTADA
UTILIZANDO TESTE DE IMPACTO
Wylson Zon Neto
Projeto de Graduação apresentado no Curso de
Engenharia Naval e Oceânica da Escola
Politécnica, Universidade Federal do Rio de
Janeiro, como parte dos requisitos necessários à
obtenção do título de Engenheiro.
Orientador: Ulisses Admar B. V. Monteiro
Rio de Janeiro
Março de 2015
ii
iii
Zon Neto, Wylson
Identificação de Parâmetros Modais de uma Viga
Engastada Utilizando Teste de Impacto/Wylson Zon Neto. - Rio de
Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2015.
VII, 35 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Ulisses Admar Barbosa Vicente Monteiro
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de
Engenharia Naval e Oceânica, 2015
Referências Bibliográficas: p. 35.
1. Parâmetros Modais. 2. Análise. 3. Frequências Naturais. 4.
Amortecimentos. I. Barbosa Vicente Monteiro, Ulisses Admar. II.
Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso
de Engenharia Naval e Oceânica. III. Identificação de Parâmetros
Modais de uma Viga Engastada Utilizando Teste de Impacto.
iv
DEDICATÓRIA
.
Aos meus pais, Wylson e Isabela,
que me amaram, respeitaram e inspiraram
ao longo de toda minha vida.
Sem este apoio nada seria possível.
v
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais por acreditarem na minha capacidade, incentivarem a minha
produção e também financiarem minha formação.
Aos meus irmãos, Hugo e Saulo, que mesmo longe, mas nunca distantes, sempre
me dão forças para continuar.
À minha namorada, Carolina, pela dedicação, companheirismo e,
principalmente, paciência, que mesmo durante os dias mais difíceis continuou ao meu
lado.
Aos meus familiares que me apoiaram durante esta trajetória. Em especial aos
meus avós que estão sempre presentes para uma palavra de conforto e sabedoria.
Aos meus amigos que entraram na minha vida por escolha, se mantiveram ao
meu lado por afinidade e se tornaram parte da minha família.
Ao professor, Ulisses Admar Barbosa Vicente Monteiro, pela ajuda e
ensinamentos durante as sessões que transformaram este projeto em realidade.
Finalmente, a Petrobras pela ajuda financeira concedida para que eu pudesse me
dedicar integralmente a este projeto.
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Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval e Oceânico.
Identificação de Parâmetros Modais de uma Viga Engastada Utilizando Teste de
Impacto
Wylson Zon Neto
Março/2015
Orientador: Ulisses Admar B. V. Monteiro
Curso: Engenharia Naval e Oceânica
Este projeto busca identificar os parâmetros modais de componentes de um
simulador de máquinas rotativas a partir de testes de impacto utilizando dois métodos de
identificação: no domínio do tempo (Decaimento Logarítmico) e no domínio da
frequência (Meia Potência).
Para realizar estes testes foram utilizados um martelo de impacto instrumentado
para excitar a estrutura e um acelerômetro para a aquisição dos dados de resposta. Para a
análise dos dados fornecidos pelos equipamentos foi utilizada a plataforma de
programação gráfica “LabVIEW”.
Após as análises descobriu-se que a frequência natural do primeiro modo de
vibração do componente analisado é de 26 Hz e que seu amortecimento está em torno
de 1,3%.
Palavras-chave: Parâmetros Modais, Análise, Frequências Naturais, Amortecimentos.
vii
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as part of the fulfillment of
the requirements for the degree of Engineer.
Identification of Modal Data of a Cantilever Beam Using Impact Test
Wylson Zon Neto
March/2015
Advisor: Ulisses Admar B. V. Monteiro
Course: Ocean Engineering
The current project aims to identify the modal data of components from a
rotating machinery simulator through an impact test using two identification methods:
in the time domain (Logarithmic Decrement) and frequency domain (Half Power).
In order to perform these tests we used an instrumented impact hammer to excite
the structure and an accelerometer for the acquisition of response data. For the analysis
of data provided by the equipment it was used the graphical programming platform
"LabVIEW".
After analysis it was found that the natural frequency of the first vibration mode
of the analyzed component is 26 Hz and its damping is around 1.3%.
Keywords: Modal Data, Analysis, Natural Frequencies, Damping.
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ÍNDICE
1 - INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 1 2 - OBJETIVO DO PROJETO FINAL ...................................................................... 2 3 - FUNDAMENTOS TEÓRICOS ............................................................................ 3
3.1 - Introdução à Vibração .................................................................................... 3 3.1.1 - Tipos de vibração .................................................................................... 3
3.1.2 - Características físicas de um sistema vibratório ..................................... 4
3.2 - Análise Modal ................................................................................................ 4 3.2.1 - Identificação dos Parâmetros Modais ..................................................... 5
3.2.2 - Formulação Função de Resposta em Frequência .................................... 5
3.2.3 - Análise Gráfica da Função de Resposta em Frequência ......................... 7
4 - MÉTODOS DE IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS MODAIS .............. 10
4.1 - Decremento Logarítmico.............................................................................. 10
4.2 - Meia Potência ............................................................................................... 12 5 - ESTUDO DE CASO ........................................................................................... 13
5.1 - Equipamentos Necessários ........................................................................... 13 5.1.1 - Excitador ............................................................................................... 13
5.1.2 - Transdutor ............................................................................................. 14
5.1.3 - Conversor de Sinal ................................................................................ 15
5.1.4 - Analisador ............................................................................................. 16
5.2 - Procedimento Experimental ......................................................................... 17 5.2.1 - Obtenção dos Dados ............................................................................. 17
5.2.2 - Tratamento dos Dados .......................................................................... 19
6 - ANÁLISE DOS RESULTADOS ........................................................................ 22
6.1 - Análise Numérica ......................................................................................... 22
6.2 - Decremento Logarítmico.............................................................................. 23 6.3 - Meia Potência ............................................................................................... 29
7 - CONCLUSÕES ................................................................................................... 34
8 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................ 35
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1 - INTRODUÇÃO
O fácil acesso a informação e a globalização da produção são alguns dos
motivos pelos quais o mundo contemporâneo é marcado pela competitividade,
característica que impulsiona o mercado a produzir cada vez mais rápido e barato. Dessa
forma, para tentar atingir estas metas, aumentou-se a velocidade de operação e
diminuiu-se a quantidade de material na produção. Consequentemente, as estruturas
atuais estão muito suscetíveis aos efeitos da vibração.
Por outro lado, no mundo atual os requisitos de segurança e confiabilidade são
cada vez mais restringentes. Novas leis e regulamentos que buscam dar mais segurança
à população entram em vigor todos os dias. No entanto, tais leis são gerais e muitas
vezes vagas quanto a parâmetros técnicos específicos. Fica, então, a cargo da produção
definir os mínimos requisitos de segurança e conforto, como por exemplo espessura
mínima de chapa e nível máximo de vibração e ruído produzidos por um motor.
Assim, para conciliar competitividade e segurança, a análise modal tem ganho
cada vez mais espaço. Dentre as suas aplicações, estão: a) resolução de problemas
estruturais devido ao conhecimento preciso das características da estrutura conseguidos
experimentalmente; correlação de modelos de elementos finitos com resultados
experimentais, tornando os primeiros mais fidedignos à realidade; identificação
preliminar dos efeitos de possíveis modificações estruturais de um sistema; b) definição
das características físicas que devem ser alteradas para que se consiga uma determinada
variação de um parâmetro modal, tal como a variação da frequência natural; c)
simplificação de modelos matemáticos, identificando, por exemplo, que um número
maior de graus de liberdade não irá representar melhor a realidade; d) previsão das
respostas vibratórias devido a uma força excitadora; e) identificação de uma força
excitadora através das respostas observadas do sistema; f) determinação do
comportamento dinâmico de uma estrutura através do comportamento de suas partes; g)
detecção de falhas estruturais através da comparação dos parâmetros presentes com os
da estrutura intacta; h) determinação de controle ativo de vibração, também, graças a
construção de modelos matemáticos precisos.
O mercado de óleo e gás é um exemplo para a utilização destas aplicações, pois,
com projetos desafiadores, a especulação do preço do petróleo e as questões ambientais
em voga, a segurança e a competitividade devem estar sempre em primeiro plano.
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2 - OBJETIVO DO PROJETO FINAL
O objetivo deste projeto é desenvolver uma metodologia para a determinação
das frequências naturais, dos coeficientes de amortecimento e dos modos de vibração de
um sistema a partir de dados experimentais gerados por teste de impacto.
A obtenção dos resultados foi realizada através de dois métodos matemáticos:
decaimento logaritmo e meia potência, todos eles voltados para sistemas com um grau
de liberdade, de análise local e que sofreram excitações simples. O primeiro dos
métodos se utiliza do domínio do tempo e o outro do domínio da frequência.
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3 - FUNDAMENTOS TEÓRICOS
3.1 - Introdução à Vibração
Este tópico foi escrito baseado em informações contidas no livro texto
Mechanical Vibrations [1].
É chamado de vibração ou oscilação qualquer movimento que se repete depois
de um intervalo de tempo. Um sistema oscilatório, em geral, possui um meio de
armazenar energia potencial e cinética e um meio para dissipar energia.
Estes sistemas oscilatórios podem ter desde um a infinitos graus de liberdade. O
número de graus de liberdade de um sistema é dado pelo menor número de coordenadas
independentes necessário para determinar completamente as posições de todas as partes
do sistema em qualquer instante. Um sistema com um número finito de graus de
liberdade é chamado de sistema discreto e um sistema com infinitos graus de liberdade é
chamado de sistema contínuo.
Normalmente estes sistemas contínuos, reais, são aproximados por sistemas
discretos para que soluções possam ser alcançadas de forma mais simples. Assim, a
maior parte dos sistemas reais é modelada de forma discreta e, normalmente para
aumentar sua precisão, aumenta-se o grau de liberdade.
Além disso, para prever o comportamento de um sistema vibratório submetido a
certas condições iniciais, muitas vezes um sistema físico é representado por um modelo
bem simples. Tais modelos são compostos pelos seguintes elementos: massa, mola e
amortecedor. A massa é assumida como um corpo rígido e serve para armazenar a
energia cinética do sistema. A mola pode apresentar comportamento linear ou não,
geralmente os sistemas físicos apresentam comportamento não linear, e armazena a
energia potencial do sistema. Por último, o amortecedor é o elemento pelo qual o
sistema dissipa a energia.
Assim, após representados os componentes, são feitas as análises destes
sistemas, que envolvem: modelagem matemática, derivação das equações governantes,
solução das equações e interpretação dos resultados.
3.1.1 - Tipos de vibração
A vibração também pode ser classificada quanto aos seguintes aspectos:
4
Livre ou forçada: a livre refere-se àquele movimento que ocorre sem a
presença de qualquer força externa e, a forçada, àquele movimento que
sofre influência de uma força externa;
Amortecida ou não amortecida: a não amortecida mantém a energia
constante e a amortecida dissipa sua energia inicial com o tempo;
Linear ou não linear: a vibração é considerada linear caso todos os
elementos do sistema (mola; amortecedor) também o sejam, caso
contrário ela é não linear;
Regular ou irregular: a regular pode ser determinada facilmente por
uma série temporal, como um pêndulo de relógio e a irregular não se
consegue determinar. Como o movimento do solo durante um terremoto,
por exemplo.
3.1.2 - Características físicas de um sistema vibratório
Como visto acima um sistema vibratório real pode ser simplificado por modelos
simples constituídos por massa, mola e amortecedor, que, por sua vez, representam,
respectivamente, as características físicas do sistema: massa, rigidez e constante de
amortecimento.
3.2 - Análise Modal
Para suporte ao desenvolvimento deste tópico foi utilizado o livro Modal
Analysis [2].
A análise modal determina as características dinâmicas inerentes a um sistema
especificando as frequências naturais, fatores de amortecimento e modos de vibração e
as utiliza para construir um modelo matemático do comportamento dinâmico do
sistema. Este modelo é conhecido como modelo modal e as características como
parâmetros modais.
A teoria clássica da vibração, que está preocupada com a resposta do sistema, a
análise modal está preocupada com as características deste. Dessa forma, a utilização
das chamadas funções de resposta em frequência (FRF) torna este estudo mais eficaz.
Porém, isto não exclui a utilização de funções no domínio do tempo que, também serão
abordadas ao longo deste trabalho.
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3.2.1 - Identificação dos Parâmetros Modais
Frequência Natural:
É a frequência com que um sistema sem dissipação de energia vibra livremente
após ser excitado por uma perturbação inicial. Para um sistema massa mola de um grau
de liberdade ela pode ser definida da seguinte forma:
𝜔𝑛 = √𝑘
𝑚
(
(3.1)
Onde k é rigidez da mola e m é a massa.
E para sistemas mais complexos como o que foi estudado neste projeto pode-se
identificar a frequência natural graficamente.
Além disso, um sistema não apresenta, necessariamente, somente uma
frequência natural. Na verdade, o número de frequências naturais de um sistema é igual
ao número de graus de liberdade do mesmo.
Fator de Amortecimento:
O fator de amortecimento é uma característica física do sistema que dificilmente
pode ser calculada analiticamente, dessa forma a análise modal é de extrema
importância para identificação do mesmo, possibilitando assim a construção do modelo
modal.
O fator de amortecimento é definido da seguinte forma:
𝜁 =𝑐
𝑐𝑐
(
(3.2)
Onde 𝑐 é a constante de amortecimento e 𝑐𝑐 é o amortecimento crítico.
Modo de Vibração:
O modo de vibração é o padrão de deslocamento da vibração que o sistema
assume para cada frequência natural.
3.2.2 - Formulação Função de Resposta em Frequência
Levando em consideração o sistema estudado neste projeto, foi feito o
desenvolvimento matemático da FRF somente para o caso de um sistema de um grau de
liberdade com amortecimento viscoso.
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Para uma força excitadora harmônica, 𝑓(𝑡) = 𝐹(𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡, a resposta do sistema
também é harmônica, 𝑥(𝑡) = 𝑋(𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡, onde a amplitude 𝑋(𝜔) é complexa. Sendo
assim, ao substituirmos estas equações nas equações do movimento para um sistema
amortecido, pode-se determinar a razão entre o deslocamento da resposta {𝑋(𝜔)} e a
força excitadora {𝐹(𝜔)} como:
𝛼(𝜔) =
𝑋(𝜔)
𝐹(𝜔)=
1
𝑘 − 𝜔2𝑚 + 𝑗𝜔𝑐
(
(3.3)
Onde j é a indicação de número complexo.
Sendo esta razão denominada função de resposta em frequência (FRF) do
sistema. Embora seja definida como a razão entre a força e resposta, a FRF independe
destas. E quando o amortecimento é zero, nota-se que a função complexa se reduz a
uma função real.
Mesmo na teoria, a FRF, sendo dependente apenas do sistema, na realidade a
acurácia na obtenção dos dados da FRF é crítica para que a análise modal seja feita com
sucesso.
A FRF definida acima, usando-se o deslocamento da resposta, é conhecida como
receptância. Substituindo-se o deslocamento pela velocidade tem-se a FRF denominada
como mobilidade, e, pela aceleração, tem-se a FRF denominada como acelerância.
𝑌(𝜔) =
�̇�(𝜔)
𝐹(𝜔)=
𝑗𝜔
𝑘 − 𝜔2𝑚 + 𝑗𝜔𝑐
(
(3.4)
𝐴(𝜔) =
�̈�(𝜔)
𝐹(𝜔)=
−𝜔2
𝑘 − 𝜔2𝑚 + 𝑗𝜔𝑐
(
(3.5)
Observando-se as equações dos três tipos de FRF, 𝛼(𝜔), 𝑌(𝜔) e 𝐴(𝜔) percebe-
se que uma pode se transformar nas outras facilmente e que suas amplitudes e fases
obedecem as seguintes relações:
|𝐴(𝜔)| = 𝜔|𝑌(𝜔)| = 𝜔2|𝛼(𝜔)| (
(3.6)
7
𝜃𝐴(𝜔) = 𝜃𝑌(𝜔) +𝜋
2= 𝜃𝛼(𝜔) + 𝜋
(
(3.7)
3.2.3 - Análise Gráfica da Função de Resposta em Frequência
A análise gráfica da FRF é de suma importância para a análise modal. Para cada
plano da FRF, diferentes informações do sistema sobressaem.
A seguir, para exemplificar, foi realizado o estudo da FRF de um sistema de um
grau de liberdade que, em um primeiro momento, pode parecer analiticamente simples,
mas, mesmo assim, contém muita informação sobre o sistema. Primeiro fez-se a
representação geral da Receptância, que, por ser uma função complexa no domínio da
frequência, precisa de uma representação tridimensional.
Figura 1 - Gráfico tridimensional da Receptância.
Mesmo, sendo o gráfico tridimensional, Figura 1, o único capaz de representar a
FRF por completo, na análise modal, faz-se o estudo através dos planos, Real x
Frequência, Imaginário x Frequência e Real x Imaginário, pois, dessa maneira, as
características do sistema se destacam visualmente.
Figura 2 - Parte Real da Receptância FRF.
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Figura 3 - Parte Imaginária da Receptância.
Na Figura 2 pode-se obter a frequência natural do sistema quando a parte real é
igual a zero e na Figura 3 pode-se obter a frequência natural quando a parte imaginária
atinge o pico negativo.
Figura 4 - Plano Real x Imaginário das três FRF.
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Nos planos da Figura 4, a identificação das características do sistema não é tão
clara, mas, mais adiante, demonstra-se que, para um sistema com amortecimento
viscoso, pode-se obter diretamente do gráfico da Mobilidade a constante de
amortecimento, o que não é possível nos outros dois planos.
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4 - MÉTODOS DE IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS MODAIS
A classificação dos métodos de identificação dos parâmetros modais descrita
abaixo foi obtida do livro Theoretical and Experimental Modal Analysis [3].
Nas últimas décadas muitos métodos de identificação modal se consolidaram.
Este avanço se deve, em grande parte, à introdução da transformada rápida de Fourier
(FFT – Fast Fourier Transform) e ao desenvolvimento de equipamentos potentes que
possibilitam a aquisição e tratamento de grandes quantidades de dados.
Para organizar os diferentes métodos, foi criada uma classificação. O primeiro
nível de classificação dos métodos acontece quanto ao domínio, existindo métodos no
domínio do tempo, da frequência e, em paralelo a estes grupos, o método de excitação
sintonizados que não será tratado neste projeto.
Os grupos dos domínios da frequência e do tempo são, então, subdivididos em
métodos diretos e indiretos. Os diretos se baseiam diretamente no modelo espacial para
identificação das FRF’s; já os métodos indiretos se baseiam no modelo modal.
A subdivisão seguinte se refere ao número de modos que podem ser analisados,
podendo haver análises de sistemas com um grau de liberdade (SDOF – Single Degree
of Freedom) e análises de sistemas com múltiplos graus de liberdade (MDOF – Multiple
Degree of Freedom).
Neste projeto foram abordados dois métodos de análise modal, decremento
logarítmico, que utiliza o domínio do tempo, e meia potência, que utiliza o domínio da
frequência.
4.1 - Decremento Logarítmico
Baseado no livro texto Mechanical Vibrations [1], desenvolveu-se o texto a
seguir.
O método do decremento logarítmico, diferentemente dos outros, que serão
abordados, trabalha no domínio do tempo, mas utiliza-se o domínio da frequência para
definir a frequência natural.
A frequência natural é extraída diretamente dos gráficos da parte real e
imaginária da FRF pela frequência, pois pode-se observar o comportamento específico
da amplitude na frequência natural e sua vizinhança.
Já o amortecimento modal é definido pelo decaimento da amplitude do
deslocamento com o passar dos ciclos. Este procedimento consiste basicamente na
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definição do logaritmo natural da razão entre duas amplitudes consecutivas, separadas
por um ciclo, da resposta do sistema { 𝑥(𝑡)}.
Figura 5 - Resposta Subamortecida do Sistema.
Da equação da resposta de um sistema subamortecido pode-se montar a razão
entre as amplitudes dos pontos 1 e 2 (Figura 5), da seguinte forma:
𝑥1
𝑥2=
𝑋0𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡1𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑑𝑡1 − 𝜙0)
𝑋0𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡2𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑑𝑡2 − 𝜙0)
(
(4.1)
Onde: 𝑋0 é a amplitude inicial; 𝑡1 é um tempo qualquer; 𝑡2 = 𝑡1 + 𝜏𝑑; 𝜏𝑑 =
2𝜋/𝜔𝑑, é o período de uma vibração amortecida; 𝜔𝑑 é a frequência de uma vibração
amortecido; 𝜙0 é a fase inicial.
Como cos(𝜔𝑑𝑡2 − 𝜙0) = cos(2𝜋 + 𝜔𝑑𝑡1 − 𝜙0) = cos(𝜔𝑑𝑡1 − 𝜙0), pode-se
reescrever:
𝑥1
𝑥2=
𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡1
𝑒−𝜁𝜔𝑛(𝑡1−𝜏𝑑)= 𝑒𝜁𝜔𝑛𝜏𝑑
(
(4.2)
Então o decremento logarítmico (𝛿) pode ser definida como:
𝛿 = 𝑙𝑛
𝑥1
𝑥2= 𝜁𝜔𝑛𝜏𝑑 = 𝜁𝜔𝑛
2𝜋
√1 − 𝜁2𝜔𝑛
=2𝜋𝜁
√1 − 𝜁2=
2𝜋
𝜔𝑑∗
𝑐
2𝑚
(
(4.3)
e, para amortecimentos pequenos, (𝜁 ≪ 1):
𝛿 ≃ 2𝜋𝜁 (
(4.4)
12
4.2 - Meia Potência
O texto sobre o método da meia potência foi baseado no livro Engineering
Vibration [4].
Este método utiliza a amplitude da FRF {𝐻(𝜔)} para encontrar as frequências
naturais, amortecimentos modais e modos de vibração para todos os picos observados
na plotagem da mesma.
Figura 6 - Gráfico da da FRF.
Se o gráfico apresenta quatro picos de ressonância, recomenda-se modelar com 4
graus de liberdade. Dessa forma, uma maneira simples de se encontrar as características
modais começa pela subdivisão do gráfico de 𝐻(𝜔) em segmentos onde cada um
engloba um pico de ressonância, considerando-se então cada segmento como um
problema de “resposta-frequência” de um grau de liberdade. Assim, as frequências das
ressonâncias são os picos e a razão de amortecimento pode ser dada por:
𝜁 =𝜔𝑎 − 𝜔𝑏
2𝜔𝑛
(
(4.5)
Devido à sua simplicidade, este método pode coletar resultados rapidamente.
Contudo, considera-se que ele não obtém parâmetros modais muito precisos. A razão de
amortecimento é estimada apenas pelos pontos de meia potência, deixando de lado
muitas informações fornecidas pela FRF.
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5 - ESTUDO DE CASO
5.1 - Equipamentos Necessários
Para se realizar as medições da análise modal, os seguintes equipamentos foram
necessários: um Excitador, que impõe uma força conhecida ao sistema, um
transdutor, que converte o movimento físico do sistema em um sinal elétrico
mensurável, um conversor de sinal para amplificar o sinal emitido pelo transdutor e um
analisador para processar os dados transmitidos pelo conversor de sinal.
5.1.1 - Excitador
O excitador pode ser um vibrador eletromagnético ou um martelo de impacto.
Neste estudo utilizou-se o segundo.
O martelo de impacto vem acoplado com um sensor de força embutido na sua
cabeça e, diferentemente do vibrador eletromagnético, não causa o problema de
modificar a massa do sistema a ser testado. A força causada pelo martelo é medida pelo
sensor em sua cabeça e a resposta do sistema é composta por excitações em cada uma
das frequências naturais do sistema.
Figura 7 - Martelo de Impacto.
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Figura 8 - Dados do Martelo de Impacto.
5.1.2 - Transdutor
Um transdutor converte um tipo qualquer de energia em outro tipo qualquer de
energia que facilite a mensuração. Dessa forma, existem diversos tipos de transdutores e
eles podem ser classificados por diferentes critérios: quantidade a ser medida; princípio
de operação; necessidade de fonte externa de eletricidade ou não.
Dentre os transdutores o mais popular é o piezoelétrico. Este tipo utiliza a
propriedade piezoelétrica de alguns cristais de gerarem tensão elétrica em resposta a
uma pressão mecânica.
No entanto, o transdutor utilizado no experimento é do tipo resistivo, composto
por potenciômetros e extensômetros, que transforma a deformação em um sinal elétrico.
15
Figura 9 - Acelerômetro.
Figura 10 - Dados do Acelerômetro.
5.1.3 - Conversor de Sinal
Conversores de sinal fazem a ligação entre o transdutor e o analisador. Como o
sinal elétrico produzido pelo transdutor é muito pequeno, o conversor de sinal, que pode
ser um amplificador de voltagem, é utilizado para adequar o sinal de saída do transdutor
ao de entrada do analisador.
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Figura 11 - Conversor e seus dados.
No caso o conversor utilizado (Figura 11) também digitaliza o sinal, que pode
ser transferido para um computador através de uma porta USB.
5.1.4 - Analisador
O analisador é o último equipamento da análise modal, ele recebe os sinais
analógicos ou digitalizados do conversor de sinal e calcula os espectros de forma
numérica ou gráfica, possibilitando, assim, a determinação dos parâmetros modais.
Neste projeto foi utilizado como analisador um computador equipado com o
software de programação gráfica “LabVIEW”, que recebe os dados digitalizados e se
utiliza de funções internas para manipular os dados.
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Figura 12 - Ferramenta de programação utilizada como Analisador.
5.2 - Procedimento Experimental
5.2.1 - Obtenção dos Dados
A Erro! Fonte de referência não encontrada. mostra o Rotor Kit instalado no
aboratório de Ensaios Dinâmicos e Análise de Vibração (LEDAV) utilizado para
simular máquinas rotativas, que teve sua haste do sistema de controle (Figura 14)
submetida aos impactos.
O sistema de controle e sua haste são um sistema em balanço que possui
vibração longitudinal e facilmente excitável.
18
Figura 13 - Rotor Kit e haste do sistema de controle.
Figura 14 - Haste do sistema de controle.
Para produzir os dados experimentais (Figura 15 e Figura 16), foram realizados
dois testes com um martelo de impacto, sendo, cada um dos testes, uma sequência de
quatro impactos. Os dados foram obtidos através de um acelerômetro, para medir a
resposta do sistema, e um transdutor de força, este já instalado na cabeça do martelo,
para medir a força excitadora.
Figura 15 - Impactos teste 01.
19
Figura 16 - Impactos teste 02.
5.2.2 - Tratamento dos Dados
Após serem devidamente registrados, os dados gerados pelos impactos devem
ser tratados. Para realizar o tratamento, foi utilizado um software simples, programado
na plataforma do “LabVIEW”.
O primeiro passo foi a separação dos dados da força excitadora, impacto do
martelo, dos dados da resposta do sistema. Para isso foi utilizada a função “Split
Signals”, interna da plataforma “LabVIEW”.
Figura 17 - Função "Split Signals" interna do "LabVIEW".
Para confirmar a separação dos dados com sucesso criou-se um gráfico para
cada tipo de dado. Vale lembrar que, como os mecanismos utilizados para obtenção dos
dados foram um acelerômetro e um transdutor de força, os dados originais
correspondem à aceleração em função do tempo.
20
Dados Teste 01:
Figura 18 – Dados da força excitadora Teste 01.
Figura 19 - Dados da resposta do sistema Teste 01.
21
Dados Teste 02:
Figura 20 - Dados da força excitadora Teste 02.
Figura 21 - Dados da resposta do sistema Teste 02.
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6 - ANÁLISE DOS RESULTADOS
6.1 - Análise Numérica
Para comparar os resultados experimentais foi realizada uma análise numérica
do sistema estudado. Criou-se um modelo da haste do RotorKit no programa de
modelação “Rhinoceros” e exportou-se este modelo para o “Ansys”, software de análise
numérica, pelo método dos elementos finitos.
Em um primeiro momento, exportou-se um modelo trivial baseado em elemento
casca e constatou-se que a frequência do primeiro modo de vibração era de 41 Hz. Em
seguida, foi criado um modelo mais fiel com todas as dimensões idênticas ao corpo real,
elemento sólido, o que retornou a frequência natural do primeiro modo igual a 35 Hz.
Enfim, percebeu-se que o tipo de engaste da haste que estava sendo utilizado, engaste
completo, não era adequado, já que a haste é presa a estrutura pontualmente por dois
parafusos. Dessa forma, ao modificar-se o tipo de engaste do modelo para pontual
obteve-se a frequência natural do primeiro modo igual a 27,8 Hz (Figura 22).
Figura 22 - Primeiro modo de vibração pelo Ansys.
Além da frequência natural, o modelo também nos permitiu identificar os modos
de vibração, o primeiro, como já dito antes, com frequência natural de 27,8 Hz, o
segundo com frequência natural de 183,5 Hz (Figura 23) e os subsequentes. Dessa
forma, ao comparar os dados numéricos com os experimentais sabe-se que modo de
vibração o experimento está identificando.
23
Figura 23 - Segundo modo de vibração pelo Ansys
6.2 - Decremento Logarítmico
Como visto anteriormente, a obtenção dos parâmetros modais a partir deste
método utiliza informações presentes no deslocamento da resposta do sistema, ou seja,
o gráfico de deslocamento x tempo da resposta do sistema. Porém o equipamento
utilizado para obter os dados de resposta do sistema nos fornece a aceleração x tempo.
Assim, para utilizar-se estes dados sem perda de detalhes, provamos na
sequência que a relação do decremento logarítmico, apresentada na Equação 4.2,
também é válida para a aceleração:
𝑥1 = 𝑋0𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡1 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡1 − 𝜙0) (
(6.1)
Fazendo-se 𝑢 = 𝑋0𝑒−ζ𝜔𝑛𝑡1 e 𝑣 = cos(𝜔𝑑𝑡1 − ϕ0), tem-se:
𝑥1 = 𝑢𝑣 (
(6.2)
𝑥1̇ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ (
(6.3)
𝑥1̈ = 𝑢′′𝑣 + 𝑢′𝑣′ + 𝑢′𝑣′ + 𝑢𝑣′′ (
(6.4)
24
Então, isolando 𝑢, obtém-se a relação mostrada na Equação 6.5:
�̈�1
�̈�2=
𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡1
𝑒−𝜁𝜔𝑛(𝑡1−𝜏𝑑)= 𝑒𝜁𝜔𝑛𝜏𝑑
(
(6.5)
Abaixo segue-se o passo a passo para a definição dos parâmetros modais e a
apresentação dos valores para os Testes 01 e 02.
1º Passo: transformar a resposta do sistema em FRF.
Como visto, a resposta do sistema deve ser passada do domínio do tempo para o
domínio da frequência e para isso aplica-se a função “Frequency Response” (Figura 24)
para criar os gráficos da parte real e imaginária da Acelerância FRF.
Figura 24 - Função “Frequency Response”, interna do “LabVIEW”.
2º Passo: encontrar a frequência natural.
A partir dos gráficos plotados, a frequência natural, neste método, é encontrada
através de uma média das frequências indicadas pelos gráficos da parte Real e
Imaginária da FRF. A frequência natural na parte real é fornecida por uma interpolação
entre os Pontos 1 e 2 (Figura 25 e Figura 26) para se descobrir a frequência de
amplitude zero.
25
Figura 25 - Ponto 1 na Parte Real da Acelerância FRF.
Figura 26 - Ponto 2 na Parte Real da Acelerância FRF.
Tabela 1 - Interpolação da 𝜔𝑛 no Teste 01 pela Parte real da FRF.
Tabela 2 - Interpolação da 𝜔𝑛 no Teste 02 pela Parte real da FRF.
Ponto 1 Ponto 2 - Real
ω: 25,96 26,01 25,97
Amp: 0,019 -0,109 0
Teste 01𝜔𝑛
Ponto 1 Ponto 2 - Real
ω: 25,96 26,01 25,97
Amp: 0,052 -0,204 0
Teste 02𝜔𝑛
26
Para descobrir a frequência natural pela Imaginária da Acelerância FRF, basta
buscar o ponto de máxima amplitude (Figura 27).
Figura 27 - Ponto de Máxima Amplitude na Parte Imaginária da Acelerância FRF.
Agora, realiza-se a média entre os valores obtidos pela parte real e pela parte
imaginária para se obter a frequência natural final por este método.
Tabela 3 - Frequência Natural Média pelo Teste 01.
Tabela 4 - Frequência Natural Média pelo Teste 02.
3º Passo: encontrar o decremento logarítmico.
Neste passo utiliza-se o gráfico de aceleração x tempo para se obter os pontos do
cálculo do decremento. A relação requer que o intervalo entre os pontos seja sempre de
períodos completos, assim, para aumentar a significância dos valores obtidos, usou-se o
intervalo de um, quatro e seis períodos (Figura 28).
[Hz] [Rad/s]
FRF - Real: 25,97 163,16
FRF - Im.: 26,06 163,74
Média: 26,01 163,45
Teste 01𝜔𝑛 𝜔𝑛
[Hz] [Rad/s]
FRF - Real: 25,97 163,18
FRF - Im.: 26,01 163,43
Média: 25,99 163,30
Teste 02𝜔𝑛 𝜔𝑛
27
Figura 28 – Exemplo de Pontos analisados em um Impacto.
Após identificados os pontos, estes foram dispostos em tabelas e calculou-se o
decremento dos Teste 01 (Tabela 5) e Teste 02 (Tabela 6).
Tabela 5 - Cálculos decremento Teste 01.
X1 [g] X2 [g] m [un] δ
Impacto 1: 0,742 0,663 1 0,113
0,651 0,377 6 0,091
Impacto 2: 0,803 0,665 1 0,189
0,643 0,362 6 0,096
Impacto 3: 0,622 0,595 1 0,044
0,502 0,323 6 0,073
Impacto 4: 0,685 0,653 1 0,048
0,617 0,385 6 0,079
Média: 0,092
Teste 02
28
Tabela 6 - Cálculos decremento Teste 02.
4º Passo: encontrar a razão de amortecimento.
Pela Equação 4.4, tem-se:
Tabela 7 - Razão de Amortecimento Testes.
5º Passo: encontrar amortecimento crítico.
Da definição do amortecimento crítico:
𝐶𝑐 = 2𝑚𝜔𝑛 (
(6.6)
sabendo que a massa medida do sistema é de 0,99 kg e com os valores das
frequências naturais das Tabela 3 eTabela 4:
Tabela 8 – Amortecimento Crítico.
6º Passo: definição do amortecimento do sistema.
Logo, pela definição de razão de amortecimento:
𝜁 =
𝐶
𝐶𝑐
(
(6.7)
o que fornece:
X1 [g] X2 [g] m [un] δ
Impacto 1: 0,742 0,663 1 0,113
0,651 0,377 6 0,091
Impacto 2: 0,803 0,665 1 0,189
0,643 0,362 6 0,096
Impacto 3: 0,622 0,595 1 0,044
0,502 0,323 6 0,073
Impacto 4: 0,685 0,653 1 0,048
0,617 0,385 6 0,079
Média: 0,092
Teste 02
Teste 01 Teste 02
δ: 0,084 0,092
ζ: 0,013 0,015
Teste 01 Teste 02
Cc[N*S/m]: 323,630 323,336
29
Tabela 9 – Amortecimento do Sistema.
6.3 - Meia Potência
Este método é conhecido por sua simplicidade na obtenção dos parâmetros
modais e isso fica provado no procedimento passo a passo que se segue:
1º Passo: transformar a resposta do sistema em FRF.
Este método utiliza-se das informações presentes na representação gráfica da
magnitude da Acelerância FRF. Como na manipulação utilizada para o decremento
logarítmico, os dados de aceleração x tempo são transformados na Acelerância FRF
pela função “Frequency Response” (Figura 29), para criar o gráfico da magnitude da
Receptância FRF.
Figura 29 – Função “Frequency Response”, interna do “LabVIEW”.
2º Passo: definir frequência natural.
Do gráfico da magnitude da Acelerância FRF (Figura 30 e Figura 31) obtém-se
as 𝜔𝑛 indicadas na Tabela 10 – Frequências naturais pelas Figura 30 e Figura 31.
Tabela 10:
Teste 01 Teste 02
C [N*S/m]: 4,312 4,710
30
Figura 30 - Magnitude da Acelerância FRF – Teste 01.
Figura 31 - Magnitude da Acelerância FRF – Teste 02.
Tabela 10 – Frequências naturais pelas Figura 30 e Figura 31.
Teste 01 Teste 02
[Hz] 26,10 26,00𝜔𝑛
31
3º Passo: encontrar meia potência.
A meia potência é encontrada a partir da amplitude máxima da FRF,
correspondente a 𝜔𝑛, dividindo-a por raiz de dois. Assim, tem-se:
Tabela 11 - Meia Potência dos Testes 01 e 02.
4º Passo: encontrar Frequências na meia potência.
Com as meias potências encontradas, procura-se no gráfico que frequências são
correspondentes a essas magnitudes. Como muitas vezes a meia potência não coincide
com o um ponto do gráfico utilizou-se a interpolação linear pra se obter as frequências
𝜔𝑎 e 𝜔𝑏 de cada teste.
Figura 32 - Ponto 1 para obtenção 𝜔𝑏 do Teste 01.
Teste 01 Teste 02
H(ω)(max): 2,32 2,04
H(ω)(meia): 1,64 1,44
32
Figura 33 - Ponto 2 para obtenção 𝜔𝑏 do Teste 01.
As Figura 32 e Figura 33 mostram a identificação dos pontos adjacentes à meia
potência, 𝜔𝑏, que foram usados na interpolação mostrada na Tabela 12. O mesmo
procedimento foi aplicado para a frequência, 𝜔𝑎, do Teste 01 (Tabela 13) e para a
frequência, 𝜔𝑎, do Teste 02 (Tabela 15). No entanto, na definição da frequência, 𝜔𝑏, do
Teste 02 não foi necessário este procedimento, já que havia um ponto do gráfico
coincidente com o de meia potência, por isso as colunas em branco na Tabela 14.
Tabela 12 - 𝜔𝑏 - Teste 01.
Tabela 13 - 𝜔𝑎 - Teste 01.
Ponto 1 Ponto 2 - 1/2
ω: 25,9 26 25,93
Amp: 1,59 1,77 1,64
- Teste 01𝜔𝑏
𝜔𝑏
Ponto 1 Ponto 2 - 1/2
ω: 26,3 26,4 26,31
Amp: 1,66 1,29 1,64
- Teste 01𝜔𝑎
𝜔𝑎
33
Tabela 14 - 𝜔𝑏 - Teste 02.
Tabela 15 - 𝜔𝑎 - Teste 02.
5º Passo: encontrar a razão de amortecimento.
Enfim, com todas as frequências definidas, pode-se aplicar a Equação 4.4
demonstrada no item 4.2 - , para se obter as razões de amortecimento:
Tabela 16 - Razões de Amortecimento - Testes 01 e 02.
6º Passo: encontrar o amortecimento crítico.
Da mesma forma que no item 6.2 - , anterior, calcula-se o 𝑐𝑐 a partir da Equação
6.6, sabendo que a massa do sistema é de 0,99 kg:
Tabela 17 - Amortecimento Crítico - Testes 01 e 02.
7º Passo: definição do amortecimento do sistema.
Como já especificado no item 6.2 - , tem-se:
Tabela 18 - Amortecimento do Sistema - Testes 01 e 02.
Ponto 1 Ponto 2 - 1/2
ω: 25,70
Amp: 1,44
- Teste 02𝜔𝑏
𝜔𝑏
Ponto 1 Ponto 2 - 1/2
ω: 26,3 26,4 26,36
Amp: 1,77 1,25 1,44
- Teste 02𝜔𝑎
𝜔𝑎
Teste 01 Teste 02
: 25,928 25,700
: 26,305 26,363
: 26,100 26,000
ζ: 0,007 0,013
𝜔𝑛
𝜔𝑎
𝜔𝑏
Teste 01 Teste 02
[N*S/m]: 324,70 323,46𝑐𝑐
Teste 01 Teste 02
c [N*S/m]: 2,35 4,13
34
7 - CONCLUSÕES
O presente projeto nos permite identificar as dificuldades do processo de
obtenção dos parâmetros modais e como superá-las. Nota-se o quão delicado é a correta
obtenção de dados e também o tratamento destes.
Os métodos que foram utilizados para análise são simples e devem ser usados
com certas restrições. Sistemas mais complexos dificilmente seriam bem estudados
através deles. Para isso deve-se fazer uso de outros métodos como os citados no item 4 -
(Ex: o MIMO).
Neste caso específico, ao comparar os dados experimentais com os dados
numéricos, nota-se que a única frequência natural (26 Hz) detectada experimentalmente
pertence ao primeiro modo de vibração da haste. A frequência natural do segundo modo
de vibração e dos seguintes não foram detectadas, provavelmente, devido à posição e
magnitude das forças aplicadas nos testes serem incapazes de excitar os modos de
vibração seguintes.
Assim, para detectar mais modos experimentalmente, em paralelo a utilização de
métodos mais robustos, como dito acima, deve-se também aumentar o número de dados
coletados e diversificar as posições de instalação dos equipamentos.
35
8 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] SINGIRESU S. RAO. (2011), Mechanical Vibrations, Pearson Education, Inc.
[2] HE, JIMIN; FU, ZHI-FANG. (2001), Modal Analysis, Butterworth-Heinemann.
[3] MAIA, SILVA; HE, LIEVEN; LIN, SKINGLE; TO, URGUEIRA. (1997),
Theoretical and Experimental Modal Analysis, Research Studies Press Ltd.
[4] INMAN, DANIEL J. (2001), Engineering Vibration, Prentice-Hall, Inc.