ANÁLISE NÃO-LINEAR DE UMA VIGA BI-ENGASTADA COM PRÉ-CARGA

Sidney Bruce Shiki1 and Samuel da Silva2

1Universidade Estadual do Oeste do Paraná (UNIOESTE), Centro de Engenharias e Ciências Exatas, Campus de Foz do Iguaçu, Foz doIguaçu, Brasil, sbshiki@gmail.com

2Universidade Estadual do Oeste do Paraná (UNIOESTE), Centro de Engenharias e Ciências Exatas, Campus de Foz do Iguaçu, Foz doIguaçu, Brasil, samuel.silva@unioeste.br

Resumo: Este artigo apresenta a modelagem matemática docomportamento dinâmico de uma viga bi-engastada com pré-carga. O comportamento dinâmico não-linear deste modeloé analisado sob diferentes condições utilizando simulaçõesnuméricas. Os resultados são interpretados e comparadoscom os conceitos descritos na literatura.

Palavras-chave: Aplicações de engenharia, Vibrações não-lineares, Oscilador de Duffing.

1. INTRODUÇÃO

É crescente a demanda de estruturas mecânicas com ele-vada confiabilidade, e que demandam conforto, segurança,ausência de ruído e durabilidade. Adicionalmente, se es-pera menor tempo de projeto com maior vida operacional,aliado com custos menores [1]. Simulações numéricas sãorelevantes para análise dinâmica de estruturas de modo ase predizer o seu comportamento real no momento de con-cepção. Assim, o estudo da modelagem de sistemas não-lineares é fundamental, visto que muitas vezes modelos line-ares são limitados na representação de fenômenos complexosque ocorrem em situações reais de operação.

Diversos trabalhos têm abordado a questão de problemasnão-lineares na área de dinâmica e vibrações mecânicas. El-beheiry [2] realizou um estudo sobre a modelagem e controleda suspensão hidráulica ativa de automóveis por meio de ummodelo de 7 graus de liberdade. O atuador hidráulico in-duziu fortes não-linearidades que tornam difícil a aplicaçãoe a modelagem de suspensões ativas de veículos. Wu etal [3] fizeram uma análise do comportamento vibratório daponte Saikai no Japão. Esta ponte se apresenta em formatode arco composta por tubos metálicos preenchidos com con-creto, sendo este material a principal causa de fenômenosnão-lineares da estrutura. Um modelo não-linear de elemen-tos finitos é utilizado para verificar a resposta do sistema sobforças elevadas de excitação proveniente de dados de ter-

remoto do país. Ibrahim [4] fez uma revisão dos avançosrecentes em isoladores de vibração não-lineares, sendo estauma aplicação de extrema importância para proteção de es-truturas, reatores nucleares, instrumentos de medição entreoutras.

O presente trabalho utiliza como estudo de caso osefeitos não-lineares que se manifestam no comportamentodinâmico de uma viga bi-engastada com aplicação de umpré-carregamento. As equações do movimento são deduzi-das a partir da equação de Lagrange e então resolvidas nu-mericamente pelo método de Newmark. As respostas do sis-tema no domínio do tempo e da frequência são calculadas sobdiferentes condições e analizadas para uma compreensão doefeito resultante em seu comportamento dinâmico. Os resul-tados são discutidos para se enfatizar a importância do estudode não-linearidades na dinâmica estrutural.

2. MODELAGEM MATEMÁTICA

O sistema mecânico em estudo consiste de uma vigabi-engastada com pré-carga em seu centro através de umelemento elástico que deflexiona essa viga. A figura 1mostra um arranjo esquemático da montagem. A dedução

Figura 1 – Diagrama esquemático do estudo de caso [6].

da equação do movimento da viga é baseada essencialmente

na modelagem descrita em Storer [5] e no clássico livro deWorden & Tomlinson [6]. O primeiro modo de vibrar podeser aproximado conforme a seguinte equação:

υ =y

2

[1− cos

(2πx

L

)](1)

sendo y o deslocamento vertical no ponto central da viga emfunção do tempo, x é a distância em relação a origem fixaem um dos engastes, e L é o comprimento total da viga. Aoaplicar uma pré-carga através do elemento elástico mostradona figura 1, é inserido um offset ∆ no modo υ:

υ =y + ∆

2

[1− cos

(2πx

L

)](2)

A partir da equação do primeiro modo de vibrar (Eq.(2)), uti-lizando a regra da cadeia, pode-se calcular a energia cinéticaT do sistema:

T =1

2

L∫0

m′(dυ

dt

)2

dx =3m′L

16y2 (3)

sendo m′ a massa por unidade de comprimento. A energiapotencial do sistema é composta por: energia de deformaçãodevido à flexão, energia de deformação devido à tensão, ener-gia de deformação devido ao elemento elástico e trabalho re-alizado pela força externa F (t) considerando-se, por questãode simplicidade, que a excitação é aplicada no centro da viga,assim:

V = EAπ4

32L3

[(∆ + y)

4 −∆4]

+ EIπ4

L3

[(∆ + y)

2 −∆2]

+

...+ 12k[(X + y)

2 −X2]− yF

(4)sendo E o módulo de Young, A a área da seção transversalda viga, I o momento de inércia de área da seção da vigaem relação ao eixo neutro, k a rigidez do elemento elástico eX o deslocamento inicial do elemento elástico devido a pré-carga. O Lagrangiano La = T − V , é usado na equação deLagrange para se obter a equação do movimento [7]:

−∂La∂y

+d

dt

(∂La∂y

)= 0 (5)

Substituindo La na eq.(5), desenvolvendo as expressões ig-norando os valores constantes assumindo y = 0 quandoF = 0, têm-se:

3m′L8 y +

[EAπ4

8L3 + 2EIπ4

L3 + 2k]y+

...+ 3∆EAπ4

8L3 y2 + EAπ4

8L3 y3 = F(6)

Escrevendo esta equação de uma forma mais compacta:

my + k1y + k2y2 + k3y

3 = F (7)

sendo:

m = 3m′L8 k1 = EAπ4

8L3 + 2EIπ4

L3 + 2k

k2 = 3∆EAπ4

8L3 k3 = EAπ4

8L3

(8)

A eq.(7) possui o formato de um oscilador de Duffing as-simétrico. Este oscilador é utilizado para investigar o com-portamento dinâmico do sistema não-linear em estudo.

3. SIMULAÇÕES NUMÉRICAS

Para se realizar as simulações numéricas para análise docomportamento dinâmico do modelo apresentado, utilizou-se as propriedades físicas e geométricas de uma bancada ex-perimental mostrada na figura 2. Essa consiste de uma viga

Figura 2 – Foto da bancada experimental.

de alumínio bi-engastada similar à mostrada na figura 1. Atabela 1 mostra as propriedades físicas. A partir desses valo-

Tabela 1 – Propriedades físicas e geométricas da bancada ex-perimental.

Propriedade ValorMassa específica (ρ) 2700 kg/m3

Módulo de elasticidade (E) 62 GPaRigidez do elemento elástico (k) 100 N/m

Comprimento da viga (L) 1 mLargura da viga (b) 25, 4 mm

Espessura da viga (h) 3, 3 mm

res, juntamente com a deflexão inicial devido à pré-carga ∆,pode-se calcular os parâmetros m, k1, k2 e k3. Considerou-se também nesse modelo o amortecimento proporcional:

c = αm+ βk1 (9)

sendo α e β coeficientes de proporcionalidade assumidos, re-spectivamente 10−4 e 10−3. Nesse caso a equação do movi-mento do sistema pode ser escrita como:

my + cy + k1y + k2y2 + k3y

3 = F (10)

As equações do movimento foram resolvidas utilizando ométodo de integração numérica de Newmark [8] com o algo-ritmo de Dekker presente na função fzero do software MAT-LAB R2010a R©. Utilizou-se uma frequência de amostragemde 1 kHz e um tempo máximo de integração de 30 s. Pormeio desse algoritmo obtiveram-se as respostas temporaisdo sistema descrito. A resposta no domínio da frequênciafoi aproximada variando a frequência de excitação senoidale armazenando as amplitudes de oscilação em regime per-manente. As subseções abaixo procuram ilustrar fenômenos

característicos de sistemas não-lineares por meio do estudode caso e a influência dos parâmetros da equação do movi-mento descrita na eq. (10) na resposta dinâmica do sistema.

3.1. Resposta dinâmica do oscilador de Duffing

Para uma primeira análise do comportamento dinâmicodo oscilador de Duffing, considerou-se a viga com uma pré-carga que provoca uma deflexão inicial de ∆ = 2 mme aplicou-se uma força de excitação senoidal de amplitude0, 8 N com uma frequência de 11 Hz considerando condiçõesiniciais nulas. Nesse caso, a eq. (10) tem os valoresdos parâmetros m = 0, 0849 kg, c = 0, 1779 N× s/m,k1 = 1, 7781 × 103 N/m, k2 = 3, 7966 × 105 N/m2 ek3 = 6, 3277 × 107 N/m3. A figura 3 mostra uma faixa detempo da resposta em regime permanente do sistema. Como

11.6 11.8 12 12.2 12.4

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Tempo [s]

y(t)

[mm

]

Figura 3 – Deslocamento do oscilador de Duffing para excitaçãode 0,8 N em 11 Hz.

pode ser observado, o sinal de saída do sistema apresentadistorção harmônica [6] mesmo com a excitação do sistemasendo uma senóide. Esta é uma forma simples de se detectarcomportamento não-linear no sistema. A figura 4 mostra aforça de restauração do sistema em função do deslocamento.A comparação com a força do caso linear (k2 = k3 = 0)

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1−3

−2

−1

0

1

2

Deslocamento [mm]

For

ça [N

]

LinearNão−linear

Figura 4 – Comparação entre a força de reação no caso linear enão-linear.

mostra o desvio em relação ao comportamento linear. Aseguir foi mapeada a resposta no domínio da frequência dosistema. Escolheu-se uma faixa de frequência a se mapearde 1 a 30 Hz com uma resolução em frequência de 0, 1 Hz,como mostrado na figura 5. Na resposta do sistema não-linear é possível perceber um fenômeno característico desistemas com rigidez cúbica positiva, denominado salto [6].Este fenômeno é visualizado como uma mudança abrupta na

0 5 10 15 20 25 3010

−4

10−3

10−2

10−1

Frequência [Hz]

Am

plitu

de [m

/N]

0 5 10 15 20 25 30−200

−150

−100

−50

0

Frequência [Hz]

Fas

e [g

raus

]

LinearNão−linear

Figura 5 – Comparação entre resposta em frequência linear enão-linear.

amplitude da curva da resposta em frequência. Percebe-setambém que a frequência natural do sistema também é deslo-cada para a direita em sistemas com k3 > 0.

3.2. Efeito da variação do parâmetro ∆

A influência do parâmetro ∆ no comportamento dinâmicodo sistema em estudo é analizada por meio do mapea-mento da resposta em frequência da viga com uma ampli-tude de excitação de 0, 8 N, para uma faixa de frequên-cias de 1 a 30 Hz. Essa resposta é calculada para valo-res de ∆ = {0; 1; 2; 4} mm. A tabela 2 mostra os valoresdos parâmetros da equação do movimento para cada caso.A figura 6 mostra as respostas do sistema nessas condições.

Tabela 2 – Parâmetros da equação do movimento em função de∆.

∆ = 0 ∆ = 1 mm ∆ = 2 mm ∆ = 4 mm

m [kg] 0, 0849 0, 0849 0, 0849 0, 0849c [N×s

m] 0, 1020 0, 1209 0, 1779 0, 4057

k1 [ Nm

] 1, 02 × 103 1, 21 × 103 1, 78 × 103 4, 06 × 103

k2 [ Nm2 ] 0 1, 90 × 105 3, 80 × 105 7, 59 × 105

k3 [ Nm3 ] 6, 33 × 107 6, 33 × 107 6, 33 × 107 6, 33 × 107

Nota-se que mesmo para o caso onde ∆ = 0 o fenômenodo salto, característico de sistemas com rigidez cúbica posi-tiva ainda aparece, visto que apenas k2 é anulado como podeser mostrado na eq. (8). Nesse caso, a não-linearidade é re-sultado puramente das grandes forças que fazem com que aviga mude seu comprimento devido às restrições axiais im-postas pelos engastes nas duas extremidade [5], [6]. Alémdisso, ao aumentar-se a pré-carga inicial da viga, nota-se quea frequência natural do sistema passa a se deslocar para adireita. Na figura 6 o pico de amplitude do sistema para∆ = 4 mm não aparece devido à faixa de frequência ma-peada.

3.3. Efeito da variação da amplitude da força de exci-tação

Similarmente às simulações mostradas anteriormente ainfluência da variação da amplitude da força de excitação

0 5 10 15 20 25 3010

−4

10−3

10−2

Frequência [Hz]

Am

plitu

de [m

/N]

∆ = 0∆ = 1 mm∆ = 2 mm∆ = 4 mm

0 5 10 15 20 25 30−200

−150

−100

−50

0

Frequência [Hz]

Fas

e [g

raus

]

Figura 6 – Influência do parâmetro ∆ na resposta dinâmica dosistema.

é investigada. A deflexão inicial da viga é fixada em umvalor de ∆ = 0 e varia-se a amplitude da força senoidal emF = {0, 05; 0, 1; 0, 2; 0, 4} N. Os parâmetros da equaçãonesse caso assumem os valores de m = 0, 0849 kg, c =0, 1020 N× s/m, k1 = 1, 0188 × 103 N/m, k2 = 0 ek3 = 6, 3277 × 107 N/m3. O resultado desse mapeamentoé mostrado na figura 7. Nota-se que, diferente de sistemas

0 5 10 15 20 25 3010

−4

10−3

10−2

10−1

Frequência [Hz]

Am

plitu

de [m

/N]

0 5 10 15 20 25 30−200

−150

−100

−50

0

Frequência [Hz]

Fas

e [g

raus

]

LinearF0 = 0,05 NF0 = 0,1 NF0 = 0,2 NF0 = 0,4 N

Figura 7 – Influência da amplitude da força de excitação na res-posta dinâmica do sistema.

lineares, com o aumento da amplitude de excitação há umavariação do ganho da resposta do sistema, sendo que a fre-quência natural tende a se deslocar para a direita. Além disso,para excitações de baixa intensidade que causam desloca-mentos pequenos o comportamento do sistema passa a seaproximar do comportamento linear. Para y2 << y os ter-mos quadrático e cúbico da equação do movimento mostradana eq. (7) tornam-se praticamente insignificantes de modoque as não-linearidades do sistema não se manifestam.

4. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este trabalho revisou alguns fenômenos não-lineares ca-racterísticos de um oscilador de Duffing representativo da os-cilação do primeiro modo de vibrar de uma viga bi-engastadacom pré-carregamento. Sendo assim, características como

deslocamento da frequência natural, saltos e distorção har-mônica foram observadas por meio de simulações numéri-cas. Apesar da simplicidade da equação do movimento uti-lizada, uma grande quantidade de fenômenos complexos po-dem ser observados. Isso mostra a importância de se estudara dinâmica não-linear em problemas de engenharia de modoa se predizer adequadamente o comportamento dinâmico daestrutura ou máquina.

Em trabalhos futuros serão incorporados experimentoscom a bancada descrita anteriormente com o objetivo decorrelacionar o modelo analítico aqui apresentado com asmedições experimentais na bancada e se observar os fenô-menos peculiares de um sistema não-linear. Além disso, pro-cedimentos de identificação de parâmetros e ajuste de mode-los serão aplicados a fim de se obter um modelo matemáticorepresentativo da dinâmica da bancada experimental.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem a Fundação Araucária, à Secre-taria de Estado da Ciência, Tecnologia e Ensino Superior doParaná (SETI-PR) e ao Conselho Nacional de Desenvolvi-mento Científico e Tecnológico (CNPq) pelo apoio finan-ceiro.

Referências

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[2] E. M. Elbeheiry, "Two tracking control problems ap-plied to damping nonlinear vehicle vibrations", Jour-nal of Sound and Vibration, 321, pp. 471-491, 2009.

[3] Q. Wu, M. Yoshimura, K. Takahashi, S. Nakamura, T.Nakamura, "Nonlinear seismic properties of the Sec-ond Saikai Bridge - A concrete filled tubular (CFT)arch bridge", Engineering Structures, 28, pp. 163-182,2006.

[4] R. A. Ibrahim, "Recent advances in nonlinear passiveisolators", Journal of Sound and Vibration, 314, pp.371-452, 2008.

[5] D. M. Storer, "Dynamic Analysis of Non-linear Struc-tures using Higher Order Frequency Response Func-tions", tese PARA Ph.D, University of Manchester,1991.

[6] K. Worden, G. R., Tomlinson, "Nonlinearity in Struc-tural Dynammics - Detection, Identification and Mod-elling", Institute of Physics Publishing, University ofSheffield, Reino Unido, 2001.

[7] N. A. Lemos, "Mecânica Analítica", 2a edição,Livraria da Física, 2007.

[8] N. M. Newmark, "A Method of Computation forStructural Dynamics", Journal of the Engineering Me-chanics Division, American Society of Civil Engi-neers, pp. 67-94, 1959.