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IDENTIFICAÇÃO DE PARÂMETROS MODAIS DE UMA VIGA ENGASTADA UTILIZANDO TESTE DE IMPACTO Wylson Zon Neto Projeto de Graduação apresentado no Curso de Engenharia Naval e Oceânica da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro. Orientador: Ulisses Admar B. V. Monteiro Rio de Janeiro Março de 2015

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IDENTIFICAÇÃO DE PARÂMETROS MODAIS DE UMA VIGA ENGASTADA

UTILIZANDO TESTE DE IMPACTO

Wylson Zon Neto

Projeto de Graduação apresentado no Curso de

Engenharia Naval e Oceânica da Escola

Politécnica, Universidade Federal do Rio de

Janeiro, como parte dos requisitos necessários à

obtenção do título de Engenheiro.

Orientador: Ulisses Admar B. V. Monteiro

Rio de Janeiro

Março de 2015

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Zon Neto, Wylson

Identificação de Parâmetros Modais de uma Viga

Engastada Utilizando Teste de Impacto/Wylson Zon Neto. - Rio de

Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2015.

VII, 35 p.: il.; 29,7 cm.

Orientador: Ulisses Admar Barbosa Vicente Monteiro

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de

Engenharia Naval e Oceânica, 2015

Referências Bibliográficas: p. 35.

1. Parâmetros Modais. 2. Análise. 3. Frequências Naturais. 4.

Amortecimentos. I. Barbosa Vicente Monteiro, Ulisses Admar. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso

de Engenharia Naval e Oceânica. III. Identificação de Parâmetros

Modais de uma Viga Engastada Utilizando Teste de Impacto.

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DEDICATÓRIA

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Aos meus pais, Wylson e Isabela,

que me amaram, respeitaram e inspiraram

ao longo de toda minha vida.

Sem este apoio nada seria possível.

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AGRADECIMENTOS

Aos meus pais por acreditarem na minha capacidade, incentivarem a minha

produção e também financiarem minha formação.

Aos meus irmãos, Hugo e Saulo, que mesmo longe, mas nunca distantes, sempre

me dão forças para continuar.

À minha namorada, Carolina, pela dedicação, companheirismo e,

principalmente, paciência, que mesmo durante os dias mais difíceis continuou ao meu

lado.

Aos meus familiares que me apoiaram durante esta trajetória. Em especial aos

meus avós que estão sempre presentes para uma palavra de conforto e sabedoria.

Aos meus amigos que entraram na minha vida por escolha, se mantiveram ao

meu lado por afinidade e se tornaram parte da minha família.

Ao professor, Ulisses Admar Barbosa Vicente Monteiro, pela ajuda e

ensinamentos durante as sessões que transformaram este projeto em realidade.

Finalmente, a Petrobras pela ajuda financeira concedida para que eu pudesse me

dedicar integralmente a este projeto.

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Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte

dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval e Oceânico.

Identificação de Parâmetros Modais de uma Viga Engastada Utilizando Teste de

Impacto

Wylson Zon Neto

Março/2015

Orientador: Ulisses Admar B. V. Monteiro

Curso: Engenharia Naval e Oceânica

Este projeto busca identificar os parâmetros modais de componentes de um

simulador de máquinas rotativas a partir de testes de impacto utilizando dois métodos de

identificação: no domínio do tempo (Decaimento Logarítmico) e no domínio da

frequência (Meia Potência).

Para realizar estes testes foram utilizados um martelo de impacto instrumentado

para excitar a estrutura e um acelerômetro para a aquisição dos dados de resposta. Para a

análise dos dados fornecidos pelos equipamentos foi utilizada a plataforma de

programação gráfica “LabVIEW”.

Após as análises descobriu-se que a frequência natural do primeiro modo de

vibração do componente analisado é de 26 Hz e que seu amortecimento está em torno

de 1,3%.

Palavras-chave: Parâmetros Modais, Análise, Frequências Naturais, Amortecimentos.

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Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as part of the fulfillment of

the requirements for the degree of Engineer.

Identification of Modal Data of a Cantilever Beam Using Impact Test

Wylson Zon Neto

March/2015

Advisor: Ulisses Admar B. V. Monteiro

Course: Ocean Engineering

The current project aims to identify the modal data of components from a

rotating machinery simulator through an impact test using two identification methods:

in the time domain (Logarithmic Decrement) and frequency domain (Half Power).

In order to perform these tests we used an instrumented impact hammer to excite

the structure and an accelerometer for the acquisition of response data. For the analysis

of data provided by the equipment it was used the graphical programming platform

"LabVIEW".

After analysis it was found that the natural frequency of the first vibration mode

of the analyzed component is 26 Hz and its damping is around 1.3%.

Keywords: Modal Data, Analysis, Natural Frequencies, Damping.

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ÍNDICE

1 - INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 1 2 - OBJETIVO DO PROJETO FINAL ...................................................................... 2 3 - FUNDAMENTOS TEÓRICOS ............................................................................ 3

3.1 - Introdução à Vibração .................................................................................... 3 3.1.1 - Tipos de vibração .................................................................................... 3

3.1.2 - Características físicas de um sistema vibratório ..................................... 4

3.2 - Análise Modal ................................................................................................ 4 3.2.1 - Identificação dos Parâmetros Modais ..................................................... 5

3.2.2 - Formulação Função de Resposta em Frequência .................................... 5

3.2.3 - Análise Gráfica da Função de Resposta em Frequência ......................... 7

4 - MÉTODOS DE IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS MODAIS .............. 10

4.1 - Decremento Logarítmico.............................................................................. 10

4.2 - Meia Potência ............................................................................................... 12 5 - ESTUDO DE CASO ........................................................................................... 13

5.1 - Equipamentos Necessários ........................................................................... 13 5.1.1 - Excitador ............................................................................................... 13

5.1.2 - Transdutor ............................................................................................. 14

5.1.3 - Conversor de Sinal ................................................................................ 15

5.1.4 - Analisador ............................................................................................. 16

5.2 - Procedimento Experimental ......................................................................... 17 5.2.1 - Obtenção dos Dados ............................................................................. 17

5.2.2 - Tratamento dos Dados .......................................................................... 19

6 - ANÁLISE DOS RESULTADOS ........................................................................ 22

6.1 - Análise Numérica ......................................................................................... 22

6.2 - Decremento Logarítmico.............................................................................. 23 6.3 - Meia Potência ............................................................................................... 29

7 - CONCLUSÕES ................................................................................................... 34

8 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................ 35

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1 - INTRODUÇÃO

O fácil acesso a informação e a globalização da produção são alguns dos

motivos pelos quais o mundo contemporâneo é marcado pela competitividade,

característica que impulsiona o mercado a produzir cada vez mais rápido e barato. Dessa

forma, para tentar atingir estas metas, aumentou-se a velocidade de operação e

diminuiu-se a quantidade de material na produção. Consequentemente, as estruturas

atuais estão muito suscetíveis aos efeitos da vibração.

Por outro lado, no mundo atual os requisitos de segurança e confiabilidade são

cada vez mais restringentes. Novas leis e regulamentos que buscam dar mais segurança

à população entram em vigor todos os dias. No entanto, tais leis são gerais e muitas

vezes vagas quanto a parâmetros técnicos específicos. Fica, então, a cargo da produção

definir os mínimos requisitos de segurança e conforto, como por exemplo espessura

mínima de chapa e nível máximo de vibração e ruído produzidos por um motor.

Assim, para conciliar competitividade e segurança, a análise modal tem ganho

cada vez mais espaço. Dentre as suas aplicações, estão: a) resolução de problemas

estruturais devido ao conhecimento preciso das características da estrutura conseguidos

experimentalmente; correlação de modelos de elementos finitos com resultados

experimentais, tornando os primeiros mais fidedignos à realidade; identificação

preliminar dos efeitos de possíveis modificações estruturais de um sistema; b) definição

das características físicas que devem ser alteradas para que se consiga uma determinada

variação de um parâmetro modal, tal como a variação da frequência natural; c)

simplificação de modelos matemáticos, identificando, por exemplo, que um número

maior de graus de liberdade não irá representar melhor a realidade; d) previsão das

respostas vibratórias devido a uma força excitadora; e) identificação de uma força

excitadora através das respostas observadas do sistema; f) determinação do

comportamento dinâmico de uma estrutura através do comportamento de suas partes; g)

detecção de falhas estruturais através da comparação dos parâmetros presentes com os

da estrutura intacta; h) determinação de controle ativo de vibração, também, graças a

construção de modelos matemáticos precisos.

O mercado de óleo e gás é um exemplo para a utilização destas aplicações, pois,

com projetos desafiadores, a especulação do preço do petróleo e as questões ambientais

em voga, a segurança e a competitividade devem estar sempre em primeiro plano.

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2 - OBJETIVO DO PROJETO FINAL

O objetivo deste projeto é desenvolver uma metodologia para a determinação

das frequências naturais, dos coeficientes de amortecimento e dos modos de vibração de

um sistema a partir de dados experimentais gerados por teste de impacto.

A obtenção dos resultados foi realizada através de dois métodos matemáticos:

decaimento logaritmo e meia potência, todos eles voltados para sistemas com um grau

de liberdade, de análise local e que sofreram excitações simples. O primeiro dos

métodos se utiliza do domínio do tempo e o outro do domínio da frequência.

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3 - FUNDAMENTOS TEÓRICOS

3.1 - Introdução à Vibração

Este tópico foi escrito baseado em informações contidas no livro texto

Mechanical Vibrations [1].

É chamado de vibração ou oscilação qualquer movimento que se repete depois

de um intervalo de tempo. Um sistema oscilatório, em geral, possui um meio de

armazenar energia potencial e cinética e um meio para dissipar energia.

Estes sistemas oscilatórios podem ter desde um a infinitos graus de liberdade. O

número de graus de liberdade de um sistema é dado pelo menor número de coordenadas

independentes necessário para determinar completamente as posições de todas as partes

do sistema em qualquer instante. Um sistema com um número finito de graus de

liberdade é chamado de sistema discreto e um sistema com infinitos graus de liberdade é

chamado de sistema contínuo.

Normalmente estes sistemas contínuos, reais, são aproximados por sistemas

discretos para que soluções possam ser alcançadas de forma mais simples. Assim, a

maior parte dos sistemas reais é modelada de forma discreta e, normalmente para

aumentar sua precisão, aumenta-se o grau de liberdade.

Além disso, para prever o comportamento de um sistema vibratório submetido a

certas condições iniciais, muitas vezes um sistema físico é representado por um modelo

bem simples. Tais modelos são compostos pelos seguintes elementos: massa, mola e

amortecedor. A massa é assumida como um corpo rígido e serve para armazenar a

energia cinética do sistema. A mola pode apresentar comportamento linear ou não,

geralmente os sistemas físicos apresentam comportamento não linear, e armazena a

energia potencial do sistema. Por último, o amortecedor é o elemento pelo qual o

sistema dissipa a energia.

Assim, após representados os componentes, são feitas as análises destes

sistemas, que envolvem: modelagem matemática, derivação das equações governantes,

solução das equações e interpretação dos resultados.

3.1.1 - Tipos de vibração

A vibração também pode ser classificada quanto aos seguintes aspectos:

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Livre ou forçada: a livre refere-se àquele movimento que ocorre sem a

presença de qualquer força externa e, a forçada, àquele movimento que

sofre influência de uma força externa;

Amortecida ou não amortecida: a não amortecida mantém a energia

constante e a amortecida dissipa sua energia inicial com o tempo;

Linear ou não linear: a vibração é considerada linear caso todos os

elementos do sistema (mola; amortecedor) também o sejam, caso

contrário ela é não linear;

Regular ou irregular: a regular pode ser determinada facilmente por

uma série temporal, como um pêndulo de relógio e a irregular não se

consegue determinar. Como o movimento do solo durante um terremoto,

por exemplo.

3.1.2 - Características físicas de um sistema vibratório

Como visto acima um sistema vibratório real pode ser simplificado por modelos

simples constituídos por massa, mola e amortecedor, que, por sua vez, representam,

respectivamente, as características físicas do sistema: massa, rigidez e constante de

amortecimento.

3.2 - Análise Modal

Para suporte ao desenvolvimento deste tópico foi utilizado o livro Modal

Analysis [2].

A análise modal determina as características dinâmicas inerentes a um sistema

especificando as frequências naturais, fatores de amortecimento e modos de vibração e

as utiliza para construir um modelo matemático do comportamento dinâmico do

sistema. Este modelo é conhecido como modelo modal e as características como

parâmetros modais.

A teoria clássica da vibração, que está preocupada com a resposta do sistema, a

análise modal está preocupada com as características deste. Dessa forma, a utilização

das chamadas funções de resposta em frequência (FRF) torna este estudo mais eficaz.

Porém, isto não exclui a utilização de funções no domínio do tempo que, também serão

abordadas ao longo deste trabalho.

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3.2.1 - Identificação dos Parâmetros Modais

Frequência Natural:

É a frequência com que um sistema sem dissipação de energia vibra livremente

após ser excitado por uma perturbação inicial. Para um sistema massa mola de um grau

de liberdade ela pode ser definida da seguinte forma:

𝜔𝑛 = √𝑘

𝑚

(

(3.1)

Onde k é rigidez da mola e m é a massa.

E para sistemas mais complexos como o que foi estudado neste projeto pode-se

identificar a frequência natural graficamente.

Além disso, um sistema não apresenta, necessariamente, somente uma

frequência natural. Na verdade, o número de frequências naturais de um sistema é igual

ao número de graus de liberdade do mesmo.

Fator de Amortecimento:

O fator de amortecimento é uma característica física do sistema que dificilmente

pode ser calculada analiticamente, dessa forma a análise modal é de extrema

importância para identificação do mesmo, possibilitando assim a construção do modelo

modal.

O fator de amortecimento é definido da seguinte forma:

𝜁 =𝑐

𝑐𝑐

(

(3.2)

Onde 𝑐 é a constante de amortecimento e 𝑐𝑐 é o amortecimento crítico.

Modo de Vibração:

O modo de vibração é o padrão de deslocamento da vibração que o sistema

assume para cada frequência natural.

3.2.2 - Formulação Função de Resposta em Frequência

Levando em consideração o sistema estudado neste projeto, foi feito o

desenvolvimento matemático da FRF somente para o caso de um sistema de um grau de

liberdade com amortecimento viscoso.

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Para uma força excitadora harmônica, 𝑓(𝑡) = 𝐹(𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡, a resposta do sistema

também é harmônica, 𝑥(𝑡) = 𝑋(𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡, onde a amplitude 𝑋(𝜔) é complexa. Sendo

assim, ao substituirmos estas equações nas equações do movimento para um sistema

amortecido, pode-se determinar a razão entre o deslocamento da resposta {𝑋(𝜔)} e a

força excitadora {𝐹(𝜔)} como:

𝛼(𝜔) =

𝑋(𝜔)

𝐹(𝜔)=

1

𝑘 − 𝜔2𝑚 + 𝑗𝜔𝑐

(

(3.3)

Onde j é a indicação de número complexo.

Sendo esta razão denominada função de resposta em frequência (FRF) do

sistema. Embora seja definida como a razão entre a força e resposta, a FRF independe

destas. E quando o amortecimento é zero, nota-se que a função complexa se reduz a

uma função real.

Mesmo na teoria, a FRF, sendo dependente apenas do sistema, na realidade a

acurácia na obtenção dos dados da FRF é crítica para que a análise modal seja feita com

sucesso.

A FRF definida acima, usando-se o deslocamento da resposta, é conhecida como

receptância. Substituindo-se o deslocamento pela velocidade tem-se a FRF denominada

como mobilidade, e, pela aceleração, tem-se a FRF denominada como acelerância.

𝑌(𝜔) =

�̇�(𝜔)

𝐹(𝜔)=

𝑗𝜔

𝑘 − 𝜔2𝑚 + 𝑗𝜔𝑐

(

(3.4)

𝐴(𝜔) =

�̈�(𝜔)

𝐹(𝜔)=

−𝜔2

𝑘 − 𝜔2𝑚 + 𝑗𝜔𝑐

(

(3.5)

Observando-se as equações dos três tipos de FRF, 𝛼(𝜔), 𝑌(𝜔) e 𝐴(𝜔) percebe-

se que uma pode se transformar nas outras facilmente e que suas amplitudes e fases

obedecem as seguintes relações:

|𝐴(𝜔)| = 𝜔|𝑌(𝜔)| = 𝜔2|𝛼(𝜔)| (

(3.6)

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7

𝜃𝐴(𝜔) = 𝜃𝑌(𝜔) +𝜋

2= 𝜃𝛼(𝜔) + 𝜋

(

(3.7)

3.2.3 - Análise Gráfica da Função de Resposta em Frequência

A análise gráfica da FRF é de suma importância para a análise modal. Para cada

plano da FRF, diferentes informações do sistema sobressaem.

A seguir, para exemplificar, foi realizado o estudo da FRF de um sistema de um

grau de liberdade que, em um primeiro momento, pode parecer analiticamente simples,

mas, mesmo assim, contém muita informação sobre o sistema. Primeiro fez-se a

representação geral da Receptância, que, por ser uma função complexa no domínio da

frequência, precisa de uma representação tridimensional.

Figura 1 - Gráfico tridimensional da Receptância.

Mesmo, sendo o gráfico tridimensional, Figura 1, o único capaz de representar a

FRF por completo, na análise modal, faz-se o estudo através dos planos, Real x

Frequência, Imaginário x Frequência e Real x Imaginário, pois, dessa maneira, as

características do sistema se destacam visualmente.

Figura 2 - Parte Real da Receptância FRF.

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Figura 3 - Parte Imaginária da Receptância.

Na Figura 2 pode-se obter a frequência natural do sistema quando a parte real é

igual a zero e na Figura 3 pode-se obter a frequência natural quando a parte imaginária

atinge o pico negativo.

Figura 4 - Plano Real x Imaginário das três FRF.

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Nos planos da Figura 4, a identificação das características do sistema não é tão

clara, mas, mais adiante, demonstra-se que, para um sistema com amortecimento

viscoso, pode-se obter diretamente do gráfico da Mobilidade a constante de

amortecimento, o que não é possível nos outros dois planos.

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4 - MÉTODOS DE IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS MODAIS

A classificação dos métodos de identificação dos parâmetros modais descrita

abaixo foi obtida do livro Theoretical and Experimental Modal Analysis [3].

Nas últimas décadas muitos métodos de identificação modal se consolidaram.

Este avanço se deve, em grande parte, à introdução da transformada rápida de Fourier

(FFT – Fast Fourier Transform) e ao desenvolvimento de equipamentos potentes que

possibilitam a aquisição e tratamento de grandes quantidades de dados.

Para organizar os diferentes métodos, foi criada uma classificação. O primeiro

nível de classificação dos métodos acontece quanto ao domínio, existindo métodos no

domínio do tempo, da frequência e, em paralelo a estes grupos, o método de excitação

sintonizados que não será tratado neste projeto.

Os grupos dos domínios da frequência e do tempo são, então, subdivididos em

métodos diretos e indiretos. Os diretos se baseiam diretamente no modelo espacial para

identificação das FRF’s; já os métodos indiretos se baseiam no modelo modal.

A subdivisão seguinte se refere ao número de modos que podem ser analisados,

podendo haver análises de sistemas com um grau de liberdade (SDOF – Single Degree

of Freedom) e análises de sistemas com múltiplos graus de liberdade (MDOF – Multiple

Degree of Freedom).

Neste projeto foram abordados dois métodos de análise modal, decremento

logarítmico, que utiliza o domínio do tempo, e meia potência, que utiliza o domínio da

frequência.

4.1 - Decremento Logarítmico

Baseado no livro texto Mechanical Vibrations [1], desenvolveu-se o texto a

seguir.

O método do decremento logarítmico, diferentemente dos outros, que serão

abordados, trabalha no domínio do tempo, mas utiliza-se o domínio da frequência para

definir a frequência natural.

A frequência natural é extraída diretamente dos gráficos da parte real e

imaginária da FRF pela frequência, pois pode-se observar o comportamento específico

da amplitude na frequência natural e sua vizinhança.

Já o amortecimento modal é definido pelo decaimento da amplitude do

deslocamento com o passar dos ciclos. Este procedimento consiste basicamente na

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definição do logaritmo natural da razão entre duas amplitudes consecutivas, separadas

por um ciclo, da resposta do sistema { 𝑥(𝑡)}.

Figura 5 - Resposta Subamortecida do Sistema.

Da equação da resposta de um sistema subamortecido pode-se montar a razão

entre as amplitudes dos pontos 1 e 2 (Figura 5), da seguinte forma:

𝑥1

𝑥2=

𝑋0𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡1𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑑𝑡1 − 𝜙0)

𝑋0𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡2𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑑𝑡2 − 𝜙0)

(

(4.1)

Onde: 𝑋0 é a amplitude inicial; 𝑡1 é um tempo qualquer; 𝑡2 = 𝑡1 + 𝜏𝑑; 𝜏𝑑 =

2𝜋/𝜔𝑑, é o período de uma vibração amortecida; 𝜔𝑑 é a frequência de uma vibração

amortecido; 𝜙0 é a fase inicial.

Como cos(𝜔𝑑𝑡2 − 𝜙0) = cos(2𝜋 + 𝜔𝑑𝑡1 − 𝜙0) = cos(𝜔𝑑𝑡1 − 𝜙0), pode-se

reescrever:

𝑥1

𝑥2=

𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡1

𝑒−𝜁𝜔𝑛(𝑡1−𝜏𝑑)= 𝑒𝜁𝜔𝑛𝜏𝑑

(

(4.2)

Então o decremento logarítmico (𝛿) pode ser definida como:

𝛿 = 𝑙𝑛

𝑥1

𝑥2= 𝜁𝜔𝑛𝜏𝑑 = 𝜁𝜔𝑛

2𝜋

√1 − 𝜁2𝜔𝑛

=2𝜋𝜁

√1 − 𝜁2=

2𝜋

𝜔𝑑∗

𝑐

2𝑚

(

(4.3)

e, para amortecimentos pequenos, (𝜁 ≪ 1):

𝛿 ≃ 2𝜋𝜁 (

(4.4)

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4.2 - Meia Potência

O texto sobre o método da meia potência foi baseado no livro Engineering

Vibration [4].

Este método utiliza a amplitude da FRF {𝐻(𝜔)} para encontrar as frequências

naturais, amortecimentos modais e modos de vibração para todos os picos observados

na plotagem da mesma.

Figura 6 - Gráfico da da FRF.

Se o gráfico apresenta quatro picos de ressonância, recomenda-se modelar com 4

graus de liberdade. Dessa forma, uma maneira simples de se encontrar as características

modais começa pela subdivisão do gráfico de 𝐻(𝜔) em segmentos onde cada um

engloba um pico de ressonância, considerando-se então cada segmento como um

problema de “resposta-frequência” de um grau de liberdade. Assim, as frequências das

ressonâncias são os picos e a razão de amortecimento pode ser dada por:

𝜁 =𝜔𝑎 − 𝜔𝑏

2𝜔𝑛

(

(4.5)

Devido à sua simplicidade, este método pode coletar resultados rapidamente.

Contudo, considera-se que ele não obtém parâmetros modais muito precisos. A razão de

amortecimento é estimada apenas pelos pontos de meia potência, deixando de lado

muitas informações fornecidas pela FRF.

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5 - ESTUDO DE CASO

5.1 - Equipamentos Necessários

Para se realizar as medições da análise modal, os seguintes equipamentos foram

necessários: um Excitador, que impõe uma força conhecida ao sistema, um

transdutor, que converte o movimento físico do sistema em um sinal elétrico

mensurável, um conversor de sinal para amplificar o sinal emitido pelo transdutor e um

analisador para processar os dados transmitidos pelo conversor de sinal.

5.1.1 - Excitador

O excitador pode ser um vibrador eletromagnético ou um martelo de impacto.

Neste estudo utilizou-se o segundo.

O martelo de impacto vem acoplado com um sensor de força embutido na sua

cabeça e, diferentemente do vibrador eletromagnético, não causa o problema de

modificar a massa do sistema a ser testado. A força causada pelo martelo é medida pelo

sensor em sua cabeça e a resposta do sistema é composta por excitações em cada uma

das frequências naturais do sistema.

Figura 7 - Martelo de Impacto.

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Figura 8 - Dados do Martelo de Impacto.

5.1.2 - Transdutor

Um transdutor converte um tipo qualquer de energia em outro tipo qualquer de

energia que facilite a mensuração. Dessa forma, existem diversos tipos de transdutores e

eles podem ser classificados por diferentes critérios: quantidade a ser medida; princípio

de operação; necessidade de fonte externa de eletricidade ou não.

Dentre os transdutores o mais popular é o piezoelétrico. Este tipo utiliza a

propriedade piezoelétrica de alguns cristais de gerarem tensão elétrica em resposta a

uma pressão mecânica.

No entanto, o transdutor utilizado no experimento é do tipo resistivo, composto

por potenciômetros e extensômetros, que transforma a deformação em um sinal elétrico.

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Figura 9 - Acelerômetro.

Figura 10 - Dados do Acelerômetro.

5.1.3 - Conversor de Sinal

Conversores de sinal fazem a ligação entre o transdutor e o analisador. Como o

sinal elétrico produzido pelo transdutor é muito pequeno, o conversor de sinal, que pode

ser um amplificador de voltagem, é utilizado para adequar o sinal de saída do transdutor

ao de entrada do analisador.

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Figura 11 - Conversor e seus dados.

No caso o conversor utilizado (Figura 11) também digitaliza o sinal, que pode

ser transferido para um computador através de uma porta USB.

5.1.4 - Analisador

O analisador é o último equipamento da análise modal, ele recebe os sinais

analógicos ou digitalizados do conversor de sinal e calcula os espectros de forma

numérica ou gráfica, possibilitando, assim, a determinação dos parâmetros modais.

Neste projeto foi utilizado como analisador um computador equipado com o

software de programação gráfica “LabVIEW”, que recebe os dados digitalizados e se

utiliza de funções internas para manipular os dados.

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Figura 12 - Ferramenta de programação utilizada como Analisador.

5.2 - Procedimento Experimental

5.2.1 - Obtenção dos Dados

A Erro! Fonte de referência não encontrada. mostra o Rotor Kit instalado no

aboratório de Ensaios Dinâmicos e Análise de Vibração (LEDAV) utilizado para

simular máquinas rotativas, que teve sua haste do sistema de controle (Figura 14)

submetida aos impactos.

O sistema de controle e sua haste são um sistema em balanço que possui

vibração longitudinal e facilmente excitável.

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Figura 13 - Rotor Kit e haste do sistema de controle.

Figura 14 - Haste do sistema de controle.

Para produzir os dados experimentais (Figura 15 e Figura 16), foram realizados

dois testes com um martelo de impacto, sendo, cada um dos testes, uma sequência de

quatro impactos. Os dados foram obtidos através de um acelerômetro, para medir a

resposta do sistema, e um transdutor de força, este já instalado na cabeça do martelo,

para medir a força excitadora.

Figura 15 - Impactos teste 01.

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Figura 16 - Impactos teste 02.

5.2.2 - Tratamento dos Dados

Após serem devidamente registrados, os dados gerados pelos impactos devem

ser tratados. Para realizar o tratamento, foi utilizado um software simples, programado

na plataforma do “LabVIEW”.

O primeiro passo foi a separação dos dados da força excitadora, impacto do

martelo, dos dados da resposta do sistema. Para isso foi utilizada a função “Split

Signals”, interna da plataforma “LabVIEW”.

Figura 17 - Função "Split Signals" interna do "LabVIEW".

Para confirmar a separação dos dados com sucesso criou-se um gráfico para

cada tipo de dado. Vale lembrar que, como os mecanismos utilizados para obtenção dos

dados foram um acelerômetro e um transdutor de força, os dados originais

correspondem à aceleração em função do tempo.

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Dados Teste 01:

Figura 18 – Dados da força excitadora Teste 01.

Figura 19 - Dados da resposta do sistema Teste 01.

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Dados Teste 02:

Figura 20 - Dados da força excitadora Teste 02.

Figura 21 - Dados da resposta do sistema Teste 02.

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6 - ANÁLISE DOS RESULTADOS

6.1 - Análise Numérica

Para comparar os resultados experimentais foi realizada uma análise numérica

do sistema estudado. Criou-se um modelo da haste do RotorKit no programa de

modelação “Rhinoceros” e exportou-se este modelo para o “Ansys”, software de análise

numérica, pelo método dos elementos finitos.

Em um primeiro momento, exportou-se um modelo trivial baseado em elemento

casca e constatou-se que a frequência do primeiro modo de vibração era de 41 Hz. Em

seguida, foi criado um modelo mais fiel com todas as dimensões idênticas ao corpo real,

elemento sólido, o que retornou a frequência natural do primeiro modo igual a 35 Hz.

Enfim, percebeu-se que o tipo de engaste da haste que estava sendo utilizado, engaste

completo, não era adequado, já que a haste é presa a estrutura pontualmente por dois

parafusos. Dessa forma, ao modificar-se o tipo de engaste do modelo para pontual

obteve-se a frequência natural do primeiro modo igual a 27,8 Hz (Figura 22).

Figura 22 - Primeiro modo de vibração pelo Ansys.

Além da frequência natural, o modelo também nos permitiu identificar os modos

de vibração, o primeiro, como já dito antes, com frequência natural de 27,8 Hz, o

segundo com frequência natural de 183,5 Hz (Figura 23) e os subsequentes. Dessa

forma, ao comparar os dados numéricos com os experimentais sabe-se que modo de

vibração o experimento está identificando.

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Figura 23 - Segundo modo de vibração pelo Ansys

6.2 - Decremento Logarítmico

Como visto anteriormente, a obtenção dos parâmetros modais a partir deste

método utiliza informações presentes no deslocamento da resposta do sistema, ou seja,

o gráfico de deslocamento x tempo da resposta do sistema. Porém o equipamento

utilizado para obter os dados de resposta do sistema nos fornece a aceleração x tempo.

Assim, para utilizar-se estes dados sem perda de detalhes, provamos na

sequência que a relação do decremento logarítmico, apresentada na Equação 4.2,

também é válida para a aceleração:

𝑥1 = 𝑋0𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡1 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡1 − 𝜙0) (

(6.1)

Fazendo-se 𝑢 = 𝑋0𝑒−ζ𝜔𝑛𝑡1 e 𝑣 = cos(𝜔𝑑𝑡1 − ϕ0), tem-se:

𝑥1 = 𝑢𝑣 (

(6.2)

𝑥1̇ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ (

(6.3)

𝑥1̈ = 𝑢′′𝑣 + 𝑢′𝑣′ + 𝑢′𝑣′ + 𝑢𝑣′′ (

(6.4)

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Então, isolando 𝑢, obtém-se a relação mostrada na Equação 6.5:

�̈�1

�̈�2=

𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡1

𝑒−𝜁𝜔𝑛(𝑡1−𝜏𝑑)= 𝑒𝜁𝜔𝑛𝜏𝑑

(

(6.5)

Abaixo segue-se o passo a passo para a definição dos parâmetros modais e a

apresentação dos valores para os Testes 01 e 02.

1º Passo: transformar a resposta do sistema em FRF.

Como visto, a resposta do sistema deve ser passada do domínio do tempo para o

domínio da frequência e para isso aplica-se a função “Frequency Response” (Figura 24)

para criar os gráficos da parte real e imaginária da Acelerância FRF.

Figura 24 - Função “Frequency Response”, interna do “LabVIEW”.

2º Passo: encontrar a frequência natural.

A partir dos gráficos plotados, a frequência natural, neste método, é encontrada

através de uma média das frequências indicadas pelos gráficos da parte Real e

Imaginária da FRF. A frequência natural na parte real é fornecida por uma interpolação

entre os Pontos 1 e 2 (Figura 25 e Figura 26) para se descobrir a frequência de

amplitude zero.

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Figura 25 - Ponto 1 na Parte Real da Acelerância FRF.

Figura 26 - Ponto 2 na Parte Real da Acelerância FRF.

Tabela 1 - Interpolação da 𝜔𝑛 no Teste 01 pela Parte real da FRF.

Tabela 2 - Interpolação da 𝜔𝑛 no Teste 02 pela Parte real da FRF.

Ponto 1 Ponto 2 - Real

ω: 25,96 26,01 25,97

Amp: 0,019 -0,109 0

Teste 01𝜔𝑛

Ponto 1 Ponto 2 - Real

ω: 25,96 26,01 25,97

Amp: 0,052 -0,204 0

Teste 02𝜔𝑛

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Para descobrir a frequência natural pela Imaginária da Acelerância FRF, basta

buscar o ponto de máxima amplitude (Figura 27).

Figura 27 - Ponto de Máxima Amplitude na Parte Imaginária da Acelerância FRF.

Agora, realiza-se a média entre os valores obtidos pela parte real e pela parte

imaginária para se obter a frequência natural final por este método.

Tabela 3 - Frequência Natural Média pelo Teste 01.

Tabela 4 - Frequência Natural Média pelo Teste 02.

3º Passo: encontrar o decremento logarítmico.

Neste passo utiliza-se o gráfico de aceleração x tempo para se obter os pontos do

cálculo do decremento. A relação requer que o intervalo entre os pontos seja sempre de

períodos completos, assim, para aumentar a significância dos valores obtidos, usou-se o

intervalo de um, quatro e seis períodos (Figura 28).

[Hz] [Rad/s]

FRF - Real: 25,97 163,16

FRF - Im.: 26,06 163,74

Média: 26,01 163,45

Teste 01𝜔𝑛 𝜔𝑛

[Hz] [Rad/s]

FRF - Real: 25,97 163,18

FRF - Im.: 26,01 163,43

Média: 25,99 163,30

Teste 02𝜔𝑛 𝜔𝑛

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Figura 28 – Exemplo de Pontos analisados em um Impacto.

Após identificados os pontos, estes foram dispostos em tabelas e calculou-se o

decremento dos Teste 01 (Tabela 5) e Teste 02 (Tabela 6).

Tabela 5 - Cálculos decremento Teste 01.

X1 [g] X2 [g] m [un] δ

Impacto 1: 0,742 0,663 1 0,113

0,651 0,377 6 0,091

Impacto 2: 0,803 0,665 1 0,189

0,643 0,362 6 0,096

Impacto 3: 0,622 0,595 1 0,044

0,502 0,323 6 0,073

Impacto 4: 0,685 0,653 1 0,048

0,617 0,385 6 0,079

Média: 0,092

Teste 02

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Tabela 6 - Cálculos decremento Teste 02.

4º Passo: encontrar a razão de amortecimento.

Pela Equação 4.4, tem-se:

Tabela 7 - Razão de Amortecimento Testes.

5º Passo: encontrar amortecimento crítico.

Da definição do amortecimento crítico:

𝐶𝑐 = 2𝑚𝜔𝑛 (

(6.6)

sabendo que a massa medida do sistema é de 0,99 kg e com os valores das

frequências naturais das Tabela 3 eTabela 4:

Tabela 8 – Amortecimento Crítico.

6º Passo: definição do amortecimento do sistema.

Logo, pela definição de razão de amortecimento:

𝜁 =

𝐶

𝐶𝑐

(

(6.7)

o que fornece:

X1 [g] X2 [g] m [un] δ

Impacto 1: 0,742 0,663 1 0,113

0,651 0,377 6 0,091

Impacto 2: 0,803 0,665 1 0,189

0,643 0,362 6 0,096

Impacto 3: 0,622 0,595 1 0,044

0,502 0,323 6 0,073

Impacto 4: 0,685 0,653 1 0,048

0,617 0,385 6 0,079

Média: 0,092

Teste 02

Teste 01 Teste 02

δ: 0,084 0,092

ζ: 0,013 0,015

Teste 01 Teste 02

Cc[N*S/m]: 323,630 323,336

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Tabela 9 – Amortecimento do Sistema.

6.3 - Meia Potência

Este método é conhecido por sua simplicidade na obtenção dos parâmetros

modais e isso fica provado no procedimento passo a passo que se segue:

1º Passo: transformar a resposta do sistema em FRF.

Este método utiliza-se das informações presentes na representação gráfica da

magnitude da Acelerância FRF. Como na manipulação utilizada para o decremento

logarítmico, os dados de aceleração x tempo são transformados na Acelerância FRF

pela função “Frequency Response” (Figura 29), para criar o gráfico da magnitude da

Receptância FRF.

Figura 29 – Função “Frequency Response”, interna do “LabVIEW”.

2º Passo: definir frequência natural.

Do gráfico da magnitude da Acelerância FRF (Figura 30 e Figura 31) obtém-se

as 𝜔𝑛 indicadas na Tabela 10 – Frequências naturais pelas Figura 30 e Figura 31.

Tabela 10:

Teste 01 Teste 02

C [N*S/m]: 4,312 4,710

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Figura 30 - Magnitude da Acelerância FRF – Teste 01.

Figura 31 - Magnitude da Acelerância FRF – Teste 02.

Tabela 10 – Frequências naturais pelas Figura 30 e Figura 31.

Teste 01 Teste 02

[Hz] 26,10 26,00𝜔𝑛

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3º Passo: encontrar meia potência.

A meia potência é encontrada a partir da amplitude máxima da FRF,

correspondente a 𝜔𝑛, dividindo-a por raiz de dois. Assim, tem-se:

Tabela 11 - Meia Potência dos Testes 01 e 02.

4º Passo: encontrar Frequências na meia potência.

Com as meias potências encontradas, procura-se no gráfico que frequências são

correspondentes a essas magnitudes. Como muitas vezes a meia potência não coincide

com o um ponto do gráfico utilizou-se a interpolação linear pra se obter as frequências

𝜔𝑎 e 𝜔𝑏 de cada teste.

Figura 32 - Ponto 1 para obtenção 𝜔𝑏 do Teste 01.

Teste 01 Teste 02

H(ω)(max): 2,32 2,04

H(ω)(meia): 1,64 1,44

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Figura 33 - Ponto 2 para obtenção 𝜔𝑏 do Teste 01.

As Figura 32 e Figura 33 mostram a identificação dos pontos adjacentes à meia

potência, 𝜔𝑏, que foram usados na interpolação mostrada na Tabela 12. O mesmo

procedimento foi aplicado para a frequência, 𝜔𝑎, do Teste 01 (Tabela 13) e para a

frequência, 𝜔𝑎, do Teste 02 (Tabela 15). No entanto, na definição da frequência, 𝜔𝑏, do

Teste 02 não foi necessário este procedimento, já que havia um ponto do gráfico

coincidente com o de meia potência, por isso as colunas em branco na Tabela 14.

Tabela 12 - 𝜔𝑏 - Teste 01.

Tabela 13 - 𝜔𝑎 - Teste 01.

Ponto 1 Ponto 2 - 1/2

ω: 25,9 26 25,93

Amp: 1,59 1,77 1,64

- Teste 01𝜔𝑏

𝜔𝑏

Ponto 1 Ponto 2 - 1/2

ω: 26,3 26,4 26,31

Amp: 1,66 1,29 1,64

- Teste 01𝜔𝑎

𝜔𝑎

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Tabela 14 - 𝜔𝑏 - Teste 02.

Tabela 15 - 𝜔𝑎 - Teste 02.

5º Passo: encontrar a razão de amortecimento.

Enfim, com todas as frequências definidas, pode-se aplicar a Equação 4.4

demonstrada no item 4.2 - , para se obter as razões de amortecimento:

Tabela 16 - Razões de Amortecimento - Testes 01 e 02.

6º Passo: encontrar o amortecimento crítico.

Da mesma forma que no item 6.2 - , anterior, calcula-se o 𝑐𝑐 a partir da Equação

6.6, sabendo que a massa do sistema é de 0,99 kg:

Tabela 17 - Amortecimento Crítico - Testes 01 e 02.

7º Passo: definição do amortecimento do sistema.

Como já especificado no item 6.2 - , tem-se:

Tabela 18 - Amortecimento do Sistema - Testes 01 e 02.

Ponto 1 Ponto 2 - 1/2

ω: 25,70

Amp: 1,44

- Teste 02𝜔𝑏

𝜔𝑏

Ponto 1 Ponto 2 - 1/2

ω: 26,3 26,4 26,36

Amp: 1,77 1,25 1,44

- Teste 02𝜔𝑎

𝜔𝑎

Teste 01 Teste 02

: 25,928 25,700

: 26,305 26,363

: 26,100 26,000

ζ: 0,007 0,013

𝜔𝑛

𝜔𝑎

𝜔𝑏

Teste 01 Teste 02

[N*S/m]: 324,70 323,46𝑐𝑐

Teste 01 Teste 02

c [N*S/m]: 2,35 4,13

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7 - CONCLUSÕES

O presente projeto nos permite identificar as dificuldades do processo de

obtenção dos parâmetros modais e como superá-las. Nota-se o quão delicado é a correta

obtenção de dados e também o tratamento destes.

Os métodos que foram utilizados para análise são simples e devem ser usados

com certas restrições. Sistemas mais complexos dificilmente seriam bem estudados

através deles. Para isso deve-se fazer uso de outros métodos como os citados no item 4 -

(Ex: o MIMO).

Neste caso específico, ao comparar os dados experimentais com os dados

numéricos, nota-se que a única frequência natural (26 Hz) detectada experimentalmente

pertence ao primeiro modo de vibração da haste. A frequência natural do segundo modo

de vibração e dos seguintes não foram detectadas, provavelmente, devido à posição e

magnitude das forças aplicadas nos testes serem incapazes de excitar os modos de

vibração seguintes.

Assim, para detectar mais modos experimentalmente, em paralelo a utilização de

métodos mais robustos, como dito acima, deve-se também aumentar o número de dados

coletados e diversificar as posições de instalação dos equipamentos.

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8 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] SINGIRESU S. RAO. (2011), Mechanical Vibrations, Pearson Education, Inc.

[2] HE, JIMIN; FU, ZHI-FANG. (2001), Modal Analysis, Butterworth-Heinemann.

[3] MAIA, SILVA; HE, LIEVEN; LIN, SKINGLE; TO, URGUEIRA. (1997),

Theoretical and Experimental Modal Analysis, Research Studies Press Ltd.

[4] INMAN, DANIEL J. (2001), Engineering Vibration, Prentice-Hall, Inc.