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5 Funções elementares
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  • 5 Funes elementares

  • 185

    O objetivo deste captulo fazer um estudo das funes ele-mentares, as quais servem de modelo para a descrio de fenmenos e situaes reais, preparando o caminho para a compreenso do Clculo Diferencial e Integral. Nosso estudo ter como base o captulo anterior: provavelmen-te voc ter que se deslocar para aquele universo vrias vezes. Veremos as funes polinomiais, funes racionais e funes trigonomtricas. Use seus conhecimentos de pa-cotes computacionais para visualizar grfi cos; no fi nal do captulo listaremos alguns deles. Lembre-se que deste es-tudo depender seu sucesso nas disciplinas de Clculo.

    5.1 Funes polinomiaisEstudaremos com detalhes as funes polinomiais de grau um (funo afi m) e dois (funo quadrtica). Em seguida faremos al-guns comentrios sobre as funes polinomiais de outros graus.

    5.1.1 Funo afi m

    Uma funo :f chama-se funo afi m quando existem constantes reais a e b tais que ( )f x ax b= + , para todo x . O conjunto o maior conjunto de valores para os quais pos-svel encontrar ( )f x . Quando o domnio no especifi cado, esta-remos considerando-o como o conjunto .

    Um exemplo de situao real descrita por uma funo afi m o preo a pagar por uma corrida de txi: o valor da corrida depende da distncia percorrida (em km) e dos valores constantes do km rodado e da bandeirada. A distncia percorrida em km multipli-cada por uma constante a (o valor do km rodado), e a este produto adiciona-se um valor constante inicial b (que o valor da bandei-rada), resultando no preo a pagar. Assim, a distncia percorrida (em km) a varivel independente x e ( )f x ax b= + ou y ax b= + o preo a pagar pela corrida.

    Funes elementares5

  • 186

    Exemplos de funes afi ns:

    f : ( ), 3 7f x x = + ( 3 e 7)a b= =

    g : ( ), 1g x x = + ( 1 e 1)a b= =

    h : ( ) 1, 232

    h x x = 1( e 23)2

    a b= =

    k : ( ), 7k x x = ( 7 e 0)a b= =

    s : ( ), 59s x = ( 0 e 59)a b= =

    Casos particulares da funo afi m

    (i) 0a =

    Neste caso, ( ) f x b= , x e a funo chama-se funo constan-te (veja o exemplo 5). O grfi co da funo constante ( )f x b= o conjunto ( ) ( ){ }, /G f x b x= , uma reta paralela ao eixo x e que passa pelo ponto ( )0,b .

    Exemplo

    6) ( ): , 3f f x =

    x

    y

    G(f)-3

    O

    Figura 5.1

    Observao 1. Voc pode notar que o nome de funo constante j revela o comportamento da funo: independente da varivel x, o valor de ( )f x sempre o mesmo.

    (ii) 1 e 0a b= =

    Neste caso ( ) , f x x x= , e esta a funo identidade, j vista no Captulo 4. Seu grfi co o conjunto ( ) ( ){ }, /G f x x x= , a reta que a bissetriz do primeiro e do terceiro quadrantes.

    1)

    2)

    3)

    4)

    5)

  • 187

    ( ): , f f x x =

    x

    y

    G(f)

    45O

    Figura 5.2

    (iii) 0b = e 0a

    Neste caso ( ) , f x ax x= , e estas so chamadas fun-es lineares. O grfi co de uma funo linear o conjunto

    ( ) ( ){ }, /G f x ax x= , uma reta que passa pela origem do plano cartesiano, uma vez que ( )0 0f = .

    Exemplos

    7) ( )5x

    f x =x f(x)

    010 -2

    0

    -2

    10x

    y

    O

    Figura 5.3

    8) ( ) 5f x x=

    x f(x)

    05

    0 5

    5

    5

    x

    y

    O

    Figura 5.4

  • 188

    9) ( )25

    f x x=

    x f(x)

    05 2

    0

    5

    2

    O x

    y

    Figura 5.5

    Grfi co de uma funo afi m

    Seja ( ): , f f x ax b = + . Podemos considerar 0a , uma vez que j conhecemos o grfi co da funo constante.

    Proposio. O grfi co ( )G f da funo ( )f x ax b= + uma reta.

    Demonstrao: Sejam ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , , e ,P x y Q x y S x y pontos quaisquer do grfi co de f. Nosso objetivo mostrar que estes trs pontos so colineares, isto , esto alinhados. Lembrando que o grfi co o conjunto dos pares ordenados ( )( ),x f x , podemos escrever: 1 1 2 2 3 3, e y ax b y ax b y ax b= + = + = + . Veja a fi gura:

    A

    B

    P

    S

    Q

    x

    y

    y1

    y2

    y3

    x1

    x2

    x3O

    Figura 5.6

    Os tringulos PAQ e QBS so tringulos retngulos. As tangentes

    dos ngulos e so dadas pelas razes e AQ BSAP BQ

    :

    ( ) ( )2 1 2 12 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1

    ax b ax b a x xy y ax b ax bAQ aAP x x x x x x x x

    + + + = = = = =

  • 189

    Analogamente, temos que 3 23 2

    y yBS aBQ x x

    = =

    . Assim,

    AQ BSAP BQ

    = .

    E como os ngulos em A e B so retos, segue que os tringulos PAQ e QBS so semelhantes e assim os ngulos e so iguais. Conclui-se da que os pontos P, Q e S esto alinhados. Como P, Q e S so pontos quaisquer do grfi co, fi ca provado que o grfi co da funo afi m uma reta.

    Conseqncia: O grfi co de uma funo afi m fi ca completamente determinado por apenas dois pontos (lembre-se que existe uma nica reta que passa por dois pontos).

    Exemplo

    10) Esboar o grfi co da funo ( ) 3 5f x x=

    x f(x)

    03 4

    -5

    3

    4

    -5

    x

    y

    O

    Figura 5.7

    Observao 2. Uma funo afi m pode estar defi nida em um inter-valo, isto , podemos restringir seu domnio a um intervalo. Neste caso, seu grfi co um segmento de reta. Veja o exemplo 11:

    11) [ ] ( ): 1, 2 , 2 4f f x x = .

    x

    y

    1 2-1

    x f(x)

    -12 0

    -6

    -6

    O

    Figura 5.8

  • 190

    Observao 3. Se ( )f x ax b= + , chamamos o nmero a de co-efi ciente angular da reta que representa o grfi co da funo f,

    ou taxa de crescimento da funo f. Note que ( ) ( )2 1

    2 1

    f x f xa

    x x

    =

    ,

    para quaisquer nmeros reais 2 1 e x x . Veja a fi gura:

    f(x2)

    f(x1)

    f(x2) - f(x

    1)

    x2 - x

    1

    x1

    x2

    }}

    x

    y

    Figura 5.9

    Exerccio resolvido

    1) Seja ( )f x ax b= + . Mostre que:

    se 0,a f> crescente;

    se 0,a f< decrescente.

    Resoluo.

    a) Sabemos do Captulo 4 que:

    Uma funo crescente em um conjunto A de seu domnio se e somente se 1 2x x< implica ( ) ( )1 2f x f x< , para todos 1 2 e x x no conjunto A.

    Como o domnio de f , vamos considerar 1 2 e x x dois nmeros reais quaisquer, com 1 2x x< . Pela Obs. 3 sabe-

    mos que ( ) ( )2 1

    2 1

    f x f xa

    x x

    =

    e neste caso podemos escrever

    a)

    b)

  • 191

    ( ) ( ) ( )2 1 2 1f x f x a x x = . Por hiptese, temos 0a > e tambm estamos considerando 1 2x x< , o que signifi ca 2 1 0x x > . Ento,

    ( )2 1 0a x x > . Assim, ( ) ( )2 1 2 1( ) 0a x x f x f x = > , ou seja, ( ) ( )1 2f x f x< . Logo, f crescente.

    b) Do Captulo 4 sabemos que:

    Uma funo f decrescente em um conjunto A de seu domnio se e somente se 1 2x x< implica ( ) ( )1 2f x f x> , para todos 1 2 e x x no conjunto A.

    Consideremos ento 1 2 e x x dois nmeros reais quaisquer, com 1 2x x< ; ento 2 1 0x x > e como por hiptese a < 0, teremos ( )2 1 0a x x < . Logo, f (x2 ) - f (x1 ) ( )2 1 0a x x= < , o que signifi ca

    que ( )1f x > ( )2f x

  • 192

    Exerccios propostos

    1) Faa o grfi co das funes:

    ( ) 1 313 5

    f x x= +

    ( ) 2h x x=

    ( ) 6g x =

    ( ) ( ): 1,1 , 3 2k k x x = +

    ( ) 1 se 0

    1 se 0x x

    s xx x

    + = +

  • 193

    15) ( ) 2 172

    h x x x= + 1( 1, 7, )2

    a b c= = =

    Observao 4. No confunda a funo quadrtica com a equao do segundo grau! Muitas vezes vemos tambm a expresso funo do segundo grau, que no est correta, uma vez que no h defi nio do que seja o grau de uma funo.

    Observao 5. Resoluo de problemas que utilizam uma funo quadrtica ou uma equao do segundo grau, esto entre os mais antigos da matemtica.

    Razes da funo quadrtica

    As razes da funo quadrtica ( ) 2f x ax bx c= + + so os valores x para os quais se tem ( ) 0f x = , ou seja, 2 0ax bx c+ + = (esta uma equao do segundo grau). As razes da equao ( ) 0f x = tam-bm so chamadas de razes da funo quadrtica ( )f x .

    Observao 6.

    Se 2 4 0b ac = > , temos duas razes reais distintas.

    Se 2 4 0b ac = < , no existem razes reais para a funo ( )f x . Neste caso as razes sero nmeros complexos dados

    por 1 2b i

    xa

    + = ou 2 2

    b ix

    a

    = , com 1i = .

    Se 0 = , temos duas razes reais e iguais, 1 2 2bx xa

    = = .

    Grfi co da funo quadrtica

    Aprendemos que o grfi co de uma funo quadrtica sempre uma parbola. Mas o que uma parbola?

    Defi nio. Dados um ponto F no plano e uma reta d que no contm F, a parbola o lugar geomtrico dos pontos do plano que esto mesma dis-tncia de F e de d. O ponto F o foco da parbola e d a reta diretriz.

    Observao 7. Uma parbola ento uma curva no plano, que simtrica, sendo o eixo de simetria a reta que contm o foco F e que perpendicular reta diretriz. Veja a fi gura:

    Voc sabe a diferena?

  • 194

    eixo desimetria

    d

    F

    d1

    d2

    d1 d

    2=

    Figura 5.10

    A parbola a curva que serve de modelo para o grfi co da funo quadrtica. Mas nem toda parbola o grfi co de uma funo des-te tipo. As parbolas que sero grfi cos de funes quadrticas so aquelas cujo eixo de simetria paralelo ao eixo Y. Com estas infor-maes, como comentamos no Captulo 4, alguns pontos, obtidos atribuindo valores varivel independente x, so sufi cientes para esboar o grfi co de uma funo quadrtica. Valores especiais da varivel independente x so as razes e 0x = . Lembre-se que as ra-zes so tais que ( ) 0f x = . Assim, os pontos ( ),0x , x real, so pon-tos de interseco da curva com o eixo X; dizemos tambm que a curva corta o eixo X nos pontos ( ),0x . Para 0x = temos (0)f c= (pois 2( )f x ax bx c= + + ), e ( )0,c o ponto de interseco da curva com o eixo Y (ou o ponto onde a curva corta o eixo Y).

    Exemplo

    16) Esboar o grfi co da funo ( ) 2: , 1f f x x = x f(x)0

    3

    00-1

    -1

    -22

    1

    3

    -1-2 21

    3

    -1

    x

    y

    O

    Figura 5.11

    Outra caracterstica da parbola ser importante para esboar grfi cos: a concavidade.

  • 195

    Concavidade, vrtice e imagem da funo quadrtica

    A funo quadrtica ( ) 2f x ax bx c= + + pode ser escrita como

    ( )2 2

    2

    42 4b ac bf x a xa a

    = + +

    . Observe que a primeira parcela

    da expresso dentro dos colchetes depende de x e sempre po-sitiva, enquanto a segunda parcela constante. Como x pode ser qualquer nmero real, com as propriedades estudadas no Captu-lo 2 (Nmeros Reais) possvel mostrar que a partir de certo valor

    x tem-se 2 2

    2

    42 4b b acxa a

    +

    (o membro direita da desigualda-

    de constante), ou seja, 2 2

    2

    4 02 4b ac bxa a

    + +

    .

    Suponhamos 0a > . Ento ( )2 2

    2

    4 02 4b ac bf x a xa a

    = + +

    a

    partir de um determinado valor x. Por um resultado do Captulo 2, o

    conjunto dos ( ), f x x , tem um mnimo. De 2

    0, 2bx xa

    +

    ,

    isto acontece para o menor valor possvel da parcela 2

    2bxa

    +

    , ou

    seja, 2

    bxa

    = . Isto signifi ca que para

    2bxa

    = o valor ( )f x o menor

    possvel, ou ainda, ,2 2

    b bfa a

    o ponto do grfi co de f que pos-

    sui a menor ordenada. Podemos ento concluir que a parbola neste caso cncava para cima, como mostra a fi gura:

    Figura 5.12

    Se 0a < , conclumos que ( )2 2

    2

    42 4b ac bf x a xa a

    = + +

    nega-

    tiva a partir de um determinado valor x e que a funo dever

    apresentar um valor mximo para 2

    bxa

    = . Neste caso, a parbola

    cncava para baixo, como mostra a fi gura:

  • 196

    Figura 5.13

    O ponto ,2 2

    b bfa a

    chamado de vrtice da parbola. Calcu-

    lando 2

    bfa

    obtemos o ponto ,2 4

    ba a

    . Assim, o vrtice tem

    coordenadas e 2 4v v

    bx ya a

    = = .

    A reta vertical que passa pelo vrtice o eixo de simetria da parbola.

    Note que 2 4v

    by fa a

    = =

    o menor valor assumido pela fun-

    o, se 0a > , e o maior valor assumido pela funo, se 0a < . Isto nos d a informao sobre o conjunto imagem da funo f:

    (i) Se 0a > , [ )Im ,vf y=

    (ii) Se 0a < , ( ]Im , vf y=

    Observao 8. Ao esboar o grfi co de uma funo quadrtica, importante saber verifi car alguns elementos da parbola:

    Concavidade (posio dada pelo coefi ciente a de 2x );

    Pontos onde o grfi co corta o eixo X (razes, determinadas pela soluo da equao ( ) 0f x = );

    Ponto onde o grfi co corta o eixo Y (clculo de (0)f , ou termo independente);

    Vrtice (ponto ,2 4

    ba a

    );

    Eixo de simetria (reta 2

    bxa

    = ).

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

  • 197

    Exerccio resolvido

    2) Esboar o grfi co da funo quadrtica ( ) 22 7 4f x x x= + +

    Resoluo. Temos inicialmente 2, 7 e 4a b c= = = .

    Seguindo o roteiro acima, observamos que:

    a) 2 0a = < : a parbola cncava para baixo.

    b) os pontos onde o grfi co corta o eixo X so os pontos para os quais ( ) 0f x = , ou seja, as razes da equao 22 7 4 0x x + + = . Vamos

    calcul-las.

    22 7 4 0x x + + = equivalente a 22 7 4 0x x = (multiplica-

    mos ambos os membros por 1 ). Assim, 7 49 324

    x += e te-

    mos as razes 1 21 e 42

    x x= = .

    Logo, os pontos onde o grfi co corta o eixo X so

    ( )1 ,0 e 4,02

    .

    c) O ponto onde o grfi co de f corta o eixo Y o valor de f no ponto 0, ou seja, ( )0 2 0 7 0 4 4f = + + = . Assim, este ponto ( )0,4 .

    d) O vrtice dado por:

    2vbxa

    = =

    7 74 4

    =

    ( )( )

    49 327 81 814 4 4 2 8 8v

    y fa

    + = = = = =

    O vrtice o ponto 7 81,4 8

    .

  • 198

    Vamos encontrar mais alguns pontos e fazer o grfi co:

    x

    y

    -1 1 2 3 4

    -5

    9

    4

    7

    881

    12

    - 7452

    eixo de simetria

    x f(x)-1

    9

    9

    -5152

    O

    Figura 5.14

    Observe que a imagem da funo f o intervalo ( ] 81, ,8v

    y = ,

    que a projeo ortogonal de seu grfi co no eixo das ordenadas.

    Aplicao

    A funo quadrtica serve de modelo para resoluo de proble-mas de maximizao e de minimizao. Faremos dois exemplos de problemas cuja resoluo depende da anlise e interpretao do grfi co de uma funo quadrtica.

    Problema 1) Entre todos os retngulos de permetro 12 u.m., quais as dimenses daquele que possui maior rea?

  • 199

    Resoluo. Chamamos de x e y as dimenses do retngu-lo e S x y= a sua rea. Vamos escrever S como funo de x usando o outro dado do problema, isto , que o perme-tro 12 u.m. O permetro dado por 2 2 12x y+ = . Ento

    6 e 6x y y x+ = = . Substituindo y na expresso da rea, ob-temos ( ) ( ) 26 6S x x x x x= = . Temos assim uma funo qua-drtica ( )S x que expressa a rea de um retngulo de permetro 12 u.m. em funo de uma de suas dimenses. Estamos procu-rando o valor mximo desta rea, e isto signifi ca que estamos procurando o valor mximo da funo quadrtica ( ) 26S x x x= , ou ( ) 2 6S x x x= + . O grfi co de S uma parbola cncava para baixo, pois 1 0a = < . Assim, o valor mximo da funo ( )S x a ordenada do vrtice da parbola. Vamos calcular a abscissa do vrtice, lembrando que 1 e 6 a b= = :

    6 32 2v

    bxa

    = = =

    Este valor x que encontramos uma das dimenses do retngulo que tem rea mxima. Fazendo 6 6 3 3y x= = = , encontramos a outra dimenso, 3y = . Vemos ento que o retngulo de per-metro 12 u.m. que possui a maior rea o quadrado de lado 3.

    Resposta. O retngulo de permetro 12 que possui a maior rea o quadrado de lado 3.

    Problema 2) De todos os nmeros reais x e y tais que 5 10x y+ = , determine aqueles para os quais o valor 2 2x y+ seja mnimo.

    Resoluo. Chamamos de M o valor que queremos minimizar, ou seja, 2 2M x y= + . Vamos escrever M em funo de um dos

    nmeros: se 5 10x y+ = , temos que 105

    xy = e, portanto,

    ( ) ( )2

    2 2 210 1 26 426 20 100 45 25 25 5

    xM x x x x x x = + = + = +

    M uma funo quadrtica com 26 4, e 425 5

    a b c= = = .

    Como 0a > , a parbola que representa o grfi co de M cnca-va para cima, indicando que M tem um valor mnimo no vrtice.

  • 200

    Vamos calcular este vrtice:

    455

    262 13225

    bx

    a

    = = =

    .

    Calculando o valor y, obtemos

    51010 25135 5 13

    xy

    = = = . O valor

    mnimo de 2 2x y+ ser 2 25 25 650 50

    13 13 169 13M

    = + = =

    .

    Resposta. Os nmeros procurados so 5 25

    e 13 13

    x y= = .

    Exerccios resolvidos

    3) Faa o grfi co e determine o conjunto imagem da funo

    ( )2

    5 se 26 se 2 3

    9 se 3 422 se 4

    x xx x

    f xx

    x x

    + <

    Resoluo. A funo dada por quatro sentenas:

    5x + no intervalo ( ), 2 , que uma funo afi m;2 6x no intervalo [ )2,3 , que uma funo quadrtica;

    92

    no intervalo [ ]3,4 , que uma funo constante;2x no intervalo ( )4,+ , que uma funo linear.

    Fazendo o grfi co correspondente em cada intervalo, teremos:

  • 201

    x

    y

    3 4 521

    7

    10

    -2

    -3 -1

    8

    3

    -2

    -5

    -6

    92

    O

    Figura 5.15

    A imagem da funo a projeo ortogonal do seu grfi co no

    eixo das ordenadas. Assim, [ ) ( )9Im 6,3 7,2

    f = +

    .

    4) Esboce num mesmo sistema cartesiano os grfi cos das funes:( ) ( ) ( )2 2 21, , 2

    2f x x g x x h x x= = = .

    O que voc pode observar quando variamos o coefi ciente a?

  • 202

    Resoluo:

    ( ) 2f x x= ( ) 212

    g x x= ( ) 22h x x=

    x y x y x y

    0 0 0 0 0 0

    1 1 112

    1 2

    - 1 1 - 112

    - 1 2

    2 4 2 2 2 8

    x

    y

    3 4 521-3 -1-2

    8

    3

    -4-5-6 6

    2

    1

    4

    1/2

    9/2

    O

    Figura 5.16

    Observando o coefi ciente 0a > , vemos que ele determina a abertu-ra da parbola. Quanto menor o valor de a, maior a abertura.

  • 203

    5) Determine o maior valor de k em { }/A x x k= de modo que a funo f de A em defi nida por ( ) 22 3 4f x x x= + seja injetora.

    Resoluo. Vamos lembrar a defi nio de funo injetora do ca-ptulo 4:

    Dizemos que f injetora em A se e somente se

    1 2,x x A , se 1 2x x , ento ( ) ( )1 2f x f x .

    Ou, equivalentemente:

    1 2,x x A , se 1 2x x= , ento ( ) ( )1 2f x f x= .

    Sabemos que o grfi co de uma funo quadrtica uma par-bola e que a parbola tem um eixo de simetria que passa pelo vrtice e paralelo ao eixo Y. Isto nos sugere que existem valo-res diferentes no domnio que possuem a mesma imagem. Va-mos ento fazer o grfi co de f como se fosse seu domnio, e analisar que restrio devemos fazer neste domnio para que a funo seja injetora. Seguindo o roteiro para construo do grfi co, observamos que:

    a) O grfi co da funo ( ) 22 3 4f x x x= + uma parbola cn-cava para cima (pois 2 0a = > ).

    b) Suas razes no so nmeros reais, pois 9 32 23 0 = = < . Ento o grfi co no corta(ou no intersecta) o eixo X e a par-bola est situada acima do eixo X (por qu?).

    c) O grfi co corta o eixo Y no ponto ( )0,4 .

    d) O vrtice tem coordenadas 34v

    x = , 238v

    y = . Conseqente-

    mente, a imagem da funo 23

    ,8

    +

    e o eixo de simetria

    passa pelo ponto 3 23,4 8

    .

  • 204

    1

    1

    2

    2

    3

    3

    4

    238

    324

    3 x

    y x f(x)

    21

    32

    3

    3

    1

    0 4

    4

    O

    Figura 5.17

    Analisando o grfi co, para que a funo seja injetora, devemos considerar uma das metades da parbola (ou uma parte menor), determinadas pelo eixo de simetria. As projees das metades

    no eixo X so os intervalos 3,4

    e

    3 ,4

    + . Como o domnio

    de f { }/A x x k= , ou seja, ( ],A k= , necessrio tomar para valores de x aqueles esquerda do vrtice, ou seja, menores

    ou iguais do que 34v

    x = . Assim, qualquer valor de k menor ou

    igual a 34

    satisfaz a propriedade. O maior deles 34

    k = e f ser

    injetora no intervalo 3,4

    A = .

  • 205

    Exerccios propostos

    5) Estude as funes dadas abaixo, determinando razes, vrti-ce, pontos de interseco com os eixos, eixo de simetria, grfi co e conjunto imagem:

    ( ) 2 6f x x x= +

    ( ) 25 2 4f x x x= +

    ( ) ( )( )3 1f x x x= +

    ( ) 22 16f x x x=

    ( ) 24f x x=

    ( ) ( )23f x x=

    ( ) 21 12

    f x x x= +

    ( ) ( )24 3f x x=

    6) Encontre o valor x de modo que ( ) 2 13 22

    f x x x= + = .

    7) Determine o valor b em { }/B x x b= de modo que a fun-o f de em B defi nida por ( ) 2 4 6f x x x= + seja sobrejetora.

    8) A soma de dois nmeros reais 6. Encontre estes dois nme-ros sabendo que seu produto mximo.

    9) Em cada item a seguir, encontre a funo quadrtica que sa-tisfaz as condies dadas:

    ( ) ( ) ( )0 5, 1 10, 1 4f f f= = = .

    o vrtice do grfi co de g ( )1,2 e g intercepta o eixo Y em ( )0,4 .

    o valor mximo de h 10; o grfi co de h simtrico em rela-o reta 1x = e h intercepta o eixo Y em ( )0,8 .

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    f)

    g)

    h)

    a)

    b)

    c)

  • 206

    o grfi co de t intercepta o eixo x nos valores 1x = e 3x = , e intercepta o eixo Y em ( )0,8 .

    10) Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, a R$ 12,00 o quilo. Uma pesquisa revelou que, para cada real de au-mento no preo, o restaurante perderia 10 clientes, com um con-sumo mdio de 500 gramas cada. Qual deve ser o valor do quilo de comida para que o restaurante tenha a maior receita?

    11) Considere os conjuntos 1/2

    A x x =

    e { }/ 1B x x=

    e as funes :f A defi nida por ( ) 2 1f x x= , :g + de-fi nida por ( ) 2g x x= e :h B+ defi nida por ( ) 4 1h x x= . De-termine a funo inversa de ( )h g f .

    5.1.3. Funes polinomiais de modo geral

    Defi nio. Uma funo :f uma funo polino-mial quando existem constantes reais 0 1 2, , , ..., na a a a tais que

    ( ) 1 2 11 2 1 0...n nn nf x a x a x a x a x a= + + + + + , com n natural no-nulo.

    Exemplos

    17) ( ) 3 2 7813 411

    f x x x= +

    0 1 2 378 ; =0; 4; a 1311

    a a a= = = .

    18) ( ) 9 58 4 2 1g t t t t= + + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 91; 1; 0; 4 2; 0; 8a a a a a a a a a a= = = = = = = = = =

    19) ( ) 3h t = ; 0 3a = ; as outras constantes so nulas.

    Observao 9. A expresso 1 2 11 2 1 0...n n

    n na x a x a x a x a

    + + + + + cha-ma-se polinmio e se 0na , dizemos que um polinmio de grau n. O grau do polinmio (e no da funo!) ento o maior valor de n para o qual na diferente de zero. A funo

    ( ) 1 2 11 2 1 0...n nn nf x a x a x a x a x a= + + + + + uma funo polinomial de grau n quando 0na . As funes afi m e quadrtica so exemplos de funes polinomiais.

    d)

  • 207

    Observao 10. Se todas as constantes 0 1 2, , , ..., na a a a so nulas, temos o polinmio nulo, cujo grau no est defi nido. Se a constante

    0a no nula e todas as outras so nulas, temos um polinmio de grau zero (exemplo 19).

    Igualdade de polinmios

    Dois polinmios 1 2 11 2 1 0...n n

    n na x a x a x a x a

    + + + + + e1 2 1

    1 2 1 0...m m

    m mb x b x b x b x b

    + + + + + so iguais quando m n= e 1 1 2 2 1 1 0 0, ,..., , , n m n ma b a b a b a b a b = = = = = . Assim, dois polin-

    mios so iguais quando tm o mesmo grau e seus termos corres-pondentes so iguais.

    Observao 11. claro que a igualdade de funes vale para fun-es polinomiais. Duas funes polinomiais ( )f x e ( )g x sero iguais quando ( ) ( ), f x g x x= . Isto acontece quando seus co-efi cientes correspondentes so iguais.

    Simbolicamente, para1 2 1

    1 2 1 0( ) ...n n

    n nf x a x a x a x a x a

    = + + + + + , 1 2 1

    1 2 1 0( ) ...m m

    m mg x b x b x b x b x b

    = + + + + +f g= se e somente se m n= e

    1 1 2 2 1 1 0 0, ,..., , , n m n ma b a b a b a b a b = = = = = .

    Razes de uma funo polinomial

    Dizemos que s raiz da funo polinomial ( ) 1 2 11 2 1 0...n nn nf x a x a x a x a x a= + + + + + quando ( ) 0f s = , ou

    seja, quando 1 2 11 2 1 0... 0n n

    n na s a s a s a s a

    + + + + + = . O Teorema Fundamental da lgebra (que ser estudado com detalhes pos-teriormente, em outra disciplina) nos diz que um polinmio de grau n tem exatamente n razes complexas. Estas razes no so necessariamente distintas.

    Exemplos

    20) ( ) 3f x x= possui trs razes iguais, 1 2 3 0x x x= = = . Diz-se neste caso que zero uma raiz de multiplicidade 3.

    21) ( ) 5 3g x x x= possui cinco razes reais, mas trs delas so iguais. De fato, 5 3 0x x = implica ( )3 2 1 0x x = e da obte-mos as razes 1 2 3 4 51, 1, 0x x x x x= = = = = .

  • 208

    Grfi co das funes polinomiais

    Conforme j foi visto, funes polinomiais de grau 0 ou 1 (funes afi ns) tm como grfi co uma reta e funes polinomiais de grau 2 (funes quadrticas) tm como grfi co uma parbola. Para fun-es polinomiais de grau maior do que 2 no existe uma tal carac-terizao do grfi co. O que sabemos que as razes determinam pontos onde o grfi co corta o eixo X e o termo independente (coefi ciente 0a ) determina o ponto onde o grfi co corta o eixo Y. Como ilustrao, vamos esboar o grfi co da funo ( ) 3f x x= :

    x f(x)

    21

    00

    1 1

    x

    y

    3

    1

    7

    2

    5

    4

    6

    8

    -3

    -1

    -7

    -2

    -5

    -4

    -6

    -8

    1 2-1-2

    -1-1-8-2-27-3-1000-10

    82273100010

    12

    -

    81

    18

    -

    O

    Figura 5.18

    Im f = e f crescente em seu domnio (prove!).

    Observe tambm que( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 , 2 2 , 3 3f f f f f f= = = , e de modo geral ( ) ( )f x f x= . Isto caracteriza uma funo mpar, conforme a

    defi nio a seguir:

  • 209

    Defi nio. Uma funo :f uma funo par quando ( ) ( )f x f x= para todo x em seu domnio; a funo uma funo

    mpar quando ( ) ( )f x f x= para todo x em seu domnio.

    Exemplos

    22) Como j vimos, ( ) 3f x x= uma funo mpar, pois ( ) ( )3 3 e f x x f x x= = , ou seja, ( ) ( )f x f x= .

    23) ( ) 2 1f x x= + uma funo par, pois ( ) ( ) ( )22 21 e 1 1f x x f x x x= + = + = + , ou seja, ( ) ( )f x f x= .

    Observao 12. Funes pares e mpares tm caractersticas im-portantes em seus grfi cos:

    (i) o grfi co de uma funo par simtrico em relao ao eixo Y: (x, y) e (-x, y) so pontos do grfi co da funo, para todo x do domnio.

    x

    y

    O

    Figura 5.19: Grfi co de uma funo par

    (ii) o grfi co de uma funo mpar simtrico em relao ori-gem do plano cartesiano: (x, y) e (-x, -y) so pontos do grfi co da funo, para todo x do domnio.

    x

    y

    O

    Figura 5.20: Grfi co de uma funo mpar

  • 210

    Exerccios propostos

    12) Esboce o grfi co das funes ( ) ( )3 31 e 1f x x f x x= + = . O que voc pode observar?

    13) O grfi co abaixo o grfi co de uma funo polinomial de grau 3. Determine a funo.

    x

    y

    231 2

    -1

    -2

    819

    1

    2

    -123-

    -835

    O

    Figura 5.21

    5.2 Funes racionaisAs funes racionais so as funes da forma ( ) ( )( )

    P xf x

    Q x= , sen-

    do P e Q funes polinomiais.

    Para f estar defi nida, o denominador deve ser diferente de zero;

  • 211

    o denominador ser zero quando ( ) 0Q x = , ou seja, nas razes da funo polinomial ( )Q x . Assim, o domnio de f o conjunto

    ( ){ }/ 0x Q x = .

    Exemplos

    24) ( ) 211

    xf xx

    =

    +; o domnio de f ser pois a funo polino-

    mial que aparece no denominador no se anula (no tem razes reais): ( )D f = .

    25) ( ) 13

    g xx

    =+

    ; ( ) { }3D g = , uma vez que 3 raiz da

    funo polinomial ( ) 3Q x x= + .

    26) ( )3

    3

    4 1x xh xx x

    +=

    ; para determinarmos o domnio de h de-

    vemos verifi car para quais valores de x a funo polinomial ( ) 3Q x x x= se anula, ou seja, devemos calcular as razes

    de ( )Q x :

    3 0x x =( )2 21 0 0 ou 1 0 0 ou 1 ou 1x x x x x x x = = = = = = .

    Ento teremos ( ) { }0,1, 1D h = .

    27) ( ) 4 22

    5 3K x

    x x x=

    + ; neste caso no to simples deter-

    minar o domnio. No sabemos como calcular, atravs de uma frmula, as razes de uma funo polinomial deste tipo. Para determinar o domnio da funo K , devemos usar mtodos mais elaborados de clculo de razes atravs de aproximaes. Voc estudar estes mtodos aps as dis-ciplinas de Clculo Diferencial e Integral.

    Observao 13. Para as funes polinomiais de grau 4 do tipo 4 2( )h x ax bx c= + + , isto com os coefi cientes de 3 e x x iguais

    a zero, podemos calcular as razes usando uma mudana de va-rivel, isto , fazendo 2x y= (conseqentemente 4 2x y= ) e cons-truindo uma nova funo 21( )h x ay by c= + + . As razes de 1h iro determinar as razes de h.

  • 212

    Exemplo

    28) Determinar as razes de 4( ) 5h x x= x2 + 4.

    Resoluo: Fazendo a mudana de varivel, x2 = y , obtemos 2

    1( ) 5 4h x y y= + . Para 1( ) 0h y = , temos 2 5 4 0y y + = (uma

    equao do segundo grau) e as razes so 1 21 e 4y y= = . Como2x y= , fazemos 2 1x = e 2 4x = ; resolvendo estas equaes,

    temos 1 1, x = 2 1, x = 3 2x = 4e 2x = . Estas so as razes da funo ( )h x .

    As equaes do tipo 4 2 0ax bx c+ + = so chamadas equaes biqua-dradas.

    Grfi co das funes racionais

    No possvel fazer generalizaes sobre o grfi co destas fun-es. Mas possvel verifi car algumas regularidades nos grfi cos das funes racionais. Vejamos:

    Exemplos

    29) ( ) ( ) { }1 ; 0f x D fx

    = =

    x f(x)

    1-1 -1

    1

    x

    y

    2

    -2

    21

    12

    -

    1-1 2-2

    1

    -1

    21

    12

    -

    O

    Figura 5.22

  • 213

    Note que 1( )f xx

    = uma funo mpar (prove!). Para 0x > ,

    medida que x se aproxima de zero, o valor da funo aumenta (quanto menor o denominador, maior a frao). Por outro lado, medida que 0x > assume valores cada vez maiores, o valor da funo se aproxima de zero.

    TarefaO que acontece esquerda do eixo Y?

    Exemplos

    30) ( ) ( ) { }1 ; 22

    f x D fx

    = =

    x

    yx f(x)

    1

    -1

    -1

    0

    2

    -2

    81

    112

    -

    1

    -1

    1

    2

    -2

    23

    12

    - 2 325

    23

    25

    10

    -10 O

    2

    Figura 5.23

    Note a semelhana do grfi co da funo ( ) 12

    f xx

    =

    com o grfi -

    co da funo do exemplo anterior. O grfi co de ( ) 12

    f xx

    =

    pode

    ser obtido pelo deslocamento horizontal (de duas unidades) do

    grfi co de 1( )f xx

    = .

  • 214

    31) ( ) ( ) { }; 22

    xf x D fx

    = = +

    x

    y

    x f(x)

    1

    00

    2

    -3

    5123

    21

    1-2 -1 2

    2

    32

    -

    23

    21

    3

    -3 3 4

    -1

    -2

    -3

    -4-5-6

    31

    21

    -1

    -4

    -6

    3

    -3

    -1

    2

    32

    -

    O

    Figura 5.24

    Observe, tambm neste exemplo, a semelhana com os grfi cos dos exemplos anteriores.

    32) ( ) ( ) { }21 ; 2, 2

    4f x D f

    x= =

    x

    y

    x f(x)0

    -3

    23

    25

    3

    52

    -

    14

    -

    45

    -

    51

    51

    94

    94

    -323

    25 35

    2-

    14

    -

    32

    -

    4/9

    21

    1

    -1-2

    -2

    -1

    1/5O

    Figura 5.25

  • 215

    Note que este grfi co difere dos anteriores; observe a funo que aparece no denominador.

    Exerccios propostos

    14) D o domnio e faa o grfi co das funes racionais:

    a) ( ) 2 1xf x

    x=

    b) ( ) 224

    xg xx

    +=

    c) ( ) 113

    h xx

    = +

    15) D os intervalos de crescimento e decrescimento das fun-es do exerccio anterior.

    5.3 Funo-mduloA funo :f dada por ( )f x x= chamada funo-m-

    dulo. Lembrando a defi nio de mdulo, se 0

    se 0x x

    xx x

    =

  • 216

    Exemplos de funo-mdulo composta com outras funes:

    33) ( ) 3 6f x x=

    ( ) ( ) 3 6 se 3 6 0

    3 6 se 3 6 0x x

    f xx x

    =

  • 217

    Resolvendo as inequaes, temos:

    2 5 0 5 ou 5x x x

    2 5 0 5 5x x < < tal que ( ) ( )f x T f x+ = , para todo x . Isto signifi ca que

    ( ) ( ) ( )4 4 4 4sen sen sen .5 5 5 5

    f x T x T x T x f x

    + = + = + = =

    Como o perodo da funo seno 2 , devemos ter

    4 10 52

    5 4 2T T

    = = = . Logo, o perodo de f

    52

    . Confi ra

    o resultado fazendo o grfi co.

    3) Cosseno uma funo par e seno uma funo mpar

    Uma funo :f par quando ( ) ( ),f x f x= x e uma funo :f mpar quando ( ) ( ), f x f x x= . Vamos analisar as funes seno

    e cosseno:

  • 243

    .

    CS

    B

    AQ

    M

    x

    -x

    ==

    =

    OM OSOM QBOS QC

    O

    Figura 5.59

    O tringulo BOC issceles, o que signifi ca que os arcos AB e AC tm a mesma medida de x rad. Logo, ( )cos cos , x x x= e ( )sen sen , x x x= . Assim, cosseno uma funo par e seno uma funo mpar.

    4) Funes compostas envolvendo seno e cosseno

    Dada uma funo real g , podemos pensar nas funes compostas ( )( ) ( )( )sen seng x g x= , ( )( ) ( )( )cos cosg x g x= , ( )( ) ( )sen sen g x g x= e ( )( ) ( )cos cosg x g x= . Vamos fazer alguns exemplos para casos especiais da funo g .

    Exemplos

    44) :g , ( )g x x= + , ( )( ) ( )( ) ( )sen sen seng x g x x= = +

    Vamos fazer o grfi co da funo ( )sen x+ , comparando-o com o grfi co de sen x :

  • 244

    x

    y

    5

    2

    23

    2

    2

    2

    -3

    2

    -2- -

    sen x

    sen (x )+

    1

    -1

    O

    Figura 5.60

    x 0

    sen (x + ) 0 -1 0 1 0

    Analisando o grfi co, vemos que:

    1) Os grfi cos das funes sen x e ( )sen x+ tm o mesmo for-mato. A diferena que o grfi co de ( )sen x+ est deslo-cado unidades direita no plano cartesiano em relao ao grfi co de sen x. Note que os grfi cos das duas funes cortam o eixo X nos mesmos pontos.

    2) O domnio e a imagem da funo ( )sen x+ so os mesmos da funo sen x.

    3) sen x e ( )sen x+ tm o mesmo perodo 2 (note que o grfi co de ( )sen x+ se repete a cada intervalo de compri-mento 2 , a partir de 0x = ).

    TarefaFaa o grfi co da funo composta ( )( ) ( )( ) ( )cos cos cosg x g x x= = + e compare-o com o grfi co de cos x. O que voc conclui?

  • 245

    45) :h , ( ) 2h x x= , ( )( ) ( )( ) ( )cos cos cos 2h x h x x= =

    Vamos comparar o grfi co da funo ( )cos 2x com o grfi co de cos x:

    x

    y

    cos x

    cos (2x)

    5

    2

    23

    2

    2

    2

    -3

    2

    -2-

    -

    1

    -1

    5

    2

    - 3

    4

    O

    Figura 5.61

    x 0

    cos (2x) 1 0 -1 0 1

    Analisando os grfi cos, vemos que:

    1) os grfi cos de ( )cos 2x e cos x tm o mesmo formato mas o grfi co de ( )cos 2x parece que encolheu! Por exemplo,

    ( )cos 2x corta o eixo X em 4

    x

    = , enquanto cos x corta o

    eixo X em 2

    x

    = (as funes no tm os mesmos zeros). Isto

    signifi ca que cos x e ( )cos 2x no tm o mesmo perodo; o grfi co de ( )cos 2x se repete a cada intervalo de comprimen-to , a partir da origem. De fato, para a funo composta ( )( ) ( )( ) ( )cos cos cos 2h x h x x= = , temos que:

    ( )( ) ( )( ) ( )( )cos cos cos 2h x h x x+ = + = + =( ) ( ) ( )( )cos 2 2 cos 2 cosx x h x+ = = =( )( )cos h x .

    2) o domnio e a imagem da funo ( )cos 2x so os mesmos da funo cos x.

  • 246

    Tarefa

    1) Faa e estude os grfi cos das funes compostas ( )cos 3x , ( )cos 4x , cos

    2x

    e cos4x

    .

    O que voc conclui sobre os perodos destas funes? E sobre os

    perodos das funes ( )sen 3x , ( )sen 4x , sen2x

    e sen4x

    ?

    2) Para ( ) 22

    f x x

    = + , faa o grfi co e determine o perodo da

    funo composta ( )( ) ( )( )cos cos cos 22

    f x f x x

    = = +

    .

    Exemplo

    46) ( ) 1u x x= + , ( )( ) ( )( )sen sen 1 sen u x u x x= = +

    Vamos analisar e comparar os grfi cos de sen x e 1 sen x+ :

    sen x

    1 sen x+

    x

    y

    5

    2

    23

    2

    2

    2

    -3

    2

    -2-

    -

    1

    -1

    5

    2

    - 3

    2

    O

    Figura 5.62

    Observamos que:

    1) os dois grfi cos tm o mesmo formato, mas o grfi co de 1 sen x+ est deslocado uma unidade na vertical, para cima. Conseqente-mente, a funo 1 sen x+ no corta o eixo X nos mesmos pontos que a funo sen x (as funes no tm os mesmos zeros).

    2) o perodo das funes 2 .

    3) o domnio de 1 sen x+ o mesmo da funo sen x, mas as imagens so diferentes: ( ) [ ]Im 1 sen 0,2x+ = .

  • 247

    TarefaSeja ( ) 2v x x= + . Analise o grfi co da funo composta( )( ) ( )( )cos cos 2 cosv x v x x= = + . Compare com o grfi co de cos x.

    Exerccios propostos

    25) D o perodo e os zeros das seguintes funes:

    ( ) 3 cos2

    m x x

    = +

    ( ) 4 sen3

    s x x

    = + +

    26) Faa o grfi co das funes abaixo, no intervalo [ ]2 ,3 .

    ( ) ( )sen 2f x x=

    ( ) sen4x

    g x

    =

    ( ) cos3x

    m x

    =

    27) Sabendo que cos 0,1x = e x est no quarto quadrante, cal-cule sen x.

    Inversas das funes seno e cosseno

    Seno e cosseno no so funes injetoras; por exemplo, temos sen 0 sen 0= = e cos 0 cos 2 1= = , valores distintos resultando na mesma imagem. Mas, observando o grfi co destas funes, vemos que, se as restringirmos a certos intervalos (domnio e contradom-nio), elas sero injetoras e sobrejetoras e, portanto, tero uma inversa. Vamos analisar a funo seno. Observe atentamente seu grfi co:

    a)

    b)

    a)

    b)

    c)

  • 248

    5

    2

    23

    2

    2

    2

    -3

    2

    -5

    2

    - 2- - 3 x

    y

    -1

    1

    funo seno

    O

    Figura 5.63

    No intervalo ,2 2

    a funo seno injetora, e o mesmo ocorre

    nos intervalos 3

    ,2 2

    , 3

    ,2 2

    , e em uma infi nidade de ou-

    tros. Observe tambm que nestes intervalos a imagem da funo [ ]1,1 , ou seja, ela tambm sobrejetora. Fixando o intervalo

    ,2 2

    , consideremos a funo

    [ ]: , 1,12 2

    F

    ( ) sen F x x=

    F uma funo bijetora (prove isso!) e, portanto, inversvel! Defi -nimos a inversa da funo F como

    [ ]: 1,1 ,2 2

    g

    ( ) arcsen g x x= (l-se arco seno de x).

    A funo g associa a cada nmero real x do intervalo [ ]1,1 , o arco cujo seno x. Por exemplo:

    ( )1 1 2; 0 0; ; 2 6 2 6 2 4

    g g g g = = = =

    .

  • 249

    O grfi co da funo g dado por

    x arc sen x0 012

    23

    22

    23-

    - 12

    6

    -

    3

    -

    6 =

    ~ 0,52

    3 =

    ~ 1,04

    4 =

    ~ 0,78

    1

    112 2

    3

    23- - 1

    2

    6

    -

    3

    -

    x

    y

    -1

    -1

    3

    6

    2

    2

    -

    O

    Figura 5.64

    Note que os grfi cos de F e g so simtricos em relao bissetriz do primeiro quadrante:

    arc sen x

    sen x

    bissetriz do 1 Quadrante

    1

    1-1

    -1

    2

    2

    -

    2

    2

    - x

    y

    Figura 5.65

  • 250

    Analisando agora a funo cosseno,

    x

    y

    5

    2

    23

    2

    2

    2

    -3

    2

    -5

    2

    - 2-

    - 3

    -1

    1

    funo cosseno

    O

    Figura 5.66

    Vemos que ocorre a mesma situao que ocorria com o seno: em certos intervalos a funo injetora. Fixamos o intervalo [ ]0, para defi nir a funo

    [ ] [ ]: 0, 1,1H ( ) cosH x x=

    H uma funo bijetora (prove isso!) e, portanto, inversvel. A inversa da funo H a funo:

    [ ] [ ]: 1,1 0,h ( ) arccosh x x= (l-se arco cosseno de x).

    A funo h associa a cada nmero real x do intervalo [-1,1] o arco cujo cosseno x. O grfi co da funo h dado por:

    2

    3

    3

    2/

    112

    - 12

    -1 x

    y

    2

    x arc cos x

    0

    0

    12

    2

    3

    3

    1

    - 12

    -1

    O

    Figura 5.67

  • 251

    Tambm neste caso os grfi cos de H e h so simtricos em relao bissetriz do primeiro quadrante:

    bissetriz do 1 Quadrante

    arc cos x

    cos x

    1-1 x

    y

    2

    1

    -1

    O

    2/

    Figura 5.68

    Exerccios resolvidos10) Calcule

    2sen arccos

    2

    .

    Resoluo. Queremos calcular o seno do arco cujo cosseno 2

    2. Se y o arco cujo cosseno

    22

    , isto , 2

    cos2

    y = , qual

    o valor de sen y? Lembramos que nosso intervalo de trabalho para os valores do arco y o intervalo [ ]0, , a imagem da fun-o arco cosseno. Assim, existe um nico valor de y no intervalo

    [ ]0, , tal que 2

    cos2

    y = . Este valor, como sabemos, 4

    . As-

    sim, 2 2

    sen arccos sen sen2 4 2

    y = = =

    .

    11) Determine ( )sen arccos x , para x qualquer em [ ]1,1 .

    Resoluo. Seja y o arco cujo cosseno x, isto , cos y x= . Que-remos determinar sen y. Pela relao fundamental, temos que

  • 252

    2 2sen cos 1y y+ = ; substituindo cos y x= na igualdade, temos:2 2

    2 2

    2

    sen 1sen 1

    sen 1

    y xy x

    y x

    + =

    =

    =

    Para escolher o sinal correto, ou seja, para saber se sen y posi-tivo ou negativo, devemos observar que y pertence imagem da funo arco cosseno, isto , y pertence ao intervalo [ ]0, . Neste intervalo o seno positivo, e temos 2sen 1y x= .

    12) Determine 3

    arcsen sen2

    .

    Resoluo. Como 3

    sen 12

    = , o problema consiste em de-

    terminar ( )arcsen 1 . O nico arco pertencente ao intervalo

    ,2 2

    cujo seno 1 2

    . Logo,

    3arcsen sen

    2 2

    =

    .

    Voc poderia pensar que, como seno e arco seno so funes inversas, ento arcsen(sen x) = x, para qualquer valor x. Mas no podemos esquecer a defi nio! preciso estar atento para o domnio e contradomnio das duas funes.

    Exerccio proposto

    28) Calcule:

    1

    sen arcsen2

    2

    cos arccos2

    ( )sen arccos 0

    3

    cos arcsen2

    3

    arcsen sen4

    3

    arccos cos2

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    f)

  • 253

    5.4.2 A funo tangente

    Seja x um nmero real cujo cosseno diferente de zero, determinan-do no ciclo trigonomtrico o ponto D (lembre-se: o ponto D a extre-midade do arco de medida x rad.). Defi nimos a funo tangente de x (a notao tg x) como sendo a ordenada do ponto B, que o ponto de interseco do prolongamento do raio OD com uma reta paralela ao eixo Y passando pelo ponto A (tangente circunferncia), cha-mada eixo das tangentes. Este eixo uma cpia do eixo Y, com valores negativos abaixo de A e positivos acima de A. Veja a fi gura:

    eixo das tangentes

    x

    y

    A

    B

    C

    D

    O

    x

    Figura 5.69

    Observao 17. Note que se o cosseno de x for zero, ento x ser um arco de medida

    2k

    + , para algum k . Neste caso no

    haver interseco do prolongamento do raio OD com o eixo das tangentes, uma vez que sero paralelos. Por isso exclumos estes arcos da defi nio de tangente.

    Relao entre seno, cosseno e tangente

    Na fi gura 5.69 considere os tringulos COD e AOB, que so semelhantes. Ento seus lados so proporcionais e teremos

    CD ABOC OA

    = , ou seja, sen tg cos 1

    x xx

    = , para valores de x tais que

    Por qu?

  • 254

    cos 0x . Lembrando que cos 0x = quando , 2

    x k k

    = + , podemos defi nir a funo tangente como:

    : /2

    sen tg

    cos

    tg k k

    xx

    x

    +

    =

    Sinal algbrico da tangente

    O sinal da tangente depende dos sinais do seno e do cosseno. No primeiro e terceiro quadrantes seno e cosseno tm o mesmo sinal, o que signifi ca que a tangente um nmero positivo. No segundo e no quarto quadrantes seno e cosseno tm sinais contrrios, o que signifi ca que a tangente um nmero negativo. Tambm po-demos analisar geometricamente, como mostra a fi gura (notao anloga a da fi gura 5.69):

    B2

    -

    +

    xA

    M2

    B1

    M1

    xy

    y

    2

    3

    2

    Figura 5.70

    Valores notveis da tangente

    Para 0x = , temos sen 0 0= e cos 0 1= . Logo, tg 0 0= .

    Para 2

    x

    = , no existe um valor para a tangente, mas observe que

    quando x assume valores cada vez mais prximos de 2

    , porm

  • 255

    menores do que 2

    , os valores de tg x aumentam, tornando-se

    infi nitamente grandes. Veja a fi gura:

    K3

    K2

    K3

    B1

    B2

    B1

    B3

    3

    2

    A

    2

    zyx

    O

    Figura 5.71

    No entanto, quando x assume valores maiores do que 2

    e aproxi-

    mando-se cada vez mais deste valor, tg x um nmero negativo assumindo, em mdulo, valores infi nitamente grandes.

    Para x = , sen 0= e cos 1= . Logo, tg 0= .

    Para 32

    x

    = , no existe tg x . Estude o que acontece com a tg x

    quando os valores de x se aproximam de 32

    .

  • 256

    Para 4

    x

    = ,

    24 2 1

    4 2cos4 2

    sentg

    = = =

    .

    Para 6

    x

    = ,

    11 36 2

    6 33 3cos6 2

    sentg

    = = = =

    .

    Para 3

    x

    = ,

    33 2 313 cos3 2

    sentg

    = = =

    .

    Resumindo:

    x 06

    4

    3

    tg x 0 33

    1 3 0

    Exerccio resolvido

    13) Determine o valor de 223

    tg

    .

    Resoluo.

    22 18 4 46

    3 3 3 3

    = + = + . Logo, 22 4

    tg tg3 3

    = .

    Como 4 3

    sen sen3 3 2

    = = e 4 1

    cos cos3 3 2

    = = ,

    teremos

    322 4 2tg tg 313 3

    2

    = = =

    .

  • 257

    Observao 18. Como sabemos reduzir seno e cosseno ao pri-meiro quadrante, tambm podemos faz-lo para a tangente, j que ela depende destas duas funes. Note que basta conhecer uma das funes, seno ou cosseno, para conhecermos a tangente, pois seno e cosseno esto relacionados pela Relao Fundamental

    2 2sen cos 1x x+ = . Por exemplo, se sabemos que x est no primeiro quadrante e sen 0,2x = , podemos calcular a tg x fazendo:

    ( )2 20, 2 cos 1x+ =

    20,04 cos 1x+ =

    2cos 1 0,04x =

    2 96cos 0,96100

    x = =

    96 2 6cos

    100 5x = =

    (como x est no 1 quadrante, tomamos a raiz positiva).

    Logo,

    20,2 110tg 2 6 2 6 2 6

    5 5

    x = = = .

    Grfi co da funo tangente

    Lembrando as consideraes que fi zemos para os valores not-veis da tangente, vamos construir seu grfi co:

  • 258

    -252

    - 3

    2

    - - -

    2O

    2

    3

    2

    2 5

    2x

    y

    Figura 5.72

    Estudando o grfi co, podemos observar que:

    1) A tangente uma funo peridica e seu perodo . De fato,

    ( )( )( )

    sen sen .cos cos .sen sen tg tg

    cos cos .cos sen .sen cosx x x x

    x xx x x x

    + + + = = = =

    + .

    Note que o grfi co no intervalo ,2 2

    se repete a cada

    intervalo de comprimento , do tipo ,2 2

    k k

    +

    com k .

  • 259

    2) Os zeros da funo tangente so os zeros da funo seno, isto , tg 0x = quando x k= , pra todo k .

    3) A imagem da funo tangente o conjunto dos nmeros reais.

    4) A funo no est defi nida para os valores 2

    x k

    = + , para todo k , ou seja, estes pontos no tm imagem pela fun-o tangente. Observe o que acontece na vizinhana destes pontos, lembrando das consideraes que fi zemos para os va-lores notveis da tangente.

    5) Nos intervalos

    ... 5 3 3 3

    , , , , , , , ,..2 2 2 2 2 2 2 2

    a funo

    tangente injetora. Isto nos sugere que ela inversvel em cada um destes intervalos.

    Inversa da funo tangente

    Restringindo a funo tangente ao intervalo ,2 2

    , obtemos

    uma funo bijetora

    ( )

    : ,2 2

    tg

    G

    G x x

    =

    A inversa da funo G a funo

    : ,2 2

    g

    ( ) arctg g x x= (como para seno e cosseno, l-se arco tangente de x).

    A funo inversa g associa a cada nmero real x o arco cuja tangen-

    te x. Por exemplo, ( )1 arctg 14

    g

    = = , ( ) ( )1 arctg 14

    g

    = = ,

    ( )0 arctg 0 0g = = .

    Os grfi cos da funo tangente e de sua inversa so simtricos em relao bissetriz do primeiro quadrante:

  • 260

    2

    4

    1

    4

    -

    2

    2

    -

    2

    -

    tgx

    arc tgx

    x

    y

    -1

    Figura 5.73

    Exerccio resolvido

    14) Calcule ( )( )sen arctg 3 .

    Resoluo. Seja x o arco cuja tangente 3 , isto , tg 3x = . Queremos calcular sen x. Sabemos dos valores no-

    tveis que tg 33

    = ; mas qual arco cuja tangente resulta no

    oposto deste nmero? Vamos observar no ciclo trigonomtrico:

  • 261

    y

    A x

    3

    -3

    -

    3

    2

    3

    3

    O

    Figura 5.74

    Vemos que, para os arcos de medida 2

    e 3 3

    tem-se 2

    tg tg 33 3

    = = . Mas a funo arctg tem como imagem o

    intervalo ,2 2

    , isto , tem como imagem arcos no primeiro

    ou quarto quadrantes. O arco de medida 23

    est no segundo

    quadrante. Logo, escolhemos 3

    e sen3 3 2

    x

    = = .

    Exerccios propostos

    29) Conhecendo o seno e o cosseno de 6

    rad, 4

    rad e 3

    rad, calcule sen x e cos x para:

    o1230x =

    o960x =

    134

    x

    = rad

    47

    6x

    = rad

    a)

    b)

    c)

    d)

  • 262

    30) Determine o sinal algbrico dos nmeros reais:

    sen 5

    cos 7,68

    sen 13

    cos 2

    31) Faa o grfi co das funes abaixo, no intervalo [ ]2 ,3 .

    ( ) tg 2f x x=

    ( ) tg2x

    g x =

    ( ) 1 cos3h x x= +

    ( ) 2 sen

    2x

    m x = +

    32) D o perodo das funes:

    ( )13

    cos4x

    g x =

    ( )2 sen 2g x x

    = +

    ( )3 5cos 2x

    g x

    =

    ( )4 8 sen 3x

    g x =

    ( )5 1 tg 2x

    g x = +

    ( ) ( )6 tg 2g x x=

    33) Mostre as identidades:

    ( )cos cost t+ =

    sen cos2

    t t

    + =

    3sen 3 3sen 4sent t t=

    21 cos 2cos2t

    t

    + =

    a)

    b)

    c)

    d)

    a)

    b)

    c)

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    f)

    a)

    b)

    c)

    d)

  • 263

    34) Calcule:

    13

    tg3

    23

    tg4

    35) Sabendo que cos x =0,8 e que x est no quarto quadrante, calcule sen x e tg x.

    36) Sabendo que sen 16

    x = e x est no terceiro quadrante, cal-cule cos x e tg x.

    37) Determine o domnio da funo ( ) ( )tg 5 1f t t= + .

    38) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das funes seno e cosseno no intervalo [ ]2 ,2 . Generalize para o conjunto .

    Resumo do Captulo

    Neste captulo estudamos as funes elementares:

    Funes polinomiais funo afi m, funo quadrtica e funes polinomiais de modo geral.

    Funes racionais (quociente de funes polinomiais).

    Funes envolvendo mdulo.

    Funes trigonomtricas - seno, cosseno e tangente.

    As funes trigonomtricas cotangente, secante e cossecante dependem das funes seno e cosseno e sero apresentadas em material complementar. As funes logaritmo e exponencial tambm sero apresentadas em material complementar.

    Para construo de grfi cos, sugerimos que voc use seus conhecimentos da disciplina Estudo de Softwares Educacionais: o software Winplot, por exemplo. Lembre-se que para utilizar confortavelmente um software de construo de grfi cos, voc precisa conhecer a teoria das funes.

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    Bibliografi a Comentada

    IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos da Matemtica Elementar. 8 ed. Guarulhos: Atual, 2004. (Fundamentos da Matemtica Elementar, v.1 conjuntos, funes e v.3 trigonometria).

    Estes livros apresentam um resumo da teoria e muitos exerccios resolvidos e propostos.

    CARNEIRO, V.C. Funes Elementares, Editora da UFRG, Porto Alegre, 1993.

    Dentre as refencias citadas na bibliografi a, sugerimos a consulta deste livro.

    Revista do Professor de Matemtica (todos os nmeros). So Paulo: SBM, 2006.

    Em vrios nmeros voc vai encontrar artigos interessantes sobre as funes elementares; a maioria deles ser til para seu trabalho em sala de aula.

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    Bibliografi a

    VILA, G. Anlise Matemtica para a licenciatura. So Paulo: Edito-ra Edgard Blucher Ltda., 2001.

    CARNEIRO, V.C. Funes Elementares. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 1993.

    DOMINGUES, H.H. Fundamentos de Aritmtica. So Paulo: Atual Editora, 1998.

    FLEMMING, D.M. & GONALVES, M.B. Clculo A. So Paulo: Makron Books, 1992.

    GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Clculo. So Paulo: Ed. Livros Tcnicos e Cientfi cos, 1987.

    LIMA,E.L et all. A matemtica do ensino mdio. Volume 1; Coleo do Professor de Matemtica, Rio de Janeiro: SBM, 2001.

    MONTEIRO, L.H.J. Iniciao s Estruturas Algbricas. So Paulo: G.E.E.M., 1973.

    SIMMONS, G.F. Clculo com Geometria Analtica. So Paulo: Mc-Graw-Hill Ltda., 1985.

    SPIVACK, M. Calculus. Houston: Publish or Perish, 1994.

    Tpicos de Histria da Matemtica para Uso em Sala de Aula (coleo), 6 volumes. So Paulo: Saraiva S.A. Livreiros Editores, 2001.

    ZILL D.; DOWAR, J. Basic Mathematics for Calculus. New York: McGraw-Hill, 1994.

    Revista do Professor de Matemtica (todos os nmeros). So Paulo: SBM, 2006.

    Revista Eureka!. (todos os nmeros). Rio de Janeiro: OBM/SBM, 2006.

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