1

FUNÇÕES

1 – Noção Intuitiva de função

Com freqüência encontramos em matemática relações entre duas grandezas variáveis. Observemos

uma situação :

Exemplo : Seja um quadrado de lado l .

Designando por p a medida do perímetro desse quadrado, podemos estabelecer entre

p e l a seguinte relação expressa pela fórmula matemática :

Notamos então, que a medida p do perímetro depende da medida l do lado do quadrado, o que

Pode ser verificado pela tabela seguinte :

Medida do

Lado (l)

Medida do

Perímetro (p)

1 m

2 m

3,5 m

3 m

4,5 m

7 m

10 m

Pela tabela , observamos que :

A medida l do lado do quadrado é uma grandeza variável

A medida p do perímetro do quadrado é uma grandeza variável

A todos os valores de l estão associados valores de p

A cada valor de l está asociado um único valor de p

Dizemos então:

a) A medida p do perímetro de um quadrado é dada em função da medida l do lado

b) A relação p = 4.l chama-se lei de associação ou fórmula matemática desta função.

2 – Noção de função através de conjuntos 1º exemplo:) Dados os conjuntos A = { -1, 0, 1, 3} e B= {-6, -5, -3, -2, -1, 1, 3 }, Seja a relação de

de A em B expressa por y = 2x –3 , com x ByeA , temos :

l

2

2º exemplo: Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2, 5 } e B = { -5, 0, 1, 8, 16 } e uma relação expressa por

y = 3x+1 , com x ByeA , temos :

3ºexemplo: Dados os conjuntos A = {-3, -1, 1, 2 } e B = { 1, 3, 6, 9 } e uma relação expressa por

y = x2 , com x ByeA , temos :

4ºexemplo: Dados os conjuntos A = 16, 81} e B = { - 4, 4, 9 } e uma relação expressa por

y = x , com x ByeA , temos :

OUTROS EXEMPLOS

1º) Seja f uma relação de A = { 0, 1, 2 } em B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } expressa pela fórmula y = x + 3,

com x ByeA . Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B.

3

2º) Seja uma relação de A={-4,-3,-2,-1,0} em B={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,} definida por F(x)= 2x + 5.

Fazendo um diagrama , verifique se temos uma função de A em B e, em caso afirmativo, determine o

domínio e a imagem.

3º) Seja f uma relação de A = { -3, 0, 1, 2, 4 } em B = {12, 11, 1,3 ,6, 18, 20 } expressa pela fórmula

y = x2 + 2, com x ByeA . Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B.

4º)Dados A={0,1,2,3,4} e B={-4,-3,-1,0,2,5,12} e uma relação de A em B expressa por y= x2- 4 , faça um

diagrama e diga se temos uma função de A em B e, em caso afirmativo, determine o domínio e a

imagem.

5º) Dada a função f:R R/ f(x) = 5x+4, calcule o valor de f(5).

4

6º) Dada a função f:RR/ f(x)=3x + 1, calcule:

a) f(-2)=

b) f(-1) =

c) f(0)=

d) f(3)=

e) f(5)=

f) f( 1

2) =

7º) Sendo f:R R/f(x)=x2 3x 10 , calcule:

a) f(2)=

b) f(1)=

c) f(0)=

d) f(3)=

e) f(5)=

f) f( 1

2)

8º) Dada a função f(x)= 4x + 3 , determine os valores de x para que:

a) f(x) = 4 b) f(x) = 1

2

9º) Seja a função definida por f(x)= x2 3x 4. Determine os valores de x para que se tenha :

a) f(x) = 6 b) f ( x) = 14

5

10º) Seja a função definida por f(x)= 3x2 2x 1. Determine os valores de x para que se tenha :

b) f(x) = 0 b) f ( x) = 4

EXERCÍCIOS

1º) Seja uma relação de A={-1,0,1,3} em B={-2,-1,0,2,4,6,8} expressa pela fórmula y=2x. Faça um

diagrama e diga se temos ou não uma função de A em B. Em caso afirmativo, determine o domínio e

a imagem.

2º) Dados A={-2,-1,1,3} e B={-8,-4,-1,1,10,27,30} e uma relação de A em B expressa por y=x3 , faça um

diagrama e diga se temos uma função de A em B. Em caso afirmativo, determine o domínio e a

imagem.

3º) Dados A={0,1,2,3,4} e B={-4,-3,-1,0,2,5,13} e uma relação de A em B expressa por y=3x – 1 , faça

um diagrama e diga se temos uma função de A em B. Em caso afirmativo, determine o domínio e a

imagem.

6

4º) Seja uma relação de A={-3,-2,-1,0,3} em B ={-4,-2,-1,0,2,3,4,5,10} definida por F(x) = 2x + 4.

Fazendo um diagrama , verifique se temos uma função de A em B e, em caso afirmativo, determine o

domínio e a imagem.

5º) Dada a função f:RR/ f(x )= 5x + 2, calcule:

5

1)

4

3)

)1()

)4()

)3()

)2()

ff

fe

fd

fc

fb

fa

6º) Dada a função f:RR/ f(x )= 7x – 30 , calcule os valores de x para que :

8

5)()26)() xfbxfa

7º) Dada a função f:RR/ f(x )= 4x + 3, calcule:

a) f(-3)= e) f(5)=

b) f(-2) f(

3

2

c) f(0)= g)

5

1

d) f(2)=

8º) Determine o conjunto imagem da função f: {-2,0, 3 } R / f(x)= x2 + 3 .

9º) Dada a função f(x)= 8x + 7 , determine os valores de x para que:

a) f(x) = 55 b) f(x) = 3

7

7

10º) Seja a função definida por f(x)=2x2

– 5x + 2 . Determine os valores de x para que se tenha :

a) f(x) = – 1 b) f(x) = 9

11º) Dadas as funções f(x)= 2x –3 e g(x) = –3x + 2, calcule o valor de f(1) + g(–2).

12º) Dada a função f(x)= 20x –30, calcule o valor de x para que se tenha:

a) f(x) = 30 b) f(x) = –20

13º) Dada a função f(x) = 1 – 1

5x , calcule :

a) f(0)= d) f( 1

5)

b) f(–1)= e) f(– 2

3)

c) f(2)=

14º) Seja a função definida por f(x)=2x2

– 5x + 2 . Determine os valores de x para que se tenha :

b) f(x) = 12 b) f(x) = 0

8

3 - GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO NO PLANO CARTESIANO

O sistema cartesino é constituído por dois eixos , x e y , perpendiculares entre si. O eixo x é

denominado eixo das abscissas e o eixo y é denominado eixo das ordenadas. Essas eixos dividem o plano

em quatro regiões chamadas quadrantes.

Este sistema é utilizado para localizar um ponto no plano. Cada ponto é determinado por um par

ordenado ( x , y ). Esse par ordenado representa as coordenadas do ponto.

Vamos marcar alguns pontos no plano. Acompanhe os exemplos :

1º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(1,4), B(5,3) , C(-2,3), D(-4,1), E(-3,-1), F(-1,4), G(2,-3) e

H(3,-5).

2º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(-2,1), B(-1,4) , C(2,-3), D(4,-1), E(3,1), F(5,4), G(-3,-3) e

H(-4,-5).

9

3º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(1,0), B(3,0) , C(5,0), D(-4,0), E(-2,0), F(0,2), G(0,4) ,

H(0,-3), I (0,-5) e J(0,-1).

4º) Marque no plano cartesiano os pontos A(1,3), B(0,4), C(-2,3), D(-2,1), E(-1,-1), F(1,-1) e G(2,1).

Una os pontos na ordem dada. Que figura obtemos?

5º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(0,2), B(3,2), C(3,1), D(5,3), E(3,5), F(3,4) e G(0,4). Una os

pontos na ordem dada. Que figura obtemos?

10

Exercícios

1º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(2,1), B(1,3) , C(-2,5), D(-4,2), E(-3,-4), F(-2,4), G(0,-2) e

H(3,-5).

2º) Marque no plano cartesiano os pontos A(4,1), B(2,5), C(-2,5), D(-4,1), E(-4,-2), F(-2,-4) ,G(2,-4) e

H(4,-2). Una os pontos na ordem dada. Que figura obtemos?

3º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(2,0), B(3,2), C(2,4), D(0,4), E(-1,3), F(-1,2) e G(0,0). Una

os pontos na ordem dada. Que figura obtemos?

11

4 – GRÁFICOS

4.1 - FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU

Toda a função do tipo F : R R / F(x) = ax + b é chamada função do 1º grau.

Assim são funções do 1º grau :

f(x) = 5x + 7

f(x) = - 7x + 4

f(x) = 4x

f(x) = x – 3

f(x) = 2x – 5

4.2 - GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU

Para construir o gráfico de uma função devemos encontrar pontos que satisfaçam a função.

Para isso atribuímos valores para x e calculamos o valor de y, montando uma tabela.

Veja os exemplos:

1º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = 2x – 1 .

Resolução:

2º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = – 3x+ 1 .

Resolução:

Tabela

x y

Tabela

x y

12

Pelos exemplos podemos concluir que o gráfico da função do 1ºgrau é sempre uma reta. Logo bastam

dois pontos para traçar esse gráfico. Veja os exemplos:

1º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x +2 .

Resolução:

2º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = –2x+ 3 .

Resolução:

Tabela

x y

Tabela

x y

13

Pelos exemplos podemos concluir também que :

se a > 0 a função do 1º grau é crescente.

Se a < 0 a função do 1º grau é decrescente

Exemplos:

1º) Diga se as funções abaixo são crescentes ou decrescentes e justifique:

a) F(x) = 3x + 2

b) F(x) = –4x – 7

c) F(x) = 3 – 2x

d) F(x) = – 7 + 5x

EXERCÍCIOS

1º) Construa, num sistema cartesiano, o gráfico das funções, dizendo em cada caso se a função é

crescente ou decrescente :

a) f(x) = x + 2 b) f(x) = -1 + 3x

c) f(x) = - x+ 2 d) f(x)= -1 - 3x

14

e)f(x) = 1 – 2x f) f(x) = 1

21x

15

4.3 - RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU

Denomina-se zero ou raiz da função do 1º grau f(x) = ax + b o valor de x que anula a função,

ou seja, torna f(x) = 0.

Exemplos :

1º ) Calcular a raiz da função f(x) = 3x – 12 .

2º) Calcular a raiz de cada função abaixo :

a) f(x) = –3x + 5 b) f(x) = 5x +10 c) f(x) = 85

3

x

4.4 - INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DA RAIZ

Vamos construir o gráfico e calcular a raiz de cada função abaixo :

a) f(x) = x – 2 b) f(x) = – 2x + 6

16

Então , pelos exemplos podemos dizer que:

Geometricamente, raiz ou zero da função do 1º grau f(x) = ax + b, representa o “corte” no eixo x.

EXERCÍCIOS

1º) Calcule as raízes das seguintes funções do 1º grau :

a) f(x) = 2x – 6 d) f(x) =3 – 3x

b) f(x) = – 2x + 4 e) f(x) = – x

22

c) f(x) = 2x – 10 f) f(x) = 2 + x

2

g) f(x) = 10x + 25

17

2º) Faça o gráfico das funções f(x) = x – 2 , g(x) = –2x + 1 e h(x) = 3x - 2, num mesmo sistema

cartesiano. Identifique como crescente ou decrescente cada uma das funções.

4.5 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 1º GRAU

A função do 1º grau f(x) = ax+b , conforme os valores atribuídos a x , pode ser positiva ( f(x) >0 )

pode ser negativa ( f(x)<0 ) ou pode ser igual a zero ( f(x) = 0 ). Em outras palavras a função pode

variar entre positiva, negativa ou nula. Observe os exemplos :

1º) Dada a função f(x) = 2x – 4 , determinar os valores de x parta os quais :

a) f(x) = 0 b) f(x) > 0 c) f(x) < 0

18

2º) Dada a função f(x) = – 3x +6 , determinar os valores de x parta os quais :

a) f(x) = 0 b) f(x) > 0 c) f(x) < 0

Pelos exemplos podemos estabelecer o seguinte resumo :

Exemplos:

1º) Estude a variação do sinal de cada função do 1º grau abaixo :

a) f(x) = 5x – 15

b) f(x) = – 2x – 8

19

c) f(x) = 2x – 1

Exercícios:

1º) Estude a variação do sinal das seguintes funções do 1º grau :

a) f(x) = x + 5 e) f(x) = –3x + 6

b) f(x) = – 3x + 9 f) f(x) =1 - 5x

c) f(x) = 2 – 3x g) f(x) = x

31

20

d) f(x) = 2x + 5 h) f(x) = 2 + x

2

2º) Para que valores de x a função f(x) = 5x + 3 é positiva ?

3º) Para que valores de x a função f(x) = – 3x – 5 é negativa ?

5 - FUNÇÃO DO 2º GRAU ( OU FUNÇÃO QUADRÁTICA )

21

5.1 - DEFINIÇÃO

Função do 2º grau ou função quadrática é toda função definida pela fórmula matemática

F(x) = ax2 + bx + c , com a, b, c números reais e a 0.

Assim, são funções polinomiais do 2º grau :

f(x) = 3x2 +5x + 8

y = – x2 – 3x – 4

f(x) = x2 – 9

y = – 2x2 + 6x

f(x) = x2 – 2x + 1

y = 4x2

f(x) = 5 – 3x + 5x2

5.2 - RAÍZ DA FUNÇÃO DO 2º GRAU

Os valores reais de x para os quais se tem f(x) = 0 são denominados raízes ou zeros da função

do 2º grau .

EXEMPLOS:

1º) Determinar as raízes de cada uma das funções abaixo :

a) f(x) = x2 – 3x – 10

b) f(x) = x2 – 8x + 16

c) f(x) = x2 – 3x + 8

PELOS EXEMPLOS PODEMOS OBSERVAR QUE :

22

Se 0 , a função f(x) = ax2 + bx + c tem duas raízes reais diferentes.

Se = 0 , a função f(x) = ax2 + bx + c tem duas raízes reais iguais.

Se < 0 , a função f(x) = ax2 + bx + c não tem raízes reais.

EXERCÍCIOS

1º) Calcule a raíz de cada função do 2º grau abaixo :

a) f(x) = x2 – 25 b) y = x

2 – 10x + 21

c) f(x) = – x2 + 6x d) f(x) = x

2 + 4x + 8

e) y = – x2 + x + 6 f) f(x) = – 4x

2 + 4x – 1

6 - GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU

23

Para construir o gráfico da função do 2º grau precisamos marcar pontos no plano cartesiano.

Veja alguns exemplos :

1º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 – 2 .

Resolução:

2º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = – x2 +2 .

Resolução:

3º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 – 2x – 3 .

Tabela

x y

Tabela

x y

24

Resolução:

4º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = – x2 + 2x – 4 .

Resolução:

Tabela

x y

Tabela

x y

25