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7/26/2019 FUNCOES REAIS.pdf http://slidepdf.com/reader/full/funcoes-reaispdf 1/33  143 CAPÍTULO VI FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL. LIMITES E CONTINUIDADE 1. Introdução Dado um qualquer conjunto A   , se por um certo processo se faz corresponder a cada  x   A um e um só  y =  f (  x)   , diz-se que se definiu uma  função f  de  A   em R (simbolicamente,  f  : A     ) ou , como também se diz , uma  função real de variá- vel real  com domínio no conjunto  A . Ao conjunto  f (  A) dos valores  y que correspondem a pelo menos um x   A chama-se contradomínio da função:  f (  A) = { y :   x   A tal que y =  f (  x)}. A letra  x (ou qualquer outra) que representa o elemento genérico do domínio  A da função , chama-se variável independente ; por seu lado, a letra  y (ou qualquer outra) que representa o elemento de f (  A) que a função faz corresponder a um valor genérico do domínio, é designada por variável dependente ( no sentido de que o valor por ela assumi- do depende do valor dado à variável independente  x). Quando se escreve,  y =  f (  x) com domínio em  A , quer-se significar abreviadamente que estamos em presença de uma função  f  :  A     que a cada  x   A associa y =  f (  x). É mesmo frequente usar a expressão ainda mais abreviada “  função f (  x)  , com domínio em A ” ou mesmo apenas “  função f (  x) ” sempre que a referência ao domínio seja dispen-sável por poder o mesmo ser subentendido. Como é sabido, o cálculo dos valores  f (  x) que a função faz corresponder a cada  x   A faz-se normalmente (mas nem sempre) utilizando uma expressão analítica (ou, menos frequentemente, utilizando diversas expressões analíticas válidas cada uma delas numa  parte do domínio). Quando os valores  f (  x) são calculados mediante utilização de uma expressão analítica e não se explicita o domínio da função, subentende-se que o mesmo coincide com o conjunto de valores de  x para os quais as operações envolvidas na expressão analítica têm significado no campo real . Assim, por exemplo, quando nos referimos à função  y =  x  ou  f (  x) =  x  , estamos de modo abreviado a pensar na função  f  :  A  = [ 0  ,  + ∞  [    que a cada  x   0  faz corresponder o número  y  =  x  . Em vez da representação analítica de uma função usa-se muitas vezes, por ser sugestiva, a sua representação gráfica; esta obtém-se no plano, fixando um referencial cartesiano e representando os pontos de coordenadas [ x , f (  x)] para todos os  x   A . Dada a função  f (  x), com domínio em  A , considere-se um subconjunto B   A . O conjunto f (  B) = { y :   x   B : y  =  f (  x)} é a imagem ou transformado do conjunto  B, dado pela função ; assim, o contradomínio  f (  A) não é mais que o transformado ou imagem do domínio da função. Caso o conjunto f (  B) seja majorado, diz-se que a função
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    CAPTULO VI

    FUNES REAIS DE VARIVEL REAL. LIMITES ECONTINUIDADE

    1. Introduo

    Dado um qualquer conjuntoAR, se por um certo processo se faz corresponder a cadaxA um e um s y=f(x) R, diz-se que se definiu uma funo f de ARem R(simbolicamente,f:ARR) ou , como tambm se diz , uma funo real de vari-vel real com domnio no conjunto A . Ao conjunto f (A) dos valores y quecorrespondem a pelo menos umxAchama-se contradomnioda funo:

    f (A) ={y : x A tal que y=f (x)}.

    A letra x (ou qualquer outra) que representa o elemento genrico do domnio A dafuno , chama-se varivel independente ; por seu lado, a letra y (ou qualquer outra)que representa o elemento def (A) que a funo faz corresponder a um valor genrico dodomnio, designada por varivel dependente( no sentido de que o valor por ela assumi-do depende do valor dado varivel independente x).

    Quando se escreve,y=f (x) com domnio emA, quer-se significar abreviadamente queestamos em presena de uma funo f:ARRque a cada xA associay=f (x). mesmo frequente usar a expresso ainda mais abreviada funo f (x) , com domnioem A ou mesmo apenas funo f (x) sempre que a referncia ao domnio seja

    dispen-svel por poder o mesmo ser subentendido.

    Como sabido, o clculo dos valores f (x)que a funo faz corresponder a cada xAfaz-se normalmente (mas nem sempre) utilizando uma expresso analtica (ou, menosfrequentemente, utilizando diversas expresses analticas vlidas cada uma delas numa

    parte do domnio). Quando os valoresf (x) so calculados mediante utilizao de umaexpresso analtica e no se explicita o domnio da funo, subentende-se que o mesmocoincide com o conjunto de valores de x para os quais as operaes envolvidas naexpresso analtica tm significado no campo real . Assim, por exemplo, quando nos

    referimos funo y= x ou f (x) = x , estamos de modo abreviado a pensar na

    funo f: A=[0,+[ R que a cada x0 faz corresponder o nmero y= x .

    Em vez da representao analtica de uma funo usa-se muitas vezes, por ser sugestiva,a sua representao grfica; esta obtm-se no plano, fixando um referencial cartesiano e

    representando os pontos de coordenadas [x , f (x)]para todos os xA.

    Dada a funo f (x), com domnio em A, considere-se um subconjuntoBA. Oconjuntof (B)={y : x B :y=f (x)} a imagemou transformado do conjuntoB,dado pela funo ; assim, o contradomnio f (A) no mais que o transformado ouimagem do domnio da funo. Caso o conjuntof (B) seja majorado, diz-se que a funo

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    f (x) majoradano conjuntoB; e a =Sup f (B)= )(xfSupBx

    chama-sesupremo da fun-

    o no conjuntoB. Caso o conjuntof (B) seja minorado, diz-se que a funof (x) mino-radano conjunto B; a =Inf f (B) =Inf f x

    x B( ) chama-se nfimo da funo no conjunto

    B.Quandof (x) seja majorada e minorada em B, diz-se limitada nesse conjunto existindoento finitos , = )(xfSup

    Bxe = )(xfInf

    Bx.

    A funof (x) , com domnio emA, diz-se injectivase e s se,

    x, xA , xx f (x) f (x),

    ou seja, se e s se a valores distintos do domnio correspondem valores do contradomnio

    tambm distintos. Neste caso f (x) admitefuno inversaque a funo f 1 (y ) que a

    cada yf (A) faz corresponder o xA nico tal que y=f (x) .

    Pode porm acontecer que, embora f (x) no seja injectiva no seu domnioA, o seja emcertoBA. Nesse caso, a funo, embora no invertvel quando considerada definidaem todo o seu domnio, pode inverter-se se apenas se considerar definida nessa parte Bdo domnio onde injectiva. Assim, por exemplo :

    a) A funoy=x2, com domnio em R, no admite inversa; no entanto, a funo podeinverter-se em qualquer dos intervalos [0 , + [ ou ] - , 0] , obtendo-se comoinversas nesses intervalos, respectivamente, x= + y e x= y .

    b) A funo y=sen x, com domnio em R , no tem inversa (por no ser injectivano seu domnio); no entanto, a funo pode inverter-se por exemplo em B=[-/2 ,

    /2], obtendo-se como inversa x=arc sen y(com -/2 arc sen y /2 ).

    Sejay=g (x) uma funo real de varivel real com domnio A e z=f (y) uma outrafuno real de varivel real com domnio B . Vamos ver em que condies e como sedefine a funo composta de f com g, funo composta que como se sabe se representausualmente por f o g:

    1 Caso :Se B=g (A), a todo oxA corresponde y=g (x) g (A) =Be, por suavez, a cada y=g (x) g (A) =Ba funoffaz corresponder z=[f o g](x)=f [g (x)] .A funo composta tem assim como domnio o conjuntoA, que igualmente o domnioda funo g (x).

    2 Caso :Caso seja Bg (A) e Bg (A) , considere-se o conjuntoA0A detodos os xA que fazem y=g (x) B. Restringindo a definio de g (x) a A0 e a de

    f (y)a g (A0 ) , com as funes assim restringidas estamos no primeiro caso e podemos

    ento definir a funo composta z=[f o g](x)=f [g (x)], para todo o x A0 . Nestecaso a funo composta tem domnio no em todo oAmas apenas emA0A.

    3 Caso :Caso seja Bg (A) e Bg (A) =, a composio impossvel.

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    Vejamos exemplos de composio de funes para cada um dos dois casos possveisreferidos anteriormente:

    1)Sendo y =g (x) =x2 com domnio em A=]-,+[ e z=f (y) = y com domnioem B=g (A) =[0 ,+[ , a funo composta z=[f o g](x) =f [g(x)] = x2 = | x |tem domnio em A=]-,+[ .

    2)Sendo y =g (x) =x3 com domnio em A=]-,+[ e z=f (y) = y com domnio

    em B=g (A) =[0 , +[ , a funo composta z=[f o g](x) =f [g(x)] = x3 temdomnio em A0=[0 , +[ (pois s parax0 , o valory =x3 pertence ao domnio dafunof ).

    Como a composio de f com g , quando estas funes se encontrem no segundo caso,se pode reduzir sempre ao 1 caso, por restrio adequada das funes envolvidas adomnios convenientes, os resultados tericos que envolvem funes compostas so porvezes enunciados no pressuposto de o domnio da funo f coincidir com o contrado-mnio da funo intermdia g, ou seja,B=g (A) , sendo depois adaptados ao caso emque seja Bg (A) e Bg (A) . Em particular, se a verificao de determinadashipteses por parte def egimplicar uma certa tese relativamente a f o g , no pressupostode serB=g (A) , o mesmo resultado vlido para a funo composta no caso de serBg (A) e Bg (A) desde que as mesmas hipteses sejam verificadas pelasrestries de g e f , respectivamente , aos conjuntosA0 e g (A0 ) em que A0 designa oconjunto de todos osxAque fazem y=g (x) B.

    Para terminar esta rpida reviso dos conceitos bsicos sobre funes reais de varivelreal, falta rever a definio de funo crescente e decrescente. Sendo f (x) uma funoreal de varivel real com domnioAe sendo BA :

    a) A funo diz-se crescente em sentido latose e s se,

    x,xB , x

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    As funes crescentes ou decrescentes recebem a designao genrica de funesmontonas (em sentido lato ou em sentido estrito).

    2. Definio de limite de uma funo num ponto

    Considere-se a funo f (x) com domnio em Ae seja aum ponto de acumulao de A(ponto de acumulao prprio ou imprprio, pertencente ou no ao conjunto). jconhecida do leitor a definio de Heinede limite def (x) quandoxtende para a, ou maissimplesmente limite de f (x) no ponto a:

    l i m f x bx a

    =( ) xnA , xn a limxn=a lim f (xn) =b,

    podendo nesta definio b ser real , + ou - (tal como a) .

    Embora esta definio seja suficiente para uma abordagem elementar da teoria doslimites das funes reais de varivel real, nomeadamente permitindo uma demonstraomuito simples das regras mais usuais do clculo de limites, em matrias mais avanadas por vezes conveniente utilizar uma outra definio alternativa (equivalente de Heine).Trata-se da definio de Cauchy:

    l i m f x bx a

    =( ) >0 , =() > 0 : xV(a) [A - {a}]f (x) V(b) ,

    podendo nesta definio b ser real , + ou - (tal como a) .

    No teorema seguinte estabelece-se a equivalncia entre ambas as definies:

    Teorema 1 : As duas definies de limite, segundo Heine e segundo Cauchy, soequivalentes

    Demonstrao : a) Supondo que l i m f x bx a

    =( ) segundo Cauchy, considere-se uma

    qualquer sucesso xn, de termos pertencentes ao domnio Ada funo, tal que xn a elimxn=a . Fixado um qualquer >0, determine-se o correspondente >0com o qualse verifica a condio que traduz a definio de Cauchy. Com esse , determine-se a

    ordem a partir da qualxnV(a) ; a partir dessa ordem tem-se xnV(a) [A - {a}]o que implica ser f (xn ) V(b), ficando assim provado que lim f (xn ) =b. Em conclu-so: tem-se l i m f x b

    x a=( ) segundo Heine.

    b) Supondo agora que l i m f x bx a

    =( ) segundo Heine, admitamos por absurdo que tal

    no sucedia segundo a definio de Cauchy. Existiria ento um particular >0 para oqual , com qualquer >0, sempre se encontraria umx V(a) [A - {a}] tal quef (x)V(b) . Tomando n =1/n, para n=1 , 2 , ... , existiriam nmeros reais

    xnV1/n(a) [A - {a}] tais quef (xn)V(b) . Claro que os xn pertenceriam aA ,

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    seriam distintos de ae lim xn=a; no entanto, como f (xn)V(b) para todo o n, noseria lim f (xn) =b , contrariamente hiptese de ser l i m f x b

    x a=( ) segundo Heine .

    3 - Condio necessria e suficiente para existncia de limite finito

    Pode demonstrar-se com facilidade uma condio necessria e suficiente para existnciade limite finito de uma funo num ponto. Trata-se de uma condio semelhante con-dio necessria e suficiente de convergncia de uma sucesso (condio de Cauchy) .

    Teorema 2 :Sendo f (x)uma funo com domnio em A e a um ponto de acumulao deA , a condio necessria suficiente para que exista finito l i m f x

    x a( ) (com a finito, +

    ou -) que,

    >0 , =()>0 : x, xV(a) (A - {a}) | f (x) f (x)| 0 , =()>0 : x V(a) (A - {a}) | f (x)- b | m>n() , tem-se xn, xmV(a) (A - {a}) , o que

    implica | f(xn) f (xm)|0 , =()>0 : xV(a) [A - {a}]f (x) V(b) ,

    implica a condio que define segundo Cauchy o sublimite relativo ao conjuntoB,

    >0 , =()>0 : xV(a) [B - {a}]f (x) V(b) .

    Daqui resulta que existindo em x=a sublimites distintos para a funo esta no podeter limite no referido ponto.

    O teorema seguinte tem utilidade prtica na determinao dos possveis sublimites deuma funo num ponto.

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    Teorema 3 :Dada a funo f (x)com domnio em A , sendo a um ponto de acumulaode A (com a finito, + ou -) esendo B1, B2, , Bk conjuntos em nmero finito, doisa dois disjuntos, tais que B1 B2 Bk =A , admita-se que a ponto deacumula-o de cada um dos Bj e que existem os sublimites j da funo em x = arelativos a cada um dos referidos Bj . Nessas condies nenhum distinto de todos osj pode ser sublimite da funo em x=a

    Demonstrao : Seja distinto de todos os j . Nessas condies possvel fixar >0suficientemente pequeno de forma que a vizinhana V() no tenha pontos em comum

    com nenhuma das vizinhanas V(j ) , j=1 , 2 , , k . Como cada j por hiptesesublimite de f (x) em x=a relativamente ao respectivoBj, existem valores j>0 taisque,

    xVj

    (a) [Bj- {a}]f (x) V(j ) ( j=1 , 2 , , k) .

    Com =Min{1, 2, , k}>0 tem-se ento, por serB1 B2Bk =A,

    xV(a) [A - {a}]f (x) Uk

    j 1=V(j ) f (x) V() .

    Pode agora ver-se com facilidade que no pode ser sublimite de f (x) emx=arela-tivo a certo conjunto B A de que a seja ponto de acumulao . Se o fosse, para o>0 fixado acima como para qualquer outro existiria um *positivo tal que

    xV*(a) [B - {a}]f (x) V() ,

    e ento para os valores xB - {a} pertencentes mais estreita das vizinhanas V(a) eV*(a) e tais valores existem por ser a ponto de acumulao deB ter-se-ia simulta-

    neamente f (x) V() e f (x) V() o que manifestamente absurdo

    O teorema precedente no vlido se os conjuntos Bj envolvidos forem em nmeroinfinito, falhando a demonstrao neste caso porque ento nada garante que seja

    Min{1, 2, , k, }>0 e tal essencial para a validade do argumento apresentado.

    Se , nas condies do teorema precedente os j forem todos iguais , ou seja, se tivermos

    1 =2 = = k = tem-se que para cada >0 existem j>0 tais que,

    xVj

    (a) [Bj- {a}]f (x) V() ( j=1 , 2 , , k) .

    Com =Min{1, 2, , k}>0 tem-se ento, por serB1 B2Bk =A,

    xV(a) [A - {a}]f (x) V() .

    Daqui se tira que l i m f xx a

    ( ) =. Pode pois enunciar-se o seguinte

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    Teorema 4 :Dada a funo f (x)com domnio em A , sendo a um ponto de acumulaode A (com a finito, + ou -) esendo B1, B2, , Bk conjuntos em nmero finito, doisa dois disjuntos, tais que B1 B2 Bk =A , admita-se que a ponto deacumula-o de cada um dos Bj , que existem os sublimites j da funo em x = arelativos a cada um dos referidos Bj e que tais sublimites so todos iguais a certo .

    Nessas condies l i m f xx a

    ( ) =

    Refira-se que tal como no caso do teorema 3, o teorema precedente no vlido se osconjuntosBjenvolvidos forem em nmero infinito, falhando a demonstrao neste caso

    porque ento nada garante que sejaMin{1, 2, , k, }>0 e tal essencial paraa validade do argumento apresentado.

    Do teorema 4 e das consideraes que precedem o teorema 3 resulta imediatamente oseguinte,

    Teorema 5 :Dada a funo f (x) com domnio em A , sendo a (finito) um ponto deacumulao de A e bem assim dos conjuntos D =A[a ,+[ e E=]-,a ]Aa condio necessria e suficiente para que exista l i m f x

    x a( ) que sejam iguais os

    limites laterais f (a +0) e f (a 0) , tendo-se ento que

    l i m f xx a

    ( ) =f (a +0) =f (a 0)

    No caso especial das funes montonas, tem-se ainda o seguinte teorema de frequente

    aplicao:

    Teorema 6 :Seja f (x)com domnio em A e considere-se a ponto de acumulao, pr-prio ou imprprio, de A. Ento:

    a) Sendo a finito : 1) Se a ponto de acumulao de D = [ a , + [ A e f montona em certo B =]a ,a +[A , ento existe f (a +0) ; 2)Se a ponto deacumulao de E =]-,a ]A e f montona em certo B =]a - ,a [A ,ento existe f (a 0);

    b)Sendo a = + , se f montona em certo B =]1/ , +[ A , ento existel i m

    x +f(x) ;

    c)Sendo a = - , se f montona em certo B =]- , -1/[A , ento existel i m

    x f(x)

    Demonstrao : Vamos fazer a demonstrao apenas para o caso a1)na hiptese em quef montona crescente. Nos restantes casos a argumentao semelhante, pelo que sedeixam como exerccio

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    Seja o nfimo de f(x) em B e vejamos que se tem =f (a +0) . Tratemos emseparado cada um dos dois casos possveis, finito ou =-.

    Se for finito, dado um qualquer >0 , existe um x B tal que f (x)

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    lim h (xn ) = limf x

    g x

    n

    n

    ( )

    ( )= /,

    com as convenes seguintes:

    /() =0 , ()/= (real positivo) , ()/= m(real negativo) ,

    e casos de indeterminao : 0/0 , ()/() e ()/0 . Ter-se- ento, pela definio delimite segundo Heine,

    l i m h xx a

    ( ) = l i mf x

    g xx a

    ( )

    ( )= / =

    l i m f x

    l i m g x

    x a

    x a

    ( )

    ( ) ,

    com as convenes e casos de indeterminao supramencionados.

    b) Limite da exponencial de base natural -Dada a funo f (x), seja a um ponto deacumulao do respectivo domnio e admita-se que existe o limite = l i m f x

    x a( ) .

    Considere-se a funo h(x) = ef (x), cujo domnio coincide com o de f (x) . Ento,dada uma qualquer sucesso de termosxn pertencentes ao domnio de h (x), tal quexna e lim xn=a, tem-se , lim f (xn ) = (definio de limite segundo Heine) ; ser

    portanto, lim h(xn ) =lim ef xn( ) = e, com as convenes seguintes: e+=+ e e

    =0 . Tem--se portanto (definio de limite segundo Heine) )(xfax

    eiml

    = e , com as

    convenes referidas.

    c) Limite da funo logartmica de base natural -Dada a funof (x), seja aum pontode acumulao do respectivo domnio e admita-se que existe o limite = l i m f x

    x a( ) .

    Considere-se a funo h(x) = log f (x), cujo domnio formado pelo pontos do dom-nio de f (x)que fazemf (x) >0 ,e admita-se que a ponto de acumulao do dom-nio de h(x).Ento, dada uma qualquer sucesso de termos xn pertencentes ao domniode h(x), tal que xna e lim xn=a, tem-se , lim f (xn ) =0 (definio de limitesegundo Heine) ; ser portanto, lim h(xn) =lim log f (xn )= log , com as convenes

    seguintes: log (+ ) = + e log 0 = - . Tem--se portanto (definio de limitesegundo Heine) )(xfogliml

    ax = log , com as convenes referidas.

    Tambm as frmulas de Bernoulli estudadas no mbito do clculo de limites desucesses se adaptam com facilidade, de modo a poderem ser utilizadas nolevantamento de indeterminaes que surjam no clculo de limites de funesque envolvamexponenciais e logaritmos. Assim, sendo u = u(x) uma funo com domnio em A esendo aum ponto de acumulao deste conjunto, admita-se que l i m u x

    x a( )=0 . Tem-se,

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    e u(x) =[ ] [ ] [ ]

    [ ])(!

    )(

    !)1(

    )(

    !2

    )()(1

    12

    xum

    xu

    m

    xuxuxu m

    mm

    +

    ++++

    L ,

    e pode ver-se sem dificuldade que, l i m u xx a

    ( )= 0 [ ]l i m u xx a

    m

    ( ) = 1. De facto,

    sendo l i m u xx a

    ( )=0 , se considerarmos uma qualquer sucesso xn de valores do

    domnio de u (x) , tal que xna e lim xn=a, tem-se , lim u(xn) = 0 (definio delimite segundo Heine) e, portanto, lim [ ]m nu x( ) =1 (mfixo); ento , novamente pela

    definio de limite segundo Heine, conclui-se que [ ]l i m u xx a

    m

    ( ) =1 .

    Argumentos semelhantes permitem adaptar as trs outras frmulas de Bernoulliestudadas :

    log [1+ u(x)] =u(x)- [u(x)]2

    .[u(x)] ,com l i m u x

    x a( )=0 [ ]l i m u x

    x a ( ) =1/2 ; tambm,

    log [1+ u(x)] =u(x).[u(x)] ,

    com l i m u xx a

    ( )=0 [ ]l i m u xx a

    ( ) =1; e finalmente,

    [1+ u(x)] =1 +u(x)..[u(x)] ,

    com l i m u xx a

    ( )=0 [ ]l i m u xx a

    ( ) =1.

    A utilizao prtica destas frmulas no clculo de limites de funes faz-se nos mesmostermos que no clculo dos limites de sucesses. Assim, por exemplo,

    l i me

    x l o g xx

    x

    +

    +

    1 1

    1 1

    /

    . ( / )= l i m

    x

    x xx +

    + 1 1 1

    11( / ) .

    . ( / ) .

    = l i m

    xx +

    1

    . =0.

    6 - Limites das funes trigonomtricas e suas inversas

    Os limites das funes trigonomtricas obtm-se com grande facilidade a partir dosresultados propostos para demonstrao nos exerccios 17 e 18 do texto sobre successesreais . Assim,

    a) l i m u xx a

    ( ) =b (finito) [ ]l i m sen u xx a

    ( ) =sen b. Com efeito, sendo l i m u xx a

    ( ) =b

    (finito), se considerarmos uma qualquer sucesso xn de valores do domnio de u(x) ,tal que xna e lim xn=a , tem-se , lim u(xn ) = b (definio de limite segundo

    Heine) e, portanto, de acordo com o resultado da alnea c) do supracitado exerccio 17,

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    ser lim sen [u(xn)] =sen b; ento, novamente pela definio de limite segundo Heine,pode concluir-se que [ ]l i m sen u x

    x a( ) =sen b.

    Do mesmo modo, com argumentao semelhante baseada agora na alnea d) do mesmoexerccio,

    b) l i m u xx a

    ( ) =b (finito) [ ]l i m co s u xx a

    ( ) =cos b.

    E ainda, tambm com argumentao semelhante baseada agora na alnea e) do mesmoexerccio,

    c) l i m u xx a

    ( ) =b [finito, diferente de(2k+1)/2] [ ]l i m tg u xx a

    ( ) =tg b.

    Relativamente tangente, refira-se ainda que no caso de ser b=(2k+1)/2 a existnciaou no de limite para tg[u(x)] depende do modo como u(x) tende para b=(2k+1)/2quandoxtende para a: se tende por valores menores que b, o limite da tangente +,se tende por valores maiores que b, o limite da tangente -, no existindo limite foradestes casos; estas concluses obtm-se de imediato exprimindo a tangente em termos doseno e do coseno e estudando o comportamento destas duas funes quando u(x) tende

    para bdos diversos modos possveis.

    Com base no resultado constante do supracitado exerccio 18, conclui-se ainda deimediato (mais uma vez utilizando a definio de Heine) que,

    l i m u xx a

    ( ) =0 [ ]l i m sen u xu xx a

    ( )( )

    = 1 ,

    resultado muito til para muitas aplicaes.

    Vejamos agora os limites das funes trigonomtricas inversas, comeando por estudaros casos,

    l i m a r c sen xx a

    ( ) , l i m a r c co s xx a

    ( ) e l i m a r c t g xx a

    ( ) .

    Relembremos primeiro que :y=arc sen x a funo que se obtm invertendo x=sen yno intervalo[-/2 ,/2] onde esta funo injectiva; y= arc cos x a funo quese obtm invertendo x = cos y no intervalo [0 ,] onde esta funo injectiva ;

    y =arc tg x a funo que se obtm invertendo x=tg y no intervalo]-/2 ,/2 [onde esta funo injectiva.

    E relembremos tambm que: o domnio de y = arc sen x o intervalo [ -1 , 1] e ocontradomnio o intervalo [-/2,/2]; o domnio de y=arc cos x o intervalo[-1 , 1] e o contradomnio o intervalo [0 , ]; o domnio de y=arc tg x o

    intervalo ]-, +[ e o contradomnio o intervalo ]-/2 , /2[ .

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    Vejamos ento que l i m a r c se n xx a

    ( ) =arc sen a (-1 a1) . Seja xnuma qualquer

    sucesso de elementos de [-1 , 1], tal que lim xn=a. Fazendoyn= arc sen xn, ou seja ,xn =sen yn , tem-se yn [ - /2 , /2] e admita-se por absurdo que esta sucessopoderia no ter como limite arc sen a; existiria ento uma subsucesso y

    n tal que

    =limyn arc sen a ( -/2 /2) ; mas ento,

    xn =seny

    n =limy

    n limx

    n=sen,

    e como, por outro lado, lim xn=a limxn =a, ter-se-ia necessariamente a =sen

    com -/2 /2, ou seja, =arc sen a ; deveria ento ter-se ao mesmo tempo arc sen a e = arc sen a o que impossvel. Em concluso : a qualquersucesso xn de elementos de [-1 , 1], tal que lim xn=acorresponde uma sucesso yn =arc sen xn tal que,

    lim yn =limarc sen xn = arc sen a,

    o que de acordo com a definio de limite segundo Heine permite concluir quel i m a r c se n x

    x a( ) =arc sen a, como se pretendia provar.

    Um argumento anlogo permite concluir que l i m a r c c o s xx a

    ( ) =arc cos a .

    Vejamos agora o caso de l i m a r c t g xx a

    ( ) , considerando separadamente os casos : a

    finito ; a=+; a=-.

    1 Caso : a finito . Neste caso, um argumento semelhante ao utilizado no caso dafuno y = arc sen x permitiria concluir que l i m a r c t g x

    x a( ) = arc tg a.

    2 Caso :a=+. Considere-se uma qualquer sucessoxn de elementos de ]-,+[,tal que lim xn=+. Fazendoyn=arc tg xn, ou seja,xn=tg yn , tem-se yn]-/2 ,/2[e admita-se por absurdo que esta sucesso poderia no ter como limite /2 ; existiriaento uma subsucessoy

    ntal que =limy

    n /2 (-/2

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    3 Caso : a = - . Um argumento semelhante ao utilizado no caso anterior permiteconcluir que l i m a r c t g x

    x ( ) =-/2.

    Os resultados precedentes generalizam-se aos casos das funes : y = arc sen u(x) ,com -1 u(x) 1 ; y=arc cos u(x) , com -1 u(x)1 ; e y=arc tg u(x) .

    Vejamos a ttulo de exemplo o caso da funo y = arc sen u(x) , valendo para as restan-tes uma argumentao semelhante. Vamos ento provar que,

    l i m u xx a

    ( ) =b l i m a r c s en u xx a

    ( ) =arc senb.

    Considere-se uma sucesso xn de valores do domnio de u=u(x), tal que xna elimxn=a ; tem-se ento, pela definio de limite segundo Heine , que a sucessoun =u(xn )tende para b , porque por hiptese l i m u x

    x a( ) =b; mas de lim un =lim u(xn) =

    =b resulta, de novo pela definio de limite segundo Heine,lim arc sen un = lim arc sen u(xn)=arc sen b,

    porque como se viu anteriormente l i m a r c sen uu b

    = arc sen b e , por outro lado,

    -1 u(x)1 -1 b 1; fica assim provado que,

    l i m a r c sen u xx a

    ( ) =arc senb .

    Para as outras duas funes trigonomtricas inversas, tem-se :

    l i m u xx a

    ( ) =b l i m a r c co s u xx a

    ( ) =arc cosb (-1b 1)

    l i m u xx a

    ( ) =b l i m a r c t g u xx a

    ( ) =

    a r c t g b b

    b

    b

    ,

    / ,

    / ,

    < < +

    = +

    =

    2

    2

    7. Continuidade pontual

    Seja f (x) uma funo real de varivel real com domnio Ae seja aA . Diz-se quef (x) contnua em x=a se e s se,

    >0 , =() : xV(a) A f(x) V[f(a)],

    ou seja, se e s se,

    >0 , =() : |x - a |

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    Quando aA no seja ponto de acumulao deA( nesse caso diz-se que a pontoisolado do domnio da funo), existe sempre certa vizinhana de a em que o nico

    ponto deAque a se encontra o prprio a; portanto, neste caso, a condio que definea continuidade de f (x) em x = a sempre verificada. Quando a A seja ponto deacumu-lao deA, a condio que define a continuidade def (x) emx=aequivale a serl i m f x

    x a( ) =f (a) .

    Com um argumento semelhante ao utilizado quando se demonstrou a equivalncia dasdefinies de limite de Heine e Cauchy, pode concluir-se que aA (ponto isolado ouno) ponto de continuidade da funo f (x) se e s se para qualquer sucesso xndeelementos de A que tenha por limite o real a a correspondente sucesso f(xn ) tiver

    por limite f(a) .

    O teorema seguinte garante a continuidade da funo composta z=[f o g](x) a par-

    tir da continuidade das funes y=g(x) e z=f (y).

    Teorema 7 :Admita-se que a funo y =g(x)com domnio A contnua em certo pontoa A e que a funo z =f (y)com domnio B =g(A) contnua no ponto correspondenteb =g(a)B . Ento a funo composta [f o g](x) contnua em x =a

    Demonstrao: A continuidade de f(y) em b =g(a)e de g(x) em atraduz-se respectiva-mente por,

    1) > 0 , =() : yV(b) g(A) f (y) V[f(b)]

    2) >0 , =() : x V(a) A g(x) V[g(a)] ,Ento, dado >0 , determina-se =() pela condio 1) e a partir deste determina-se = ( ) = [ ( )] pela condio 2); claro que ento, com o e assimdeterminados,

    xV(a) A g(x) V[g(a)] g(x) V[g(a)]g(A)

    f [g(x)]V[f(b)]f [g(x)]V{f [g(a)]} ,

    assim se provando a continuidade de [f o g](x)em x =a.

    Embora o teorema precedente tenha sido enunciado para o caso B=g(A) - domnio def (y) coincidente com o contradomnio de g(x) - , ele adapta-se com facilidade ao casoda composio de funes em que Bg(A) eBg(A) . De facto, restringindoo domnio deg(x) ao conjuntoA0de todos os xA que fazemg(x) B , restringindo odomnio de f (y) ao conjunto g(A0) e atendendo a que a continuidade de g(x) em a semantm quando se restringe o domnio da funo, o mesmo acontecendo quanto continuidade de f(y) em b , o teorema aplicvel funo composta z=f [g(x)]definida emA0.

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    8. Descontinuidades

    Dada a funo f (x) com domnio em A, considere-se um real aAd A = AA.Como j sabemos, a funo contnua em x=a, nos seguintes casos : 1)aAe aA( a ponto isolado do domnio) ; 2)aA, aA e l i m f x

    x a

    ( ) =f (a) .

    A funo diz-se descontnua em x = a , nos seguintes casos : 1) a A , a A el i m f x

    x a( ) ou no existe ou existindo distinto de f (a) ; 2)aA, aAe l i m f x

    x a( )

    ou no existe ou existindo infinito .

    H ainda outro caso possvel : aA , aAe l i m f xx a

    ( ) existe finito. Neste caso a

    funo f (x) diz-se quase contnua em x=a, no sentido de que possvel, alargando odomnio da funo a x=ae definindo f (a) = l i m f x

    x a( ) , obter uma funo contnua.

    Sendo a ponto de descontinuidade de f (x) , caso existam os limites laterais f(a+0) ef(a 0) ou apenas um deles se em certo intervalo ]a - , a [ ou ]a, a +[nohouver pontos do domnio da funo a descontinuidade diz-se de primeira espcie.

    Nos outros casos, a descontinuidade diz-se desegunda espcie.

    O teorema seguinte mostra que qualquer funo montona num intervalo admite quandomuito uma infinidade numervel de pontos e descontinuidade.

    Teorema 8 :Funo montona num intervalo admite quando muito uma infinidadenumervel de pontos de descontinuidade

    Demonstrao : Vejamos primeiro o caso em que f(x) crescente no intervalo limitado

    e fechado [a , b] , generalizando-se depois o resultado aos outros casos. Note-se quesendo a funo crescente tem-se, para todos os reais x[a, b] , f(a) f(x) f(b) ,donde resulta que : 1) A funo f(x) limitada no intervalo [a, b]; 2) Em cada pontoc ]a , b[onde a funo seja descontnua, os limites laterais f(c+0) e f(c 0) ,cuja existncia assegurada pelo teorema 6, verificam a desigualdade f(c 0) 0 .

    Fixado >0 , vamos mostrar que a desigualdades (c) = f(c+0) f(c 0) > nopode ser verificada para uma infinidade de pontos c]a, b[. Se tal pudesse acontecer ,considerem-se m desses pontos , c1..................................................................

    f(cm) f(cm 2 ) f(cm 1 + 0) f(cm 1 0) >f(b) f(cm 1 ) f(cm + 0) f(cm 0) >

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    donde , somando ordenadamente, f(b) f(a) +f(cm) f(c1) m , ou ainda, de no-vo pela monotonia crescente da funo, f (b) f (a) + f (b) f (a) m , donderesulta f (b) f (a) (m ) / 2 . Ora esta ltima desigualdade incompatvel com a

    possibili-dade de mpoder ser tomado arbitrariamente grande. Logo, apenas num nmero

    finito de pontos c]a, b[, pode ter-se s (c) =f(c+ 0) f(c 0) >.

    Considere-se agora o conjunto D dos pontos de descontinuidade de f(x) que pertenam

    ao intervalo ]a, b[. Para cada cD tem-se como vimos f(c+0) f(c 0) >0.Decomponha-se o conjunto D nos conjuntos D1 , D2 , (em infinidade numervel)definidos como segue (alguns ou todos podero ser vazios) :

    D1 ={c: cD f(c+0) f(c 0) 1 }

    Dj ={c: cD 1/jf(c+ 0) f(c 0)

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    f (x) =

    x x

    x x

    x

    ,

    ,

    ,

    0 , =(a ,) :

    : xV(a) Bf (x) V[f (a)],

    ou, em termos de distncias,

    f contnua em B aB , >0 , =(a ,) :: d (x,a)=|x a|0, um =(), s dependente de , que assegure para todos os pontos aB

    ,

    d (x ,a)

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    : d(x,x)

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    se tem tambm lim d [ f (xn ) , f (xn )] =0 . Vejamos que ento, a funo f (x) uniformemente contnua no conjunto.

    Se, por absurdo, tal no acontecesse, haveria um 0 relativamente ao qual, paraqualquer >0, existiriam pontos x ,x B tais que,

    d(x ,x)0 , sempre haveria pontos x,x B de modo aser,

    d(x,x)

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    12. Exerccios

    1-Diga se so ou no montonas, se so ou no limitadas e determine os respectivosnfimos e supremos e, quando possvel, mximos e mnimos (em todo o domnio e na

    interseco do domnio com o intervalo [0 ,+[ ) para as seguintes funes:

    a)f (x) =| |x

    x ; b)f (x) =

    2

    1 2+ x ; c)f (x) =xn (ninteiro positivo) ;

    d)f (x) = x 2 1 ; e)f (x) =| |

    | |

    sen x

    x ; f)f (x) =tg x ( -/2

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    4-Determine, quando existam, as inversas das seguintes funes de Rem R:

    a) f(x) =[x I (x)]2+I2(x) ; b)f(x) =

    x x

    x I x x

    x x

    ,

    ( ) ,

    ,

    =

    +

    1 1 1

    2 12 .

    12-Utilize a definio de limite segundo Cauchy para mostrar que:

    a) l i m xx 1

    2 =1 ; b) l i m xx a

    +( )2 1 =(2a +1) ; c) l i m co s xx a

    =cos a ;

    d) l i mx

    xx +

    +

    1

    1 = 0 ; e) l i m

    x

    xx +

    +

    1 0

    1

    1 = + .

    13-Para as funes dadas calcule os limites laterais nos pontos indicados:

    a)f (x)=I (x) , em x=0 ; b)f (x)=sen x

    x| | , em x=0 ;

    c)f (x) = 10

    ,,

    x r a ci o n a lx i r r a ci o na l

    , em x=2 ;

    d)f (x) =x x

    x x

    ,

    ,

    + =

    + +