Efecto Doppler en Sonoelasticidad

Christian Mavarez

Enero, 11 de 2013

El efecto Doppler es el cambio de frecuencia de una onda sonora percibido por unobservador al estar en movimiento relativo respecto a la fuente o emisor. El cambio omodulacin de frecuencia resultante de este movimiento relativo es dependiente de lavelocidad de los participantes ,su posicin relativa, el carcter geomtrico del frente deonda entre otros. Los desarrollos tericos a continuacin consideran slo la posicin yla velocidad del emisor y receptor como variables.

En Sonoelasticidad, el emisor se encuentra esttico y el observador en movimientooscilatorio armnico simple, es decir, su desplazamiento relativo a una posicin deequilibrio est dado por (1) esta situacin se aprecia en la figura 1. El objetivo de estedocumento es obtener una expresin matemtica para la onda reflejada por el receptorya que el contenido espectral (frecuencia y fase) de la misma posee la informacin querequiere esta tcnica.

x (t) = A sen (2pifT ) (1)

A: Amplitud de desplazamiento respecto al punto de equilibriofT : Frecuencia del movimiento vibratorio de la estructura

A continuacin, la teora necesaria para comprender el efecto Doppler en Sonoelastici-dad es presentada. Primero, se obtiene una expresin para representar ondas reflejadasen el caso de un receptor esttico, segundo para el caso en que ste se mueve de formacolineal y angulada hacia el emisor con rapidez constante y por ltimo el caso en quela estructura donde ocurre el reflejo se encuentra en oscilacin armnica simple.

1

Superficie Oscilante (receptor)

Movimiento Oscilatoriode Amplitud A

Transductor de ultrasonido(emisor) longitud de onda

Frente de onda

Figura 1 Situacin emisor-receptor en Sonoelasticidad. El trans-ductor de ultrasonido es el emisor y la superficie oscilante el re-ceptor.

Representacin de ondas reflejadas por un recep-tor esttico

En esta seccin se deduce como representar matemticamente una onda reflejadapor un receptor esttico. Esta expresin matemtica puede utilizarse de formaesquemtica posteriormente cuando se haga el anlisis de un receptor oscilantey su entendimiento probar ser til para el estudio de los cambios de frecuenciapor movimiento relativo entre emisor y receptor en general.

En esta seccin supondremos que el emisor de las ondas de sonido se encuentraen el centro de un sistema coordenado, es decir, en la posicin (0,0) y el receptora una distancia L en el eje x, (L,0). Analizando slo la posicin del emisor, lasondas de sonido en ese punto son dependientes slo del tiempo y estableciendoque es una onda armnica, esta onda puede ser representada por (2). Por ahorano tomamos en consideracin la amplitud de la onda emitida sem ya que no esrelevante en el anlisis.

sem (t) = cos (2pifot) (2)

sem: Onda emitida en su punto de salidafo: Frecuencia de onda emitida

2

La ecuacin 2 describe la forma de la onda de sonido en el punto de emisin,esta informacin ser propagada a lo largo del eje x a una rapidez igual la delsonido en el medio, que denominaremos c. Un punto x cualquiera a la derechadel emisor, receibir la informacin xc segundos despus de haber sido producida,esto quiere decir que para un tiempo to en la superficie reflectora, la informacinde la onda incidente ser la misma que hace Lc segundos en el emisor. Estoimplica que podemos representar la informacin incidente al receptor mediantela siguiente ecuacin 3.

sin (t) = cos

(2pifo

(t L

c

))(3)

sin: Onda incidente al receptorfo: Frecuencia de onda emitidaL: Distancia emisor-receptorc: Rapidez del sonido en el medio

Finalmente, la expresin de la onda reflejada en un punto x cualquiera a laizquierda de la superficie esttica se obtiene aplicando un anlisis similar alanterior. La informacin en la superficie se propaga a la rapidez del sonido enel medio c, entonces un punto en esta direccin recibir la informacin (Lx)csegundos despus, entonces la onda reflejada se describe mediante la ecuacin 4

sref (x, t) = cos

(2pi

[(t L

c

)(L xc

)]), x < L (4)

sref : Onda reflejada por el receptorfo: Frecuencia de onda emitidaL: Distancia emisor-receptorc: Rapidez del sonido en el medio

La expresin para la onda reflejada (4) puede ser simplificada, sin embargo, esimportante mantenerla de esta forma para poder utilizarla posteriomente deforma esquemtica. El primer parntesis representa la traslacin de la forma dela onda emitida por el transductor hacia la posicin del receptor y el segundoparntesis la traslacin hacia el punto x donde se desea conocer la informacinreflejada. En la Sonoelasticidad, el transductor hace uso de esta informacin yrecordando que ste se encuentra en la posicin x=0, se puede modificar (4) coneste valor para obtener una expresin de la onda que percibe el equipo.

strans (t) = cos

(2pi

[(t L

c

)(L

c

)])(5)

3

strans: Onda incidente en el transductorfo: Frecuencia de onda emitidaL: Distancia emisor-receptorc: Rapidez del sonido en el medio

Representacin de onda reflejada por receptor en movi-miento con rapidez constante hacia el emisor

La deduccin de la expresin matemtica para la representacin de una ondareflejada por un receptor en movimiento con rapidez constante hacia o alejandosedel emisor es de inters ya que es el caso bsico de efecto Doppler. En primer sepresenta una explicacin de por qu la frecuencia de la onda reflejada es distintaa la emitida y posteriormente utilizar las herramientas de la seccin anteriorpara representarla matemticamente.

Cambio de Frecuencia

En el caso evaluado anteriormente, con receptor esttico, la frecuencia de la ondaemitida no cambia an despus de ser reflejada, sin embargo, cuando el receptorse encuentra en movimiento la percepcin de la misma por los dos participantes(emisor y receptor) est sujeta al efecto Doppler.

Supongamos que en un instante de tiempo hay un frente de onda en contactocon la superficie reflectora en movimiento, como se muestra en la figura 2. Ladistancia entre el prximo frente de onda y el receptor es igual a la longitud deonda de la emisin, esto implica que el tiempo en que este frente hace contactocon la superficie es:

T =

c+ v(6)

: Longitud de onda de la emisinc: Rapidez de propagacin del sonido en el mediov: Rapidez de la superficie reflectoraT : Tiempo de encuentro

4

v

t = 0

v

cT vT

t = T

2

Figura 2 Esquema de receptor en movimiento con rapidez cons-tante hacia el emisor. y 2 son la longitud de onda emitida yreflejada respectivamente, v es la rapidez de la superficie reflecto-ra, c es la rapidez de propagacin del sonido. En la parte superiorun frente de onda toca la superficie. En la parte inferior ha pasadoun tiempo igual al perodo de la onda percibido por el receptor.

La ecuacin 6 da una expresin para el intervalo de tiempo en que la superficiehace contacto con frentes de onda contiguos, esto singifica que el receptor percibeun sonido con frecuencia igual a fper = 1/T , diferente a la original. De la mismaforma, en el intervalo de tiempo en que se da este encuentro, el primer frentede onda ha recorrido una distancia desde su punto de reflejo de vuelta hacia eltransductor igual a cT . Para conocer la frecuencia de la onda reflejada, debemosconocer su longitud de onda, la cual es la distancia entre el primer y segundofrente en su camino hacia el transductor, ya que conocemos la distancia recorridapor el primer frente y la recorrida por la superficie hasta su encuentra con elsegundo, entonces podemos calcular esta variable (longitud de onda) con lasiguiente ecuacin:

2 = cT vT = (c v)T (7)

2: Longitud de onda del reflejoc: Rapidez del sonido en el mediov: Rapidez de la superficie reflectoraT : Tiempo de encuentro, inverso de frecuencia percibida

La rapidez de propagacin del sonido en el medio es constante y se relacionadirectamente con el producto de la longitud y frecuencia, ya que conocemos la

5

longitud del reflejo, entonces la frecuencia de la onda est dada por el cocienteentre la rapidez del sonido y la nueva longitud

f2 =c

2=

c

(c v)T (8)

f2 =c

(c v) (c+ v)

(9)

f2 =

(c+ v

c v)fo (10)

: Longitud de onda de la emisin2: Longitud de onda del reflejoc: Rapidez de propagacin del sonido en el mediov: Rapidez de la superficie reflectorafo: Frecuencia de la emisinf2: Frecuencia de onda reflejada

La ecuacin 10 describe la frecuencia de la onda reflejada en funcin a varia-bles conocidas, dependiendo de la rapidez de la superficie v, un anlisis generaldejara claro que slo depende de la componente colineal con la direccin depropagacin de la onda, esto implica que si la rapidez de la superficie ha detener mas componentes, estas deben ser multiplicadas por los cosenos directorescorrespondientes y sustituir la componente resultante en (10).

Expresin de onda reflejada

En esta seccin utilizaremos de forma esquemtica la ecuacin obtenida en elcaso de un reflector esttico. Recordando la ecuacin 4 y el significado de losparntesis podemos hacer la siguiente analoga para el caso de un receptor mvilcon rapidez constante hacia el emisor. El primer parntesis representa la tras-lacin de la informacin del emisor al punto de reflejo, que para este caso no esnico y vara con el tiempo. Suponiendo que el reflector comienza su travesahacia el transductor a una distancia L y se mueve hacia el mismo con una rapi-dez v, entonces los distintos puntos de reflejo siguen la ley pref = L vt. Esteresultado implica que la ecuacin de la onda en la superficie del receptor es:

sin (t) = cos

[2pifo

(t (L vt)

c

)](11)

6

sin: Onda incidente al receptorfo: Frecuencia de onda emitidaL: Distancia emisor-receptorc: Rapidez del sonido en el mediov: Rapidez del receptor

El segundo parntesis representa la traslacin de la informacin en el punto dereflejo a la posicin del observador de la onda reflejada. Esta traslacin temporalse define como lag () y es un retraso de informacin, en el caso esttico sloimplicaba ver el tiempo que tardaba la onda en viajar desde el receptor, quetiene posicin relativa nica, hacia el observador, a continuacin se se realizaruna explicacin de los cambios necesarios para el caso de un receptor mvil

La informacin de la onda incidente en el observador es la misma del receptorun tiempo atrs cuando sucedi el reflejo que posteriormente se propagara deregreso (hacia el observador). Si se tiene una ecuacin que describe la informa-cin en el receptor, como lo es (11), entonces la informacin en el observador seobtiene al buscar informacin en el receptor para un tiempo en el pasado quecorresponde con la informacin incidente en el instante presente.

La onda reflejada se propaga con la rapidez del sonido en el medio y el receptorcon su propia rapidez, entonces, si el observador quisiera saber en que posiciny tiempo atrs ocurri el reflejo que en este instante est reciviendo, se puedeplantear un problema de persecucin, un punto parte desde su posicin con larapidez del sonido y otro parte desde la posicin actual del receptor hacia atrscon su rapidez, el punto o coordenada donde se encuentren es donde ocurri elreflejo y el tiempo que se tarden es igual al desplazamiento temporal negativoque se debe aplicar a la informacin de la onda incidente al receptor. Esteproblema se plantea matemticamente a continuacin, el lado izquierdo de laecuacin 12 representa al punto que parte del observador y el lado derecho elque parte del receptor, el parntesis indica la posicin del receptor en el presentepor eso se encuentra en funcin al tiempo absoluto t, indica el tiempo deencuentro, tambin llamado lag.

xob + c = (L vt) + v (12)(c v) = L (x+ vt) (13)

=L (xob + vt)

(c v) (14)

: Lag, tiempo de encuentroL: Distancia emisor-receptorc: Rapidez del sonido en el mediov: Rapidez del receptor

xob: Posicin del observador

7

La ecuacin 14 indica el tiempo de encuentro o lag y con este como se mencionanteriormente desplazamos temporalmente la informacin incidente al receptorpara representar informacin en puntos de reflejo correspondientes con la infor-macin incidente al receptor. La ecuacin para la onda reflejada por un receptoren movimiento con rapidez constante hacia el emisor es:

sref (xob, t) = cos

{2pifo

[t (L v (t ))

c

]}(15)

Finalmente, para demostrar la veracidad de este resultado, comparamos conclu-siones con la seccin anterior, en donde fue estudiado el cambio de frecuenciapor movimiento con rapidez constante del receptor. La frecuencia instantneade esta onda es la tasa de cambio de los ciclos, expresados en forma de fase ()para la funcin trigonomtrica, un ciclo es 2pi radianes, entonces si derivamosla fase respecto al tiempo y la normalizamos con este nmero obtendremos lafrecuencia instantnea.

(t) = 2pifo

[t (L v (t ))

c

](16)

f (t) =1

2pi ddt

= fo

[1 + v

c(1 )

], = v

(c v) (17)

f (t) = fo

[1 +

v

(c v) +v

c

(1 +

v

(c v))]

(18)

f (t) = fo

[v

c v(

1 +v

c

)+(

1 +v

c

)](19)

f (t) = fo

[(c+ v

c

)(c

c v)]

(20)

f (t) = fo

(c+ v

c v)

(21)

: Fase de la onda reflejada : Lagf : Frecuencia instantneafo: Frecuencia de la onda emitidac: Rapidez del sonido en el mediov: Rapidez del receptor

Las ecuaciones 10 y 21 son iguales, por tanto el mtodo esquemtico utilizadomuestra validez y procederemos a aplicarlo para el caso en que el receptor seencuentra en movimiento oscilatorio armnico simple.

8

Representacin de onda reflejada por una superficie en os-cilacin armnica

Esquemticamente hablando, todos los casos en los que interviene movimientodel receptor son parecidos, siempre que sea conocida la ley de movimiento de lasuperficie se puede encontrar una representacin matemtica de la onda refleja-da. La situacin correspondiente a esta seccin puede verse en la figura 1 y parasu estudio utilizaremos datos tpicos obtenidos en Sonoelasticidad extrados deLerner et al (1990) y que se presentan en la siguiente tabla:

A: Ampltiud de oscilacin 0.1 mm.fT : Frecuencia de oscilacin del receptor 200 Hzfo: Frecuencia de onda emitida 7.5 MHz

Cuadro 1 Valores tpicos en Sonoelasticidad. extrados de Ler-ner et al (1990)

Supongamos que el transductor de ultrasonido se encuentra en el centro de unsistema coordenado y existe una superficie reflectora en oscilacin armnica deamplitud A con una posicin de equilibrio a una distancia L del emisor, estoimplica que la ley de movimiento del receptor es:

pre (t) = L+Asen (2pifT t) (22)

pre: Posicin del receptorL: Distancia emisor-receptorA: Amplitud de movimiento oscilatorio del receptorfT : Frecuencia de oscilacin del receptor

Con (22) obtenemos la ecuacin de la onda de sonido en el punto de reflejo altrasladarla con la posicin del receptor.

sin (t) = cos

{2pifo

[t (L+Asen (2pifT t))

c

]}(23)

sin: Onda incidente al receptorL: Distancia emisor-receptorA: Amplitud de movimiento oscilatorio del receptorfT : Frecuencia de oscilacin del receptorfo: Frecuencia de la onda emitidac: Rapidez del sonido en el medio

9

Similar al caso de receptor en movimiento con rapidez constante, luego de en-contrar la ecuacin que representa la informacin en la superficie del receptor,se debe encontrar el lag temporal que permite obtener la expresin de la ondareflejada en el observador. El problema de persecucin es representado por laecuacin 12, un objeto parte desde el observador con la rapidez del sonido yel segundo parte desde la posicin del receptor oscilante en un instante con surapidez (receptor), en este caso ya que la posicin del oscilador est definida por(22) simplemente debemos desplazar esta funcin en el tiempo. El lag temporalest dado por la ecuacin 25, en la que se observa que (lag) es una funcinimplcita en el tiempo.

xob + c = L+Asen (2pifT (t )) (24) (t) =

1

c[L xob +Asen (2pifT (t ))] (25)

: LagL: Distancia emisor-receptorA: Amplitud de movimiento oscilatorio del receptorfT : Frecuencia de oscilacin del receptorxob: Posicin del observadorc: Rapidez del sonido en el medio

El prximo paso es implementar el lag temporal en la ecuacin de la ondaincidente para obtener la expresin de la onda reflejada, dada por (26) y por(27,28) utilizando la funcin implcita del lag temporal (25). En sonoelasticidadel observador de la onda reflejada es el transductor de ultrasonido, que comofue establecido al inicio de esta seccin se encuentra en el centro del sistemacoordenado, por tanto utilizamos xob = 0 en las ecuaciones de ahora en adelante.

sref (xob, t) = cos

{2pifo

[t (t) (L+Asen (2pifT (t (t))))

c

]}(26)

sref = cos

{2pifo

[t 2(L+Asen (2pifT (t (t))))

c

]}(27)

sref = cos {2pifo [t 2 (t)]} (28)

: Lagsref : Onda reflejadaL: Distancia emisor-receptorA: Amplitud de movimiento oscilatorio del receptorfT : Frecuencia de oscilacin del receptorfo: Frecuencia de onda emitidac: Rapidez del sonido en el medio

10

Estas tres ecuaciones no son prcticas ya que la funcin lag temporal ()es im-plcita en el tiempo, sin embargo, estas expresiones pueden ser simplificadas aladaptar las proporciones de las variables a las pertinentes en las aplicacionesmdicas. La simplificacin fundamental es que la rapidez de propagacin delsonido en el cuerpo es mucho mayor que la rapidez del reflector en movimientooscilatorio, esto se expresa en la ecuacin 29. Otra adaptacin es que la distanciaentre el emisor y la posicin de equilibrio del oscilador es mucho mayor que laamplitud de dicho movimiento, como se muestra en la ecuacin 30. A continua-cin se realizar una anlisis de estas simplificaciones y su aplicabilidad a lasecuaciones (26,27,28).

M 2pifTAc

1 (29)A

L 1 (30)

M : Nmero de MachL: Distancia emisor-receptorA: Amplitud de movimiento oscilatorio del receptorfT : Frecuencia de oscilacin del receptorc: Rapidez del sonido en el medio

Anlisis de simplificaciones

Observando la ecuacin del lag temporal (25), utilizar el hecho de que la dis-tancia emisor-receptor es mucho mayor que la amplitud de oscilacin eliminarael problema de la funcin implcita ya que el trmino trigonomtrico que tienecomo coeficiente la amplitud de oscilacin se perdera. Esta simplificacin esaceptable en el mbito de la funcin lag temporal (), pero no cuando se susti-tuye dentro de la ecuacin que describe la onda reflejada (28), en ella trminospequeos relativos a la distancia emisor-receptor pueden influr ya que es pe-ridica, no importa que tan grande sea esta distancia siempre estar dentro deun perodo, por tanto la comparacin del trmino trigonomtrico frente a estavariable no es fiable, debe ser comparado con el perodo que tiene esta onda, elinverso de la frecuencia de emisin T = 1/fo.

Para verificar la validez de la simplificacin se procede a definir un indicador quecompare mediante un cociente las proporciones entre la desviacin temporal porel trmino trigonomtrico A/c y el perodo T = 1/fo determinado por R = foAcy denominado lag normalizado. Sustituyendo los valores que se encuentran enla tabla 1, se consigue R = 7.5MHz0.110

3m1540m/s = 0.487, lo que implica que el des-

plazamiento temporal del trmino trigonomtrico es una fraccin considerabledel perodo. En la figura 3 se muestran los errores absolutos normalizados porvalor mximo de las funciones para una onda coseno, funcin trigonomtrica del

11

reflejo, para el valor del lag normalizado R calculado, estos errores llegan a serbastante altos, mayores a 1.8 veces la amplitud de dicha onda.

Figura 3 Grfico del error absoluto normalizado por valor m-

ximo E(tT, 2piATc

)=

|Zcos(2pi t

T

)-Zcos

(2pi(tT 2piA

Tc

))|

Z, definiendo el

lag normalizado como R = 2piATc

. Las lineas de colores indican cur-vas de nivel del error, como puede observarse los errores llegan aser bastante altos para R 0.487, mayores a 1.8 veces el valormximo (Z).

El segundo criterio de simplificacin est dado por (29), implica que la rapidezde propagacin del sonido en el medio es mucho mayor que la rapidez del movi-miento oscilatorio o M 1. El argumento de la onda reflejada ya fue evaluado,por tanto debe examinarse otra combinacin de variables y en Sonoelasticidadla informacin realmente importante es la modulacin de frecuencia o la des-viacin de su valor medio f . En la ecuacin 31, que representa el reflejo, lostrminos dependientes del tiempo son los que modifican la frecuencia, que esla tasa de cambio de la fase respecto al tiempo, en el primer parntesis est alvalor medio que es la frecuencia original y el trmino trigonomtrico representala modulacin de fase (t) que resulta de una alteracin de frecuencia. Parapoder obtener el trmino de modulacin de frecuencia, derivamos este trminotrigonomtrico respecto al tiempo, proceso que se muestra a continuacin.

sref (t) = cos

{2pi

(t 2 l

c

) 2M fo

fTsen (2pifT (t )

}(31)

(t)

2pi= 2M fo

2pifTsen (2pifT (t )) (1 ) (32)

f (t) =d

dt

[ (t)

2pi

]= 2Mfocos (2pifT (t (t))) (1 ) (33)

12

La derivada del lag, es la siguiente:

=1

c[Acos (2pifT (t )) 2pifT (1 )] (34)

=2piftAcos (2pifT (t ))

c(

1 + 2pifTAc cos (2pifT (t ))) (35)

Sustituyendo la expresin de la derivada del lag temporal (35) en la expresinde la modulacin de frecuencia (33), se obtiene.

f = 2Mcos (2pifT (t ))1 +Mcos (2pifT (t ))fo (36)

f : Desviacin de la frecuencia instantnea respecto a la base fofo: Frecuencia de emisin o basefT : Frecuencia de movimiento oscilatorio del receptorM : Nmero de Mach : Lag temporal

La ecuacin 36 representa la modulacin de frecuencia de la onda reflejada res-pecto a la emisin original. Con el objetivo de simplificar an mas esta expresin,debemos tener una idea de los nmeros de Mach en sonoelasticidad (relacinde velocidades), utilizando los datos de la tabla 1, obtenemos un valor tpicode M = 2pifTA/c = 2pi200[Hz] 0.1 103[m]/1540[m/s] = 8.16 105. En eldenominador de la expresin de modulacin de frecuencia (36) este valor delnmero de Mach implicara una variacin de 0, 0082 % del factor en general,ya que este nmero de Mach est frente a 1, se puede tomar despreciable porquela variacin del trmino modulador frente a la suma de la frecuencia de emi-sin fo que es comparativamente alta 7.5MHz versus 2 M 7.5MHz, implicaque no hay mucho cambio. Simplificando el denominador se obtiene la siguienteecuacin.

f = 2Mcos (2pifT (t )) fo (37)

La expresin simplificada de la modulacin de frecuencia 37, puede ser ana-lizada de la misma forma que se hizo con el argumento de la seal reflejadapreviamente. La funcin lag temporal () tiene dos componentes, una que varacon el tiempo y otra que no, como puede verse en su representacin matem-tica 25. El anlisis de la influencia del trmino que vara con el tiempo en lafase de la modulacin de frecuencia se toma en cuenta con el indicador R o lagnormalizado, definido unos parrafos arriba como el cociente entre la desviacintemporal perteneciente a dicho trmino dependiente del tiempo y el perodo de

13

la funcin, para este caso R = 1.3 105. La Figura 4 represente el error ab-soluto normalizado con valor mximo de una onda coseno, para el valor de lagnormalizado R encontrado el error es bajo, permitiendo simplificar la expresinde la modulacin de frecuencia a la siguiente forma.

f = 2Mcos(

2pifT

(t L

c

))fo (38)

f : Desviacin de la frecuencia instantnea respecto a la base fofo: Frecuencia de emisin o basefT : Frecuencia de movimiento oscilatorio del receptorM : Nmero de MachL: Distancia emisor-receptor (posicin promedio de oscilacin)c: Rapidez del sonido en el medio

Figura 4 Grfico del error absoluto normalizado por valor mxi-

mo E(tT, 2piATc

)=

|Zcos(2pi t

T

)-Zcos

(2pi(tT 2piA

Tc

))|

Z, definiendo el lag

normalizado como R = 2piATc

. Las lineas de colores indican curvasde nivel del error, para valores menores a R = 2105 este es menora 0.0001 veces el valor mximo (Z), lo que es considerablementebajo .

La ecuacin 38, finalmente es una expresin con la que es sencillo trabajar, sieste es el trmino modulador de frecuencia, entonces la modulacin de fase esla integral temporal dada por (39)

=

t

o

2Mcos(

2pifT

(t L

c

))fodt = 2M fo

fTsen

(2pifT

(t L

c

))(39)

14

La representacin matemtica simplificada de la onda reflejada observada en elemisor, al implementar el modulador de fase dado por (39), es la ecuacin 40.En la bibliografa de Sonoelasticidad, los factores L/c no se encuentran debido aque la mayor preocupacin de esta tcnica es la contribucin del efecto Dopplerya que altera la frecuencia, no de la distancia del cuerpo reflector respecto altransductor del ultrasonido que aunque altera la fase de la onda, no altera sufrecuencia al no depender del tiempo. En segundo lugar, se acostumbra que eltrmino modulador, es decir, la funcin trigonomtrica dentro del argumento dela expresin de la onda reflejada (40), est precedido por un signo positivo, estoes debido a que en explicaciones de efecto Doppler se suele asumir movimientopositivo hacia el transductor, en este trabajo se ha tomado positivo en la direc-cin opuesta. En conclusin aclarando las distintas consideraciones, el resultadoobtenido aqu es igual al de la bibliografa disponible de Sonoelasticidad.

sref (t) = cos

{2pifo

(t 2L

c

) 2M fo

fTsen

(2pifT

(t L

c

))}(40)

sref : Onda reflejada observada en el emisorfo: Frecuencia de emisin o basefT : Frecuencia de movimiento oscilatorio del receptorM : Nmero de MachL: Distancia emisor-receptor (posicin promedio de oscilacin)c: Rapidez del sonido en el medio

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