efecto doppler
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Cuando la fuente de ondas y el observador están en movimiento relativo con respecto al medio material en el cual la onda se propaga, la frecuencia de las ondas observadas es diferente de la frecuencia de las ondas emitidas por la fuente. Este fenómeno recibe el nombre de efecto Doppler en honor a su descubridor. En primer lugar, vamos a observar el fenómeno, y después obtendremos la fórmula que relaciona la frecuencia de las ondas observadas con la frecuencia de las ondas emitidas, la velocidad de propagación de las ondas v s , la velocidad del emisor v E y la velocidad del observador v O . Consideraremos que el emisor produce ondas de forma continua, pero solamente representaremos los sucesivos frentes de ondas, circunferencias centradas en el emisor, separados por un periodo, de un modo semejante a lo que se puede observar en la experiencia en el laboratorio con la cubeta de ondas. En la simulación más abajo, fijaremos la velocidad de propagación del sonido en una unidad v s =1, y el periodo de las ondas sea también la unidad, P=1, de modo que los sucesivos frentes de onda se desplazan una unidad de longitud en el tiempo de un periodo, es decir, la longitud de las ondas emitidas es una unidad, =v s P. El observador en reposo Empezamos por el caso más sencillo, en el que el observador está en reposo, a la izquierda o a la derecha del emisor de ondas. Vamos a estudiar diversas situaciones dependiendo de la velocidad del emisor. Recordaremos que en el estudio de las del movimiento ondulatorio armónico , se estableció la relación entre longitud de onda y periodo, =v s P. El emisor está en reposo (v E =0)
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Cuando la fuente de ondas y el observador están en movimiento relativo con respecto al medio material en el cual la onda se propaga, la frecuencia de las ondas observadas es diferente de la frecuencia de las ondas emitidas por la fuente. Este fenómeno recibe el nombre de efecto Doppler en honor a su descubridor.
En primer lugar, vamos a observar el fenómeno, y después obtendremos la fórmula que relaciona la frecuencia de las ondas observadas con la frecuencia de las ondas emitidas, la velocidad de propagación de las ondas vs, la velocidad del emisor vE y la velocidad del observador vO.
Consideraremos que el emisor produce ondas de forma continua, pero solamente representaremos los sucesivos frentes de ondas, circunferencias centradas en el emisor, separados por un periodo, de un modo semejante a lo que se puede observar en la experiencia en el laboratorio con la cubeta de ondas. En la simulación más abajo, fijaremos la velocidad de propagación del sonido en una unidad vs=1, y el periodo de las ondas sea también la unidad, P=1, de modo que los sucesivos frentes de onda se desplazan una unidad de longitud en el tiempo de un periodo, es decir, la longitud de las ondas emitidas es una unidad, =vsP.
El observador en reposo
Empezamos por el caso más sencillo, en el que el observador está en reposo, a la izquierda o a la derecha del emisor de ondas. Vamos a estudiar diversas situaciones dependiendo de la velocidad del emisor.
Recordaremos que en el estudio de las del movimiento ondulatorio armónico, se estableció la relación entre longitud de onda y periodo, =vsP.
El emisor está en reposo (vE=0)
Se dibujan los sucesivos frentes de ondas que son circunferencias
separadas una longitud de onda, centradas en el emisor. El radio
de cada circunferencia es igual al producto de la velocidad de
propagación por el tiempo transcurrido desde que fue emitido. La
separación entre dos frentes de onda es una longitud de onda,
=vsP, siendo P el periodo o tiempo que tarda en pasar dos frentes
de onda consecutivos por la posición del observador.
La longitud de onda medida por el emisor y por el observador es la misma, una unidad, E=O=1.
Cuando el emisor está en movimiento (vE<vs)
Consideramos primero el caso de que la velocidad del emisor vE sea menor que la velocidad de propagación de las ondas en el medio vs (vE<1).
Si el movimiento del emisor va de izquierda a derecha (velocidades positivas), la longitud de onda medida por el observador situado a la derecha es más pequeña que la unidad, y la longitud de onda medida por el observador situado a la izquierda del emisor es mayor que la unidad.
Observador situado a la derecha del emisor O<E
Observador situado a la izquierda del emisor O>E
Como =vP, o bien =v/f , hay una relación inversa entre longitud de onda y la frecuencia f.
Observador situado a la derecha del emisor fO>fE
Observador situado a la izquierda del emisor fO<fE
Si el emisor emite ondas sonoras, el sonido escuchado por el observador situado a la derecha del emisor, será más agudo y el sonido escuchado por el observador situado a la izquierda será más grave. En otras palabras, cuando el emisor se acerca al observador, éste escucha un sonido más agudo, cuando el emisor se aleja del observador, éste escucha un sonido más grave.
Cuando el emisor está en movimiento (vE=vs)
Cuando la velocidad del emisor vE sea igual que la velocidad de propagación de las ondas en el medio vs (vE=1), la longitud de onda medida por el observador situado a la derecha del emisor es cero. Si el emisor es un avión que va a la velocidad del sonido, los sucesivos frentes de las ondas emitidas se agrupan en la punta o morro del avión.
Cuando el emisor está en movimiento (vE>vs)
Cuando la velocidad del emisor vE sea mayor que la velocidad de propagación de las ondas en el medio vs (vE>1), el movimiento ondulatorio resultante es entonces una onda cónica (la envolvente de los sucesivos frentes de onda es un cono con el vértice en el emisor), esta onda se llama onda de Mach u onda de choque, y no es más que el sonido repentino y violento que oímos cuando un avión supersónico pasa cerca de nosotros. Estas ondas se observan también en la estela que dejan los botes que se mueven con mayor velocidad que las ondas superficiales sobre el agua.
La envolvente, es la recta tangente común a todas las circunferencias. En el espacio, los frentes de onda son esferas y la envolvente es una superficie cónica.
En el instante t=0, el emisor se encuentra en B, emite una onda que se propaga por el espacio con velocidad vs. En el instante t el emisor se encuentra en O, y se ha desplazado vE·t, En este instante, el frente de onda centrado en B tiene un radio vs·t.
En el triángulo rectángulo OAB el ángulo del vértice es sen θ=vs/vE. El cociente vE/vs.se denomina número de Mach.
Actividades
Se introduce
La velocidad del emisor, actuando en la barra de desplazamiento titulada Velocidad del emisor
La velocidad de propagación del sonido se ha fijado en vs=1.0
Se pulsa el botón titulado Empieza
Si pulsamos el botón titulado Pausa, la imagen congelada de los sucesivos frentes de onda puede ser fácilmente reproducida en papel utilizando la regla y el compás.
Pulsando varias veces en el botón titulado Paso, podemos medir el periodo o intervalo de tiempo que transcurre para el observador, el paso de dos frentes de ondas consecutivos. La inversa de las cantidades medidas nos dará las frecuencias de las ondas para el observador situado a la izquierda del emisor y para el situado a su derecha.
El observador está en movimiento (vE<vs y vO<vs)
Consideramos solamente el caso en el que la velocidad del emisor y la velocidad del observador es menor que la velocidad de propagación de las ondas en el medio.
Actividades
Se introduce
La velocidad del emisor (positiva), actuando en la barra de desplazamiento titulada V. emisor
La velocidad del observador (positiva o negativa), actuando en la barra de desplazamiento titulada V. observador
La velocidad de propagación del sonido se ha fijado en vs=1.0
Se pulsa el botón titulado Empieza
Podemos comprobar que el efecto Doppler se debe al movimiento relativo del observador con respecto al emisor, haciendo que el observador y el emisor se muevan con la misma velocidad y en la misma dirección. Medimos el tiempo que tarda en pasar por el emisor, dos frentes de ondas consecutivos, y lo comparamos con el periodo de las ondas emitidas (una unidad de tiempo). ¿Coinciden ambas cantidades?. Para medir dichos intervalos de tiempo, utilizar los botones Pausa/Continua y Paso.
Deducción de la fórmula del efecto Doppler
A partir de la observación del movimiento del emisor, del observador y de los sucesivos frentes de onda, vamos a obtener la fórmula que describe el efecto Doppler.
En la parte superior de la figura, tenemos dos señales, que pueden corresponder a dos picos consecutivos de una onda armónica, separados un periodo P. En la parte inferior, los dos puntos coloreados representan las posiciones del emisor (en rojo) y del observador (en azul). En el instante inicial t=0 en el que se emite la primera señal, el emisor y el observador están separados una distancia d desconocida, que no afecta al fenómeno en cuestión.
La primera señal es recibida por el observador en el instante t. La señal se desplaza el camino marcado en trazo grueso negro en la parte superior de la figura, desde que se emite hasta que se recibe, podemos por tanto, escribir la ecuación
vs·t=d+vO·t
La segunda señal se emite en el instante P, y se recibe en el instante t’. En el intervalo de tiempo entre la primera y la segunda señal, el emisor se desplaza vEP. La segunda señal recorre desde que se emite hasta que se recibe, el camino señalado en trazo grueso negro en la parte inferior de la figura. Por tanto, podemos escribir la ecuación
d-vE·P+vO·t’=vs·(t’-P)
Eliminando la cantidad desconocida d entre las dos ecuaciones, relacionamos el periodo P’=t’-t, de las ondas recibidas, con el periodo P de las ondas emitidas.
Teniendo en cuenta que la frecuencia es la inversa del periodo, obtenemos la relación entre frecuencias, o fórmula del efecto Doppler.
Ejercicio:
Un silbato emite sonido de frecuencia 500 Hz se mueve con una máquina de tren a velocidad de 90 km/h. Un conductor se mueve en la misma dirección pero en sentido contrario en un vehículo con una velocidad de 144 km/h acercándose al tren. Calcular la frecuencia del sonido escuchado por el conductor
vE=25 m/s
vs=340 m/s
vO=-40 m/s
La frecuencia del sonido escuchado es f'= 603 HzvE=-25 m/s
vs=-340 m/s
vO=40 m/s
La frecuencia del sonido escuchado esf ' =603 Hz
Procedimiento geométrico para dibujar los sucesivos frentes de onda
En el applet que viene a continuación, se muestra el procedimiento geométrico para dibujar con la regla y el compás los sucesivos frentes de onda, del sonido emitido por un vehículo en movimiento.
Se dibuja una línea horizontal proporcional a la velocidad vE del emisor.
Con el mismo origen, se dibuja una línea vertical proporcional a la velocidad del sonido vs
Se unen los extremos de ambas líneas, formando un triángulo rectángulo
Se divide la línea horizontal en varias partes iguales, poniendo una marca en cada una de las divisiones
Se traza una línea vertical desde la marca hasta su intersección con la
hipotenusa del triángulo rectángulo. Con centro en la marca y radio igual a la longitud de dicha línea
vertical, se traza una circunferencia Se procede de la misma manera con todas las marcas de la línea
horizontal.
Nota: Cuando vE > vs la hipotenusa del triángulo no es la envolvente de los sucesivos frentes de onda .
Actividades
Se introduce
La velocidad del emisor vE proporcional a la velocidad vs del sonido
Se pulsa el botón titulado Empieza
Comienza una animación que muestra el procedimiento geométrico para dibujar los sucesivos frentes de ondas del sonido emitido por un vehículo en movimiento.
Referencias
Del apartado Procedimiento geométrico para dibujar los sucesivos frentes de onda
Alt R., Wiley S., A generalized wave diagram for moving sources. The Physics Teacher Vol 42, December 2004, pp. 526-527
En esta página, estudiamos el efecto Doppler debido al sonido producido por un
emisor que se mueve a lo largo de una línea recta con velocidad vE>0. El sonido
choca con un reflector que se mueve en la misma dirección con velocidad vR. El
observador que se mueve con velocidad vO mide la frecuencia f del sonido reflejado.
Supondremos que las velocidades del emisor, observador y reflector son menores que
las del sonido vS.
Estudiaremos especialmente dos situaciones:
El observador en reposo en el origen El observador coincide con el emisor (caso de los murciélagos)
Siguiendo el mismo procedimiento de las páginas previas, vamos a deducir la relación
entre la frecuencia del sonido emitido f0 y la frecuencia f del sonido escuchado por el
observador.
Descripción
El emisor produce un movimiento ondulatorio armónico de frecuencia f0 y longitud de
onda λ0=vs/f0.
En el instante t=0, el emisor se encuentra en el origen O y emite la primera señal.
En el instante t1 llega al reflector, se refleja y es captada por el observador en el instante t’1.
En el instante P=1/f0 se emite la segunda señal cuando el emisor se encuentra a una distancia vEP del origen, llega al reflector en el instante t2 y el captada por el observador en el instante t’2. El periodo del movimiento ondulatorio armónico medido por el observador es P’=t’2-t’1.
Primera señal
Supongamos el reflector en el instante inicial t=0, se encuentra a una distancia d del
origen. Se emite la primera señal que viaja por el aire hasta que se encuentra con el
reflector en el instante t1.
vs·t1=d+vR·t1
La señal se refleja en el instante t1 y se mueve hacia la izquierda con la misma
velocidad vs, recorriendo un camino más pequeño debido a que el observador se ha
desplazado. La señal es captada por el observador O en el instante t’1
d+vR·t1-vOt’1=vs(t’1-t1)
Despejamos t'1 en el sistema de dos ecuaciones
Segunda señal
La segunda señal, se emite en el instante P, el emisor se encuentra a una distancia
vEP del origen. La señal viaja por el aire hasta que se encuentra con el reflector en el
instante t2.
d-vEP+vR·t2=vs·(t2-P)
La señal se refleja y se mueve hacia la izquierda con la misma velocidad vs, hasta que
es captada por el observador O en el instante t’2
d-v0t’2+vR·t2=vs·(t’2-t2)
Despejamos t'2 en el sistema de dos ecuaciones
Periodo P' medido por el observador
El periodo P’ del movimiento ondulatorio armónico medido por O es
Sabiendo que f=1/P’ y f0=1/P, La relación de frecuencias es
Ejemplo
La velocidad del sonido se ha fijado en vs=1.0.
Emisor en reposo
Cuando el emisor se encuentra en reposo vE=0, el movimiento ondulatorio armónico
tiene un periodo P=1 y una longitud de onda λ=vs·P=1. La onda llega al reflector y
cambia de frecuencia, aumentando si se acerca el emisor y disminuyendo si se aleja
del emisor, tal como se aprecia en la figura
Si la velocidad del reflector vR=0.2 (se aleja), el emisor se encuentra en reposo vE=0, y el observador se encuentra en reposo vO=0, entonces f=(1-0.2)/(1+0.2)=2/3. La longitud de onda es λ=vs/f=1.5 (figura inferior)
Si la velocidad del reflector vR=-0.2 (se acerca), el emisor se encuentra en reposo vE=0, y el observador se encuentra en reposo vO=0, entonces f=(1+0.2)/(1-0.2)=3/2. La longitud de onda es λ=vs/f=2/3=0.67 (figura superior)
Emisor en movimiento
Cuando el emisor se mueve con velocidad vE=0.2, el movimiento ondulatorio armónico
que llega al reflector tiene una frecuencia
y una longitud de onda λ’=4/5=0.8.
En la figura, se compara los sucesivos frentes de onda producidos por un emisor en
reposo y los producidos por un emisor en movimiento
En esta figura, se compara los movimientos ondulatorios armónicos
La onda llega al reflector y cambia de frecuencia, aumentando si se acerca el emisor
y disminuyendo si se aleja del emisor.
Observador en movimiento
Cuando el emisor y el observador coinciden vE=vO, la frecuencia f escuchada por el
emisor es (este sería el caso del murciélago)
Como caso particular interesante, es aquel en el que la velocidad del emisor y del
reflector coinciden vE=vR, entonces f=f0.
Actividades
Se introduce
La velocidad del emisor vE (positiva), actuando en la barra de desplazamiento titulada V. emisor
La velocidad del reflector vR (positiva o negativa), actuando en la barra de desplazamiento titulada V. reflector.
La velocidad del sonido se ha fijado en vs=1.0 La frecuencia se ha fijado en f0=1
Se pulsa el botón titulado Empieza
En la parte superior izquierda del applet, se proporciona el dato de la frecuencia f del
sonido escuchado por un observador en reposo vO=0.
Observador en reposo
Se mide el periodo de la onda respecto del observador en reposo con el contador de
tiempo en la parte superior izquierda del applet del siguiente modo:
Cuando un nodo pasa por una marca se anota el tiempo t utilizando la combinación de
botones Pausa/Paso, cuando el siguiente nodo pasa por la misma marca se ha
completado medio periodo, cuando el siguiente nodo pasa por la marca elegida se
anota el tiempo t’, la diferencia es el periodo P=t’-t de la onda medida por un
observador en reposo.
Se mide la longitud de onda por el observador en reposo, con la regla horizontal
utilizando la combinación de botones Pausa/Paso
Observador coincide con el emisor
Cuando el emisor y el observador coinciden (los murciélagos) vO=vE, podemos medir
el periodo y la frecuencia de la onda reflejada del siguiente modo:
Cuando un nodo pasa por la posición del emisor (círculo de color rojo) se anota el
tiempo t utilizando la combinación de botones Pausa/Paso, cuando el siguiente nodo
pasa por la misma marca se ha completado medio periodo, cuando el siguiente nodo
pasa por el emisor se anota el tiempo t’, la diferencia es el periodo P=t’-t de la onda
medida por un observador que coincide con el emisor.
Referencias
Perrine J. O., The Doppler and echo Doppler effect. Am. J. Phys. 12 (1944), pp. 23-28
En la página anterior, se ha estudiado el efecto Doppler de una fuente de sonido que se mueve hacia el observador o se aleja
del mismo a largo de un camino rectilíneo.
En esta página, se simula una experiencia consistente en una fuente de
sonido que se mueve en una trayectoria circular de radio
velocidad angular constante ω. El sonido es recogido por un micrófono
fijo situado a una distancia R del eje de rotación tal como se indica en la
figura.
El observador no está situado en la dirección del movimiento rectilíneo del emisor
En la página anterior, hemos estudiado el caso de un emisor que se mueve a lo largo de una recta con velocidad constante está situado en un punto de dicha recta.
Consideremos una situación algo más compleja. Supongamos que el observador está a una distancia R de la dirección en la que se mueve el emisor, tal como se indica en la figura.
En el instante t el emisor emite la primera señal que puede corresponder a un máximo de una onda armónica. El observador la escucha en el instante t1. Si en el instante t la distancia entre el emisor y el observador es
t1=t+d1/vs
siendo vs la velocidad del sonido.
En el instante t+P se emite la segunda señal. El observador la escucha en el instante t2. Si en el instante distancia entre el emisor y el observador es d2, tendremos que
t2=t+P+d2/vs
siendo P el periodo de la onda armónica
Para el observador, el periodo P’ de la onda armónica será la diferencia de los tiempos de llegada de las dos señales
La relación entre d2 y d1 se puede deducir resolviendo el triángulo de la figura
Obtenemos una expresión más simplificada, si consideramos la siguiente aproximación, el lado de longitud
menor que cualquiera de los otros dos lados de longitud d1 o d2.
Despreciamos el cociente al cuadrado frente a la unidad, y efectuamos el desarrollo en serie
tenemos que
El periodo P’ de la onda armónica medido por el observador, valdrá
La frecuencia es la inversa del periodo f’=1/P’
Fórmula aproximada
Esta fórmula se puede obtener de forma directa si partimos de la fórmula del efecto Doppler para el caso más simple: el
observador en reposo vO=0 situado en la trayectoria del emisor en movimiento rectilíneo con velocidad
Cuando el observador no está en la dirección del movimiento rectilíneo del emisor, trazamos una línea recta que pase por el
emisor y el observador en el instante t, y proyectamos la velocidad vE del emisor a lo largo de dicha recta.
En dicho instante, el emisor se acerca al observador con una velocidad
como puede apreciarse en la figura. Sustituimos vE por vE·senθ
fórmula.
El emisor describe un movimiento circular
Supongamos ahora que el emisor describe una trayectoria circular de radio R con velocidad angular ω constante. El observador en reposo está situado a una distancia R del centro de la trayectoria circular, en el origen de ángulos, tal como se muestra en la figura.
En el instante t el emisor emite la primera señal que puede corresponder a un máximo de una onda armónica. El observador la escucha en el instante t1. Si en el instante temisor y el observador es d1, tendremost1=t+d1/vs
En el instante t+P se emite la segunda señal. El observador la escucha en el instante t2. Si en el instante t+Pemisor y el observador es d2, tendremos que t2=t+P+d2/vs
El periodo del movimiento ondulatorio armónico medido por el observador es P’=t2-t1=P+(d2-d1)/vs
En el triángulo isósceles de la figura, se puede calcular fácilmente,
radio R y el ángulo ωt.
d1=2R·sen(ωt/2)
De modo similar se calcula d2.
Esta fórmula se puede simplificar, si consideramos que ωP es pequeño y por tanto, podamos escribir sen(
La frecuencia es la inversa del periodo f’=1/P’
Fórmula aproximada
El emisor describe una trayectoria circular de radio
angular ω constante, su posición angular en el instante
velocidad es ωR, tangente a la trayectoria, tal como se muestra en la
figura.
La velocidad vE es la proyección de la velocidad del emisor sobre la recta
que une el emisor y el observador (flecha azul)
En el triángulo isósceles formado por los dos radios y la línea que une el emisor y el observador, el ángulo
Como vE= ωR·cos(π/2- α)= ωR·cos(ωt/2)
La fórmula que describe el efecto Doppler que se produce en esta situación es
Cuando ωt <π el emisor se aleja del observador f '<f Cuando ωt >π el emisor se acerca del observador f '>f
Cuando ωt =π la línea que une el emisor y el observador es el diámetro horizontal y la proyección de la velocidad del emisor sobre el diámetro es cero. La frecuencia del sonido que escucha el observador es la misma que la que emite la fuente de sonido f '=f
Cuando ωt =2π se produce una discontinuidad. La frecuencia f’ pasa de un máximo (el emisor se acerca al observador)
a un mínimo, (el emisor se aleja del observador)
En la figura, se representa la frecuencia f’ en función de ωt.
Vamos a comparar la fórmula exacta y la aproximada
Supongamos como en la simulación que vs=1, R=1, Calculamos la frecuencia f ' del sonido que escucha el observador
suponiendo que el que emite la fuente tiene una frecuencia f=4.
ωRωt=0 ωt=π ωt=2π
0.1 3.64 3.64 4.00 4.00 4.44 4.44
0.3 3.08 3.08 4.00 4.02 5.71 5.71
0.5 2.67 2.67 4.00 4.06 8.00 7.99
0.7 2.35 2.35 4.00 4.13 13.33 13.29
0.9 2.11 2.11 4.00 4.21 40.00 39.25
1. La primera columna es la velocidad ωR del emisor, inferior a la velocidad del sonido vs=12. La segunda columna, calcula la mínima frecuencia, cuando el emisor situado en la posición del observador
aleja.3. La tercera columna, calcula la frecuencia intermedia, cuando el emisor no se aleja ni se acerca al observador 4. La cuarta columna, calcula la máxima frecuencia, cuando el emisor situado en la posición del observador
acerca. La columnas sombreadas corresponden a las frecuencias f’ calculadas mediante la fórmula aproximada La columnas sin sombrear corresponden a las frecuencias f’ calculadas mediante la fórmula exacta.
Observamos que apenas hay diferencias en los valores calculados de la frecuencia f’ por ambas fórmulas.
Estas diferencias se hacen cada vez más pronunciadas cuando la frecuencia f es más pequeña, la velocidad de rotación
más grande, y el emisor se aleja del observador (máxima frecuencia).
Actividades
Se introduce
La velocidad angular de rotación ω, un número comprendido entre 0 y 1, en el control de edición titulado emisor
El radio de la circunferencia que describe la fuente de sonido se ha fijado en la unidad, R=1. La velocidad del sonido se ha fijado en la unidad, vs=1 La frecuencia del sonido que emite la fuente se ha fijado en f=4, o el periodo en P=1/f=0.25 unidades de tiempo.
Se pulsa el botón titulado Empieza
Se observa el movimiento de la fuente de sonido representada por un pequeño círculo de color rojo, que describe una
trayectoria circular con velocidad angular constante. El micrófono está representado por un pequeño círculo de color azul
inmóvil.
La fuente de sonido describe un MAS de la forma Ψ= Ψ0·cos(8πt), emitiendo ondas circulares cuyos máximos se representan
por circunferencias de color rojo.
La intersección del movimiento ondulatorio armónico con la línea que une el emisor y el observador se representa en la parte
inferior del applet.
Esta representación nos permite relacionar la velocidad vE (proyección de la velocidad de la fuente ω
que une el emisor y el observador), con la frecuencia f’ del sonido que escucha el observador. Se representa mediante
vectores la velocidad de la fuente (color negro) y su proyección (color rojo).
La señal de frecuencia f’ producida en la posición que ocupa el emisor tarda un determinado tiempo en llegar al observador,
igual a la distancia emisor-observador dividido por la velocidad del sonido.
En la parte derecha del applet, se representa la frecuencia f’ en función de ωt, posición angular de la fuente emisora.
Cuando ωt=(2k+1)π, k=0, 1, 2, 3… la frecuencia f’=f=4. Cuando ωt=2kπ, k=0, 1, 2, 3…la frecuencia f’ pasa de forma discontinua de un máximo a un mínimo.
Ejemplo:
Si introducimos ω=0.5
La máxima frecuencia del sonido que escucha el observador es
La mínima frecuencia que escucha es
Referencias
Saba M., Rosa R A., The Doppler effect of a sound source moving in a circle. The Physics Teacher, Vol 41, February 2003, pp. 89-91.
