FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

EFECTO DOPPLER RELATIVISTA

Fonrouge, Sergio; González, Agustina; Reynoso, Amelia.

EFECTO DOPPLER RELATIVISTA

González, Agustina; Reynoso, Amelia; Fonrouge, Sergio.

El presente trabajo busca caracterizar el efecto Doppler para ondas electromagnéticas en el marco de la teoría relativista. Para ello, se brinda una introducción a los principios teóricos fundamentales de la relatividad especial, las bases experimentales del efecto Doppler relativista y las aplicaciones prácticas que este tiene en astronomía y medicina. Del análisis se advierte la importancia práctica e histórica del efecto Doppler en el marco de la física moderna.

INTRODUCCIÓN

El efecto Doppler relativista es una importante consecuencia de la cinemática relativista en ondas electromagnéticas. Para el análisis detallado debemos adentrarnos en el mundo de la relatividad especial, la cual ha traído grandes cambios en la comprensión de la naturaleza.

TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

POSTULADOS DE EINSTEIN

Se presentan los dos postulados que constituyen la teoría especial de la relatividad. Ambos describen lo que ve un observador que se encuentra en un marco de referencia inercial. A partir de los postulados analizamos el concepto de simultaneidad y de esta manera podemos detallar las transformaciones de Lorentz, indispensables para estudiar el efecto Doppler relativista. Estos dos fundamentos establecen lo siguiente:

Las leyes de la física son las mismas en todos los marcos de referencia inerciales. La velocidad de luz es constante en el vacío en todos los marcos de referencia

inerciales y es independiente del movimiento de la fuente.

Debe destacarse que el segundo postulado implica la imposibilidad de que un observador inercial viaje a la velocidad de la luz.

Se formulan en términos simbólicos ecuaciones que representan las transformaciones galileanas de coordenadas, las cuales no cumplen con el segundo postulado de Einstein.

2

LA TRANSFORMACIÓN GALILEANA DE COORDENADAS

Sean S y S’ dos marcos de referencia inerciales, donde S es el marco para un observador en la Tierra y S’ para otro observador en una nave espacial en movimiento. Se establecen los ejes de las x de ambos marcos a lo largo de la misma recta. Si el origen O’ del marco S’ se desplaza con velocidad constante μ respecto del origen O del marco S debido al movimiento de la nave, luego de un tiempo t, la separación de los orígenes es de μt.

Ilustración 1: Representación de dos sistemas de coordenadas cartesianos que se desplazan entre sí a una velocidad constante μ. (Young & Freedman, pág. 1271)

Podemos describir la posición para la partícula en P en base a las coordenadas terrestres (x,y,z) en S o en base a las coordenadas de la nave espacial en (x',y',z') en S'.

En base a las nociones newtonianas de espacio y tiempo, se llega a las transformaciones galileanas.

x=x '+μt (1)

y= y '

z=z '

Para hallar la transformación galileana de velocidades unidimensionales derivamos la ecuación (1) con respecto al tiempo.

dxdt

=dx 'dt

+μ (2)

Donde dxdt es la velocidad vx medida en S y

dx 'dt es la velocidad vx ' medida en S', de

manera que la ecuación (2) tiene la forma vx=vx '+μ.

Como el postulado de Einstein nos dice que c=c ', llegamos a la conclusión de que las transformaciones galileanas son incorrectas a pesar de la deducción. Sólo son válidas en el límite cuando μ tiende a cero.

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Para hallar una solución correcta, debemos hacer modificaciones a los conceptos cinemáticos a partir del análisis del concepto de simultaneidad. En principio ambos observadores no pueden tener la misma escala de tiempo, entonces definimos la

velocidad v ' en el marco S' como v'=dx 'dt ´

PRINCIPIOS DE RELATIVIDAD

Relatividad de la simultaneidad

Un suceso es un acontecimiento con una posición y un tiempo definidos. El problema de la medición de intervalos es que en general dos sucesos que son simultáneos en un marco de referencia inercial no lo son en otro segundo marco que se desplaza con respecto al primero, aún cuando ambos marcos sean inerciales.

El principio de relatividad nos dice que ningún marco inercial de referencia es más correcto que otro por lo que la simultaneidad no es un proceso absoluto.

Relatividad de los intervalos de tiempo

Para deducir una relación entre los dos intervalos de tiempo en diferentes sistemas de coordenadas, consideramos dos marcos de referencias S y S'. S' se desplaza a lo largo del eje común x-x' con rapidez constante μ (μ<c) con respecto a S.

Ilustración 2 Sistemas de referencia S y S'.

El observador 1 viaja en S' y mide el intervalo de tiempo entre dos sucesos que ocurren en el mismo punto del espacio. El primer suceso ocurre cuando el destello de luz parte de O' desde una fuente luminosa. El segundo suceso ocurre cuando el destello regresa a O', luego de haberse reflejado en un espejo que se encuentra a una distancia d. El intervalo de tiempo es Δt 0, el subíndice indica que el aparato se halla en reposo, con velocidad cero en el marco S'. El destello de luz recorre una distancia de 2d, por lo tanto el intervalo de tiempo es

4

Δt 0=2dc (3)

El observador 2 situado en el marco de referencia S mide un intervalo de tiempo diferente Δt . La fuente se desplaza con respecto a S una distancia μ Δt y la distancia de ida y vuelta del destello es mayor 2 l.

Suponemos que ambos observadores miden la misma distancia d y podemos

relacionar las distancias por l=√d2+( μ∆ t2

)2

El tiempo del recorrido en S es ∆ t=2 lc

=2c √d2+( μ∆ t

2)2

(4)

Si reemplazamos (3) en (4) obtenemos ∆ t=2c√¿¿ (5)

Si elevamos al cuadrado y despejamos ∆ t obtenemos

∆ t=∆ t 0

√1−μ2

c2 (6)

donde γ= 1

√1− μ2

c2 es el factor de Lorentz

Como √1− μ2

c2 es menor a 1, ∆ t es mayor que ∆ t 0 por lo que el observador 2 mide un

tiempo mayor que el observador 1.

A este importante resultado llamamos dilatación de tiempo ∆ t=γ ∆ t 0

Ilustración 3: Curva del factor de Lorentz en función de la rapidez μ. (Young &Freedman, pág. 1275)

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Relatividad de la longitud

La distancia entre dos puntos también puede depender del marco de referencia del observador.

Longitudes paralelas al movimiento relativo

Consideramos una fuente de luz fija al extremo de una regla y un espejo en el otro extremo. En el marco de referencia S' la regla se encuentra en reposo y su longitud en ese marco es l0.

Ilustración 4: Representación de la longitud de una regla según dos marcos de referencia S y S'.

El tiempo necesario para que el destello recorra la regla ida y vuelta es

∆ t 0=2 l0c

(7)

En el marco de referencia S, la regla se desplaza con una rapidez μ. El tiempo que tarda de la fuente al espejo es ∆ t 1 y la longitud de la regla en S es l. El desplazamiento de la regla en ese intervalo de tiempo es μ∆ t 1 y la trayectoria total de la fuente al espejo no es l, sino

d=l+μ ∆t 1 (8)

Como el destello se propaga con una rapidez c, podemos decir que d=c ∆ t1y

c ∆ t 1=l+μ ∆ t1 ó ∆ t 1=l

c−μ .

Procedemos de la misma forma y demostramos que el recorrido de regreso es

∆ t 2=l

c+μ

El tiempo total de ida y vuelta medido en S es ∆ t=∆ t1+∆ t 2 y podemos expresarlo como

6

∆ t= lc−μ

+ lc+μ

= 2l

c(1−μ2

c2) (9)

Sabemos que ecuación (6) describe una relación entre ∆ t 0 y ∆ tpor que ∆ t 0 es el tiempo propio en S'. Si combinamos (6) y (7) obtenemos

∆ t √1−μ2

c2=2l0c

Si combinamos (8) y (9) para eliminar ∆ t se obtiene

l=l0√1−μ2

c2=

l0γ

(10)

La ecuación (10) nos dice que la longitud propia l0 medida en S' es mayor que cualquier longitud medida en otro marco de referencia en movimiento con respecto a S'. A este efecto lo llamamos contracción de la longitud.

Vamos a destacar que las longitudes medidas perpendicularmente a la dirección de movimiento no se contraen y es lo que suponíamos que la distancia d es la misma para ambos marcos de referencia en la Ecuación (4).

TRANSFORMACIONES DE LORENTZ

Estas transformaciones son congruentes con el principio de la relatividad ya que precisan el tipo de geometría del espacio-tiempo requeridas por la teoría de Einstein. Utilizamos los principios de contracción de la longitud y dilatación del tiempo para hallar las ecuaciones que relacionan las coordenadas y el tiempo de un suceso en un marco inercial S con las coordenadas y el tiempo del mismo suceso observado en un segundo marco inercial S' que se desplaza con velocidad μ con respecto a S.

Transformación de coordenadas de Lorentz

Estas transformaciones relacionan las coordenadas (x,y,z,t) de espacio-tiempo del marco S con las coordenadas (x',y',z',t') de S'.

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Ilustración 5: Representación de un suceso P en dos sistemas de coordenadas cartesianos que se mueven entre sí. (Young & Freedman, pág. 1284)

En base a la Ilustración 5, deducimos las transformaciones de Lorentz. Como

coordenada x ' es una longitud propia en S', en S se ha contraído por el factor 1γ .

Entonces la distancia x de O a P en S es

x=μt+x ' √1−μ2

c2 (11)

Despejamos x ' de esta ecuación y obtenemos x '= x−μt

√1− μ2

c2 (12) que es parte de la

transformación de Lorentz. Si consideramos el principio de la relatividad, las transformaciones de S a S' y de S' a S difieren en un signo y así llegamos a

x '=−μt+x √1−μ2

c2 (13)

Si igualamos (12) y (13) resulta

t '=t− μx

c2

√1− μ2

c2

(14)

Como el movimiento no influye en las longitudes perpendiculares a la dirección de movimiento y '= y (15)

z '=z (16)

Transformación de velocidad de Lorentz

Obtenemos las ecuaciones de velocidades si diferenciamos (13) y (14)

d x '=γ (dx−μdt)

8

d t'=γ (dt−μdxdt

)

Hacemos la siguiente división dx 'dt '

=

dxdt

−μ

1− μc2

dxdt

y llegamos a una expresión en la cual

tenemos dxdt que es la velocidad vx en S, y

dx 'dt ' que es la velocidad vx ' en S'. De esta

manera obtenemos la transformación de velocidad de Lorentz vx '=

v x−μ

1−μ vx

c2 (17).

Siguiendo el mismo análisis llegamos a la expresión vx=

vx '+μ

1+μ vx '

c2 (18).

Cuando μ y vx en (17) o μ y vx ' en (18) son muy pequeñas en comparación con c, el denominador de la ecuación tiende a 1 y la ecuación se aproxima al resultado no relativista.

EFECTO DOPPLER EN ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

El efecto Doppler describe la concomitancia del desplazamiento de la frecuencia de la luz proveniente de una fuente, debida al movimiento relativo de la fuente y el observador. Se obtiene una ecuación que relaciona la frecuencia recibida f en términos de la frecuencia emitida f 0.

Una fuente de luz se desplaza con rapidez constante μ hacia el observador, el cual está inmóvil en un marco inercial S. La fuente emite ondas luminosas de frecuencia f 0 y

periodo T 0=1f 0

.

Ilustración 6: Desplazamiento de una fuente móvil (nave) en dirección a un observador estacionario (Young & Freedman, pág. 1298).

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T es el intervalo de tiempo entre la emisición de crestas de onda sucesivas observadas en el marco S. Durante un tiempo T las crestas que van por delante de la fuente recorren una distancia cT y la fuente se desplaza una distancia menor μT en la misma dirección. La longitud de onda λ que hay entre crestas sucesivas es λ=(c−μ )T y la

frecuencia es f=c

(c−μ )T (19) medida en S.

Debido a la dilatación del tiempo no es correcto comparar T con T 0. T 0 es el tiempo propio por que se mide en la marco en reposo de la fuente. Entonces

T=T 0

√1−μ2

c2

=cT 0

√c2−μ2 y como T 0=1f 0

,

1T

=√c2−μ2

c T 0=√c2−μ2

cf 0 (20)

Dado que 1T

≠ f , sustituímos (20) en (19) para obtener f=√ c+μc−μ

f 0 (21) que representa

la fuente que se aproxima al observador. Aquí, la frecuencia observada es mayor que la emitida.

Cuando la fuente se aleja del observador se cambia el signo de μ en la ecuación (21) y

adquirimos f=√ c−μc+μ

f 0.

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BASES EXPERIMENTALES DEL EFECTO DOPPLER RELATIVISTA

EL EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY

La teoría de la relatividad especial de Einstein, marco del efecto Doppler relativista, se erigió sobre un importante experimento llevado a cabo en 1887 por Albert Abraham Michelson y Edward Morley. Este experimento buscaba medir la velocidad relativa de la Tierra respecto al éter, un supuesto medio intangible que permitiría la propagación de la luz. Contrario a lo esperado por Michelson y Morley, los resultados de la experiencia constituyeron una primera refutación a la teoría del éter y un indicio de la constancia de la velocidad de la luz.

Para el experimento se construyó un dispositivo conocido como interferómetro de Michelson. Este consta de una fuente de luz coherente apuntada hacia un espejo especial diseñado para dividir la luz incidente en dos haces perpendiculares entre sí. Cada haz se refleja en una serie de espejos e incide nuevamente en el espejo divisor, que une y dirige ambos rayos hacia un elemento colector. La interferencia constructiva y destructiva de los haces forma un patrón observable. Una alteración significativa del tiempo que demora alguno de los haces en completar su trayectoria produce un desplazamiento de las bandas del patrón.

Ilustración 7: Esquema del interferómetro de Michelson mejorado usado para el experimento de Michelson-Morley (Michelson & Morley, pág. 338). La luz parte

de la fuente en a y se divide perpendicularmente en el divisor b. Los espejos en d y e están dispuestos de forma que la distancia recorrida por cada haz es la misma.

La placa de vidrio c permite que ambos haces atraviesen el mismo espesor de vidrio.

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Si la luz se propagase a través de un medio como el éter, la velocidad relativa de la Tierra respecto de este medio tendría componentes que afectarían la velocidad de los haces de luz relativa al interferómetro. De esta forma, una reorientación del interferómetro debería provocar cambios perceptibles en el patrón de interferencia. Las variaciones registradas por el experimento Michelson y Morley señalaban que la velocidad relativa entre la Tierra y el éter era inferior a un sexto de la velocidad orbital de la Tierra, con un margen de error que admitía una velocidad nula. Este resultado permitió advertir la constancia de la velocidad de la luz respecto de cualquier marco de referencia inercial.

EL EXPERIMENTO DE IVES-STILWELL

Otro de los principales sustentos empíricos que avalan la relatividad especial fue el experimento de Herbert E. Ives y G. R. Stilwell de 1938, que midió los efectos de la dilatación temporal a partir del efecto Doppler relativista longitudinal observado en rayos anódicos. A diferencia de los resultados de Michelson-Morley, que pueden considerarse una refutación de posturas alternativas, el experimento de Ives-Stilwell constituye una prueba directa de los principios de la relatividad especial (Ives &Stilwell, pág. 215).

Con el propósito de medir los efectos de la dilatación del tiempo, Ives y Stilwell diseñaron un tubo de rayos canales de hidrógeno conectado a un espectrómetro (Ilustración 8). El electrodo positivo F mostrado en la ilustración produce un arco con el electrodo a tierra A que ioniza los átomos de hidrógeno dentro del tubo. La diferencia de potencial entre A y el electrodo B, de carga negativa acelera estos iones hacia el lado derecho del tubo. A medida que estos iones viajan, se combinan con electrones en el gas e irradian luz en frecuencias específicas correspondientes al espectro visible del hidrógeno. Una pequeña ranura permite que aquellos fotones que tengan la misma dirección de propagación que el rayo anódico ingresen a un espectrómetro. También atraviesan la ranura aquellos fotones que son reflejados por un espejo cóncavo dispuesto en el lado opuesto del tubo, inmediatamente arriba de la línea de propagación del rayo.

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Ilustración 8: Esquema del tubo de rayos anódicos empleado por Ives y Stilwell en su famoso experimento de 1938 (Ives & Stilwell, pág. 216).

La luz que se propaga en la dirección del haz de iones experimenta un corrimiento al azul, mientras que aquella que se refleja en el espejo se desplaza hacia el rojo. Desde el punto de vista clásico, las longitudes de onda correspondientes a estos corrimientos están dadas por la ecuación

λo=λ fc± vc

donde c es la velocidad de la luz, v es la rapidez de los iones, λo es la longitud de onda medida en el espectrómetro y λ f es la longitud de onda propia la fuente, obtenida en este caso a partir de la línea Hβ del espectro del hidrógeno (486,1 nm). Según la teoría clásica entonces, el desplazamiento de las longitudes de onda registradas en el espectrómetro debería ser simétrico respecto de λ f .

Desde la perspectiva de las transformaciones de Lorentz y a partir de la Ecuación (21), las longitudes de onda observadas se obtienen de la ecuación:

λo=λ f √ c± vc∓v

=λ fc± vc

γ

donde γ es el factor de Lorentz. La aparición de este factor implica que el centro de gravedad de no coincide con λ f , como ocurría para el caso clásico, sino que se encuentra desplazado hacia longitudes más cortas. En efecto, los resultados del experimento de Ives-Stilwell se separaron solo un 1% de las predicciones teóricas, lo que implicó un sustento experimental inequívoco sobre los efectos de la dilatación temporal.

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F O

F

O

EXPERIMENTOS CON ROTORES DE MÖSSBAUER

Efecto Doppler transversal

El experimento de Ives-Stilwell analiza el caso en el que el desplazamiento de la fuente es colineal respecto de la dirección en la que la luz llega a un observador estacionario. Esto quiere decir que si θo es el ángulo entre las direcciones de desplazamiento y emisión, θoequivale a 0 o π. Cuando la trayectoria de la fuente no atraviesa el punto

del observador, θo toma valores intermedios. En el punto θo=π2 , el efecto Doppler se

denomina transversal.

La distancia entre la fuente y el observador mínima cuando λo=π2 , es decir, cuando la

emisión es transversal al desplazamiento. Desde la teoría clásica, las frecuencias emitida y observada son idénticas en dicho instante

Según la teoría clásica, el cambio de frecuencia producto del movimiento relativo entre la fuente F y el observador O es proporcional a la velocidad efectiva a lo largo de la línea de visión del observador. Si se elige θo de forma tal que cosθo>0 si F y O se aproximan y cosθo<0 si se alejan entre sí, entonces el efecto Doppler está dado por:

λo=λ f

c−v cosθo

c

donde λo y λ f son las longitudes de onda según el observador y la fuente respectivamente y v es la magnitud de la velocidad relativa de F respecto de O. La

ecuación predice un corrimiento al azul en λo<π2 y un corrimiento al rojo en λo>

π2 .

Ahora bien, la relatividad especial establece un corrimiento al rojo de todas las longitudes de onda dado por el factor γ. Al aplicar esta corrección al efecto clásico, la relación de las longitudes de onda según efecto Doppler relativista está dada por:

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Ilustración 9: En la imagen de la izquierda (a), una fuente luminosa F se desplaza hacia un observador O. La luz llega a O siguiendo la misma trayectoria de F. En la derecha (b), F se encuentra en el punto más próximo a O. Allí, la luz que llega a O

es perpendicular a la trayectoria de F.

λo=λ f

c± v cosθo

cγ=λ f

c± v cosθo

√c2−v2

Para el efecto Doppler transversal, la teoría clásica considera que la longitud de onda observada (y por ende la frecuencia) coincide con la de la fuente, mientras que su variante relativista predice un corrimiento al rojo. Tal predicción pudo comprobarse en la década de 1960 a partir de distintos experimentos con rotores.

El experimento de Kündig

La corroboración empírica del efecto Doppler transversal suponía mayores dificultades técnicas que aquella referida al efecto longitudinal pues requería fijar y determinar con exactitud el ángulo formado θo entre las líneas de desplazamiento de la fuente y de observación. La solución llegó años más tarde a partir del empleo de rotores de Mössbauer, como fue el caso del experimento de Walter Kündig en 1963 (Kündig,1963).

Ilustración 10: Diagrama del rotor de Mössbauer empleado por Kündig para demostrar empíricamente el efecto Doppler transversal relativista.

El dispositivo empleado por Kündig consiste en un rotor equipado con un emisor de rayos gamma en su eje y con un receptor en un extremo a una distancia determinada. La emisión radial de los rayos permite que la línea en la que inciden en un extremo sea perpendicular a la velocidad instantánea en ese punto. Entonces, para un sistema de referencia fijo al receptor, la fuente se desplaza siempre de forma perpendicular a la línea de observación. Como consecuencia, no solo θo es constante, sino que además es

igual a π2 , lo que permite evaluar el efecto Doppler transversal de forma aislada.

El emisor F y el receptor O operan bajo el efecto de Mössbauer. Este es un fenómeno físico que consiste en la transmisión casi completa de la energía de transición nuclear

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entre átomos que han sido inmovilizados en cristales. Cuando un núcleo atómico del material en F desciende un nivel de energía, la radiación gamma resultante puede provocar el ascenso de nivel de energía de un núcleo en O. Este proceso, conocido como resonancia, se produce en rangos de energía muy estrechos.

Cuando el rotor se encuentra quieto, F y O se encuentran en resonancia. No obstante, si se hace girar el rotor a una velocidad constante ω, el efecto Doppler relativista

provoca en O una disminución de la frecuencia de los rayos gamma en un factor 1γ . La

energía de una onda electromagnética depende de su frecuencia, por lo que la rotación del rotor provoca una interrupción en la resonancia.

El emisor F se encuentra montado sobre un transductor piezoeléctrico que permite desplazarlo respecto de O a velocidades muy pequeñas. Estas velocidades pueden manipularse para provocar un aumento de frecuencias por el efecto Doppler clásico de forma que se iguale el efecto relativista y se restablezca la resonancia. De esta forma, es posible medir con gran precisión las predicciones de la teoría de la relatividad especial. En efecto, el experimento logró determinar que el cambio de frecuencias se ajustaba con 1% de diferencia a las predicciones relativistas (Richmond).

EL EFECTO DOPPLER RELATIVO EN ASTRONOMÍA

La luz de las galaxias y estrellas distantes no es monótona, sino que tiene diferentes características espectrales propias de los átomos de los gases de alrededor de las estrellas. Al examinar estos espectros, se encuentra que cuando se acerca una fuente luminosa hay un aumento de la frecuencia medida; y cuando se aleja, disminuye la frecuencia. A un aumento de la frecuencia de la luz se le llama corrimiento al azul, porque la frecuencia es mayor, hacia el extremo azul del espectro. A la disminución de la frecuencia de la luz se le llama corrimiento al rojo, porque indica un desplazamiento hacia el extremo de menor frecuencia, el extremo del rojo del espectro.

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Ilustración 11: Comparación de espectros de absorción desplazados. El primer espectro es el que no ha sufrido cambios, mientras que el segundo y el tercero

muestra corrimientos hacia el rojo y el azul respectivamente.

PARÁMETRO Z

A menudo, los astrónomos citan un llamado parámetro de corrimiento al rojo. Esta cantidad se define como la relación del corrimiento de la longitud de onda de la luz dividido entre la longitud de onda de esa luz, según se observa cuando la fuente esta en reposo:

z=∆ λλ0

=λ−λ0λ0

Después de medir z, la distinción entre corrimiento al rojo y al azul es simplemente si z es positiva o negativa.

Los desplazamientos de frecuencia pueden ser el resultado de distintos fenómenos:

1. Corrimiento al rojo gravitacional: se observa cuando la emisión de luz se produce en regiones donde la fuerza de la gravedad es mayor que en la región del observador. La luz emitida desde la superficie de un cuerpo esférico de radio R y masa M observado a grandes distancias tiene corrimiento al rojo

z= 1

√1−RS

R

−1

Donde RS es el radio de Schwarzschild, igual a 2GM/c2.

2. Corrimiento al rojo Doppler: se produce debido a un movimiento relativo en el espacio. Un cuerpo que se mueve alejándose del observador en el laboratorio, el sistema solar, o la galaxia se mueve a través del espacio y de la radiación que emite se ve desplazado hacia el rojo. Si V es la velocidad radial del cuerpo luminoso alejándose, entonces

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z=1+V

c

√1−V 2

c2

−1

3. Corrimiento al rojo cosmológico: es el resultado de la expansión del espacio en un universo en expansión. Cuerpos estacionarios, en la ampliación de espacio, reciben la radiación de otros que son desplazados hacia el rojo. La radiación se propaga a través de un espacio mayor y todas las longitudes de onda se estiran. Este desplazamiento hacia el rojo está determinado por la cantidad de expansión de acuerdo con la ley

z=R0R

−1

donde R es el valor del factor de escala en el momento de emisión y el valor R 0

en el momento de la recepción.

Una vez que se ha determinado el desplazamiento al rojo de expansión de una galaxia distante, la relación R0 / R inmediatamente nos dice cuánto se ha expandido el universo durante el tiempo que la luz ha estado viajando.

A pesar de la confusión generalizada entre la expansión y el corrimiento al rojo Doppler, la diferencia es muy marcada y fácil de entender. El corrimiento al rojo Doppler es el resultado del movimiento relativo de los cuerpos que se mueven a través del espacio; que depende de la velocidad del emisor en el instante de la emisión en relación con la velocidad del receptor, y de la velocidad del receptor en el momento de la recepción con respecto a la velocidad del emisor; que son producidos por velocidades de recesión peculiares y se rigen por las reglas de la relatividad especial. Los desplazamientos al rojo de expansión son causados por la expansión del espacio entre cuerpos que son estacionarios en el espacio; que depende en el aumento de la distancia entre el emisor y el receptor durante el tiempo de propagación; que son producidos por la recesión y las velocidades no peculiares, y que se rigen por las reglas de la relatividad general.

Es interesante destacar que el desplazamiento al rojo de expansión es independiente de la forma en que el universo se expande. Esto quizás no es muy sorprendente; después de todo, cuando una longitud de elástico se estira por una cierta cantidad, no es importante cómo el estiramiento se lleva a cabo, ya sea lentamente, de forma rápida, o en una serie de sacudidas; al final siempre se estira por una cantidad determinada. El tiempo necesario para ampliar a partir de un determinado valor R del factor de escala para el valor actual R0 y la forma en que la expansión se produce no afectan el desplazamiento al rojo de expansión.

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LA LEY DE HUBBLE

Edwin Hubble demostró que cuanto más lejos está una galaxia desde el punto de observación, más rápido se mueve a causa de la expansión del universo. La Ley de Hubble da el factor de conversión básica entre el corrimiento al rojo y la distancia. Con el uso de la constante de Hubble (la tasa de expansión del universo), y el ajuste de la geometría del universo, los astrónomos simplemente miden el desplazamiento al rojo de una galaxia y luego usan el factor de conversión para obtener la distancia a la galaxia.

La ley de Hubble está dada por: ν=H0 r donde v es la velocidad de recesión; H0 es la contante de Hubble y r es la distancia.

En los últimos años el valor del parámetro de Hubble se ha perfeccionado considerablemente, y el valor actual determinado por la misión WMAP es de 71 km / s por megaparsec.

Las velocidades de recesión de las galaxias distantes se conocen por el desplazamiento al rojo, pero las distancias son mucho más inciertas. La medición de distancias a las galaxias cercanas utiliza las variables Cefeidas como candela principal estándar, pero para determinar la constante de Hubble deben ser examinadas las galaxias más distantes, ya que las distancias Cefeidas directas se encuentran dentro del rango de la fuerza gravitacional del grupo local. (Las variables ceféidas son el tipo más importante de estrellas variables, porque se ha descubierto que sus períodos de variabilidad se relacionan con su luminosidad absoluta. Los períodos son muy regulares y varían de 1 a 100 días).

Para calcular el corrimiento al rojo cosmológico se calcula cuánto la longitud de onda observada se desplaza de la longitud de onda de descanso, y que expresa ese cambio como una relación de la longitud de onda de descanso.

Este es un ejemplo para la ilustración: Si un astrónomo está midiendo el espectro de una galaxia distante y la longitud de onda de una característica espectral es de cien nanómetros, pero para esta galaxia la característica aparece en doscientos nanómetros, el desplazamiento hacia el rojo medido es uno. Si la función aparece en tres cientos de nanómetros, el corrimiento al rojo es de dos; y así.

Los astrónomos han deducido que el corrimiento al rojo de un objeto es más que una representación de la rapidez con que se está alejando de nosotros, nos permite conocer también cuánto se ha expandido el universo ya que la luz que vemos de un objeto distante en realidad dejó ese objeto. Si un astrónomo observa que la luz de una galaxia tiene un corrimiento al rojo de uno, la luz dejó esa galaxia cuando el universo tenía la mitad de su diámetro actual; si el desplazamiento hacia el rojo es dos, entonces el universo tenía un tercio de su diámetro actual; si el desplazamiento al rojo

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es de tres, entonces el universo era un cuarto su diámetro actual. Este patrón continúa todo el camino hasta el borde del universo observable: como el desplazamiento hacia el rojo tiende a infinito, entonces el tamaño del universo se aproxima a cero (Big Bang). Eso significa que el corrimiento al rojo es una forma de medir la edad cosmológica de cualquier objeto distante se está observando. Un astrónomo puede relacionar cualquier tamaño fraccional del universo con un cierto número de años antes de nuestros días, y por lo tanto calcular la edad del universo en el momento se está observando el objeto.

Es decir, el parámetro z está relacionado con R por la expresión

1+z=λobserv ada

λemitida=

R(t 0)R( t)

donde la escala en el momento presente se toma como R0=1.

EFECTO DOPPLER RELATIVO EN MEDICINA

El efecto fotoacústico y el efecto Doppler implican dos principios físicos independientes. El efecto fotoacústico es el proceso de generación de ondas acústicas a partir de la absorción de luz modulada. El efecto Doppler es el cambio de frecuencia de una onda cuando la fuente de onda se mueve en lo que concierne a un observador. El efecto Doppler fotoacústico es la combinación de estos dos efectos. En el efecto Doppler fotoacústico (PAD), la fuente fotoacústica y el detector se mueven uno respecto a otro, mientras que el rayo láser es estacionario.

Una aplicación interesante del efecto PAD es la formación de imágenes fotoacústicas para estudiar las estructuras microvasculares. Se pueden examinar los vasos sanguíneos a una profundidad de unos pocos milímetros con una resolución espacial de decenas de micrómetros. Se puede lograr esto porque la sangre tiene una absorción óptica de uno a dos órdenes de magnitud mayor que el tejido circundante, y la ecografía dispersa de dos a tres órdenes de magnitud menor que la luz de los tejidos biológicos.

Los métodos de medición de flujo Doppler convencionales incluyen tanto la flujometría láser Doppler y flujometría acústica. Ambos se basan en el efecto Doppler basado en la dispersión, ya que ambos requieren la presencia de pequeñas partículas de dispersión (para dispersar las ondas ópticas o acústicas) para proporcionar señales de retrodispersión desplazadas por efecto Doppler. Sus desplazamientos Doppler son la suma de dos partes relacionadas con diferentes procesos cuando la fuente de onda y el detector de onda dispersada son ambos estacionarios. Uno es que la partícula en movimiento funciona como un “observador en movimiento” que “ve” el efecto Doppler en la onda emitida por la fuente; el otro es que las “partículas en movimiento”

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funcionan como fuente en movimiento que “emite” la onda dispersada hacia el detector.

Consideremos el caso especial en el que la fuente y el detector coinciden en ubicación y una partícula se mueve con una velocidad v a lo largo de una línea que tiene un ángulo θ con respecto al eje de detección. Para el desplazamiento Doppler acústico, las dos partes son diferentes y el cambio total de frecuencia fAD puede escribirse como:

f AD=f A( vs+v cosθvs

−1)+ f A( v s

vs−v cosθ−1)(1)

donde fA es la frecuencia acústica de la fuente de ondas, y vs es la velocidad del sonido.

El primer término del lado derecho de la ecuación corresponde al proceso de “observador que se mueve” en el que el cambio de frecuencia se debe a que la partícula en movimiento “ve” más longitudes de onda de la onda acústica por unidad de tiempo; el segundo término corresponde al proceso de “fuente en movimiento” en el que el desplazamiento de frecuencia se produce porque la partícula en movimiento “emite” una onda acústica con una longitud de onda más corta. Cuando v cosθ << vs la ecuación se reduce a

f AD=2 f Avcosθ

vs(2)

Para el desplazamiento Doppler láser, cuando v<<v0 donde v0 es la velocidad de la luz, el desplazamiento total fLD se expresa como

f LD=2 f 0v cosθ

v0(3)

donde f0 es la frecuencia óptica del láser.

EFECTO FOTOACÚSTICO DE UNA PEQUEÑA PARTÍCULA INMÓVIL.

Cuando una partícula sólida en un líquido es iluminada por un láser de intensidad modulada cuya intensidad variable es

I=I 0∗e−i2π f M t(4)

donde I denota la intensidad variable de la luz, I0 indica la amplitud de I, fM indica la frecuencia de modulación y t representa el tiempo.

Primero un calentamiento periódico se produce debido a la absorción de la luz por la partícula, y posteriormente, el calor se disipa al líquido circundante, causando un movimiento oscilatorio de una capa delgada de líquido en el límite partícula-líquido, y finalmente, se produce una onda acústica. La onda acústica resultante tiene una forma de onda de presión muy compleja, pero puede simplificarse con la condición (2πfM*a/vsl)<<1, donde a es el radio de la partícula y vsl es la velocidad del sonido longitudinal en la partícula sólida. La condición puede cumplirse fácilmente en un

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experimento típico que utiliza partículas micrométricas y una frecuencia de modulación de unos pocos MHz. La forma de onda de presión simplificada puede expresarse como

pA=− i μa I0a

32π f M Ar

e−i2 π f M ( t− r

v s)

(5)

donde µa es el coeficiente de absorción de la partícula, r es la distancia de la partícula, a es el radio de la partícula, vs es la velocidad del sonido en el líquido, t-r/vs el tiempo retardador de la onda acústica transportada desde la partícula, y A una constante relacionada con las propiedades físicas de la partícula.

La ecuación anterior es para una partícula sólida esférica y un resultado similar puede derivarse para una gotita de líquido esférica. Para los glóbulos rojos, que están unidos a la membrana, contienen hemoglobina y poseen forma de disco, un modelo teórico más complejo puede ser desarrollado. Aunque diferentes tipos de partículas tienen diferentes formas de onda de presión, producen la misma frecuencia acústica, que es igual a la frecuencia de modulación láser.

EFECTO PAD PARA UNA PARTÍCULA EN MOVIMIENTO.

Consideremos ahora el efecto PAD de una partícula en movimiento como se muestra en la ilustración 12. La partícula absorbe la luz en suspensión en un líquido, moviéndose a lo largo de v⃗ debido al flujo de líquido en un tubo pequeño. Cuando un haz de láser de intensidad modulada ilumina la partícula en un ángulo α con respecto a v⃗, el proceso fotoacústico es el mismo que para una partícula estacionaria y los resultados en una onda acústica. Debido al movimiento de la partícula, la onda acústica recogida en el ángulo sólido Ω por un transductor ultrasónico tiene un desplazamiento Doppler que cambia dependiendo del ángulo θ.

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Ilustración 12: Esquema del Efecto Doppler Fotoacústico para una partícula en movimiento.

La amplitud de la presión de la onda fotoacústica todavía puede describirse por la ecuación (5). El cambio PAD de la onda fotoacústica a lo largo de un ángulo θ típico incluye dos términos:

f PAD=−f Mv cosα

v p+ f M

v co sθvs

(6)

donde vp y vs son la velocidad de la onda de densidad de fotones y la velocidad del sonido en el líquido, respectivamente, y las condiciones vcosα<< vp y vcosθ<< vs son consideradas. Aquí en vez de la velocidad de la luz v0, está involucrada vp. En el efecto PAD, es la variación de la intensidad óptica en lugar del campo óptico que produce la onda fotoacústica. Podemos referirnos a la intensidad óptica que se propaga como una onda de densidad de fotones. En la ecuación (6), el primer término es el desplazamiento Doppler de la frecuencia de modulación del láser “visto” por la partícula como un “observador que se mueve”, y el segundo término es el desplazamiento Doppler de la frecuencia de onda fotoacústica “emitida” por la partícula como una “fuente de movimiento”.

Con el fin de comparar el cambio PAD con el desplazamiento Doppler acústico en la ecuación (2) y el desplazamiento Doppler de láser en la ecuación (3), consideramos el caso cuando α= 180°-θ. En este caso, la ecuación (6) se convierte en

f PAD=f Mv cosθ

v p+ f M

v cosθvs

(7)

Puede parecer que el cambio fPAD debido al efecto PAD es el resultado híbrido de la parte “observador que se mueve” en el desplazamiento Doppler láser fLD y la parte “fuente en movimiento” en el desplazamiento Doppler acústico fAD. Mientras que el

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segundo término es el mismo que en fAD, el primer término es diferente de fLD. La frecuencia óptica f0 y la velocidad de la luz v0 en la ecuación (3) se han sustituido, respectivamente, por la frecuencia de modulación fM y la velocidad de la onda de densidad de fotones vp. En un medio claro vp= v0. En un medio dispersante, vp< v0. En un medio altamente dispersante tal como el tejido biológico, vp puede ser 2 o 3 órdenes de magnitud menor que v0. Sin embargo, vp es todavía varios órdenes de magnitud mayor que vs. Como consecuencia, si θ no está cerca de 90°, la ecuación (6) se reduce a

f PAD=f Mv cosθ

vs(8)

Lo que demuestra que la dirección de la iluminación láser juega un papel insignificante en el cambio PAD. Por lo tanto, una propiedad importante del cambio de PAD es que no se ve afectado por la posible difusión de luz múltiple a partir de un medio circundante, lo que podría aleatorizar los ángulos de iluminación rápidamente.

CONCLUSIONES

El efecto Doppler relativista es una consecuencia inmediata de los postulados de la relatividad especial y de la aplicación de las transformaciones de Lorentz. Asimismo, admite una manifestación clásica cuando la velocidad relativa entre emisor y receptor tiende a cero, por lo que el efecto Doppler newtoniano puede considerarse como un caso particular del relativista. Conforme dicha velocidad tiende a la velocidad de la luz, se produce un corrimiento al azul de las frecuencias originales, que marca una asimetría no observable en casos de baja velocidad.

Dado que el efecto Doppler relativista se deriva de las transformaciones de Lorentz, no resulta extraño que su observación haya constituido uno de los mecanismos de prueba fundamentales de la teoría de la relatividad especial. Tal es el caso del experimento de Ives-Stilwell, considerado uno sus tres pilares empíricos. Este efecto tiene además una gran aplicación en astronomía pues permite, mediante el análisis del corrimiento al rojo del espectro de luz emitido por galaxias y estrellas, el cálculo de variables tales como la velocidad de desplazamiento de los astros relativa a la Tierra.

Otra aplicación importante del efecto Doppler se da en medicina, donde combinado con el efecto fotoacústico se utiliza la formación de imágenes fotoacústicas, lo que constituye un método no invasivo basado en el uso de ondas acústicas generadas por láser para la visualización de la estructura interna y la función de los tejidos blandos.

BIBLIOGRAFÍA

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