IES CARRIZAL

4º ESO (opción-B)

Álgebra Página 1

BLOQUE II: ÁLGEBRA

UNIDAD 1: POLINOMIOS. OPERACIONES CON POLINOMIOS

El curso pasado ya viste la definición de polinomio en una indeterminada, x, así como las operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios. Este curso veremos la división de polinomios y la regla de Ruffini, como caso particular de la división. 1.1. División de polinomios.

Dados los polinomios P ( x ) y Q ( x ), para poder realizar la división P ( x ) : Q ( x ) necesitamos que el grado de P ( x ) sea mayor que el de Q ( x ).

Ejemplo: Vamos a realizar la división de los siguientes polinomios: ( ) 1049422912 2345 ++−+−= xxxxxP ( ) 353 2 +−= xxxQ

Observaciones:

1) En una división de polinomios, el grado del polinomio resto, R ( x ), es menor que el grado del polinomio divisor, Q ( x ). Es decir: ( )( ) ( )( )xQgrxRgr <

2) El grado del polinomio cociente, C ( x ), es la diferencia entre el grado del polinomio dividendo y el grado del polinomio divisor.

Realiza las siguientes divisiones de polinomios:

a) ( ) ( )3:5323 2234 +−+−+− xxxxx

b) ( ) ( )43:5235 235 +−−+− xxxxx

c) ( ) ( )4952:542686147196 2323456 −−+−−+−+−+− xxxxxxxxx

d) ( ) ( )342:23434849441014 323456 +−−−+−+−+− xxxxxxxx

P ( x ) Q ( x ) R ( x ) C ( x ) de donde se deriva que P ( x ) = Q ( x ) . C ( x ) + R ( x ) Al polinomio C ( x ) lo llamaremos cociente y al polinomio R ( x ) lo llamaremos resto de la división.

ACTIVIDADES

IES CARRIZAL

4º ESO (opción-B)

Álgebra Página 2

1.2. Regla de Ruffini. Vamos a utilizar la regla de Ruffini para dividir el polinomio ( ) 324 23 +−+−= xxxxP entre x – 2. Realiza las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini:

a) ( ) ( )1:13 −− xx e) ( ) ( )2:23 23 ++− xxxx

b) ( ) ( )1:353 24 +−+−− xxxx f) ( ) ( )2:42 23 −+− xxx

c) ( ) ( )3:23 23 −−+− xxxx g) ( ) ( )1:124 −+−− xxxx

d) ( ) ( )2:35 3 +− xx h) ( ) ( )2:48232 367 −+++− xxxx 1.3. Teorema del resto. Raíces de un polinomio. Teorema del resto: Probemos el teorema: P ( x ) = C ( x ) . ( x – a ) + R Hallando el valor numérico de P ( x ) para x = a resulta: P ( a ) = C ( a ) . ( a – a ) + R Luego P ( a ) = C ( a ) . 0 + R, es decir: P ( a ) = 0 + R Por tanto: P ( a ) = R Este teorema permite calcular el resto de la división de un polinomio P ( x ) entre ( x – a ) sin necesidad de hacer la división, como vemos en el siguiente ejemplo: ¿ Cuál es el resto de la siguiente división ? : ( ) ( )2:124 24 +−− xxx

a) Aplicando la regla de Ruffini b) Calculando el valor numérico del polinomio para x = -2.

Raíces de un polinomio:

La regla de Ruffini es un algoritmo que sirve para dividir cualquier polinomio entre otro polinomio del tipo x – a, siendo a un número real cualquiera

ACTIVIDADES

El resto de la división de un polinomio P ( x ) entre ( x – a ) es igual al valor numérico del polinomio P ( x ) para x =a; es decir: P ( a ) = R.

Un número a es una raíz del polinomio P ( x ) si el valor numérico de P ( x ) para x = a es cero. Es decir: P ( a ) = 0

IES CARRIZAL

4º ESO (opción-B)

Álgebra Página 3

Por tanto: Si tenemos un polinomio P ( x ) con coeficientes reales y a es una raíz de dicho polinomio, P ( a ) = 0, por el teorema del resto tenemos que P ( x ) es divisible entre x – a, ya que el resto es cero, por lo que: P ( x ) = C ( x ) . ( x – a ) Ejemplo: Comprueba que x = 3 y x = 2 son raíces del polinomio ( ) 652 +−= xxxP Ahora bien, ¿ cuántas raíces reales puede tener un polinomio con coeficientes reales ?. Raíces enteras de un polinomio: Por tanto: Los candidatos a raíz entera de un polinomio con coeficientes enteros son los divisores de su término independiente. Ejemplo: ¿ Cuáles son las raíces enteras del polinomio ( ) 252 23 −−−= xxxxP ?. 1ª) Calcula el resto de ( ) ( )1:323 234 +−+− xxxx sin efectuar la división. 2ª) Realiza la división del ejercicio anterior utilizando la regla de Ruffini y comprueba que obtienes el mismo resultado para el resto. 3ª) En cada caso, calcula el valor de m para que la división sea exacta.

a) ( ) ( )3:42 +−+ xmxx c) ( ) ( )3:125 24 −+++ xmxxx

b) ( ) ( )1:5 23 −+− xmxx d) ( ) ( )1:104 235 +−+− xmxxx

El número de raíces de un polinomio es igual o menor que el grado del polinomio

Consideremos un polinomio P ( x ) con coeficientes enteros y a ∈ Z una raíz de P ( x ), entonces a divide al término independiente de P ( x ).

ACTIVIDADES

IES CARRIZAL

4º ESO (opción-B)

Álgebra Página 4

5ª) Busca dos raíces enteras para cada uno de los siguientes polinomios:

a) 483 23 −−− xxx c) 18272032 234 +−−+ xxxx b) 2323 23 −−+ xxx d) 92710303 2345 ++−−+ xxxxx

1.4. Factorización de polinomios. Ejemplo: Vamos a factorizar el polinomio xxxx 8822 234 −−+ Si en la factorización de un polinomio P ( x ), aparece dos veces el binomio ( x – a ), el polinomio P ( x ) tiene una raíz doble en a. 1ª) Factoriza los siguientes polinomios:

a) 133 23 −+− xxx d) xxxx 241263 234 −−+ b) 672 23 +−− xxx e) 14 −x c) 485 23 +++ xxx f) xxxx 12633 245 −−−

2ª) Primero, saca factor común y después aplica las igualdades notables para factorizar los siguientes polinomios:

a) xx 163 − d) xxx 96 23 ++ b) 26 xx − e) xxx 2510 23 +− c) xx 82 3 − f) 234 46 xxx +−

Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de varios polinomios

ACTIVIDADES

IES CARRIZAL

4º ESO (opción-B)

Álgebra Página 5

IES CARRIZAL

4º ESO (opción-B)

Álgebra Página 6

UNIDAD 2: ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS

Como recordarás de cursos pasados: Además:

Todo lo anterior pudimos comprobarlo resolviendo ecuaciones de primer y segundo grado, así como sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. El presente curso abordaremos la resolución de otro tipo de ecuaciones, como por ejemplo:

a) Ecuaciones bicuadradas. b) Ecuaciones polinómicas.

Además, veremos la resolución de inecuaciones lineales con una y dos incógnitas y de

sistemas de inecuaciones lineales, así como el planteamiento, resolución e interpretación gráfica de las soluciones de problemas mediante estos tipos de inecuaciones.

2.1. Ecuaciones bicuadradas. Observamos que las ecuaciones bicuadradas son como ecuaciones de 2º grado con la incógnita elevada al cuadrado. Para resolverlas, hacemos el cambio de variable 2xz = . Tras resolver la ecuación en z, deshacemos el cambio de variable y despejamos x para obtener las soluciones de la ecuación. Ejemplo: 045 24 =+− xx 2.2. Ecuaciones polinómicas. Resolver una ecuación polinómica es buscarle las raíces al polinomio. Para ello, descomponemos factorialmente el polinomio utilizando la regla de Ruffini.

Una ecuación es una igualdad algebraica que se cumple para determinados valores de las letras, llamadas incógnitas.

Una solución real de una ecuación es un valor de la incógnita que verifica la ecuación.

Una ecuación bicuadrada es una ecuación de la forma: 0cbxax 24 =++

Una ecuación polinómica es una ecuación de la forma: 0axa...xa 01

nn =+++

IES CARRIZAL

4º ESO (opción-B)

Álgebra Página 7

Ejemplo: 022 2345 =−+− xxxx 2.3. Inecuaciones lineales con una incógnita. Por tanto, la solución de una inecuación lineal con una incógnita no es única, sino que estará formada por todos los números reales que cumplan la desigualdad. Ejemplos: 42 −<x 63 −≥− x Para resolver inecuaciones lineales con una incógnita procederemos a realizar las mismas transformaciones que realizábamos con las ecuaciones de primer grado, excepto cuando multipliquemos o dividamos los dos miembros de la inecuación por números negativo, en cuyo caso, la desigualdad cambia de sentido. Ejemplo: Vamos a resolver e interpretar gráficamente las soluciones de las siguientes inecuaciones:

a) ( ) ( ) 1625132 +≥+−− xxx b) ( ) 23323 +−>+−+− xxx 2.4. Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. En algunas ocasiones podemos encontrarnos con dos o más inecuaciones que necesitamos que se verifiquen simultáneamente, formando un sistema de inecuaciones. Para resolverlos seguiremos los siguientes pasos:

a) Resolveremos cada una de las inecuaciones que forman el sistema. b) Representaremos cada solución en la recta real. c) Buscaremos las soluciones comunes (intersección de las soluciones) que verifiquen

todas las inecuaciones. Estas soluciones se expresan mediante intervalos. Ejemplo: Vamos a resolver e interpretar gráficamente las soluciones de los siguientes sistemas de inecuaciones:

a)

+≥−−>+

235132

xxx

b)

+−≤+−−>−

xxxx

31236453

Una inecuación es una expresión algebraica con una desigualdad, de cuya resolución obtenemos los valores de la incógnita que verifican dicha desigualdad. Diremos que una inecuación con una incógnita es lineal si está formada por una expresión polinómica de primer grado.

IES CARRIZAL

4º ESO (opción-B)

Álgebra Página 8

2.5. Inecuaciones lineales con dos incógnitas.

IES CARRIZAL

4º ESO (opción-B)

Álgebra Página 9

1ª) Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:

a) 0365 24 =−− xx c) 181912 24 =− xx

b) 0103115 24 =++ xx d) 016 24 =−+ xx 2ª) Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:

a) ( ) ( ) ( ) 013232 =−⋅+⋅− xxxx c) 02212 23 =−− xxx

b) ( ) ( ) ( ) 012123 222 =+⋅−+−⋅− xxxx d) 016 26 =− xx 3ª) Resuelve las siguientes inecuaciones y representa las soluciones en la recta real:

a) xxx≥

+−

−8

24

23 c)

61

32

4xxx

+−≤−

b) 12

26

233

2−

−<

+−

− xxx d)

( ) 22

125

132+>

+−

+− xxxx

4ª) Determina el conjunto de soluciones de los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) ( )

−≥−

−+≤−

2105

3

41332xx

xx c)

+−≥−−>+−xx

xx3435

2753

b) ( )

+−<−

+−≥−−

13

222532

xxxxx

d) ( ) ( )( ) ( )

+−≤−−+−≥−+−

5232542654522

xxxxxx

5ª) Dos niños montados en bicicleta están a una distancia de 350 m. Si empiezan a pedalear hasta encontrarse con una velocidad de 6 y 8 m/s, respectivamente, ¿ cuántos metros recorrerá cada niño ?, ¿ y qué tiempo tardarán en encontrarse ?. 6ª) Un vehículo circula a una velocidad de 25 m/s ( 90 km/h ). De pronto se cruza un peatón y tiene que frenar con una desaceleración de 7 m/s2, recorriendo una distancia de 37,5 m. Calcula el tiempo que tardará en frenar el vehículo.

Nota: la aceleración de frenado o desaceleración ha de ser negativa. Utiliza la ecuación 22

1attvs += .

7ª) Determina qué números verifican que su mitad más su tercera parte es menor que 30. 8ª) Determina qué números verifican que su tercera parte es superior a su octava parte en más de 10 unidades. 9ª) Determina los valores posibles del lado desigual de un triángulo isósceles si cada uno de los lados iguales mide 12 cm y el perímetro ha de ser superior a 72 cm. 10ª) Determina los valores que puede tomar la altura de un rectángulo cuyo perímetro no supera los 26 cm y la base excede en 7 cm la longitud de su altura. 11ª) Averigua cuántas agendas escolares se han podido vender a 40 € si su número no era superior a 180 y la cantidad que se ha obtenido por su venta excede de 6800 €. 12ª) Adivina cuántos años puede tener mi hermano si es mayor de edad y hace 10 años su edad no superaba a la mitad de la que tiene actualmente. 13ª) Laura dispone de 41,67 € para comprar bolígrafos y rotuladores. Si cada bolígrafo cuesta 1,79 € y cada rotulador, 2,98 €. ¿ Podrá comprar 6 bolígrafos y 10 rotuladores ?, ¿ y 16 bolígrafos y 6 rotuladores? 13ª) Representa la región del plano formada por los puntos que cumplan que su abscisa más el doble de su ordenada es menor o igual que 16.

ACTIVIDADES