Cociente de un polinomio entre un monomioPara dividir un polinomio entre un monomio, dividimos cada trmino del polinomio entre el monomio. Ej:

Cociente de polinomiosPara dividir un polinomio entre un polinomio, seguiremos los siguientes pasos: 1) Ordenamos los trminos del dividendo (si falta algn trmino, se deja el hueco) y del divisor y los dispondremos como una divisin normal.

Cociente de polinomios (II)2) Se divide el primer trmino del dividendo con el primer trmino del divisor, as se obtiene el primer trmino del cociente. 3) Se multiplica el primer trmino del cociente por cada trmino del divisor y el producto pasa restando al dividendo.

Cociente de polinomios (III)4) Se suman algebraicamente. 5) Se divide el primer trmino del nuevo residuo, entre el primer trmino del divisor, as obtenemos el segundo trmino del divisor. Este segundo trmino se multiplica por el divisor y se pasa restando al dividendo.

Cociente de polinomios (IV)6) Se repite el procedimiento hasta que el grado del polinomio resto sea menor que el grado del polinomio divisor.

Cociente de polinomios Polinomio dividendoPolinomio divisorPolinomio cocientePolinomio resto

Cociente de polinomios Prueba de la divisin:Si el resto de la divisin es 0 (polinomio nulo), la divisin se llama exacta y se dice que: El polinomio D(x) es divisible por d(x), o mltiplo de d(x). El polinomio d(x) es factor por D(x), o divisor de D(x).

* 6x3 17x2 + 15x 8 3x 4

Realiza la siguiente divisin:-6x3 + 8x22x2 - 9x2+ 15x- 3x 9x2- 12x + 3x - 8+ 1 -3x + 4 - 46x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4Cociente de polinomios

Regla de RuffiniLa regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fcilmente el cociente y el resto de la divisin de un polinomio por un binomio de la forma x-a. 1) Ordenamos los trminos del dividendo y del divisor.

Regla de Ruffini (II)2) Se colocan los coeficientes de cada trmino. Si no apareciese algn trmino entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0.3) A la izquierda se pone el nmero que se resta a x en d(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del trmino de mayor grado.4) Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del trmino siguiente y se suman .

Regla de Ruffini (III)5) El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el nmero situado a la izquierda y se repite el proceso.El ltimo nmero (recuadro rojo) se corresponde con el resto de la divisin mientras que el resto de nmeros de la fila inferior son los coeficientes del cociente.

Realiza las siguientes divisiones, indicando el cociente y el resto obtenido:Regla de Ruffini (III)2 -5 -30 11 -3 2 -6 -11 33 3 -9 2 Resto: 2-1 0 0 -3 22 2 -1 -2 -2 -4 -4 -8 -11 -22 0 Resto: 0NOTA: El polinomio cociente es de un grado menor que el dividendo

Teorema del restoTeorema del resto: El resto R de dividir un polinomio P(x) entre x - a , es igual al valor numrico del polinomio para x=a. R = P(a) Esto se deduce de la definicin de divisin, cuando el divisor d(x)=x-a: Cuando x=a: P(a)= R

Teorema del restoSin efectuar la divisin, calcula el resto: = 2= 0

El resto de dividir el polinomio P(x)=x3-x2+kx+2 entre x-1 es 6. Halla el valor de k: Aplicacin del Teorema del restoAplicando el teorema del resto: R=P(1)=6 P(x)=x3-x2+4x+2

Teorema del factorTeorema del factor: Un polinomio P(x) tiene como factor x - a , si el valor numrico del polinomio para x=a es 0. Este resultado tambin proviene de la definicin de divisin, cuando el divisor d(x)=x-a: Si el resto R=0: Esta relacin indica que (x-a) es un factor o divisor del polinomio P(x).

Comprobar si x+3 es un factor del polinomio P(x)=x3+2x2-6x-9. Aplicacin del Teorema del factorAplicando el teorema del factor, si R=P(-3)=0, entonces x+3 ser un factor de P(x): Entonces x+3 es un factor de P(x) x3+2x2-6x-9 porque el resto es 0.

Comprobar si x+3 es un factor del polinomio P(x)=x3+2x2-6x-9, aplicando Ruffini: 1 2 -6 -9 -3 1 -3 -1 3 -3 9 0

Races de un polinomioLas races de un polinomio P(x) son los valores que lo hacen cero, es decir,las soluciones de la ecuacin P(x)= 0. Un polinomio de grado n, tiene como mximo,n races reales. Si un polinomio tiene races enteras, stas son divisores del trmino independiente .

Races enteras de un polinomioPara hallar las races enteras de un polinomio, aplicaremos el teorema del resto a los divisores del trmino independiente. Si el resto es 0, diremos que ese nmero es raz del polinomio. EJ: Calcula las races enteras del siguiente polinomio: Las posibles races enteras sern: 1 s es raz -1 s es raz 3 NO es raz -3 s es raz Las races enteras de P(x) son 1, -1 y -3.

Races enteras de un polinomioCuando un polinomio no tiene trmino independiente, se debe extraer factor comn de x, x2, x3.... La raz de ese monomio extrado siempre ser 0. EJ: Calcula las races enteras del siguiente polinomio: Las posibles races enteras sern: 1 s es raz Las races enteras de P(x) son 0, 1 y -1.0 s es raz doble -1 s es raz

Races enteras de un polinomioExisten polinomios que no tienen races enteras. EJ: Calcula las races enteras del siguiente polinomio: Las posibles races enteras sern: 1 NO es raz -1 NO es raz 2 NO es raz -2 NO es raz P(x) no tiene races enteras. Se llaman polinomios irreducibles.

Factorizacin de polinomiosFactorizar un polinomio es descomponerlo en 2 o ms polinomios de menor grado, de forma que su producto sea el polinomio dado. EJ: Factoriza el siguiente polinomio: Se busca una raz mediante la Regla de Ruffini, entre las posibles races enteras: 1 7 11 5 1 1 1 8 8 19 19 24 1 NO es raz

1 7 11 5 -1 1 -1 6 -6 5 -5 0 -1 s es raz Es necesario volver a probar si -1 es raz -1 1 -1 5 -5 0 -1 s es raz No existe un mtodo nico para factorizar un polinomio. Lo habitual es buscar una raz a y expresarlo como x-a multiplicado por el cociente.

PASOS PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO Factorizacin de polinomios1.-Sacar factor comn, si se puede. 2.- Buscar las races enteras, poco a poco, y vamos descomponiendo el polinomo, hasta llegar a un polinomio de 2 grado.3.- Observar el polinomio de 2 grado y puede pasar:a) Que sea una identidad notable. Lo factorizo usndola.b) Que no lo sea. Resuelvo la ecuacin de 2 grado que sale al igualar a cero el polinomio.4. Escribo la factorizacin del polinomio, multiplicando por el coeficiente de mayor grado si es distinto de 1.

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