x s2 División de Polinomios

7/17/2019 x s2 División de Polinomios

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1 ÁLGEBRA TEMA 2SAN MARCOS INTRODUCTORIO REPASO 2015- I

DIVISIÓN DE POLINOMIOSÁLGEBRA - TEMA 2

I. IDENTIDAD FUNDAMENTALSean los polinomios D(x) y d(x) no constantes.

Efectuar D(x) d(x) consiste en hallar otros dos

polinomios q(x) y R(x) de manera que:

Algoritmo de la división:

D(x) d(x) .q(x) R(x)+

D: dividendo q: cociented: divisor R: residuoEjemplo:

4 3 2

D(x)

5x 15x 7x x 1

+ – – +

2 2

R(x)d(x) q(x)

(x 3x 1) (5x 2) 5x 1

= + – – + –

Observación:grado [D] = 4; grado [d] = 2grado [q] = 2; grado [R] = 1

Teoremas

grado [D] = grado [d] + grado [q]

grado [R] < grado [d]

grado [R]max = grado [d] – 1

Ejemplo:3 2 2x x x 2 (x x 1)(x 2) – – – + + – ;

R(x) 0 es exacta.2 2x 2x 1 (x 1) – + – ;

R(x) 0 es exacta.3 2 29x 6x 2x 4 (3x x 1)(3x 1) 3+ – – + – + – ;

R(x) 0 no es exacta.

II. MÉTODO DE HORNERProblema 1

Efectuar: 5 4 3 2

2

15x x 8x 3x 8

2x 5x 2

– – + –

– + –

Nota:

Si R(x) 0 se dice que D(x) d(x) es exacta;ademásD(x) d(x) .q(x) ; pues el residuo R(x) 0 es nulo.

1. Ordenar y completar al dividendo y divisor:5 4 3 2

2

15x x 8x 3x 0x 8

5x 2x 2

– – + + –

– –

2. Armar el esquema de Horner según:

Nota:D(x) y d(x) deben estar completos y ordenados enforma descendente.

Luego para el ejemplo:

5

2

2 5

6 6

2 20 0

2 2

-6210132 x

15 -1 -8 3 0 -8

=

+

3 +1

4

q(x) = 3x + x + 1 ; R(x) =2x - 63 2

Nota

Procedimiento1. Dividido el primer coeficiente del D(x) entre el

primero de d(x).

2. El resultado se coloca como el primer coeficiente

de q(x) y se multiplica con cada coeficiente de

d(x) a excepción del primero.

3. Los resultados anteriores se colocan debajo delos coeficientes de D(x) corriendo un lugar a la

derecha. Luego sumar y repetir pasos.

DESARROLLO DEL TEMA



DIVISIÓN DE POLINOMIOSExigimos más!


Nota:Hemos colocado la línea divisora contando 2columnas, pues el grado (d) = 2.

Problema 2a. Efectuar:

5 4 3

26x 6x x x 1

x x 1

– + – +

– +

Respuesta:q(x) = 6x3 – 5x – 5R(x) = –x + 6

b. Completa el esquema:

Luego: q(x) =R(x) =

Además: D(x) =d(x) =

Problema 3

Halle B + C si:4 3 2

2

2x Bx Cx 17x 20

2x 3x 5

+ + – +

– +es exacta.

Resolución:

La división es exacta si R(x) 0 . Luego completamos

el esquema desde el final hacia adelante.

B 31 B 5

2

+= – = –

C 16C 5 34

2 B C 11

= – –=

+ =

III. MÉTODO DE RUFFININos permite efectuar:

P(x)ax b+

Ejemplo 1:

Caso a 1=

Efectuar:3 23x 8x 2x 24

x 3 – + –

–

1. Observe que d(x) = x – 3 en este caso a 1= ; b = –3.

2. Arme el esquema según:

Para nuestro caso:

Procedimiento

1. El primer coeficiente de D(x) pasa al grupo de

los coeficientes de q(x) y multiplica al valor

despejado de "x".

2. El resultado se coloca debajo de los coeficientes

de D(x) corriendo un lugar a la derecha.

3. Se suma y el resultado vuelve a multiplicarse con "x".

4. Cuando a 1 hay un paso adicional que realizar,,

veamos otro ejemplo.

Ejemplo 2:

Caso a 1

Efectuar: 3 22x 3x 11x 62x 1

+ + ++

1. Observe que d(x) = 2x + 1

En este caso a 2= ; b = 1

2. Esquema:

3. Observe que cuando a 1 tenemos que dividir

entre "a" antes de hallar los coeficientes de q(x).

Nota:

El residuo en este método siempre es una constante.

Los polinomios también deben estar completos yordenados.



Exigimos más!DIVISIÓN DE POLINOMIOS

3 ARITMÉ ÁLGEBRATICA TEMA 2SAN MARCOS INTRODUCTORIO REPASO 2015- I

Problema 4

a. Efectuar:3 25x x 15x 8

5x 1 – – +

–Respuesta

q(x) = x2 – 3

R(x) = 5

b. Complete el esquema:

3x - 2 = 0

x =

a =

15 -7 -11 11

q(x) =R(x) =

III. TEOREMA DEL RESTOSu aplicación permite obtener residuos sin efectuar la

división.

Nota:

Sea el polinomio P(x) no constante. El resto de dividir

P(x) entre ax + b es R = P( –b/a).

Ejemplo 1:

P(x) = (ax + b) q(x) + R

Si x = –b/a

0

b bP a b q(x) R

a a

– = – + +

Luego:

bR Pa

= –

Ejemplo 2:Halle el residuo de:

22x 9x 22x 1+ +

–Resolución:

Como el divisor d(x) = ax + b = 2x – 1.

b 1x

a 2= – =

P(x) = 2x2 + 9x + 2

21 1 1

P 2 9 2 72 2 2

= + + =

R 7=

IV. REGLA PRÁCTICA

Para hallar el residuo en:P(x)

ax b+

1. Iguale ax + b = 0.

Despeje bx

a= – que es un valor conveniente.

2. Evalúe P(x) en bx

a= – .

Luego el residuo es:

bR P

a

= –

Problema 5Halle el residuo en:

30 10 5

2

x x x 3

x 1

– + –

+

Resolución:

1. 2 2x 1 0 x 1+ = = – un valor conveniente.

2 . P(x) = x30 – x10 + x5 – 3P(x) = (x2)15 – (x2)5 + (x2)2 x – 3

x2 = –1R = ( –1)15 – ( –1)5 + ( –1)2x – 3

R = x – 3

Problema 1

Al dividi r un polinomio P(x) en tre

x2 – 1 se obt iene –2x + 4 de

residuo y al dividirlo entre: x2 – x – 2

se tiene 8x + 14 de residuo.

Determinar el residuo que se obtendría

al dividir P(x) entre x3 – 2x2 – x + 2.

San Ma rco s 2008 - I

Nivel di f íc i l

A) 10x2 – 2x – 6

B) 10x2 + 2x + 6

C) –10x2

– 2x + 6D) –10x2 +6x –2

E) 10x2 + 6x – 2

Resolución:Por el algoritmo de la división:

D(x) = d(x) . q(x) + R(x)

Tenemos:

I. P(x) = (x + 1)(x – 1).q(x) – 2x + 4

II. P(x) = (x2 – x – 2).q(x) + 8x + 14

III. P(x)=(x –1)(x2 –x –2)q(x)+ax2 + bx + c

En (I):

x = –1

P(–1) = 6x = 1

P(1) = 2

En (II):x = 2

P(2) = 30

En (III):x = 1 a + b + c = 2x = –1 a – b + c = 6x = 2 4a + 2b + c = 30Resolviendo:

a = 10; b = –2; c = –6Entonces:

R(x) = 10x2 – 2x – 6

Respuesta: A) 10x2 – 2x – 6

Problema 2Hallar el valor de "m + n" sabiendo que

al dividir mx2 + nx – 1 entre "x + 1" elresiduo es "0" y al dividirlo entre

"2x + 1" el residuo es " –1".

PROBLEMAS RESUELTOS



DIVISIÓN DE POLINOMIOSExigimos más!


NIVEL I

1. Halle la suma de los términos

independientes del cociente y el

resto en:

4 3 5

3

4x 9x 6x 1

x 2x 1

+ + –

+ –

A) 2 B) 3

C) 6 D) 5

E) 7

2. Halle la suma de coeficientes del

resto en la siguiente división:4

2

3x 75x 92

x 2x 4

+ –

+ – A) 4 B) 3

C) 7 D) 8

E) 1

3. Efectue la siguiente división

6 5 2 4 3

3

4x 8x 5x 2x 7x 1

1 2x 4x

+ – + + –

– + +

dar como respuesta el cociente

A) 24x 2x 1+ –

B) 23x 2x – –

C) 3 2x 2x 1+ +

D) 3x 1+

E) 3 22x 3x x 1+ + –

4. Efectue:3 22x 4x 1

x 1+ +

+halle la suma de coeficientes delcociente.

A) 1 B) 2C) 3 D) 4

E) 5

5. Dividir:43x 5x 2x 2 – +

+

indique el término cuadrático del

cociente

A) 212x B) 25x

C) 26x – D) 25x –

E) 26x

NIVEL II

6. Halle la suma de coeficientes del

cociente en:

4 227x 6x x 153x 1

– + + –

A) 11 B) 33

C) 12 D) 13

E) 34

7. Halle el resto en:

3 24x 5x 3x 1x 2

– + –+

A) 58 B) –58

C) 67 D) –59

E) 60


5 4 2

2

x x 3x 1

x 1

– + +

+

A) 3x B) x – 3

C) x + 1 D) x – 1

E) x + 3


33x x 1 5x 3

x x 1 4

+ – +

+ –

A) 5x – 67B) 5x + 67

C) –5x + 67

D) 5x

E) 67

10. En la siguiente división,

412x nx 5x 1+ + –

determine el resto

para que la suma de sus coeficientes

del cociente sea 93.

A) 17 B) 16

C) 19 D) 18

E) 15

11. Un polinomio P(x) de tercer

grado se divide separadamente

entre (x – 1); (x – 2) y (x + 3).

Dando como resto común 5.

Además al dividirlo entre (x + 1)

da un resto igual a 29. Calcular el

termino independiente de P(x).

A) 17 B) 16

C) 15 D) 14

E) 13

12. Un polinomio P(x) mónico y de

segundo grado al ser dividido

entre x + 3 da como resultado

cierto cociente Q(x) y un resto

12. Si se divide P(x) entre el

mismo cociente aumentado en 4,

la división resulta exacta. Hallar el

resto de dividir P(x) entre x – 5.

A) 16 B) 17

C) 18 D) 19

E) 20

San Ma rco s 2005 - I I

N ive l intermedio

A) 3 B) 1 C) 0

D) –1 E) 2

Resolución: Aplicando el teorema del resto:

x = –1:m( –1)2 + n( –1) – 1 = 0

m – n = 1 ... (1)x = –1/2:m( –1/2)2 + n( –1/2) – 1 = –1 m = 2n ... (2)

De (1) y (2): n = 1; m = 2.

Entonces: m + n = 2 + 1 = 3.

Respuesta: A) 3

Problema 3¿Cuál es el número que se le deberestar al siguiente polinomio:

P(x) = 2x5 – x3 – 2x2 + 1para que sea divisible por (x – 2)Dar como respuesta la suma de cifrasde dicho número.

San Ma rco s 2006 - I

Nivel fác i l

A) 10 B) 19 C) 13

D) 16 E) 9

Resolución:

Sea "n" el número que debemos restarle;

entonces:2x5 – x3 – 2x2 + 1 – n = (x – 2).q(x)

Si: x = 2:

2.25 – 23 – 2.22 + 1 – n = 0

n = 49

Se pide: 4 + 9 = 13

Respuesta: C) 13

probl emas de cl ase



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5 ARITMÉ ÁLGEBRATICA TEMA 2SAN MARCOS INTRODUCTORIO REPASO 2015- I

NIVEL III

13. Al divid ir e l po l inomio P(x)

po r 2x 1 – se obtiene comoresiduo 2x y al dividirlo por

3x 2 – da como residuo 3x.Hallar el residuo de dividir P(x) por(x – 1)(x – 2).

A) 4x – 2 B) 4x + 2

C) –4x + 2 D) –4x – 2

E) 4x

14. Si el resto de la división:

11 3x 3 x 4

x 3 x 4

– + –

– –

tiene la forma x + , calcule:

A) –20

B) –7

C) 14

D) –14

E) 7

15. Cuando dividimos P(x) entre

3x 2+ el residuo es 2x 1 –

x 3+ + 2x, ¿cuál es el resto de

P(x) entre x + 2?

A) 2

B) –21

C) –9

D) 4

E) –2

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