Bài toán vận tải

1

Bài toán vận tải1. Mô hình bài toán Một công ty có m kho hàng, tương ứng kho hàng Ai

chứa lượng hàng ai. Có n điểm bán hàng, tương ứng với điểm bán Bj bánđược lượng hàng bj.

Khi chuyển một lượng hàng từ kho Ai sang điểm bánBj, chi phí vận chuyển là cij. C={cij: i=1.m, j=1.n}

Theo phương án vận chuyển: xij là lượng hàng vậnchuyển từ kho Ai sang Bj. X={xij:i=1.m,j=1.n}

Mục tiêu bài toán là chi phí vận chuyển thấp nhất

m

i

n

jijij xc

1 1

min

2

Phát biểu bài toán f(x)= ∑∑ cijxij→ min (1) ∑xij=ai i=1.m (2) ∑xij=bj j=1.n (3) xij>=0, i=1.m, j=1.n (4) xij (i=1.m, j=1.n ) Hàng từ Ai(i= 1.m) đến Bj(j=1.n ) ∑ai=∑bj (i=1.m, j=1.n) cân bằng thu phát ∑ai∑bj (i=1.m, j=1.n) Không cân bằng thu phát

Bài toán vận tải

3


Sự tồn tại nghiệm cực biên tối ưu (cân bằng thu phát) Đây là bài toán tối ưu quy hoạch tuyến tính nên có lời giải sẽ

là điểm cực biên tối ưu Do cij ≥ 0, xij ≥ 0 i,j

Vậy hàm luôn bị chặn dưới1 1

( ) 0m n

ij iji j

f x c x

4


Sự tồn tại nghiệm cực biên tối ưu Xây dựng phương án

j

m

i

m

iijij

i

n

j

n

jjiij

ij

jiij

n

jj

m

ii

bdabx

adbax

jix

njmidbax

bad

1 1

1 1

11

/

/

),(0

).1,.1(/

5


Sự tồn tại nghiệm cực biên tối ưu Vậy bài toán bị chặn dưới và có phương án nên bài toán có

phương án tối ưu cực biên Do tính đặc biệt sẽ thể hiện bài toán này ở dạng bảng

6


2. Mô hình dạng bảng

b1 b2 … bn

a1 c11 c12 … c1n

a2 c21 c22 … c2n

… .. .. … ..

am cm1 cm2 … cmn

ThuPhát

7


Điểm cung Lượng hàng

A1 10A2 5A3 5

Điểm cầu Lượng hàng

B1 13

B2 7

B1 B2

A1 6 3

A2 5 3

A3 4 2

8


Mô hình bài toán vận tải Ví dụ 1

13 7

10 6 3

5 5 3

5 4 2

9


Mô hình bài toán vận tải Ví dụ 1: Cân bằng thu phát

13 7

106

?3

?

55

?3

?

54

?2

?

10


Ví dụ 1: Cân bằng thu phátPhương án 1: hàm mục tiêu 91

13 7

106

103

55

33

2

54 2

5

11



13 7

106

53

5

55

53

54

32

2

12



13 7

106

33

7

55

53

54

52

13


Mô hình bài toán vận tải Ví dụ 2: Không cân bằng thu phát

13 7

106

?3

?

55

?3

?

74

?2

?

14


Ví dụ 2: Không cân bằng thu phát Phương án 1: 91

13 7

106

103

55

33

2

74 2

5

15



13 7

106

103

55

33

0

74 2

7

16



13 7

106

33

7

55

53

74

52

17


Mô hình bài toán vận tải Ví dụ 3: Không cân bằng thu phát

15 10

106

?3

?

55

?3

?

54

?2

?

18



15 10

106

103

55

53

54 2

5

19


2. Mô hình dạng bảng Ô chọn: ô có giá trị x khác không Ô loại: Là ô không có hàng, tức xij=0, ta có thể để trống ô đó Dây chuyền: là một đoạn thẳng hay một dãy liên tiếp các

đoạn thẳng gấp khúc mà hai đầu mút là hai ô chỉ nằm trêncùng một hàng hoặc một cột với một ô chọn khác thuộc dâychuyền của bảng vận tải

Chu trình: Là dây chuyền khép kín Như vậy một hàng hoặc một cột mà chu trình đi qua thì chỉ đi

qua hai ô. Do đó số ô ít nhất của một chu trình là 4.

20


Ví dụ 2: Không cân bằng thu phát (Dây chuyền)

13 7

106

33

7

55

53

74

52

21


Ví dụ chu trình

30 25 35 40

45 925

115

2 75

50 55

410

635

2

35 5 6 1 335

22


2. Mô hình dạng bảng Ma trận X = (xij)m.n thỏa mãn hệ (2) - (4) được gọi là

một phương án của bài toán Phương án: X = (xij)m.n thỏa mãn được gọi là phương

án cực biên của bài toán vận tải nếu tập hợp các ô tương ứng với các thành phần dương của nó không tạothành chu trình.

Phương án X = (xij)m.n được gọi là phương án cực biênkhông suy biến nếu số ô chọn của nó đúng bằng m+n-1

Phương án X = (xij)m.n được gọi là phương án cực biênsuy biến nếu số ô chọn của nó nhỏ hơn m+n-1

23


Mô hình dạng bảng Một phương án thoả mãn yêu cầu (1) được gọi là

phương án tối ưu (nghiệm) của bài toán, ký hiệu là Xopt

24

Cách chọn phương án xuất phát

3. Phương án xuất pháta. Phương pháp xuất phát góc tây bắc Bước 1. Chọn ô nằm ở dòng 1, cột 1 của bảng vận tải. Bước 2. Phân lượng hàng h = min{a1, b1} vào ô(1,1) Bước 3. Đánh dấu hàng (cột), theo đó lượng hàng ở

trạm phát (trạm thu) tương ứng đã hết (đã đủ). Bước 4. Quay trở về bước 1 thực hiện công việc ở

những ô còn lại.

25


a. Phương pháp xuất phát góc tây bắc

6000 4000 2000 1500

5000 3 2 7 6

6000 7 5 2 3

2500 2 5 4 5

5000

1000 4000 1000

1000 1500

26



13 7

106 3

55 3

54 2

10

3 2

5

27



30 25 35 40

45 9 1 2 7

50 5 4 6 2

35 5 6 1 3

28



30 25 35 40

45 930

115

2 7

50 5 410

635

25

35 5 6 1 335

29


b. Phương pháp min- cước Bước 1. Chọn ô có cước phí thấp nhất để phân hàng

giả sử là ô (i,j). Bước 2. Phân lượng hàng h = min {ai, bj} vào ô(i,j) Bước 3. Đánh dấu các ô thuộc hàng i, hoặc cột j nếu

trạm phát Ai đã phát hết hàng, hoặc trạm thu Bj đã nhậnđủ hàng.

Bước 4. Quay trở lại bước 1 thực hiện công việc ở những ô còn lại.

30


b. Phương pháp min- cước

6000 4000 2000 1500

5000 3 2 7 6

6000 7 5 2 3

2500 2 5 4 5

4000

2000

2500

1000

15002500

31


a. Phương pháp xuất min cước

13 7

106 3

55 3

54 2

2

5

3

10

32


a. Phương pháp xuất phát min cước

30 25 35 40

45 9 1 2 7

50 5 4 6 2

35 5 6 1 3

33


a. Phương pháp xuất phát min cước

30 25 35 40

45 920

125

2 7

50 510

4 6 240

35 5 6 135

3

34


4. Thuật toán thế vị Tiêu chuẩn tối ưu Phương án cực biên không suy biến X=(xij)m.n được

gọi là phương án tối ưu khi và chỉ khi tồn tại các số ui(i=1.m) cho các hàng và các số vj (j=1.n ) cho các cộtcủa bảng vận tải sao cho:

ui + vj = cij, xij>0 (1) ui + vj < cij, xij=0 (2) ui (i=1.m), vj (j=1.n) gọi là hệ thống thế vị hàng và thế vị

cột

35


Thuật toán thế vị giải bài toán vận tải Bước 1: Tìm phương án cực biên xuất phát X0= (xij)mxn

(Sử dụng một trong các phương pháp đã trình bầy ở trên để tìm phương án cực biên xuất phát - trongtrường hợp suy biến cho thêm ô 0)

36


Phương án xuất phát

6000 4000 2000 1500

5000 3 2 7 6

6000 7 5 2 3

2500 2 5 4 5

5000

1000 4000 1000

1000 1500

37


Thuật toán thế vị giải bài toán vận tải Bước 2: Kiểm tra tính tối ưu của phương án. Xây dựng hệ thống thế vị.

Hệ (1) là hệ phương trình có (n+m) ẩn và (n + m-1) phương trình độc lập tuyến tính nên hệ (1) có vô sốnghiệm. Nếu cho ui (i=1.m) hoặc vj (j= 1.n ) một giá trị a tuỳ ý thì mọi giá trị khác đều xác định được một cáchduy nhất theo (1).

38


Tính ui và vj

6000 4000 2000 1500 ui

5000 35000

2 7 6

6000 71000

54000

21000

3

2500 2 5 41000

51500

vj 55500

0

3

4

1 -2

6

-1

39


Thuật toán thế vị giải bài toán vận tải Bước 2: Kiểm tra tính tối ưu của phương án. Tính các số kiểm tra.

Dựa vào (2) ta đặt ∆ij= ui+ vj-cij (i=1.m, j=1.n ) gọi là ước lượng kiểm tra và tính ∆ij ứng vớicác ô loại. Có hai khả năng xảy ra:

- Nếu mọi ∆ij≤ 0 (i = 1.m, j = 1.n ) thì phương ánđang xét là tối ưu (thuật toán kết thúc).

- Nếu tồn tại ∆ij>0 (i = 1.m, j = 1.n) thì phươngán đang xét chưa tối ưu, chuyển sang bước 3

40


Tính ∆ij

6000 4000 2000 1500 ui

5000 35000

2 7 6 0

6000 71000

54000

21000

3 4

2500 2 5 41000

51500

6

vj 3 1 -2 -1 55500

-1 -9 -7

0

7 2

41


Thuật toán thế vị giải bài toán vận tải Bước 3: Xây dựng phương án mới + Chọn ô điều chỉnh: Ô (r,s) gọi là ô điều chỉnh nếu: ∆rs= max {∆ij> 0 (i = 1.m, j =

1.n )}. + Tìm chu trình điều chỉnh: Là chu trình với ô xuất phát là ô

điều chỉnh, các ô còn lại là ô chọn. Gọi V là tập hợp các ô thuộc chu trình điều chỉnh.

+ Đánh dấu các ô của chu trình, bắt đầu từ ô điều chỉnh đánh dấu (+) rồi xen kẽ nhau đánh dấu (-),

(+)... cho đến hết chu trình. Ký hiệu V+ là tập hợp các ô có dấu (+), V- là tập hợp các ô có dấu (-). Khi đó:

V= V+ υ V-.

42


Tìm chu trình6000 4000 2000 1500 ui

5000 35000

2-1

7-9

6-7

0

6000 71000

54000

21000

30

4

2500 27

52

41000

51500

6

vj 3 1 -2 -1 555007

+ -

+-

43


Thuật toán thế vị giải bài toán vận tải Bước 3: Xây dựng phương án mới + Xác định lượng hàng điều chỉnh: Đại lượng điều chỉnh:

q = min{xij: (i,j) V-}, q > 0. Điều chỉnh sang phương án mới: X1 = (x1ij)mxn với: xij = xij, xij V xij = xij + q, xij V+

xij = xij - q, xij V-

44


Tính phương án mới6000 4000 2000 1500 ui

5000 35000

2-1

7-9

6-7

0

6000 71000

54000

21000

30

4

2500 27

52

41000

51500

6

vj 3 1 -2 -1 555007

+ -

+-

Q=1000

1000 0

20000

48500

45


Thực hiện cho vòng lặp thứ 26000 4000 2000 1500 ui

5000 35000

2 7 6

6000 7 54000

22000

3

2500 21000

5 4 51500

vj 48500

0

3

-1

6

-30

58

6 -2 0

-7

2 0

46



5000 35000

2 7 6 0

6000 7 54000

22000

30

-3

2500 21000

5 4 51500

-1

vj 3 8 5 6 48500

6 -2 0

-7

2 0

+-

+ -

+-

Q=1500

15003500

2500 0

15002500

39500

47



5000 33500

21500

7-8

6-6

0

6000 7-1

52500

22000

31500

3

2500 22500

5-4

4-6

5-6

-1

vj 3 2 -1 0 39500

48


Thuật toán kết thúc Không tìm được thế vị tốt hơn Hàm mục tiêu đạt: 39500 Ma trận vận tải:

3500 1500 0 0

0 2500 2000 1500

2500 0 0 0

49


Ví dụ 1:

91465 -2

245

23 -135

5

10 036

10

713

50


Ví dụ 1:

915

245

2335

5

1036

10

713

0

6

-1

4

-2

1

0

+-

+ -

2

28

05

51


Ví dụ 1:

895

245

535

5

2836

10

713

0

6

-1

3

-1

-1

1+ -

+-

5

5 0

73

52


Ví dụ 1:

845

245

535

5

7336

10

713

0

6

-1

-2

3-1

-1

Phương án hiện tại là phương án tối ưu

53


Ví dụ 1:

Phương án hiện tại là phương án tối ưu

3 7

5 0

5 0

54


Ví dụ 2:

30 25 35 40

45 930

115

2 7

50 5 410

635

25

35 5 6 1 335

640

0

9 1

3

3 -1

4

7

8 -1 6

1 -8

+ -

+-

+-

10

55


Ví dụ 2:

30 25 35 40

45 920

125

2 7

50 5 4 635

215

35 510

6 1 325

540

0

9 1

-5

11 7

-4

09

-8-1

-9 6

+-

+ -

+-

20

56


Ví dụ 2:

30 25 35 40

45 9 125

220

7

50 5 4 615

235

35 530

6 1 35

490

0

0 1

4

2 -2

5

-9

-1 1

0 6

-9

+ -

+-

5

57


Ví dụ 2:

30 25 35 40

45 9 125

220

7

50 5 4 610

240

35 530

6 15

3

335

0

1 2

4

-2

-1

6

-3

5 1

-6

-9

-6

+

- +

-

10

58


Ví dụ 2:

30 25 35 40

45 9 125

220

7

50 510

4 6 240

35 520

6 115

3

310

0

1 2

-1

6

-1

3

-4

-1

-5-4

-6

-3

59


5. Bài toán không cần bằng thu phát Tổng hàng dự trữ lớn hơn tổng hàng cần (cung lớn hơn cầu)Điểm có một số điểm ai không phát hết hàng, còn bj sẽ thu đủ

hàng Tổng hàng cần lớn hơn tổng hàng dự trữ (cầu lớn hơn cung)Điểm phát ai sẽ phát hết hàng, một số điểm thu bj không thu đủ

hàng

60


a. Cung lớn hơn cầu A: ma trận phát B: ma trận thu C: ma trận chi phí Xij (i=1.m, j=1.n ) Hàng từ Ai(i= 1.m) đến Bj(j=1.n ) f(x)= ∑∑ cijxij→ min (1) ∑xij≤ai i=1.m (2) ∑xij=bj j=1.n (3) xij>=0, i=1.m, j=1.n (4) ∑ ai > ∑bj, i=1.m, j=1.n

61


Giải pháp giải bài toán Tổng hàng có lớn hơn tổng hàng cầnTạo một điểm thu giả, giá vận chuyển đến điểm này là 0Số lượng thu = ∑ ai -∑bj

Trong bài toán tìm phương án đầu là min thì xét trườnghợp này cuối cùng

Bài toán quay về bài toán cân bằng thu phát

62


Mô hình bài toán vận tải Ví dụ 2: Cung lớn hơn cầu

13 7

106

?3

?

55

?3

?

74

?2

?

63



9125

0247

23035

5

10036

10

2713

0

6

-1

4

-2

2

1 2

1

0

+-

+ -

+ -

2

28

5 0

7 0

64



877

0247

5035

5

208036

10

2713

0

6 0

-1

3

-11

-1-1

-1+ -

+-

7

7 0

71

65



13 7 2

106 3 0

1 7 2

55 3 0

5

74 2 0

780

0

6 3 0

-1

-2

-1 -1

-2-1

Phương án tối ưu

66


Ví dụ 3:

30 25 35 40

45 9 1 2 7

50 5 4 6 2

60 5 6 1 3

67


Ví dụ 3:

30 25 35 40 25

45 930

115

2 7 0

50 5 410

635

25

0

60 5 6 1 335

025

650

0

9 1

3

3 -1

4

-4

1 -8 -4

7 -1

8 -1 6+ -

+-

+-

10

68


Ví dụ 2:

30 25 35 40 25

45 920

125

29

70

04

0

50 5-1

4-8

635

215

0-1

-5

60 510

6-9

17

325

025

-4

9 1 11 7 4 570

+-

+ -

+-

20

69


Ví dụ 3:

30 25 35 40 25

45 9-9

125

220

70

04

0

50 5-1

41

615

235

0-1

4

60 530

60

16

35

025

5

0 1 2 -2 -5 390

+ -

+-

5

70


Ví dụ 3:

30 25 35 40 25

45 9-5

125

220

7-9

01

0

50 55

41

610

240

05

4

60 530

6-6

15

3-6

025

-1

6 1 2 -2 1 360

- +

+ -

10

71


Ví dụ 3:

30 25 35 40 25

45 9-3

125

220

7-4

01

0

50 50

4-4

6-5

240

010

-1

60 530

6-6

115

3-1

015

-1

6 1 2 3 1 300

+-

-+

15

72


Ví dụ 2:

30 25 35 40 25

45 9-3

125

25

7-5

015

0

50 51

4-3

6-4

240

010

0

60 530

6-6

130

3-2

0-1

-1

6 1 2 2 0 295

+ -

+-

+-

5

73


Ví dụ 3:

30 25 35 40 25

45 9-4

125

2-1

7-5

020

0

50 55

4-3

6-5

240

05

0

60 525

6-5

135

3-1

00

0

5 1 1 2 0 290

74


b. Cung bé hơn cầu A: ma trận phát B: ma trận thu C: ma trận chi phí Xij (i=1.m, j=1.n ) Hàng từ Ai(i= 1.m) đến Bj(j=1.n ) f(x)= ∑∑ cijxij→ min (1) ∑xij=ai i=1.m (2) ∑xij≤bj j=1.n (3) xij>=0, i=1.m, j=1.n (4) ∑ ai < ∑bj, i=1.m, j=1.n

75


Giải pháp giải bài toán Tổng hàng cần lớn hơn tổng hàng cóTiến hành tạo một điểm phát giả, giá vận chuyển từ điểm

này là 0. Số lượng phát = ∑bj - ∑ ai

Trong bài toán tìm xuất phát điểm là min thì xét điểm nàysau cùng.

Bài toán quay về bài toán cân bằng thu phát

76


Mô hình bài toán vận tải Ví dụ 4: Thu lớn hơn phát

15 10

106

?3

?

55

?3

?

54

?2

?

77

Bài toán vận tải Mô hình bài toán vận tải Ví dụ 3: Thu lớn hơn phát

955

005

524

5

0535

5

1036

10

1015

0

6

-1

4

-2

-4

1

0

2+ -

+-

5

5 0

50

78


855

005

524

5

535

5

01036

10

1015

0

6 3

-6

-1

01

1

-3

+ -

+-

5

79


805

005

524

5

535

5

5536

10

1015

0

6 3

-6

-2

01

-1

-3

+ -

+-

5

80


7505

005

524

5

535

5

1036

10

1015

0

3 3

-3

1

2

-3

2

0

2

81


755

005

0524

5

535

5

1036

10

1015

0

5 3

-5

-1

0

-1

0

-2

82


Bài toán kết thúc vì các giá trị ∆ ≤ 0, bài toán đạt cực tiểu.

Hàm mục tiêu dừng: 75

83


Ví dụ 5:

30 25 35 50

45 9 1 2 7

50 5 4 6 2

35 5 6 1 3

84


Ví dụ 5:

30 25 35 50

45 930

115

21

7-8

0

50 57

410

635

25

3

35 58

6-1

16

335

4

10 010

02

04

010

1

9 1 3 -1 650

-+

+-

+-

10

85


Ví dụ 5:

30 25 35 50

45 920

125

29

70

0

50 5-1

4-8

635

215

-5

35 50

6-9

17

335

-4

10 010

0-8

02

0-2

-9

9 1 11 7 550

+-

+ -

+-

20

86


Ví dụ 5:

30 25 35 50

45 9-9

125

220

7-9

0

50 5-1

41

615

235

4

35 520

60

16

315

5

10 010

01

02

0-2

0

0 1 2 -2 370

+ -

+-

15

87


Ví dụ 5:

30 25 35 50

45 9-3

125

220

7-4

0

50 50

4-4

6-5

250

-1

35 520

6-6

115

3-1

-1

10 010

0-5

0-4

0-3

-6

6 1 2 3 280

88


Ví dụ 5: Hàm mục tiêu: 280

025 20

0

00 0

50

200

15

89


Kết thúc bài toán vận tải

Bài toán vận tải

Documents

Transcript of Bài toán vận tải