1

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

Vladimir Tuti

Elementi analitike geometrije u prostoru R3

Master rad

Novi Sad, 2010. godina.

1

SadrajELEMENTI ANALITIKE GEOMETRIJE U PROSTORU R3 ........................ 1 SADRAJ.................................................................................................................. 2 Predgovor .........................................................................................................3 Kratak istorijski pregled ...................................................................................4 GLAVA I ................................................................................................................... 5 ALGEBRA VEKTORA................................................................................................ 5 Sabiranje i oduzimanje vektora......................................................................... 8 Mnoenje vektora skalarom ............................................................................ 11 Koordinatni sistem u prostoru ........................................................................18 Koordinate vektora u prostoru........................................................................ 18 Ortogonalna projekcija vektora...................................................................... 19 Koordinate vektora kada vektor nije radijus vektor........................................26 Skalarni proizvod vektora ...............................................................................27 Vektorski proizvod vektora..............................................................................31 Meoviti proizvod vektora...............................................................................34 Dvostruki vektorski proizvod...........................................................................36 GLAVA II ...............................................................................................................40 ANALITIKA GEOMETRIJA U PROSTORU ................................................................ 40 Vektor poloaja take...................................................................................... 40 Rastojanje dve take........................................................................................ 40 Podela dui u datoj razmeri ............................................................................ 41 Ravan .............................................................................................................. 42 Razni oblici jednaine ravni ...........................................................................42 Normalna vektroska jednaina ravni .............................................................. 42 Skalarni oblik jednaine ravni ........................................................................ 45 Segmentni oblik jednaine ravni ..................................................................... 46 Jednaina ravni koja prolazi kroz datu taku i normalna je na dati vektor.... 47 Jednaina ravni kroz tri date take................................................................. 48 Rastojanje take od ravni................................................................................ 49 Meusobni poloaj dve ravni i ugao izmeu dve ravni ................................... 50 Pramen ravni .................................................................................................. 53 Jednaina prave u prostoru ............................................................................55 Vektorski oblik jednaine prave ...................................................................... 55 Parametarski oblik jednaine prave ............................................................... 57 Kanoniki ili skalarni oblik jednaine prave .................................................. 57 Prava kao presek dve ravni............................................................................. 57 Jednaina prave koja prolazi kroz dve date take .......................................... 58 Jo jedan oblik jednaine prave...................................................................... 59 Rastojanje take od prave ............................................................................... 60 Rastojanje dve prave....................................................................................... 61 Ugao izmeu dve prave................................................................................... 63 Meusobni odnos prave i ravni....................................................................... 64 GLAVA III..............................................................................................................67 POVRI DRUGOG REDA.......................................................................................... 67 Sfera ................................................................................................................ 67 Elipsioid ..........................................................................................................68 Hiperbolidi...................................................................................................... 70Jednograni hiperbolid ............................................................................................. 70 Dvograni hiperbolid................................................................................................ 71 Eliptiki parabolid .................................................................................................. 72 Hiperboliki parabolid............................................................................................ 73

Cilindrine povri ........................................................................................... 74 Konusna povr ................................................................................................ 75 Rotaciona(obrtna) povr .................................................................................76 LITERATURA ....................................................................................................... 78 FOTOGRAFIJA ....................................................................................................... 79

2

Predgovor............................ Ovaj master rad je nastao kao potreba za stalnim strunim usavravanjem, pratei svetski trend, 3L - long laife learning. S obzirom, da analitiku geometriju u prostoru R3 nisam pohaao u toku redovnih studija na PMF - u u Novom Sadu, samostalno sam savladao teoriju i zadatke koristei navedenu literaturu. Nakon, dugog rada u Srednjoj mainskoj koli u Novom Sadu i u razgovoru sa profesorima koji predaju CAD-kompjuterski podrano dizajniranje, javila se potreba za preciznim definicijama i teorema analitike geometrije u prostoru R3 . U modeliranju mainskih elemenata i konstrukcija, najvie se koriste povri drugog reda, konusi, cilindri, paraboloidi itd i metod konstruktivne geneze elemenata(misli se na modeliranje vijaka, vratila, zupanika). Gradivo u master radu, podeljeno je u tri poglavlja. Prvo poglavlje, sadri osnove vektorske algebre koje se predaju i u srednjoj koli. U drugom poglavlju se sistematski obrauju definicije i teoreme sa dokazima, pravih , ravnih i taaka, kao i njihovih meusobnih odnosa. To poglavlje je iskljuivo obraeno vektorskim nainom. U treem poglavlju se obrauju povri drugog reda i odgovarajue jednaine koje dodeljujemo datim povrima. U master radu izlaganje teorije ne odstupa bitno od tradicionalnog naina izlaganja. Izuzetak ini teorema, O jeu pomou koje dokazujem distributivnost vektorskog proizvoda prema sabiranju, koja se u naoj literaturi drugaije dokazuje. Smatram svojom prijatnom dunou, da se za pregled master rada , i za niz primedbi i korisnih sugestija zahvalim mentoru ovog rada profesoru dr Sinii Crvenkovi. Takoe se zahvaljujem profesorima dr Zagorki Lozanov - Crvenkovi i dr Ljilji Gaji koje su pristale da budu lanovi komisije u oceni moga rada.

Novi Sad, 02.08.2010. godine

Autor

3

Kratak istorijski pregledAnalitika geometrija, je deo matematike koji prouava pitanja u geometriji i analizi vezano za primenu sistema koordinata u ravni i prostoru. Ona je karakteristina po svojoj metodi. Sutina te metode je u sledeem, da se datim geometrijskim objektima u ravni i prostoru, posredstvom sistema koordinata korenspodiraju algebarske jednaine i obratno. Zahvaljujui univerzalnosti naina, kojim se u analitikoj geometriji prilazi reavanju raznih problema, metoda koordinata afirmisala se kao jedno od osnovnih metoda u geometrijskim istraivanjima i pokazala se neobino plodotvornom u raznim primenama matematike, u tehnici, posebno u mehanici, zatim u fizici i drugim naukama. Pojavom analitike geometrije tj, metode koordinata koju je Rene Dekart (1596.- 1650.) inicirao svojom Geometrijom 1637. godine(Gomtrie, 1637)omogueno je da se linije i povri izraavju jednainama. Dekartova promenljiva veliina bila je prekretnica u matematici. Ideja promenljive veliine, a zatim i ideja koordinata , s jedne , i uzajamne veze geometrije i algebre odnosno aritmetike, s druge strane, nisu bile nepoznate matematici pre Dekarta. Tako je Pjer de Ferma (1601.-1665.), pravnik iz Tuluza, napisao manji rad iz geometrije koji se odnosi na jednaine pravih i konusnih preseka koji je objavljen tek 1697. godine. Taj rad je izgledao manje prikladan od Dekartove Geometrije, jer je pisan Vijetovom simbolikom. Dekart se rukovodio jednostavnim principom , da ureenom paru realnih brojeva (x,y) pridrui taku u ravni i obratno, da taki u ravni pridrui par realnih brojeva (x,y), jednaini F(x,y) = 0 , u optem sluaju, krivu kao skup taaka u ravni. Tako je Dekart postavio princip koordinatne metode. Veliki matematiar Leonard Ojler ( 1707. - 1783.), 1748. godine objavljuje knjigu Uvod u analizu beskonanih veliina (Introductio in analysin infinitorum, 1748.) U pomenutoj knjizi ispitivanje krivih i povri, pomou njihovih jednaina se moe smatrati prvim udbenikom analitike geometrije. Ojler i ostali analisti XVIII veka izgradili su analitiku geometriju trodimenzionalnog prostora na generalisanom Dekartovom principu koordinatne metode. Ureenoj trojci realnih brojeve (x,y,z) pridruena je taka u prostoru i obratno, a jednaini F (x,y,z) = 0 , u optem sluaju , pridruena je povr kao skup taaka u prostoru. ozef Luj Lagran (1736.-1813.) je Dekartov princip primenio u mehanici, aritmetizirajui mehanike veliine, silu , brzinu i ubrzanje. Na taj nain je inicirao pojam vektora u trodimenzionalnom prostoru kao pojam ureene trojke realnih brojeva (x,y,z). To je bilo od dalekosene i bitne vanosti za razvitak teorije vektora i njenu generalizaciju na bazi Dekartove koordinatne metode. Mnoge relacije ureenih trojki realnih brojeva kojima se analitiki formuliu geometrijske injenice obinog trodimenzionalnog prostora ostaju u vanosti i onda kada se ureena trojka zameni ureenom n - torkom realnih brojeva. Ideja analitike geometrije danas doivljava vrlo iroke i apstraktne generalizacije u funkcionalnoj analizi, karakteristinoj grani moderne matematike.

4

Glava I........................................................

Algebra vektoraU prirodnim naukama posebno u matematici i fizici koristimo skalarne, vektorske i tenzorske veliine. Skalarne veline su odreene brojevnom vrednou, dok vektorske veliine imaju jo smer i pravac. Ureeni par (A,B) zvaemo orijentisana du, ija je A poetna taka, a B zavrna taka. Par (A,A) zvaemo nula par. Nosa ureenog para taka (A,B) je prava p koja prolazi kroz taku A i B (sl. 1)

Slika 1: Nosa p

Parovi (A,B) i (C,D) su pararelni ako su njhovi nosai paralelne prave(slika 2).

Slika 2: Paralelni nosai p i d

5

Ako su (A,B) i (C,D) dva paralelna para tada su oni istog smera ako su take B i D sa iste strane prave AC, a razliitog smera, ako su take B i D sa raznih strana prave AC(slika 3. i 4.).

Slika 3: Ureeni parovi istog smera

Slika 4: Ureeni parovi suprotonog smera

Definicija 1. Neka je A B i C D. Tada je ureeni par (A,B) ekvipolentan ureenom paru (C,D) akko: a) b) c) Nosai odreeni takama A,B i C,D su paralelni ili se poklapaju. Du [AB] [CD]. Ureeni parovi (A,B) i (C,D) isu istog smera.

Ako je (A,B) ekvipolentan sa (C,D) to emo pisati (A,B)(C,D). Moe se dokazati sledea: Teorema 1. Relacija ekvipolentan je relacija ekvivalencije u skupu R2

6

Dokaz: Refleksivnost-(A,B)( A,B) jeste jer je p(A,B)p(A,B), [A,B] [A,B] i smer je od A prema B Simertinost- Ako (A,B)(C,D) (C,D)(A,B). Iz (A,B)(C,D) p(A,B)// p(C,D) i [AB] [CD] i (A,B) i (C,D) su istog smera. Tada zbog simetrinosti relacije podudarno i relacije paralelno zadovoljeno je (C,D)(A,B) Tranzitovnost-neka je (A,B)(C,D) (C,D)(E,F) (A,B)( E,F). Zbog tranzitivnosti relacija podudarno i paraleno dobijamo da je (A,B)( E,F). Binarna ralacija ekvipolencije u skupu R2 vri particiju na kalse ekvivalenciji: Svaka dva para iz iste klase su ekvipolentna. Klasa svih meusobno ekvipotentnih parova naziva se slobodni vektor. Slobodni vektor se zadaje navoenjem jednog njegovog predstavnika, to jest orjentisanom dui, imajui u vidu da je isti vektor zadat i svakom drugom orjenisanom dui, koja se iz ove dobija translatornim pomeranjem. Zato emo slobodne vektore poistoveivati sa njihovim predstavnikom. Slobodne vektore emo oznaavati umesto (A,B) sa AB , ili a ,b ... . i predstavljati orijentisanom dui(slika 5.)

Nula vektor 0 = ( A, A) = AA .

Slika 5: Slobodni vektor

Intenzitet(duina) vektora u oznaci a ili AB je merni broj

duine bilo kog njegovog predstavnika. Intenzitet nula vektora je nula, a intenzitet jedininog vektora je jedan.

7

Sabiranje i oduzimanje vektora Zbir vekora a i b je vektor c iji se jedan predstavnik dobija na sledei nain: Uoi se jedan prizvoljni predstavnik a1 = ( A, B) vektora a i predstavnik b1 = ( A, B ) vektora b , ija se poetna taka poklapa sa zavrnim takom od a . Tada c1 = ( A, C ) , ija se poetna taka poklapa sa poetnom takom od a1 , a zavrna taka poklapa sa zavrnom takom od b1 , je predstavnik vektora c (sl. 6)

Definicja 2:

Ako su vektori a1 i b1 predstavljeni u poloaju u kome im se poklapaju poeci i uoi se paralelogram, kojeg oni odreuju, tada je zbir c1 = a1 + b1 vektora a i b predstavljen orijentisanom dijagonalom paralelograma, iji se poetak poklapa sa zajednikom takom vektora a1 i b1 (slika 7.)

Slika 6: Zbir vektora po pravilu trougla

Slika 7: Zbir vektora po pravilu paralelograma

8

Definicja 3:

Vektor iji su intenzitet i pravac jednaki intenzitetu i pravcu vektora a , dok mu je smer suprotan smeru vektora a , naziva se suprotan vektor vektoru a i obeleava se sa - a (slika 8.).

Slika 8: Suprotan vektor

Neka je V skup svih vektora u R3, tada vai:Teorema 2.

Ureani par (V,+) je Abelova grupa. Dokaz: a) Zatvorenost: a , b V a + b V po definiciji sabiranja vektora. b) Asocijativnost: (a + b ) + c = a + (b + c ) . Neka je a + b = d1 i b + c = d 2 i d1 + c = d . Tada je (a + b ) + c = d1 + c = d i a + (b + c ) = a + d 2 = d (slika 9.)

Slika 9: Asocijativnost

c) Neutralni element a + 0 = 0 + a = a d) Suprotan vektor - a vektoru a . Tada je e) a + (a ) = (a ) + a = 0 .

9

f) Komutativnost sledi iz sabiranja dva vektora po pravilu paralelograma(slika 7.) a + b = b + a . Zbir n-vektora a1 , a2 ,..., an takvih da se poetna taka svakog od njih poklapa sa zavrnom takom prethodnog(slika 10.) je vektor ija se poetna taka poklapa sa poetnom takom prvog vektora a1 , a zavrna taka sa zavnom takom poslednjeg vektora an (to je pravilo poligona)

Slika 10: Poligon vektora

Razlika vektora a b je vektor a + (b ) (slika 11.)

Definicja 4:

Slika 11: Razlika vektora

Sa slike 11. se vidi da je etvorugao OAAB paralelogram pa je OA' = BA , to jest, a + (b ) = a bTeorema 3.

Razlika dva vektora je jednoznano odreen vektor.

10

Dokaz: Pretpostavimo suprotno, to jest, da za dva data vektora a i b postoje dva razliita vektora d i d1 jednaka razlici vektora a i b . d + b = d1 + b d = a b a = d +b d1 = a b a = d1 + b

Vodei rauna o teoremi 2. imamo: (d + b ) + (b ) = (d1 + b ) + (b ) (d + b ) + (b ) = d + (b + (b )) = d + 0 = d (d1 + b ) + (b ) = d1 + (b + (b )) = d1 + 0 = d1 Iz predhodnog sledi d = d1 .

Mnoenje vektora skalaromSada emo definisati mnoenje vektora skalarom(brojem). Pod proizvodom skalara 0 i vektora a 0 u oznaci a podrazumeva se vektor iji je intenzitet a , pravac mu je isti kao i kod vektora a , a smerovi vektora a i a su isti ako je > 0 , a suprotni ako je < 0 . Ako je = 0 , onda je a = 0 , takoe je i 0a = 0 .

Definicja 5:

Za mnoenje vektora skalarom vai sledea teorema:Teorema 4. Za svako a , b V i svako , V vai: 1. ( )a = ( a ) 2. ( + )a = a + a 3. (a + b ) = a + b 4. 1 a = a

Dokaz: Iz definicije 5. ,neposredno sledi da je mnoenje vektora skalarom zatvoreno, to jest, R i a V a V . (1) Dokaimo osobinu 1. Ako je =0 ili =0 ili a = 0 jednakost (1) je trivijalno zadovoljena. Zato pretpostavimo da je 0, 0, a 0 . Tada vektori ( )a i ( a ) imaju isti intenzitet, jer po definiciji 5. vai: ( )a = a i

11

( a ) = a . Ako su skalari i istog znaka, tada su i vektori ( )a i ( a ) kao i a istog smera. Ako su pak i razliitog znaka , tada su i vektori ( )a i ( a ) istog smera koji je suprotan smeru vektora a . Dakle, vektori ( )a i ( a ) imaju isti smer, pravac i intenzitet, pa su prema tome jednaki. Tako je osobina 1. dokazana.

Dokaimo osobinu 2. Vektor ( + )a i a + a imaju isti pravac. Neka su i istog zanaka , tada e vektori ( + )a i a + a imati isti smer.

Ispitajmo njihove intenzitete: a + a = a + a = a + a = ( + ) a = + a to znai da su intenziteti vektora a + a i ( + )a jednaki pa vai osobina 2. Neka su sada i suprotnog znaka, uzmimo >0 i < 0 (na potpuno isti nain se razmatra < 0 i >0). Tada su vektori a i a suprotnog smera, a pravac im je isti. Kako je > , tada je smer vektora ( + )a i a + a isti. Dokaaimo da su im i intenziteti jednaki. a + a = a a = a a = a = + a = ( + ) a .Tako da je dokazana osobina 2. Dokaimo osobinu 3. Pretpostavimo da je >0 i da pravci vektora a i b nisu paralelni, tada konstruiimo truglove ABC i ADE tako da bude AB = a , BC = b , AD = a i DE = b (slika 12.). Jasno je da su trouglovi ABC i ADE slini, tada su take A,C i E kolinerne, pa vektori AC = a + b , AE = a + b kao i vektor (a + b ) imaju isti pravac. Zbog >0 vektori a + a i ( + )a imaju isti smer. Dokaimo da imaju iste intenzitete. Kako je ABC ADE AB : AD = AC : AE a : a = a + b : a + b a a + b = a a + b to jest a a + b = a a + b / a a + b = a + b = ( a + b ) vektor a + b i (a + b ) imaju iste intenzitete pa vai osobina 3.

12

Ako je 0) odnosno 0. Na osnovu teoreme 12. imamo Pr p a = a cos (a , p ) = a cos (a , p ) = Prp a . Neka je 0 fiksirani, predstavljaju jednainu ravni.Dokaz: Uoimo u koordinatnom sistemu sa centrom u O prizvoljnu taku A, tako da je vektor OA = pn0 . Neka je r vektor poloaja prizvoljne take M , koji zadovoljavaju jednainu r n0 p = 0 (slika 40.)

43

Tada je AM = r OA = r p n 0 .

Slika 40: Normalna vektorska jednaina ravni

Pomnoimo skalarno vektore OA i AM OA AM = pn0 (r pn0 ) = pn0 r p 2 = p(r n0 p) = 0 s obzirom da je r n0 p = 0 OA AM = 0 (1) Sledi da su vektori OA i AM uzajamno normalni. Vektor OA je odreen jednoznano , jer su n0 i p>0 fiksirani, tada jedanaina (1) vai za sve take M , iji vektor r (M ) zadovoljava jednainu r n0 p = 0 . Zakljuujemo da sve take M pripadaju jednoj ravni , koja prolzai kroz taku A i koja je normalna na vektor OA = pn0 . Ako je p=0 r n0 = 0 , pa sve take M pripadaju ravni koja prolazi kroz koordinatni poetak i koja je normalna na vektor n0 . Teorema 33. Svaka jednaina oblika r n + D = 0 gde je n prizvoljan vektor, razliit od nula vektora, a D prizvoljan skalar, predstavlja jednainu ravni.

n

Kako je n 0 n 0 pa jednainu r n + D = 0 podelimo sa

Dokaz:

n D r + = 0. n n

(1)

Izaberemo znak ispred n suprotan znaku ispred D. Tada jednaina (1) ima oblik r n0 p = 0 , po teoremi 32., pri emu je: n D n0 = i p = , n n gde je n0 jedinini vektor normalan na ravan, usmeren od koordinatnog poetka ka ravni, a p je odstojanje ravni od koordinatnog poetka. Jednaina r n + D = 0 zove se opta vektorska jednaina ravni.

44

Skalarni oblik jednaine ravni Po teoremi 16. pravac vektora n0 obrazuje se koordinatnim osama x,y,z kosinuse uglova , , , to jest, n0 = (cos , cos , cos ) i neka vektor poloaja r ima koordinate r = ( x, y, z ) . Teorema 34. Jednaina ravni normalna na jedinini vektor n0 i na odstojanju p > 0 od koordinatnog poetka je x cos + y cos + z cos p = 0 . Dokaz: Iz teoreme 32., svaka jednaina oblika, r n0 p = 0 predstavlja jednainu ravni. r n0 = x cos + y cos + z cos

x cos + y cos + z cos p = 0 .

(1)

Jednaina (1) se naziva Hesseov ili normalni(skalrani) oblik jednaine ravni. U teoremi 33. je dokazano da svaka jednaina oblika r n + D = 0 predstavlja ravan. Sada moemo dokazati obratno.Teorema 35. Svaka ravan se moe predstaviti jednainom r n + D = 0 .

Dokaz: Kako je ravan normalna na jedinini vektor n0 i na rastojanju je p 0 od koordinatnog poetka, onda prema teoremi 31. ta ravan je data jednainom r n0 p = 0 . (1) Pomnoimo jednainu (1) sa n dobiemo r n n0 n p = 0 r n n p = 0 , gde je n = n n0 , oznaiemo sa D = n p i (2) dobiemo r n + D = 0 . Ako sa A,B,C obeleimo koordinate vektora n = ( A, B, C ) i sa r = ( x, y, z ) tada iz (2) dobijamo (2) Ax + By + Cz + D = 0 ; A2 + B 2 + C 2 0 . Jednaina predstavlja opti skalarni oblik jednaine ravni. Vai i obratno. Ako sve take x,y,z zadovoljavaju jednainu (3), tada je ravan (3) normalna na vektor n = ( A, B, C ) . Zaista, neka je r prizvoljan vektor sa koordinatama x,y,z , to jest, r = ( x , y, z ) . Onda jednainu (3) moemo zapisati r n + D = 0 to na osnovu teoreme 33. predstavlja jednainu ravni.

45

Segmentni oblik jednaine ravniTeorema 36.

x y z + + = 1 predstavlja a b c D D D segmentni oblik jednaine ravni, gde je a = , b = , c = . A B C Ako je A2 + B 2 + C 2 0 , tada Dokaz: Neka taka M(a,0,0) gde je a 0 pripada ravni

Ax + By + Cz + D = 0Tada je Aa + D = 0 a = D . A

(1)

Neka taka M1(0,b,0) pripada rvni (1) Bb + D = 0 b = Slino za M2(0,0,c) Cc + D = 0 c = D . C

D . B

Podelimo jednainu (1) sa D, D 0 tada Ax By Cz + + =1 D D D

x y x y z z + + = 1 + + = 1 . (slika 41.). D D D a b c A B C

Slika 41: Segmenti oblik jednaine ravni

46

Jednaina ravni koja prolazi kroz datu taku i normalna je na dati vektor Neka je data taka M 1 ( x1 , y1 , z1 ) i vektor n = ( A, B, C ) . Teorema 37. Ravan koja prolazi kroz datu taku M1 i normalna je na dati vektor n , ima jednainu, (r r1 )n = 0 , gde je r1 vektor poloaja take M1, a r vektor poloaja prizvoljne take M . Dokaz: M je prizvoljna taka ravni koja prolazi kroz M1 i normalna je na vektor n (slika 42.)

Vektor M 1M = OM OM 1 = r r1 . Po uslovu teoreme 37. vektor n je normalan na ravan . Onda je M 1M n = 0 (r r1 ) n = 0 . (1) Vai i obratno, to jest da jednainu (1) zadovoljavaju samo one take koje lee u ravni koja prolazi kroz taku M1 i normalna je na dati vektor n . Iz jednaine (1) dobijemo da je r r1 normalan na n , a skup svih takvih vektora obrazuje ravan . Izrazimo jednainu (1) preko koordinanta. Neka prizvoljni vektor r , poloaja take M, ima koordinate r = ( x, y, z ) , tada je r r1 = ( x, y, z ) ( x1 , y1 , z1 ) . (2) Kada (2) zamenimo u (1) dobiemo: A( x x1 ) + B ( y y1 ) + C ( z z1 ) = 0 (3) Jednaina (3), predstavlja skalarni oblik jednaine ravni, koja prolazi kroz datu taku M 1 = ( x1 , y1 , z1 ) i normalna je na dati vektor n = ( A, B, C ) . Primer: Date su take A(1,-1,2) i B(0,1,1). Kroz taku B postaviti ravan normalnu na vektor AB . Po teoremi 37. imamo: n = AB = (1,2,1) M1= B(0,1,1). Tada je : -1(x-0)+2(y-1)-1(z-1)=0.

Slika 42. Jednaina ravni koja prolazi kroz datu taku M1

47

Odnosno -x+2y-z-1=0 je traena ravan.

Jednaina ravni kroz tri date takeNeka su A,B,C u prostoru tri razliite nekolinerane take, tada postoji jedinstvena ravan odreena sa te tri take. Neka su r1 , r2 , r3 vektori poloaja taaka redom A,B,C(slika 43.)

Slika 43: Ravan kroz tri take Uoimo prizvoljnu taku M i vektor poloaja r (slika 43.). Tada prema definiciji 25. i teoremi 25. meoviti proizvod vektora AM , AB, AC jednak je nuli, to jest

( AM AB) AC = 0 . Izraunajmo vektore AM , AB, AC preko vektora poloaja r , r1 , r2 , r3 AM = r r1 AB = r2 r1 AC = r3 r1 . Jednakosti (2) zamenimo u (1) i dobiemo ((r r1 ) (r2 r1 )) (r3 r1 ) = 0 . Jednaina (3) predstavlja jednainu ravni kroz tri take u vektorskom obliku. Naimo (3) u koordinatnom obliku. Neka je r1 = ( x1 , y1 , z1 ) , r2 = ( x2 , y2 , z2 ) , r3 = ( x3 , y3 , z3 ) i r = ( x, y, z ) . Tada prema (2) AM = ( x x1 , y y1 , z z1 ) AB = ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )AC = ( x3 x1 , y3 y1 , z3 z1 )

(1)

(2)

(3)

Vektore AM , AB, AC zamenimo u (3) pa je prema teoremi 25. x x1 y y1 z z1 (4) x2 x1 y2 y1 z2 z1 = 0 . x3 x1 y3 y1 z3 z1 Jednaina (4) predstavlja jednainu ravni, kroz tri take.

48

Rastojanje take od ravniNeka je u koordinatnom sistemu data ravan svojom jednainom r n0 p = 0 (1) i taka M1(x1,y1,y1) odreena vektorom poloaja r1 . Odrediemo najkrae rastojanje, oznaiemo to sa d, take M1 od ravni (slika 44.)

Slika 44: Rastojanje take od ravni

Neka je M1 ortogonalana projekcija take M1 na ravan . Tada je d = M 1 'M 1 . Vektori M 1 'M 1 i n0 su kolinearni M 1 ' M 1 = dn0 . Oigledno je d>0 ako su take M1 i O sa razliitih strana ravni , a d