Analiticka geometrijaˇ...Analiticka geometrijaˇ Predavanje 5 Parametrizacija krivih u ravni Novi...

Analiticka geometrija

Predavanje 5

Parametrizacija krivih u ravni

Novi Sad, 2019.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 5 1 / 14

Parametarski zadata krivaNeka su f ,g : I ⊂ R→ R neprekidne1

funkcije nad intervalom I. Skup tacaka uravni (x , y) = (f (t),g(t)), t ∈ I nazivamoparametarski zadata kriva u(koordinatnoj) ravni. Jednacine

x = f (t) i y = g(t), t ∈ Ise nazivaju parametarske jednacine krive,promenljiva t je parametar krive, a intervalI je domen parametra.

Ako je I zatvoren interval, I = [a,b], a < b onda je (f (a),g(a)) pocetna tacka,dok je (f (b),g(b)) krajnja tacka krive.Kada zadamo parametarske jednacine i odredimo domen parametra, kažemoda smo parametrizovali krivu. Odnosno, jednacine i domen parametra cineparametrizaciju krive.

* Parametar t može da se interpretira kao vreme, ili ugao,. . .

1obicno se traži i više, npr. neprekidna diferencijabilnost koordinatnih funkcijaMilica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 5 2 / 14

Parametrizacija krivih u ravni, primeri

1◦ prava

x = t , y = 2t , t ∈ Rx = t

2 , y = t , t ∈ R . . . sporije kretanjemedutim, i ovim jednacinama dobijamo istiskup rešenja u ravni, tj. istu krivu

x = −t , y = −2t , t ∈ R . . . drugi smerdakle, parametrizacija nije jedinstvena

Primetimo da parametrizacijom krive dobijamo i informaciju o orjentaciji(usmerenju) kriveNa primer, ako bi kriva opisivala položaj cestice u ravni u vremenu t ,onda bi nam parametrizacija otkrila i smer kretanja cesticeParametrizacija, takode, daje i informaciju o "brzini" kretanja cesticeDakle, ako krivu opišemo parametarskim jednacinama onda mi o njojdobijamo i dodatne informacije koje nemamo u kanonskim jednacinama

1◦ prava

x = t , y = 2t , t ∈ Rx = t

1◦ prava

x = t , y = 2t , t ∈ Rx = t

1◦ prava

x = t , y = 2t , t ∈ Rx = t

1◦ prava

x = t , y = 2t , t ∈ Rx = t

1◦ prava

x = t , y = 2t , t ∈ Rx = t

1◦ prava

x = t , y = 2t , t ∈ Rx = t

1◦ prava

x = t , y = 2t , t ∈ Rx = t

2◦ parabola

x = t , y = t2, t ∈ Rdrugi smer...x = −t , y = t2, t ∈ Rveca brzina kretanja...x = 3t , y = 9t2, t ∈ R

3◦ pola parabole

x = t , y = t2, t ∈ [0,∞)

x =√

t , y = t , t ≥ 0promena domena parametra I se koristi zaizdvajanje dela kriva, ali voditi racuna i odefinisanosti f-ja f i g nad I

2◦ parabola

3◦ pola parabole

x = t , y = t2, t ∈ [0,∞)

x =√

2◦ parabola

3◦ pola parabole

x = t , y = t2, t ∈ [0,∞)

x =√

2◦ parabola

3◦ pola parabole

x = t , y = t2, t ∈ [0,∞)

x =√

2◦ parabola

3◦ pola parabole

x = t , y = t2, t ∈ [0,∞)

x =√

2◦ parabola

3◦ pola parabole

x = t , y = t2, t ∈ [0,∞)

x =√

2◦ parabola

3◦ pola parabole

x = t , y = t2, t ∈ [0,∞)

x =√

2◦ parabola

3◦ pola parabole

x = t , y = t2, t ∈ [0,∞)

x =√

2◦ parabola

3◦ pola parabole

x = t , y = t2, t ∈ [0,∞)

x =√

2◦ parabola

3◦ pola parabole

x = t , y = t2, t ∈ [0,∞)

x =√

Parametrizacija krivih u ravni, primeri4◦ jedinicna kružnica

x = cos t , y = sin t , t ∈ [0,2π)drugi smer...x = cos t , y = − sin t , t ∈ [0,2π)parametar t uvek ide od manjeg ka vecembroju, npr. t ∈ [a, b], a < b

5◦ centrirana kružnica

x = r cos t , y = r sin t , t ∈ [0,2π)donja polukružnica...x = r cos t , y = −r sin t , t ∈ [0, π]ilix = −t , y = −

√r2 − t2, t ∈ [−r , r ]

primetimo da kada koristimo ovu vrstuparametrizacije, za celu kružnicu nam trebajudve parametrizacije (i y = +

√r 2 − t2)

√r2 − t2, t ∈ [−r , r ]

√r 2 − t2)

√r2 − t2, t ∈ [−r , r ]

√r 2 − t2)

√r2 − t2, t ∈ [−r , r ]

√r 2 − t2)

√r2 − t2, t ∈ [−r , r ]

√r 2 − t2)

√r2 − t2, t ∈ [−r , r ]

√r 2 − t2)

√r2 − t2, t ∈ [−r , r ]

√r 2 − t2)

√r2 − t2, t ∈ [−r , r ]

√r 2 − t2)

√r2 − t2, t ∈ [−r , r ]

√r 2 − t2)

√r2 − t2, t ∈ [−r , r ]

√r 2 − t2)

√r2 − t2, t ∈ [−r , r ]

√r 2 − t2)

6◦ centrirana elipsa

x = a cos t , y = b sin t , t ∈ [0,2π)

zaista, tada za svako t ∈ [0,2π) važia2 cos2 t

a2 +b2 sin2 t

b2 = 1

7◦ centrirana hiperbola

desna grana...x =

acos t

, y = b tg t , t ∈ (−π/2, π/2)leva grana...x = − a

cos t, y = b tg t , t ∈ (−π/2, π/2)

zaista,a2

a2 cos2 t− b2tg2t

b2 =1− sin2 tcos2 t

x = a cos t , y = b sin t , t ∈ [0,2π)

a2 +b2 sin2 t

b2 = 1

desna grana...x =

acos t

cos t, y = b tg t , t ∈ (−π/2, π/2)

zaista,a2

a2 cos2 t− b2tg2t

x = a cos t , y = b sin t , t ∈ [0,2π)

a2 +b2 sin2 t

b2 = 1

desna grana...x =

acos t

cos t, y = b tg t , t ∈ (−π/2, π/2)

zaista,a2

a2 cos2 t− b2tg2t

x = a cos t , y = b sin t , t ∈ [0,2π)

a2 +b2 sin2 t

b2 = 1

desna grana...x =

acos t

cos t, y = b tg t , t ∈ (−π/2, π/2)

zaista,a2

a2 cos2 t− b2tg2t

CikloidaCikloidaNeka se tocak poluprecnika a kotrlja po ravnoj podlozi. Oznacimo sa P tackukoja je fiksirana na rubu tocka. Odrediti parametarske jednacine krive kojaopisuje kretanje tacke P dok se tocak kotrlja po podlozi. Dobijena kriva senaziva cikloida (cikloid).

t – ugao za koji je tocak zarotiranM(xM ,0) – projekcija centra C na x−osunakon rotacije za ugao t , te xM odgovaradužini kružnog luka nad uglom tdakle, xM = t

2πO = t2π2aπ = at

C(at ,a) – centar tocka nakon rotacije zaugao tKonacno, važi P(at + x ′,a + y ′), gde jex ′ = a cosφ, y ′ = a sinφ, φ = 3π

2 − tP(at+a cos( 3π

2 −t),a+a sin( 3π2 −t)), t ∈ R

P(at − a sin t ,a− a cos t), t ∈ RMilica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 5 7 / 14

2 −t),a+a sin( 3π2 −t)), t ∈ R

Cikloida

Cikloida je kriva u ravni data parametarskim jednacinama

x = at − a sin t , y = a− a cos t , t ∈ R

cikloida

Desmos ... cikloida

Cikloida

je i brahistohronaputanja po kojoj se krece telo od O do B poddejstvom sile gravitacije za najkrace vreme

je i tautohronatelo koje krene iz O i telo koje krene iz C (bezpocetne brzine) ce za isto vreme stici do Bkoristeci ovaj princip povecana je preciznostcasovnika sa klatnom

Cikloida

Primer 1, kriva veštice Anjezi

Neka je data kružnica poluprecnika 1 sa centrom u (0,1). Proizvoljnu tacku Ana pravoj y = 2 povežemo sa koordinatnim pocetkom O i sa B obeležimopresek date kružnice i duži OA. Tacka P se dobija kao presek vertikalne pravekroz tacku A i horizontalne kroz tacku B. Odrediti jednacinu krive koja opisujepoložaj tacke P u ravni dok tacka A ide duž prave y = 2.Napomena: Ime krive je nastalo kao greška pri prevodu sa latinskog, pravilanprevod bi bio "uže koje vraca jedro".

Mogu se koristiti sledece cinjenice:d(A,B) · d(O,A) = d2(A,Q),gde je Q(0,2);zatim, za tacku P(x , y) važix = d(A,Q), y = 2− d(A,B) sin t ,gde je t ugao koji duž OA gradi spozitivnim delom x−ose.

Primer 1, kriva veštice AnjeziOdredimo prvo d(A,Q). Iz pravouglog trougla 4OAQ vidimo da je]OAQ = t , te je ctg t = d(A,Q)

d(O,Q) , odnosno

x = d(A,Q) = 2ctg t

Odredimo zatim i d(A,B). Iz d(A,B) · d(O,A) = d2(A,Q) dobimao da jed(A,B) = d2(A,Q)

d(O,A) = d2(A,Q)√d2(O,Q)+d2(A,Q)

= 4ctg2t√4+4ctg2t

= 2 cos2 tsin t . Dakle,

y = 2− 2cos2 tsin t

sin t = 2(1− cos2 t) = 2 sin2 t

Primetimo, s obzirom da prava p(O,A) sece pravu y = 2, dobijamo dat ∈ (0, π)

d(O,Q) , odnosno

x = d(A,Q) = 2ctg t

d(O,A) = d2(A,Q)√d2(O,Q)+d2(A,Q)

= 4ctg2t√4+4ctg2t

sin t = 2(1− cos2 t) = 2 sin2 t

d(O,Q) , odnosno

x = d(A,Q) = 2ctg t

d(O,A) = d2(A,Q)√d2(O,Q)+d2(A,Q)

= 4ctg2t√4+4ctg2t

sin t = 2(1− cos2 t) = 2 sin2 t

d(O,Q) , odnosno

x = d(A,Q) = 2ctg t

d(O,A) = d2(A,Q)√d2(O,Q)+d2(A,Q)

= 4ctg2t√4+4ctg2t

sin t = 2(1− cos2 t) = 2 sin2 t

d(O,Q) , odnosno

x = d(A,Q) = 2ctg t

d(O,A) = d2(A,Q)√d2(O,Q)+d2(A,Q)

= 4ctg2t√4+4ctg2t

sin t = 2(1− cos2 t) = 2 sin2 t

d(O,Q) , odnosno

x = d(A,Q) = 2ctg t

d(O,A) = d2(A,Q)√d2(O,Q)+d2(A,Q)

= 4ctg2t√4+4ctg2t

sin t = 2(1− cos2 t) = 2 sin2 t

d(O,Q) , odnosno

x = d(A,Q) = 2ctg t

d(O,A) = d2(A,Q)√d2(O,Q)+d2(A,Q)

= 4ctg2t√4+4ctg2t

sin t = 2(1− cos2 t) = 2 sin2 t

Konacno, parametrizacija krive veštice Anjezi (na crtežu zeleno) je data sa

x = 2ctg t , y = 2 sin2 t , t ∈ (0, π)

Primer 2, involuta kružniceAko zicu namotanu oko kalema (kružnice) pustimo da se odmota, njen kraj ceprilikom odmotavanja opisivati involutu kružnice u ravni (ovde se zanemarujedebljina zice). Neka je kalem kružnica x2 + y2 = 1, a kraj zice neka je tackaP(x , y) koja je u pocetnom momentu, dok je još žica namotana P0(1,0). Priodmotavanju žica je uvek tangentna na kružnicu u tacki žice Q koja poslednjajoš uvek dodiruje kružnicu. Neka je sa t obeležen ugao koji gradi duž OQ sapozitivnim delom x−ose. Odrediti parametarske jednacine involute kružniceizražavajuci koordinate tacke P(x , y) u zavisnosti od t , t ≥ 0.

Primetimo:važi Q(cos t , sin t), t ≥ 0zatim, za tacku P(x , y) važiP(cos t + x ′, sin t − y ′) gde jex ′ = d(P,Q) cosφ, y ′ = d(P,Q) sinφ

d(P,Q) odgovara dužini kružnog lukaP0Q nad uglom t , odnosnod(P,Q) = t

2π2π = tna kraju, važi φ = π/2− t

Primer 2, involuta kružnice

Dakle, za tacku P važi

P(cos t + t cos(π/2− t), sin t − t sin(π/2− t)), t ≥ 0.

Konacno, parametrizacija involute kružnice (na crtežu crveno) je data sa

x = cos t + t sin t , y = sin t − t cos t , t ≥ 0

Primer 2, involuta kružniceDakle, za tacku P važi

P(cos t + t cos(π/2− t), sin t − t sin(π/2− t)), t ≥ 0.

Konacno, parametrizacija involute kružnice (na crtežu crveno) je data sa

x = cos t + t sin t , y = sin t − t cos t , t ≥ 0

Analiticka geometrijaˇ...Analiticka geometrijaˇ Predavanje 5 Parametrizacija krivih u ravni Novi...

Documents

Transcript of Analiticka geometrijaˇ...Analiticka geometrijaˇ Predavanje 5 Parametrizacija krivih u ravni Novi...