Analiticka geometrijaˇ...Analiticka geometrijaˇ Predavanje 3 Konusni preseci (krive drugog reda,...

Analitička geometrija

Predavanje 3

Konusni preseci(krive drugog reda, kvadratne krive)

Novi Sad, 2020.

Milica Žigić (DMI, PMF, UNS 2020) Analitička geometrija predavanje 3 1 / 22

Ime – s obzirom na karakteristike

1 konusni presek (konika)→ kriva u preseku konusa i ravni u raznimpoložajima

2 kvadratna kriva→ jednačina Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 03 kriva drugog reda→ sa pravom može da ima najviše dve presečne tačke

Konusne preseke koristimo da opišemo kretanje nebeskih tela, kretanjeelektrona u atomu, u optici opisuju oblik sočiva i ogledala...


Kanonske jednačine konusnih preseka

0◦ KružnicaDefinicija. Neka je u ravni data tačka C. Kružnica je skup tačaka u ravnitakvih da im je rastojanje od date tačke C konstantno i iznosi r , r > 0. Datatačka C se naziva centar kružnice, a dato rastojanje r je poluprečnikkružnice.

Podsetimo se

d(T ,0) =√

x2 + y2 = r ⇒

x2 + y2 = r2

d(T ,C) =√

(x − h)2 + (y − k)2 = r ⇒

(x − h)2 + (y − k)2 = r2


Kanonske jednačine konusnih preseka

1◦ ParabolaDefinicija. Neka su date prava d i tačka F u ravni. Skup tačaka u ravni koje senalaze na jednakom rastojanju od date prave d i date tačke F naziva separabola. Tačka F zove se fokus, a prava d direktrisa parabole.

Specijalno, ako tačka F pripada pravoj d(odnosno, F ∈ d) za opisani skup tačakadobijamo da je prava koja je normalna nad u tački F (degenerisanu parabolu,izobličenu, odrod̄enu) slika

U nastavku, pretpostavimo da F /∈ d .


Kanonska jednačina parabole

Koordinatni sistem podesimo tako da je fokusF (0, c), a direktrisa d : y = −cNeka je P(x , y) proizvoljna tačka sa parabole.Označimo sa Q projekciju tačke P na direktrisu d .Jasno, važi Q(x ,−c). Tada

d(P,F ) = d(P,Q)√(x − 0)2 + (y − c)2 =

√(x − x)2 + (y + c)2

x2 + y2 − 2yc + c2 = y2 + 2yc + c2

x2 = 4yc

y =14c

x2

kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na y−osu



Primetimo da je na prethodnom crtežu korišćeno da je c > 0; za c < 0 samose crtež, odnosno usmerenje parabole menja, a kanonska jednačina parabolesimetrične u odnosu na y−osu ostaje y = 14c x

2

c > 0 c < 0

osa parabole – osa simetrije parabole (sada, y−osa)teme parabole – presek parabole sa njenom osom (sada, T(0,0))



kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na x−osuse dobija na potpuno analogan načina

neka je direktrisa d : x = −c i fokus F (c, 0) (naslici c > 0)projekcija proizvoljne tačke P(x , y) sa parabole nadirektrisu je Q(−c, y) i važi

d(P,F ) = d(P,Q)√(x − c)2 + (y − 0)2 =

√(x + c)2 + (y − y)2

x2 − 2xc + c2 + y2 = x2 + 2xc + c2

y2 = 4xc

x =14c

y2



ako je c < 0jednačina parabole simetrične u odnosu nax−osu ostaje x = 14c y

2

med̄utim, grafik parabole je obrnuto usmeren

osa simetrije posmatrane parabole je x−osateme parabole je T (0,0)

Primer 3.1 Za parabolu y2 = 10x odrediti direktrisu, fokus, osu simetrije iteme, te je na kraju i skicirati



Jednačina parabole translirane tako da joj je teme T (x0, y0)

krenemo od parabole, npr.v = 14c u

2, c > 0pomerimo je na "desno" za x0zatim na "gore" za y0

Tada, za tačku P(x , y) sa translirane parabole u odnosu na odgovarajućutačku P ′(u, v) sa centrirane parabole važi:

nove koordinate (x , y) stare kordinate (u, v)x = u + x0 u = x − x0y = v + y0 v = y − y0



Za početnu (centriranu) parabolu važi:

jednačina je v = 14c u2

fokus je F ′(0, c)direktrisa je d ′ : v = −cteme je T ′(0,0)simetrična je u odnosu na pravu u = 0

Tada, translirana parabola (sa temenom u T (x0, y0)) zadovoljava:

jednačina je y − y0 = 14c (x − x0)2

fokus je F (x0, y0 + c)direktrisa je d : y − y0 = −cteme je T (x0, y0)simetrična je u odnosu na pravu x − x0 = 0: osa je x = x0

Primer 3.2 Odrediti fokus, direktrisu, teme i osu simetrije parabolex2 + 2x + 4y − 11 = 0; zatim je i skicirati


Kanonska jednačina elipse

2◦ ElipsaDefinicija. Neka su date dve fiksirane tačke F1 i F2 u ravni. Elipsa je skuptačaka u ravni takvih da im je zbir rastojanja od datih tačaka F1 i F2konstantan. Date tačke F1 i F2 nazivaju se fokusi elipse.

prava odred̄ena fokusima F1 i F2 senaziva fokalna osasredina duži F1F2 se naziva centar elipseza proizvoljnu tačku P sa elipse važid(P,F1) + d(P,F2) = const = 2a,ako je d(F1,F2) = 2c, c > 0, tada jasnovaži a ≥ cu preseku elipse i fokalne ose dobijamotemena elipse



Specijalno, iz definicije elipseako je c = 0, odnosno F1 = F2 i a > 0 dobijamo kružnicu;ako je c = a = 0 jednu tačku;a ako je c = a > 0 dobijamo duž F1F2 slika

kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x−osi

Koordinatni sistem podesimo tako da je x−osa fokalna osa i da je centar elipse ukoordinatnom početkudakle, F1(−c, 0) i F2(c, 0)Tada za proizvoljnu tačku P(x , y) sa elipsevaži

d(P,F1) + d(P,F2) = 2a


Kanonska jednačina elipseDakle, koristeći da je F1(−c,0),F2(c,0) i P(x , y) dobijamo:

d(P,F1) + d(P,F2) = 2a√(x + c)2 + y2 +

√(x − c)2 + y2 = 2a√(x + c)2 + y2 = 2a−

√(x − c)2 + y2

∣∣∣2a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx∣∣∣2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)x2

a2+

y2

a2 − c2= 1 . . . b2 = a2 − c2, jer je a > c

x2

a2+

y2

b2= 1, a > b

kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x−osi



Neke osobine elipse koje proizilaze iz njene kanonske jednačine:

x2

a2+

y2

b2= 1

x2a2 ∈ [0,1]⇒ x ∈ [−a,a]y2

b2 ∈ [0,1]⇒ y ∈ [−b,b]tačke (±a,0) i (0,±b) pripadaju elipsiElipsa je simetrična u odnosu i na x−osu i na y−osuP(x , y)←→ P ′(x ,−y), kao i P(x , y)←→ P ′′(−x , y)


Kanonska jednačina elipsecentrirana elipsa sa fokusima na x−osi

x2

a2+

y2

b2= 1, a > b

fokusi na x−osi su Fi(±c, 0), i = 1, 2gde je c =

√a2 − b2

temena su Ti(±a, 0), i = 1, 2

centrirana elipsa sa fokusima na y−osi

x2

a2+

y2

b2= 1, a < b

fokusi na y−osi su Fi(0,±c), i = 1, 2gde je c =

√b2 − a2

temena su Ti(0,±b), i = 1, 2



Jednačina elipse sa centrom u S(x0, y0) je

(x − x0)2

a2+

(y − y0)2

b2= 1

Primer 3.3 Nacrtati elipsux2

16+

y2

9= 1 i odrediti joj fokalnu osu, kao i same

fokuse i temena

Primer 3.4 Nacrtati elipsux2

9+

y2

16= 1 i odrediti joj fokalnu osu, kao i same

fokuse i temena


Kanonska jednačina hiperbole

3◦ HiperbolaDefinicija. Neka su date dve tačke u ravni F1 i F2. Hiperbola je skup tačaka uravni takvih da im je razlika rastojanja od datih tačaka F1 i F2 konstantna.Date tačke F1 i F2 nazivaju se fokusi hiperbole.

prava odred̄ena fokusima F1 i F2 senaziva fokalna osasredina duži F1F2 se naziva centarhiperboleza proizvoljnu tačku P sa hiperbole važi|d(P,F1)− d(P,F2)| = const = 2a,neka je d(F1,F2) = 2c, c > 0, tada važia ≤ cu preseku hiperbole i fokalne osedobijamo temena hiperbole



kanonska jednačina centrirane hiperbole sa fokusima na x−osi

Koordinatni sistem podesimo tako da je x−osa fokalna osa i da je centar hiperbole ukoordinatnom početkudakle, F1(−c, 0) i F2(c, 0)Tada za proizvoljnu tačku P(x , y) sahiperbole važi

|d(P,F1)− d(P,F2)| = 2a


Kanonska jednačina hiperboleDakle, koristeći da je F1(−c,0),F2(c,0) i P(x , y) dobijamo:

d(P,F1)− d(P,F2) = ±2a√(x + c)2 + y2 −

√(x − c)2 + y2 = ±2a√(x + c)2 + y2 = ±2a +

√(x − c)2 + y2

∣∣∣2∓ a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx∣∣∣2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)x2

a2+

y2

a2 − c2= 1 . . . b2 = c2 − a2, jer je a < c

x2

a2− y

2

b2= 1

kanonska jednačina centrirane hiperbole sa fokusima na x−osi


Kanonska jednačina hiperboleNeke osobine hiperbole koje proizilaze iz njene kanonske jednačine:

x2

a2− y

2

b2= 1

x2a2 ≥ 1⇒ x ∈ (−∞,−a] ∪ [a,∞)što još implicira da je x 6= 0, tj. hiperbola ne seče y−osutačke (±a,0) pripadaju hiperboliHiperbola je simetrična u odnosu i na x−osu i na y−osu

Hiperbola ima asimptote jer iz y2

b2 =x2a2 − 1 dobijamo

y = ± ba√

x2 − a2 odakle vidimo y ≈ ± ba x kada x →∞


Kanonska jednačina hiperbolecentrirana hiperbola sa fokusima na x−osi

x2

a2− y

2

b2= 1

fokusi na x−osi su Fi(±c, 0), i = 1, 2gde je c =

√a2 + b2

temena su (±a, 0)asimptote y = ± ba x

centrirana hiperbola sa fokusima na y−osi

y2

b2− x

2

a2= 1

fokusi na y−osi su Fi(0,±c), i = 1, 2gde je c =

√a2 + b2

temena su (0,±b)asimptote y = ± ba x



Jednačina hiperbole sa centrom u S(x0, y0) je

(x − x0)2

a2− (y − y0)

2

b2= 1

Primer 3.5 Nacrtati hiperbolux2

4− y

2

5= 1 i odrediti joj fokalnu osu, kao i

same fokuse, temena i asimptote

Primer 3.6 Nacrtati hiperboluy2

5− x

2

4= 1 i odrediti joj fokalnu osu, kao i

same fokuse, temena i asimptote


Analiticka geometrijaˇ...Analiticka geometrijaˇ Predavanje 3 Konusni preseci (krive drugog reda,...

Documents

Transcript of Analiticka geometrijaˇ...Analiticka geometrijaˇ Predavanje 3 Konusni preseci (krive drugog reda,...