VladimirTutic-Skripta Analiticka Geometrija

83
1 1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vladimir Tutić Elementi analitičke geometrije u prostoru R 3 Master rad Novi Sad, 2010. godina.

Transcript of VladimirTutic-Skripta Analiticka Geometrija

  • 1

    1

    UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIKI FAKULTET

    DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

    Vladimir Tuti

    Elementi analitike geometrije u prostoru R3

    Master rad

    Novi Sad, 2010. godina.

  • 2

    Sadraj ELEMENTI ANALITIKE GEOMETRIJE U PROSTORU R3 ........................1 SADRAJ..................................................................................................................2

    Predgovor .........................................................................................................3 Kratak istorijski pregled ...................................................................................4

    GLAVA I ...................................................................................................................5 ALGEBRA VEKTORA................................................................................................5

    Sabiranje i oduzimanje vektora.........................................................................8 Mnoenje vektora skalarom ............................................................................11 Koordinatni sistem u prostoru ........................................................................18 Koordinate vektora u prostoru........................................................................18 Ortogonalna projekcija vektora......................................................................19 Koordinate vektora kada vektor nije radijus vektor........................................26 Skalarni proizvod vektora ...............................................................................27 Vektorski proizvod vektora..............................................................................31 Meoviti proizvod vektora...............................................................................34 Dvostruki vektorski proizvod...........................................................................36

    GLAVA II ...............................................................................................................40 ANALITIKA GEOMETRIJA U PROSTORU................................................................40

    Vektor poloaja take......................................................................................40 Rastojanje dve take........................................................................................40 Podela dui u datoj razmeri ............................................................................41 Ravan ..............................................................................................................42 Razni oblici jednaine ravni ...........................................................................42 Normalna vektroska jednaina ravni ..............................................................42 Skalarni oblik jednaine ravni ........................................................................45 Segmentni oblik jednaine ravni .....................................................................46 Jednaina ravni koja prolazi kroz datu taku i normalna je na dati vektor....47 Jednaina ravni kroz tri date take.................................................................48 Rastojanje take od ravni................................................................................49 Meusobni poloaj dve ravni i ugao izmeu dve ravni ...................................50 Pramen ravni ..................................................................................................53 Jednaina prave u prostoru ............................................................................55 Vektorski oblik jednaine prave ......................................................................55 Parametarski oblik jednaine prave ...............................................................57 Kanoniki ili skalarni oblik jednaine prave ..................................................57 Prava kao presek dve ravni.............................................................................57 Jednaina prave koja prolazi kroz dve date take ..........................................58 Jo jedan oblik jednaine prave......................................................................59 Rastojanje take od prave ...............................................................................60 Rastojanje dve prave.......................................................................................61 Ugao izmeu dve prave...................................................................................63 Meusobni odnos prave i ravni.......................................................................64

    GLAVA III..............................................................................................................67 POVRI DRUGOG REDA..........................................................................................67

    Sfera ................................................................................................................67 Elipsioid ..........................................................................................................68 Hiperbolidi......................................................................................................70

    Jednograni hiperbolid ............................................................................................. 70 Dvograni hiperbolid................................................................................................ 71 Eliptiki parabolid .................................................................................................. 72 Hiperboliki parabolid............................................................................................ 73

    Cilindrine povri ...........................................................................................74 Konusna povr ................................................................................................75 Rotaciona(obrtna) povr .................................................................................76

    LITERATURA .......................................................................................................78 FOTOGRAFIJA .......................................................................................................79

  • 3

    Predgovor ............................

    Ovaj master rad je nastao kao potreba za stalnim strunim usavravanjem, pratei svetski trend, 3L - long laife learning.

    S obzirom, da analitiku geometriju u prostoru R3 nisam pohaao u toku redovnih studija na PMF - u u Novom Sadu, samostalno sam savladao teoriju i zadatke koristei navedenu literaturu.

    Nakon, dugog rada u Srednjoj mainskoj koli u Novom Sadu i u razgovoru sa profesorima koji predaju CAD-kompjuterski podrano dizajniranje, javila se potreba za preciznim definicijama i teorema analitike geometrije u prostoru R3 . U modeliranju mainskih elemenata i konstrukcija, najvie se koriste povri drugog reda, konusi, cilindri, paraboloidi itd i metod konstruktivne geneze elemenata(misli se na modeliranje vijaka, vratila, zupanika).

    Gradivo u master radu, podeljeno je u tri poglavlja. Prvo poglavlje, sadri osnove vektorske algebre koje se predaju i u srednjoj koli. U drugom poglavlju se sistematski obrauju definicije i teoreme sa dokazima, pravih , ravnih i taaka, kao i njihovih meusobnih odnosa. To poglavlje je iskljuivo obraeno vektorskim nainom. U treem poglavlju se obrauju povri drugog reda i odgovarajue jednaine koje dodeljujemo datim povrima.

    U master radu izlaganje teorije ne odstupa bitno od tradicionalnog naina izlaganja. Izuzetak ini teorema, O jeu pomou koje dokazujem distributivnost vektorskog proizvoda prema sabiranju, koja se u naoj literaturi drugaije dokazuje.

    Smatram svojom prijatnom dunou, da se za pregled master rada , i za niz primedbi i korisnih sugestija zahvalim mentoru ovog rada profesoru dr Sinii Crvenkovi. Takoe se zahvaljujem profesorima dr Zagorki Lozanov - Crvenkovi i dr Ljilji Gaji koje su pristale da budu lanovi komisije u oceni moga rada. Novi Sad, Autor 02.08.2010. godine

  • 4

    Kratak istorijski pregled

    Analitika geometrija, je deo matematike koji prouava pitanja u geometriji i analizi vezano za primenu sistema koordinata u ravni i prostoru. Ona je karakteristina po svojoj metodi. Sutina te metode je u sledeem, da se datim geometrijskim objektima u ravni i prostoru, posredstvom sistema koordinata korenspodiraju algebarske jednaine i obratno.

    Zahvaljujui univerzalnosti naina, kojim se u analitikoj geometriji prilazi reavanju raznih problema, metoda koordinata afirmisala se kao jedno od osnovnih metoda u geometrijskim istraivanjima i pokazala se neobino plodotvornom u raznim primenama matematike, u tehnici, posebno u mehanici, zatim u fizici i drugim naukama.

    Pojavom analitike geometrije tj, metode koordinata koju je Rene Dekart (1596.- 1650.) inicirao svojom Geometrijom 1637. godine(Gomtrie, 1637)omogueno je da se linije i povri izraavju jednainama. Dekartova promenljiva veliina bila je prekretnica u matematici.

    Ideja promenljive veliine, a zatim i ideja koordinata , s jedne , i uzajamne veze geometrije i algebre odnosno aritmetike, s druge strane, nisu bile nepoznate matematici pre Dekarta. Tako je Pjer de Ferma (1601.-1665.), pravnik iz Tuluza, napisao manji rad iz geometrije koji se odnosi na jednaine pravih i konusnih preseka koji je objavljen tek 1697. godine. Taj rad je izgledao manje prikladan od Dekartove Geometrije, jer je pisan Vijetovom simbolikom.

    Dekart se rukovodio jednostavnim principom , da ureenom paru realnih brojeva (x,y) pridrui taku u ravni i obratno, da taki u ravni pridrui par realnih brojeva (x,y), jednaini F(x,y) = 0 , u optem sluaju, krivu kao skup taaka u ravni. Tako je Dekart postavio princip koordinatne metode.

    Veliki matematiar Leonard Ojler ( 1707. - 1783.), 1748. godine objavljuje knjigu Uvod u analizu beskonanih veliina (Introductio in analysin infinitorum, 1748.) U pomenutoj knjizi ispitivanje krivih i povri, pomou njihovih jednaina se moe smatrati prvim udbenikom analitike geometrije. Ojler i ostali analisti XVIII veka izgradili su analitiku geometriju trodimenzionalnog prostora na generalisanom Dekartovom principu koordinatne metode. Ureenoj trojci realnih brojeve (x,y,z) pridruena je taka u prostoru i obratno, a jednaini F (x,y,z) = 0 , u optem sluaju , pridruena je povr kao skup taaka u prostoru.

    ozef Luj Lagran (1736.-1813.) je Dekartov princip primenio u mehanici, aritmetizirajui mehanike veliine, silu , brzinu i ubrzanje. Na taj nain je inicirao pojam vektora u trodimenzionalnom prostoru kao pojam ureene trojke realnih brojeva (x,y,z). To je bilo od dalekosene i bitne vanosti za razvitak teorije vektora i njenu generalizaciju na bazi Dekartove koordinatne metode.

    Mnoge relacije ureenih trojki realnih brojeva kojima se analitiki formuliu geometrijske injenice obinog trodimenzionalnog prostora ostaju u vanosti i onda kada se ureena trojka zameni ureenom n - torkom realnih brojeva.

    Ideja analitike geometrije danas doivljava vrlo iroke i apstraktne generalizacije u funkcionalnoj analizi, karakteristinoj grani moderne matematike.

  • 5

    Glava I

    ........................................................

    Algebra vektora

    U prirodnim naukama posebno u matematici i fizici koristimo skalarne, vektorske i tenzorske veliine. Skalarne veline su odreene brojevnom vrednou, dok vektorske veliine imaju jo smer i pravac.

    Ureeni par (A,B) zvaemo orijentisana du, ija je A poetna taka, a B zavrna taka. Par (A,A) zvaemo nula par.

    Nosa ureenog para taka (A,B) je prava p koja prolazi kroz taku A i B (sl. 1)

    Slika 1: Nosa p

    Parovi (A,B) i (C,D) su pararelni ako su njhovi nosai paralelne prave(slika 2).

    Slika 2: Paralelni nosai p i d

  • 6

    Ako su (A,B) i (C,D) dva paralelna para tada su oni istog smera ako su take B i D sa iste strane prave AC, a razliitog smera, ako su take B i D sa raznih strana prave AC(slika 3. i 4.).

    Slika 3: Ureeni parovi istog smera

    Slika 4: Ureeni parovi suprotonog smera

    Definicija 1. Neka je A B i C D. Tada je ureeni par (A,B) ekvipolentan

    ureenom paru (C,D) akko: a) Nosai odreeni takama A,B i C,D su paralelni ili se poklapaju.

    b) Du [AB] [CD]. c) Ureeni parovi (A,B) i (C,D) isu istog smera.

    Ako je (A,B) ekvipolentan sa (C,D) to emo pisati (A,B)(C,D). Moe se dokazati sledea:

    Teorema 1. Relacija ekvipolentan je relacija ekvivalencije u skupu R2

  • 7

    Dokaz:

    Refleksivnost-(A,B)( A,B) jeste jer je p(A,B)p(A,B), [A,B] [A,B] i smer je od A prema B

    Simertinost- Ako (A,B)(C,D) (C,D)(A,B). Iz (A,B)(C,D) p(A,B)// p(C,D) i [AB] [CD] i (A,B) i (C,D) su istog smera. Tada zbog simetrinosti relacije podudarno i relacije paralelno zadovoljeno je (C,D)(A,B)

    Tranzitovnost-neka je (A,B)(C,D) (C,D)(E,F) (A,B)( E,F). Zbog tranzitivnosti relacija podudarno i paraleno dobijamo da je (A,B)( E,F).

    Binarna ralacija ekvipolencije u skupu R2 vri particiju na kalse ekvivalenciji:

    Svaka dva para iz iste klase su ekvipolentna.

    Klasa svih meusobno ekvipotentnih parova naziva se slobodni vektor.

    Slobodni vektor se zadaje navoenjem jednog njegovog predstavnika, to jest orjentisanom dui, imajui u vidu da je isti vektor zadat i svakom drugom orjenisanom dui, koja se iz ove dobija translatornim pomeranjem. Zato emo slobodne vektore poistoveivati sa njihovim predstavnikom.

    Slobodne vektore emo oznaavati umesto (A,B) sa AB , ili ...,ba . i predstavljati orijentisanom dui(slika 5.)

    Slika 5: Slobodni vektor

    Nula vektor AAAA == ),(0

    .

    Intenzitet(duina) vektora u oznaci a ili AB je merni broj duine bilo kog njegovog predstavnika.

    Intenzitet nula vektora je nula, a intenzitet jedininog vektora je jedan.

  • 8

    Sabiranje i oduzimanje vektora Definicja 2:

    Zbir vekora a i b

    je vektor c iji se jedan predstavnik dobija na sledei nain: Uoi se jedan prizvoljni predstavnik ),(1 BAa = vektora a i predstavnik ),(1 BAb =

    vektora b

    , ija se poetna taka poklapa

    sa zavrnim takom od a . Tada ),(1 CAc = , ija se poetna taka poklapa sa poetnom takom od 1a , a zavrna taka poklapa sa zavrnom takom od 1b

    , je predstavnik vektora c (sl. 6)

    Slika 6: Zbir vektora po pravilu trougla

    Ako su vektori 1a i 1b

    predstavljeni u poloaju u kome im se

    poklapaju poeci i uoi se paralelogram, kojeg oni odreuju, tada je zbir 111 bac

    += vektora a i b

    predstavljen orijentisanom dijagonalom

    paralelograma, iji se poetak poklapa sa zajednikom takom vektora 1a i 1b

    (slika 7.)

    Slika 7: Zbir vektora po pravilu paralelograma

  • 9

    Definicja 3: Vektor iji su intenzitet i pravac jednaki intenzitetu i pravcu

    vektora a , dok mu je smer suprotan smeru vektora a , naziva se suprotan vektor vektoru a i obeleava se sa - a (slika 8.).

    Slika 8: Suprotan vektor

    Neka je V skup svih vektora u R3, tada vai: Teorema 2. Ureani par (V,+) je Abelova grupa. Dokaz: a) Zatvorenost: VbaVba + , po definiciji sabiranja vektora. b) Asocijativnost: )()( cbacba

    ++=++ . Neka je

    1dba

    =+ i 2dcb

    =+ i dcd

    =+1 . Tada je dcdcba

    =+=++ 1)( i ddacba

    =+=++ 2)( (slika 9.)

    Slika 9: Asocijativnost

    c) Neutralni element aaa

    =+=+ 00

    d) Suprotan vektor - a vektoru a . Tada je e) 0)()(

    =+=+ aaaa .

  • 10

    f) Komutativnost sledi iz sabiranja dva vektora po pravilu paralelograma(slika 7.) abba

    +=+ .

    Zbir n-vektora naaa ,...,, 21 takvih da se poetna taka svakog od

    njih poklapa sa zavrnom takom prethodnog(slika 10.) je vektor ija se poetna taka poklapa sa poetnom takom prvog vektora 1a , a zavrna taka sa zavnom takom poslednjeg vektora na (to je pravilo poligona)

    Slika 10: Poligon vektora

    Definicja 4:

    Razlika vektora ba

    je vektor )( ba

    + (slika 11.)

    Slika 11: Razlika vektora

    Sa slike 11. se vidi da je etvorugao OAAB paralelogram pa je BAOA =' , to jest, baba

    =+ )(

    Teorema 3. Razlika dva vektora je jednoznano odreen vektor.

  • 11

    Dokaz: Pretpostavimo suprotno, to jest, da za dva data vektora a i

    b

    postoje dva razliita vektora d i 1d

    jednaka razlici vektora a i b

    . bdabad

    +== bdabad

    +== 11 Vodei rauna o teoremi 2. imamo:

    )()()()( 1 bbdbbd

    ++=++

    ddbbdbbd

    =+=++=++ 0))(()()(

    1111 0))(()()( ddbbdbbd

    =+=++=++

    Iz predhodnog sledi 1dd

    = .

    Mnoenje vektora skalarom Sada emo definisati mnoenje vektora skalarom(brojem). Definicja 5: Pod proizvodom skalara 0 i vektora 0a u oznaci

    a podrazumeva se vektor iji je intenzitet a , pravac mu je isti kao i kod vektora a , a smerovi vektora a i a su isti ako je 0> , a suprotni ako je 0

  • 12

    aa = )( . Ako su skalari i istog znaka, tada su i vektori a)( i

    )( a kao i a istog smera. Ako su pak i razliitog znaka , tada su i vektori a)( i

    )( a istog smera koji je suprotan smeru vektora a . Dakle, vektori a)( i )( a imaju isti smer, pravac i

    intenzitet, pa su prema tome jednaki. Tako je osobina 1. dokazana.

    Dokaimo osobinu 2.

    Vektor a)( + i aa + imaju isti pravac. Neka su i istog zanaka , tada e vektori a)( + i

    aa + imati isti smer. Ispitajmo njihove intenzitete:

    aaaaaaaa +=+=+=+=+ )( to znai da su intenziteti vektora aa + i a)( + jednaki pa vai osobina 2.

    Neka su sada i suprotnog znaka, uzmimo >0 i < 0 (na potpuno isti nain se razmatra < 0 i >0).

    Tada su vektori a i a suprotnog smera, a pravac im je isti. Kako je > , tada je smer vektora a)( + i aa + isti.

    Dokaaimo da su im i intenziteti jednaki.

    .)( aaaaaaaaa +=+====+Tako da je dokazana osobina 2.

    Dokaimo osobinu 3. Pretpostavimo da je >0 i da pravci vektora a i b

    nisu

    paralelni, tada konstruiimo truglove ABC i ADE tako da bude aAB = , bBC

    = , aAD = i bDE

    = (slika 12.). Jasno je da su

    trouglovi ABC i ADE slini, tada su take A,C i E kolinerne, pa vektori baAC

    += , baAE

    += kao i vektor )( ba

    + imaju isti

    pravac. Zbog >0 vektori aa + i a)( + imaju isti smer. Dokaimo da imaju iste intenzitete. Kako je ABC AEACADABADE :: =

    +=+++= baabaababaaa :: to jest )(/ bababaabaabaa

    +=+=++=+

    vektor ba + i )( ba + imaju iste intenzitete pa vai osobina 3.

  • 13

    Slika 12: Mnoenje vektora skalarom

    Ako je 0) odnosno

  • 14

    Definicja 6: Neka je V vektorski prostor nad poljem F i neka su

    Vaaa n ,...,, 21 . Tada, svaki vektor oblika nnaaa

    ...2211 ++ gde su

    n ,...,, 21 proizvoljni skalari iz polja F, naziva se linearna kombinacija vektora naaa

    ,...,, 21 . Definicja 7:

    Za vektore Vaaa n ,...,, 21 kaemo da su linearno zavisni, ako

    postoji skup skalara Rn ,...,, 21 tako da je bar jedan od njih razliit od nule i da vai 0...2211

    =++ nnaaa

    Definicja 8:

    Za vektore Vaaa n ,...,, 21 kaemo da je linearno nezavisan, ako

    za Rn ,...,, 21 vai 0...2211

    =++ nnaaa 0...21 ==== n .

    Teorema 6. Svaki skup vektora, meu kojima je nula vektor je linearno

    zavisan.

    Dokaz:

    Neka je naaa ,...,, 21 dati skup vektora i neka je 0=ia

    . Tada je 00...010...00 1121

    =++++++ + miii aaaaaa )0,...,0,0()0,...0,1,0,...,0,0( pa su vektori naaa

    ,...,, 21 linearno zavisni.

    Teorema 7.

    Vektori naaa ,...,, 21 su linearno zavisni akko },...,2,1{ ni tako

    da su nniiiii aaaaaa

    +++++= ++ ...... 1112211

    Dokaz:

    () naaa ,...,, 21 su linearno zavisni Rn ,...,1 tada je i

    0...2211

    =++ nnaaa i postoji bar jedan skalar 0i

    ni

    ni

    i

    i

    i

    i

    iii aaaaaa

    )(....)()(...)()( 11111111

    ++++++= +

    +

    () },...,2,1{ ni tako da nniiiii aaaaaa

    +++++= ++ ...... 1112211

    0...)1(... 1112211

    =++++++ ++ nniiiii aaaaaa i postoji bar jedan skalar 0, pa su vektori naaa

    ,...,, 21 linearno zavisni.

  • 15

    Definicja 9: Za dva ne nula vektora kaemo da su kolinearni akko imaju isti

    pravac.

    Teorema 8.

    Dva nenula vektora a i b

    su kolinearni akko postoji 0, R tako da je ba

    = . Dokaz:

    () a i b

    su kolinearni

    Slika 14:Kolinarni vektori

    Neka su a i b

    istog smera, tada je == abba

    bba

    da su

    vektori bba

    i a jednaki bba

    a

    = pa, baba

    == .

    Ako su vektori a i b

    suprotnog smera, tada je

    == abba

    bba

    bba

    a

    = pa, ba

    = .

    () Ako je ba = onda na osnovu definije 9. vektori a i

    b

    imaju isti pravac to jest paralelni su, a to znai kolinearni. Teorema 9.

    Dva nenula vektora a i b

    su kolinarni akko su linarno zavisni.

    Dokaz:

    () a i b

    su kolinarni Iz Teoreme 8. 0, R tako da je == 0baba po definiciji 7. vektori su linarno zavisni.

  • 16

    () a i b

    su linearno zavisni R , takvi da je 0

    =+ ba i, recimo ba

    = ,0 pa 0=

    tako da je ba = , tada su po Teoremi 8. vektori a i b

    kolinearni.

    Definicja 10: Za tri i vie vektora kaemo da su komplanarni ako postoji

    ravan, tako da nosai tih vektora budu paralelni toj ravni. Neka su cba

    ,, tri komplanarna vektora i translirajmo ih u zajedniku taku O(slika 15.)

    Slika 15: Komplanarni vektori

    Pretpostavimo da vektori a i b

    nisu kolinearni. Kroz taku C(zavrnu taku) vektora c povuemo paralele sa pravcima vektora a i b

    , presene take obeleimo sa A i B(slika 15.) tada je:

    OBOAOC += ; aOA = i bOB

    = onda je bacOC +== . Za

    vektor c se kae da je razloen po pravcima nekolinearnih vektora a i b

    . Pokazaemo da je to razlagenje jedinstveno. Prvo emo dokazati: Teorema 10. Tri ne nula vektora su komplanarni akko su linarno zavisni.

    Dokaz:

    ()Neka su cba ,, komplanarni i neka a i b

    nisu kolinerni.

    Tada postoje R, tako da je bac += po teoremi 7. vektori

    cba ,, su linearno zavisni.

  • 17

    Ako su a i b

    kolinerni 0, R tako da je ba = pa je linarna kombinacija 00 =+ cba

    cba ,, linarno zavisni.

    () Neka su cba ,, linearno zavisni R ,, , i bar jedan

    od njih je razliit od nule, neka je to 0 , i 0 =++ cba cba

    )()(

    += , a to znai da su vektori cba ,, konplanarni tako

    je dokaz zavren.

    Neka je dat skup tri nekomplanarna vektora cba ,, . Razloimo

    proizvoljan vektor d

    po pravcima ta tri vektora. Konstruiimo paralelopiped ije ivice lee na nosaima vektora ba , i c dok mu je dijagonala vektor d

    (slika 16.).

    Slika 16: Razlaganje vektora na tri nekomplanarna vektora

    Tada je PDOPOD += ; baOBOAOP +=+= ;

    cOCPD ==

    cbadOD ++== . (1)

    Pokaimo da je to razlaganje jedinstveno. Neka pored (1) razlaganja, postoji jo jedno razlagenje vektora

    cbad

    111 ++= cbacba

    111 ++=++ 0)()()( 111

    =++ cba vektori cba ,, su nekomplanarni to jest linearno nezavisni 111 ,, === . Teorema 11. etri prizvoljna vektora su uvek linearno zavisna. Dokaz: Neka su data etri vektora dcba ,,, . Ako su tri od njih, na primer cba

    ,, , nekomplanarni, tada se svaki vektor d

    jedinstveno

  • 18

    razlae preko vektora cba ,, to jest: cbad

    ++= dcba ,,, linearno zavisni.

    Ako su vektori cba ,, konplanarni na osnovu teoreme 10. su

    linearno zavisni to jest 0

    =++ cba i bar jedan od skalara ,, je razliit od nule. Tada je: 00 =+++ dcba dcba ,,,

    su linearno zavisni.

    Koordinatni sistem u prostoru

    Koordinate vektora u prostoru

    Dokazali smo prethodno da se svaki vektor d

    moe razloiti na tri nekomplanarna vektora cba

    ,, na jedinstven nain. Neka je razlagenje vektra d

    dato sa:

    cbad ++=

    Vektori cba ,, se nazivaju komponente, a skalari

    ,, koeficijenti razlaganja vektra d po vektorima cba ,, . Oigledno je da komponente vekora d u razlaganju po

    vektorima cba ,, zavise od izbora vektora cba

    ,, , a skalari ,, zavise od redosleda vektora ba , i c zato je potrebna ova

    definicija:

    Definicja 11: Koordinatni sistem u realnom vektorskom prostoru je ureena

    trojka ),,( cba nekomplanarnih vektora.

    Sada vektor d

    u odnosu na koordinatni sistem ),,( cba prikazan

    kao linerna kombinacija vektora ba, i c glasi cbad

    ++= . Tada koeficijente , i zovemo koordinate vektora d u izabranom koordinatnom sistemu.

    Da vektor d

    ima koordinate ,, zapisaemo ),,( =d . Prema tome, vektor d

    je odreen ureenom trojkom brojeva.

    Svakom vektru odgovara tako jedna ureena trojaka njegovih koordinata i obratno. Dakle, preslikavanje koje svaki vektor d

    preslikava u ureneu trojku realnih brojeva, koje su njegove koordinate je bijekcija. Zbog te bijekcije raunske opreacije sa vektorima moemo zamentiti sa raunskim oprecijama meu njihovim koordinatama.

  • 19

    Definicja 12: Triedar vektora, naziva se ureena trojka ),,( cba nekomplanarnih vektora ba

    , i c . Definisaemo levi i desni orijentisani triedar. Definicja 13:

    Neka su )0,0,0(),,(

    cba tri nekomplanarna vektora koji imaju zajedniku taku u taki O. Ako u ravni vektora ba , rotacija oko take O vektora a dovede do poklapanja sa pravcem i smerom vektora b

    i to najkraim putem posmatrano iz zavrne take vektora

    c , suprotno kretanju kazaljke na satu, tada je triedar ),,( cba desne

    orijentacije. U suprotnom je leve orijentacije(slika 17.)

    Slika 17: Desni i levi triedar vektora

    Definicja 14: Ureeni skup tri ose koje prolaze kroz utvrenu taku O i koje

    su uzajamno normalne, obrazuju Dekartov koordinatni sistem.

    Taka O se naziva koordinatni poetak, a ose koje prolaze kroz taku O se zovu kordinatne ose i obeleavaemo ih sa x,y,z . Jedinini vektor ose x oznaavaemo sa i , ose y sa j , a ose z sa k . Koordinatni sistem (x,y,z) je desni ako je triedar ( i

    , j

    , k

    ) desni, slino za levi sistem. Radiemo iskljuivo sa desnim sistemom.

    Tri uzajamno normalne ravni Oxy, Oxz, Oyz koje prolaze kroz odgovarajue ose, nazivaju se koordinatnim ravnima, sa njima je prostor podeljen na osam oktanata.

    Ortogonalna projekcija vektora Definicja 15: Ortogonalna projekcija take A na pravu p je taka A koja lei u

    preseku prave p i ravni koja prolazi kroz taku A i normalna je na pravu p (slika 18.).

  • 20

    Slika 18: Ortogonalna projekcija take na pravu

    Definicja 16:

    Ortogonalna projekcija take A na ravan je taka A koja lei u preseku ravni i prave koja prolazi kroz taku A i normalna je na ravan (slika 16.).

    Slika 19: Ortogonalna projekcija take na ravan

    Da bi se definisala projekcija vektora na osu mora se definisati orijentacija prave(ose).

    Definicja 17. Neka je na pravi p odreen pozitivan smer, koji je isti kao smer

    proizvoljnog ne nula vektora a , iji je nosa paralelan sa pravom p. Prava sa tako odreenim smerom naziva se orjentisana prava ili osa(slika 20.).

  • 21

    Slika 20: Orjentisana prava(osa)

    Definicja 18.

    Ortogonalana projekcija vektora ABa = na orjentisanu pravu p je vektor ''' BAa = , iji je poetak A ortogonalna projekcija take A

    vektora a na pravu p, a kraj B ortogonalna projekcija kraja B vektora a na pravu p u toj ravni(slika 21.).

    Slika 21: Ortogonalna projekcija vekotra

    Definicja 19. Ortogonalana projekcija vektora a na orijentisanu osu p je

    skalar, jednak intenzitetu vektora a . Projekcija vektora a na pravu p uzima se sa pozitivnim znakom, ako se smer vektora a poklapa sa smerom ose p , i negativnim znakom, ako je smer vektora a suprotan smeru ose p .

    Projekciju vektora a na osu p oznaavaemo sa ap Pr . Napomena: Ako je 0p

    jedinini vektor orijentisane ose p tada je projekcija 'a vektora a na pravu p data sa 0Pr' paa p

    = .

    Teorema 12. Projekcija vektora a na orijentisanu osu p jednaka je proizvodu

    intenziteta vektora a i kosinusa ugla kojeg ovaj vektor obrazuje sa osom:

    cosPr aap

    = , = ),( pa .

    Dokaz: Neka je vektor a predstavljen sa AB koji je translatorno pomeren tako da mu poetak lei u taki pA , gde je p orijentisana prava(slika 22.).

  • 22

    Slika 22: Projekcija vektora na orijentisanu osu

    Naka je vektor ''' BAa = ortogonalna projekcija vektora ABa = na orijentisanu pravu p . Neka je ugao = ),( pa otar (

    20 ) tada vektor ''' BAa = ima isti smer kao osa p . Tada je

    cos''Pr aBAap

    == .

    Ako je ugao = ),( pa tup ( 2

    )(slika 22.) tada je smer

    vektora 'a suprotan smeru ose p pa je cos)cos(''Pr aaBAap

    === .

    Teorema 13. Projekcija konanog zbira vektora na orijentisanu osu p

    jednaka je zbiru projekcija tih vektora na osu p . Dokaz: Indukcijom po zbiru vektora

    n=2 dokaimo 2121 PrPr)(Pr aaaa ppp

    +=+ neka je ABa =1 ,

    BCa =2 ACaa =+ 21 (slika 23.).

    Slika 23: Projekcija konanog zbira vektora

  • 23

    Vektor '''''' CBBACA += na osnovu definicje 18. i 19. imamo da je ''Pr 1 BAap =

    , ''Pr 2 CBap = , '')(Pr 21 CAaap =+

    , a '''''' CBBACA += tada je

    2121 PrPr'''''')(Pr aaCBBACAaa ppp

    +=+==+

    Pretpostavimo da je tano za : n=k kpppkp aaaaaa

    Pr...PrPr)...(Pr 2121 +++=+++

    dokaimo da je tano za : n=k+1

    =++++=++++ ++ 121121 Pr)...(Pr))...((Pr kpkpkkp aaaaaaaa

    121 PrPr...PrPr +++++= kpkppp aaaa

    . Tada vai Nn .

    Teorema 14.

    Projekcija proizvoda vektora a skalarom na datu orijentisanu osu p jednaka je proizvodu skalara i projekcije vektora a na osu p .

    Dokaz:

    Treba dakle dokazati da je aa pp

    PrPr = .

    Neka je >0. Na osnovu teoreme 12. imamo apaapaaa pp

    Pr),(cos),(cosPr === .

    Neka je

  • 24

    Teorema 15.

    Koeficijenti zyx aaa ,, razlaganja vektora d

    su njegove ortogonalne projekcije na koordinatne ose yx, i z redom.

    Dokaz:

    Neka je vektor d

    u prvom oktantu koordinatnog sistema. Konstruiimo kvadar kao na slici 24.

    Projekcija vektora kajaiad zyx

    ++= je

    )(PrPr kajaiad zyxii

    ++= . Na osnovu teoreme 13. i 14. imamo

    kajaiad iziyixi

    PrPrPrPr ++= kako su vektori kj

    , normalni na i

    to su njihove projekcije na x osu jednake nuli 0Pr =ji

    , 0Pr =ki

    , a

    10cosPr 0 == iii

    . Tada je xi ad =

    Pr . Analogno se dobija da su

    projekcije vektora d

    na y , odnosno z osu redom yj ad =

    Pr ,

    zk ad =

    Pr . Na osnovu teoreme 12. imamo

    ),(cos iddax

    =

    ),(cos jdday

    =

    ),(cos kddaz

    = .

    Slika 24: Prostorni koordinatni sistem

  • 25

    Umesto oznake kajaiad zyx

    ++= pisaemo oznaku ),,( zyx aaad =

    .

    Definicja 20. Vektori poloaja take A(radijus vektor) u prostoru naziva se

    vektor kome je poetak u koordinatnom poetku O, a kraj u taki A. Definicja 21. Pravougle koordinate zyx ,, vektora poloja ),,( zyxa = take

    A u prostoru nazivaju se pravouglim koordinatama take A. Taka A sa koordinatama zyx ,, oznaava se ),,( zyxA , pri emu se prva koordinatra naziva apcisom, druga ordinatom i trea aplikatom take A.

    Da bi se nale koordinate take A treba kroz taku A postaviti tri ravni paralelne odgovarajuim koordinatnim ravnima. Tada te tri ravni seku ose zyx ,, u takama P,Q,R koje odreuju koordinate vektora OA , a time i koordinate take A. Prema tome, poloaj take A u prostoru je odreen njenim vektorom poloaja OA ili sa tri koordinate ),,( zyxA .

    Neka je zadan radijus vektor svojim pravouglim koordinatama ),,( zyx aaa . Tada vai sledea teorema:

    Teorema 16.

    Neka vektor ),,( zyx aaad =

    sa kordinatnim osama zyx ,, gradi redom uglove , i tada je :

    a) 222 zyx aaad ++=

    b) dax=cos ,

    d

    ay=cos , daz=cos

    c) 1coscoscos 222 =++ Dokaz:

    a) Iz teoreme 15. na slici 24. radijus vektor d

    pripada pravcu koji je prostorna dijagonala kvadra ije su ivice zyx aaa ,, . Tada je na osnovu Pitagorine teoreme 222

    2

    zyx aaad ++=

    .

    b) Iz teoreme 15. i na osnovu teoreme 12. imamo: cos),(cos diddax

    == cos),(cos djdday

    ==

    cos),(cos dkddaz

    == koristei a) dobijamo dokaz pod b).

  • 26

    c) Kvadriramo jednakosti pod b) i saberemo ih, dobiemo 222222222 coscoscos dddaaa zyx

    ++=++

    )coscos(cos 2222222 ++=++ daaa zyx

    koristei pod a)

    dobijamo 1coscoscos 222 =++ . Jedinini vektor 0d

    vektora d

    je

    kdaj

    d

    ai

    da

    d

    kajaia

    ddd zyxzyx

    ++=++

    ==0 koristei jednakosti iz

    teoreme 16 pod b) dobiemo: coscoscos0 kjid

    ++= .

    Ako su vektori a i b

    zadani svojim koordinatama ),,( zyxzyx aaaajaiaa =++=

    , ),,( zyxzyx bbbbjbibb =++=

    tada za sabiranje, oduzimanje i mnoenje skalarom vai:

    ),,(

    )()()(

    zzyyxx

    zzyyxx

    bababakbajbaibaba

    =

    =++=

    ),,( zyxzyx aaakajaiaa =++= .

    Koordinate vektora kada vektor nije radijus vektor Teorema 17.

    Ako su date take ),,( 111 zyxA i ),,( 222 zyxB tada je vektor AB jednak: kzzjyyixxAB

    )()()( 121212 ++= .

    Dokaz: Neka je O(0,0,0) koordinatni poetak tada su jednoznano

    odreeni radijus vektori ),,( 111 zyxOA = i ),,( 222 zyxOB = (slika 25.). Tada je OAOBABOBABOA ==+

    ),,(),,(),,( 121212111222 zzyyxxzyxzyxAB == .

    Slika 25: Radijus vektori

  • 27

    Skalarni proizvod vektora Definicja 22.

    Skalarni proizvod dva vektora a i b

    u oznaci ba

    je skalar, koji je jedank proizvodu intenziteta vektora a i b

    i kosinusa ugla koji oni

    zaklapaju.

    Na osnovu definicije 22. imamo: ),(cos bababa = . Na

    osnovu teoreme 12. dobijamo ),(cosPr baaab

    = , pa se skalarni

    proizvod vektora a i b

    moe zapisati u obliku baabba ab

    PrPr == . (1) Osobine skalarnog proizvoda

    iskazuje sledea teorema. Teorema 18.

    Ako su Vcba ,, prizvoljni vektori i R, tada je:

    1) abba =

    2) )()()( bababa ==

    3) cabacba

    +=+ )(

    4) 0 aa 5) 0= aa 0= a

    Dokaz:

    1) Na osnovu definicije 22. imamo ),(cos bababa = =

    ababab = ),(cos , komutativan je.

    2) abbababa b

    Pr),(cos)( == . Kako je, na osnovu osobine o projekciji vektora, teoreme 14. i (1) imamo

    baababba bb

    === )()(PrPr)( . Iz istih razloga vai i

    )()( baba = .

    3) )(Pr)( cbacba a

    +=+ . Koristei teoremu 13. dobijamo =+=+=+ cabacbacba aaaaa

    PrPr)Pr(Pr)(Pr

    caba

    += .

    4) 00cos),(cos 202 === aaaaaaaa

    5) Iz osobine 4) 0002 ==== aaaaa .

  • 28

    Iz definicije 22. skalarnog proizvoda izraunavanjem kosinusa ugla izmeu vektora a i b sledi 0,0,),(cos

    = babababa

    .

    Ako je 002

    cos2

    ),( === baba . Definicja 23.

    Dva vektora a i b

    , razliita od nula vektora, su uzajmno normalni akko je njihov skalarni proizvod jednak nuli. U zavisnosti koliki je ugao izmeu vektora a i b imamo(slika 26.).

    Slika 26: Skalarni proizvod u zavisnosti od ugla izmeu vektora

    Teorema 19.

    Ako su vektori a i b

    zadani svojim koordinatama: kajaiaa zyx

    ++= i kbjbibb zyx

    ++= , tada je

    zzyyxx babababa ++= .

    Dokaz:

    Mnoei vektore a i b po osobini 3) teorema 18. i koristei da je 0=== kjkiji

    , 1=== kkjjii

    , dobija se

    zzyyxx babababa ++= .

    Iz teoreme 19. moemo dati analitiki izraz za odreivanje ugla izmeu dva vektora preko koordinata:

    222222),(cos

    zyxzyx

    zzyyxx

    bbbaaa

    babababa

    ++++

    ++= .

    Ako su vektori a i b

    kolinearni i zadani svojim koordinatama ),,( zyx aaaa =

    , ),,( zyx bbbb =

    , tada iz ba = , 0 sledi

    zzyyxx bababa === ,, to jest ===z

    z

    y

    y

    x

    x

    ba

    ba

    ba , vektori a i b

    su

  • 29

    kolinearni ako su im odgovarjaue koordinate proporcionalne. Ako su vektori a i b

    normalni 0=ba 0=++ zzyyxx bababa .

    Sada emo dokazati jednu teoremu poznatu pod nazivom teorema o jeu u prostoru koja glasi:

    Teorema 20. Neka je P konveksan poliedar ije su strane B1,B2,Bs i

    snnn ,...,, 21 vektori normale na strane B1,B2,Bs i in

    , za i=1,2,s, orjentisani su prema spoljanjosti poliedra, )( ii BPn =

    za i=1,2,s,

    gde su P(Bi) povrine strana poliedra. Tada je 01

    =

    =

    s

    iin .

    Dokaz: Uoimo jednu stranu Bi, i=1,...,s poliedra P(slika 27.)

    Slika 27:Unutranja taka X poliedra i njena projekcija(X)

    Neka je X prozvoljna unutranja taka poliedra, a hi najkrae odstojanje take X od strane Bi za i=1, 2, . , s(X ortogonalna prijekcija take X). Neka je V zapremina datog poliedra. Tada se taj poliedrar moe razbiti na piramide sa temenom u X(sve piramide su u unutranjosti poliedra i imaju zajednike bone strane). Tada je

    ==

    ii

    s

    ihBPV )(

    31

    1

    =

    =

    s

    iii hBPV

    1)(3 (1)

    gde je Pi=P(Bi).

    Neka je ie jedinini vektor vektora in za i=1,2,...,s i istog smera

    sa in iii

    i

    i

    i

    i

    i

    ii ePnP

    nBP

    nnne

    ====)(

    za i=1, 2, . , s.

    Uoimo fiksiranu taku O poliedra takvu da je OX i neka je Ti prizvoljna taka TiBi za i=1, 2, . , s(slika 28.).

  • 30

    Slika 28: Prizvoljna strana poliedra sa fiksiranom takom O

    Sada potraimo

    ),(cos iiiiii eXTeXTeXT = . (2)

    Iz pravouglog iTXX '

    ==i

    i

    i

    iiXTh

    XT

    XXeXT

    '),(cos ),(cos iiii eXTXTh

    = , pa je,

    obzirom na (2), iii heXT = za i=1, 2, . , s. Sada hi zamenimo u

    (1) iis

    ii eXTPV

    =

    =13 . (3)

    Izrazimo vektor iXT sa slike 28. ii OTXOXT += i zamenimo u (3).

    ).,(cos

    )()(3

    11

    111 1

    iii

    s

    ii

    s

    ii

    i

    s

    ii

    s

    iii

    s

    i

    s

    iiiii

    OTnOTnnXO

    OTnnXOOTXOnOTXOePV

    +=

    =+=+=+=

    ==

    === =

    Neka je Hi za i=1, 2, . , s najkrae rastojanje take O do Bi za i=1, 2,,s i neka je O otrogonalna projekcija take O na stranu Bi. Iz pravouglog trougla

    ),(cos),(cos' iiiii

    iiii OTnOTH

    OTHOTnTOO == .

    Zamenimo u (4)

    === =

    =+=+=s

    ii

    s

    ii

    s

    i

    s

    iiii OnXOVnXOHPnXOV

    111 13

    3133

    , kako

    je XO 001

    =

    =

    s

    iinXO .

    Tako je teorema 20. dokazana , koja e nam trebatri u sledeem poglavlju.

  • 31

    Vektorski proizvod vektora

    Definicja 24.

    Vektorski proizvod vektora a i b

    je vektor c tako de je: 1. Intenzitet vektora c je povrina paralelograma konstruisanog nad vektorima a i b

    2. Pravac vektora c je normalan na ravan odreenu pravicama vektora a i b

    3. Smer vektora c je takav da vektori ),,( cba obrazuju desni

    sisem(slika 29.).

    Vektorski proizvod vektra a i b

    oznaavaemo sa cba = . Iz definicije 24. vektorskog proizvoda sledi:

    1. ),(sin bababa =

    2. ac i bc

    Slika 29: Vektorski proizvod

    Ako su vektori a i b

    kolinearni 000),(sin ==== babababa

    Ako je jedan od vektora a ili b

    nula vektor onda na osnovu definicije 24. 0=ba

    . Teorema 21. Vektorski proizvod ima sledee osobine: 1) Vba

    , : abba = zakon alternacije

  • 32

    2) Vba , , R : bababa

    == )(

    3) Vcba ,, : cabacba

    +=+ )( .

    Dokaz: Na osnovu definicije vektorskog proizvoda, intenzitet i prvci

    vektora ba

    i ab su isti, a smerovi su im suprotni(slika 30.).

    Slika 30: Zakon alternacije

    1) Ta osobina neposredno sledi iz definicije vektorskog proizvoda i proizvoda vektora sklarom.

    2) Distributivnost vektorskog proizvoda prema sabiranju, dokazaemo koristei teoremu o jeu na poliedru trostrane prizme. Neka je ABCABC trostrana prizma i 54321 ,,,, nnnnn

    vektori normale redom na strane: ACCA, ABBA, BCCB, ABC, ABC prizme, orjentisani ka spoljanjosti. Neka je

    'AAa = , ABb =

    , BCc = (slika 31.)

    Slika 31: Distributivnost vektroskog proizvoda

  • 33

    Tada je cbAC += . Radiemo sa desnim sistemom. Po

    definiciji vektorskog proizvoda imamo:

    )(1 cban

    +=

    abn

    =2 (1)

    acn =3 .

    Vektori 4n i 5n

    su istog intenziteta i pravca ali suprotnog smera 054

    =+ nn .

    Sada imamo ispunjene sve uslove za primenu tereme o jeu. 054321

    =++++ nnnnn . (2)

    Zamenimo uslove (1) u (2) 0)(

    =+++ acabcba acabcba

    =+ )( koristei zakon altenacije dobiemo (3) iz

    teoreme 21. cabacba

    +=+ )( Time je teorema 21. dokazna.

    Da bismo odredili vektorski proizvod dva vektora u njihovim koordinatama, odrediemo prvo vektorske proizvode jedininih vektora ji

    , i k

    triedra( kji

    ,, ) desne orjentacije(slika 32.).

    Slika 32: Desni triedar jedininih vektora

    Njihovim mnoenjem emo dobiti Kejlijevu tablicu:

    i

    j

    k

    i

    0 k

    j

    j

    k

    0 i

    k

    j

    i

    0

    Teorema 22.

    Ako su a i b

    zadani svojim komponentama ),,( zyx aaaa

    = i

    ),,( zyx bbbb

    = tada je:

    (3)

  • 34

    zyx

    zyx

    bbbaaakji

    ba

    = (4)

    Dokaz: Formiramo vektorski proizvod i primenimo teremu 21. i Kejlijevu tablicu (3)

    yx

    yx

    zx

    zx

    zy

    zy

    xyyxzxxzyzzyyz

    xzzyxyzxyx

    zzyzxz

    zyyyxy

    zxyxxx

    zyxzyx

    bbaa

    kbbaa

    jbbaa

    i

    kbabajbabaibabaiba

    jbaibakbajbakba

    kkbajkbaikba

    kjbajjbaijba

    kibajibaiiba

    kbjbibkajaiaba

    ++=

    =++=

    ++=

    =+++

    ++++

    +++=

    =++++=

    )()()(

    )()()(

    )()()(

    )()()(

    )()(

    i to je Laplasov razvoj derterminante po prvoj vrsti determinante.

    Meoviti proizvod vektora Definicja 25. Maoviti proizvod tri vektora cba

    ,, naziva se skalarni proizvod vektora ba

    i vektora c to jest cba

    )( .

    Teorema 23. Meoviti prozvod tri nekomplanarna vektora ba

    , i c je skalar, ija je apsolutna vrednost jedanka zapremini paralelopipeda konstruisanog nad tim vektoraima kao ivicama.

    Dokaz: Pretpostavimo da su vektori ba

    , i c nekomplanarni i da obrazuju desni triedar. Konstruimo paralelopiped zapremine V nad tim vektorima(slika 33.).

    Ako stavimo bad

    = , onda je vektor d

    normalan na ravan odreenu vektorima a i b . Tada je cdcdcba d

    Pr)( == .

    Intenzitet vektora bad

    = je povrina paralelograma konstruisanog

    nad vektorima a i b

    i koji predstavlja osnovu(bazu) paralelopipeda. HOCcd == 'Pr

    je visina paralelopipeda .

    Dakle, VHdcba == )( je zapremina paralelopipeda

    konstruisanog nad vektorima ba, i c .

  • 35

    Slika 33: Meoviti proizvod tri vektora

    U sluaju da vektori ba , i c ine levi triedar, na slian nain se dokazuje da je Vcba =

    )( . Zakljuujemo da je Vcba = )( . Teorema 24. Ciklikom permutacijom vektora inilaca vrednost meovitog

    proizvoda se ne menja. Dokaz: Neka su data tri nekomplanarna vektora ba

    , i c i neka oni obrazuju desni triedar(slika 34.).

    Slika 34: Desni triedar vektora

    Tada je bacacbcba

    == )()()( dakle bilo kakvom permutacijom vektora u cba

    )( ne menja se zapremina

    paralelopipeda konstruisanog nad tim vektorima ba, i c .

    Teorema 25. Ako su vektori 0,,

    cba tada su oni komplanarni akko je

    0)( = cba .

  • 36

    Dokaz: () Neka su ba

    , i c komplanarni, onda je vektor ba

    normalan na vektor c 0)( = cba

    () Neka je 0)( = cba kako je 0

    c onda je 0

    =ba ili je

    ba

    normalan na c . Ako je 0

    =ba onda su vekotri a i b

    kolinearni, pa su stoga

    vektori ba, i c komplanarni.

    Neka je ba

    normalno na c . Vektor ba

    je normalan na a i na b

    , tada su vektori ba

    , i c kolinearni. Teorema 26. Neka su vektori ba

    , i c zadani svojim koordinatama ),,( zyx aaaa =

    , ),,( zyx bbbb =

    i ),,( zyx cccc = tada je:

    zyx

    zyx

    zyx

    cccbbbaaa

    cba = )( .

    Dokaz:

    =++= )()( kcjcicbbbaaakji

    cba zyxzyx

    zyx

    =++++= )()( kcjcicbbaa

    kbbaa

    jbbaa

    i zyxyx

    yx

    zx

    zx

    zy

    zy

    =++= zyx

    yxy

    zx

    zxx

    zy

    zy cbbaa

    cbbaa

    cbbaa

    To je razvoj determinante po Laplasovoj teoremi po treoj vrsti.

    zyx

    zyx

    zyx

    cccbbbaaa

    = .

    Dvostruki vektorski proizvod

    Definicja 26. Dvostrukim vektorskim proizvodom vektora ba

    , i c naziva se vektorski proizvod vektora a i vektroskog proizvoda b

    i c to jest

    )( cba .

  • 37

    Teorema 27. Za svaka tri vektora ba

    , i c vai: cbabcacba

    = )()()( .

    Dokaz: Pretpostavimo da vektori b

    i c nisu kolinearni.

    Rezultat dvostrukog vektorskog proizvoda je vektor normalan na ravan vektora a i cb

    definicija 24. slika 35.

    Prema tome, vektori b

    , c i )( cba su kompalanarni, tada

    postoji skalar i tako da je: cbcba

    += )( . (1)

    Slika 35: Dvostruki vektorski proizvod

    Odredimo skalare i . Uoimo u ravni vektore b i c prizvoljni jedinini vektor n i

    koji je normalan na vektor c i sa vektorima c i cb ini triedar

    desne orjentacije (slika 35.) 0= cncn . (2)

    Pomnoimo skalarno jednakost (1) sa vektorom n i dobijamo: )()())(( ncnbncba

    += zbog (2)

    )())(( nbncba = . (3)

    Na osnovu teoreme 24., (3) postaje )())(( nbancb

    = . (4)

    Vektor ncb

    )( je normalan na vektor n i cb , te je vektor

    ncb

    )( kolinearan sa vektorom c i smer mu je zbog orjijentacije odgovarajueg triedra isti kao i smer vektora c , pa prema tome iamaju isti jedinini vektor.

    Na osnovu definicje vektorskog proizvoda je: acncbncbancb

    = 0),(sin))(( , (5)

  • 38

    gde je 0c jedinini vektor vektora c . Kako je 1=n i

    190sin),(sin ==

    ncb jednakost (5) postaje:

    accbcbaccbancb

    == 00 ),(sin))(( . (6) Sa slike 35. imamo:

    ),(90),( 0 nbcb = , tada je

    ),(cos),(sin nbcb = i kako je

    ccc

    =0 iz jednakosti (6) dobijamo:

    ).()(),(cos

    ),(cos))((

    acnbacnbb

    accnbcbancb

    ==

    ==

    Koristei jednakost (4) imamo da je : acnbnb

    = )()( . (7)

    Zbog pretpostavke da b

    i c nisu kolinerani sledi da je: ac = (8)

    Na osnovu jednakosti (1) i koristei (8) imamo da je: ( ) cbaccba += )( . (9)

    Pomnoimo jednakost (9) skalarno sa vektorom a tada je: ( ) ( ) )()()( acabacacba += . (10) Leva strana jednakosti (10) je jednaka nuli, onda je:

    ( ) 0)()( =+ acabac . Ako je :

    baac

    = 0 . (11) Sada uvrstimo i u (1) i dobiemo:

    cbabcacba

    = )()()( . ( 9) to je i trebalo dokazati po teoremi. Ako je 0=ac onda iz jednakosti (9) sledi:

    ccba = )( . (12) Pomnoimo jednakost (12) skalarno sa vektorom c dobija se: ( ) 2)( cccba = ili

    ( ) 2)( caccb = odnosno, ( ) 2)( cacbc = . (13)

    Na vektor )( cbc primenimo jednakost (9) dobijamo:

    cbcbccbcbcccbc

    == )()()()( 2 . (14) Zamenimo (14) u (13) i dobijemo: ( ) 22 )( cacbcbc =+ , to jest,

    22 )()( cacbcabc =+ . (15)

    Kako je 0=ac od (15) dobijamo 22 cabc

    = , 0 c

  • 39

    )( ab = , pa opet vai jednakost (9).

    Neka su sada vektori b

    i c kolinearni. Ako je bar jedan od vektora b

    i c nula vektor, tada je jednakost (9) zadovoljena.

    Neka su dakle, cbcb = 0, . Tada je

    0)()(

    == ccacba . S druge strane

    ,0))()(()()()()(

    ==

    ==

    ccaccaccaccacbabca

    pa je jednakost (9) opet zadovoljena. Dakle, teorema vai za tri prizvoljna vektora ba

    , i c . Teorema 28. Jakobijev indentitet. Za svaka tri vektora ba

    , i c vai 0)()()(

    =++ bacacbcba . Dokaz: Na osnovu teoreme 27. imamo:

    cbabcacba

    = )()()( (1) acbcabacb

    = )()()( (2) bacabcbac

    = )()()( (3) Sabiranjem (1), (2) i (3) Sledi Jakobijev indentitet.

  • 40

    Glava II Analitika geometrija u prostoru

    U ovom poglavlju posmatraemo take, prave i ravani. Odreivaemo njihov poloaj u odnosu na desni orijentisani pravougli Dekartov koordinatni sistem, odreen ureenom trojkom ( kji ,, ) gde su kji

    ,, meusobno normalni jedinini vektori.

    Vektor poloaja take Poloaj take A u prostoru , u odnosu na Dekartov pravougli

    koordinatni sistem sa centrom u O je odreen vektorom poloaja OA , koga zovemo vektor poloaja take A.

    Neka je OAr = vektor poloaja take A. Kako je r odreen svojim koordinatama koje su po teoremi 15. algebarske vrednosti projekcija vektora r na koordinatne vektore, to e onda i taka A, kao zavrna taka vektora OA , biti odreen istim koordinatama. Ako je

    ),,( zyxOAr == , tada su to i koordinate take A i piemo A(x,y,z). Rastojanje dve take

    Rastojanje taaka A i B jednako je intenzitetu vektora AB , teorema 16. Zbog toga vai teorema:

    Teorema 29. Rastojanje d taaka ),,( 111 zyxA i ),,( 222 zyxB dato je formulom

    212

    212

    212 )()()( zzyyxxd ++= .

    Dokaz: Take A i B u prostoru odreene su vektorima poloaja 1r i

    2r (slika 36.).

    Slika 36: Rastojanje dve take

  • 41

    Tada je 12 rrAB

    = . Onda je drrAB == 12 . Kako su take A

    i B date svojim koordinatama, tada je ),,( 1111 zyxr =

    i ),,( 2222 zyxr =

    == ),,( 12121212 zzyyxxrrAB 2

    122

    122

    12 )()()( zzyyxxAB ++= po teoremi 16.

    Podela dui u datoj razmeri Neka je data prava p i na njoj take A i B. Prizvoljna taka C

    razliita od A i B prave p deli du AB po unutranjoj ili spoljanjoj podeli(slika 37.)

    Slika 37: Podela dui

    Pod a) je raspored (A-C-B), a pod b) je raspored (A-B-C). U oba sluaja vektori AC i CB su kolinearni to jest, 0 tako da je

    CBAC = . Ako je 0> , onda je (A-C-B) i taka C deli du AB

    unutranjom podelom u razmeri =CBAC : . Ako je 0

  • 42

    Tada je vektor CBAC = . (1) Izrazimo vektore AC i CB preko vektora poloaja rr ,1 i 2r

    . 1rrAC

    = i rrCB = 2 zamenimo u (1) )( 21 rrrr = rrrr = 21 21)1( rrr

    +=+ 21 11

    1 rrr

    +++=

    =+

    ++

    = ),,(1

    ),,(1

    1222111 zyxzyxr

    )1

    ,1

    ,1

    ( 212121

    +

    +

    +

    +

    +

    +=

    zzyyxx , a to su koordinate take C.

    Posledica teoreme 30. Ako je taka C sredina dui AB, tada je 1= i taka C ima koordinate:

    )2

    ,2

    ,2

    ( 212121 zzyyxxC +++ .

    Ravan

    Razni oblici jednaine ravni Poloaj ravni u prostoru moe se odrediti na razne naine.

    Poznato je iz Euklidske geometrije da je ravan jednoznano odreena sa tri nekolinearne take , sa dve prave koje se seku, sa pravom i takom van te prave, itd.

    Isto tako, poloaj ravni u prostoru, moemo oderditi pomou jedne njene take M i jednog ne nula vektora n , koji je normalan na tu ravan, zatim pomou rastojanja 0>p ravni od koordinatnog poetka i jedininog vektora 0n , normalnog na tu ravan i usmerenog od koordinatnog poetka ka ravni.

    Normalna vektroska jednaina ravni Teorema 31. Vektor poloaja r prizvoljne take M ravni , koja je na

    rasojanju 0>p od koordinatnog poetka O i normalna je na vektor 0n , zadovoljava jednainu 00 = pnr .

    Dokaz: Neka je M prizvoljna taka ravni i r vektor poloaja take M

    (slika 39.).

  • 43

    Slika 39: Normalna vektorska jednaina ravni

    Vektor 0n

    je normalan na ravan i usmeren od koordinatnog poetka O ka toj ravni. Neka je O ortogonalna prjekcija take O na ravan (slika 39.), tada je pOO =' .

    Vektor MOnn '00 pa je to po definiciji 23. 0'0 = MOn

    . (1) Iz MOO' nalazimo 0'' nprOOOMMO

    == , jer su vektori

    'OO i 0n kolinearni i istog smera. Sad iz (1) dobijamo

    0)( 00 = nprn , koristei osobinu skalarnog proizvoda i injenicu

    da je 100 =nn 00 = pnr . (2)

    Jednaina (2) se naziva normalna vektorska jednaina ravni. Ako je p=0, onda ravan (2) prolazi kroz koordinatni poetak. Teorema 32.

    Svaka jednaina oblika 00 = pnr gde su 0n jedinini vektor i skalar p>0 fiksirani, predstavljaju jednainu ravni.

    Dokaz: Uoimo u koordinatnom sistemu sa centrom u O prizvoljnu

    taku A, tako da je vektor 0npOA = . Neka je r vektor poloaja prizvoljne take M , koji zadovoljavaju jednainu 00 = pnr (slika 40.)

  • 44

    Slika 40: Normalna vektorska jednaina ravni

    Tada je 0nprOArAM

    == .

    Pomnoimo skalarno vektore OA i AM 0)()( 0

    2000 ==== pnrpprnpnprnpAMOA

    s obzirom da je 00 = pnr

    0= AMOA (1) Sledi da su vektori OA i AM uzajamno normalni. Vektor OA je odreen jednoznano , jer su 0n i p>0 fiksirani,

    tada jedanaina (1) vai za sve take M , iji vektor )(Mr zadovoljava jednainu 00 = pnr . Zakljuujemo da sve take M pripadaju jednoj ravni , koja prolzai kroz taku A i koja je normalna na vektor

    0npOA

    = . Ako je p=0 00 = nr , pa sve take M pripadaju ravni koja prolazi kroz koordinatni poetak i koja je normalna na vektor

    0n .

    Teorema 33. Svaka jednaina oblika 0=+ Dnr gde je n prizvoljan vektor,

    razliit od nula vektora, a D prizvoljan skalar, predstavlja jednainu ravni.

    Dokaz:

    Kako je 00 nn pa jednainu 0=+ Dnr podelimo sa n

    0=

    + n

    Dn

    nr . (1)

    Izaberemo znak ispred n suprotan znaku ispred D. Tada jednaina (1) ima oblik 00 = pnr , po teoremi 32., pri emu je:

    nnn

    =0 i n

    Dp = ,

    gde je 0n jedinini vektor normalan na ravan, usmeren od

    koordinatnog poetka ka ravni, a p je odstojanje ravni od koordinatnog poetka.

    Jednaina 0=+ Dnr zove se opta vektorska jednaina ravni.

  • 45

    Skalarni oblik jednaine ravni Po teoremi 16. pravac vektora 0n

    obrazuje se koordinatnim osama x,y,z kosinuse uglova ,, , to jest, )cos,cos,(cos0 =n i neka vektor poloaja r ima koordinate ),,( zyxr = .

    Teorema 34. Jednaina ravni normalna na jedinini vektor 0n i na odstojanju

    0>p od koordinatnog poetka je 0coscoscos =++ pzyx .

    Dokaz: Iz teoreme 32., svaka jednaina oblika, 00 = pnr predstavlja

    jednainu ravni. coscoscos0 zyxnr ++=

    0coscoscos =++ pzyx . (1) Jednaina (1) se naziva Hesseov ili normalni(skalrani) oblik

    jednaine ravni. U teoremi 33. je dokazano da svaka jednaina oblika 0=+ Dnr

    predstavlja ravan. Sada moemo dokazati obratno.

    Teorema 35. Svaka ravan se moe predstaviti jednainom 0=+ Dnr . Dokaz: Kako je ravan normalna na jedinini vektor 0n i na rastojanju je

    0p od koordinatnog poetka, onda prema teoremi 31. ta ravan je data jednainom 00 = pnr

    . (1) Pomnoimo jednainu (1) sa n dobiemo 00 = pnnnr

    0= pnnr , gde je 0nnn

    = , oznaiemo sa pnD = i dobiemo 0=+ Dnr . (2)

    Ako sa A,B,C obeleimo koordinate vektora ),,( CBAn = i sa ),,( zyxr = tada iz (2) dobijamo

    0=+++ DCzByAx ; 0222 ++ CBA . (2) Jednaina predstavlja opti skalarni oblik jednaine ravni. Vai i

    obratno. Ako sve take x,y,z zadovoljavaju jednainu (3), tada je ravan

    (3) normalna na vektor ),,( CBAn = . Zaista, neka je r prizvoljan vektor sa koordinatama x,y,z , to

    jest, ),,x( zyr = . Onda jednainu (3) moemo zapisati 0=+ Dnr to na osnovu

    teoreme 33. predstavlja jednainu ravni.

  • 46

    Segmentni oblik jednaine ravni Teorema 36.

    Ako je 0222 ++ CBA , tada 1=++cz

    by

    ax predstavlja

    segmentni oblik jednaine ravni, gde je ADa = ,

    BDb = ,

    CDc = .

    Dokaz: Neka taka M(a,0,0) gde je 0a pripada ravni

    0=+++ DCzByAx (1)

    Tada je ADaDAa ==+ 0 .

    Neka taka M1(0,b,0) pripada rvni (1) BDbDBb ==+ 0 .

    Slino za M2(0,0,c) CDcDCc ==+ 0 .

    Podelimo jednainu (1) sa D, 0D tada 1=

    +

    + D

    CzD

    ByD

    Ax

    1=

    +

    +

    CDz

    BDy

    ADx 1=++

    cz

    by

    ax . (slika 41.).

    Slika 41: Segmenti oblik jednaine ravni

  • 47

    Jednaina ravni koja prolazi kroz datu taku i normalna je na dati vektor

    Neka je data taka ),,( 1111 zyxM i vektor ),,( CBAn = . Teorema 37. Ravan koja prolazi kroz datu taku M1 i normalna je na dati

    vektor n , ima jednainu, 0)( 1 = nrr , gde je 1r vektor poloaja take M1, a r vektor poloaja prizvoljne take M .

    Dokaz: M je prizvoljna taka ravni koja prolazi kroz M1 i normalna je

    na vektor n (slika 42.)

    Slika 42. Jednaina ravni koja prolazi kroz datu taku M1

    Vektor 111 rrOMOMMM

    == . Po uslovu teoreme 37. vektor n je normalan na ravan . Onda je = 01 nMM ( ) 01 = nrr . (1)

    Vai i obratno, to jest da jednainu (1) zadovoljavaju samo one take koje lee u ravni koja prolazi kroz taku M1 i normalna je na dati vektor n .

    Iz jednaine (1) dobijemo da je 1rr normalan na n , a skup svih takvih vektora obrazuje ravan .

    Izrazimo jednainu (1) preko koordinanta. Neka prizvoljni vektor r , poloaja take M, ima koordinate ),,( zyxr = , tada je

    ),,(),,( 1111 zyxzyxrr = . (2)

    Kada (2) zamenimo u (1) dobiemo: 0)()()( 111 =++ zzCyyBxxA (3)

    Jednaina (3), predstavlja skalarni oblik jednaine ravni, koja prolazi kroz datu taku ),,( 1111 zyxM = i normalna je na dati vektor

    ),,( CBAn = . Primer: Date su take A(1,-1,2) i B(0,1,1). Kroz taku B

    postaviti ravan normalnu na vektor AB . Po teoremi 37. imamo:

    )1,2,1( == ABn M1= B(0,1,1).

    Tada je : -1(x-0)+2(y-1)-1(z-1)=0.

  • 48

    Odnosno -x+2y-z-1=0 je traena ravan.

    Jednaina ravni kroz tri date take

    Neka su A,B,C u prostoru tri razliite nekolinerane take, tada postoji jedinstvena ravan odreena sa te tri take.

    Neka su 321 ,, rrr vektori poloaja taaka redom A,B,C(slika 43.)

    Slika 43: Ravan kroz tri take

    Uoimo prizvoljnu taku M i vektor poloaja r (slika 43.). Tada prema definiciji 25. i teoremi 25. meoviti proizvod vektora

    ACABAM ,, jednak je nuli, to jest 0)( = ACABAM . (1)

    Izraunajmo vektore ACABAM ,, preko vektora poloaja 321 ,,, rrrr

    1rrAM

    =

    12 rrAB

    = (2)

    13 rrAC

    = . Jednakosti (2) zamenimo u (1) i dobiemo

    0)())()(( 13121 = rrrrrr . (3)

    Jednaina (3) predstavlja jednainu ravni kroz tri take u vektorskom obliku.

    Naimo (3) u koordinatnom obliku. Neka je ),,( 1111 zyxr = , ),,( 2222 zyxr =

    , ),,( 3333 zyxr = i ),,( zyxr = .

    Tada prema (2) ),,( 111 zzyyxxAM =

    ),,( 121212 zzyyxxAB = ),,( 131313 zzyyxxAC =

    Vektore ACABAM ,, zamenimo u (3) pa je prema teoremi 25.

    0

    131313

    121212

    111

    =

    zzyyxxzzyyxxzzyyxx

    . (4)

    Jednaina (4) predstavlja jednainu ravni, kroz tri take.

  • 49

    Rastojanje take od ravni Neka je u koordinatnom sistemu data ravan svojom jednainom

    00 = pnr (1)

    i taka M1(x1,y1,y1) odreena vektorom poloaja 1r . Odrediemo najkrae rastojanje, oznaiemo to sa d, take M1

    od ravni (slika 44.)

    Slika 44: Rastojanje take od ravni

    Neka je M1 ortogonalana projekcija take M1 na ravan . Tada

    je 11'MMd = . Vektori 11'MM i 0n su kolinearni 011' ndMM = .

    Oigledno je d>0 ako su take M1 i O sa razliitih strana ravni , a d

  • 50

    Jednainom (5) je dato rastojanje take M1 do ravni . Ako je ravan data u skalarnom obliku 0=+++ DCzByAx ,

    tada po teoremi 32. vektor 0n i skalar p imaju vrednosti

    nnn

    =0 i n

    Dp = , (6)

    gde je vektor n normalan na ravan i ima koordinate ),,( CBAn = .

    Tada je

    ),,(222222222 CBA

    CCBA

    BCBA

    Ano++++++

    =

    . (7)

    Sada (6) i (7) zamenimo u (5) i dobijamo

    222222111

    CBAD

    CBACzByAxd

    +++

    ++

    ++=

    222111

    CBADCzByAxd

    ++

    +++= to predstavlja rastojanje u koordinatama.

    Meusobni poloaj dve ravni i ugao izmeu dve ravni

    Dve ravni i u prostoru mogu biti paralelne ili se seku. Neka su ravni i date svojim vektorskim jedaninama,

    teorema 35.,

    011 =+ Dnr

    022 =+ Dnr . (1) Tada je vektor 1n

    normalan na ravan , a vektor 2n normalan na

    ravan . Ugao izmeu vektora 1n i 2n odreuje se prema definiciji

    skalarnog proizvoda po formuli 21

    2121 ),(cos nn

    nnnn

    = .

    Ugao izmeu vektora 1n i 2n jednak je uglu izmeu ravni i ili ga dopunjava do 3600.

    Kako skalarni, proizvod dva vektora moe biti pozitivan ili negativan, ograniiemo se da uvek odreujemo onaj ugao izmeu ravni koji nije tup, zbog toga emo skalarni proizvod vektora 1n i 2n uzimati po apsolutnoj vrednosti(slika 45.)

  • 51

    21

    2121 ),(cos nn

    nnnn

    = (2)

    Slika 45: Ugao izmeu dve rvni

    Neka su ravni i date skalarno: 01111 =+++ DCzByAx

    02222 =+++ DCzByAx . Pri emu su ),,( 1111 CBAn = , ),,( 2222 CBAn = vektori normalani

    na ravan i . Tada iz (2) dobijamo ugao izmeu dve ravni

    22

    22

    22

    21

    21

    21

    21212121 ),(cos

    CBACBA

    CCBBAAnn

    ++++

    ++= .

    Neka su ),,( 1111 CBAn = i ),,( 2222 CBAn =

    vektori normala jednaina ravni i . Tada vai:

    Teorema 38.

    Potreban i dovoljan uslov da dve ravni i budu ortogonalne je da

    021 = nn .

    Dokaz:

    () 021 = nn . Ako su ravni i normalne, tada su i vektori 1n i 2n

    normalni(slika 46.),

  • 52

    Slika 46: Otogonalne ravni i

    te je 021 = nn po definiciji 23.

    () 021 = nn .

    1n i 2n ),( 21 nn ugao normalnog preseka izmeu

    ravni i . Kako je 021 = nn

    . Teorema 38. se moe i ovako iskazati preko koordinata.

    Ravani i su ortogonalne akko je 0212121 =++ CCBBAA . to je direktna posledica skalarnog mnoenja dva vektora.

    Teorema 39. Potreban i dovoljan uslov da dve ravni budu paralelne je da

    0,21 = nn .

    Dokaz:

    () 21 nn = . 1n

    i 2n , kako je su 1n i 2n kolinearni , to jest, R tako da je 21 nn

    = . () 21 nn

    = . Kako je 1n

    i 2n i zbog 21 nn = (slika 47.) Teoremu 39. moemo i ovako iskazati preko koordinata:

    Ravni i su paralelne akko su vektori 1n i 2n kolinearni. (1) Izrazimo (1) analitiki: ),,( 1111 CBAn = , ),,( 2222 CBAn = i

    21 nn = tada je:

  • 53

    21 AA = , 21 BB = , 21 CC = ===

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    CC

    BB

    AA to je uslov paralelnosti dve ravni.

    Slika 47: Paralelne ravni

    Ako je jo u ravni i zadovoljeno 21 DD = tada se ravni i poklapaju. Pramen ravni

    Definicja 27. Skup svih ravni, koje prolaze kroz presek dve ravni i , naziva se pramen ravni odreen ravnima i .

    Neka su ravni i zadane svojim vektorskim jednainama 011 =+ Dnr

    022 =+ Dnr . (1) Teorema 40.

    Ako su i dve neparalelne ravni. Svaka ravan pramena odreenog ravnima i , sem ravni, ima jednainu

    0)( 2211 =+++ DnrDnr za R .

    Dokaz:

    Neka je M taka preseka ravni i i r vektor poloaja take M. Tada vektor poloaja take M zadovoljava jednaine (1) ; onda r zadovoljava i linearnu kombinaciju jednaina (1), to jest,

    0)( 2211 =+++ DnrDnr . R . (2)

    Jednaina (2) predstavlja jednainu ravni koja prolazi kroz presek ravni i .

    Obratno. Neka je prizvoljna ravan koja prolazi presekom ravni i . Tada je ravan odreena tim presekom i jo jednom takom M0 koja ne pripada tom preseku(slika 48.).

  • 54

    Slika 48: Ravan odreena presekom dve ravni i prizvoljnom takom M0

    Neka je 0r

    vektor poloaja take 0M . Ako je R0 takav da je

    0)( 2200110 =+++ DnrDnr , tada jednainu

    0)( 22011 =+++ DnrDnr (2)

    zadovoljava vektor poloaja 0r take M0 i vektor poloaja r

    prizvoljne take M preseka ravni i , to jest, (2) je jednaina ravni (slika 48.).

    Ako su ravni i date u skalarnom obliku 01111 =+++ DCzByAx

    02222 =+++ DCzByAx , (3) tada je prema (2) proizvoljna ravan, sem ravni , koristei (3)

    data jednainom 0)( 22221111 =+++++++ DCzByAxDCzByAx ,

    to predstavlja pramen ravni odreen ravnima i . Primer: Nai jedaninu ravni koja prolazi presekom tri ravni

    x-2y+z-7=0 2x+y-z+2=0 x-3y+2z-11=0

    i paralelna je ravni

    x+5y-3z-11=0.

  • 55

    Reenje. Traena ravan pripada pramenu od tri date ravni. Tada je po teoremi 38. pramen ravni dat sa:

    x-2y+z-7+1(2x+y-z+2)+ 2(x-3y+2z-11)=0 (1+21+2)x+(-2+1-32)y+(1-1+22)z+(-7+21-112)=0. Kako traena ravan mora biti paralelna sa datom ravni, t njihovi

    koeficijenti, moraju biti proporcionalni:

    .3

    211

    215

    321

    213

    215

    321

    21

    2121

    2121

    212121

    +=

    ++

    +=

    ++

    =

    +=

    +=

    ++

    (1)

    Pri sreivanju sistema (1) dobie se

    ,5153

    2

    1

    =

    =

    te trena jednaina ravni glasi 01535 =++ zyx .

    Jednaina prave u prostoru

    Prava u prostoru moe biti jednoznano odreena na razne naine, na primer, da prolazi kroz dve utvrene take, da prolazi kroz jednu taku i da bude paralelna datom vektoru, kao presek dve ravni i tako dalje. Zbog toga jednainu ravni moemo pisati u raznim oblicima.

    Vektorski oblik jednaine prave Teorema 41.

    Neka je 1r vektor poloaja take ),,( 1111 zyxM i vektor

    ),,( kmla = zadati pravac razliit od nule. Taka M(x,y,z) pripada pravi p koja prolazi kroz taku M1 i paralelna je vektoru a akko njen vektor poloaja r zadovoljava jednainu:

    arr += 1 , R . (1) Dokaz:

    () Neka pM slika 49.

  • 56

    slika 49:Prava p koja prolazi kroz taku M1 i paralelna je vektoru a Vektor MM1 je kolinearan sa a

    R , tako da je aMM =1 . (2)

    Sa druge strane, izrazimo vektor MM1 preko vektora poloaja(slika 49.) i dobiemo

    11 rrMM

    = (3)

    Jednainu (3) zamenimo u jednainu (2) arr = 1 arr += 1 . () Vektor poloaja r take M zadovoljava jednainu (1). Tada je

    aMM =1 , odnosno prava odreena takama M1 i M za razne take M, paralelna je vektoru a . Kako kroz taku M1, moe proi samo jedna prava paralelna vektoru a , to i sve take M koje zadovoljavaju jednainu (1) pripadaju istoj pravi.

    Teorema 42.

    Neka su dati vektori 1r i 0

    a . Tada jednaina arr += 1

    odruje pravu, koja prolazi kroz taku iji je vektor poloaja 1r i koja je paralelna vektoru a za sve R .

    Dokaz:

    Neka je M1 taka vektora poloaja 1r i M taka iji je vektor poloaja r dobijen iz (1) za prizvoljno R .

    Iz (1) dobijamo arr = 1 , to znai da su vektori 1rr i a kolinearni. Prema tome prava koja prolazi kroz taku M1 i M gde je M prizvoljna taka prave, paralelna je vektoru a .

    Kako za svaku vrednost R dobijamo iz (1) po jednu taku M , pri emu je vektor MM kolinearan sa a i kako kroz M1 moe

    proi samo jedna prava paralelna sa a , to zakljuujemo, da sve take M pripadaju istoj pravi.

  • 57

    Napomena: Jednaina (1) predstavlja jednainu prave u vektorskom obliku,

    koji se moe zapisati drugaije od (1): ( ) 01 = arr , to u stvari izraava uslov kolinearnosti vektora 1rr

    i a .

    Parametarski oblik jednaine prave

    Neka su take M1 i M date svojim koordinatama: ),,( 1111 zyxM i ),,( zyxM .

    Tada iz (1) dobijamo:

    ),,(),,(),,( 111 kmlzyxzyx +=

    ,11

    1

    kzzmyylxx

    +=

    +=

    +=

    R

    to predstavlja parametarski oblik jednaine prave. Kanoniki ili skalarni oblik jednaine prave

    Naka je vektor 0

    a i ),,( kmla = . Tada od parametarskog oblika dobijemo kanoniki oblik jednaine prave

    ===k

    zzm

    yyl

    xx 111 ,,

    ===k

    zzm

    yyl

    xx 111 (1)

    Jednaina (1) se naziva kanoniki oblik jedanine prave. Kako je 0

    a nisu svi l,m,k jednaki nula, neki od njih mogu

    biti jednaki nuli, tada treba koristiti parametraski oblik jednaine prave. Koeficijenti l,m,k nazivaju se koficijenti pravca prave p, a vektor a vektor pravca prave p. Prava kao presek dve ravni

    Dve ravni i u preseku jednoznano odreuju pravu p. Zato pravu p posmatramo kao sistem jednaina dve ravni 011 =+ Dnr

    022 =+ Dnr . (1)

    Neka je 21 nn , tada skup svih reenja sistema (1), se poklapa sa skupom vekotra poloaja svih taaka prave p.

  • 58

    Da bi dobili kanoniki oblik prave p koji se najee koristi, potrebno je odrediti vektor poloaja 1r

    take pM 1 i vektor a kolinearan sa pravom p(slika 50.).

    slika 50: Prava kao presek dve ravni

    Taku M1 dobijamo kao reenje sistema (1). Taj sistem ima

    beskonano reenja, zato jednu promenjljivu treba izabrati prizvoljno. Pravac a prave p uzeti kao vektorski proizvod vektora naormala 1n

    i 2n ravni i to jest 21 nna = .

    Tako je jednaina prave p u potpunosti odreena. Jednaina prave koja prolazi kroz dve date take

    Neka su date dve razliite take A i B koje imaju koordinate ),,( 111 zyxA i ),,( 222 zyxB .

    slika 51: Jednaina prave kroz dve take

    Za pravac a prave p moemo uzeti vektor AB to jest ABa = i za taku M1 na primer, A, kroz koju prolazi prava p (slika 51.). Tada je vektorska jednaina prave p data sa

  • 59

    arr += 1 . (1) Napiimo (1) u parametarskom obliku, i neka je M prizvoljna

    taka prave p(slika 51.). Tada je ),,(),,(),,( 121212111 zzyyxxzyxzyx +=

    ).()(

    )(

    121

    121

    121

    zzzzyyyyxxxx

    +=

    +=

    +=

    (2)

    Iz jednaina (2) dobijamo kanoniki oblik jednaine prave kroz dve take:

    12

    1

    12

    1

    12

    1

    zzzz

    yyyy

    xxxx

    =

    =

    .

    Jo jedan oblik jednaine prave Iz opte vektorske jedanine prave, teorema 41., imamo

    arr += 1 , tada je, arr = 1 vektori 1rr i a su kolinearni,

    koristei definiciju 24. ( ) 01 = arr 01 = arar . Po teoremi 21. tada je arar = 1 , 1r

    i a su zadati vektori. Obeleimo ar 1 sa b

    to jest bar

    =1 (slika 52.) tada je bar

    = jo jedan zapis jednaine prave.

    slika 52: Jo jedan oblik jednaine prave Vai i obratno da jednaina oblika bar = odruje pravu u

    prostoru. Tanije vai Teorema 43.

    Jednaina oblika bar = , gde su a i b dati vektori i 0 a , odreuju pravu, koja je paralelna vektoru a , i nalazi se na rasotanju

    a

    b

    od koordinatnog poetka O.

  • 60

    Dokaz: Translirajmo vektor a u koordinatni poetak O(slika 52.).

    Izaberimo taku M tako da vektori ar i b imaju isti pravac, smer i intenzitet. Intenzitet vektora ar je povrina paralelograma konstrisanog nad vektorima r i a , to jest,

    haarararb ===

    ),(sin . Povrina paralelograma e imati istu vrednost ha za sve poloaje take M na pravoj, koja je

    paralelna vektoru a . Prava p se nalazi na rastojanju a

    bh

    = od

    koordinatnog poetka O(slika 52.). Rastojanje take od prave

    Neka je u prostoru data taka M0 i prava p tako da pM 0 . Pravu p zadajemo jednainom : arr += 1 , gde je 1r vektor poloaja take pM 1 i vektor a koji daje pravac prave p(slika 53.). Vektor poloaja take M0 je 0r .

    slika 53: Rastojanje take od prave

    Posmatrajmo vektor 01MM i transliramo vektor a u taku M1.

    Tada je intenzitet vektorskog proizvoda vektora 1001 rrMM

    = i a povina paralelograma konstruisanog nad vektorima 01MM i a

    . Neka je d visina datog paralelograma sputena iz temena na stranicu a .

    Tada je : ( ) daarr = 10 ( )aarr

    d

    =

    10 . (1)

    Jednaina (1) je najkrae rastojanje take M0 do date prave p.

  • 61

    Rastojanje dve prave Prave u prostoru mogu biti paralelne, mimolilazne i da se seku.

    Razmotiremo sva tri sluaja. a) Neka su prave p1 i p2 paralelne, tada one pripadaju jednoj

    ravni. Posmatraemo sluaj kada se prave p1 i p2 ne poklapaju. Neka je d najkrae rastojanje pravih p1 i p2 (slika 54.).

    slika 54: Paralelne prave

    Uoimo take 11 pM i 22 pM i njhove vektore poloaja 1r i 2r . Neka su a i b

    vektori pravaca pravih 1p i 2p . Transliramo vektor

    a u taku M2(slika 54.). Formiramo, vektorski proizvod, izmeu vektora 2112 rrMM = i

    a . Intenzitet od ( ) arr 21 je povrina paralelograma konstruisanog nad vektorima 21 rr

    i a , ija je visina d.

    Dakle, ( ) adarr = 21 ( )

    aarr

    d

    =

    21 . (1)

    Jednaina (1) predstavlja rastojanje paralelnih pravih. Ako se prave 1p i 2p poklope vektori 21 rr i a su

    kolinearni ( ) 021 = arr d=0. b) Neka su prave 1p i 2p mimoilazne tada je iz geomerije

    poznato da mimoilazne prave imaju zajedniku normalu koja u preseku sa 1p i 2p daje najkrae rastojanje izmeu njih. Oznaiemo to sa d. Uoimo dve prizvoljne take 11 pM i 22 pM . Tada pomou vektora 12MM , a i b

    , gde su vektori a i b

    pravci pravih 1p

    i 2p . Konstruiimo paralelopiped nad vektorima 21MM , a i b

    (slika 55.).

  • 62

    slika 55: Mimoilazne prave

    Neka su 1r i 2r

    vektori poloaja taaka M1 i M2 2112 rrMM

    = . Tada je rastojanje d visina paralelopipeda, koja odgovara osnovi odreenoj vektorima a i b .

    Po teoremi 23., meoviti proizvod vektora 12MM , a i b

    jednaki

    je zapremini paralelopipeda konstruisanog nad vektorima 12MM , a i

    b

    to jest,

    dbabarrV == )()( 12

    ba

    barrd

    =

    )()( 12. (2)

    Jednaina (2) predstavlja, rastojanje mimoilaznih pravih. c) Neka se prave 1p i 2p seku, tada one pripadaju jednoj ravni.

    Koristei oznake pod b), tada su vektori 2112 rrMM = , a i b

    konplanarni po teoremi 25., njhov meoviti proizvod je jednak nuli, to jest, 0)()( 12 = barr

    , to predstavlja uslov preseka dve prave. Analitiki uslov preseka dve prave 1p i 2p pomou koordinata

    ),,( 1111 zyxr = , ),,( 2222 zyxr =

    , ),,( 21212121 zzyyxxrr =

    .

  • 63

    Neka pravci a i b

    pravih p1 i p2 imaju koordinate ),,( 111 kmla =

    , ),,( 222 kmlb =

    . Tada iz 0)()( 12 = barr

    0

    222

    111

    212121

    =

    kmlkml

    zzyyxx. (3)

    Jednaina (3) predstavlja uslov preseka dve prave. Ugao izmeu dve prave

    Definicja 28. Pod uglom izmeu dve prave u prostoru podrazumevamo ugao

    izmeu bilo koja dva vektora iji su nosai date prave. Kako smer vektora na tim pravama nije odreen, postoje dva

    suplementna ugla koja se mogu dobiti. Da bi se izbegla dvoznanost pod uglom izmeu dve prave , podrazumeva se onaj koji je otar ili prav.

    Teorema 44.

    Ugao izmeu pravih 1p i 2p datih sa 1p : arr += 1 i 2p : brr

    += 2 , gde su ),,( 111 kmla = , ),,( 222 kmlb =

    pravci pravih 1p i

    2p odreen je formulama

    ba

    ba

    =cos ili 2

    22

    22

    22

    12

    12

    1

    212121coskmlkml

    kkmmll

    ++++

    ++= .

    Dokaz:

    Kako je, ugao izmeu pravih 1p i 2p , jednak uglu, izmeu njihovih vektora pravaca a i b

    , dokaz teoreme sledi iz definicije

    skalarnog prozvoda dva vektora.

    Sada se mogu dati uslovi paralelnosti i normalnosti dve prave 1p i 2p

    a) 1p || 2p akko je ba = . U koordinatama glasi

    ),,(),,( 222111 kmlkml =

    21 ll = , 21 mm = , 21 kk = . (1) Iz (1) dobijamo:

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    kk

    mm

    ll

    == , to predstavlja uslov paralelnosti

    dve prave.

    b) 1p 2p 0=ba . U koordinatama 212121 kkmmll ++ =0 ,

    to predstavlja uslov normalnosti, dve prave.

  • 64

    Meusobni odnos prave i ravni Prava p i ravan mogu se sei, biti paraleni, prava moe leati u

    ravni i posebno prava moe biti normalna na ravan. Neimo analaitike uslove za te sluajeve.

    Neka je prava p data svojom jednainom p arr += 1 , (1) a ravan svojom skalarnom jednainom

    Ax+By+Cz+D=0. (2) Definicja 29.

    Ugao izmeu prave p i ravni je otar ili prav, koji gradi prava p i njena ortogonalna projekcija na datu ravan(slika 56.).

    Teorema 45.

    Ugao izmeu prave p i ravi jednak je komplementarnom uglu koga vektor normale n ravni zatvara sa pravcem vektora a prave p(slika 56.).

    Dokaz:

    Ugao 2 . Td,

    anan

    = )2

    cos( ili anan

    =sin . (3)

    Time je teorema dokazana.

    slika 56: Ugao izmeu prave i ravni

    Kako iz (1) ),,( CBAn = i ),,( kmla = to se (3) moe zapisati

    222222sin

    kmlCBA

    CkBmAl

    ++++

    ++= (4)

  • 65

    Iz (4) sledi da je prava paralelna ravni ( =0) akko vai 0=++ CkBmAl 0=an . (5)

    Prava p je normalna na ravan (2 = ) akko vai an =

    kC

    mB

    lA

    == , to jest, da su koeficienti proporcionalni.

    Iz (5) sledi da prava p preseca ravan akko vai 0++ CkBmAl .

    Primer: Nai vektorsku jednainu zajednike normale dve mimoliazne

    prave p1 i p2.

    Reenje:Neka su prave p1 p2 zadane: p1 arr += 1 ,

    p2 brr += 2 .

    Uzmimo za pravac zajednike normale vektor ban = (slika 57.).

    Slika 57: Zajednika normala mimoilaznih pravih

    Neka je ravan, odreena pravcima vektora n i p1 i ravan odreena pravcima n i p2. Tada ravni i imaju jednaine 0))(( 1 = anrr

    i (1)

    0))(( 2 = bnrr . (2)

    Oznaimo sa p vektor poloaja taake P prodora prave p1 i ravni (slika 57.). Zamenimo pravu arr += 1 u jednainu (2)

    0))(( 21 =+ bnrar

  • 66

    0))(( 21 =+ bnarr

    0)())(( 21 =+ bnabnrr

    bnabnrr

    =

    )())(( 12 . (3)

    Kako je ban

    = to (3) iznosi

    nabbbarr

    =

    )())()(( 12 . (4)

    Koristei osobine skalarnog proizvoda (4) postaje

    )()()())(( 12

    babababrr

    =

    212

    )()())((

    bababrr

    = .

    Izrazimo vektor p poloaja take P

    212

    1 )()())((

    bababrrarp

    += .

    Uvrstimo p u jednainu npr += zajednike normale, dobiemo vektorsku jednainu zajednike normale dve mimoilazne prave

    )()(

    )())((2

    121 baaba

    babrrrr

    +

    += .

  • 67

    Glava III Povri drugog reda

    Opti oblik algebarske jedanaine drugog stepena po x,y i z glasi Ax2+By2+Cz2+2Dxy+2Eyz+2Fxz+2Mx+2Ny+2Pz+G=0 (1)

    gde su A, B, C, D, E, F, M, N, P, G prizvoljni realni brojevi i bar jedan od njih je razliit od nule.

    Da bi se nacrtao grafik ovih povri primenjuje se metod preseka, koji se sastoji u tome da se data povr presee ravnima koje su paralelne datim koordinatnim ravnima. Kao presek svake od ovih pori datom ravni dobija se neka linija preseka. Ako preseemo povr (1) jednom ravni koja je paralelna koordinatnoj ravni Oxy, tada skup f(x,y,z)=0 i z=h definie jednainu linije preseka povri sa ravni z=h. Kako je h promenjljivi parametar, dobie se skup linija preseka povri (1) ravnima paralelnim ravni Oxy. Analogno se moe prouiti karakter linija preseka povri ravnima koje su paralelne ravnima Oyz i Oxz.

    U daljem izlaganju emo prouiti metodom preseka povrine drugog reda ije su jednaine date u kanonikom obliku. Sfera

    Definicja 30. Sferom se naziva geometrijsko mesto taaka podjednako

    udaljenih od jedne stalne take sredita sfere. Ako sa S oznaimo centar sfere i r vektor poloaja take S, a sa

    R poluprenik sfere i neka je 1r vektor poloaja prizvoljne take M sfere, tada je(slika 58.)

    SMrr += 1 . (2)

    Slika 58. Sfera

  • 68

    Iz (2) rrSM = 1 rrSM = 1 . Kako je RSM = Rrr = 1 , to predstavlja jeddnainu sfere.

    Ako je ),,(1 zyxr = i ),,( cbar = tada je

    ),,(1 czbyaxrr =

    2222 )()()( Rczbyax =++ , (3)

    jednaina sfere u koordinatama. U specijalnom sluaju , kada se centar sfere nalazi u

    koordinatnom poetku, to jest, kada je 0 =r a=b=c, jednaina sfere (3) tada glasi

    2222 Rzyx =++ . (4)

    Linije preseka povi (4) sa ravni z=h gde je Rh su koncentrine krunice, koje se projektuju na ravan Oxy u unutranjost krunice 222 Ryx =+ , z=0. Centri ovih krunica nalaze se na Oz osi, dok su im poluprenici jednaki h.

    Analogno se diskutuje presek povri (4) sa ravnima x=0 i y=0. Jednainu (4) moemo zapisati i parametraski. Dovoljno je za x i

    y izabrati prizvoljne funkcije neka dva paramatra, na primer coscosRx = , sincosRy = , (5)

    20 , . Zamenimo (5) u (4) i dobijamo z=Rcos. Prema tome, parametarske jednaine sfere su

    coscosRx = , sincosRy = , z=Rcos 20 , .

    Eliminacijom parametara , dobiemo jednainu (4).

    Elipsioid U koordiantnoj ravni Oxz postavimo elipsu E1 sa stalnim

    poluosama a i c, i ukoordinatnoj ravni Oyz elipsu E2 sa stalnim poluosama b i c. U pokretnoj ravni 1 koja je paralelna ravni Oxy uoimo elipsu E sa promenjljivim poluosama i . Ta pokretna elipasa, kao generatrisa, kree se tako da bude stalno u ravni 1 , njen centar je na osi Oz i njena temena klize du elipsa E1 i E2. Elipse E1 i E2 igraju ulogu direktrise. Povr koja nastaje ovim kretanjem elipse E naziva se elipsoid(slika 59.).

  • 69

    Slika 59: Konstruktivna geneza elipsoida

    Ako je A(x,y,z) prizvoljna taka elipsoida, onda ona zadovaoljava jednainu elipse E.

    122

    2

    2

    =+ yx i =z (1)

    Jednaine elipsa E1 i E2 glase 12

    2

    2

    2

    =+cz

    ax , y=0 i 12

    2

    2

    2

    =+cz

    by , x=0.

    Promenjljivi parametri , i moraju zadovoljiti uslove

    122

    2

    2

    =+ca , 12

    2

    2

    2

    =+cb (2)

    Eliminacijom parametra , i iz etiri jednaine (1) i (2) dobijamo jednainu elipsoida

    122

    2

    2

    2

    2

    =++cz

    by

    ax . (3)

    Brojevi a,b, i c zovu se poluose elipsoida. Elipsoid je simetrian u odnosu na svaku koordinatnu ravan.

    U sluaju kada su dve poluose elipsoida jednake, onda nastaje rotacioni elipsoid. Ako su sve ose meusobno jednake elipsoid postaje sfera.

  • 70

    Hiperbolidi Jednograni hiperbolid

    U koordinatnoj ravni Oxz hiperbolu H1 sa realnom poluosom a i imaginarnom poluosom c, i u koordinatnoj ravni Oyz hiperbolu H2 sa realnom poluosom b i imaginarnom poluosom c. U pokretnoj ravni 1 koja je paralelna ravni Oxy uoimo elipsu E sa promenjljivim poluosama i . Pokretna elipsa E je generatrisa, translira se tako da stalno bude u ravni 1 i da njen centar bude na osi Oz, a da temena klize du hiperbola H1 i H2 koje igraju ulogu direktisa.

    Geometrijsko mesto svih poloaja pokretne elipse E zovemo jednograni hiperboloid(slika 60.).

    Slika 60: Jednograni hiperboloid

    Ako je A(x,y,z) prizvoljna taka jednogranog hiperbolida, onda ona zadovaoljava jednainu elipse E to jest,

    122

    2

    2

    =+ yx , =z . (1)

    Jednaine hiperbola H1 i H2 su respektivno 12

    2

    2

    2

    =

    cz

    by , x=0 (2)

    122

    2

    2

    =

    cz

    ax , y=0. (3)

    Promenjljivi parametri , i moraju zadovoljiti uslov,

  • 71

    122

    2

    2

    =

    cb ,

    (4)koji se dobija kada se iz jednaine elipse E i jednaine (2) hipebole H1 eleiminiu veliine x,y i z.

    Uslov,

    122

    2

    2

    =

    ca , (5)

    se dobija kada se iz jednaine elipse E i jednaine (3) hipebole H2 eleiminiu veliine x,y i z.

    Rezultat eliminacije promenjljivih parametra , i iz jednaine elipse E i jednaina (4) i (5) daje nam jednainu jednogranog hiperbolida:

    122

    2

    2

    2

    2

    =+cz

    by

    ax .

    Veliine a,b, i c zovu se, poluose jednogranog hiperbolida. Osa Oz se zove imaginarna osa hiperbolida, i ona sa jednogranim hiperbolidom nema zajednikih taaka. Ako su ose Oy odnosno Ox imaginearne, onda jednograni hiperbolidi su predstavljeni jednainama respektivno

    122

    2

    2

    2

    2

    =+cz

    by

    ax ili 12

    2

    2

    2

    2

    2

    =++cz

    by

    ax .

    Ako je a=b onda je jednograni hiperbolid rotacioni to jest:

    122

    2

    22

    =+

    cz

    ayx .

    Dvograni hiperbolid Neka je generatrisa elipsa E, a direktrise su hiperbole H1 i H1

    koje imaju redom poluose c,a i c,b i zajedniku realnu osu Oz 12

    2

    2

    2

    =

    ax

    cz , y=0 12

    2

    2

    2

    =

    by

    cz , x=0.

    Translatorna elipsa E u ravni opisae dvograni hiperbolid(slika 61.)

    E: 122

    2

    2

    =+ yx , =z translatorna elipsa.

    Slino kao i prethodna razmatranja, parametri moraju da zadovoljavaju jednaine: 12

    2

    2

    2

    =

    ac , 12

    2

    2

    2

    =

    bc (1)

  • 72

    Slika 61: Dvograni hiperbolid

    Eliminacijom , i iz jednaine elipse E i jednaine (1) dobija se jednaina dvogranog hiperbolida

    122

    2

    2

    2

    2

    =+cz

    by

    ax . (2)

    Poluose povri (2) su a,b,c a koordinate, Ox i Oy su imaginarne ose. Ako je a=b dobiemo raotacioni dvograni hiperbolid

    122

    2

    22

    =+

    cz

    ayx .

    Eliptiki parabolid Za genaratrisu uzimamo elipsu E sa jednainom

    122

    2

    2

    =+ yx i =z ,

    a za direktrise uzimamo parabole P1 i P2 sa jednainama redom pzx 22 = , y=0 i qzy 22 = , x=0,

    gde su p i q parametri parabole(slika 62.).

  • 73

    Slika 62: Eliptiki paraboloid

    Transliranjem elipse E paralelno Oxy ravni, formiraemo povr, koju zovemo eliptiki parabolid. Tada parametri , i treba da zadovoljavaju uslove

    p22 = , q22 = . (1) Jednaina elipse E i (1) daju nam jednainu eliptikog

    parabolida

    zqy

    px 2

    22

    =+ , (2)

    gde su p i q parametri povri. Ako je p=q dobijamo raotacioni parabolid

    zp

    yx 222

    =+ .

    Hiperboliki parabolid Neka je u ravni Oxz data fiksirana parabola (P1) koja igra ulogu

    direktrise

    pzx 22 = , y=0, p>0. (1)

    Generatrisa je translatorna parabola (P2) ija je jednaina )(22 = zqy , x=, q>0, (2)

    gde su i prizvoljni parametri(slika 63.).

  • 74

    Slika 63: Hiperboliki parabolid

    Parabola P2 se kree paralelno ravni Oyz tako da njena temena A(,0,) opisuju parabolu P1. Povr koja svojim kretanjem opisuje parabola P2 , zove se hiperboliki parabolid.

    Naimo njegovu jednainu. Eliminacijom pro