1

5. Dinamika na materijalni sistemi

Mno`estvo od materijalni to~ki i tela ~ija {to polo`ba i dvi`ewe se me|usebno zavisni pretstavuva materijalen sistem.

Diskreten materijalen sistem se narekuva sistem od kone~en broj na to~ki so nepromenlivo rastojanie me|u to~kite.

Del od prostorot ispolnet so kontinuirano raspredeleni masi vo prostorot pretstavuva materijalno telo.

Materijalen sistem pretstavuva mno`estvo od materijalni tela koi ne se vo direkten kontakt.

Silite koi deluvaat na eden materijalen sistem gi klasificirame na: - nadvore{ni; - vnatre{ni. Nadvore{ni sili se narekuvaat silite koi ne pripa|aat na materijalniot

sistem, a dejstvuvaat vrz nego. Vnatre{ni sili se narekuvaat silite koi dejstvuvaat me|u masite, od

razgleduvaniot materijalen sistem Vnatre{nite sili na eden materijalen sistem gi imaat slednive osobini:

01

=∑=

n

iivF - vektorskiot zbir na site vnatre{ni sili e ednakov na nula.

01

0 =∑=

n

i

FivM - vektorskiot zbir od momentite na site vnatre{ni sili vo odnos

na proizvolno izbran pol e ednakov na nula.

( ) ivvi FF −=+1

= VF FrM

V

1210 ,12

= VF FrM

V

2120 ,21 VV FF 1221 −=

−

=+=∑ VVFFF FrFrMMM

VVV

212121000 ,,2112

0,, 12121221 =

=

−=∑ VV FMMFrrM

mi

Fiv

Mi

Mi+1mi+1

F(i+1)v

F21v

M2

M1F12

v

r1

r2 O

2

m1

y

z

r1

x

F1v

F1n

a1

m2F2

n

a2

r2

mi

Fin

ai ri

mn

Fnn

an

rno

F2v

Fiv

Fnv

5.1. Diferencijalni ravenki na dvi`ewe na materijalni sistemi

Na edna to~ka na materijalen sistem dejstvuva nadvore{na sila iF

.

m – broj na vnatre{ni sili

Ako se postavi ravenkata za site to~ki na materijalniot sistem se dobiva:

bidejki suma od site vnatre{ni sili e 0 sledi:

Ravenkata (5.2) proektirana na koordinatnite oski:

( )1.51

............. ii

n

iivi amFF

⋅=+∑=

∑∑∑∑== ==

⋅=+n

iii

n

i

m

iiv

n

ii amFF

11 11

( )2.5

0

11

1 1

.......................... ∑∑

∑∑

==

= =

⋅=

=

n

iii

n

ii

n

i

m

iiv

amF

F

( )3.5

11

11

11

⋅=

⋅=

⋅=

∑∑

∑∑

∑∑

==

==

==

n

iii

n

ii

n

iii

n

ii

n

iii

n

ii

zmZ

ymY

xmX

3

Ako ravenstvoto (5.1) go pomno`ime vektorski so ir

vo odnos na to~kata 0 se dobiva:

bidejki momentot od vnatre{nite sili e ednakov na nula, se dobiva:

Dokolku se proektira ravenkata (5.4) na koordinatnite oski, se dobiva:

5.2. Op{ti zakoni na dinamikata na materijalni sitemi

1. Zakon za dvi`ewe na centarot na inercija (sredi{te) na materijalniot

sistem. 2. Zakon za koli~estvo na dvi`ewe na materijalniot sistem. 3. Zakon za momentot na koli~estvo na dvi`ewe na materijalniot sistem. 4. Zakon za kineti~ka energija na materijalniot sistem.

[ ] [ ] [ ]

[ ]iii

m

i

Fi

iii

m

iiviii

amrMM

amrFrFr

i

⋅=+

⋅=+

∑

∑

=

=

,

,,,

100

1

[ ] ( )4.5,

0

110

1 10

.................. ∑∑

∑∑

==

= =

⋅=

=

n

iiii

n

ii

n

i

m

i

F

amrM

M i

( )

( )

( )∑∑

∑∑

∑∑

⋅−⋅=

⋅−⋅=

⋅−⋅=

=

=

=

iiiii

n

iiz

iiiii

n

iiy

iiiii

n

iix

xyyxmM

zxxzmM

yzzymM

1

1

1

4

x

y

z

ri

ri+1

mi

mi+1ρ C

5.2.1. Masa na sistemot. Centar na masa ili sredi{te na materijalen sistem. Zakon za dvi`ewe na sredi{teto na materijalen sistem

Materijalen sistem so n – materijalni to~ki.

Masata na celiot sistem }e bide:

Dokolku ravenkata (5.5) se proektira na koordinatnite oski se dobiva:

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

⋅=

⋅=

⋅= n

ii

n

iii

cn

ii

n

iii

cn

ii

n

iii

c

m

zmz

m

ymy

m

xmx

1

1

1

1

1

1 ; ;

bidejki: Mmn

ii =∑

=1

Ravenkata (5.5) mo`e da se zapi{e vo sledniot oblik:

( )6.51

................................ ∑=

⋅=⋅n

iiic rmrM

Dokolku posledniot izraz (5.6) dvapati go diferencirame po vremeto se dobiva:

∑=

⋅=⋅n

iiic rmrM

1

nmmm ...................., 21

( )nimMn

ii ..........2,1

1== ∑

=

( )5.5

1

1 .......................

∑

∑

=

=

⋅== n

ii

n

iii

c

m

rmr

ρ

5

dokolku se ima vo predvid deka: ∑∑==

=⋅n

ii

n

iii Frm

11

sledi:

( )7.51

.................................... ∑=

=⋅n

iic FrM

Rc Fam =⋅ - zakon za dvi`ewe na sredi{teto na masite na eden materijalen sistem.

Dokolku ravenkata (5.7) se proektira na koordinatnite oski se dobiva:

∑∑∑===

=⋅=⋅=⋅n

iic

n

iic

n

iic ZzMYyMXxM

111

; ;

Toa se diferencijalni ravenki za dvi`ewe na sredi{teto na sistemot. 5.2.2. Zakon za koli~estvo na dvi`ewe na materijalen sistem Koli~estvoto na dvi`ewe na edna materijalna to~ka e definirano so:

iii Vmk ⋅=

Koli~estvoto na dvi`ewe na sistem od materijalni to~ki e :

∑∑==

⋅==n

iii

n

ii VmkK

11

Koli~estvoto na dvi`ewe na materijalniot sistem e ramno na proizvodot na

masata na sistemot i brzinata na sredi{teto na sistemot.

( )8.5.................................................... cVMK

⋅= Dokolku ravenstvoto (5.8) se proektira na koordinatnite oski se dobiva:

…………………………. ...(5.10)

cz

cy

cx

zMKyMKxMK

⋅=

⋅=⋅=

6

Primer: Edna lokomotiva treba da se prika~i za vagon, i za taa cel taa na vagonot, koj miruva, mu se pribli`uva so brzina V. Da se opredeli brzinata V1, so koja tie }e prodol`at da se dvi`at zaedno po spojuvaweto, ako se znae deka te`inata na lokomotivata e GL, a na vagonot GV.

5.2.3. Zakon za momentot na koli~estvo na dvi`ewe na materijalen sistem

Za edna materijalna to~ka va`e{e:

Za sistem od n materijalni to~ki }e bide:

kade {to:

- masa na i –tata to~ka; - brzina na i –tata to~ka; - vektor na polo`ba na i –tata to~ka.

Dokolku vektorskata ravenka (5.11) se proektira na koordinatnite oski se dobiva:

7

Mi

y

z

ri

Vi

x

rA

ρ

η

ζ

ξ

ρc

cVA

Vir

o

o1

Dokolku ravenkata (5.11) ja diferencirame po vremeto se dobiva:

odnosno: Izvodot na momentot na koli~estvo na dvi`ewe na materijalniot sistem po

vremeto e ramen na vektorskiot zbir na momentite na site nadvore{ni sili vo odnos na istata to~ka 0.

5.2.4. Zakon za kineti~ka energija na materijalen sistem

∑∑==

==n

iii

n

ikik VmEE

1

2

1 21

iV - apsolutna brzina na to~kite;

irV - relativna brzina.

Koordinatniot sistem ζηξ se dvi`i translatorno so brzina AV .

( ) ∑∑==

++==n

iiricrAA

n

ikik VmVVmmVEE

1

22

1 21,

21

Neka podvi`niot koordinaten sistem e postaven vo sredi{teto na masite (vo to~kata C).

CA = CA VV = 00 == crC Vρ

22

21

21

irick VmmVE +=

[ ] [ ] [ ]

[ ]

∑

∑

∑

=

=

⋅⋅+⋅=

=

=

iFii

n

iii

i

iiiiii

n

iiii

i

ML

FrdtLd

VmramrVmrdtLd

00

1

0

1

0

,

,,,,

0

- kolinearni vektori ir i iV

8

- Keningova teorema za poednostavno opredeluvawe na kineti~kata energija, glasi:

Kineti~kata energija na materijalniot sistem se dobiva kako algebarski zbir na kineti~kata energija na sredi{teto od masite vo koe e skoncentrirana vkupnata masa na sistemot, i kineti~kata energija od relativnoto dvi`ewe vo odnos na podvi`niot koordinaten sistem koj se dvi`i translatorno vo odnos na nepodvi`niot.

Primer:

Zada~ata }e ja re{ime so pomo{ na zakonot:

Da se opredeli diferencijalnata ravenka na dvi`ewe na tovarot A od dadeniot materijalen sistem. Sistemot se sostoi od tovar so te`ina G koj e obesen na ja`e ~ij drug kraj, prefrlen preku makara so te`ina 2G i radius R, e pricvrsten za pru`ina so krutost c. Ja`eto e nerasteglivo.

Kineti~kata energija na sistemot }e bide zbir od kineti~kata energija na teloto A i kineti~kata energija na makarata:

Vrskata pome|u lakot na zavrtuvawe na makarata i pomestuvaweto x }e bide:

Kone~no za se dobiva:

Vkupnata kineti~ka energija na sistemot }e bide:

Rabota }e imame od te`inite koi ja menuvaat visinata i od pru`inata. Bidej}i makarata ne ja menuva visinata, nejzinata te`ina ne pravi rabota. Taka }e imame:

9

y

z

ri

x

xi

yi

zi

hiz

hiy

hixO

2

2xcxGA ⋅+⋅=

Dokolku sega se vratime vo po~etnata ravenka, se dobiva:

⋅+⋅=

⋅2

22 xcxGdtd

gxG

dtd

Po diferenciraweto dobivame:

22

2/2

:/222

gxGgcx

GgGxcx

gG

xxxcxGxg

xG

=⋅⋅⋅

−

⋅=⋅−⋅

⋅+⋅=⋅⋅

Poslednoto ravenstvo ja dave diferencijalnata ravenka na dvi`ewe na teloto A. 6. Materijalni momenti na inercija

Pod materijalen moment na inercija na kruto telo vo odnos na nekoja oska, odnosno pol, se podrazbira zbirot na proizvodite od masite na site to~ki od teloto i kvadratot od nivnoto rastojanie do taa oska, odnosno pol.

Materijalnite momenti na inercija

go karakteriziraat rasporedot na masite vo sistemot.

Moment na inercija vo odnos na

nepodvi`en pol se narekuva polaren, vo odnos na oska se narekuva aksijalen, a vo odnos na ramnina se narekuva planaren

( )∑∑==

++⋅==n

iiii

n

iii zyxmrmJ

1

222

1

20

. 6.1 Polaren moment na inercija

10

6.2 Aksijalni momenti na inercija

( )

( )

( )∑∑

∑∑

∑∑

==

==

==

+==

+==

+==

n

iiii

n

iiziz

n

iiii

n

iiyiy

n

iiii

n

iixix

yxmhmJ

zxmhmJ

zymhmJ

1

22

1

2

1

22

1

2

1

22

1

2

Kaj homogenite tela rasporedot na masite e neprekinat, pa imame:

dVdm ⋅= ρ Kade {to: ρ e gustina ; dV e elementaren volumen

( )

( )

( )∫

∫

∫

+=

+=

+=

Vz

Vy

Vx

dVyxJ

dVzxJ

dVzyJ

22

22

22

ρ

ρ

ρ

6.3 Planarni momenti na inercija

∑=

=n

ii hmJ

1

2ππ

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

n

iiiyoz

n

iiixoz

n

iiixoy

xmJ

ymJ

zmJ

1

2

1

2

1

2

6.4 Vrska pome|u polarniot i aksijalnite moment na inercija

( ) ( ) ( )

zyx

n

iiii

n

iiii

n

iiii

JJJJ

yxmzxmzymJ

++=

+++++= ∑∑∑===

0

1

22

1

22

1

220

2

2

11

y

z

x

xi

yi

zi

rzi

C

Mi

z1

rz1i

d

6.5 Vrska pome|u polarniot i planarnite moment na inercija yozxozxoy JJJJ ++=0

6.6 Vrska pome|u aksijalnite i planarnite moment na inercija

xozyozz

yozxoyy

xozxoyx

JJJJJJJJJ

+=

+=

+=

6.7 Materijalen moment na inercija za paralelni oski

Razgleduvame homogeno kruto telo, pri toa referentniot koordinaten

sistem e postaven vo te`i{teto. Oskata 1z e paralelna so oskata z na rastojanie d od nea.

( )

( )[ ] ( )2

1

1

2

11

22

1

22

1

211

1

22

1

2

2

mdJJ

mdmdyyxmdyxmrmJ

yxmrmJ

zz

n

ii

n

iii

n

iiii

n

iiii

n

iiziz

n

iiii

n

iziiz

+=

+−+=−+==

+==

∑∑∑∑∑

∑∑

=====

==

021

=∑=

n

iii mdy - bidej}i minuva niz sredi{teto na teloto (t.e. se sovpa|a so

koordinatniot po~etok).

21 mdJJ zz +=

Hajgens-[ tajnerova teorema

Momentot na inercija vo odnos na nekoja oska e ednakov na zbirot od momentot na inercija za paralelna oska koja minuva niz sredi{teto i proizvodot od vkupnata masa na teloto i kvadratot na rastojanieto me|u dvete oski.

0

12

z1z

R

7. Dimanika na kruto telo

Primer:

translatorno dvi`ewe krivoliniska translacija rotacija okolu nepodvi`na oska komplano dvi`ewe

23

2

2

2

1

22

1

2

21

RMJ

RMRMJ

RMJ

RMJJ

z

z

z

zz

⋅⋅=

⋅+⋅

=

⋅=

⋅+=

13

M1

y

z

x

F1n

dr1

o

V1

M2

F2n

dr2V2

C

FRn

drc Vc

7.1. Translatorno dvi`ewe

∑=

=⋅

=⋅n

iic

Rc

Fam

Frm

1

Proektirano na koordinatnite oski:

rdrdrdrdrd ic ==== 21

nF1 - rezultanta na sili koi ja napa|aat to~ka 1.

= rdFA n

ii ,δ

=

== ∑∑∑

===

n

i

ni

n

i

ni

n

ii rdFrdFAA

111,,δδ

= rdFA n

R ,δ

Pri translacija rabotata na nadvore{nite sili se dobiva kako rabota od

rezultantnata sila vo bilo koja to~ka od teloto.

∫

=

II

I

nR rdFA ,

I.II - po~etna i krajna polo`ba pri translatornoto dvi`ewe.

∑

∑

∑

=

=

=

=⋅=⋅

=⋅=⋅

=⋅=⋅

n

izzc

n

iyyc

n

ixxc

Famzm

Famym

Famxm

1

1

1

2

2c

kVME ⋅

=

14

x

y

z

rdm

O dφ

Fi

V

FR

F1 F2

N

7.2. Rotacija na telo okolu nepodvi`na oska

- brzina na N koli~estvo na dvi`ewe na taa materijalna to~ka. Momentot na koli~estvo na dvi`ewe e: Za celoto telo toa }e bide:

Izvodot od momentot na koli~estvo na dvi`ewe po vremeto t e ednakov na algebarskiot zbir od momentite na dejstvuva~kite sili vo odnos na istata oska:

- diferencijalna ravenka za rotacija na telo okolu nepodvi`na oska -kineti~ka energija

ω⋅= rV

dmrdmVdK z ⋅⋅=⋅= ω

dmrrdKdL zz ⋅⋅=⋅= ω2

∫

∫∫=

⋅=⋅=⋅=

Mz

zM

zM

z

dmrJ

JJdmrL

2

2 ωωωω

∑

∑

=⋅

⋅=⋅=

==

izz

zzz

n

iizz

MJ

JJL

ML

ϕ

ϕω

1

2

2ϕ⋅= z

kJE

15

n

iF - rezultanta od site nadvore{ni sili, koja ako se razlo`i po oskite na prirodniot triedar, se dobiva:

nin

nit

nib

ni FFFF ++=

( ) ϕδ drFdsFdsFA iititiiti === , n

i

i

FZiit MrF =⋅

ϕδ dMAn

i

i

FZi =

ϕϕδδ MzddMzAAn

ii

n

ii === ∑∑

== 11

iMz - rezultanten moment od dejstvuva~kite sili vo odnos na oskata na rotacija.

( )∫=2

1

1.7ϕ

ϕ

ϕ MzdA

Rabotata se opredeluva so izrazot (7.1) samo ako momentot Mz e funkcija od ϕ , na ako e funkcija od ω ili t , mora da bide poznat zakonot na dvi`ewe. Vo slu~aj na konstanten moment: ( )1212 ϕϕϕϕ −=−= MzMzMzA 7.3. Komplano dvi`ewe na kruto telo

Rotacija + Translacija vo ramnina.

-zbir na silite po h-oska

-zbir na silite po y - oska -zbir na stati~kite momenti od site sili vo odnos na te`i{teto S

Dinami~ki ravenki na komplano dvi`ewe na kruto telo

∑∑

∑∑

∑∑

=⋅

=⋅

=⋅

ic

icc

ii

iic

ii

iic

MMJ

YYym

XXxm

ϕ

odφ

Fitn

FinnFib

n Fin

ri

ds

T

N

B

ω

16

R VC

φ

PV

C

x

y

o

C

η

ζ

Mcξ

F1n

F2n

Fin

Fnn

Kineti~kata energija kaj komplanoto dvi`ewe se presmetuva spored ravenstvoto (Keningova teorema):

22

21

21 ω⋅+⋅= cck JVmE

Silite se reduciraat vo te`i{teto C i se dobiva rezultanten vektor i

moment vo odnos na oskata ξc .

Rabota pri komplano dvi`ewe = rabota pri translacija + rabota pri rotacija

ϕδ ζ dMcrdFA cn

R +

= ,

∫∫ +

=

2

1

2

1

,ϕ

ϕ

ϕζ

dMrdFAn

RFc

C

Cc

nR - rabota pri komplano dvi`ewe.

Primer:

ϕω

ϕ

⋅=⋅=

⋅=

⋅+

⋅=

RRV

RMJ

JVME

c

cck

2

222

22

43

4222

2

2222

22

2ccc

c

ck

VMVMVMRVRM

VME

⋅⋅=

⋅+

⋅=

+⋅

+⋅

=

17

8.Analiti~ka mehanika 8.1. Vistinski i virtuelni pomestuvawa

Vistinsko pomestuvawe e ona beskrajno malo pomestuvawe na nekoja to~ka

od materijalniot sistem koe ja zadovoluva diferencijalnata ravenka na

dvi`eweto. Go bele`ime so a nastanuva pod dejstvo na silite koi deluvaat na sistemot i se menuva vo tek na vremeto.

Virtuelni pomestuvawa se zamisleni beskone~no mali pomestuvawa koi gi

ovozmo`uvaat vrskite vo daden moment. Tie se obele`uvaat so i imaat samo geometriski odnosno kinematski karakter. Koga na to~ka }e i se soop{ti virtuelno pomestuvawe, toga{ vremeto se smeta za konstantno.

Toa mo`e de se objasni preku eden

ednostaven primer za edna materijalna to~ka, kako na slikata. Materijalnata to~ka e prinudena da se dvi`i po prava koja se vrti okolu koordinatniot po~etok vo ramninata . Od slikata se gleda deka dvi`eweto na vakva to~ka e neslobodno i deka pravata pretstavuva primer za vrska.

Vo nekoj moment na vremeto , neka prstenot se nao|a vo to~kata na podvi`nata prava. Vo sledniot mig , prstenot }e se najde vo to~kata .

Vistinskoto pomestuvawe }e bide vektorot i se gleda deka ova pomestuvawe nastanuva od silata koja deluva na to~kata.

Virtuelnoto pomestuvawe vo ovoj slu~aj }e bide zamisleno po dol`ina na pravata (levo ili desno od to~kata ). Spored toa, virtuelnoto pomestuvawe vo ovoj slu~aj pretstavuva relativno pomestuvawe na to~kata koe go ovozmo`uva vrskata vo nekoj vremenski moment.

Da pretpostavime deka pravata ne se vrti, tuku miruva vo zadadenata polo`ba. Vo toj slu~aj vistinskoto i virtuelnoto pomestuvawe }e se poklopat. 8.2. Virtuelna rabota

Posmatrame nesloboden materijalen sistem od to~ki na koj mu soop{tuvame virtuelno pomestuvawe . Ja razgleduvame to~kata od sistemot.

Rezultantata od dejstvuva~kite sili ja obele`uvame so .

18

Rabotata {to ja vr{i silata pri virtuelnoto pomestuvawe iznesuva:

( ) ( )iiiiiii rFsFrFA δδδδ ,cos, ∠==

Pritoa pretpostavuvame deka intenzitetot irδ e ednakov na elementarniot lak {to go pravi to~kata po traektorijata od virtuelnoto pomestuvawe.

ii sr δδ =

( ) ( )∑∑∑===

∠===n

iiiii

n

iii

n

ii rFsFrFAA

111,cos, δδδδδ

( )∑=

++=n

iiiiiii zZyYxXA

1δδδδ

- rabotata izrazena na ovoj na~in se narekuva Virtuelna rabota.

( ) 0, == ii rRA δδ

Uslov za karakteristika na vrskata

Ako virtuelnata rabota e nula od edna reakcija, toga{ vrskata e idealna (reakcija normalna).

- idealna vrska

8.3. Lagran`ov - Dalamberov princip. Op{ta ravenka na dinamikata

Poa|ame od

diferencijalnite ravenki za dvi`ewe na nesloboden materijalen sistem, ili preku Dalamberoviot princip:

( ) 0=−++ ∗iiii rmFF

( )ni ,,3,2,1 = Ako sekoja od ovie ravenki se pomno`i skalarno so vektorot

na virtuelnoto pomestuvawe irδ i se soberat, se dobiva:

m1

y

z

r1

x

R1

F1n

δr1

m2

R2

F2n

δr2r2

mi

Ri

Fin

δri

ri

mn RnFn

n

δrnrn

o

19

( ) 0,,11

=

+− ∑∑

=

∗

=

n

iii

n

iiiii rFrrmF δδ

Ako pretpostavime deka site vrski se idealni, ovaa ravenka preminuva vo:

( ) 0,1

=−∑=

n

iiiii rrmF δ

Ovaa ravenka se narekuva op{ta ravenka na dinamikata i go iska`uva

Lagran`-Dalamberoviot princip.

Razlikata iii rmF − , Dalamber ja narekol izgubena sila. Lagran`-Dalamberoviot princip glasi: Za vreme na dvi`eweto na eden materijalen sistem so idealni vrski, zbirot od elementarnite raboti na site izgubeni sili pri virtuelnite pomestuvawa sekoga{ e ramen na nula. Vo skalaren oblik:

( ) ( ) ( )[ ] 01

=−+−+−∑=

n

iiiiiiiiiiiii zzmZyymYxxmX δδδ

Izgubenata sila e ednakva na reakcijata na vrskata.

∗−=− iiii FrmF ( )ni ,,3,2,1 = Od III-ot Wutnov zakon, izgubenata sila e ednakva na silata so koja i -ta

podvi`na to~ka deluva na vrskata, odnosno na teloto (povr{inata) koe go ograni~uva dvi`eweto na materijalnata to~ka.

Dokolku site vrski {to go ograni~uvaat dvi`eweto na sistemot ne se idealni, tuku postojat vrski i so triewe, za da se primeni op{tata ravenka na dinamikata, treba na zadadeniot sistem da se dodadat silite na reakciite koi poteknuvaat od neidealnite vrski. Napomena: Op{tata ravenka na dinamikata ima golema prednost vo toa {to vo nea ne figuriraat nepoznati reakcii na vrski. Od op{tata ravenka na dinamikata (od Lagran`-Dalamberoviot princip) mo`e da se izvedat site zakoni na dvi`ewe.

20

8.4. Lagran`ov princip na virtuelni pomestuvawa. Op{ta ravenka na statikata. Princip na virtuelni brzini

Neka eden sistem od materijalni to~ki za koj se dadeni i vrskite, se nao|a vo

ramnote`a. Brzinite i zabrzuvawata na site ovie to~ki se ednakvi na nula. Toga{ Lagran`-Dalamberoviot princip }e go ima sledniot oblik:

Ovaa ravenka pretstavuva op{ta ravenka na statikata i go izrazuva poimot

Lagran`ov princip za virtuelnite pomestuvawa koj glasi: Materijalen sistem e vo ramnote`a samo toga{ koga zbirot na elementarnite virtuelni raboti od site zadadeni (aktivni) sili e ednakov na nula.

Prednosta na ovoj princip e vo toa {to vo nego ne vleguvaat reakciite na

idealnite vrski, tuku samo aktivnite sili.

Ravenkata (8.1) napi{ana vo skalaren oblik glasi:

- sili po x-oska; - sili po y-oska; - sili po z-oska

Ako ravenkata (8.1) ja podelime so proizvolna beskrajna mala golemina tδ i ja vovedeme oznakata:

tr

v ii δ

δ= ,

toga{ principot na virtuelni pomestuvawa }e go dobieme vo sledniot oblik:

( )∑=

=n

iii vF

10,

kade {to iv e virtuelna brzina na to~kite od sistemot.

( )

( ) ( )1.80,

0,

1

1

................................................

=

=⋅−

∑

∑

=

=

n

iii

n

iiiii

rF

rrmF

δ

δ

( )

kZjYiXF

zyx

zZyYxX

iiii

iii

n

iiiiiii

⋅+⋅+⋅=

=⋅+⋅+⋅∑=

0 1

δδδ

21

Osnovnata ravenka na statikata e:

Primer: Plo~a so te`ina G se potpira na sistem od stapovi, koi se povrzani so pomo{ na zglobovi. Trieweto i te`inata na stapovite ne se zema predvid. Poznati se vrednostite na rastojanieto a i agolot α. Da se opredelat goleminite na horizontalnite sili F, koi go dr`at sistemot vo ramnote`a.

Od geometriskite vrski sleduva:

Vo diferencijalen oblik:

Elementarnite raboti na silite se:

Sega ravenkata za virtuelna rabota mo`e da se napi{e:

Od kade sleduva deka:

I kone~no, vrskata pome|u silata F i G e:

22

8.5. Generalizirani koordinati

Generaliziranite koordinati za eden materijalen sistem se zbir na parametri koi ednozna~no go opi{uvaat dvi`eweto na materijalniot sistem.

Brojot na generaliziranite koordinati vo eden materijalen sistem e ist so brojot na stepeni na sloboda za istiot.

Razgleduvame mehani~ki sistem od n materijalni to~ki koj e pot~inet na

idealni nestacionarni vrski koi imaat oblik:

( ) ( )( )( )s

nitzyxf iii

,,3,2,1,,3,2,1

2.80,,,

==

==

α

α

Vo ovoj slu~aj sistemot ima sn −= 2σ stepeni na dvi`ewe.

Voveduvame sistem na novi promenlivi ~ij broj e ednakov na brojot na stepeni sloboda na dvi`ewe na materijalniot sistem

( )σ,,3,2,1 =jq j

i niv gi narekuvame generalizirani koordinati. Ovie koordinati se izbiraat taka da gi ispolnuvaat slednite dva uslova:

1. Vektorite na polo`bata na site to~ki od sistemot ( )niri ,,2,1 = da mo`e vo sekoj moment da bidat izrazeni kako funkcija od generaliziranite koordinati i vremeto.

( )( )( )σ,,3,2,1

,,3,2,1,

==

=

jni

tqrr jii

Vo skalaren oblik:

( ) ( )( )( )tqzz

tqyytqxx

jii

jii

jii

,,

3.8,

=

=

=

2. Ravenkite za vrska (8.2) mora da bidat identi~no zadovoleni za site

vrednosti na q .

Izborot na generaliziranite koordinati vo praksa se vr{i na toj na~in da re{enieto na zada~ata bide {to poednostavno.

23

Primer

Neka edna to~ka e prinudena da se dvi`i po krugot:

:

Se opredeluva brojot na stepenite na slobodata na dvi`eweto. Imame edna to~ka , i edna vrska . Brojot na stepenite na slobodata na dvi`eweto }e bide:

Za generalizirana koordinata se zema polarniot agol t.e. Toga{ ravenkite

pretstavuvaat specijalen slu~aj na ravenkite (2), koi gi zadovoluvaat i dvata uslova. Za generalizirana koordinata mo`e da se izbere i edna Dekartova koordinata, na primer: Toga{ ravenkite

se specijalni slu~ai na ravenkite (8.3) koi gi zadovoluvaat uslovite 1 i 2. So diferencirawe na po vremeto se dobiva:

Prviot izvod na po vremeto pretstavuva generalizirana brzina. Na

sekoja odgovara i soodvetna .

Analogno na generaliziranite brzini se voveduvaat i generalizirani

zabrzuvawa. Generalizirani zabrzuvawa se definiraat kako vtor izvod od

generaliziranite koordinati po vremeto , t.e.

24

m1

r1

F1

δr1

m2

F2

δr2

r2

mi

Fi

δri

ri

mnFn

δrnrn

o

8.6. Generalizirani sili

Razgleduvame eden materijalen sistem od n materijalni to~ki iM na koi

dejstvuvaat sili ( )niFi ,,2,1 = .

Se pretpostavuva deka materijalniot sistem ima σ stepeni sloboda na

dvi`ewe, t.e. negovata polo`ba e opredelena so generalizirani koordinati ( )σ,,2,1 =jq j .

Na edna od ovie koordinati jq se zadava eden beskrajno mal prirast jqδ , pri

{to nema da se promenat veli~inite kaj ostanatite generalizirani koordinati. Toga{ materijalniot sistem }e izvr{i edno virtuelno pomestuvawe, a

silite koi dejstvuvaat na sistemot }e izvr{at virtuelna rabota:

( ) ( )∑∑==

++==n

iiiiiii

n

iii zZyYxXsFA

11 , δδδδδ

Barame mehani~kata rabota A da se izrazi preku generaliziranite

koordinati jq .

Bidej}i se:

( ) ( ) ( )

σ..........3,2,1...........3,2,1

; ;

==

===

jni

qzzqyyqxx jiijiijii

toga{ varijaciite na Dekartovite koordinati }e bidat:

25

∑

∑

∑

=

=

=

⋅∂∂

=

⋅∂∂

=

⋅∂∂

=

σ

σ

σ

δδ

δδ

δδ

1

1

1

jj

j

ii

jj

j

ii

jj

j

ii

qqz

z

qqy

y

qqx

x

pa se dobiva:

∑ ∑= =

⋅

∂∂

+∂∂

+∂∂

=σ

δδ1 1

j

n

ij

j

ii

j

ii

j

ii q

qz

Zqy

Yqx

XA

Ako se zameni: ( )4.81

∑=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=n

i j

ii

j

ii

j

iij q

zZ

qy

Yqx

XQ

se dobiva: ( )5.81

∑=

⋅=σ

δδj

jj qQA .

Veli~inata j

j qAQ

δδ

= sodr`i sili koi dejstvuvaat na materijalniot sistem, a

pretstavuva generalizirana sila koja odgovara na generaliziranata koordinata jq .

Brojot na generalizirani sili e ednakov na brojot na generalizirani koordinati t.e. na brojot na stepeni sloboda na dvi`ewe na materijalniot sistem. Generaliziranata sila jQ koja odgovara na generaliziranata koordinata jq

se opredeluva na toj na~in {to go presmetuvame zbirot na rabotite od site aktivni sili i reakcii na neidealnite vrski na generaliziranoto pomestuvawe

jqδ . Pritoa smetame deka site ostanati vozmo`ni pomestuvawa se ednakvi na nula.

Toga{ generaliziranata sila jQ }e bide ednakva na kaeficientot kaj jqδ .

Ravenkata (8.5) mo`e da se napi{e vo sledniot oblik: σσδδδδδ qQqQqQqQA jj +++++= 2211

Neka site generalizirani virtuelni pomestuvawa, osven jqδ , se ednakvi na nula

t.e.: 01121 ======= +− σδδδδδ qqqqq jj

0≠jqδ

Se dobiva

( )6.8j

j qAQ

δδ

=

26

Od ravenkata (8.6) se gleda deka dimenzijata na generaliziranata sila zavisi od koli~nikot na dimenzijata za rabota i dimenzijata za generaliziranata koordinata.

[ ] [ ][ ] koordinata

rabotaqAQ =

Primeri: 1. Neka e q - linearna golemina na pr. dol`ina ( )m , toga{ dimenzijata na Q se poklopuva so dimenzijata na obi~nata sila- kN . 2. Ako q ima dimenzija na agol ( )rad , toga{ Q ima dimenzija na moment od sila- kNm . Primer

Da se opredelat generaliziranite sili, ako vo to~kata B zglobno e povrzan tovar so te`ina P.

:

x i ρ se nezavisni koordinati ⇒ sistemot ima dva stepeni na sloboda.

001

=≠=

δϕδxQQ x

( )( )ttx

ϕρρ

==

2

1

( )[ ] xQxPGxPxGA δδαδαδαδ 1sinsinsin =+=⋅+⋅=

( ) αsin1 PGQ +=

00 =≠ xδδϕ

δϕδ BMA = δϕϕδ ⋅⋅⋅= sinlPA

ϕsin2 ⋅⋅= lPQ

x

φl

P

α

δx

AB

G

27

8.7. Generalizirani sili za slu~aj na konzervativno pole Dokolku imame pole na konzervativni sili, toga{ i izrazot na generalizirani sili }e bide ednostaven. Ako ja poznavame potencijalnata energija na materijalniot sistem

( ) ( )

( )nizyxEE iiipp

,,3,2,17.8,,

=

=

koja odgovara na silite iF toga{ imame:

i

ii

ii

i zUZ

yUY

xUX

∂∂

=∂∂

=∂∂

= ;;

a ako e

i

pi

i

pi

i

pi z

EZ

yE

YxE

X∂

∂−=

∂

∂−=

∂

∂−= ;;

i ako ovie proekcii gi zamenime vo izrazot za generalizirani sili (8.4) se dobiva:

( )8.81

∑=

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂

∂−=

n

i j

i

i

p

j

i

i

p

j

i

i

pj q

zzE

qy

yE

qx

xE

Q

Od druga strana ako vo izrazot (8.7) za potencijalna energija, gi vneseme

generaliziranite koordinati namesto Dekartovite, se dobiva:

( )( )σ,,3,2,1 =

=

jqEE jpp

Parcijalniot izvod na pE po jq iznesuva:

( )9.81

∑=

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂

∂=

∂

∂ n

i j

i

i

p

j

i

i

p

j

i

i

p

j

p

qz

zE

qy

yE

qx

xE

qE

So sporeduvawe na izrazite (8.8) i (8.9) se gleda deka za slu~aj na

konzervativno pole generaliziranata sila e:

( )

( )σ....,,.........3,2,1=∂

∂−=

jqE

Qj

pj

8.10

28

Spored toa generaliziranata sila mo`e da se presmeta na tri na~ina: 1. Slu`ej}i se so definicijata t.e. so izrazot (8.4).

∑=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=n

i j

ii

j

ii

j

iij q

zZ

qy

Yqx

XQ1

2. So formirawe na izraz za virtuelna rabota, ravenka (8.5).

( ) ∑∑==

⋅==σ

δδδ11

,j

jj

n

iii qQsFA

3. Ako poleto na sili e konzervativno, generaliziranata sila se presmetuva so izrazot (8.10).

j

pj q

EQ

∂

∂−=

8.8. Lagran`ovi ravenki od vtor red

So voveduvawe na poimot za nezavisni generalizirani koordinati, Lagran`-Dalamberoviot princip ne doveduva do edna specijalna klasa na diferencijalni ravenki za dvi`ewe koi se narekuvaat Lagran`ovi ravenki od vtor red.

pri {to:

EK - kineti~ka energija na sistemot qj - generalizirana koordinata Qj - generalizirana sila

Ravenstvoto (8.11) pretstavuva Lagran`ovi ravenki od vtor red, i slu`i za dobivawe na diferencijalnite ravenki koi go opi{uvaat dvi`eweto na eden materijalen sistem, vo generalizirani koordinati.

^ekori za re{avawe na zada~i so pomo{ na Lagran`ovite ravenki od vtor

red se:

1. Da se opredeli brojot na stepeni na sloboda na dvi`ewe. 2. Da se opredelat generaliziranite koordinati ~ij broj e ist so brojot na

stepeni na sloboda. 3. Da se opredeli kineti~kata energija na sistemot. (Kineti~kata energija na

celiot sistem e zbir od kineti~kite energii na pooddelnite elementi) 4. Da se opredeli generaliziranata sila.

( )11.8................................. jj

k

j

k QqE

qE

dtd

=∂∂

−

∂∂

29

Pri ova postojat dva podslu~aja i toa:

a) Dokolku sistemot e konzervativen (nema disipacija na energija, nema triewe, nema nadvore{ni sili i momenti), toga{:

j

pj q

EQ

∂

∂−= Ep – potencijalna energija na sistemot

Drug na~in za opredeluvawe na Qj e so pomo{ na virtuelna rabota.

jj qQA δδ ⋅=

b) Dokolku sistemot ne e konzervativen toga{ Qj se bara isklu~ivo so

virtuelnata rabota Prednosti na Lagran`ovite ravenki od II red

- Imame onolku diferencijalni ravenki kolku {to imame stepeni na sloboda na dvi`ewe, odnosno kolku {to imame generalizirani koordinati,

- Lagran`ovite ravenki ne sodr`at vo sebe reakcii na vrski, - Vo Lagran`ovite ravenki od desnata strana se javuvaat generaliziranite

sili i so toa se eliminirani nepoznatite reakcii, - So integrirawe na ravenkite se opredeluvaat generaliziranite

koordinati jq vo funkcija od vremeto t .

8.9. Lagran`ova funkcija-kineti~ki potencijal Dokolku poleto na silite e konzervativno, toga{ Lagran`ovite ravenki od vtor red se:

j

p

j

k

j

k

qE

qE

qE

dtd ∂

−=∂∂

−

∂∂

Bidej}i potencijalnata energija ne zavisi od generaliziranite brzini,

ravenkata mo`e da se napi{e vo sledniot oblik:

( ) ( )0=

∂

−∂−

∂

−∂

j

pk

j

pk

qEE

qEE

dtd

So voveduvawe na nova funkcija

30

Lagran`ovite ravenki od vtor red postanuvaat

Ovie diferencijalni ravenki pretstavuvaat Lagran`ovi ravenki od vtor

red za konzervativen sistem. Novovovedenata funkcija se narekuva Lagran`ova funkcija ili

kineti~ki potencijal. Ravenkite na Lagran` imaat golema primena pri izu~uvaweto na slobodni

oscilacii na mehani~kite sistemi. Primenata na Lagran`ovite ravenki e mo`na i pri izu~uvaweto na prinudni oscilacii na mehani~ki sistemi so kone~en broj stepeni na sloboda na dvi`ewe.

Op{tiot oblik na Lagran`ovata ravenka od vtor red glasi:

Primer: Na dvete bo~ni strani na prizmata A se nao|aat tovarot B i cilindarot C. Tie se povrzani so elasti~no nerasteglivo ja`e koe so edniot kraj e obvitkano okolu cilindarot C a so drugiot kraj e zaka~eno so tovarot. Aglite na prizmata se 30o. Makarata D e so zanemarliva te`ina. Da se opredeli zabrzuvaweto na tovarot i cilindarot ako se pretpostavi deka masata na cilindarot e dvapati pogolema od masata na tovarot.

Kineti~kata energija na sistemot e:

31

ωr

x

y

E

KO

Kineti~kata energija za teloto B e: 2

21 xmE B

K

⋅=

Kineti~kata energija za teloto C e: 2120

20

22 ,

21

2rmJJymE r

CK

⋅=⋅⋅+⋅

= ω

sleduva: 2212

22

21

2 rC rmymEK

ω⋅⋅⋅+⋅

=

kade {to rω e brzina na vrtewe na cilindarot (agolna brzina).

Od kinematikata na sistemot o~igledna e slednata relacija:

Dokolku e zemeno poslednoto ravenstvo vo ravenkata za kineti~kata energija, se dobiva:

( )

21

2212

22

21

222 ryxrmymxm

EK +

⋅⋅

+⋅

+⋅

=

pa spored uslovite na zada~ata, sledi: mmmm ⋅== 2, 21 kone~niot izraz za kineti~kata energija }e bide: Za opredeluvawe na generaliziranite sili potrebna e potencijalnata energija, koja se opredeluva spored sledniot izraz: ^lenovite na Lagran`ovata ravenka }e bidat:

( )

( )

gmgmy

EQ

gmgmx

EQ

yExmymxmym

dtd

yE

dtd

xEymxmymxm

dtd

xE

dtd

Py

Px

KK

KK

⋅=⋅⋅⋅=−=

⋅=⋅⋅=−=

=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=

αδδ

αδδ

δδ

δδ

δδ

δδ

sin2

2sin

0;2424

0;2323

αα sin2sin ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−= ygmxgmEP

( ) ( )yxyxmyyxxmymxmEK

⋅⋅+⋅+⋅=+⋅⋅++⋅

+⋅

= 443212

22

22222

22

1ryx

OKEKyx

OKy

KEx

r

+

=++

====ωϕ

32

Bidej}i imame dve generalizirani koordinati, }e imame i dve Lagran`ovi ravenki:

gmxmym

gmymxm

⋅=⋅⋅+⋅⋅

⋅=⋅⋅+⋅⋅

242

23

Otkako }e podelime so masata:

gyx

gyx

=⋅+⋅

=⋅+⋅

422

23

So re{avawe na sistemot na ravenki po x i y , se dobiva:

4

0gy

x

=

=

8.10. Cikli~ni koordinati i nivni integrali

Razgleduvame eden materijalen sistem od n materijalni to~ki. Neka na materijalniot sistem dejstvuvaat samo konzervativni sili pri {to se dobiva eden konzervativen mehani~ki sistem. Za takov mehani~ki sistem postoi Lagran`ova funkcija L , odnosno kineti~ki potencijal

pk EEL −=

Sistemot ima σ stepeni sloboda na dvi`ewe i negovoto dvi`ewe e opredeleno so σ generalizirani koordinati.

( ) ( )σ,,3,2,1, == jtqq jj

Onie generalizirani koordinati koi ne vleguvaat direktno (eksplicitno) vo izrazot za kineti~kiot integral L se narekuvaat cikli~ni koordinati.

] e pretpostavime deka od σ generalizirani koordinati imame l cikli~ni koordinati

( ) ( )lktqq kk ,,3,2,1, == kade {to σ<l . Toga{ parcijalnite izvodi od kineti~kiot potencijal po ovie cikli~ni koordinati se ednakvi na nula.

( )lkjqL

j

,,3,2,1,0 ===∂∂

33

Vo takov slu~aj za Lagran`ovi ravenki od vtor red na konzervativen sistem se dobiva:

0=∂∂

−

∂∂

jj qL

qL

dtd

( )ljqL

dtd

j

,,3,2,1,0

==

∂∂

( )12.8.

constCqL

jj

==∂∂

( )lj ,,3,2,1 = Ravenkite (8.12) se narekuvaat cikli~ni integrali.