Analiticka geometrija

Predavanje 7

Vektori u ravnigeometrijski i algebarski pristup

Novi Sad, 2019.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 1 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

DefinicijaVektor u ravni je usmerena duž. Dva vektora su jednaka ako imaju istudužinu i usmerenje (pravac i smer).

Koristicemo oznake: v ili ABVektori v i AB su jednaki, štopišemo v = AB, jer

imaju istu dužinu (intenzitet)paralelni su (imaju isti pravac)pokazuju u istom smeru

Napomena: Dakle, vektor u ravni je skupusmerenih duži u ravni istog intenziteta, pravcai smera. Za svaku tacku u ravni privezan je pojedan predstvanik od svakog vektora.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 2 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

DefinicijaVektor u ravni je usmerena duž. Dva vektora su jednaka ako imaju istudužinu i usmerenje (pravac i smer).

Koristicemo oznake: v ili ABVektori v i AB su jednaki, štopišemo v = AB, jer

imaju istu dužinu (intenzitet)paralelni su (imaju isti pravac)pokazuju u istom smeru

Napomena: Dakle, vektor u ravni je skupusmerenih duži u ravni istog intenziteta, pravcai smera. Za svaku tacku u ravni privezan je pojedan predstvanik od svakog vektora.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 2 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

DefinicijaVektor u ravni je usmerena duž. Dva vektora su jednaka ako imaju istudužinu i usmerenje (pravac i smer).

Koristicemo oznake: v ili ABVektori v i AB su jednaki, štopišemo v = AB, jer

imaju istu dužinu (intenzitet)paralelni su (imaju isti pravac)pokazuju u istom smeru

Napomena: Dakle, vektor u ravni je skupusmerenih duži u ravni istog intenziteta, pravcai smera. Za svaku tacku u ravni privezan je pojedan predstvanik od svakog vektora.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 2 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

DefinicijaVektor u ravni je usmerena duž. Dva vektora su jednaka ako imaju istudužinu i usmerenje (pravac i smer).

Koristicemo oznake: v ili ABVektori v i AB su jednaki, štopišemo v = AB, jer

imaju istu dužinu (intenzitet)paralelni su (imaju isti pravac)pokazuju u istom smeru

Napomena: Dakle, vektor u ravni je skupusmerenih duži u ravni istog intenziteta, pravcai smera. Za svaku tacku u ravni privezan je pojedan predstvanik od svakog vektora.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 2 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

DefinicijaVektor u ravni je usmerena duž. Dva vektora su jednaka ako imaju istudužinu i usmerenje (pravac i smer).

Koristicemo oznake: v ili ABVektori v i AB su jednaki, štopišemo v = AB, jer

imaju istu dužinu (intenzitet)paralelni su (imaju isti pravac)pokazuju u istom smeru

Napomena: Dakle, vektor u ravni je skupusmerenih duži u ravni istog intenziteta, pravcai smera. Za svaku tacku u ravni privezan je pojedan predstvanik od svakog vektora.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 2 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

DefinicijaVektor u ravni je usmerena duž. Dva vektora su jednaka ako imaju istudužinu i usmerenje (pravac i smer).

Koristicemo oznake: v ili ABVektori v i AB su jednaki, štopišemo v = AB, jer

imaju istu dužinu (intenzitet)paralelni su (imaju isti pravac)pokazuju u istom smeru

Napomena: Dakle, vektor u ravni je skupusmerenih duži u ravni istog intenziteta, pravcai smera. Za svaku tacku u ravni privezan je pojedan predstvanik od svakog vektora.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 2 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

DefinicijaVektor u ravni je usmerena duž. Dva vektora su jednaka ako imaju istudužinu i usmerenje (pravac i smer).

Koristicemo oznake: v ili ABVektori v i AB su jednaki, štopišemo v = AB, jer

imaju istu dužinu (intenzitet)paralelni su (imaju isti pravac)pokazuju u istom smeru

Napomena: Dakle, vektor u ravni je skupusmerenih duži u ravni istog intenziteta, pravcai smera. Za svaku tacku u ravni privezan je pojedan predstvanik od svakog vektora.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 2 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

DefinicijaVektor u ravni je usmerena duž. Dva vektora su jednaka ako imaju istudužinu i usmerenje (pravac i smer).

Koristicemo oznake: v ili ABVektori v i AB su jednaki, štopišemo v = AB, jer

imaju istu dužinu (intenzitet)paralelni su (imaju isti pravac)pokazuju u istom smeru

Napomena: Dakle, vektor u ravni je skupusmerenih duži u ravni istog intenziteta, pravcai smera. Za svaku tacku u ravni privezan je pojedan predstvanik od svakog vektora.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 2 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

DefinicijaVektor u ravni je usmerena duž. Dva vektora su jednaka ako imaju istudužinu i usmerenje (pravac i smer).

Koristicemo oznake: v ili ABVektori v i AB su jednaki, štopišemo v = AB, jer

imaju istu dužinu (intenzitet)paralelni su (imaju isti pravac)pokazuju u istom smeru

Napomena: Dakle, vektor u ravni je skupusmerenih duži u ravni istog intenziteta, pravcai smera. Za svaku tacku u ravni privezan je pojedan predstvanik od svakog vektora.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 2 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

Množenje vektora skalarom α, α ∈ RVektori v i αv imaju uvek isti pravac(paralelni su), s tim da za

α > 0 imaju i isti smer, a intenzitetvektora αv je α dužina vektora vα < 0 imaju suprotan smer, aintenzitet vektora αv je |α| dužinavektora vα = 0 dobijamo da je 0v = 0samo tacka, bez usmerenja

Kolinearnost (paralelnost) vektoraZa ne-nula vektore u i v kažemo da su kolinearni akopostoji α ∈ R \ {0} tako da je u = αv (linearno zavisni)(dakle, imaju isti pravac (paralelni su) ali moguce razlicit smer i intenzitet)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 3 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

Množenje vektora skalarom α, α ∈ RVektori v i αv imaju uvek isti pravac(paralelni su), s tim da za

α > 0 imaju i isti smer, a intenzitetvektora αv je α dužina vektora vα < 0 imaju suprotan smer, aintenzitet vektora αv je |α| dužinavektora vα = 0 dobijamo da je 0v = 0samo tacka, bez usmerenja

Kolinearnost (paralelnost) vektoraZa ne-nula vektore u i v kažemo da su kolinearni akopostoji α ∈ R \ {0} tako da je u = αv (linearno zavisni)(dakle, imaju isti pravac (paralelni su) ali moguce razlicit smer i intenzitet)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 3 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

Množenje vektora skalarom α, α ∈ RVektori v i αv imaju uvek isti pravac(paralelni su), s tim da za

α > 0 imaju i isti smer, a intenzitetvektora αv je α dužina vektora vα < 0 imaju suprotan smer, aintenzitet vektora αv je |α| dužinavektora vα = 0 dobijamo da je 0v = 0samo tacka, bez usmerenja

Kolinearnost (paralelnost) vektoraZa ne-nula vektore u i v kažemo da su kolinearni akopostoji α ∈ R \ {0} tako da je u = αv (linearno zavisni)(dakle, imaju isti pravac (paralelni su) ali moguce razlicit smer i intenzitet)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 3 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

Množenje vektora skalarom α, α ∈ RVektori v i αv imaju uvek isti pravac(paralelni su), s tim da za

α > 0 imaju i isti smer, a intenzitetvektora αv je α dužina vektora vα < 0 imaju suprotan smer, aintenzitet vektora αv je |α| dužinavektora vα = 0 dobijamo da je 0v = 0samo tacka, bez usmerenja

Kolinearnost (paralelnost) vektoraZa ne-nula vektore u i v kažemo da su kolinearni akopostoji α ∈ R \ {0} tako da je u = αv (linearno zavisni)(dakle, imaju isti pravac (paralelni su) ali moguce razlicit smer i intenzitet)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 3 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

Množenje vektora skalarom α, α ∈ RVektori v i αv imaju uvek isti pravac(paralelni su), s tim da za

α > 0 imaju i isti smer, a intenzitetvektora αv je α dužina vektora vα < 0 imaju suprotan smer, aintenzitet vektora αv je |α| dužinavektora vα = 0 dobijamo da je 0v = 0samo tacka, bez usmerenja

Kolinearnost (paralelnost) vektoraZa ne-nula vektore u i v kažemo da su kolinearni akopostoji α ∈ R \ {0} tako da je u = αv (linearno zavisni)(dakle, imaju isti pravac (paralelni su) ali moguce razlicit smer i intenzitet)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 3 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

Množenje vektora skalarom α, α ∈ RVektori v i αv imaju uvek isti pravac(paralelni su), s tim da za

α > 0 imaju i isti smer, a intenzitetvektora αv je α dužina vektora vα < 0 imaju suprotan smer, aintenzitet vektora αv je |α| dužinavektora vα = 0 dobijamo da je 0v = 0samo tacka, bez usmerenja

Kolinearnost (paralelnost) vektoraZa ne-nula vektore u i v kažemo da su kolinearni akopostoji α ∈ R \ {0} tako da je u = αv (linearno zavisni)(dakle, imaju isti pravac (paralelni su) ali moguce razlicit smer i intenzitet)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 3 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

Množenje vektora skalarom α, α ∈ RVektori v i αv imaju uvek isti pravac(paralelni su), s tim da za

α > 0 imaju i isti smer, a intenzitetvektora αv je α dužina vektora vα < 0 imaju suprotan smer, aintenzitet vektora αv je |α| dužinavektora vα = 0 dobijamo da je 0v = 0samo tacka, bez usmerenja

Kolinearnost (paralelnost) vektoraZa ne-nula vektore u i v kažemo da su kolinearni akopostoji α ∈ R \ {0} tako da je u = αv (linearno zavisni)(dakle, imaju isti pravac (paralelni su) ali moguce razlicit smer i intenzitet)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 3 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

Sabiranje vektora – pravilo paralelograma

Neka su v i w dva ne-nula vektoraUzmimo njihove predstavnike kojise nadovezuju: v = AB i w = BC

Onda je v + w = AC,odnosno dijagonalaparalelograma odredenogvektorima AB i BC++ pravilo paralelograma ++Na osnovu osobinaparalelograma, vidimo da jesabiranje vektora komutativnov + w = w + v

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 4 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

Sabiranje vektora – pravilo paralelograma

Neka su v i w dva ne-nula vektoraUzmimo njihove predstavnike kojise nadovezuju: v = AB i w = BC

Onda je v + w = AC,odnosno dijagonalaparalelograma odredenogvektorima AB i BC++ pravilo paralelograma ++Na osnovu osobinaparalelograma, vidimo da jesabiranje vektora komutativnov + w = w + v

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 4 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

Sabiranje vektora – pravilo paralelograma

Neka su v i w dva ne-nula vektoraUzmimo njihove predstavnike kojise nadovezuju: v = AB i w = BC

Onda je v + w = AC,odnosno dijagonalaparalelograma odredenogvektorima AB i BC++ pravilo paralelograma ++Na osnovu osobinaparalelograma, vidimo da jesabiranje vektora komutativnov + w = w + v

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 4 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

Sabiranje vektora – pravilo paralelograma

Neka su v i w dva ne-nula vektoraUzmimo njihove predstavnike kojise nadovezuju: v = AB i w = BC

Onda je v + w = AC,odnosno dijagonalaparalelograma odredenogvektorima AB i BC++ pravilo paralelograma ++Na osnovu osobinaparalelograma, vidimo da jesabiranje vektora komutativnov + w = w + v

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 4 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

Sabiranje vektora – pravilo paralelograma

Neka su v i w dva ne-nula vektoraUzmimo njihove predstavnike kojise nadovezuju: v = AB i w = BC

Onda je v + w = AC,odnosno dijagonalaparalelograma odredenogvektorima AB i BC++ pravilo paralelograma ++Na osnovu osobinaparalelograma, vidimo da jesabiranje vektora komutativnov + w = w + v

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 4 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

Oduzimanje vektora

Oduzimanje vektora definišemo na prirodannacina: v − w = v + (−1)w

Konstruišimo paralelogram nad vektorimav i wKoristeci da su w i −w = (−1)w paralelnivektori, iste dužine i suprotnog smeraDobijamo da je v − w dijagonalaparalelograma konstruisanog nadvektorima v i w tako da krece sa krajavektora w ka kraju vektora vPrimetimo, u paralelogramukonstruisanom nad vektorima v i w jednadijagonala je v + w a druga v − w (voditisamo racuna o smerovima)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 5 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

Oduzimanje vektora

Oduzimanje vektora definišemo na prirodannacina: v − w = v + (−1)w

Konstruišimo paralelogram nad vektorimav i wKoristeci da su w i −w = (−1)w paralelnivektori, iste dužine i suprotnog smeraDobijamo da je v − w dijagonalaparalelograma konstruisanog nadvektorima v i w tako da krece sa krajavektora w ka kraju vektora vPrimetimo, u paralelogramukonstruisanom nad vektorima v i w jednadijagonala je v + w a druga v − w (voditisamo racuna o smerovima)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 5 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

Oduzimanje vektora

Oduzimanje vektora definišemo na prirodannacina: v − w = v + (−1)w

Konstruišimo paralelogram nad vektorimav i wKoristeci da su w i −w = (−1)w paralelnivektori, iste dužine i suprotnog smeraDobijamo da je v − w dijagonalaparalelograma konstruisanog nadvektorima v i w tako da krece sa krajavektora w ka kraju vektora vPrimetimo, u paralelogramukonstruisanom nad vektorima v i w jednadijagonala je v + w a druga v − w (voditisamo racuna o smerovima)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 5 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

Oduzimanje vektora

Oduzimanje vektora definišemo na prirodannacina: v − w = v + (−1)w

Konstruišimo paralelogram nad vektorimav i wKoristeci da su w i −w = (−1)w paralelnivektori, iste dužine i suprotnog smeraDobijamo da je v − w dijagonalaparalelograma konstruisanog nadvektorima v i w tako da krece sa krajavektora w ka kraju vektora vPrimetimo, u paralelogramukonstruisanom nad vektorima v i w jednadijagonala je v + w a druga v − w (voditisamo racuna o smerovima)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 5 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

Oduzimanje vektora

Oduzimanje vektora definišemo na prirodannacina: v − w = v + (−1)w

Konstruišimo paralelogram nad vektorimav i wKoristeci da su w i −w = (−1)w paralelnivektori, iste dužine i suprotnog smeraDobijamo da je v − w dijagonalaparalelograma konstruisanog nadvektorima v i w tako da krece sa krajavektora w ka kraju vektora vPrimetimo, u paralelogramukonstruisanom nad vektorima v i w jednadijagonala je v + w a druga v − w (voditisamo racuna o smerovima)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 5 / 15

Vektori u ravni – geometrijski pristup

Oduzimanje vektora

Oduzimanje vektora definišemo na prirodannacina: v − w = v + (−1)w

Konstruišimo paralelogram nad vektorimav i wKoristeci da su w i −w = (−1)w paralelnivektori, iste dužine i suprotnog smeraDobijamo da je v − w dijagonalaparalelograma konstruisanog nadvektorima v i w tako da krece sa krajavektora w ka kraju vektora vPrimetimo, u paralelogramukonstruisanom nad vektorima v i w jednadijagonala je v + w a druga v − w (voditisamo racuna o smerovima)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 5 / 15

Komponente vektoraAko vektor u ravni u izrazimo u obliku u = v + w , gde su v i w nekolinearni(nisu paralelni, odnosno grade paralelogram), onda kažemo da su v i wkomponente vektora u.

Bazni vektori u pravouglom koordinatnom sistemuAko ravan koordinatizujemo, kao i do sad,pravouglim koordinatim sistemom, isticu sebazni vektori:

ı – paralelan sa x−osom u pozitivnomsmeru, dužine 1 – paralelan sa y−osom u pozitivnomsmeru, dužine 1Ako je O(0,0), A(1,0) i B(0,1), onda je

ı = OA i = OB,

te su to predstavnici baznih vektoraprivezani za koordinatni pocetak

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 6 / 15

Komponente vektoraAko vektor u ravni u izrazimo u obliku u = v + w , gde su v i w nekolinearni(nisu paralelni, odnosno grade paralelogram), onda kažemo da su v i wkomponente vektora u.

Bazni vektori u pravouglom koordinatnom sistemuAko ravan koordinatizujemo, kao i do sad,pravouglim koordinatim sistemom, isticu sebazni vektori:

ı – paralelan sa x−osom u pozitivnomsmeru, dužine 1 – paralelan sa y−osom u pozitivnomsmeru, dužine 1Ako je O(0,0), A(1,0) i B(0,1), onda je

ı = OA i = OB,

te su to predstavnici baznih vektoraprivezani za koordinatni pocetak

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 6 / 15

Komponente vektoraAko vektor u ravni u izrazimo u obliku u = v + w , gde su v i w nekolinearni(nisu paralelni, odnosno grade paralelogram), onda kažemo da su v i wkomponente vektora u.

Bazni vektori u pravouglom koordinatnom sistemuAko ravan koordinatizujemo, kao i do sad,pravouglim koordinatim sistemom, isticu sebazni vektori:

ı – paralelan sa x−osom u pozitivnomsmeru, dužine 1 – paralelan sa y−osom u pozitivnomsmeru, dužine 1Ako je O(0,0), A(1,0) i B(0,1), onda je

ı = OA i = OB,

te su to predstavnici baznih vektoraprivezani za koordinatni pocetak

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 6 / 15

Komponente vektoraAko vektor u ravni u izrazimo u obliku u = v + w , gde su v i w nekolinearni(nisu paralelni, odnosno grade paralelogram), onda kažemo da su v i wkomponente vektora u.

Bazni vektori u pravouglom koordinatnom sistemuAko ravan koordinatizujemo, kao i do sad,pravouglim koordinatim sistemom, isticu sebazni vektori:

ı – paralelan sa x−osom u pozitivnomsmeru, dužine 1 – paralelan sa y−osom u pozitivnomsmeru, dužine 1Ako je O(0,0), A(1,0) i B(0,1), onda je

ı = OA i = OB,

te su to predstavnici baznih vektoraprivezani za koordinatni pocetak

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 6 / 15

Komponente vektoraAko vektor u ravni u izrazimo u obliku u = v + w , gde su v i w nekolinearni(nisu paralelni, odnosno grade paralelogram), onda kažemo da su v i wkomponente vektora u.

Bazni vektori u pravouglom koordinatnom sistemuAko ravan koordinatizujemo, kao i do sad,pravouglim koordinatim sistemom, isticu sebazni vektori:

ı – paralelan sa x−osom u pozitivnomsmeru, dužine 1 – paralelan sa y−osom u pozitivnomsmeru, dužine 1Ako je O(0,0), A(1,0) i B(0,1), onda je

ı = OA i = OB,

te su to predstavnici baznih vektoraprivezani za koordinatni pocetak

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 6 / 15

Komponente vektora

DefinicijaAko je v = aı+ b, kažemo da su aı i b komponente vektora v u odnosu nabazne vektore ı i , a brojevi a,b ∈ R su skalarne komponente vektora v uodnosu na bazne vektore ı i .

Primetimo da u ravni svaki vektor v možemona jedinstven nacina izraziti kao v = aı+ b,konstruišuci odgovarajuci pravougli trougao.Skalarne komponente vektora v su a i b, te mupridružujemo jedinstveno odreden uredeni par(a, b)

Ako u ravni posmatramo tacku P(a, b), ondaje, jasno, v = OP. Vektor OP, koji obeležava-mo i sa rP , zovemo vektor položaja tacke P

Dakle, rP = OP je reprezent vektora v koji jeprivezan za koordinatni pocetak. Svaki vektorima tacno jednog predstavnika koji je vezan zakoordinatni pocetak, oblika OP

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 7 / 15

Komponente vektora

DefinicijaAko je v = aı+ b, kažemo da su aı i b komponente vektora v u odnosu nabazne vektore ı i , a brojevi a,b ∈ R su skalarne komponente vektora v uodnosu na bazne vektore ı i .

Primetimo da u ravni svaki vektor v možemona jedinstven nacina izraziti kao v = aı+ b,konstruišuci odgovarajuci pravougli trougao.Skalarne komponente vektora v su a i b, te mupridružujemo jedinstveno odreden uredeni par(a, b)

Ako u ravni posmatramo tacku P(a, b), ondaje, jasno, v = OP. Vektor OP, koji obeležava-mo i sa rP , zovemo vektor položaja tacke P

Dakle, rP = OP je reprezent vektora v koji jeprivezan za koordinatni pocetak. Svaki vektorima tacno jednog predstavnika koji je vezan zakoordinatni pocetak, oblika OP

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 7 / 15

Komponente vektora

DefinicijaAko je v = aı+ b, kažemo da su aı i b komponente vektora v u odnosu nabazne vektore ı i , a brojevi a,b ∈ R su skalarne komponente vektora v uodnosu na bazne vektore ı i .

Primetimo da u ravni svaki vektor v možemona jedinstven nacina izraziti kao v = aı+ b,konstruišuci odgovarajuci pravougli trougao.Skalarne komponente vektora v su a i b, te mupridružujemo jedinstveno odreden uredeni par(a, b)

Ako u ravni posmatramo tacku P(a, b), ondaje, jasno, v = OP. Vektor OP, koji obeležava-mo i sa rP , zovemo vektor položaja tacke P

Dakle, rP = OP je reprezent vektora v koji jeprivezan za koordinatni pocetak. Svaki vektorima tacno jednog predstavnika koji je vezan zakoordinatni pocetak, oblika OP

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 7 / 15

Komponente vektora

DefinicijaAko je v = aı+ b, kažemo da su aı i b komponente vektora v u odnosu nabazne vektore ı i , a brojevi a,b ∈ R su skalarne komponente vektora v uodnosu na bazne vektore ı i .

Primetimo da u ravni svaki vektor v možemona jedinstven nacina izraziti kao v = aı+ b,konstruišuci odgovarajuci pravougli trougao.Skalarne komponente vektora v su a i b, te mupridružujemo jedinstveno odreden uredeni par(a, b)

Ako u ravni posmatramo tacku P(a, b), ondaje, jasno, v = OP. Vektor OP, koji obeležava-mo i sa rP , zovemo vektor položaja tacke P

Dakle, rP = OP je reprezent vektora v koji jeprivezan za koordinatni pocetak. Svaki vektorima tacno jednog predstavnika koji je vezan zakoordinatni pocetak, oblika OP

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 7 / 15

Komponente vektora

DefinicijaAko je v = aı+ b, kažemo da su aı i b komponente vektora v u odnosu nabazne vektore ı i , a brojevi a,b ∈ R su skalarne komponente vektora v uodnosu na bazne vektore ı i .

Primetimo da u ravni svaki vektor v možemona jedinstven nacina izraziti kao v = aı+ b,konstruišuci odgovarajuci pravougli trougao.Skalarne komponente vektora v su a i b, te mupridružujemo jedinstveno odreden uredeni par(a, b)

Ako u ravni posmatramo tacku P(a, b), ondaje, jasno, v = OP. Vektor OP, koji obeležava-mo i sa rP , zovemo vektor položaja tacke P

Dakle, rP = OP je reprezent vektora v koji jeprivezan za koordinatni pocetak. Svaki vektorima tacno jednog predstavnika koji je vezan zakoordinatni pocetak, oblika OP

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 7 / 15

Komponente vektora

DefinicijaAko je v = aı+ b, kažemo da su aı i b komponente vektora v u odnosu nabazne vektore ı i , a brojevi a,b ∈ R su skalarne komponente vektora v uodnosu na bazne vektore ı i .

Primetimo da u ravni svaki vektor v možemona jedinstven nacina izraziti kao v = aı+ b,konstruišuci odgovarajuci pravougli trougao.Skalarne komponente vektora v su a i b, te mupridružujemo jedinstveno odreden uredeni par(a, b)

Ako u ravni posmatramo tacku P(a, b), ondaje, jasno, v = OP. Vektor OP, koji obeležava-mo i sa rP , zovemo vektor položaja tacke P

Dakle, rP = OP je reprezent vektora v koji jeprivezan za koordinatni pocetak. Svaki vektorima tacno jednog predstavnika koji je vezan zakoordinatni pocetak, oblika OP

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 7 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristupDakle, algebarski pristup vektorima se temelji na uvodenju pravouglogkoordinatnog sistema u ravan i fiksiranju baznih vektora ı i , te na cinjenici dase sada svaki vektor v na jedinstven nacin razlaže u obliku v = aı+ b.Možemo koristiti i zapis v = (a,b), ako je jasno u odnosu na koje baznevektore smo razložili vektor v ; ili v = OP = rP , gde je P(a,b).

Algebarska definicija jednakosti vektora

Vektori v = aı+ b i v ′ = a′ı+ b′ su jednaki (što pišemo v = v ′) ako jea = a′ i b = b′.

Algebarska definicija množenja vektora skalarom α, α ∈ RIz slicnosti trouglova dobijamo:

ako je vektor v = aı+ b, onda jeαv = (αa)ı+ (αb)Odnosno, ako je vektor v = (a,b), onda je

αv = α(a,b) = (αa, αb)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 8 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristupDakle, algebarski pristup vektorima se temelji na uvodenju pravouglogkoordinatnog sistema u ravan i fiksiranju baznih vektora ı i , te na cinjenici dase sada svaki vektor v na jedinstven nacin razlaže u obliku v = aı+ b.Možemo koristiti i zapis v = (a,b), ako je jasno u odnosu na koje baznevektore smo razložili vektor v ; ili v = OP = rP , gde je P(a,b).

Algebarska definicija jednakosti vektora

Vektori v = aı+ b i v ′ = a′ı+ b′ su jednaki (što pišemo v = v ′) ako jea = a′ i b = b′.

Algebarska definicija množenja vektora skalarom α, α ∈ RIz slicnosti trouglova dobijamo:

ako je vektor v = aı+ b, onda jeαv = (αa)ı+ (αb)Odnosno, ako je vektor v = (a,b), onda je

αv = α(a,b) = (αa, αb)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 8 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristupDakle, algebarski pristup vektorima se temelji na uvodenju pravouglogkoordinatnog sistema u ravan i fiksiranju baznih vektora ı i , te na cinjenici dase sada svaki vektor v na jedinstven nacin razlaže u obliku v = aı+ b.Možemo koristiti i zapis v = (a,b), ako je jasno u odnosu na koje baznevektore smo razložili vektor v ; ili v = OP = rP , gde je P(a,b).

Algebarska definicija jednakosti vektora

Vektori v = aı+ b i v ′ = a′ı+ b′ su jednaki (što pišemo v = v ′) ako jea = a′ i b = b′.

Algebarska definicija množenja vektora skalarom α, α ∈ RIz slicnosti trouglova dobijamo:

ako je vektor v = aı+ b, onda jeαv = (αa)ı+ (αb)Odnosno, ako je vektor v = (a,b), onda je

αv = α(a,b) = (αa, αb)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 8 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristupDakle, algebarski pristup vektorima se temelji na uvodenju pravouglogkoordinatnog sistema u ravan i fiksiranju baznih vektora ı i , te na cinjenici dase sada svaki vektor v na jedinstven nacin razlaže u obliku v = aı+ b.Možemo koristiti i zapis v = (a,b), ako je jasno u odnosu na koje baznevektore smo razložili vektor v ; ili v = OP = rP , gde je P(a,b).

Algebarska definicija jednakosti vektora

Vektori v = aı+ b i v ′ = a′ı+ b′ su jednaki (što pišemo v = v ′) ako jea = a′ i b = b′.

Algebarska definicija množenja vektora skalarom α, α ∈ R

Iz slicnosti trouglova dobijamo:ako je vektor v = aı+ b, onda jeαv = (αa)ı+ (αb)Odnosno, ako je vektor v = (a,b), onda je

αv = α(a,b) = (αa, αb)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 8 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristupDakle, algebarski pristup vektorima se temelji na uvodenju pravouglogkoordinatnog sistema u ravan i fiksiranju baznih vektora ı i , te na cinjenici dase sada svaki vektor v na jedinstven nacin razlaže u obliku v = aı+ b.Možemo koristiti i zapis v = (a,b), ako je jasno u odnosu na koje baznevektore smo razložili vektor v ; ili v = OP = rP , gde je P(a,b).

Algebarska definicija jednakosti vektora

Vektori v = aı+ b i v ′ = a′ı+ b′ su jednaki (što pišemo v = v ′) ako jea = a′ i b = b′.

Algebarska definicija množenja vektora skalarom α, α ∈ R

Iz slicnosti trouglova dobijamo:ako je vektor v = aı+ b, onda jeαv = (αa)ı+ (αb)Odnosno, ako je vektor v = (a,b), onda je

αv = α(a,b) = (αa, αb)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 8 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristupDakle, algebarski pristup vektorima se temelji na uvodenju pravouglogkoordinatnog sistema u ravan i fiksiranju baznih vektora ı i , te na cinjenici dase sada svaki vektor v na jedinstven nacin razlaže u obliku v = aı+ b.Možemo koristiti i zapis v = (a,b), ako je jasno u odnosu na koje baznevektore smo razložili vektor v ; ili v = OP = rP , gde je P(a,b).

Algebarska definicija jednakosti vektora

Vektori v = aı+ b i v ′ = a′ı+ b′ su jednaki (što pišemo v = v ′) ako jea = a′ i b = b′.

Algebarska definicija množenja vektora skalarom α, α ∈ R

Iz slicnosti trouglova dobijamo:ako je vektor v = aı+ b, onda jeαv = (αa)ı+ (αb)Odnosno, ako je vektor v = (a,b), onda je

αv = α(a,b) = (αa, αb)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 8 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Algebarska definicija sabiranja vektora

Neka je v1 = a1ı+ b1 i v2 = a2ı+ b2.Tada jev1 + v2 = (a1 + a2)ı+ (b1 + b2)

Odnosno, ako koristimo zapis prekouredenih parova, za v1 = (a1,b1) iv2 = (a2,b2) važi da je

v1 + v2 = (a1,b1) + (a2,b2) = (a1 + a2,b1 + b2)

Primer 7.1 Nacrtati vektore u = 2ı− 4 i v = (5,3) i odrediti (i nacrtati) u + v

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 9 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Algebarska definicija sabiranja vektora

Neka je v1 = a1ı+ b1 i v2 = a2ı+ b2.Tada jev1 + v2 = (a1 + a2)ı+ (b1 + b2)

Odnosno, ako koristimo zapis prekouredenih parova, za v1 = (a1,b1) iv2 = (a2,b2) važi da je

v1 + v2 = (a1,b1) + (a2,b2) = (a1 + a2,b1 + b2)

Primer 7.1 Nacrtati vektore u = 2ı− 4 i v = (5,3) i odrediti (i nacrtati) u + v

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 9 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Algebarska definicija sabiranja vektora

Neka je v1 = a1ı+ b1 i v2 = a2ı+ b2.Tada jev1 + v2 = (a1 + a2)ı+ (b1 + b2)

Odnosno, ako koristimo zapis prekouredenih parova, za v1 = (a1,b1) iv2 = (a2,b2) važi da je

v1 + v2 = (a1,b1) + (a2,b2) = (a1 + a2,b1 + b2)

Primer 7.1 Nacrtati vektore u = 2ı− 4 i v = (5,3) i odrediti (i nacrtati) u + v

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 9 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Algebarska definicija sabiranja vektora

Neka je v1 = a1ı+ b1 i v2 = a2ı+ b2.Tada jev1 + v2 = (a1 + a2)ı+ (b1 + b2)

Odnosno, ako koristimo zapis prekouredenih parova, za v1 = (a1,b1) iv2 = (a2,b2) važi da je

v1 + v2 = (a1,b1) + (a2,b2) = (a1 + a2,b1 + b2)

Primer 7.1 Nacrtati vektore u = 2ı− 4 i v = (5,3) i odrediti (i nacrtati) u + v

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 9 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Algebarska definicija oduzimanja vektora

Neka je v1 = a1ı+ b1 i v2 = a2ı+ b2.Tada jev1 − v2 = (a1 − a2)ı+ (b1 − b2)

Odnosno, ako su vektori dati u oblikuv1 = (a1,b1) i v2 = (a2,b2), onda je

v1 − v2 = (a1,b1)− (a2,b2) = (a1 − a2,b1 − b2)

Primetimo da bismo isti rezultat dobili i da smo koristili do sada definisaneoperacije množenja skalarom i sabiranja vektora. Naime,

v1 − v2 = (a1,b1)− (a2,b2) = (a1,b1) + (−1)(a2,b2)

= (a1,b1) + (−a2,−b2) = (a1 − a2,b1 − b2)

Primer 7.2 Nacrtati vektore u = 6ı+ 2 i v = 3ı− 5 i odrediti (i nacrtati) u − v

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 10 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Algebarska definicija oduzimanja vektora

Neka je v1 = a1ı+ b1 i v2 = a2ı+ b2.Tada jev1 − v2 = (a1 − a2)ı+ (b1 − b2)

Odnosno, ako su vektori dati u oblikuv1 = (a1,b1) i v2 = (a2,b2), onda je

v1 − v2 = (a1,b1)− (a2,b2) = (a1 − a2,b1 − b2)

Primetimo da bismo isti rezultat dobili i da smo koristili do sada definisaneoperacije množenja skalarom i sabiranja vektora. Naime,

v1 − v2 = (a1,b1)− (a2,b2) = (a1,b1) + (−1)(a2,b2)

= (a1,b1) + (−a2,−b2) = (a1 − a2,b1 − b2)

Primer 7.2 Nacrtati vektore u = 6ı+ 2 i v = 3ı− 5 i odrediti (i nacrtati) u − v

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 10 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Algebarska definicija oduzimanja vektora

Neka je v1 = a1ı+ b1 i v2 = a2ı+ b2.Tada jev1 − v2 = (a1 − a2)ı+ (b1 − b2)

Odnosno, ako su vektori dati u oblikuv1 = (a1,b1) i v2 = (a2,b2), onda je

v1 − v2 = (a1,b1)− (a2,b2) = (a1 − a2,b1 − b2)

Primetimo da bismo isti rezultat dobili i da smo koristili do sada definisaneoperacije množenja skalarom i sabiranja vektora. Naime,

v1 − v2 = (a1,b1)− (a2,b2) = (a1,b1) + (−1)(a2,b2)

= (a1,b1) + (−a2,−b2) = (a1 − a2,b1 − b2)

Primer 7.2 Nacrtati vektore u = 6ı+ 2 i v = 3ı− 5 i odrediti (i nacrtati) u − v

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 10 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Algebarska definicija oduzimanja vektora

Neka je v1 = a1ı+ b1 i v2 = a2ı+ b2.Tada jev1 − v2 = (a1 − a2)ı+ (b1 − b2)

Odnosno, ako su vektori dati u oblikuv1 = (a1,b1) i v2 = (a2,b2), onda je

v1 − v2 = (a1,b1)− (a2,b2) = (a1 − a2,b1 − b2)

Primetimo da bismo isti rezultat dobili i da smo koristili do sada definisaneoperacije množenja skalarom i sabiranja vektora. Naime,

v1 − v2 = (a1,b1)− (a2,b2) = (a1,b1) + (−1)(a2,b2)

= (a1,b1) + (−a2,−b2) = (a1 − a2,b1 − b2)

Primer 7.2 Nacrtati vektore u = 6ı+ 2 i v = 3ı− 5 i odrediti (i nacrtati) u − v

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 10 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Algebarska definicija oduzimanja vektora

Neka je v1 = a1ı+ b1 i v2 = a2ı+ b2.Tada jev1 − v2 = (a1 − a2)ı+ (b1 − b2)

Odnosno, ako su vektori dati u oblikuv1 = (a1,b1) i v2 = (a2,b2), onda je

v1 − v2 = (a1,b1)− (a2,b2) = (a1 − a2,b1 − b2)

Primetimo da bismo isti rezultat dobili i da smo koristili do sada definisaneoperacije množenja skalarom i sabiranja vektora. Naime,

v1 − v2 = (a1,b1)− (a2,b2) = (a1,b1) + (−1)(a2,b2)

= (a1,b1) + (−a2,−b2) = (a1 − a2,b1 − b2)

Primer 7.2 Nacrtati vektore u = 6ı+ 2 i v = 3ı− 5 i odrediti (i nacrtati) u − v

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 10 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Neka su date tacke P1(x1, y1) i P2(x2, y2).

Tada važi P1P2 = OP2 −−−→OP1

Dakle, iz OP1 = x1ı+ y1 i OP2 = x2ı+ y2dobijamo da jeP1P2 = (x2 − x1)ı+ (y2 − y1), odnosno

P1P2 = (x2 − x1, y2 − y1)

Primer 7.3 Neka je P1(3,4) i P2(5,1). Nacrtati i odrediti vektor P1P2

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 11 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Neka su date tacke P1(x1, y1) i P2(x2, y2).

Tada važi P1P2 = OP2 −−−→OP1

Dakle, iz OP1 = x1ı+ y1 i OP2 = x2ı+ y2dobijamo da jeP1P2 = (x2 − x1)ı+ (y2 − y1), odnosno

P1P2 = (x2 − x1, y2 − y1)

Primer 7.3 Neka je P1(3,4) i P2(5,1). Nacrtati i odrediti vektor P1P2

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 11 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Neka su date tacke P1(x1, y1) i P2(x2, y2).

Tada važi P1P2 = OP2 −−−→OP1

Dakle, iz OP1 = x1ı+ y1 i OP2 = x2ı+ y2dobijamo da jeP1P2 = (x2 − x1)ı+ (y2 − y1), odnosno

P1P2 = (x2 − x1, y2 − y1)

Primer 7.3 Neka je P1(3,4) i P2(5,1). Nacrtati i odrediti vektor P1P2

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 11 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Neka su date tacke P1(x1, y1) i P2(x2, y2).

Tada važi P1P2 = OP2 −−−→OP1

Dakle, iz OP1 = x1ı+ y1 i OP2 = x2ı+ y2dobijamo da jeP1P2 = (x2 − x1)ı+ (y2 − y1), odnosno

P1P2 = (x2 − x1, y2 − y1)

Primer 7.3 Neka je P1(3,4) i P2(5,1). Nacrtati i odrediti vektor P1P2

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 11 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Algebarska definicija intenziteta (dužine) vektora

Neka je v = aı+ b = (a,b)Tada je|v | = |aı+ b| = |(a,b)| =

√a2 + b2

Primer 7.4 Primenjena je sila od 90N (Njutna) naniže, koja gradi ugao od 30◦

sa horizontalnom osom. Odrediti horizontalnu i vertikalnu komponentu te sile.

Primetimo da se intenzitet vektora dobro slaže sa množenjem vektoraskalarom, odnosno važi |αv | = |α||v |, α ∈ R. Zaista,|αv | = |αaı+ αb| =

√(αa)2 + (αb)2 =

√α2(a2 + b2) = |α|

√a2 + b2 = |α||v |

Primer 7.5 Direktnom proverom pokazati da je |αv | = |α||v |, ako jev = −3ı+ 4 i α = −2.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 12 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Algebarska definicija intenziteta (dužine) vektora

Neka je v = aı+ b = (a,b)Tada je|v | = |aı+ b| = |(a,b)| =

√a2 + b2

Primer 7.4 Primenjena je sila od 90N (Njutna) naniže, koja gradi ugao od 30◦

sa horizontalnom osom. Odrediti horizontalnu i vertikalnu komponentu te sile.

Primetimo da se intenzitet vektora dobro slaže sa množenjem vektoraskalarom, odnosno važi |αv | = |α||v |, α ∈ R. Zaista,|αv | = |αaı+ αb| =

√(αa)2 + (αb)2 =

√α2(a2 + b2) = |α|

√a2 + b2 = |α||v |

Primer 7.5 Direktnom proverom pokazati da je |αv | = |α||v |, ako jev = −3ı+ 4 i α = −2.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 12 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Algebarska definicija intenziteta (dužine) vektora

Neka je v = aı+ b = (a,b)Tada je|v | = |aı+ b| = |(a,b)| =

√a2 + b2

Primer 7.4 Primenjena je sila od 90N (Njutna) naniže, koja gradi ugao od 30◦

sa horizontalnom osom. Odrediti horizontalnu i vertikalnu komponentu te sile.

Primetimo da se intenzitet vektora dobro slaže sa množenjem vektoraskalarom, odnosno važi |αv | = |α||v |, α ∈ R. Zaista,|αv | = |αaı+ αb| =

√(αa)2 + (αb)2 =

√α2(a2 + b2) = |α|

√a2 + b2 = |α||v |

Primer 7.5 Direktnom proverom pokazati da je |αv | = |α||v |, ako jev = −3ı+ 4 i α = −2.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 12 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Algebarska definicija intenziteta (dužine) vektora

Neka je v = aı+ b = (a,b)Tada je|v | = |aı+ b| = |(a,b)| =

√a2 + b2

Primer 7.4 Primenjena je sila od 90N (Njutna) naniže, koja gradi ugao od 30◦

sa horizontalnom osom. Odrediti horizontalnu i vertikalnu komponentu te sile.

Primetimo da se intenzitet vektora dobro slaže sa množenjem vektoraskalarom, odnosno važi |αv | = |α||v |, α ∈ R. Zaista,|αv | = |αaı+ αb| =

√(αa)2 + (αb)2 =

√α2(a2 + b2) = |α|

√a2 + b2 = |α||v |

Primer 7.5 Direktnom proverom pokazati da je |αv | = |α||v |, ako jev = −3ı+ 4 i α = −2.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 12 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Algebarska definicija intenziteta (dužine) vektora

Neka je v = aı+ b = (a,b)Tada je|v | = |aı+ b| = |(a,b)| =

√a2 + b2

Primer 7.4 Primenjena je sila od 90N (Njutna) naniže, koja gradi ugao od 30◦

sa horizontalnom osom. Odrediti horizontalnu i vertikalnu komponentu te sile.

Primetimo da se intenzitet vektora dobro slaže sa množenjem vektoraskalarom, odnosno važi |αv | = |α||v |, α ∈ R. Zaista,|αv | = |αaı+ αb| =

√(αa)2 + (αb)2 =

√α2(a2 + b2) = |α|

√a2 + b2 = |α||v |

Primer 7.5 Direktnom proverom pokazati da je |αv | = |α||v |, ako jev = −3ı+ 4 i α = −2.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 12 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

* Za vektor v kažemo da je jedinicni vektor ako je |v | = 1.

Bazni vektori su jedinicni: |ı| = |1ı+ 0| =√

12 + 02 = 1 i, slicno, || = 1.

Svi vektori oblika v = cos θı+ sin θ su jedinicni,zaista |v | =

√cos2 θ + sin2 θ = 1

* Nula vektor je 0 = 0ı+ 0 = (0,0)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 13 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

* Za vektor v kažemo da je jedinicni vektor ako je |v | = 1.

Bazni vektori su jedinicni: |ı| = |1ı+ 0| =√

12 + 02 = 1 i, slicno, || = 1.

Svi vektori oblika v = cos θı+ sin θ su jedinicni,zaista |v | =

√cos2 θ + sin2 θ = 1

* Nula vektor je 0 = 0ı+ 0 = (0,0)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 13 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

* Za vektor v kažemo da je jedinicni vektor ako je |v | = 1.

Bazni vektori su jedinicni: |ı| = |1ı+ 0| =√

12 + 02 = 1 i, slicno, || = 1.

Svi vektori oblika v = cos θı+ sin θ su jedinicni,zaista |v | =

√cos2 θ + sin2 θ = 1

* Nula vektor je 0 = 0ı+ 0 = (0,0)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 13 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

* Za vektor v kažemo da je jedinicni vektor ako je |v | = 1.

Bazni vektori su jedinicni: |ı| = |1ı+ 0| =√

12 + 02 = 1 i, slicno, || = 1.

Svi vektori oblika v = cos θı+ sin θ su jedinicni,zaista |v | =

√cos2 θ + sin2 θ = 1

* Nula vektor je 0 = 0ı+ 0 = (0,0)

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 13 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristupZa svaki ne-nula vektor v 6= 0 važi:

Vektor v|v |

je jedinicni vektor (ovaj proces nazivamo normiranje vektora v ).

Zaista,∣∣∣∣ v|v |

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 1|v |

v∣∣∣∣ = 1

|v ||v | = 1

Primetimo da v|v |

ima isto usmerenje (pravac i smer) kao vektor v , jer je1|v |> 0, samo je intenzitet promenjen i iznosi 1. Zovemo ga i jedinicni

vektor pravca vektora v

Dakle, vektor v možemo zapisati v = |v | v|v |, cime mu isticemo intenzitet i

usmerenje.Primetimo, ako je v = (a,b) onda je

v = |(a,b)|(

a|(a,b)| ,

b|(a,b)|

)=√

a2 + b2︸ ︷︷ ︸intenzitet

(a√

a2 + b2,

b√a2 + b2

)︸ ︷︷ ︸

jedinicni vektor pravca

Primer 7.6 Normirati vektor v = 2ı+ 3, a zatim ga napisati tako da mu seistakne intenzitet i jedinicni vektor pravca.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 14 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristupZa svaki ne-nula vektor v 6= 0 važi:

Vektor v|v |

je jedinicni vektor (ovaj proces nazivamo normiranje vektora v ).

Zaista,∣∣∣∣ v|v |

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 1|v |

v∣∣∣∣ = 1

|v ||v | = 1

Primetimo da v|v |

ima isto usmerenje (pravac i smer) kao vektor v , jer je1|v |> 0, samo je intenzitet promenjen i iznosi 1. Zovemo ga i jedinicni

vektor pravca vektora v

Dakle, vektor v možemo zapisati v = |v | v|v |, cime mu isticemo intenzitet i

usmerenje.Primetimo, ako je v = (a,b) onda je

v = |(a,b)|(

a|(a,b)| ,

b|(a,b)|

)=√

a2 + b2︸ ︷︷ ︸intenzitet

(a√

a2 + b2,

b√a2 + b2

)︸ ︷︷ ︸

jedinicni vektor pravca

Primer 7.6 Normirati vektor v = 2ı+ 3, a zatim ga napisati tako da mu seistakne intenzitet i jedinicni vektor pravca.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 14 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristupZa svaki ne-nula vektor v 6= 0 važi:

Vektor v|v |

je jedinicni vektor (ovaj proces nazivamo normiranje vektora v ).

Zaista,∣∣∣∣ v|v |

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 1|v |

v∣∣∣∣ = 1

|v ||v | = 1

Primetimo da v|v |

ima isto usmerenje (pravac i smer) kao vektor v , jer je1|v |> 0, samo je intenzitet promenjen i iznosi 1. Zovemo ga i jedinicni

vektor pravca vektora v

Dakle, vektor v možemo zapisati v = |v | v|v |, cime mu isticemo intenzitet i

usmerenje.Primetimo, ako je v = (a,b) onda je

v = |(a,b)|(

a|(a,b)| ,

b|(a,b)|

)=√

a2 + b2︸ ︷︷ ︸intenzitet

(a√

a2 + b2,

b√a2 + b2

)︸ ︷︷ ︸

jedinicni vektor pravca

Primer 7.6 Normirati vektor v = 2ı+ 3, a zatim ga napisati tako da mu seistakne intenzitet i jedinicni vektor pravca.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 14 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristupZa svaki ne-nula vektor v 6= 0 važi:

Vektor v|v |

je jedinicni vektor (ovaj proces nazivamo normiranje vektora v ).

Zaista,∣∣∣∣ v|v |

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 1|v |

v∣∣∣∣ = 1

|v ||v | = 1

Primetimo da v|v |

ima isto usmerenje (pravac i smer) kao vektor v , jer je1|v |> 0, samo je intenzitet promenjen i iznosi 1. Zovemo ga i jedinicni

vektor pravca vektora v

Dakle, vektor v možemo zapisati v = |v | v|v |, cime mu isticemo intenzitet i

usmerenje.Primetimo, ako je v = (a,b) onda je

v = |(a,b)|(

a|(a,b)| ,

b|(a,b)|

)=√

a2 + b2︸ ︷︷ ︸intenzitet

(a√

a2 + b2,

b√a2 + b2

)︸ ︷︷ ︸

jedinicni vektor pravca

Primer 7.6 Normirati vektor v = 2ı+ 3, a zatim ga napisati tako da mu seistakne intenzitet i jedinicni vektor pravca.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 14 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristupZa svaki ne-nula vektor v 6= 0 važi:

Vektor v|v |

je jedinicni vektor (ovaj proces nazivamo normiranje vektora v ).

Zaista,∣∣∣∣ v|v |

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 1|v |

v∣∣∣∣ = 1

|v ||v | = 1

Primetimo da v|v |

ima isto usmerenje (pravac i smer) kao vektor v , jer je1|v |> 0, samo je intenzitet promenjen i iznosi 1. Zovemo ga i jedinicni

vektor pravca vektora v

Dakle, vektor v možemo zapisati v = |v | v|v |, cime mu isticemo intenzitet i

usmerenje.Primetimo, ako je v = (a,b) onda je

v = |(a,b)|(

a|(a,b)| ,

b|(a,b)|

)=√

a2 + b2︸ ︷︷ ︸intenzitet

(a√

a2 + b2,

b√a2 + b2

)︸ ︷︷ ︸

jedinicni vektor pravca

Primer 7.6 Normirati vektor v = 2ı+ 3, a zatim ga napisati tako da mu seistakne intenzitet i jedinicni vektor pravca.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 14 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Za vektor v = aı+ b, koeficijent pravca jeba.

Dakle, vektori v = aı+ b i v ′ = a′ı+ b′ su

paralelni ako jeba=

b′

a′

normalni ako jeba= − 1

b′

a′

= −a′

b′

Primer 7.7 Za vektor v = 2ı+ 3 odrediti bar po jedan primer vektora koji muje paralelan i jedan primer vektora koji mu je normalan.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 15 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Za vektor v = aı+ b, koeficijent pravca jeba.

Dakle, vektori v = aı+ b i v ′ = a′ı+ b′ su

paralelni ako jeba=

b′

a′

normalni ako jeba= − 1

b′

a′

= −a′

b′

Primer 7.7 Za vektor v = 2ı+ 3 odrediti bar po jedan primer vektora koji muje paralelan i jedan primer vektora koji mu je normalan.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 15 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Za vektor v = aı+ b, koeficijent pravca jeba.

Dakle, vektori v = aı+ b i v ′ = a′ı+ b′ su

paralelni ako jeba=

b′

a′

normalni ako jeba= − 1

b′

a′

= −a′

b′

Primer 7.7 Za vektor v = 2ı+ 3 odrediti bar po jedan primer vektora koji muje paralelan i jedan primer vektora koji mu je normalan.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 15 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Za vektor v = aı+ b, koeficijent pravca jeba.

Dakle, vektori v = aı+ b i v ′ = a′ı+ b′ su

paralelni ako jeba=

b′

a′

normalni ako jeba= − 1

b′

a′

= −a′

b′

Primer 7.7 Za vektor v = 2ı+ 3 odrediti bar po jedan primer vektora koji muje paralelan i jedan primer vektora koji mu je normalan.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 15 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Za vektor v = aı+ b, koeficijent pravca jeba.

Dakle, vektori v = aı+ b i v ′ = a′ı+ b′ su

paralelni ako jeba=

b′

a′

normalni ako jeba= − 1

b′

a′

= −a′

b′

Primer 7.7 Za vektor v = 2ı+ 3 odrediti bar po jedan primer vektora koji muje paralelan i jedan primer vektora koji mu je normalan.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 15 / 15

Vektori u ravni – algebarski pristup

Za vektor v = aı+ b, koeficijent pravca jeba.

Dakle, vektori v = aı+ b i v ′ = a′ı+ b′ su

paralelni ako jeba=

b′

a′

normalni ako jeba= − 1

b′

a′

= −a′

b′

Primer 7.7 Za vektor v = 2ı+ 3 odrediti bar po jedan primer vektora koji muje paralelan i jedan primer vektora koji mu je normalan.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 7 15 / 15