Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes,...
Transcript of Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes,...
![Page 1: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/1.jpg)
Analiticka geometrija
Predavanje 1
Pravougli (Dekartov, Kartezijanski) koordinatni sistem i(Euklidsko) rastojanje tacaka
Novi Sad, 2019.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 1 / 16
![Page 2: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/2.jpg)
OsnivanjeZa osnivaca Analiticke geometrije, kakvu je danas znamo, se uzima ReneDekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650)francuski filozof, matematicar i naucnikDekart je 1637. godine objavio svoje cuveno filozofsko delo "Rasprava ometodi" ("Discours de la méthode", potpun naziv je Rasprava o metodi kakodobro usmeriti svoj razum i tražiti istinu u naukama) koje ga je ucinilozacetnikom novog filozofskog pravca racionalizma.1 Naime, Dekartovatvrdnja je bila da jedino matematika predstavlja sigurno znanje, te da zato svemora biti zasnovano na njoj - univerzalna nauka/sumnja. Dekart pokušava dacitavom univerzumu pripriše matematicku osnovu, svodeci sva izucavanja naiskljucivo naucna.Tu svoju filozofsku ideju je pokušao da primeni, i time potvrdi, kroz tri dodatkakoja prate ovo delo. Treci deo se naziva "Geometrija" ("La géométrie"), i onje inace najznacajniji medu njima i zaista matematicki opravdano utemeljen.Tu Dekart definiše metod za uvodenje koordinatnog sistema, odnosno,algebre i analize u geometriju... kasnije je ova ideja razvijana do forme u kojojje danas poznajemo
1Racionalizam je filozofski pravac u teoriji saznanja prema kojem u procesu saznanjapresudnu ulogu i znacaj ima razum. Glavno merilo vrednosti saznanja je ljudski razum.Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 2 / 16
![Page 3: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/3.jpg)
OsnivanjeZa osnivaca Analiticke geometrije, kakvu je danas znamo, se uzima ReneDekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650)francuski filozof, matematicar i naucnikDekart je 1637. godine objavio svoje cuveno filozofsko delo "Rasprava ometodi" ("Discours de la méthode", potpun naziv je Rasprava o metodi kakodobro usmeriti svoj razum i tražiti istinu u naukama) koje ga je ucinilozacetnikom novog filozofskog pravca racionalizma.1 Naime, Dekartovatvrdnja je bila da jedino matematika predstavlja sigurno znanje, te da zato svemora biti zasnovano na njoj - univerzalna nauka/sumnja. Dekart pokušava dacitavom univerzumu pripriše matematicku osnovu, svodeci sva izucavanja naiskljucivo naucna.Tu svoju filozofsku ideju je pokušao da primeni, i time potvrdi, kroz tri dodatkakoja prate ovo delo. Treci deo se naziva "Geometrija" ("La géométrie"), i onje inace najznacajniji medu njima i zaista matematicki opravdano utemeljen.Tu Dekart definiše metod za uvodenje koordinatnog sistema, odnosno,algebre i analize u geometriju... kasnije je ova ideja razvijana do forme u kojojje danas poznajemo
1Racionalizam je filozofski pravac u teoriji saznanja prema kojem u procesu saznanjapresudnu ulogu i znacaj ima razum. Glavno merilo vrednosti saznanja je ljudski razum.Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 2 / 16
![Page 4: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/4.jpg)
OsnivanjeZa osnivaca Analiticke geometrije, kakvu je danas znamo, se uzima ReneDekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650)francuski filozof, matematicar i naucnikDekart je 1637. godine objavio svoje cuveno filozofsko delo "Rasprava ometodi" ("Discours de la méthode", potpun naziv je Rasprava o metodi kakodobro usmeriti svoj razum i tražiti istinu u naukama) koje ga je ucinilozacetnikom novog filozofskog pravca racionalizma.1 Naime, Dekartovatvrdnja je bila da jedino matematika predstavlja sigurno znanje, te da zato svemora biti zasnovano na njoj - univerzalna nauka/sumnja. Dekart pokušava dacitavom univerzumu pripriše matematicku osnovu, svodeci sva izucavanja naiskljucivo naucna.Tu svoju filozofsku ideju je pokušao da primeni, i time potvrdi, kroz tri dodatkakoja prate ovo delo. Treci deo se naziva "Geometrija" ("La géométrie"), i onje inace najznacajniji medu njima i zaista matematicki opravdano utemeljen.Tu Dekart definiše metod za uvodenje koordinatnog sistema, odnosno,algebre i analize u geometriju... kasnije je ova ideja razvijana do forme u kojojje danas poznajemo
1Racionalizam je filozofski pravac u teoriji saznanja prema kojem u procesu saznanjapresudnu ulogu i znacaj ima razum. Glavno merilo vrednosti saznanja je ljudski razum.Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 2 / 16
![Page 5: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/5.jpg)
Osnovna ideja analiticke geometrije
tacke u ravni→ uredeni parovi (x , y)
geometrijski objekti → algebarske (analiticke)(figure) jednacine f (x , y) = 0 ili nejednacine
Dakle, geometrijska figura postaje beskonacan skup rešenja (x , y)jednacine f (x , y) = 0.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 3 / 16
![Page 6: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/6.jpg)
Osnovna ideja analiticke geometrije
tacke u ravni→ uredeni parovi (x , y)
geometrijski objekti → algebarske (analiticke)(figure) jednacine f (x , y) = 0 ili nejednacine
Dakle, geometrijska figura postaje beskonacan skup rešenja (x , y)jednacine f (x , y) = 0.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 3 / 16
![Page 7: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/7.jpg)
Osnovna ideja analiticke geometrije
tacke u ravni→ uredeni parovi (x , y)
geometrijski objekti → algebarske (analiticke)(figure) jednacine f (x , y) = 0 ili nejednacine
Dakle, geometrijska figura postaje beskonacan skup rešenja (x , y)jednacine f (x , y) = 0.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 3 / 16
![Page 8: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/8.jpg)
Osnovna ideja analiticke geometrije
tacke u ravni→ uredeni parovi (x , y)
geometrijski objekti → algebarske (analiticke)(figure) jednacine f (x , y) = 0 ili nejednacine
Dakle, geometrijska figura postaje beskonacan skup rešenja (x , y)jednacine f (x , y) = 0.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 3 / 16
![Page 9: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/9.jpg)
Osnovna ideja analiticke geometrije
tacke u ravni→ uredeni parovi (x , y)
geometrijski objekti → algebarske (analiticke)(figure) jednacine f (x , y) = 0 ili nejednacine
Dakle, geometrijska figura postaje beskonacan skup rešenja (x , y)jednacine f (x , y) = 0.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 3 / 16
![Page 10: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/10.jpg)
Osnovna ideja analiticke geometrije
tacke u ravni→ uredeni parovi (x , y)
geometrijski objekti → algebarske (analiticke)(figure) jednacine f (x , y) = 0 ili nejednacine
Dakle, geometrijska figura postaje beskonacan skup rešenja (x , y)jednacine f (x , y) = 0.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 3 / 16
![Page 11: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/11.jpg)
Osnovna ideja analiticke geometrije
tacke u ravni→ uredeni parovi (x , y)
geometrijski objekti → algebarske (analiticke)(figure) jednacine f (x , y) = 0 ili nejednacine
Dakle, geometrijska figura postaje beskonacan skup rešenja (x , y)jednacine f (x , y) = 0.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 3 / 16
![Page 12: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/12.jpg)
Osnovna ideja analiticke geometrije
tacke u ravni→ uredeni parovi (x , y)
geometrijski objekti → algebarske (analiticke)(figure) jednacine f (x , y) = 0 ili nejednacine
Dakle, geometrijska figura postaje beskonacan skup rešenja (x , y)jednacine f (x , y) = 0.Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 3 / 16
![Page 13: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/13.jpg)
Osnovna ideja analiticke geometrije
tacke u ravni→ uredeni parovi (x , y)
geometrijski objekti → algebarske (analiticke)(figure) jednacine f (x , y) = 0 ili nejednacine
Dakle, geometrijska figura postaje beskonacan skup rešenja (x , y)jednacine f (x , y) = 0.Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 3 / 16
![Page 14: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/14.jpg)
Literatura
Thomas, G., Finney, R.: Calculus and Analytic Geometry. 9th edition. Addison–Wesley, Reading, 1996.
Gelfand, I. M., Glagoleva, E. G., Kirillov, A. A.: The Method of Coordinates. Birkhäuser, Boston, 1990.
Stojakovic, Z., Herceg, D.: Linearna algebra i analiticka geometrija. Univerzitet u Novom Sadu, 1992.
Blažic, N., Bokan, N., Lucic, Z., Rakic, Z.: Analiticka geometrija. Matematicki fakultet, Beograd, 2003.
Jojic, D., Paunic, -D.: Analiticka geometrija. PMF, Banja Luka, 2016.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 4 / 16
![Page 15: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/15.jpg)
Pravougli koordinatni sistem na pravoj
tacka koordinataT 7−→ x ∈ R
pišemo T (x)
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 5 / 16
![Page 16: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/16.jpg)
Pravougli koordinatni sistem na pravoj
tacka koordinataT 7−→ x ∈ R
pišemo T (x)
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 5 / 16
![Page 17: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/17.jpg)
Pravougli koordinatni sistem na pravoj
tacka koordinataT 7−→ x ∈ R
pišemo T (x)
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 5 / 16
![Page 18: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/18.jpg)
Pravougli koordinatni sistem na pravoj
tacka koordinataT 7−→ x ∈ R
pišemo T (x)
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 5 / 16
![Page 19: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/19.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka na pravoj
Rastojanje tacke T (x) od koordinatnog pocetka O(0)
d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√
x2
Rastojanje tacke A(x1) od tacke B(x2)
d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 6 / 16
![Page 20: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/20.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka na pravoj
Rastojanje tacke T (x) od koordinatnog pocetka O(0)
d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√
x2
Rastojanje tacke A(x1) od tacke B(x2)
d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 6 / 16
![Page 21: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/21.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka na pravoj
Rastojanje tacke T (x) od koordinatnog pocetka O(0)
d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√
x2
Rastojanje tacke A(x1) od tacke B(x2)
d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 6 / 16
![Page 22: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/22.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka na pravoj
Rastojanje tacke T (x) od koordinatnog pocetka O(0)
d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√
x2
Rastojanje tacke A(x1) od tacke B(x2)
d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 6 / 16
![Page 23: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/23.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka na pravoj
Rastojanje tacke T (x) od koordinatnog pocetka O(0)
d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√
x2
Rastojanje tacke A(x1) od tacke B(x2)
d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 6 / 16
![Page 24: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/24.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka na pravoj
Rastojanje tacke T (x) od koordinatnog pocetka O(0)
d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√
x2
Rastojanje tacke A(x1) od tacke B(x2)
d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 6 / 16
![Page 25: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/25.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka na pravoj
Rastojanje tacke T (x) od koordinatnog pocetka O(0)
d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√
x2
Rastojanje tacke A(x1) od tacke B(x2)
d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 6 / 16
![Page 26: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/26.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka na pravojRastojanje tacke T (x) od koordinatnog pocetka O(0)
d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√
x2
Rastojanje tacke A(x1) od tacke B(x2)
d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 6 / 16
![Page 27: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/27.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka na pravojRastojanje tacke T (x) od koordinatnog pocetka O(0)
d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√
x2
Rastojanje tacke A(x1) od tacke B(x2)
d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 6 / 16
![Page 28: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/28.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka na pravojRastojanje tacke T (x) od koordinatnog pocetka O(0)
d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√
x2
Rastojanje tacke A(x1) od tacke B(x2)
d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 6 / 16
![Page 29: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/29.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka na pravojRastojanje tacke T (x) od koordinatnog pocetka O(0)
d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√
x2
Rastojanje tacke A(x1) od tacke B(x2)
d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 6 / 16
![Page 30: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/30.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka na pravojRastojanje tacke T (x) od koordinatnog pocetka O(0)
d(T ,O) = |x |= |x − 0| =√
x2
Rastojanje tacke A(x1) od tacke B(x2)
d(A,B) = |x2 − x1|= | − (x1 − x2)| = |x1 − x2| =√(x1 − x2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 6 / 16
![Page 31: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/31.jpg)
Primer 1.1 Odrediti skup tacaka T (x) na pravoj za koje važi:(a) x > 2 (otvorena poluprava)(b) x ≤ −2 (zatvorena poluprava)(c) da se nalaze na rastojanju 2 od koordinatnog pocetka O
(sfera sa centom u O poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2
(d) |x | < 2 (otvorena lopta na pravoj)(e) |x | ≥ 2 (spoljašnjost otvorene lopte na pravoj)(f) da su od tacke C(1) na rastojanju koje je manje ili jednako 2
(zatvorena lopta sa centrom u C poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 7 / 16
![Page 32: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/32.jpg)
Primer 1.1 Odrediti skup tacaka T (x) na pravoj za koje važi:(a) x > 2 (otvorena poluprava)(b) x ≤ −2 (zatvorena poluprava)(c) da se nalaze na rastojanju 2 od koordinatnog pocetka O
(sfera sa centom u O poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2
(d) |x | < 2 (otvorena lopta na pravoj)(e) |x | ≥ 2 (spoljašnjost otvorene lopte na pravoj)(f) da su od tacke C(1) na rastojanju koje je manje ili jednako 2
(zatvorena lopta sa centrom u C poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 7 / 16
![Page 33: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/33.jpg)
Primer 1.1 Odrediti skup tacaka T (x) na pravoj za koje važi:(a) x > 2 (otvorena poluprava)(b) x ≤ −2 (zatvorena poluprava)(c) da se nalaze na rastojanju 2 od koordinatnog pocetka O
(sfera sa centom u O poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2
(d) |x | < 2 (otvorena lopta na pravoj)(e) |x | ≥ 2 (spoljašnjost otvorene lopte na pravoj)(f) da su od tacke C(1) na rastojanju koje je manje ili jednako 2
(zatvorena lopta sa centrom u C poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 7 / 16
![Page 34: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/34.jpg)
Primer 1.1 Odrediti skup tacaka T (x) na pravoj za koje važi:(a) x > 2 (otvorena poluprava)(b) x ≤ −2 (zatvorena poluprava)(c) da se nalaze na rastojanju 2 od koordinatnog pocetka O
(sfera sa centom u O poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2
(d) |x | < 2 (otvorena lopta na pravoj)(e) |x | ≥ 2 (spoljašnjost otvorene lopte na pravoj)(f) da su od tacke C(1) na rastojanju koje je manje ili jednako 2
(zatvorena lopta sa centrom u C poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 7 / 16
![Page 35: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/35.jpg)
Primer 1.1 Odrediti skup tacaka T (x) na pravoj za koje važi:(a) x > 2 (otvorena poluprava)(b) x ≤ −2 (zatvorena poluprava)(c) da se nalaze na rastojanju 2 od koordinatnog pocetka O
(sfera sa centom u O poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2
(d) |x | < 2 (otvorena lopta na pravoj)(e) |x | ≥ 2 (spoljašnjost otvorene lopte na pravoj)(f) da su od tacke C(1) na rastojanju koje je manje ili jednako 2
(zatvorena lopta sa centrom u C poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 7 / 16
![Page 36: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/36.jpg)
Primer 1.1 Odrediti skup tacaka T (x) na pravoj za koje važi:(a) x > 2 (otvorena poluprava)(b) x ≤ −2 (zatvorena poluprava)(c) da se nalaze na rastojanju 2 od koordinatnog pocetka O
(sfera sa centom u O poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2
(d) |x | < 2 (otvorena lopta na pravoj)(e) |x | ≥ 2 (spoljašnjost otvorene lopte na pravoj)(f) da su od tacke C(1) na rastojanju koje je manje ili jednako 2
(zatvorena lopta sa centrom u C poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 7 / 16
![Page 37: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/37.jpg)
Primer 1.1 Odrediti skup tacaka T (x) na pravoj za koje važi:(a) x > 2 (otvorena poluprava)(b) x ≤ −2 (zatvorena poluprava)(c) da se nalaze na rastojanju 2 od koordinatnog pocetka O
(sfera sa centom u O poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2
(d) |x | < 2 (otvorena lopta na pravoj)(e) |x | ≥ 2 (spoljašnjost otvorene lopte na pravoj)(f) da su od tacke C(1) na rastojanju koje je manje ili jednako 2
(zatvorena lopta sa centrom u C poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 7 / 16
![Page 38: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/38.jpg)
Primer 1.1 Odrediti skup tacaka T (x) na pravoj za koje važi:(a) x > 2 (otvorena poluprava)(b) x ≤ −2 (zatvorena poluprava)(c) da se nalaze na rastojanju 2 od koordinatnog pocetka O
(sfera sa centom u O poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2
(d) |x | < 2 (otvorena lopta na pravoj)(e) |x | ≥ 2 (spoljašnjost otvorene lopte na pravoj)(f) da su od tacke C(1) na rastojanju koje je manje ili jednako 2
(zatvorena lopta sa centrom u C poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 7 / 16
![Page 39: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/39.jpg)
Primer 1.1 Odrediti skup tacaka T (x) na pravoj za koje važi:(a) x > 2 (otvorena poluprava)(b) x ≤ −2 (zatvorena poluprava)(c) da se nalaze na rastojanju 2 od koordinatnog pocetka O
(sfera sa centom u O poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2
(d) |x | < 2 (otvorena lopta na pravoj)(e) |x | ≥ 2 (spoljašnjost otvorene lopte na pravoj)(f) da su od tacke C(1) na rastojanju koje je manje ili jednako 2
(zatvorena lopta sa centrom u C poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 7 / 16
![Page 40: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/40.jpg)
Primer 1.1 Odrediti skup tacaka T (x) na pravoj za koje važi:(a) x > 2 (otvorena poluprava)(b) x ≤ −2 (zatvorena poluprava)(c) da se nalaze na rastojanju 2 od koordinatnog pocetka O
(sfera sa centom u O poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2
(d) |x | < 2 (otvorena lopta na pravoj)(e) |x | ≥ 2 (spoljašnjost otvorene lopte na pravoj)(f) da su od tacke C(1) na rastojanju koje je manje ili jednako 2
(zatvorena lopta sa centrom u C poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 7 / 16
![Page 41: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/41.jpg)
Primer 1.1 Odrediti skup tacaka T (x) na pravoj za koje važi:(a) x > 2 (otvorena poluprava)(b) x ≤ −2 (zatvorena poluprava)(c) da se nalaze na rastojanju 2 od koordinatnog pocetka O
(sfera sa centom u O poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2
(d) |x | < 2 (otvorena lopta na pravoj)(e) |x | ≥ 2 (spoljašnjost otvorene lopte na pravoj)(f) da su od tacke C(1) na rastojanju koje je manje ili jednako 2
(zatvorena lopta sa centrom u C poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 7 / 16
![Page 42: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/42.jpg)
Primer 1.1 Odrediti skup tacaka T (x) na pravoj za koje važi:(a) x > 2 (otvorena poluprava)(b) x ≤ −2 (zatvorena poluprava)(c) da se nalaze na rastojanju 2 od koordinatnog pocetka O
(sfera sa centom u O poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,O) = 2 ⇔ |x | = 2
(d) |x | < 2 (otvorena lopta na pravoj)(e) |x | ≥ 2 (spoljašnjost otvorene lopte na pravoj)(f) da su od tacke C(1) na rastojanju koje je manje ili jednako 2
(zatvorena lopta sa centrom u C poluprecnika 2 na pravoj)
d(T ,C) ≤ 2 ⇔ |x − 1| ≤ 2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 7 / 16
![Page 43: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/43.jpg)
Pravougli koordinatni sistem u ravni
tacka koordinataT 7−→ (x , y) ∈ R2
pišemo T (x , y)
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 8 / 16
![Page 44: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/44.jpg)
Pravougli koordinatni sistem u ravni
tacka koordinataT 7−→ (x , y) ∈ R2
pišemo T (x , y)
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 8 / 16
![Page 45: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/45.jpg)
Pravougli koordinatni sistem u ravni
tacka koordinataT 7−→ (x , y) ∈ R2
pišemo T (x , y)
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 8 / 16
![Page 46: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/46.jpg)
Pravougli koordinatni sistem u ravni
tacka koordinataT 7−→ (x , y) ∈ R2
pišemo T (x , y)
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 8 / 16
![Page 47: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/47.jpg)
Pravougli koordinatni sistem u ravni
tacka koordinataT 7−→ (x , y) ∈ R2
pišemo T (x , y)
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 8 / 16
![Page 48: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/48.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka u ravni
Rastojanje tacke T (x , y) od koordinatnog pocetka O(0,0)
d(T ,O)=√|x |2 + |y |2 =
√x2 + y2, Pitagorina teorema
Rastojanje tacke A(x1, y1) od tacke B(x2, y2)
d(A,B) =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 9 / 16
![Page 49: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/49.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka u ravniRastojanje tacke T (x , y) od koordinatnog pocetka O(0,0)
d(T ,O)=√|x |2 + |y |2 =
√x2 + y2, Pitagorina teorema
Rastojanje tacke A(x1, y1) od tacke B(x2, y2)
d(A,B) =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 9 / 16
![Page 50: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/50.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka u ravniRastojanje tacke T (x , y) od koordinatnog pocetka O(0,0)
d(T ,O)=√|x |2 + |y |2 =
√x2 + y2, Pitagorina teorema
Rastojanje tacke A(x1, y1) od tacke B(x2, y2)
d(A,B) =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 9 / 16
![Page 51: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/51.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka u ravniRastojanje tacke T (x , y) od koordinatnog pocetka O(0,0)
d(T ,O)=√|x |2 + |y |2 =
√x2 + y2, Pitagorina teorema
Rastojanje tacke A(x1, y1) od tacke B(x2, y2)
d(A,B) =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 9 / 16
![Page 52: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/52.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka u ravniRastojanje tacke T (x , y) od koordinatnog pocetka O(0,0)
d(T ,O)=√|x |2 + |y |2 =
√x2 + y2, Pitagorina teorema
Rastojanje tacke A(x1, y1) od tacke B(x2, y2)
d(A,B) =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 9 / 16
![Page 53: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/53.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka u ravniRastojanje tacke T (x , y) od koordinatnog pocetka O(0,0)
d(T ,O)=√|x |2 + |y |2 =
√x2 + y2, Pitagorina teorema
Rastojanje tacke A(x1, y1) od tacke B(x2, y2)
d(A,B) =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 9 / 16
![Page 54: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/54.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka u ravniRastojanje tacke T (x , y) od koordinatnog pocetka O(0,0)
d(T ,O)=√|x |2 + |y |2 =
√x2 + y2, Pitagorina teorema
Rastojanje tacke A(x1, y1) od tacke B(x2, y2)
d(A,B) =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 9 / 16
![Page 55: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/55.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka u ravniRastojanje tacke T (x , y) od koordinatnog pocetka O(0,0)
d(T ,O)=√|x |2 + |y |2 =
√x2 + y2, Pitagorina teorema
Rastojanje tacke A(x1, y1) od tacke B(x2, y2)
d(A,B) =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 9 / 16
![Page 56: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/56.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka u ravniRastojanje tacke T (x , y) od koordinatnog pocetka O(0,0)
d(T ,O)=√|x |2 + |y |2 =
√x2 + y2, Pitagorina teorema
Rastojanje tacke A(x1, y1) od tacke B(x2, y2)
d(A,B) =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 9 / 16
![Page 57: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/57.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka u ravniRastojanje tacke T (x , y) od koordinatnog pocetka O(0,0)
d(T ,O)=√|x |2 + |y |2 =
√x2 + y2, Pitagorina teorema
Rastojanje tacke A(x1, y1) od tacke B(x2, y2)
d(A,B) =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 9 / 16
![Page 58: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/58.jpg)
Primer 1.2 Odrediti:(a) rastojanja d(A,O), d(B,O) i d(A,B), ako je O(0,0) koordinatni
pocetak, A(3,−4) i B(4,2)(b) skup tacaka T (x , y) koje se od koordinatnog pocetka O(0,0)
nalaze na rastojanju r , r > 0(sfera sa centrom u O poluprecnika r u ravni){
T (x , y)∣∣∣ d(T ,O) =
√x2 + y2 = r ⇔ x2 + y2 = r2
}(c) nejednacinu kojom se u ravni opisuje otvorena, odnosno
zatvorena lopta sa centrom u O(0,0) poluprecnika r , r > 0otvorena lopta u ravni je skup tacaka{
T (x , y)∣∣ d(T ,O) =
√x2 + y2 < r
}, odnosno x2 + y2 < r2
zatvorena lopta u ravni je skup tacaka{T (x , y)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 ≤ r}, odnosno x2 + y2 ≤ r2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 10 / 16
![Page 59: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/59.jpg)
Primer 1.2 Odrediti:(a) rastojanja d(A,O), d(B,O) i d(A,B), ako je O(0,0) koordinatni
pocetak, A(3,−4) i B(4,2)(b) skup tacaka T (x , y) koje se od koordinatnog pocetka O(0,0)
nalaze na rastojanju r , r > 0(sfera sa centrom u O poluprecnika r u ravni){
T (x , y)∣∣∣ d(T ,O) =
√x2 + y2 = r ⇔ x2 + y2 = r2
}(c) nejednacinu kojom se u ravni opisuje otvorena, odnosno
zatvorena lopta sa centrom u O(0,0) poluprecnika r , r > 0otvorena lopta u ravni je skup tacaka{
T (x , y)∣∣ d(T ,O) =
√x2 + y2 < r
}, odnosno x2 + y2 < r2
zatvorena lopta u ravni je skup tacaka{T (x , y)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 ≤ r}, odnosno x2 + y2 ≤ r2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 10 / 16
![Page 60: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/60.jpg)
Primer 1.2 Odrediti:(a) rastojanja d(A,O), d(B,O) i d(A,B), ako je O(0,0) koordinatni
pocetak, A(3,−4) i B(4,2)(b) skup tacaka T (x , y) koje se od koordinatnog pocetka O(0,0)
nalaze na rastojanju r , r > 0(sfera sa centrom u O poluprecnika r u ravni){
T (x , y)∣∣∣ d(T ,O) =
√x2 + y2 = r ⇔ x2 + y2 = r2
}(c) nejednacinu kojom se u ravni opisuje otvorena, odnosno
zatvorena lopta sa centrom u O(0,0) poluprecnika r , r > 0otvorena lopta u ravni je skup tacaka{
T (x , y)∣∣ d(T ,O) =
√x2 + y2 < r
}, odnosno x2 + y2 < r2
zatvorena lopta u ravni je skup tacaka{T (x , y)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 ≤ r}, odnosno x2 + y2 ≤ r2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 10 / 16
![Page 61: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/61.jpg)
Primer 1.2 Odrediti:(a) rastojanja d(A,O), d(B,O) i d(A,B), ako je O(0,0) koordinatni
pocetak, A(3,−4) i B(4,2)(b) skup tacaka T (x , y) koje se od koordinatnog pocetka O(0,0)
nalaze na rastojanju r , r > 0(sfera sa centrom u O poluprecnika r u ravni){
T (x , y)∣∣∣ d(T ,O) =
√x2 + y2 = r ⇔ x2 + y2 = r2
}(c) nejednacinu kojom se u ravni opisuje otvorena, odnosno
zatvorena lopta sa centrom u O(0,0) poluprecnika r , r > 0otvorena lopta u ravni je skup tacaka{
T (x , y)∣∣ d(T ,O) =
√x2 + y2 < r
}, odnosno x2 + y2 < r2
zatvorena lopta u ravni je skup tacaka{T (x , y)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 ≤ r}, odnosno x2 + y2 ≤ r2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 10 / 16
![Page 62: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/62.jpg)
Primer 1.2 Odrediti:(a) rastojanja d(A,O), d(B,O) i d(A,B), ako je O(0,0) koordinatni
pocetak, A(3,−4) i B(4,2)(b) skup tacaka T (x , y) koje se od koordinatnog pocetka O(0,0)
nalaze na rastojanju r , r > 0(sfera sa centrom u O poluprecnika r u ravni){
T (x , y)∣∣∣ d(T ,O) =
√x2 + y2 = r ⇔ x2 + y2 = r2
}(c) nejednacinu kojom se u ravni opisuje otvorena, odnosno
zatvorena lopta sa centrom u O(0,0) poluprecnika r , r > 0otvorena lopta u ravni je skup tacaka{
T (x , y)∣∣ d(T ,O) =
√x2 + y2 < r
}, odnosno x2 + y2 < r2
zatvorena lopta u ravni je skup tacaka{T (x , y)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 ≤ r}, odnosno x2 + y2 ≤ r2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 10 / 16
![Page 63: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/63.jpg)
Primer 1.2 Odrediti:(a) rastojanja d(A,O), d(B,O) i d(A,B), ako je O(0,0) koordinatni
pocetak, A(3,−4) i B(4,2)(b) skup tacaka T (x , y) koje se od koordinatnog pocetka O(0,0)
nalaze na rastojanju r , r > 0(sfera sa centrom u O poluprecnika r u ravni){
T (x , y)∣∣∣ d(T ,O) =
√x2 + y2 = r ⇔ x2 + y2 = r2
}(c) nejednacinu kojom se u ravni opisuje otvorena, odnosno
zatvorena lopta sa centrom u O(0,0) poluprecnika r , r > 0otvorena lopta u ravni je skup tacaka{
T (x , y)∣∣ d(T ,O) =
√x2 + y2 < r
}, odnosno x2 + y2 < r2
zatvorena lopta u ravni je skup tacaka{T (x , y)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 ≤ r}, odnosno x2 + y2 ≤ r2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 10 / 16
![Page 64: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/64.jpg)
(d) jednacinu sfere sa centrom u C(a,b) poluprecnika r , r > 0skup tacaka
{T (x , y)
∣∣ d(T ,C) =√(x − a)2 + (y − b)2 = r
},
odnosno (x − a)2 + (y − b)2 = r2
(e) jednacinu u zadatku pod (d) izvesti primenom translacije(f) skup tacaka
{T (x , y)
∣∣ x = y}
i{
T (x , y)∣∣ |x | = |y |}
(g) skup tacaka{
T (x , y)∣∣ x2 + y2 = −6
}= ∅
Napomena: Nema svaka algebarska jednacina (ili nejednacina)klasicnu geometrijsku interpretaciju; ponekad, skup tacaka kojezadovoljavaju datu jednacinu bude nekoliko geometrijskih objekata ilije, pak, prazan skup.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 11 / 16
![Page 65: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/65.jpg)
(d) jednacinu sfere sa centrom u C(a,b) poluprecnika r , r > 0skup tacaka
{T (x , y)
∣∣ d(T ,C) =√
(x − a)2 + (y − b)2 = r},
odnosno (x − a)2 + (y − b)2 = r2
(e) jednacinu u zadatku pod (d) izvesti primenom translacije(f) skup tacaka
{T (x , y)
∣∣ x = y}
i{
T (x , y)∣∣ |x | = |y |}
(g) skup tacaka{
T (x , y)∣∣ x2 + y2 = −6
}= ∅
Napomena: Nema svaka algebarska jednacina (ili nejednacina)klasicnu geometrijsku interpretaciju; ponekad, skup tacaka kojezadovoljavaju datu jednacinu bude nekoliko geometrijskih objekata ilije, pak, prazan skup.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 11 / 16
![Page 66: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/66.jpg)
(d) jednacinu sfere sa centrom u C(a,b) poluprecnika r , r > 0skup tacaka
{T (x , y)
∣∣ d(T ,C) =√
(x − a)2 + (y − b)2 = r},
odnosno (x − a)2 + (y − b)2 = r2
(e) jednacinu u zadatku pod (d) izvesti primenom translacije(f) skup tacaka
{T (x , y)
∣∣ x = y}
i{
T (x , y)∣∣ |x | = |y |}
(g) skup tacaka{
T (x , y)∣∣ x2 + y2 = −6
}= ∅
Napomena: Nema svaka algebarska jednacina (ili nejednacina)klasicnu geometrijsku interpretaciju; ponekad, skup tacaka kojezadovoljavaju datu jednacinu bude nekoliko geometrijskih objekata ilije, pak, prazan skup.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 11 / 16
![Page 67: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/67.jpg)
(d) jednacinu sfere sa centrom u C(a,b) poluprecnika r , r > 0skup tacaka
{T (x , y)
∣∣ d(T ,C) =√
(x − a)2 + (y − b)2 = r},
odnosno (x − a)2 + (y − b)2 = r2
(e) jednacinu u zadatku pod (d) izvesti primenom translacije(f) skup tacaka
{T (x , y)
∣∣ x = y}
i{
T (x , y)∣∣ |x | = |y |}
(g) skup tacaka{
T (x , y)∣∣ x2 + y2 = −6
}= ∅
Napomena: Nema svaka algebarska jednacina (ili nejednacina)klasicnu geometrijsku interpretaciju; ponekad, skup tacaka kojezadovoljavaju datu jednacinu bude nekoliko geometrijskih objekata ilije, pak, prazan skup.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 11 / 16
![Page 68: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/68.jpg)
(d) jednacinu sfere sa centrom u C(a,b) poluprecnika r , r > 0skup tacaka
{T (x , y)
∣∣ d(T ,C) =√
(x − a)2 + (y − b)2 = r},
odnosno (x − a)2 + (y − b)2 = r2
(e) jednacinu u zadatku pod (d) izvesti primenom translacije(f) skup tacaka
{T (x , y)
∣∣ x = y}
i{
T (x , y)∣∣ |x | = |y |}
(g) skup tacaka{
T (x , y)∣∣ x2 + y2 = −6
}= ∅
Napomena: Nema svaka algebarska jednacina (ili nejednacina)klasicnu geometrijsku interpretaciju; ponekad, skup tacaka kojezadovoljavaju datu jednacinu bude nekoliko geometrijskih objekata ilije, pak, prazan skup.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 11 / 16
![Page 69: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/69.jpg)
(d) jednacinu sfere sa centrom u C(a,b) poluprecnika r , r > 0skup tacaka
{T (x , y)
∣∣ d(T ,C) =√
(x − a)2 + (y − b)2 = r},
odnosno (x − a)2 + (y − b)2 = r2
(e) jednacinu u zadatku pod (d) izvesti primenom translacije(f) skup tacaka
{T (x , y)
∣∣ x = y}
i{
T (x , y)∣∣ |x | = |y |}
(g) skup tacaka{
T (x , y)∣∣ x2 + y2 = −6
}= ∅
Napomena: Nema svaka algebarska jednacina (ili nejednacina)klasicnu geometrijsku interpretaciju; ponekad, skup tacaka kojezadovoljavaju datu jednacinu bude nekoliko geometrijskih objekata ilije, pak, prazan skup.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 11 / 16
![Page 70: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/70.jpg)
(d) jednacinu sfere sa centrom u C(a,b) poluprecnika r , r > 0skup tacaka
{T (x , y)
∣∣ d(T ,C) =√
(x − a)2 + (y − b)2 = r},
odnosno (x − a)2 + (y − b)2 = r2
(e) jednacinu u zadatku pod (d) izvesti primenom translacije(f) skup tacaka
{T (x , y)
∣∣ x = y}
i{
T (x , y)∣∣ |x | = |y |}
(g) skup tacaka{
T (x , y)∣∣ x2 + y2 = −6
}= ∅
Napomena: Nema svaka algebarska jednacina (ili nejednacina)klasicnu geometrijsku interpretaciju; ponekad, skup tacaka kojezadovoljavaju datu jednacinu bude nekoliko geometrijskih objekata ilije, pak, prazan skup.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 11 / 16
![Page 71: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/71.jpg)
Pravougli koordinatni sistem u prostoru
tacka koordinataT 7−→ (x , y , z) ∈ R3
pišemo T (x , y , z)
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 12 / 16
![Page 72: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/72.jpg)
Pravougli koordinatni sistem u prostoru
tacka koordinataT 7−→ (x , y , z) ∈ R3
pišemo T (x , y , z)
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 12 / 16
![Page 73: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/73.jpg)
Pravougli koordinatni sistem u prostoru
tacka koordinataT 7−→ (x , y , z) ∈ R3
pišemo T (x , y , z)
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 12 / 16
![Page 74: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/74.jpg)
Pravougli koordinatni sistem u prostoru
tacka koordinataT 7−→ (x , y , z) ∈ R3
pišemo T (x , y , z)
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 12 / 16
![Page 75: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/75.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka u prostoruRastojanje tacke T (x , y , z) od koordinatnog pocetka O(0,0,0)
d(T ,O) =√
d2 + z2 =√
x2 + y2 + z2
Rastojanje tacke A(x1, y1, z1) od tacke B(x2, y2, z2)
d(A,B) =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 13 / 16
![Page 76: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/76.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka u prostoruRastojanje tacke T (x , y , z) od koordinatnog pocetka O(0,0,0)
d(T ,O) =√
d2 + z2 =√
x2 + y2 + z2
Rastojanje tacke A(x1, y1, z1) od tacke B(x2, y2, z2)
d(A,B) =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 13 / 16
![Page 77: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/77.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka u prostoruRastojanje tacke T (x , y , z) od koordinatnog pocetka O(0,0,0)
d(T ,O) =√
d2 + z2 =√
x2 + y2 + z2
Rastojanje tacke A(x1, y1, z1) od tacke B(x2, y2, z2)
d(A,B) =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 13 / 16
![Page 78: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/78.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka u prostoruRastojanje tacke T (x , y , z) od koordinatnog pocetka O(0,0,0)
d(T ,O) =√
d2 + z2 =√
x2 + y2 + z2
Rastojanje tacke A(x1, y1, z1) od tacke B(x2, y2, z2)
d(A,B) =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 13 / 16
![Page 79: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/79.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka u prostoruRastojanje tacke T (x , y , z) od koordinatnog pocetka O(0,0,0)
d(T ,O) =√
d2 + z2 =√
x2 + y2 + z2
Rastojanje tacke A(x1, y1, z1) od tacke B(x2, y2, z2)
d(A,B) =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 13 / 16
![Page 80: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/80.jpg)
(Euklidsko) rastojanje tacaka u prostoruRastojanje tacke T (x , y , z) od koordinatnog pocetka O(0,0,0)
d(T ,O) =√
d2 + z2 =√
x2 + y2 + z2
Rastojanje tacke A(x1, y1, z1) od tacke B(x2, y2, z2)
d(A,B) =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 13 / 16
![Page 81: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/81.jpg)
Primer 1.3 Odrediti:(a) rastojanja d(A,O), d(B,O) i d(A,B), ako je O(0,0,0) koordinatni
pocetak, A(3,−2,3) i B(4,5,1); i nacrtati date tacke(b) jednacinu (nejednacinu)
sfera sa centrom u O poluprecnika r , r > 0 u prostoru{T (x , y , z)
∣∣d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2}
otvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 < r}, odnosno
x2 + y2 + z2 < r2
zatvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 ≤ r}, odnosno
x2 + y2 + z2 ≤ r2
sfera sa centrom u C(a,b, c) poluprecnika r , r > 0(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2
(c) geometrijski objekat u prostoru opisan jednacinomx2 + y2 = r2, r > 0.dobijamo cilindar duž z−ose
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 14 / 16
![Page 82: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/82.jpg)
Primer 1.3 Odrediti:(a) rastojanja d(A,O), d(B,O) i d(A,B), ako je O(0,0,0) koordinatni
pocetak, A(3,−2,3) i B(4,5,1); i nacrtati date tacke(b) jednacinu (nejednacinu)
sfera sa centrom u O poluprecnika r , r > 0 u prostoru{T (x , y , z)
∣∣d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2}
otvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 < r}, odnosno
x2 + y2 + z2 < r2
zatvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 ≤ r}, odnosno
x2 + y2 + z2 ≤ r2
sfera sa centrom u C(a,b, c) poluprecnika r , r > 0(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2
(c) geometrijski objekat u prostoru opisan jednacinomx2 + y2 = r2, r > 0.dobijamo cilindar duž z−ose
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 14 / 16
![Page 83: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/83.jpg)
Primer 1.3 Odrediti:(a) rastojanja d(A,O), d(B,O) i d(A,B), ako je O(0,0,0) koordinatni
pocetak, A(3,−2,3) i B(4,5,1); i nacrtati date tacke(b) jednacinu (nejednacinu)
sfera sa centrom u O poluprecnika r , r > 0 u prostoru{T (x , y , z)
∣∣d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2}
otvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 < r}, odnosno
x2 + y2 + z2 < r2
zatvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 ≤ r}, odnosno
x2 + y2 + z2 ≤ r2
sfera sa centrom u C(a,b, c) poluprecnika r , r > 0(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2
(c) geometrijski objekat u prostoru opisan jednacinomx2 + y2 = r2, r > 0.dobijamo cilindar duž z−ose
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 14 / 16
![Page 84: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/84.jpg)
Primer 1.3 Odrediti:(a) rastojanja d(A,O), d(B,O) i d(A,B), ako je O(0,0,0) koordinatni
pocetak, A(3,−2,3) i B(4,5,1); i nacrtati date tacke(b) jednacinu (nejednacinu)
sfera sa centrom u O poluprecnika r , r > 0 u prostoru{T (x , y , z)
∣∣d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2}
otvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 < r}, odnosno
x2 + y2 + z2 < r2
zatvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 ≤ r}, odnosno
x2 + y2 + z2 ≤ r2
sfera sa centrom u C(a,b, c) poluprecnika r , r > 0(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2
(c) geometrijski objekat u prostoru opisan jednacinomx2 + y2 = r2, r > 0.dobijamo cilindar duž z−ose
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 14 / 16
![Page 85: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/85.jpg)
Primer 1.3 Odrediti:(a) rastojanja d(A,O), d(B,O) i d(A,B), ako je O(0,0,0) koordinatni
pocetak, A(3,−2,3) i B(4,5,1); i nacrtati date tacke(b) jednacinu (nejednacinu)
sfera sa centrom u O poluprecnika r , r > 0 u prostoru{T (x , y , z)
∣∣d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2}
otvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 < r}, odnosno
x2 + y2 + z2 < r2
zatvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 ≤ r}, odnosno
x2 + y2 + z2 ≤ r2
sfera sa centrom u C(a,b, c) poluprecnika r , r > 0(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2
(c) geometrijski objekat u prostoru opisan jednacinomx2 + y2 = r2, r > 0.dobijamo cilindar duž z−ose
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 14 / 16
![Page 86: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/86.jpg)
Primer 1.3 Odrediti:(a) rastojanja d(A,O), d(B,O) i d(A,B), ako je O(0,0,0) koordinatni
pocetak, A(3,−2,3) i B(4,5,1); i nacrtati date tacke(b) jednacinu (nejednacinu)
sfera sa centrom u O poluprecnika r , r > 0 u prostoru{T (x , y , z)
∣∣d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2}
otvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 < r}, odnosno
x2 + y2 + z2 < r2
zatvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 ≤ r}, odnosno
x2 + y2 + z2 ≤ r2
sfera sa centrom u C(a,b, c) poluprecnika r , r > 0(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2
(c) geometrijski objekat u prostoru opisan jednacinomx2 + y2 = r2, r > 0.dobijamo cilindar duž z−ose
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 14 / 16
![Page 87: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/87.jpg)
Primer 1.3 Odrediti:(a) rastojanja d(A,O), d(B,O) i d(A,B), ako je O(0,0,0) koordinatni
pocetak, A(3,−2,3) i B(4,5,1); i nacrtati date tacke(b) jednacinu (nejednacinu)
sfera sa centrom u O poluprecnika r , r > 0 u prostoru{T (x , y , z)
∣∣d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2}
otvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 < r}, odnosno
x2 + y2 + z2 < r2
zatvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 ≤ r}, odnosno
x2 + y2 + z2 ≤ r2
sfera sa centrom u C(a,b, c) poluprecnika r , r > 0(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2
(c) geometrijski objekat u prostoru opisan jednacinomx2 + y2 = r2, r > 0.dobijamo cilindar duž z−ose
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 14 / 16
![Page 88: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/88.jpg)
Primer 1.3 Odrediti:(a) rastojanja d(A,O), d(B,O) i d(A,B), ako je O(0,0,0) koordinatni
pocetak, A(3,−2,3) i B(4,5,1); i nacrtati date tacke(b) jednacinu (nejednacinu)
sfera sa centrom u O poluprecnika r , r > 0 u prostoru{T (x , y , z)
∣∣d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2}
otvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 < r}, odnosno
x2 + y2 + z2 < r2
zatvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 ≤ r}, odnosno
x2 + y2 + z2 ≤ r2
sfera sa centrom u C(a,b, c) poluprecnika r , r > 0(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2
(c) geometrijski objekat u prostoru opisan jednacinomx2 + y2 = r2, r > 0.dobijamo cilindar duž z−ose
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 14 / 16
![Page 89: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/89.jpg)
Primer 1.3 Odrediti:(a) rastojanja d(A,O), d(B,O) i d(A,B), ako je O(0,0,0) koordinatni
pocetak, A(3,−2,3) i B(4,5,1); i nacrtati date tacke(b) jednacinu (nejednacinu)
sfera sa centrom u O poluprecnika r , r > 0 u prostoru{T (x , y , z)
∣∣d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2}
otvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 < r}, odnosno
x2 + y2 + z2 < r2
zatvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 ≤ r}, odnosno
x2 + y2 + z2 ≤ r2
sfera sa centrom u C(a,b, c) poluprecnika r , r > 0(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2
(c) geometrijski objekat u prostoru opisan jednacinomx2 + y2 = r2, r > 0.dobijamo cilindar duž z−ose
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 14 / 16
![Page 90: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/90.jpg)
Primer 1.3 Odrediti:(a) rastojanja d(A,O), d(B,O) i d(A,B), ako je O(0,0,0) koordinatni
pocetak, A(3,−2,3) i B(4,5,1); i nacrtati date tacke(b) jednacinu (nejednacinu)
sfera sa centrom u O poluprecnika r , r > 0 u prostoru{T (x , y , z)
∣∣d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2}
otvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 < r}, odnosno
x2 + y2 + z2 < r2
zatvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 ≤ r}, odnosno
x2 + y2 + z2 ≤ r2
sfera sa centrom u C(a,b, c) poluprecnika r , r > 0(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2
(c) geometrijski objekat u prostoru opisan jednacinomx2 + y2 = r2, r > 0.dobijamo cilindar duž z−ose
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 14 / 16
![Page 91: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/91.jpg)
Primer 1.3 Odrediti:(a) rastojanja d(A,O), d(B,O) i d(A,B), ako je O(0,0,0) koordinatni
pocetak, A(3,−2,3) i B(4,5,1); i nacrtati date tacke(b) jednacinu (nejednacinu)
sfera sa centrom u O poluprecnika r , r > 0 u prostoru{T (x , y , z)
∣∣d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 = r ⇔ x2 + y2 + z2 = r2}
otvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 < r}, odnosno
x2 + y2 + z2 < r2
zatvorena lopta u prostoru{T (x , y , z)
∣∣ d(T ,O) =√
x2 + y2 + z2 ≤ r}, odnosno
x2 + y2 + z2 ≤ r2
sfera sa centrom u C(a,b, c) poluprecnika r , r > 0(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2
(c) geometrijski objekat u prostoru opisan jednacinomx2 + y2 = r2, r > 0.dobijamo cilindar duž z−ose
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 14 / 16
![Page 92: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/92.jpg)
Napomena: Centrirana sfera je sfera sa centrom u koordinatnompocetku, proizvoljnog poluprecnika r , r > 0Jedinicna sfera je centrirana sfera poluprecnika 1, npr.x2 + y2 + z2 = 1 u prostoru ili x2 + y2 = 1 u ravni ili x2 = 1 na pravojNapomena: Bilo koja funkcija d koja zadovoljava naredne osobine jefunkcija rastojanja - metrika:
d(A,A) = 0 za proizvoljnu tacku Ad(A,B) = d(B,A) za bilo koje dve tacke A i Bd(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B) za proizvoljnu trojku tacaka A,B,Cnejednakost trougla
ili, na drugi nacin receno |d(A,B)− d(B,C)| ≤ d(A,C)
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 15 / 16
![Page 93: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/93.jpg)
Napomena: Centrirana sfera je sfera sa centrom u koordinatnompocetku, proizvoljnog poluprecnika r , r > 0Jedinicna sfera je centrirana sfera poluprecnika 1, npr.x2 + y2 + z2 = 1 u prostoru ili x2 + y2 = 1 u ravni ili x2 = 1 na pravojNapomena: Bilo koja funkcija d koja zadovoljava naredne osobine jefunkcija rastojanja - metrika:
d(A,A) = 0 za proizvoljnu tacku Ad(A,B) = d(B,A) za bilo koje dve tacke A i Bd(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B) za proizvoljnu trojku tacaka A,B,Cnejednakost trougla
ili, na drugi nacin receno |d(A,B)− d(B,C)| ≤ d(A,C)
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 15 / 16
![Page 94: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/94.jpg)
Napomena: Centrirana sfera je sfera sa centrom u koordinatnompocetku, proizvoljnog poluprecnika r , r > 0Jedinicna sfera je centrirana sfera poluprecnika 1, npr.x2 + y2 + z2 = 1 u prostoru ili x2 + y2 = 1 u ravni ili x2 = 1 na pravojNapomena: Bilo koja funkcija d koja zadovoljava naredne osobine jefunkcija rastojanja - metrika:
d(A,A) = 0 za proizvoljnu tacku Ad(A,B) = d(B,A) za bilo koje dve tacke A i Bd(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B) za proizvoljnu trojku tacaka A,B,Cnejednakost trougla
ili, na drugi nacin receno |d(A,B)− d(B,C)| ≤ d(A,C)
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 15 / 16
![Page 95: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/95.jpg)
Napomena: Centrirana sfera je sfera sa centrom u koordinatnompocetku, proizvoljnog poluprecnika r , r > 0Jedinicna sfera je centrirana sfera poluprecnika 1, npr.x2 + y2 + z2 = 1 u prostoru ili x2 + y2 = 1 u ravni ili x2 = 1 na pravojNapomena: Bilo koja funkcija d koja zadovoljava naredne osobine jefunkcija rastojanja - metrika:
d(A,A) = 0 za proizvoljnu tacku Ad(A,B) = d(B,A) za bilo koje dve tacke A i Bd(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B) za proizvoljnu trojku tacaka A,B,Cnejednakost trougla
ili, na drugi nacin receno |d(A,B)− d(B,C)| ≤ d(A,C)
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 15 / 16
![Page 96: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/96.jpg)
Napomena: Centrirana sfera je sfera sa centrom u koordinatnompocetku, proizvoljnog poluprecnika r , r > 0Jedinicna sfera je centrirana sfera poluprecnika 1, npr.x2 + y2 + z2 = 1 u prostoru ili x2 + y2 = 1 u ravni ili x2 = 1 na pravojNapomena: Bilo koja funkcija d koja zadovoljava naredne osobine jefunkcija rastojanja - metrika:
d(A,A) = 0 za proizvoljnu tacku Ad(A,B) = d(B,A) za bilo koje dve tacke A i Bd(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B) za proizvoljnu trojku tacaka A,B,Cnejednakost trougla
ili, na drugi nacin receno |d(A,B)− d(B,C)| ≤ d(A,C)
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 15 / 16
![Page 97: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/97.jpg)
Napomena: Centrirana sfera je sfera sa centrom u koordinatnompocetku, proizvoljnog poluprecnika r , r > 0Jedinicna sfera je centrirana sfera poluprecnika 1, npr.x2 + y2 + z2 = 1 u prostoru ili x2 + y2 = 1 u ravni ili x2 = 1 na pravojNapomena: Bilo koja funkcija d koja zadovoljava naredne osobine jefunkcija rastojanja - metrika:
d(A,A) = 0 za proizvoljnu tacku Ad(A,B) = d(B,A) za bilo koje dve tacke A i Bd(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B) za proizvoljnu trojku tacaka A,B,Cnejednakost trougla
ili, na drugi nacin receno |d(A,B)− d(B,C)| ≤ d(A,C)
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 15 / 16
![Page 98: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/98.jpg)
Napomena: Centrirana sfera je sfera sa centrom u koordinatnompocetku, proizvoljnog poluprecnika r , r > 0Jedinicna sfera je centrirana sfera poluprecnika 1, npr.x2 + y2 + z2 = 1 u prostoru ili x2 + y2 = 1 u ravni ili x2 = 1 na pravojNapomena: Bilo koja funkcija d koja zadovoljava naredne osobine jefunkcija rastojanja - metrika:
d(A,A) = 0 za proizvoljnu tacku Ad(A,B) = d(B,A) za bilo koje dve tacke A i Bd(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B) za proizvoljnu trojku tacaka A,B,Cnejednakost trougla
ili, na drugi nacin receno |d(A,B)− d(B,C)| ≤ d(A,C)
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 15 / 16
![Page 99: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/99.jpg)
Napomena: Centrirana sfera je sfera sa centrom u koordinatnompocetku, proizvoljnog poluprecnika r , r > 0Jedinicna sfera je centrirana sfera poluprecnika 1, npr.x2 + y2 + z2 = 1 u prostoru ili x2 + y2 = 1 u ravni ili x2 = 1 na pravojNapomena: Bilo koja funkcija d koja zadovoljava naredne osobine jefunkcija rastojanja - metrika:
d(A,A) = 0 za proizvoljnu tacku Ad(A,B) = d(B,A) za bilo koje dve tacke A i Bd(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B) za proizvoljnu trojku tacaka A,B,Cnejednakost trougla
ili, na drugi nacin receno |d(A,B)− d(B,C)| ≤ d(A,C)
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 15 / 16
![Page 100: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/100.jpg)
Napomena: Centrirana sfera je sfera sa centrom u koordinatnompocetku, proizvoljnog poluprecnika r , r > 0Jedinicna sfera je centrirana sfera poluprecnika 1, npr.x2 + y2 + z2 = 1 u prostoru ili x2 + y2 = 1 u ravni ili x2 = 1 na pravojNapomena: Bilo koja funkcija d koja zadovoljava naredne osobine jefunkcija rastojanja - metrika:
d(A,A) = 0 za proizvoljnu tacku Ad(A,B) = d(B,A) za bilo koje dve tacke A i Bd(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B) za proizvoljnu trojku tacaka A,B,Cnejednakost trougla
ili, na drugi nacin receno |d(A,B)− d(B,C)| ≤ d(A,C)
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 15 / 16
![Page 101: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/101.jpg)
Napomena: Euklidsko rastojanje je metrika. Neka su u ravni date triproizvoljne tacke A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3). Tada važi:
d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;
d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
=√
(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2
=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = d(B,A);Pokažimo, na kraju, da važi d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√
(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√
(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤
√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +
√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2
Ako uvedemo oznake a = |x1 − x3|, b = |x3 − x2|, c = |y1 − y3|, d = |y3 − y2| dobijamo ... uz|x1 − x3 + x3 − x2| ≤ |x1 − x3|+ |x3 − x2| ⇒ |x1 − x3 + x3 − x2|2 ≤ (|x1 − x3|+ |x3 − x2|)2
√(a + b)2 + (c + d)2 ≤
√a2 + c2 +
√b2 + d2 |2
a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√
(a2 + c2)(b2 + d2)
ab + cd ≤√
(a2 + c2)(b2 + d2) |2
a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + c2b2 + c2d2
0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2
a to je tacno za sve a, b, c, d ∈ R+.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 16 / 16
![Page 102: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/102.jpg)
Napomena: Euklidsko rastojanje je metrika. Neka su u ravni date triproizvoljne tacke A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3). Tada važi:
d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;
d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
=√
(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2
=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = d(B,A);Pokažimo, na kraju, da važi d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√
(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√
(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤
√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +
√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2
Ako uvedemo oznake a = |x1 − x3|, b = |x3 − x2|, c = |y1 − y3|, d = |y3 − y2| dobijamo ... uz|x1 − x3 + x3 − x2| ≤ |x1 − x3|+ |x3 − x2| ⇒ |x1 − x3 + x3 − x2|2 ≤ (|x1 − x3|+ |x3 − x2|)2
√(a + b)2 + (c + d)2 ≤
√a2 + c2 +
√b2 + d2 |2
a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√
(a2 + c2)(b2 + d2)
ab + cd ≤√
(a2 + c2)(b2 + d2) |2
a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + c2b2 + c2d2
0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2
a to je tacno za sve a, b, c, d ∈ R+.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 16 / 16
![Page 103: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/103.jpg)
Napomena: Euklidsko rastojanje je metrika. Neka su u ravni date triproizvoljne tacke A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3). Tada važi:
d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;
d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
=√
(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2
=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = d(B,A);Pokažimo, na kraju, da važi d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√
(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√
(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤
√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +
√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2
Ako uvedemo oznake a = |x1 − x3|, b = |x3 − x2|, c = |y1 − y3|, d = |y3 − y2| dobijamo ... uz|x1 − x3 + x3 − x2| ≤ |x1 − x3|+ |x3 − x2| ⇒ |x1 − x3 + x3 − x2|2 ≤ (|x1 − x3|+ |x3 − x2|)2
√(a + b)2 + (c + d)2 ≤
√a2 + c2 +
√b2 + d2 |2
a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√
(a2 + c2)(b2 + d2)
ab + cd ≤√
(a2 + c2)(b2 + d2) |2
a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + c2b2 + c2d2
0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2
a to je tacno za sve a, b, c, d ∈ R+.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 16 / 16
![Page 104: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/104.jpg)
Napomena: Euklidsko rastojanje je metrika. Neka su u ravni date triproizvoljne tacke A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3). Tada važi:
d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;
d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
=√
(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2
=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = d(B,A);Pokažimo, na kraju, da važi d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√
(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√
(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤
√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +
√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2
Ako uvedemo oznake a = |x1 − x3|, b = |x3 − x2|, c = |y1 − y3|, d = |y3 − y2| dobijamo ... uz|x1 − x3 + x3 − x2| ≤ |x1 − x3|+ |x3 − x2| ⇒ |x1 − x3 + x3 − x2|2 ≤ (|x1 − x3|+ |x3 − x2|)2
√(a + b)2 + (c + d)2 ≤
√a2 + c2 +
√b2 + d2 |2
a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√
(a2 + c2)(b2 + d2)
ab + cd ≤√
(a2 + c2)(b2 + d2) |2
a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + c2b2 + c2d2
0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2
a to je tacno za sve a, b, c, d ∈ R+.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 16 / 16
![Page 105: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/105.jpg)
Napomena: Euklidsko rastojanje je metrika. Neka su u ravni date triproizvoljne tacke A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3). Tada važi:
d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;
d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
=√
(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2
=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = d(B,A);Pokažimo, na kraju, da važi d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√
(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√
(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤
√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +
√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2
Ako uvedemo oznake a = |x1 − x3|, b = |x3 − x2|, c = |y1 − y3|, d = |y3 − y2| dobijamo ... uz|x1 − x3 + x3 − x2| ≤ |x1 − x3|+ |x3 − x2| ⇒ |x1 − x3 + x3 − x2|2 ≤ (|x1 − x3|+ |x3 − x2|)2
√(a + b)2 + (c + d)2 ≤
√a2 + c2 +
√b2 + d2 |2
a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√
(a2 + c2)(b2 + d2)
ab + cd ≤√
(a2 + c2)(b2 + d2) |2
a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + c2b2 + c2d2
0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2
a to je tacno za sve a, b, c, d ∈ R+.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 16 / 16
![Page 106: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/106.jpg)
Napomena: Euklidsko rastojanje je metrika. Neka su u ravni date triproizvoljne tacke A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3). Tada važi:
d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;
d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
=√
(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2
=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = d(B,A);Pokažimo, na kraju, da važi d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√
(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√
(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤
√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +
√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2
Ako uvedemo oznake a = |x1 − x3|, b = |x3 − x2|, c = |y1 − y3|, d = |y3 − y2| dobijamo ... uz|x1 − x3 + x3 − x2| ≤ |x1 − x3|+ |x3 − x2| ⇒ |x1 − x3 + x3 − x2|2 ≤ (|x1 − x3|+ |x3 − x2|)2
√(a + b)2 + (c + d)2 ≤
√a2 + c2 +
√b2 + d2 |2
a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√
(a2 + c2)(b2 + d2)
ab + cd ≤√
(a2 + c2)(b2 + d2) |2
a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + c2b2 + c2d2
0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2
a to je tacno za sve a, b, c, d ∈ R+.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 16 / 16
![Page 107: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/107.jpg)
Napomena: Euklidsko rastojanje je metrika. Neka su u ravni date triproizvoljne tacke A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3). Tada važi:
d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;
d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
=√
(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2
=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = d(B,A);Pokažimo, na kraju, da važi d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√
(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√
(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤
√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +
√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2
Ako uvedemo oznake a = |x1 − x3|, b = |x3 − x2|, c = |y1 − y3|, d = |y3 − y2| dobijamo ... uz|x1 − x3 + x3 − x2| ≤ |x1 − x3|+ |x3 − x2| ⇒ |x1 − x3 + x3 − x2|2 ≤ (|x1 − x3|+ |x3 − x2|)2
√(a + b)2 + (c + d)2 ≤
√a2 + c2 +
√b2 + d2 |2
a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√
(a2 + c2)(b2 + d2)
ab + cd ≤√
(a2 + c2)(b2 + d2) |2
a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + c2b2 + c2d2
0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2
a to je tacno za sve a, b, c, d ∈ R+.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 16 / 16
![Page 108: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/108.jpg)
Napomena: Euklidsko rastojanje je metrika. Neka su u ravni date triproizvoljne tacke A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3). Tada važi:
d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;
d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
=√
(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2
=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = d(B,A);Pokažimo, na kraju, da važi d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√
(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√
(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤
√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +
√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2
Ako uvedemo oznake a = |x1 − x3|, b = |x3 − x2|, c = |y1 − y3|, d = |y3 − y2| dobijamo ... uz|x1 − x3 + x3 − x2| ≤ |x1 − x3|+ |x3 − x2| ⇒ |x1 − x3 + x3 − x2|2 ≤ (|x1 − x3|+ |x3 − x2|)2
√(a + b)2 + (c + d)2 ≤
√a2 + c2 +
√b2 + d2 |2
a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√
(a2 + c2)(b2 + d2)
ab + cd ≤√
(a2 + c2)(b2 + d2) |2
a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + c2b2 + c2d2
0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2
a to je tacno za sve a, b, c, d ∈ R+.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 16 / 16
![Page 109: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/109.jpg)
Napomena: Euklidsko rastojanje je metrika. Neka su u ravni date triproizvoljne tacke A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3). Tada važi:
d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;
d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
=√
(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2
=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = d(B,A);Pokažimo, na kraju, da važi d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√
(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√
(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤
√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +
√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2
Ako uvedemo oznake a = |x1 − x3|, b = |x3 − x2|, c = |y1 − y3|, d = |y3 − y2| dobijamo ... uz|x1 − x3 + x3 − x2| ≤ |x1 − x3|+ |x3 − x2| ⇒ |x1 − x3 + x3 − x2|2 ≤ (|x1 − x3|+ |x3 − x2|)2
√(a + b)2 + (c + d)2 ≤
√a2 + c2 +
√b2 + d2 |2
a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√
(a2 + c2)(b2 + d2)
ab + cd ≤√
(a2 + c2)(b2 + d2) |2
a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + c2b2 + c2d2
0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2
a to je tacno za sve a, b, c, d ∈ R+.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 16 / 16
![Page 110: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/110.jpg)
Napomena: Euklidsko rastojanje je metrika. Neka su u ravni date triproizvoljne tacke A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3). Tada važi:
d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;
d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
=√
(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2
=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = d(B,A);Pokažimo, na kraju, da važi d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√
(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√
(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤
√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +
√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2
Ako uvedemo oznake a = |x1 − x3|, b = |x3 − x2|, c = |y1 − y3|, d = |y3 − y2| dobijamo ... uz|x1 − x3 + x3 − x2| ≤ |x1 − x3|+ |x3 − x2| ⇒ |x1 − x3 + x3 − x2|2 ≤ (|x1 − x3|+ |x3 − x2|)2
√(a + b)2 + (c + d)2 ≤
√a2 + c2 +
√b2 + d2 |2
a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√
(a2 + c2)(b2 + d2)
ab + cd ≤√
(a2 + c2)(b2 + d2) |2
a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + c2b2 + c2d2
0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2
a to je tacno za sve a, b, c, d ∈ R+.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 16 / 16
![Page 111: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/111.jpg)
Napomena: Euklidsko rastojanje je metrika. Neka su u ravni date triproizvoljne tacke A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3). Tada važi:
d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;
d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
=√
(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2
=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = d(B,A);Pokažimo, na kraju, da važi d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√
(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√
(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤
√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +
√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2
Ako uvedemo oznake a = |x1 − x3|, b = |x3 − x2|, c = |y1 − y3|, d = |y3 − y2| dobijamo ... uz|x1 − x3 + x3 − x2| ≤ |x1 − x3|+ |x3 − x2| ⇒ |x1 − x3 + x3 − x2|2 ≤ (|x1 − x3|+ |x3 − x2|)2
√(a + b)2 + (c + d)2 ≤
√a2 + c2 +
√b2 + d2 |2
a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√
(a2 + c2)(b2 + d2)
ab + cd ≤√
(a2 + c2)(b2 + d2) |2
a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + c2b2 + c2d2
0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2
a to je tacno za sve a, b, c, d ∈ R+.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 16 / 16
![Page 112: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/112.jpg)
Napomena: Euklidsko rastojanje je metrika. Neka su u ravni date triproizvoljne tacke A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3). Tada važi:
d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;
d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
=√
(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2
=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = d(B,A);Pokažimo, na kraju, da važi d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√
(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√
(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤
√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +
√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2
Ako uvedemo oznake a = |x1 − x3|, b = |x3 − x2|, c = |y1 − y3|, d = |y3 − y2| dobijamo ... uz|x1 − x3 + x3 − x2| ≤ |x1 − x3|+ |x3 − x2| ⇒ |x1 − x3 + x3 − x2|2 ≤ (|x1 − x3|+ |x3 − x2|)2
√(a + b)2 + (c + d)2 ≤
√a2 + c2 +
√b2 + d2 |2
a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√
(a2 + c2)(b2 + d2)
ab + cd ≤√
(a2 + c2)(b2 + d2) |2
a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + c2b2 + c2d2
0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2
a to je tacno za sve a, b, c, d ∈ R+.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 16 / 16
![Page 113: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/113.jpg)
Napomena: Euklidsko rastojanje je metrika. Neka su u ravni date triproizvoljne tacke A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3). Tada važi:
d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;
d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
=√
(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2
=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = d(B,A);Pokažimo, na kraju, da važi d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√
(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√
(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤
√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +
√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2
Ako uvedemo oznake a = |x1 − x3|, b = |x3 − x2|, c = |y1 − y3|, d = |y3 − y2| dobijamo ... uz|x1 − x3 + x3 − x2| ≤ |x1 − x3|+ |x3 − x2| ⇒ |x1 − x3 + x3 − x2|2 ≤ (|x1 − x3|+ |x3 − x2|)2
√(a + b)2 + (c + d)2 ≤
√a2 + c2 +
√b2 + d2 |2
a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√
(a2 + c2)(b2 + d2)
ab + cd ≤√
(a2 + c2)(b2 + d2) |2
a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + c2b2 + c2d2
0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2
a to je tacno za sve a, b, c, d ∈ R+.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 16 / 16
![Page 114: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/114.jpg)
Napomena: Euklidsko rastojanje je metrika. Neka su u ravni date triproizvoljne tacke A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3). Tada važi:
d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;
d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
=√
(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2
=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = d(B,A);Pokažimo, na kraju, da važi d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√
(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√
(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤
√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +
√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2
Ako uvedemo oznake a = |x1 − x3|, b = |x3 − x2|, c = |y1 − y3|, d = |y3 − y2| dobijamo ... uz|x1 − x3 + x3 − x2| ≤ |x1 − x3|+ |x3 − x2| ⇒ |x1 − x3 + x3 − x2|2 ≤ (|x1 − x3|+ |x3 − x2|)2
√(a + b)2 + (c + d)2 ≤
√a2 + c2 +
√b2 + d2 |2
a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√
(a2 + c2)(b2 + d2)
ab + cd ≤√
(a2 + c2)(b2 + d2) |2
a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + c2b2 + c2d2
0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2
a to je tacno za sve a, b, c, d ∈ R+.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 16 / 16
![Page 115: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/115.jpg)
Napomena: Euklidsko rastojanje je metrika. Neka su u ravni date triproizvoljne tacke A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3). Tada važi:
d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;
d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
=√
(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2
=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = d(B,A);Pokažimo, na kraju, da važi d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√
(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√
(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤
√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +
√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2
Ako uvedemo oznake a = |x1 − x3|, b = |x3 − x2|, c = |y1 − y3|, d = |y3 − y2| dobijamo ... uz|x1 − x3 + x3 − x2| ≤ |x1 − x3|+ |x3 − x2| ⇒ |x1 − x3 + x3 − x2|2 ≤ (|x1 − x3|+ |x3 − x2|)2
√(a + b)2 + (c + d)2 ≤
√a2 + c2 +
√b2 + d2 |2
a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√
(a2 + c2)(b2 + d2)
ab + cd ≤√
(a2 + c2)(b2 + d2) |2
a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + c2b2 + c2d2
0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2
a to je tacno za sve a, b, c, d ∈ R+.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 16 / 16
![Page 116: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/116.jpg)
Napomena: Euklidsko rastojanje je metrika. Neka su u ravni date triproizvoljne tacke A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3). Tada važi:
d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;
d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
=√
(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2
=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = d(B,A);Pokažimo, na kraju, da važi d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√
(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√
(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤
√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +
√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2
Ako uvedemo oznake a = |x1 − x3|, b = |x3 − x2|, c = |y1 − y3|, d = |y3 − y2| dobijamo ... uz|x1 − x3 + x3 − x2| ≤ |x1 − x3|+ |x3 − x2| ⇒ |x1 − x3 + x3 − x2|2 ≤ (|x1 − x3|+ |x3 − x2|)2
√(a + b)2 + (c + d)2 ≤
√a2 + c2 +
√b2 + d2 |2
a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√
(a2 + c2)(b2 + d2)
ab + cd ≤√
(a2 + c2)(b2 + d2) |2
a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + c2b2 + c2d2
0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2
a to je tacno za sve a, b, c, d ∈ R+.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 16 / 16
![Page 117: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/117.jpg)
Napomena: Euklidsko rastojanje je metrika. Neka su u ravni date triproizvoljne tacke A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3). Tada važi:
d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;
d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
=√
(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2
=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = d(B,A);Pokažimo, na kraju, da važi d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√
(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√
(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤
√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +
√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2
Ako uvedemo oznake a = |x1 − x3|, b = |x3 − x2|, c = |y1 − y3|, d = |y3 − y2| dobijamo ... uz|x1 − x3 + x3 − x2| ≤ |x1 − x3|+ |x3 − x2| ⇒ |x1 − x3 + x3 − x2|2 ≤ (|x1 − x3|+ |x3 − x2|)2
√(a + b)2 + (c + d)2 ≤
√a2 + c2 +
√b2 + d2 |2
a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√
(a2 + c2)(b2 + d2)
ab + cd ≤√
(a2 + c2)(b2 + d2) |2
a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + c2b2 + c2d2
0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2
a to je tacno za sve a, b, c, d ∈ R+.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 16 / 16
![Page 118: Analiticka geometrijaˇ€¦ · Dekart (René Descartes, latinizirano Renatus des Cartes, 1596–1650) francuski filozof, matematicar i nauˇ cnikˇ Dekart je 1637. godine objavio](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040316/5e224a7d8d799416b840304d/html5/thumbnails/118.jpg)
Napomena: Euklidsko rastojanje je metrika. Neka su u ravni date triproizvoljne tacke A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3). Tada važi:
d(A,A) =√(x1 − x1)2 + (y1 − y1)2 = 0;
d(A,B) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
=√
(−(x2 − x1))2 + (−(y2 − y1))2
=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = d(B,A);Pokažimo, na kraju, da važi d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≤√
(x1 − x3)2 + (y1 − y3)2 +√
(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2√|x1±x3−x2|2 + |y1±y3 − y2|2 ≤
√|x1 − x3|2 + |y1 − y3|2 +
√|x3 − x2|2 + |y3 − y2|2
Ako uvedemo oznake a = |x1 − x3|, b = |x3 − x2|, c = |y1 − y3|, d = |y3 − y2| dobijamo ... uz|x1 − x3 + x3 − x2| ≤ |x1 − x3|+ |x3 − x2| ⇒ |x1 − x3 + x3 − x2|2 ≤ (|x1 − x3|+ |x3 − x2|)2
√(a + b)2 + (c + d)2 ≤
√a2 + c2 +
√b2 + d2 |2
a2 + 2ab + b2 + c2 + 2cd + c2 ≤ a2 + c2 + b2 + d2 + 2√
(a2 + c2)(b2 + d2)
ab + cd ≤√
(a2 + c2)(b2 + d2) |2
a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + c2b2 + c2d2
0 ≤ a2d2 + c2b2 − 2abcd = (ad − cb)2
a to je tacno za sve a, b, c, d ∈ R+.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 1 16 / 16