ชุดที่ ชุดที่...

ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ




ชดการสอนวชาคณตศาสตร รหสวชา ค32102 เรองความนาจะเปน

ชดการสอนท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

นางสาวมนสชนก เพชรแกว

ต าแหนง คร วทยฐานะช านาญการ กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสราษฎรธาน

ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 11



ค าน า

ชดการสอนคณตศาสตร เรองความนาจะเปน ชนมธยมศกษาปท 5 โดยการจดการเรยนรแบบรวมมอ สรางขนเพอเปนเสรมสรางและพฒนาการเรยนรของนกเรยน โดยเนนผเรยนเปนส าคญเปดโอกาสใหนกเรยนไดแสวงหาความรดวยตนเอง ใชทกษะตางๆ ในการแสวงหาความร มงพฒนาผลสมฤทธและสมรรถภาพการเรยนรคณตศาสตรของนกเรยน ใหสอดคลองกบสาระและมาตรฐานการเรยนรทก าหนดไว ทงน ไดน าสถานการณในชวตประจ าวนทนกเรยนเคยพบมาแลว มาเชอมโยงกบความรใหมเพอใหเกดการเรยนรไดงายและตอเนองกน ทงสงเสรมใหผเรยนไดศกษาหาความร และสรปองคความรดวยตนเอง ชดการสอนคณตศาสตร เรองความนาจะเปน ชนมธยมศกษาปท 5 ประกอบดวย ชดการสอนทงหมด 6 ชด คอ 1. กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 2. แฟกทอเรยล 3. การทดลองสม แซมเปลสเปซ 4. เหตการณ 5. ความนาจะเปนของเหตการณ 6. กฎบางประการของความนาจะเปน ลกษณะส าคญของชดการสอนคณตศาสตรเลมน ประกอบดวย ใบความร เนอหา ความคดรวบยอด ตวอยางสถานการณ โจทยเสรมทกษะ แบบฝกหด และการจดการเรยนรทมงพฒนาทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร การใหเหตผล การแกปญหา การน าเสนอความคดทางคณตศาสตร และยงสงเสรมการเรยนรดวยวธการทหลากหลาย เพอพฒนาคณภาพผเรยนตามศกยภาพ ซงแสดงใหเหนถงการเนนบทบาทของผเรยนเปนส าคญ หวงเปนอยางยงวา ชดการสอนคณตศาสตร เรองความนาจะเปน ทประกอบดวย เนอหา สอ เทคนค ตลอดจนขอมลตางๆ ทไดรวบรวมไวในชดการสอนน จะเปนประโยชนตอนกเรยนและครในการพฒนากจกรรมการเรยนการสอนใหบรรลวตถประสงคทก าหนดไวเปนอยางด มนสชนก เพชรแกว



สารบญ

เรอง หนา แนวทางการใชชดการสอนคณตศาสตร ก สวนประกอบของชดการสอน ข ค าแนะน าการใชชดการสอนคณตศาสตรส าหรบคร ค แผนผงขนตอนการเรยนรดวยชดการสอนคณตศาสตร ง ค าแนะน าการใชชดการสอนส าหรบนกเรยน จ วตถประสงคของชดการสอน ช ค าอธบายรายวชา ซ มาตรฐานการเรยนร / ตวชวด ฌ จดประสงคการเรยนรสตวชวด ญ แบบทดสอบกอนเรยน 1 ใบความรท 1 4 แบบฝกหดท 1 8 แบบฝกเสรมทกษะท 1 11 ใบความรท 2 14 แบบฝกหดท 2 19 แบบฝกเสรมทกษะท 2 22 ใบความรท 3 24 แบบฝกหดท 3 29 แบบฝกเสรมทกษะท 3 32 แบบทดสอบหลงเรยน 34

เกณฑการประเมนชนงาน 38บรรณานกรม 39ภาคผนวก 40 เฉลยแบบฝกหดท 1 41 เฉลยแบบฝกเสรมทกษะท 1 44 เฉลยแบบฝกหดท 2 46 เฉลยแบบฝกเสรมทกษะท 2 49



สารบญ(ตอ) เรอง หนา

เฉลยแบบฝกหดท 3 51 เฉลยแบบฝกเสรมทกษะท 3 55 เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน ประจ าชดการสอนคณตศาสตร ชดท 1 57 เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน ประจ าชดการสอนคณตศาสตร ชดท 1 58



แนวทางการใชชดการสอนคณตศาสตร เรองความนาจะเปน

ชดการสอนคณตศาสตร เรองความนาจะเปน จดท าขนเพอเปนเครองมอในการเรยนร รายวชาคณตศาสตรพนฐาน รหสวชา ค32102 ส าหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 และเพออ านวยความสะดวกในการเตรยมการสอนและในการจดการเรยนร ซงชดการสอนน จะครอบคลมสาระการเรยนร เรองความนาจะเปน โดยชดการสอนคณตศาสตรน แบงเปน 6 ชด คอ

ชดการสอนท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ชดการสอนท 2 เรอง แฟกทอเรยล ชดการสอนท 3 เรอง การทดลองสม แซมเปลสเปซ ชดการสอนท 4 เรอง เหตการณ ชดการสอนท 5 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ ชดการสอนท 6 เรอง กฎบางประการของความนาจะเปน

ส าหรบชดการสอนฉบบน เปนชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ใชเวลาเรยน 7

ชวโมง โดยมการแบงเปนหวขอยอย ซงในแตละหวขอยอยจะท าในรปของสาระการเรยนร ใบความร เนอหาความคดรวบยอด ตวอยางสถานการณโจทยเสรมทกษะ แบบฝกกจกรรมการเรยนร ดงรายละเอยดทปรากฏอยในชดการสอน

ในการจดกจกรรมการเรยนร ครอาจปรบเปลยนกจกรรมและวธการจดกจกรรมการเรยนรไดตามความเหมาะสม โดยค านงถงระดบสตปญญา และความสามารถของผเรยนเปนส าคญ ควรใหผเรยนศกษาเนอหาดวยตนเอง โดยครเปนผคอยชแนะและตงค าถาม และใหผเรยนสรปในแตละหวขอ โดยครอาจเสรมแตงตามความเหมาะสม แลวรวมกนสรปกบผเรยนอกครงหนง

ก



สวนประกอบของชดการสอน ชดการสอนคณตศาสตร เรองความนาจะเปน จดท าขนเพอเปนเครองมอในการเรยนร รายวชาคณตศาสตรพนฐาน รหสวชา ค32102 ส าหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 ประกอบดวย 1. ค าแนะน าการใชชดการสอนคณตศาสตรส าหรบคร 2. แผนผงขนตอนการเรยนรดวยชดการสอนคณตศาสตร 3. ค าแนะน าการใชชดการสอนส าหรบนกเรยน 4. วตถประสงคของชดการสอน 5. ค าอธบายรายวชา 6. มาตรฐานการเรยนร / ตวชวด 7. จดประสงคการเรยนรสตวชวด 8. แบบทดสอบกอนเรยน 9. ใบความร เนอหาสาระ 10. แบบฝกหด 11. แบบฝกเสรมทกษะ 12. แบบทดสอบหลงเรยน 13. เฉลยแบบฝกหด 14. เฉลยแบบฝกเสรมทกษะ 15. เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน-หลงเรยน


ข



ค าแนะน าการใชชดการสอนคณตศาสตรส าหรบคร

การใชชดการสอนคณตศาสตร เรองความนาจะเปน ชนมธยมศกษาปท 5 ครผสอนเปนผทมบทบาทส าคญทจะชวยให การด าเนนการเรยนรของนกเรยนบรรลตามวตถประสงค ครผสอนจงควรศกษารายละเอยดเกยวกบ การปฏบตตนกอนทจะใชชดการสอน ดงน 1. ครตองศกษาชดการสอน และอานเนอหาสาระอยางละเอยดรอบคอบ พรอมทงท าความเขาใจเนอหากอนการใชงาน 2. ครเตรยมชดการสอนใหครบถวนและเพยงพอตอจ านวนนกเรยน 3. ครเตรยมเครองมอวดผลประเมนผล เพอทราบความกาวหนาของนกเรยน 4. ครชแจงใหนกเรยนทราบเกยวกบขนตอนและวธการสอนโดยใชชดการสอนอยางชดเจนและประโยชนทจะไดรบจากการเรยนรโดยใชชดการสอน 5. ครชแจงใหนกเรยนทราบบทบาทของนกเรยน โดยเนนย าความซอสตย การมวนย ใฝเรยนใฝร การแสดงความคดเหน 6. ใหนกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยนเพอประเมนความรเดมของนกเรยน 7. ครจดกจกรรมการเรยนรใหแกนกเรยน โดยใหค าแนะน า ดแล เสนอแนะ และเสรมแรง ตามแนวทางของแผนการจดการเรยนร 8. ครสงเกตความรวมมอและความตงใจในการเรยน การท ากจกรรมเปนรายบคคลและการท ากจกรรมรวมกบผอน 9. ครรวมสรปบทเรยนกบนกเรยนเพอเปนการย าความเขาใจของนกเรยนในทกกจกรรม 10. ใหนกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยนเพอวดความรของนกเรยน และประเมนผลการเรยนรของนกเรยนอยางตอเนอง 11. การจดการชนเรยนควรใหเหมาะสมกบการเรยนรในชวโมงทสอน

ค



แผนผงขนตอนในการเรยนรดวยชดการสอนคณตศาสตร

นกเรยนศกษาค าแนะน าการใชชดการสอนส าหรบนกเรยน

ศกษามาตรฐานการเรยนร/ตวชวดและจดประสงคการเรยนร

ท าแบบทดสอบกอนเรยน

ด าเนนการศกษาเนอหา โดยปฏบตกจกรรม - ศกษาเนอหา ใบความร - ท าแบบฝกหด แบบฝกเสรมทกษะการเรยนร - ตรวจแบบฝกหด แบบฝกเสรมทกษะการเรยนร ไมผาน ทดสอบหลงเรยน ผาน ศกษาชดการสอนเรองอนตอไป

ง



ค าแนะน าการใชชดการสอนคณตศาสตรส าหรบนกเรยน

1. นกเรยนค าชแจงเกยวกบชดการสอนและค าแนะน าการใชชดการสอนส าหรบนกเรยนใหเขาใจกอนลงมอศกษาเรยนร หรอท ากจกรรมทกครง 2. นกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยน เพอประเมนความรเดมของนกเรยน 3. นกเรยนศกษาจดประสงคการเรยนร และสาระการเรยนรในชดการสอนทงหมด อยางละเอยด หากมขอสงสย หรอมค าถาม ใหปรกษาครผสอน 4. ศกษาใบความร ตวอยาง และท าแบบฝกหด แบบฝกเสรมทกษะการเรยนร ดวยความตงใจ 5. ในการเรยนร นกเรยนควรมการวางแผนการท ากจกรรม กรณเปนรายกลม ควรมการแบงหนาทและรวมกนปฏบตกจกรรม 6. ในการปฏบตกจกรรมการเรยนร นกเรยนควรปฏบตงานใหทนกบเวลาทก าหนด 7. ขนตอนสดทายของการเรยนรดวยชดการสอน นกเรยนตองท าแบบทดสอบประจ าชดการสอนของแตละชดการสอน 8. นกเรยนควรมความรวมมอรวมใจ มความสามคค รวมกนแสดงความคดเหน และยอมรบเสยงสวนใหญในการปฏบตกจกรรมกลม 9. หากนกเรยนมปญหาหรอไมเขาใจในสวนใด นกเรยนสามารถสอบถามจากครผสอน ไดตลอดเวลา 10. ชดการสอนบางชด นกเรยนจ าเปนตองน ากลบไปท าเปนการบาน ฉะนนนกเรยนควรจะมความซอสตยตอตนเองอยางสงยง

จ



ในกรณทไมมการแบงกลม

ในกรณทมการแบงกลม จดนกเรยนนงเปนกลม กลมละ 4-5 คน คละ เกง ปานกลาง ออน ตามความเหมาะสม

ก. บทบาทของผน ากลม มหนาทคอ

1. ควบคมการด าเนนกจกรรมภายในกลมใหเปนระเบยบเรยบรอย

2. เปนผน าในการประกอบกจกรรมของกลม 3. เปนผตดตอกบคร เมอพบปญหาหรอขอสงสย

4. รายงานหรอแจงใหครทราบ เมอประกอบกจกรรมเสรจ

5. หลงจากสมาชกภายในกลมประกอบกจกรรมตามแผนการจดการเรยนรเสรจแลว เกบแบบบนทกกจกรรม แบบฝกหด กระดาษค าตอบ สงครตามก าหนดเวลา ข. บทบาทของสมาชกภายในกลม มหนาทคอ

1. ปฏบตกจกรรมดวยความตงใจใหทนเวลา โดยไมชวนเพอนคยหรอเลน

2. ตงใจตอบค าถามอยางเตมความสามารถ และปฏบตตามขนตอนในการท ากจกรรม

3. ไมควรปรกษากนเสยงดงเกนไป จนรบกวนกลมอนๆ

4. ชวยกนเกบวสด อปกรณ สอการเรยนตางๆ จดโตะ เกาอ ใหอยในสภาพเรยบรอย และท าความสะอาด

1. นกเรยนทกคนปฏบตกจกรรมดวยความตงใจ และไมชวนเพอนคยหรอเลน

2. ปฏบตตามขนตอนในการท ากจกรรมใหเสรจทนเวลาทก าหนด

3. ตงใจตอบค าถามอยางเตมความสามารถ และยกมอซกถาม เมอพบปญหาหรอ ขอสงสย

4. ท าแบบฝกหดดวยตนเองอยางเตมความสามารถ ไมลอกเลยนแบบผอน

5. มความตงใจในการท าแบบทดสอบดวยตนเอง 6. ชวยกนเกบวสด อปกรณ สอการเรยนการสอน จดโตะ เกาอใหอยในสภาพเรยบรอยและท าความสะอาด

ฉ



วตถประสงคของชดการสอน

ชดการสอนคณตศาสตร เรองความนาจะเปน ชนมธยมศกษาปท 5 มวตถประสงค ดงน

1. เพอใชเปนสอการจดกจกรรมการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรองความนาจะเปน ส าหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5

2. เพอพฒนาผลสมฤทธทางการเรยนโดยใชชดการสอน เปนสอในการจดการเรยนร 3. เพอสงเสรมใหนกเรยนศกษาคนควาเรยนรไดดวยตนเองและท างานรวมกน เพอฝก กระบวนการกลม

ช



ค าอธบายรายวชา

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชอรายวชาคณตศาสตร รหสวชา ค32102 ชนมธยมศกษาปท 5 เวลา 40 ชวโมง/ภาคเรยน จ านวน 1.0 หนวยกต ภาคเรยนท 2 ********************************************************************************** ศกษาความรพนฐานเบองตน ฝกทกษะการคดค านวณ การใหเหตผล และฝกการแกปญหาในเรองตอไปน กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ การทดลองสม แซมเปลสเปซ เหตการณ ความนาจะเปนของเหตการณ การใชความนาจะเปนในการคาดการณและประกอบการตดสนใจ โดยจดประสบการณ หรอสรางสถานการณในชวตประจ าวนทใกลตวใหผเรยน ไดศกษาคนควาโดยปฏบตจรง ทดลอง สรป รายงานเพอพฒนาทกษะกระบวนการในการคดค านวณ การแกปญหาโดยใชเหตผลการสอสารความหมายทางคณตศาสตร และน าประสบการณดานความร ความคด ทกษะกระบวนการทไดไปใชในการเรยนรสงตางๆ และใชในชวตประจ าวนอยางสรางสรรค รวมทงเหนคณคาและมเจตคตทดตอคณตศาสตร สามารถท างานอยางเปนระบบ ระเบยบ มความรอบคอบ รบผดชอบ มวจารณญาณ และมความเชอมนในตนเอง โดยใชวธการวดผลและการประเมนผลทหลากหลาย ตามสภาพความเปนจรงใหสอดคลองกบเนอหาและทกษะทตองการวด ตวชวด ค 5.2 ม.5/2 ค 5.3 ม.5/2 ค 6.1 ม.5/1 ค 6.1 ม.5/2 ค 6.1 ม.5/3 ค 6.1 ม.5/4 ค 6.1 ม.5/5 ค 6.1 ม.5/6 รวม 8 ตวชวด

ซ



มาตรฐานการเรยนร / ตวชวด

สาระท 5 การวเคราะหขอมลและความนาจะเปน

มาตรฐาน ค 5.2 ใชวธการทางสถตและความรเกยวกบความนาจะเปนในการคาดการณได อยางสมเหตสมผล

ตวชวด ม.5/2 อธบายการทดลองสม เหตการณ ความนาจะเปนของเหตการณ และน าผลท ไดไปใชคาดการณในสถานการณทก าหนดให

มาตรฐาน ค 5.3 ใชความรเกยวกบสถตและความนาจะเปนชวยในการตดสนใจและ

แกปญหา

ตวชวด ม.5/2 ใชความรเกยวกบความนาจะเปนชวยในการตดสนใจและแกปญหา

สาระท 6 ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร

มาตรฐาน ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอ ความหมาย ทางคณตศาสตร และการน าเสนอ การเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตรและเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆ และม ความคดรเรมสรางสรรค

ตวชวด ม.5/1 ใชวธการทหลากหลายแกปญหา ม.5/2 ใชความร ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร และเทคโนโลยในการ แกปญหาในสถานการณตางๆ ไดอยางเหมาะสม ม.5/3 ใหเหตผลประกอบการตดสนใจ และสรปผลไดอยางเหมาะสม ม.5/4 ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร การสอ ความหมาย และการน าเสนอ ไดอยางถกตอง และชดเจน ม.5/5 เชอมโยงความรตางๆ ในคณตศาสตร และน าความร หลกการ กระบวนการทางคณตศาสตรไปเชอมโยงกบศาสตรอนๆ ม.5/6 มความคดรเรมสรางสรรค

ฌ



จดประสงคการเรยนรสตวชวด

จดประสงคการเรยนร ชดการสอนท

1. อธบายความหมายของกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบได 2. เขยนแผนภาพตนไมได 3. สรางเงอนไขหรองานจากสงทโจทยก าหนดใหได 4. หาค าตอบโดยใชกฎการนบได 5. แกโจทยปญหาโดยการใชกฎการนบได

1

6. อธบายความหมายของแฟกทอเรยลได 7. เขยนสญลกษณและสรางเงอนไขจากสงทโจทยก าหนดใหได 8. แกสมการหาค าตอบของแฟกทอเรยลได

2

9. อธบายความหมายของการทดลองสม แซมเปลสเปซได 10. หาผลลพธทเกดจากการทดลองสม แซมเปลสเปซได 11. แกโจทยปญหาจากการทดลองสม แซมเปลสเปซได

3

12. อธบายความหมายของเหตการณได 13. หาเหตการณจากสงทโจทยก าหนดใหได 14. แกโจทยปญหาจากเหตการณทโจทยก าหนดใหได

4

15. อธบายความหมายของความนาจะเปนของเหตการณได 16. หาผลลพธทเกดจากความนาจะเปนของเหตการณได 17. แกโจทยปญหาเกยวกบความนาจะเปนของเหตการณได

5

18. บอกสมบตบางประการของความนาจะเปนได 19. แกสมการหาค าตอบโดยใชกฎบางประการของความนาจะเปนได 20. แกโจทยปญหาเกยวกบใชกฎบางประการของความนาจะเปนได

6

ญ



แบบทดสอบกอนเรยน ค าชแจง จงเลอกค าตอบทถกตองทสดเพยงขอเดยว แลวท าลงในกระดาษค าตอบ

1. หองเรยนหองหนงมนกเรยน 30 คนตองการเลอกหวหนาหองและรองหวหนาหองต าแหนงละคนจะมวธเลอก ทงหมดกวธ 1. 30 วธ 2. 59 วธ 3. 870 วธ 4. 900 วธ 2. ตองการสงจดหมาย 6 ฉบบลงในตไปรษณย 4 ต จะมวธสงไดทงหมดกวธ 1. 256 วธ 2. 512 วธ 3. 1,024 วธ 4. 4,096 วธ 3. ตองการสรางจ านวนทมสามหลกจากเลขโดด 0,1,2,3,4 และ 5 โดยทเลขโดดในแตละหลกไมซ ากนจะสรางได ทงหมดกจ านวน 1. 100 จ านวน . 2. 240 จ านวน 3. 360 จ านวน 4. 480 จ านวน 4. ครอบครวหนงมบตร 3 คน ตองการเลอกโรงเรยนใหบตรทง 3 คน เขาเรยนซงมโรงเรยนใหเลอก 7 โรงเรยน ครอบครวน จะมวธจดบตรเขาเรยนในโรงเรยนไดทงหมดกวธ 1. 7 วธ 2. 21 วธ 3. 243 วธ 4. 343 วธ 5. ตองการจดเรยงตวอกษรในค าวา "factor" โดยขนตนดวย f และลงทายดวย r จะมวธจดทงหมดกวธ 1. 12 วธ 2. 24 วธ 3. 72 วธ 4. 120 วธ

1 1



6. ตองการสรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว จากค าวา "NUMBER" โดยค าทสรางขนอาจไมมความหมาย และใชอกษรซ ากนไดจะมวธสรางทงหมดกค า 1. 360 ค า 2. 720 ค า 3. 1,296 ค า 4. 1,442 ค า 7. บรษทแหงหนงมต าแหนงงานวาง 3 ต าแหนง มผสมคร 7 คน บรษทแหงนจะมวธเลอกคนเขาท างานในต าแหนงท วางไดทงหมดกวธ 1. 210 วธ 2. 270 วธ 3. 321 วธ 4. 335 วธ 8. เลอกนกเรยน 3 คน จาก 5 คน มายนเรยงแถวหนากระดาน จะมวธท าไดทงหมดกวธ 1. 15 วธ 2. 20 วธ 3. 60 วธ 4. 120 วธ 9. มรางวล 2 รางวล คอรางวลเรยนดและรางวลผมคณธรรมและจรยธรรม จะมวธเลอกมอบรางวลใหแกนกเรยน 6 คน ไดทงหมดกวธ 1. 12 วธ 2. 15 วธ 3. 30 วธ 4. 36 วธ 10. ในงานเลยงแหงหนง มอาหารคาว 5 ชนด อาหารหวาน 4 ชนด และผลไม 3 ชนด ผไปในงานเลยงนจะมวธ เลอกรบประทานอาหาร และผลไมไดทงหมดกวธ 1. 12 วธ 2. 24 วธ 3. 36 วธ 4. 60 วธ

2



กระดาษค าตอบแบบทดสอบกอนเรยน

ชอ ..................................................................... ชน ................... เลขท ................

ตวเลอก ขอท

1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

คะแนนทได/คะแนนเตม ............/..............

ลงชอ............................................ผตรวจ (............................................)

วนท.......เดอน.......................พ.ศ.............

คะแนน

3



ใบความรท 1

กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ในชวตประจ าวนเรามกจะพบปญหาเกยวกบการนบจ านวนวธทงหมดทเหตการณอยางใดอยางหนงจะเปนไปได หรอจ านวนวธ ในการจดชดของสงตางๆ เชน การจดการแขงขนกฬา การจดชดเสอผา การจดชดอาหาร เปนตน การค านวณเพอหาค าตอบส าหรบปญหาประเภทตางๆ ดงกลาว จะท าไดงายและสะดวกรวดเรวขนถาเขาใจกฎเกณฑบางขอซงเรยกวา หลกมลฐานเกยวกบการนบ เราสามารถนบจ านวนวธของเหตการณหนงๆ ไดโดยใช “แผนภาพตนไม” ซงแผนภาพตนไมแบงไดเปน 2 แบบ คอ

1. แผนภาพตนไมทแตกกงอยางเปนระเบยบ

แผนภาพตนไมทแตกกงอยางเปนระเบยบ คอ แตละกงจะแตกออกไปแลวจะแตกกงตอกง กงละเทาๆ กน เชน

ตวอยางท 1 นายด ามเสอ 2 ตว สตางกน และกางเกง 3 ตว สตางกน จงหาจ านวนวธทงหมดทนายด าสวมเสอและกางเกงเปนชดตางๆ กน

วธท า นายด ามวธเลอกสวมเสอได 2 วธ

เลอกสวมกางเกงได 3 วธ

ดงนน นายด ามวธสวมเสอและกางเกงเปนชดตางๆ กนได (2)(3) = 6 วธ

อาจใชแผนภาพตนไมในการหาค าตอบไดดงน

4



จากแผนภาพ จะไดวานายด าเลอกสวมเสอและกางเกงเปนชดตางๆ กนเทากบ 6 วธ

ตวอยางท 2 โรงเรยนแหงหนงจดอาหารกลางวนเปนอาหารคาว 4 อยาง และขนม 3 อยาง เลอกรบประทานชนดละอยาง อยากทราบวา นกเรยนจะมวธเลอกอาหารคาวและขนมไดทงหมดกวธ

วธท า ก าหนด อาหารคาวเปน C ขนมเปน B

เขยนแผนภาพตนไมได ดงน

จากแผนภาพ นกเรยนมวธเลอกอาหารคาวและขนมไดทงหมด 12 วธ

จากตวอยางทผานมา สรางความเขาใจไดมากเลยใชไหมครบ

5



2. แผนภาพตนไมทแตกกงอยางไมเปนระเบยบ

แผนภาพตนไมทแตกกงอยางไมเปนระเบยบ คอ มบางกงของแผนภาพทแตกกงออกไปแลวไมเทากบกงของกงอน เชน

ตวอยางท 3 ในการเลนการเกมครงหนง เลนไดไมเกน 5 ครง นายธญธรมเงนเพยง 1 บาท เมอเรมเลนและเลกเลนเมอมก าไร 2 บาท (มเงน 3 บาท) หรอหมดเงน นายธญธรจะมวธการเลนเกมไดทงหมดกวธ (ถาชนะไดครงละ 1 บาท ถาแพเสยครงละ 1 บาท เชนกน) วธท า เขยนแผนภาพตนไมได ดงน

จากแผนภาพ นายธญธรมวธการเลนเกมไดทงหมด 6 วธ

6



ตวอยางท 4 การเดนทางจากเมอง ก ไปเมอง ข มเสนทางเดนทางได 3 เสนทาง คอ รถยนต รถไฟ และเครองบน จากเมอง ข ไปเมอง ค ม 2 เสนทาง คอ รถยนตและเรอ จากเมอง ค ไปเมอง ง ม 3 เสนทาง คอ เรอ รถไฟและเครองบน ถานางสาวดาวเรองจะเดนทางจากเมอง ก ไปเมอง ง โดยผานเมอง ข และ ค นางสาวดาวเรองจะมวธเลอกเดนทางไดทงหมดกวธ วธท า เขยนแผนภาพตนไมได ดงน

รถยนต เรอ

ก รถไฟ ข รถยนต ค รถไฟ ง

เครองบน เรอ เครองบน

จากแผนภาพ นางสาวดาวเรองจะมวธเลอกเดนทางไดทงหมด 18 วธ

7



แบบฝกหดท 1

เรองกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ****************************************************

ค าชแจง จงวเคราะหโจทยและตอบค าถามตอไปน โดยใชวธการเขยนแผนภาพตนไม (ขอละ 5 คะแนน) ก าหนดให A= {1,2,3} และ B={4,5,6} จะมคอนดบ (a,b) โดยท Aa และ Bb ทงหมดกค มอะไรบาง วธท า เขยนแผนภาพตนไมได ดงน

1

8



ในการเลอกประธานนกเรยน รองประธานนกเรยน และเหรญญก ต าแหนงละ 1 คน ของโรงเรยนแหงหนงจากคณะกรรมการ 3 คน โดยทแตละคนจะท าหนาทต าแหนงใดกได อยากทราบวาจะมวธการเลอกคน 3 คนเขาท างานในหนาทดงกลาวไดกวธ วธท า ก าหนดสมาชก 3 คน คอ ก, ข และ ค


2

9



นองคนดจะใสชดเสอผาไปเทยว ซงนองคนดจะใสเสอ กางเกง และหมวก ทกครง โดยทนองคนดมเสอ 3 ตว กางเกง 2 ตว และหมวก 2 ใบ ทแตกตางกนทงหมด ตามล าดบ จงหาวธทนองคนดจะใสชดเสอผาดงกลาวไดทงหมดกวธ

วธท า ก าหนด เสอทแตกตางกน 3 ตว คอ ส1, ส2 และ ส3 กางเกงทแตกตางกน 2 ตว คอ ก1 และ ก2 และหมวกทแตกตางกน 2 ใบ คอ ม1 และ ม2


3

10



แบบฝกเสรมทกษะท 1


ค าชแจง จงวเคราะหโจทยและตอบค าถามตอไปน โดยใชวธการเขยนแผนภาพตนไม (ขอละ 5 คะแนน)

ในการโยนเหรยญหาบาทหนงอนหนงครง เหรยญอาจจะขนหวหรอกอยกได ถาชายคนหนง โยนเหรยญหาบาท 3 เหรยญ พรอมกนหนงครง จะไดผลตางๆ กนทงหมดกวธ วธท า เขยนแผนภาพตนไมได ดงน

1

11



ในการแขงขนเทนนสรอบคดเลอก ผทเลนจะเขารอบ ตองชนะ 2 ใน 3 (ชนะ 2 เซต จาก 3 เซต) ถาในการแขงขนในครงน นองมะเฟองไดแขงขนกบนองทเรยน ผลการแขงขนอาจจะเกดขนไดทงหมดกวธ วธท า เขยนแผนภาพตนไมได ดงน

2

12



เย… ตอไปกศกษา ใบความรท 2 ไดแลว

เขาใจแลวครบ…..

13




กฎการนบเบองตน จากการนบจ านวนวธ โดยอาศยแผนภาพตนไมทแตกกงอยางเปนระเบยบ สามารถสรปกฎการนบเบองตนได ดงน

1. กฎการคณ

หลกการท 1 ถาตองการท างานสองอยางโดยทงานอยางแรกท าได n1 วธ และในแตละวธทเลอกท างานอยางแรกน

มวธทจะท างานอยางทสองได n2 วธ จ านวนวธทจะเลอกท างานทงสองอยางเทากบ n1 x n2 วธ ตวอยางท 1 ในการเลนเปายงชบ มผเลน 2 คน แตละคนจะออกมอแทนสงใดสงหนงใน 3 สงตอไปน คอ ฆอน กรรไกร กระดาษ จงหาจ านวนผลลพธทเปนไปไดทงหมด วธท า งานของตวอยางน คอ การเลนเปายงชบ มผเลน 2 คน

ขนตอนท 1 ผเลนคนท 1 จะออกมอได 3 แบบ ขนตอนท 2 ผเลนคนท 2 จะออกมอได 3 แบบ ขนตอนท 1 ขนตอนท 2

3 แบบ 3 แบบ

ดงนน จ านวนผลลพธทเปนไปไดทงหมดม 3 x 3 = 9 แบบ

14



ตวอยางท 2 โรงเรยนแหงหนงมประตอย 3 ประต จะมวธทนกเรยนเดนเขาและเดนออก โรงเรยนนน ไดทงหมดกวธ ถามเงอนไข ดงน 1. นกเรยนเดนเขาและเดนออกประตใดกได 2. นกเรยนเดนเขาและเดนออกประตโดยไมซ ากน

วธท า 1. นกเรยนเดนเขาและเดนออกประตใดกได งานของตวอยางน คอ นกเรยนเดนเขาและเดนออก โรงเรยนมประตอย 3 ประต

ขนตอนท 1 เวลาเดนเขามวธเลอกได 3 ประต ขนตอนท 2 เวลาเดนออกมวธเลอกได 3 ประต ขนตอนท 1 ขนตอนท 2

3 วธ 3 วธ

ดงนน วธทเขาและออกประตใดกไดม 3 x 3 = 9 วธ 2. นกเรยนเดนเขาและเดนออกประตโดยไมซ ากน

งานของตวอยางน คอ นกเรยนเขาประตหนงแลวออกอกประตหนง โรงเรยนมประตอย 3 ประต

ขนตอนท 1 เวลาเขามวธเลอกได 3 ประต ขนตอนท 2 เวลาออกไมใหซ ากบประตทเขามา ซงจะเลอกได 2 ประต ขนตอนท 1 ขนตอนท 2

3 วธ 2 วธ

ดงนน วธทเขาและออกทไมซ าประตม 3 x 2 = 6 วธ

15



หลกการท 2 ถางานอยางแรกมวธท าได n1 วธ ในแตละวธทเลอกท างานอยางแรกมวธทจะท างานอยางทสอง

ได n2 วธและในแตละวธทเลอกท างานอยางแรกและงานอยางทสองมวธทจะท างานอยางทสามได n3 วธ ฯลฯ จ านวนวธทงหมดทเลอกท างาน k อยางเทากบ n1n2n3…nk วธ ตวอยางท 3 ครตองการสงจดหมาย 5 ฉบบ ลงต 3 ต จะท าไดกวธ

วธท า ขนตอนท 1 จดหมายฉบบแรกเลอกตสงได 3 วธ ขนตอนท 2 จดหมายฉบบทสองเลอกตสงได 3 วธ

ขนตอนท 3 จดหมายฉบบสามเลอกตสงได 3 วธ ขนตอนท 4 จดหมายฉบบทสเลอกตสงได 3 วธ ขนตอนท 5 จดหมายฉบบทหาเลอกตสงได 3 วธ

จดหมายฉบบ จดหมายฉบบ จดหมายฉบบ จดหมายฉบบ จดหมายฉบบ ท 1 ท 2 ท 3 ท 4 ท 5

3 ต

3 ต

3 ต

3 ต

3 ต

ดงนน ครจะสงจดหมายไดทงสน 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35= 243 วธ

16



ตวอยางท 4 นกเรยนมจดหมาย 4 ฉบบ ถาตองการทงจดหมายลงในตจดหมาย 5 ต โดยทจดหมายแตละฉบบจะทงลงตเดยวกนไมได จะมวธทงจดหมายทง 4 ฉบบไดกวธ วธท า ขนตอนท 1 จดหมายฉบบแรกเลอกตสงได 5 วธ ขนตอนท 2 จดหมายฉบบทสองเลอกตสงได 4 วธ

ขนตอนท 3 จดหมายฉบบสามเลอกตสงได 3 วธ ขนตอนท 4 จดหมายฉบบทสเลอกตสงได 2 วธ

จดหมายฉบบ จดหมายฉบบ จดหมายฉบบ จดหมายฉบบ ท 1 ท 2 ท 3 ท 4

5 ต

4 ต

3 ต

2 ต

ดงนน นกเรยนจะสงจดหมายไดทงสน 5 x 4 x 3 x 2 = 120 วธ

17



ตวอยางท 5 ถาตองการท าปายเพอแสดงแบบ ส และขนาด ของรองเทากฬา 6 แบบ แตละแบบม 3 ส และแตละสม 5 ขนาด จะตองจดปายตางกนทงหมดไดกปาย จงจะ ครบทกแบบ ทกส และทกขนาด วธท า ขนตอนท 1 ปายเพอแสดงแบบของรองเทากฬาม 6 แบบ ขนตอนท 2 แตละแบบของรองทากฬาม 3 ส

ขนตอนท 3 แตละสม 5 ขนาด

ขนตอนท 1 ขนตอนท 2 ขนตอนท 3

6 แบบ

3 ส

5 ขนาด

ดงนน จะตองจดปายตางกนทงหมดได 6 x 5 x 3 = 90 ปาย

เรมเขาใจแลว เรามาท าแบบฝกหดกนเถอะ

18





ค าชแจง จงวเคราะหโจทยและหาค าตอบจากขอมลตอไปน โดยใชกฎการนบ (ขอละ 5 คะแนน) รานคาแหงหนงตองการจดกระเชาของขวญ ซงประกอบดวยผลไม และอาหารกระปอง อยางละ 3 และ 4 ชนด ตามล าดบ รานคาแหงนจะจดกระเชาของขวญไดทงหมดกวธ วธท า

1

19



ถาตองการสรางเลข 3 หลก ซงแตละหลกซ ากนได โดยเลอกใชเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 จะสรางไดทงหมดกจ านวน วธท า

2

20



หมายเลขโทรศพทประกอบไปดวยตวเลข 6 ตว และตวเลขสามตวแรกเปน 670 มไดทงหมดกตวเลข วธท า

3

21





ค าชแจง จงวเคราะหโจทยและหาค าตอบจากขอมลตอไปน โดยใชกฎการนบ (ขอละ 5 คะแนน) มถงสองใบ ใบทหนงมลกบอลสแดง 3 ลก สด า 2 ลก สขาว 1 ลก ทไมเหมอนกน ใบทสองมสแดง 2 ลก สด า 2 ลก สขาว 2 ลก ทไมเหมอนกน หยบลกบอลหนงลก จากถงใบทหนง ใสลงในถงใบทสอง และหยบลกบอลจากถงใบทสองออกมาหนงลก จะมวธหยบทงหมดกวธ ถาก าหนดใหลกบอลทหยบจากถงใบทหนงเปนสแดง และถงใบทสองไมใชสขาว วธท า

1

22



ในการขอสอบประเภทใหเลอกค าตอบวาจรงหรอเทจชดหนงม 10 ขอ นกเรยนจะมวธท าขอสอบชดน ไดตางๆ กนกวธ (สมมตวาตองตอบขอสอบทกขอ) ผลการแขงขนอาจจะเกดขนไดทงหมดกวธ วธท า

2

23




2. กฎการบวก

หลกการท 1 ถาตองการท างานสองอยางโดยทงานอยางแรกท าได n1 วธ งานอยางสองได n2 วธ และงานทงสอง

อยางไมสามารถท าพรอมๆ กนได แลวจ านวนวธทจะเลอกท างานทงสองอยางเทากบ n1+ n2 วธ

ตวอยางท 1 หยบไพ 1 ใบ จากไพทมทงส ารบทม 52 ใบ จงหาจ านวนวธทจะหยบไพไดโพด า หรอขาวหลามตด วธท า เนองจากไพดอกโพด า หรอดอกขาวหลามตดมอยางละ 13 ใบ หยบ 1 ใบ ใหไดไพโพด า หรอไพขาวหลามตด สามารถแยกได 2 กรณ ดงน

กรณท 1 เลอกหยบไพดอกโพด า 1 ใบ จากทงหมด 13 ใบ ท าได 13 วธ กรณท 2 เลอกหยบไพดอกขาวหลามตด 1 ใบ จากทงหมด 13 ใบ ท าได 13 วธ กรณท 1 หยบไพดอกโพด า กรณท 2 หยบไพดอกขาวหลามตด

13 วธ

13 วธ

ดงนน จ านวนวธทจะหยบไพไดโพด า หรอขาวหลามตดมทงหมด 13 + 13 = 26 วธ

24



ตวอยางท 2 บรษทแหงหนงมต าแหนงวางอย 2 ต าแหนงทแตกตางกน ถามผสมครเขา ท างาน 3 คน คอ ก, ข, และ ง เมอท าการสมภาษณแลวปรากฏวาคนทเหมาะสมกบ ต าแหนงท 1 คอ ก และ ข คนทเหมาะสมกบต าแหนงท 2 คอ ข, ค และ ง จงหาจ านวน วธทแตกตางกนทบรษทจะบรรจคนเขาท างาน โดยใหคนเหมาะสมกบงาน

วธท า การหาจ านวนวธทแตกตางกนทบรษทจะบรรจคนเขาท างาน โดยใหคนเหมาะสมกบงาน แบงเปน 2 กรณ ดงน กรณท 1 ถาเลอกบรรจ ก เขาท างานต าแหนงท 1 แลวสามารถเลอกบรรจ ข, ค และ ง คนใด คนหนงเขาท างานในต าแหนงท 2 กรณน มวธบรรจคนเขาท างานได 1 x 3 = 3 วธ กรณท 2 ถาเลอกบรรจ ข เขาท างานต าแหนงท 1 แลวสามารถเลอกบรรจ ค และ ง คนใดคน หนงเขาท างานในต าแหนงท 2 กรณน มวธบรรจคนเขาท างานได 1 x 2 = 2 วธ

ก ต าแหนงท 1 ข ต าแหนงท 1 ข, ค และ ง ต าแหนงท 2 ค และ ง ต าแหนงท 2

3 วธ

2 วธ

ดงนน จ านวนวธทแตกตางกนทบรษทจะบรรจคนเขาท างาน โดยใหคนเหมาะสมกบงานไดทงหมด 3 + 2 = 5 วธ

25



ตวอยางท 3 ชายคนหนงมกางเกงสขาว สเทา และสน าเงน อยางละ 1 ตว ถามเสอ สออนทไมเหมอนกน 5 ตว มเสอสเขมทไมเหมอนกน 4 ตว โดยทเมอเขาใสกางเกงสเทา หรอสขาว จะสามารถใสไดกบเสอทกตว แตเมอเขาใสกางเกงสน าเงนจะใสไดกบเสอสเขม เทานน จงหาจ านวนวธแตงตวของชายคนน วธท า เนองจากสงทเขาตองการท า คอ แตงตว ซงประกอบดวย 2 ขนตอน คอ ใสกางเกงและใสเสอ เนองจากการใสกางเกงสอะไรมผลตอการใสเสอนนไมเหมอนกน ดงนน ตองแยกการคดเปน 2 กรณ

กรณท 1 ใสกางเกงสเทาหรอสขาว เขาสามารถเลอกใสเสอไดทกตว (ม 9 ตว) กรณนเขาสามารถ ท าได 2 x 9 = 18 วธ กรณท 2 ใสกางเกงสน าเงน เขาสามารถเลอกใสเสอไดเฉพาะสเขม (ม 4 ตว) กรณนเขาสามารถ ท าได 1 x 4 = 4 วธ กางเกงสเทาหรอสขาว กางเกงสน าเงน ใสเสอไดทกตว (ม 9 ตว) ใสเสอไดเฉพาะสเขม (ม 4 ตว)

18 วธ

4 วธ

ดงนน จ านวนวธแตงตวของชายคนนไดทงหมด 18 + 4 = 22 วธ

26



หลกการท 2 ถาตองการท างาน k อยาง โดยทงานแตละอยางสามารถท าได n1n2n3…nk วธ และไมมงานคใดเลย

ทสามารถท าพรอมกนได แลวจ านวนวธทจะเลอกท างานทงหมดเทากบ n1+n2+n3+…..+nk วธ ตวอยางท 4 ถาใชพยญชนะ ก, ข, ค และ ง ในการสรางรหส 1 หลก หรอ 2 หลก หรอ 3 หลก หรอ 4 หลกกได แตหามใชพยญชนะซ ากนในแตละหลก แลวจะสรางรหสไดกแบบ

วธท า การเขยนรหสสามารถแยกเปน 4 กรณ ดงน กรณท 1 รหสทประกอบดวยพยญชนะ 1 ตว จากทงหมด 4 ตว ท าได 4 วธ กรณท 2 รหสทประกอบดวยพยญชนะ 2 ตว จากทงหมด 4 ตว ท าได 4 x 3 = 12 วธ กรณท 3 รหสทประกอบดวยพยญชนะ 3 ตว จากทงหมด 4 ตว ท าได 4 x 3 x 2 = 24 วธ กรณท 4 รหสทประกอบดวยพยญชนะ 4 ตว จากทงหมด 4 ตว ท าได 4 x 3 x 2 x 1 = 24

วธ

พยญชนะ 1 ตว พยญชนะ 2 ตว พยญชนะ 3 ตว พยญชนะ 4 ตว

4 วธ

12 วธ

24 วธ

24 วธ

ดงนน จะสรางรหสไดทงหมด 4 + 12 + 24 + 24 = 64 วธ

27



รสกวามความรขนเยอะเลย เรามาท าแบบฝกหด

.............................ตอไปกนเถอะ........................

ตวอยางท 5 มเลขโดด 5 ตว คอ 0, 1, 2, 3 และ 5 ตองการสรางเลข 3 หลก ซง ประกอบดวยเลขโดดเหลาน และจ านวนเหลานนตองหารดวย 5 ลงตว จะมวธการ สรางจ านวนไดทงหมดกจ านวน เมอใชเลขซ ากนไมได วธท า จากเงอนไขขางตน สงทตองระวง คอ ตวเลขทน าไปใสในหลกหนวย จะตองเปนเลข 0 หรอ 5 เทานน และหลกรอยจะตองไมเปน 0 กรณท 1 หลกหนวยเปน 0 หลกหนวย เลอกเลขโดดได 1 วธ คอ 0 หลกสบ เลอกเลขโดดได 4 วธ คอ 1, 2, 3 และ 5

หลกรอย เลอกเลขโดดได 3 วธ คอ ทเหลอจากหลกสบเลอกไปแลว 1 จ านวน ดงนน จ านวนวธทสรางไดทงหมด 3 x 4 x 1 = 12 วธ

กรณท 2 หลกหนวยเปน 5 หลกหนวย เลอกเลขโดดได 1 วธ คอ 5 หลกสบ เลอกเลขโดดได 3 วธ คอ 1, 2, 3

หลกรอย เลอกเลขโดดได 2 วธ คอ ทเหลอจากหลกสบเลอกไปแลว 1 จ านวน จะได จ านวนวธทสรางไดทงหมด 2 x 3 x 1 = 6 วธ

แตกรณทหลกสบเปน 0 ซงเลอกได 1 วธ ในหลกรอยจะเลอกได 3 วธ คอ 1, 2, 3 จะได จ านวนวธทสรางไดทงหมด 3 x 1 x 1 = 3 วธ

ดงนน จ านวนวธทสรางไดทงหมด 6 + 3 = 9 วธ สรปไดวา จ านวนวธสรางเลข 3 หลก ทหารดวย 5 ลงตว และเลขซ ากนไมได จะมวธการทสรางไดทงหมด 12 + 9 = 21 วธ

28





ค าชแจง จงวเคราะหโจทยและหาค าตอบจากขอมลตอไปน โดยใชกฎการนบ (ขอละ 5 คะแนน) มชาย 3 คน หญง 3 คน ยนแถวสลบกนเปนแถวยาว จะสามารถยนไดกวธทงหมดทแตกตางกน วธท า

1

29



ตองการสรางเลข 3 หลก จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 โดยแตละหลกไมซ ากน จะมวธการสรางจ านวนไดทงหมดกจ านวน เมอ

1) เปนจ านวนทมคามากกวา 250 2) เปนจ านวนทหารดวย 2 ไมลงตว

วธท า

2

30



บานพกและสถานทท างานของดอนตงอยรมฝงแมน าเจาพระยา ดอนโดยสารเรอยนตไปท างานตอนเชาและกลบทพกตอนเยน ถาเรอยนตม 3 ขนาด คอ ขนาดใหญ 3 ล า ขนาด

กลาง 5 ล า และขนาดเลก 2 ล า จ านวนวธทงหมดทดอนโดยสารเรอยนตไปท างานและกลบ บานพกดวยเรอขนาดเดยวกน แตไมใชเรอล าเดยวกนไดทงหมดกวธ

วธท า

3

31





ค าชแจง จงวเคราะหโจทยและหาค าตอบจากขอมลตอไปน โดยใชกฎการนบ (ขอละ 5 คะแนน) หนงสอกองหนงมหนงสอคณตศาสตรทแตกตางกน 5 เลม หนงสอเคมทแตกตางกน 4 เลม และหนงสอวชาภาษาไทยทแตกตางกน 3 เลม จงหาจ านวนวธทหยบหนงสอ 1 เลม จากหนงสอกองน

วธท า

1

32



จ านวนเตมคซงอยระหวาง 100 และ 999 ซงมหลกหนวยหรอหลกรอยเปนจ านวนเฉพาะ มจ านวนทงหมดกจ านวน วธท า

2

33



แบบทดสอบหลงเรยน

ค าชแจง จงเลอกค าตอบทถกตองทสดเพยงขอเดยว แลวท าลงในกระดาษค าตอบ

1. ตองการจดเรยงตวอกษรในค าวา "factor" โดยขนตนดวย f และลงทายดวย r จะมวธจดทงหมดกวธ 1. 12 วธ 2. 24 วธ 3. 72 วธ 4. 120 วธ 2. ครอบครวหนงมบตร 3 คน ตองการเลอกโรงเรยนใหบตรทง 3 คน เขาเรยนซงมโรงเรยนใหเลอก 7 โรงเรยน ครอบครวน จะมวธจดบตรเขาเรยนในโรงเรยนไดทงหมดกวธ 1. 7 วธ 2. 21 วธ 3. 243 วธ 4. 343 วธ 3. มรางวล 2 รางวล คอ รางวลเรยนดและรางวลผมคณธรรมและจรยธรรม จะมวธเลอกมอบรางวลใหแกนกเรยน 6 คน ไดทงหมดกวธ 1. 12 วธ 2. 15 วธ 3. 30 วธ 4. 36 วธ 4. ตองการสงจดหมาย 6 ฉบบ ลงในตไปรษณย 4 ต จะมวธสงไดทงหมดกวธ 1. 256 วธ 2. 512 วธ 3. 1,024 วธ 4. 4,096 วธ 5. หองเรยนหองหนงมนกเรยน 30 คน ตองการเลอกหวหนาหองและรองหวหนาหองต าแหนงละคน จะมวธเลอก ทงหมดกวธ 1. 30 วธ 2. 59 วธ 3. 870 วธ 4. 900 วธ

34



6. เลอกนกเรยน 3 คน จาก 5 คน มายนเรยงแถวหนากระดาน จะมวธท าไดทงหมดกวธ 1. 15 วธ 2. 20 วธ 3. 60 วธ 4. 120 วธ 7. ในงานเลยงแหงหนง มอาหารคาว 5 ชนด อาหารหวาน 4 ชนด และผลไม 3 ชนด ผไปในงานเลยงนจะมวธ เลอกรบประทานอาหาร และผลไมไดทงหมดกวธ 1. 12 วธ 2. 24 วธ 3. 36 วธ 4. 60 วธ 8. ตองการสรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว จากค าวา "NUMBER" โดยค าทสรางขนอาจไมมความหมาย และใชอกษรซ ากนไดจะมวธสรางทงหมดกค า 1. 1,442 ค า 2. 1,296 ค า 3. 720 ค า 4. 360 ค า 9. ตองการสรางจ านวนทมสามหลกจากเลขโดด 0,1,2,3,4 และ 5 โดยทเลขโดดในแตละหลกไมซ ากนจะสรางได ทงหมดกจ านวน 1. 100 จ านวน . 2. 240 จ านวน 3. 360 จ านวน 4. 480 จ านวน 10. บรษทแหงหนงมต าแหนงงานวาง 3 ต าแหนง มผสมคร 7 คน บรษทแหงนจะมวธเลอกคนเขาท างานในต าแหนงท วางไดทงหมดกวธ 1. 210 วธ 2. 270 วธ 3. 321 วธ 4. 335 วธ .

35



กระดาษค าตอบแบบทดสอบหลงเรยน

ชอ ..................................................................... ชน ................... เลขท ................


1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


ลงชอ............................................ผตรวจ (............................................)

วนท.......เดอน.......................พ.ศ.............

36

คะแนน



37

แบบฝกหดท 1 ได ................ คะแนน แบบฝกเสรมทกษะท 1 ได ................ คะแนน แบบฝกหดท 2 ได ................ คะแนน แบบฝกเสรมทกษะท 2 ได ................ คะแนน แบบฝกหดท 3 ได ................ คะแนน แบบฝกเสรมทกษะท 3 ได ................ คะแนน แบบทดสอบกอนเรยน ได ................ คะแนน แบบทดสอบหลงเรยน ได ................ คะแนน รวมคนเกงท าได ................ คะแนน สรปคะแนนคดเปนรอยละ ................

คะแนนเตม 95 คะแนน

เยยมมากเลยคะ

คนเกงท าคะแนนระหวางเรยนไดกคะแนน



เกณฑการประเมนชนงาน

แบบฝกหดท 1 ม 3 ขอ ขอละ 5 คะแนน (รวม 15 คะแนน) - ก าหนดเงอนไขทโจทยก าหนดไหไดถกตอง = 1 คะแนน - เขยนแผนภาพตนไมไดถกตอง = 3 คะแนน - สรปสงทโจทยถามไดถกตอง = 1 คะแนน แบบฝกเสรมทกษะท 1 ม 2 ขอ ขอละ 5 คะแนน (รวม 10 คะแนน) - ก าหนดงานหรอเงอนไขทโจทยตองการไดถกตอง = 1 คะแนน - สรางขนตอนหรอแยกเปนกรณในการหาค าตอบไดถกตอง = 3 คะแนน - สรปสงทโจทยถามไดถกตอง = 1 คะแนน แบบฝกหดท 2 ม 3 ขอ ขอละ 5 คะแนน (รวม 15 คะแนน) - ก าหนดเงอนไขทโจทยก าหนดไหไดถกตอง = 1 คะแนน - เขยนแผนภาพตนไมไดถกตอง = 3 คะแนน - สรปสงทโจทยถามไดถกตอง = 1 คะแนน แบบฝกเสรมทกษะท 2 ม 2 ขอ ขอละ 5 คะแนน (รวม 10 คะแนน) - ก าหนดงานหรอเงอนไขทโจทยตองการไดถกตอง = 1 คะแนน - สรางขนตอนหรอแยกเปนกรณในการหาค าตอบไดถกตอง = 3 คะแนน - สรปสงทโจทยถามไดถกตอง = 1 คะแนน แบบฝกหดท 3 ม 3 ขอ ขอละ 5 คะแนน (รวม 15 คะแนน) - ก าหนดเงอนไขทโจทยก าหนดไหไดถกตอง = 1 คะแนน - เขยนแผนภาพตนไมไดถกตอง = 3 คะแนน - สรปสงทโจทยถามไดถกตอง = 1 คะแนน แบบฝกเสรมทกษะท 3 ม 2 ขอ ขอละ 5 คะแนน (รวม 10 คะแนน) - ก าหนดงานหรอเงอนไขทโจทยตองการไดถกตอง = 1 คะแนน - สรางขนตอนหรอแยกเปนกรณในการหาค าตอบไดถกตอง = 3 คะแนน - สรปสงทโจทยถามไดถกตอง = 1 คะแนน แบบทดสอบกอนเรยน ม 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน (รวม 10 คะแนน) - ตอบค าถามไดถกตอง = 1 คะแนน - ตอบค าถามไมถกตอง ไมมคะแนน แบบทดสอบหลงเรยน ม 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน (รวม 10 คะแนน) - ตอบค าถามไดถกตอง = 1 คะแนน - ตอบค าถามไมถกตอง ไมมคะแนน

38



บรรณานกรม กนกวล อษณกรกล, รณชย มาเจรญทรพย. 2553. แบบฝกหดและการประเมนผลการเรยนร คณตศาสตรพนฐาน ชนมธยมศกษาปท 4-6 เลม 2. กรงเทพฯ : เดอะบคส. กวยา เนาวประทป. 2556. เทคนคการเรยนคณตศาสตร : ความนาจะเปน. กรงเทพฯ : ฟสกสเซนเตอร. จกรนทร วรรณโพธกลาง. 2553. คมอสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร ม. 5 เลม 2. กรงเทพฯ :

พ.ศ. พฒนา จ ากด. พพฒนพงศ ศรวศร. 2553. คมอคณตศาสตรพนฐาน ชนมธยมศกษาปท 4-6 เลม 2. กรงเทพฯ: เดอะ

บคส. พพฒนพงศ ศรวศร. 255.ถ คมอคณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4-6 เลม 4. กรงเทพฯ: เดอะ

บคส. วรยะ ศรชานนท. 2544. คมอเตรยมสอบ Road of University วชาคณตศาสตร 1. กรงเทพฯ:

อกษรเจรญทศน. สมย เหลาวานชย, พวพรรณ เหลาวานชย. 2537. Hi- ED’ s Mathematics คณตศาสตร ม. 5 เลม

4. กรงเทพฯ: ไฮเอดพบลชชง จ ากด. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน. 2554. หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร

ชนมธยมศกษาปท 4-6 เลม 2. กรงเทพฯ: โรงพมพ สกสค.

39



ภาคผนวก



สมาชกตวหนา สมาชกตวหลง

4

1 5

6 4

2 5

6 4

3 5

6



ค าชแจง จงวเคราะหโจทยและตอบค าถาม โดยใชวธการเขยนแผนภาพตนไม (ขอละ 5 คะแนน) ก าหนดให A= {1,2,3} และ B={4,5,6} จะมคอนดบ (a,b) โดยท Aa และ Bb ทงหมดกค มอะไรบาง วธท า เขยนแผนภาพตนไมได ดงน จากแผนภาพ จะมคอนดบทงหมด 9 ค ดงน (1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6)

1

41



ในการเลอกประธานนกเรยน รองประธานนกเรยน และเหรญญก ต าแหนงละ 1 คน ของโรงเรยนแหงหนงจากคณะกรรมการ 3 คน โดยทแตละคนจะท าหนาทต าแหนงใดกได อยากทราบวาจะมวธการเลอกคน 3 คนเขาท างานในหนาทดงกลาวไดกวธ วธท า ก าหนดสมาชก 3 คน คอ ก, ข และ ค

เขยนแผนภาพตนไมได ดงน ประธาน รองประธาน เหรญญก ข ค ก ค ข

ก ค ข ค ก ก ข ค ข ก จากแผนภาพ จะมวธการเลอกคน 3 คนเขาท างานในหนาทดงกลาวได 6 วธ

2

42



นองคนดจะใสชดเสอผาไปเทยว ซงนองคนดจะใสเสอ กางเกง และหมวก ทกครง โดยทนองคนดมเสอ กางเกง และหมวกทแตกตางกนทงหมด 3 ตว 2 ตว และ 2 ใบ ตามล าดบ จงหาวธทงหมดทนองคนดจะใสชดเสอผาดงกลาวไดกวธ

วธท า ก าหนด เสอทแตกตางกน 3 ตว คอ ส1, ส2 และ ส3 กางเกงทแตกตางกน 2 ตว คอ ก1 และ ก2 และหมวกทแตกตางกน 2 ใบ คอ ม1 และ ม2 เขยนแผนภาพตนไมได ดงน

หมวก เสอ กางเกง

ก1 ส1

ก2

ก1 ม1 ส1 ก2 ก1

ส1 ก2 ก1

ส1 ก2

ก1 ม2 ส1 ก2 ก1

ส1 ก2 จากแผนภาพ นองคนดจะมวธการเลอกใสชดเสอผาดงกลาวได 12 วธ

3

43





ค าชแจง จงวเคราะหโจทยและตอบค าถาม โดยใชวธการเขยนแผนภาพตนไม (ขอละ 5 คะแนน)

ในการโยนเหรยญหาบาทหนงอนหนงครง เหรยญอาจจะขนหวหรอกอยกได ถาชายคนหนงโยนเหรยญหาบาท 3 เหรยญ พรอมกนหนงครง จะไดผลตางๆ กนทงหมดกวธ วธท า เขยนแผนภาพตนไมได ดงน เหรยญท 1 เหรยญท 2 เหรยญท 3

หว หว

กอย หว

หว กอย

กอย

หว หว

กอย กอย หว

กอย กอย

จากแผนภาพ ในการโยนเหรยญหาบาท 3 เหรยญ พรอมกนหนงครง จะไดผลตางๆ กนทงหมด 12 วธ

1

44



ในการแขงขนเทนนสรอบคดเลอก ผทเลนจะเขารอบ ตองชนะ 2 ใน 3 (ชนะ 2 เซต จาก 3 เซต) ถาในการแขงขนในครงน นองมะเฟองไดแขงขนกบนองทเรยน ผลการแขงขนอาจจะเกดขนไดทงหมดกวธ วธท า เขยนแผนภาพตนไมได ดงน เซตท 1 เซตท 2 เชตท 3 แพ

แพ แพ ชนะ ชนะ แพ แพ ชนะ ชนะ ชนะ

จากแผนภาพ ผลการแขงขนอาจจะเกดขนไดทงหมด 6 วธ

2

45





ค าชแจง จงวเคราะหโจทยและหาค าตอบจากขอมลตอไปน โดยใชกฎการนบ (ขอละ 5 คะแนน) รานคาแหงหนงตองการจดกระเชาของขวญ ซงประกอบดวยผลไม และอาหารกระปอง อยางละ 3 และ 4 ชนด ตามล าดบ รานคาแหงนจะจดกระเชาของขวญไดทงหมดกวธ

วธท า งานของตวอยางน คอ การจดกระเชาของขวญประกอบดวยผลไม และอาหารกระปอง

ขนตอนท 1 ผลไมจดได 3 แบบ ขนตอนท 2 อาหารกระปองจดได 4 แบบ ขนตอนท 1 ขนตอนท 2

3 แบบ 4 แบบ

ดงนน รานคาแหงนจะจดกระเชาของขวญไดทงหมด 3 x 4 = 12 แบบ

1

46



งานของตวอยางน คอ การสรางเลข 3 หลก จากเลขโดด 10 ตว

ถาตองการสรางเลข 3 หลก ซงแตละหลกซ ากนได โดยเลอกใชเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 จะสรางไดทงหมดกจ านวน วธท า ขนตอนท 1 เลอกเลขหลกรอยกอนได 9 วธ (0 เปนหลกรอยไมได) ขนตอนท 2 เลอกเลขหลกสบได 10 วธ (0 เปนหลกสบได ซ ากนได)

ขนตอนท 3 เลอกเลขหลกหนอยได 10 วธ (ซ ากนได)

หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

9 วธ

10 วธ

10 วธ

ดงนน จะสรางเลข 3 หลกไดทงหมด 9 x 10 x 10 = 900 วธ

2

47



หมายเลขโทรศพทประกอบไปดวยตวเลข 6 ตว และตวเลขสามตวแรกเปน 670 มไดทงหมดกตวเลข

วธท า

งานของตวอยางน คอ หมายเลขโทรศพทประกอบไปดวยตวเลข 6 ต าแหนง ซงแตละต าแหนงกเปนสมาชกของเซต S={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

ขนตอนท 1 เลอกเลขใสได 1 วธ คอ 6 ขนตอนท 2 เลอกเลขใสได 1 วธ คอ 7

ขนตอนท 3 เลอกเลขใสได 1 วธ คอ 0 ขนตอนท 4 เลอกเลขใสได 10 วธ คอ ตวใดตวหนงใน S ขนตอนท 5 เลอกเลขใสได 10 วธ คอ ตวใดตวหนงใน S

ขนตอนท 6 เลอกเลขใสได 10 วธ คอ ตวใดตวหนงใน S

ต าแหนง ต าแหนง ต าแหนง ต าแหนง ต าแหนง ต าแหนง ท 1 ท 2 ท 3 ท 4 ท 5 ท 6

1 วธ

1 วธ

1 วธ

10 วธ

10 วธ

10 วธ

ดงนน หมายเลขโทรศพททสามตวแรกเปน 670 มไดทงหมด 1 x 1 x 1 x 10 x 10 x 10 = 1000 หมายเลข

3

48





ค าชแจง จงวเคราะหโจทยและหาค าตอบจากขอมลตอไปน โดยใชกฎการนบ (ขอละ 5 คะแนน) มถงสองใบ ใบทหนงมลกบอลสแดง 3 ลก สด า 2 ลก สขาว 1 ลก ทไมเหมอนกน ใบทสองมสแดง 2 ลก สด า 2 ลก สขาว 2 ลก ทไมเหมอนกน หยบลกบอลหนงลก จากถงใบทหนง ใสลงในถงใบทสอง และหยบลกบอลจากถงใบทสองออกมาหนงลก จะมวธหยบทงหมดกวธ ถาก าหนดใหลกบอลทหยบจากถงใบทหนงเปนสแดง และถงใบทสองไมใชสขาว

วธท า งานของตวอยางน คอ ถงสองใบ ใบทหนงมลกบอล 6 ลก และใบทสองมลกบอล 6 ลก ขนตอนท 1 ใบทหนงมลกบอลสแดง 3 ลก

ขนตอนท 2 ใบทสองมลกบอลไมใชสขาว 5 ลก ลกบอลสแดง ลกบอลไมใชสขาว

1 ลก

5 ลก

ดงนน จะมวธหยบลกบอลไดทงหมด 3 x 5 = 15 วธ

49

1



ในการขอสอบประเภทใหเลอกค าตอบวาจรงหรอเทจชดหนงม 10 ขอ นกเรยนจะมวธท าขอสอบชดนไดตางๆ กนกวธ (สมมตวาตองตอบขอสอบทกขอ) ผลการแขงขนอาจจะเกดขนไดทงหมดกวธ วธท า งานของตวอยางน คอ ขอสอบประเภทใหเลอกค าตอบม 10 ขอค าถาม แตละขอตอบ ได 2 วธ คอ จรงหรอเทจ ขนตอนท 1 ขอสอบขอ 1 สามารถเลอกท าได 2 วธ ขนตอนท 2 ขอสอบขอ 2 สามารถเลอกท าได 2 วธ

ขนตอนท 3 ขอสอบขอ 3 สามารถเลอกท าได 2 วธ ขนตอนท 4 ขอสอบขอ 4 สามารถเลอกท าได 2 วธ ขนตอนท 5 ขอสอบขอ 5 สามารถเลอกท าได 2 วธ

ขนตอนท 6 ขอสอบขอ 6 สามารถเลอกท าได 2 วธ ขนตอนท 7 ขอสอบขอ 7 สามารถเลอกท าได 2 วธ

ขนตอนท 8 ขอสอบขอ 8 สามารถเลอกท าได 2 วธ ขนตอนท 9 ขอสอบขอ 9 สามารถเลอกท าได 2 วธ ขนตอนท 10 ขอสอบขอ 10 สามารถเลอกท าได 2 วธ ดงนน นกเรยนแตละคนสามารถเลอกท าขอสอบไดทงหมด 2 x2 x 2 x 2 x 2 x 2 x2 x 2 x 2 x 2 = 1,024 วธ

2

50





ค าชแจง จงวเคราะหโจทยและหาค าตอบจากขอมลตอไปน โดยใชกฎการนบ (ขอละ 5 คะแนน) มชาย 3 คน หญง 3 คน ยนแถวสลบกนเปนแถวยาว จะสามารถยนไดกวธทงหมดทแตกตางกน วธท า การยนสลบแถวกนเปนแถวยาว ซงมชาย 3 คน หญง 3 คน แบงเปน 2 กรณ ดงน กรณท 1 ชายยนหวแถว ชาย หญง ชาย หญง ชาย หญง จากกรณท 1 สามารถยนแถวสลบกนได 3 x3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 36วธ กรณท 2 หญงยนหวแถว หญง ชาย หญง ชาย หญง ชาย

จากกรณท 2 สามารถยนแถวสลบกนเปนแถวได 3 x3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 36 วธ ดงนน จ านวนวธทสามารถยนแถวสลบกนไดแตกตางกนทงหมด 36 + 36 = 72 วธ

3 วธ 3 วธ 2 วธ 2 วธ 1 วธ 1 วธ

3 วธ 3 วธ 2 วธ 2 วธ 1 วธ 1 วธ

1

51



ตองการสรางเลข 3 หลก จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 โดยแตละหลกไมซ ากน จะมวธการสรางจ านวนไดทงหมดกจ านวน เมอ

1) เปนจ านวนทมคามากกวา 250 2) เปนจ านวนทหารดวย 2 ไมลงตว

วธท า

1) เปนจ านวนทมคามากกวา 250 การสรางเลข 3 หลก จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 โดยแตละหลกไมซ ากน แบงเปน 2 กรณ ดงน กรณท 1 หลกรอยเปน 2 หลกรอย(2) หลกสบ(5) หลกหนวย(1,3.4) จากกรณท 1 สามารถสรางเลข 3 หลกไดทงหมด 1 x 1 x 3 = 3 วธ กรณท 2 หลกรอยเปน 3, 4, 5 หลกรอย(3,4,5) หลกสบ หลกหนวย จากกรณท 2 สามารถสรางเลข 3 หลกไดทงหมด 3 x 5 x 4 = 60 วธ

ดงนน สรางจ านวนทมคามากกวา 250 โดยแตละหลกไมซ ากน ไดทงหมด 3 + 60 = 63 วธ

1 วธ 1 วธ 3 วธ


2

52



2) เปนจ านวนทหารดวย 2 ไมลงตว การสรางเลข 3 หลก จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 โดยแตละหลกไมซ ากน ระวงหลกรอยไมเปน 0 ขนตอนท 1 จ านวนทสรางแบบไมมเงอนไข หลกรอย หลกสบ หลกหนวย จากขนตอนท 1 สามารถสรางเลข 3 หลกไดทงหมด 5 x 5 x 4 = 100 วธ ขนตอนท 2 จ านวนทหารดวย 2 ลงตว แบงเปน 2 กรณ ดงน กรณท 1 หลกหนวยเปน 0 หลกรอย หลกสบ หลกหนวย จากกรณท 1 สามารถสรางเลข 3 หลกไดทงหมด 4 x 5 x 1 = 20 วธ กรณท 2 หลกหนวยเปน 2, 4 หลกรอย หลกสบ หลกหนวย(2,4) จากกรณท 2 สามารถสรางเลข 3 หลกไดทงหมด 4 x 4 x 2 = 32 วธ ดงนน สามารถสรางเลข 3 หลกไดทงหมด 20 + 32 = 52 วธ ฉะนน จ านวนท 2 หารไมลงตว = จ านวนทไมมเงอนไข –จ านวนท 2 หารลงตว = 100 –52 = 48 วธ




53



บานพกและสถานทท างานของดอนตงอยรมฝงแมน าเจาพระยา ดอนโดยสาร เรอยนตไปท างานตอนเชาและกลบทพกตอนเยน ถาเรอยนตม 3 ขนาด คอ ขนาดใหญ 3 ล า ขนาดกลาง 5 ล า และขนาดเลก 2 ล า จ านวนวธทงหมดท

ดอนโดยสารเรอยนตไปท างานและกลบบานพกดวยเรอขนาดเดยวกน แตไมใชเรอล าเดยวกนไดทงหมดกวธ วธท า

ดอนโดยสารเรอยนตไปท างานและกลบบานพกดวยเรอขนาดเดยวกน แตไมใชเรอล า เดยวกนไดทงหมด แบงเปน 3 กรณ ดงน กรณท 1 เลอกโดยสารเรอยนตขนาดใหญ ตอนเชาไป ตอนเยนกลบ จากกรณท 1 โดยสารเรอยนตขนาดใหญไดทงหมด 3 x 2 = 6 วธ กรณท 2 เลอกโดยสารเรอยนตขนาดกลาง ตอนเชาไป ตอนเยนกลบ จากกรณท 2 โดยสารเรอยนตขนาดกลางไดทงหมด 5 x 4 = 20 วธ กรณท 3 เลอกโดยสารเรอยนตขนาดเลก ตอนเชาไป ตอนเยนกลบ จากกรณท 3 โดยสารเรอยนตขนาดเลกไดทงหมด 2 x 1 = 2 วธ ดงนน จ านวนวธทสามารถเลอกโดยสารเรอยนตไดทงหมด 6 + 20 + 2 = 28 วธ

3 วธ 2 วธ

5 วธ 4 วธ

2 วธ 1 วธ

3

54





ค าชแจง จงวเคราะหโจทยและหาค าตอบจากขอมลตอไปน โดยใชกฎการนบ (ขอละ 5 คะแนน) หนงสอกองหนงมหนงสอคณตศาสตรทแตกตางกน 5 เลม หนงสอเคมทแตกตางกน 4 เลม และหนงสอวชาภาษาไทยทแตกตางกน 3 เลม จงหาจ านวนวธทหยบหนงสอ 1 เลม จากหนงสอกองน วธท า หยบหนงสอ 1 เลม จากกองหนงสอนมวธการ 3 วธ คอ หยบหนงสอ คณตศาสตร หรอหยบหนงสอเคม แบงเปน 3 กรณ ดงน กรณท 1 เลอกหยบหนงสอคณตศาสตร คณตศาสตร จากกรณท 1 เลอกหยบหนงสอคณตศาสตร มวธการหยบ 5 วธ กรณท 2 เลอกหยบหนงสอเคม เคม จากกรณท 2 เลอกหยบหนงสอเคม มวธการหยบ 4 วธ กรณท 3 เลอกหยบหนงสอภาษาไทย ภาษาไทย จากกรณท 3 หยบหนงสอภาษาไทย มวธการหยบ 3 วธ ดงนน จ านวนวธทหยบหนงสอ 1 เลม จากหนงสอกองนไดทงหมด 5 + 4 + 3 = 12 วธ

5 วธ

4 วธ

3 วธ

1

55



จ านวนเตมคซงอยระหวาง 100 และ 999 ซงมหลกหนวยหรอหลกรอย เปนจ านวนเฉพาะ มจ านวนทงหมดกจ านวน วธท า จ านวนเตมคซงอยระหวาง 100 และ 999 ซงมหลกหนวยหรอหลกรอย เปนจ านวนเฉพาะ แบงเปน 3 กรณ ดงน กรณท 1 หลกรอยไมใชจ านวนเฉพาะ หลกหนวยเปนจ านวนเฉพาะค หลกรอย(1,4,6,8,9) หลกสบ หลกหนวย(3,5,7) จากกรณท 1 สามารถสรางไดทงหมด 5 x 10 x 3 = 150 วธ กรณท 2 หลกรอยเปนจ านวนเฉพาะ หลกหนวยเปนจ านวนคไมใชเฉพาะ หลกรอย(2,3,5,7) หลกสบ หลกหนวย(1,9) จากกรณท 2 สามารถสรางไดทงหมด 4 x 10 x 2 = 80 วธ กรณท 3 หลกรอยเปนจ านวนเฉพาะ หลกหนวยเปนจ านวนเฉพาะค หลกรอย(2,3,5,7) หลกสบ หลกหนวย(3,5,7) จากกรณท 3 สามารถสรางไดทงหมด 4 x 10 x 3 = 120 วธ ดงนน จ านวนเตมคซงอยระหวาง 100 และ 999 ซงมหลกหนวยหรอหลกรอย เปนจ านวนเฉพาะ ไดทงหมด 150 + 80 + 120 = 350 วธ




2

56



กระดาษค าตอบแบบทดสอบกอนเรยน ชอ ..................................................................... ชน ................... เลขท ................


1 2 3 4

1 x

2 x

3 x

4 x

5 x

6 x

7 x

8 x

9 x

10 x


ลงชอ............................................ผตรวจ (............................................)

วนท.......เดอน.......................พ.ศ...........

คะแนน

57



กระดาษค าตอบแบบทดสอบหลงเรยน

ชอ ..................................................................... ชน ................... เลขท ................


1 2 3 4

1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x

10 x

คะแนนทได/คะแนนเตม

............/............. .

ลงชอ............................................ผตรวจ

(............................................)

วนท.......เดอน.......................พ.ศ...........

คะแนน

58



ความพยายามอยทใหน ความส าเรจอยทนน

ปจจบนยงใชไดอยนะพวกเรา

59

ชุดที่ ชุดที่...

Documents

Transcript of ชุดที่ ชุดที่...